Curs Fizica

ACADEMIA TEHNICĂ MILITARĂ

Dan Georgel SIPOȘAN

CURS DE FIZICĂ Volumul 1 edi ț ia ia electronic ă  DRAFT 

București 2010

Tema 1 Obiectul fizicii. Legătura fizicii cu celelalte ştiinţe şi cu tehnica. Dezvoltarea fizicii în România. Mărimi fizice şi unităţi de măsură. Analiză dimensională 1.1 Introducere Cuvântul  fizică este de origine greacă ( physis=natur   physis=natur ă). Denumirea a fost

dată de Aristotel, semnificând faptul că fizica este o ştiinţă a naturii. Deşi era o personalitate proeminentă  a lumii antice, totuşi în domeniul fizicii toate ideile sale s-au dovedit a fi greşite, exceptând denumirea dată ştiinţei respective. Obiectul fizicii îl constituie studierea structurii materiei, a proprietăţilor ei generale şi a formelor sale de mişcare (mecanică, termică, cuantică, nucleară etc.), a transformărilor reciproce ale acestor forme de mişcare. Dezvoltarea ştiinţelor şi a tehnicii nu poate fi concepută astăzi f ără dezvoltarea şi aprofundarea cunoştinţelor la disciplina fizică, precum şi la celelalte discipline fundamentale ca matematica, chimia, biologia. Astfel, unele legi descoperite iniţial la chimie chimie au precedat formularea unor legi ale fizicii. Ca Ca un exemplu, legile proporţiilor simple sau multiple au condus la ideea discontinuităţii materiei, inspirându-l pe Avogadro să  formuleze legea volumelor la fizica moleculară. Pot fi date mai multe exemple în care dezvoltarea uneia dintre ştiinţele fundamentale a influenţat dezvoltarea celorlalte: apariţia calculului diferenţial şi integral la matematică, teoria relativităţii sau teoria cuantelor la fizică, biofotonica etc. În ţara noastră fizica s-a bucurat dintotdeauna de o atenţie deosebită, unii fizicieni români aducând contribuţii importante la dezvoltarea acestei discipline, atât pe plan naţional cât şi internaţional. Cei mai importanţi dintre aceştia sunt:  Dragomir Hurmuzescu  (1865-1954) a efectuat cercetări în domeniul electricităţii şi fizicii radiaţiilor Roëntgen, a construit electroscopul care îi poartă numele, a măsurat constanta electrodinamică. tefan Procopiu (1890-1972), fizician de renume mondial s-a ocupat, pe Ş tefan lângă  activitatea didactică, şi de cercetarea ştiinţifică. A stabilit printr-un raţionament ingenios, pentru prima dată în lume, valoarea momentului magnetic molecular sau magnetonul teoretic, în anul 1912, când era încă student. Nu i s-a acordat Premiul Nobel pentru această descoperire dintr-o neglijenţă a comisiei. În anul 1921 a descoperit fenomenul depolarizării luminii de către suspensii şi coloizi (fenomenul Procopiu), iar în 1930 a descoperit efectul Procopiu, care constă  în efectul circular al discontinuităţilor magnetice. A fost desemnat de două ori în comisia pentru nominalizări la premiul Nobel.  Ion Agârbiceanu  (1907-1971) a fost profesor la Institutul Politehnic Bucureşti, având cercetări în domeniul fizicii atomice şi spectroscopiei. În anul 1962 a fost construit sub conducerea sa, la Institutul de Fizică  Atomică  din Bucureşti-Măgurele, primul laser cu gaz din ţară şi unul dintre primele din lume. 1

 Horia Hulubei  (1896-1972) a fost profesor la Universitatea Bucureşti, bucurându-se de aprecierea marilor savanţi ai vremii. S-a remarcat prin lucrări în domeniul spectroscopiei optice, de raze  X  şi γ  , şi în domeniul fizicii nucleare. Eugen Băd ăr ău (1887-1975) a fost profesor la Universitatea Bucureşti şi academician. A avut lucrări importante în domeniile opticii, spectroscopiei şi acusticii, A iniţiat cecetări asupra descărcărilor electrice în gaze şi plasmei în România, a explicat mecanismul descărcărilor luminiscente în arc. 1.2 Metode de cercetare în fizic ă

Fizica a devenit o ştiinţă de sine stătătoare în perioada de după Renaşterea italiană, când metoda experimentală de studiu promovată  de Galileo Galilei a relevat aspectele profunde ale unor fenomene din natură. Galilei a fost primul care a ţinut să verifice experimental legi şi postulate considerate valabile apriori, ca de exemplu căderea liberă  a corpurilor. Prin utilizarea planului înclinat, Galilei reducea acceleraţia de cădere, mărind astfel timpul de măsurare a distanţelor. De atunci se spune că „ştiinţa a coborât din Cer pe Pământ pe planul  înclinat al lui Galilei”. În secolele XVII-XVIII s-a realizat prima împărţire a fizicii pe ramuri, cristalizându-se în sec XIX ramurile clasice: mecanica, termodinamica, electricitatea şi optica. În această  perioadă  începe să  fie utilizată şi metoda teoretică de studiu, bazată pe metodele matematicii clasice. Teoriile fizicii s-au dezvoltat în două direcţii: -  fenomenologică, care porneşte de la proprietăţile macroscopice ale corpurilor; - microscopică, care porneşte de la structura internă a corpurilor. Teoriile sunt considerate concludente dacă  prin aplicarea fiecăreia dintre cele două metode se obţin rezultate identice în studierea unui fenomen. În sec. IX-XX au apărut ramurile moderne  ale fizicii: fizica particulelor elementare, fizica atomului, solidului, plasmei, mecanica cuantică etc. Teoriile fizicii moderne pornesc de la ipoteze asupra structurii intime a corpurilor, care prin interpretări matematice devansează  realizările practice bazate pe teoriile respective. Intervalul de timp de la o descoperire la aplicaţia practică bazată pe aceasta a scăzut constant o dată cu trecerea timpului. Astfel, de la descoperirea fisiunii nucleare în anul 1934 până  la construirea primului reactor nuclear au trecut 8 ani, iar de la formularea teoriei tranzistorilor până la realizarea lor au trecut numai 3 ani (1951). În prezent, în ţările dezvoltate acest interval de timp a scăzut până la ordinul zilelor, datorită progresului tehnologic şi concurenţei acerbe pe piaţa produselor de înaltă tehnologie. Înainte de perioada comunismului, în ţara noastră  fizica s-a dezvoltat datorită unor personalităţi ştiinţifice recunoscute de comunitatea internaţională, care au studiat în străinătate, fiind în contact cu cercurile ştiinţifice ale vremii. Cu toate acestea, nu exista o bază  de mase, deoarece numai cei din familiile  înstărite î şi puteau permite studii în str ăinătate. În perioada comunismului s-a 2

creat această bază, creându-se condiţiile pentru dezvoltarea pe orizontală a acestei ştiinţe, însă f ără  criterii clare de departajare a valorilor. Aceasta  înseamnă că  puterea de decizie nu aparţinea de obicei persoanelor cele mai competente din punct de vedere ştiinţific, ci se acorda după alte criterii. Cu toate acestea, s-au creat unele condiţii pentru dezvoltarea ştiinţei şi promovarea cercetării fundamentale, însă  gestionarea relaţiei cu cercetarea aplicativă şi producţia de bunuri a fost de asemenea deficitară. În învăţământul superior au fost create primele facultăţi de fizică prevăzute cu secţii de specialitate în aproape toate domeniile fizicii, precum şi institute de cercetare (I.C.F.I.Z. în Bucureşti, Institutul de Izotopi Stabili în Cluj, Institutul de Reactori Nucleari din Piteşti etc.). Printre domeniile de cercetaredezvoltate s-au numărat următoarele: - energetica nucleară, cu aplicaţii industriale cum ar fi centrala nucleară de la Cernavodă; - aplicaţiile laserilor în industrie (geodezie, prelucrarea materialelor, aliniere, energetica nucleară), biologie (biofotonica), medicină  (terapie şi chirurgie cu laser, imagistică  medicală), informatică  (optical computing), tehnica militară  (telemetrie laser, sisteme de pază şi alarmare, ghidarea proiectilelor în fascicul laser, aparatură de vedere pe timp de noapte) etc. - fizica materialelor, cu scopul de a crea materiale noi şi performante pentru industria electronică, energetică, aeronautică etc. - optica neliniară, fizica semiconductoarelor ş.a. În special în cursul istoriei recente se pot da numeroase exemple privind rolul ştiinţei (şi al fizicii în special) în influen ţarea relaţiilor internaţionale, geopolitice, a geografiei, istoriei, a strategiei militare etc. prin impactul pe care l-a avut folosirea unor descoperiri ştiinţifice. Astfel, al doilea război mondial se putea prelungi cu câţiva ani datorită  rezistenţei puternice opuse de trupele  japoneze trupelor aliate în Pacific. Aruncarea a două  bombe atomice asupra teritoriului japonez a convins guvernul japonez să  capituleze. În războiul din Vietnam s-au testat pentru prima dată  telemetrele cu laser, care asigurau o precizie de lovire de 15 cm la o distan ţă de 10 km, fapt care s-a dovedit în final insuficient, pentru că SUA au suferit în final o înfrângere umilitoare. În războiul din insulele Malvine (Falkland) dintre Marea Britanie şi Argentina trupele britanice au utilizat în premieră aparatură de vedere pe timp de noapte, ceea ce le-a permis să ob ţină capitularea adversarului datorită superiorităţii tehnice, deşi acesta era mult superior numeric şi lupta pe teren propriu. Din cele discutate se poate desprinde ideea c ă  fizica este o  ştiin ţă experimentală, rezultatele obţinute în procesul de măsurare având un rol fundamental în enunţarea ideilor şi a legilor fizicii. Pentru formularea cantitativă a acestor legi se folosesc noţiuni şi procedee matematice corespunzătoare. În acest sens enumerăm câteva idei ale unor savanţi despre rolul măsurării în fizică. William Thompson (lord Kelvin): ”Când putem măsura mărimea despre care vorbim şi o putem exprima printr-un număr, atunci noi ştim ceva despre ea; 3

dar când nu o putem exprima printr-un num ăr, cunoaşterea noastră este slabă şi nesatisf ăcătoare”. D. I. Mendeleev: ”Ştiinţa începe atunci când încep măsurătorile”. Max Planck, reluând o idee a lui Galilei, îndemna pe fizicieni să măsoare tot ce este măsurabil şi să facă măsurabil tot ceea ce nu este încă măsurabil. 1.3 Mărimi fizice şi unităţi de măsură

În urma observaţiilor şi a experimentelor asupra diferitelor sisteme de corpuri, s-a constatat că  acestea prezintă  unele  propriet ăţ  ăţ i comune  cum ar fi: inerţia, masa, volumul, culoarea, forma etc. Astfel, multitudinea informaţiilor obţinute despre sistemele fizice în procesele de observare directă sau măsurare prin intermediul diferitelor instrumente de măsură, pot fi grupate în mai multe clase de echivalen ţă disjuncte. Fiecărei clase i se asociază o proprietate fizică a corpurilor sau sistemelor de corpuri materiale. Proprietăţile fizice ale diferitelor sisteme de corpuri materiale, care pe lângă  operaţia de echivalenţă corespunzătoare admit şi o operaţie de ordonare a elementelor componente, se numesc mărimi fizice. Operaţia sau procedeul de ordonare prezintă următoarele proprietăţi: - asimetria: Dacă  elementul  x   este mai mic în raport cu operaţia considerată decât elementul  y , atunci elementul  y  nu poate fi mai mic decât  x  în raport cu altă operaţie de ordonare:

( x < y ⇒

y < x );

- tranzitivitatea: Dacă  în raport cu operaţia de ordonare adoptată  sunt valabile inegalităţile ( x < y şi  y < z ), atunci aceasta implică şi inegalitatea:  x < z . 1.4 Simboluri

Pentru exprimarea cât mai simplă a legilor şi teoremelor fizicii cu ajutorul formulelor, se folosesc diferite simboluri pentru mărimile respective. De asemenea, pentru exprimarea cât mai simplă  a rezultatelor unei măsurători se aleg simboluri pentru unităţile mărimilor respective şi pentru valorile mărimilor faţă  de acele unităţi. Simbolul mărimii fizice se va scrie ca produsul simbolic dintre valoare şi unitatea de măsură. Este necesar întotdeauna să  se specifice  într-o formulă  fizică  sensul simbolurilor folosite, adic ă  acela pentru valoare, mărime, sau unitate. Dacă simbolul folosit reprezint ă o valoare, se va specifica şi sistemul de unit ăţi. O categorie aparte de simboluri o reprezintă  anumite 4

opera ţ ii ii matematice care se efectuează asupra unor mărimi fizice, ca de exemplu operaţii aritmetice, vectoriale, operaţii de diferenţiere şi integrare etc. 1.5 Măsurarea unei mărimi fizice

Fizica studiază  fenomenele din natură  cu ajutorul mărimilor. Mărimile reprezintă acele proprietăţi fizice ale corpurilor materiale care sunt măsurabile. Prin măsurare mărimea respectivă se compară cu o anumită mărime de aceea şi natur ă, stabilindu-se raportul între acea mărime şi mărimea cu care se compară. Din punct de vedere al măsurabilităţii există două  grupuri de mărimi: direct  măsurabile şi indirect măsurabile.  M ărimile direct măsurabile (mărimile fizice propriu zise) sunt acele mărimi pentru care se pot defini operaţiile de egalitate şi adunare, care la rândul lor permit efectuarea raportului a două mărimi de aceeaşi natură, prin urmare şi stabilirea procedeului de măsurare. Alegând pentru astfel de mărimi mărimea unitate, se pot măsura direct celelalte mărimi prin procedeul stabilit. Exemplele cuprind majoritatea mărimilor folosite în fizică: lungimea, masa, energia, unghiul, greutatea etc.  M ărimile indirect măsurabile  sunt acelea pentru care se poate defini numai operaţia de egalitate, întrucât adunarea nu are sens fizic. Exemple: temperatura, potenţialul electrostatic, altitudinea, densitatea etc. Formarea raportului a două mărimi de aceeaşi natură nefiind posibil, aceste mărimi pot fi f ăcute totuşi măsurabile indirect. Pentru aceasta se alege un corp cu proprietăţi potrivite pentru punerea în evidenţă a mărimii fizice de măsurat şi un reper convenţional, observând poziţia corpului respectiv faţă  de reperul dat (de exemplu la măsurarea temperaturii se urmăreşte meniscul alcoolului din tubul capilar al unui termometru). Definirea egalităţii şi adunării permit trecerea la definiţia raportului a două mărimi de aceeaşi natură. De exemplu, raportul a două  lungimi  AB şi  A′B′  este egal, prin definiţie, cu de câte ori trebuie pusă la cap lungimea  A′B′ pentru a reproduce o lungime egală cu  AB , obţinându-se un număr pentru raportul  B A′B′ . Dacă  acest număr nu este întreg, se împarte lungimea  A′B′  într-un număr din ce în ce mai mic de părţi egale până când se poate obţine din aceste fracţiuni, prin punerea lor una în continuarea alteia, o lungime egal ă cu  AB . Pentru a trece de la noţiunea de raport   la noţiunea de măsurare  este suficient să alegem printre mărimile de aceeaşi natură (notate generic cu  A ) o anumită mărime unitate, notată cu  A . Raportul dintre mărimea fizică  A şi unitatea  A  se numeşte valoarea mărimii  A , notată cu simbolul { A} : { A} =

 A  A

Alegând ca unitate o altă mărime  A1  de aceeaşi natură, valoarea mărimii  A  va fi: 5

{ A}1 =

 A .  A1

În consecinţă, putem defini măsurarea ca fiind compararea mărimii de măsurat cu o anumită mărime unitate (raportul dintre valoarea mărimii de măsurat şi unitatea aleasă). Un criteriu de clasificare pentru mărimile fizice poate fi caracterul pe care  îl prezintă  acestea faţă  de simetria fenomenelor. După  acest criteriu se pot menţiona mărimile scalare (masa, densitatea, energia etc.), vectorii (forţa, viteza etc.), tensorii de ordinul doi  (momentul cuplului de forţe, inducţia magnetică etc.) şi pseudoscalarii (volumul, fluxul inducţiei electrice etc.). Anumite proprietăţi fizice cum ar fi forma, electronegativitatea, distribuţia spaţială, nu sunt măsurabile. Deşi admit o operaţie de echivalenţă, ele nu se pot ordona în cadrul clasei de echivalenţă din care fac parte. Culoarea a fost multă vreme considerată o proprietate şi nu o mărime fizică, însă o dată cu asocierea unei valori a mărimii lungime de undă pentru fiecare culoare, în cadrul teoriei electromagnetice a luminii, culoarea a devenit o mărime fizică. Proprietăţile fizice ale căror elemente fizice admit o operaţie de ordonare, care caracterizează stările posibile ale unui corp sau ale unui sistem de corpuri limitat în timp  şi spa ţ iu iu, reprezintă  parametri  fizici ai sistemului respectiv (de exemplu, presiunea şi temperatura unui gaz aflat în diferite condiţii). Mărimile fizice se referă  la proprietăţile fizice ale tuturor corpurilor   sau sistemelor de corpuri din natură, corespunzătoare claselor de echivalenţă  respective (masă, lungime, presiune etc.). Prin măsurare  se atribuie valori individuale (numere), conform unor reguli stabilite, parametrilor sau mărimilor fizice care caracterizează stările posibile ale sistemelor studiate. O anumită  valoare a unui parametru fizic, în condiţii date, reprezintă o cantitate fizică  sau un element   component al parametrului fizic considerat. Orice mărime fizică este caracterizată printr-o latur ă calitativă şi o latur ă cantitativă. Mărimile care exprimă  aceeaşi proprietate calitativă, dar se deosebesc prin latura cantitativă, se numesc mărimi de aceea şi natur ă. Mărimile de aceeaşi natură pot fi mai mari sau mai mici, mai intense sau mai slabe, ceea ce constituie latura cantitativă a mărimii fizice respective. De exemplu, forţa caracterizează  interacţiunea dintre dou ă  sau mai multe corpuri şi este calitativ diferită de acceleraţie, care caracterizează modul de variaţie a vitezei în timp. Valoarea unui parametru fizic depinde nu numai de unitatea de măsur ă în care se exprimă numărul respectiv, ci şi de calitatea procedeului de măsurare. Ştiinţa care se ocupă  de mijloacele şi procedeele de măsură  pentru mărimile fizice, de unităţile lor de măsură şi de totalitatea normelor privitoare la folosirea măsurilor, a mijloacelor şi metodelor de măsură pentru toate mărimile fizice, se numeşte metrologie (de la metros=măsurare şi logos=a vorbi, a număra, ceea ce se traduce prin  ştiin ţ a măsur ărilor ), ), constituind o ramură  importantă  a fizicii. 6

Perfecţionarea tehnicilor de măsurare şi elaborarea de noi procedee de măsură, pe baza acumulării de noi cunoştinţe în fizică şi a dezvoltării tehnicii, determină ca această ştiinţă s ă fie deschisă. Astfel în zilele noastre este posibilă măsurarea unor mărimi fizice care cu zeci de ani în urmă erau considerate nemăsurabile (în domeniul fizicii atomice şi nucleare, particulelor elementare, spectroscopiei etc.). Alegerea unităţii de măsură  nu este impusă  de nici o lege a fizicii, ci numai de considerente de ordin practic (exactitate, reproductibilitate, arie mare de acoperire, comoditate în folosire). De asemenea, alegerea unei unităţi de măsură pentru o mărime fizică conduce la stabilirea unităţilor de măsură pentru alte mărimi fizice. De exemplu, unitatea de măsură a vitezei depinde de unităţile de măsură  pentru spaţiu şi timp. Se impune rezervarea unui număr minim de mărimi fizice independente între ele, numite mărimi fundamentale, astfel ca unităţile de măsură  pentru toate celelalte mărimi fizice să  depindă  numai de acestea. Unităţile de măsură  stabilite pentru mărimile fizice fundamentale se ăţ i fundamentale. numesc unit ăţ  Mărimile fizice ale căror unităţi se exprimă prin combinaţii ale unităţilor ăţ i fundamentale se numesc mărimi derivate, iar unităţile lor se numesc unit ăţ  derivate. Împărţirea mărimilor fizice în cele două  categorii este de mare importanţă practică, deoarece permite reducerea numărului de unităţi pentru care trebuie confecţionate măsuri standardizate. Acestea reproduc o unitate de mărime şi se numesc etaloanele mărimii respective. 1.6 Relaţii între mărimi

Cele mai generale relaţii între mărimi sunt legile. Acestea se descoperă pe cale experimentală (legea lui Coulomb de la electrostatică, legea lui Newton la mecanică, legea lui Faraday a inducţiei electromagnetice) sau pe cale pur teoretică  (legea-ecuaţia lui Schrodinger la mecanica cuantică, ecuaţiile lui Lagrange la mecanica analitică  etc.). Principiile  sau  postulatele  se enunţă pornind de la constatarea că  toate consecinţele ce decurg din acestea sunt verificate experimental; aşadar, lucrurile se întâmplă conform postulatelor, chiar dacă nu se ştie exact de ce se desf ăş ăşoară în acest mod. Dacă la un moment dat teoria se va completa pe baza unor noi ipoteze rezultate din experimente, este posibil ca unele postulate să fie demonstrate, şi astfel să devină teoreme sau legi. Există şi legi cu caracter mai limitat, denumite legi de material, în care intervin mărimi caracteristice diferitelor materiale, ca de exemplu legile frecării, legea difuziei la mecanică, legea lui Hooke la elasticitate, legea polarizaţiei electrice de la electricitate. În cazul legii lui Hooke modulul de elasticitate poate depinde de diferiţi parametri (presiune, temperatură  etc.), furnizând pentru materialele cunoscute un număr mare de legi de material. Teoremele  reprezintă  relaţii între mărimi care se stabilesc pe cale deductivă  din legile de material, folosind metode matematice, ca de exemplu operatori diferenţiali, calculul algebric, calculul integral, De exemplu, teorema lui Coulomb de la electrostatică se poate deduce din legea fluxului electric a lui 7

Gauss. Tendinţa este ca în timp, prin găsirea unor legi mai generale cu ajutorul fizicii teoretice, numărul legilor să scadă, astfel că unele dintre acestea să devină teoreme. De exemplu, legea gazelor ideale a devenit o teoremă de când ea a fost dedusă în fizica statistică plecând de la legile mecanicii, cu utilizarea calculului probabilităţilor de la fizica statistică. De asemenea, legile lui Kirchoff au devenit teoremele lui Kirchoff de când au fost deduse din legile de conservare pentru energie şi sarcina electrică. Este de asemenea de remarcat că  în cadrul unui capitol al fizicii, chiar dacă numărul de legi generale rămâne constant, sistemul de legi generale se poate schimba. Astfel, la electrostatică legea generală a lui Coulomb poate fi înlocuită  de legea lui Gauss, deoarece aceasta este mai generală decât fosta lege a lui Coulomb, care astfel devine teoremă.  Rela ţ iile iile de defini ţ ie ie  determină  unele mărimi fizice. De exemplu, se defineşte densitatea de energie ca raportul dintre energia W  dintr-o zonă a spaţiului şi volumul V  în care aceasta este conţinută: W  w≡ V  Avantajul utilizării simbolului ≡ (egal prin definiţie) este faptul că într-o singură relaţie se poate scrie atât definiţia unei mărimi, cât şi legea care dă dependenţa mărimii respective de alte mărimi fizice, ca de exemplu legea lui Gauss pentru fluxul câmpului electric:   q Φ e ≡ ∫∫ E ⋅ dS  = S 

ε

Legile şi teoremele fizice se exprimă în general prin formule, însă există şi legi ce se exprimă prin fraze: de exemplu legea a treia a dinamicii, sau prima lege a frecării (forţa de frecare dintre două  corpuri nu depinde de mărimea suprafeţei de contact dintre acele corpuri). 1.7 Mărimi fundamentale şi mărimi derivate iul ∗ nu pot fi definite în func ţie de alte Unele mărimi ca timpul sau spa ţ iul

mărimi deja determinate, neexistând relaţii de definiţie pentru aceste două mărimi. Acest fapt se reflectă  asupra faptului că numărul de relaţii principale dintre mărimile fizice este mai mic decât numărul mărimilor fizice. Aşadar, pentru a determina toate mărimile cunoscute este nevoie să  alegem un număr anume de mărimi fundamentale, iar celelalte mărimi pe care le numim derivate să fie definite toate în func ţie de mărimile fundamentale.  M ărimile fundamentale  se definesc în mod direct, prin indicarea procedeului de măsurare şi stabilirea unităţii de măsură. Cu toate acestea, procedeul de măsurare a unei mărimi fundamentale nu este complet arbitrar, el ∗

  Problema referitoare la faptul dac ă spaţiul este sau nu m ărime fundamental ă  este încă controversat ă 8

 ţ ia ia generală  ca raportul valorilor a două mărimi trebuind să  satisfacă condi ţ  fundamentale de aceeaşi natură să fie independent de unitatea de măsură folosită (acest raport trebuie să rămână  constant când se schimb ă  unitatea de măsură). Definiţia lungimii ar fi mărimea care se măsoară punând cap la cap unitatea de lungime astfel încât numărul de suprapuneri ale lungimii unitate peste lungimea de măsurat să fie minim. Unitatea de lungime se alege în funcţie de o anumită lungime care se găseşte în natură, sau o lungime construit ă  de om in anumite condiţii şi păstrată cu anumite precauţii. Unităţile de măsură  pentru mărimile fundamentale pot fi alese arbitrar, independent unele faţă de altele. Pentru mărimile derivate însă unităţile nu pot fi alese independent, ele depinzând de cele ale mărimilor fundamentale la fel cum depinde mărimea derivată fa  f aţă de mărimile fundamentale. Din această relaţie de dependenţă se obţine şi procedeul de măsurare. Mărimile fundamentale din fizică se introduc într-o anumit ă ordine, prin legi în care apar două mărimi noi faţă  de celelalte mărimi determinate în alte capitole ale fizicii. Primul capitol este considerat geometria, ale cărei postulate sunt legi experimentale în fizică, şi în care este nevoie de o singur ă mărime fundamentală, lungimea. Prima relaţie din cinematică, care defineşte viteza: l v≡ t  introduce două mărimi noi, viteza şi timpul. Alegând timpul drept mărime fundamentală  putem determina viteza, astfel că  în cinematică  este nevoie de două mărimi fundamentale: lungimea l şi timpul t . În dinamică, pe lângă  lungime şi timp mai este nevoie de o mărime fundamentală, care poate fi masa m  sau forţa F ;  de regulă se alege masa. În electricitate şi fotometrie sunt necesare patru mărimi fundamentale, primele trei fiind l  , t  şi m , cea de-a patra fiind respectiv intensitatea curentului electric i , respectiv intensitatea luminoasă I   . În termodinamică şi c ăldură sunt necesare cinci mărimi fundamentale: l  , t  şi m , a patra şi a cincea fiind temperatura θ , respectiv cantitatea de substanţă n . Numărul unităţilor fundamentale fiecare din capitol al fizicii este arbitrar, acesta fiind mai mare sau mai mic în funcţie de numărul constantelor cu dimensiuni (constante universale). De exemplu, dacă  în electricitate s-ar scrie relaţia dintre intensitatea curentului electric şi variaţia sarcinii electrice în timp prin introducerea unei constante cu dimensiuni τ : dq i=τ , dt  atunci electromagnetismul ar avea nevoie de cinci mărimi fundamentale, deoarece ar trebui aleasă, pe lângă mărimile fundamentale deja menţionate, şi sarcina electrică (sistemul Gauss).

9

Numărul mărimilor fundamentale poate fi redus prin anumite relaţii de legătură între lungime şi timp care conţin o constantă universală, ca de exemplu l = c ⋅ t , unde c  este viteza luminii în vid. Luând viteza luminii egal ă cu unitatea, se poate determina timpul în funcţie de lungime şi astfel timpul devine o mărime derivată, cu unitatea definită  ca timpul în care lumina parcurge unitatea de lungime în vid. În această  situaţie mărimile dinamicii s-ar putea determina cu ajutorul unei singure mărimi fundamentale, lungimea. Însă din punct de vedere practic aceste sisteme cu un număr redus de mărimi fundamentale nu sunt utile. Pe lângă noţiunile de mărime fundamentală şi derivată se mai utilizează, atunci când relaţiile fizice sunt scrise sub o formă foarte generală, cu mai multe constante fizice, termenii de mărime primitivă şi mărime secundar ă. Constantele fizice fiind şi ele mărimi fizice, numărul mărimilor devine mult mai mare decât numărul relaţiilor dintre ele, în consecinţă ar trebui ales un număr mai mare de mărimi care se definesc direct. Aceste mărimi se mai numesc şi mărimi  primitive, şi se definesc în mod direct prin indicarea procedeului de măsură şi stabilirea unităţii de măsură.  M ărimile secundare  se definesc cu ajutorul mărimilor primitive. În final, o parte dintre mărimile primitive (în general cele pentru care se pot realiza etaloane) se aleg drept mărimi fundamentale, celelalte mărimi primitive şi mărimile secundare devenind mărimi derivate, care se definesc numai în funcţie de mărimile fundamentale. 1.8 Calculul cu m ărimi şi calculul cu valori

Plecând de la relaţia ce defineşte mărimea fizică  A drept produsul simbolic între valoarea { A} şi unitatea de măsură  A  A = { A} A ,

(1.1)

putem efectua pentru deducerea teoremelor din fizică operaţii direct cu mărimi, fie cu valorile acestora. Pentru a face deosebirea între calculul cu mărimi şi cel cu valori, precizăm câteva reguli privind principalele operaţii utilizate. Egalitatea  se poate defini numai pentru mărimi de aceeaşi natură. De exemplu, din cauza naturii lor diferite, densitatea relativă a unui mediu nu poate fi egală cu permitivitatea sau cu permeabilitatea relativă, chiar dacă  aceste mărimi adimensionale ar avea aceeaşi valoare. Pentru fiecare tip de mărimi stabilirea egalităţii cere cel puţin un procedeu particular. Într-un fel sunt egali doi curenţi, în alt fel sunt egale eg ale două densităţi sau două lungimi.  Adunarea  se defineşte de asemenea numai între două mărimi de aceeaşi natură. Acestea pot fi adunate dacă  în definiţia lor nu intervine o constantă aditivă  arbitrară  (alegerea arbitrară  a unei origini), aşa cum se întâmplă cu temperatura faţă de o temperatură de origine, potenţialul electric faţă de Pământ (considerat ca un conductor de potenţial nul) etc.. Nu are sens fizic adunarea mărimilor de natură  diferită, ca de exemplu energia cu momentul forţei, chiar dacă acestea prezintă aceleşi dimensiuni. 10

Suma a două mărimi fizice de aceeaşi natură se defineşte prin relaţia:  A + B = { A} A + {B} B  

(1.2)

Adunarea valorilor a două mărimi de aceeaşi natură are însă un caracter mai restrictiv, astfel că se pot aduna numai valori care reprezintă rezultatul unor măsurători f ăcute cu aceeaşi unitate. De exemplu, prin adunarea lungimilor l1 = 5m şi l2 = 2cm  obţinem lungimea l : l = l1 + l2 = 5m+2cm = 502cm = 5,02m.

Folosind relaţia dintre unitatea de lungime şi submultiplii acesteia s-a ob ţinut pentru lungimea sumă forma obişnuită, ca produs între valoare şi unitate: 1m=100cm Adunând valorile celor dou ă  lungimi s-ar obţine 5 + 2 = 7, ceea ce nu are sens fizic. Dacă mărimile ce reprezintă  cei doi termeni ai sumei sunt exprimate în aceeaşi unitate de măsură, de exemplu , atunci se poate da factor comun această unitate în formula (1.2):  A + B = { A} A + {B} A = { A + B} A .

(1.3)

Dacă întâmplător valorile a dou ă mărimi ce se adună sunt egale, această valoare nu poate fi dată ca factor comun decât în cazul când mărimile sunt exprimate în aceeaşi unitate de măsură.  Ridicarea la putere  a unei mărimi se face la fel ca ridicarea la putere a unui produs obişnuit, cu precizarea că  puterea factorului simbolic unitate constituie o unitate derivat ă. De exemplu, ridicând la puterea a treia o lungime l = x ⋅ m , obţinem: l 3= x3 ⋅ m3 ,

unde metrul cub reprezintă o unitate derivată.  Înmul ţ  irea mai multor mărimi reprezintă  produsul acelor mărimi, după  ţ irea regulile înmulţirii obişnuite în algebră. Factorul simbolic al produsului, care se obţine prin înmulţirea factorilor simbolici ai fiecărei mărimi, reprezintă o unitate derivată. Înmulţind de exemplu forţa F  = 5N   cu distanţa l  = 10m , obţinem lucrul mecanic (energia) W : W = F ⋅ l = 5N ⋅ 10m = 50 N ⋅ m=50 J. Astfel, Astfel, energia energia are valoar valoarea ea de 50, iar factoru factorull N ⋅ mreprezintă o unitate derivată. Atât mărimile cât şi unităţile vor fi tratate ca factori algebrici. Din exemplul de mai sus se poate observa c ă  o relaţie care exprimă produsul a două mărimi se poate desface în cazul general într-o relaţie de valori şi o alta între unităţi: W = Fl , (1.4) 11

cu F = {F } F  , l = {l} l , W = {W } W  , sau F = {F } N , l = {l} m , W = {W } J . Astfel, relaţia (1.4) se desface în rela ţiile {W } = {F } ⋅ {l } şi W = F ⋅ l ⇔ 1J=1N ⋅ 1m.  

(1.5)

Singurele dificultăţi la desfacerea unei relaţii între mărimi în două relaţii, una între valori şi alta între unităţi, apar când relaţia dintre mărimi conţine un coeficient numeric. De obicei acest coeficient numeric trece în relaţia dintre valori, relaţia dintre unităţi rămânând f ără  coeficient numeric. În acest caz unităţile formate sunt coerente, nefiind legate prin coeficienţi numerici. De exemplu formula ariei unui cerc, care se scrie ca relaţie între mărimi:  A = πr 2 2

2

se desface de obicei sub forma { A} = π{r } şi  A = r  . În unele cazuri însă se foloseşte coeficientul numeric π  în relaţia dintre unităţi: 2

2

{ A} = {r } ;  A = π r  ,

Astfel, noua unitate de arie va fi metrul circular: 1m c = π m 2 , definit ca aria unui cerc a cărui rază este de un metru. Se poate observa u şor că metrul circular este o mărime necoerent ă. 1.9 Formule fizice. Coeficientul parazit

Aşa cum s-a arătat, oricărei entităţi (mărimi) fizice  X    i se asociază o valoare numerică { X } şi o unitate de măsură  X  , astfel că:  X = { X } ⋅ X  ,

unde { X } este un număr adimensional  fiind raportul a două mărimi de aceeaşi natură. Dacă se măsoară mărimea  X   cu unităţi diferite, se obţin valori diferite:  X X  ; { X 2 } = , { X 1} =  X 1 X 2 de unde

{ X 1}  X 2   = { X 2 } X 1

(1.6)

Relaţia (1.6) constituie o teoremă  fundamentală  a unităţilor de măsură şi stabileşte că  raportul valorilor numerice ale unor entităţi fizice este egal cu inversul raportului unităţilor de măsură. Între o  formulă  fizică şi o  formulă  matematică  există  unele deosebiri. Formulele fizice cuprind mărimi măsurabile pentru care trebuie indicate valorile, 12

cât şi unităţile de măsură, în timp ce în formulele matematice intră  numai simbolurile mărimilor respective. S ă lu ăm drept un exemplu formula volumului, care din punct de vedere matematic se scrie: V = X 3   Din punct de vedere fizic însă formula (1.7) trebuie scris ă astfel: V = {V } ⋅ V 

(1.7)

3

 X  3 3 ,   ⋅ = ⋅ = = ⇒ ⇒ V V X X V X K X { } { } { } { } { } 3 3 V   X 3 = { X } ⋅ X  3

3

unde 3

 X    K  = V 

(1.8)

se numeşte coeficient parazit al formulei fizice, iar valoarea sa depinde de unităţile de măsură ale mărimilor care intră în formula (1.7). De exemplu, dacă 1 V  = 1litru = 1dm3 = 10−3 m şi  X  = 1m ⇒ K  = −3 = 103 . 10 3 Dacă  volumul se măsoară în m , K  = 1 , şi se spune că  s-a lucrat într-un sistem coerent de unit ăţ  ăţ i de măsur ă. Eliminarea coeficientului parazit conduce la o condiţionare a unităţilor de măsură  pentru unităţile mărimilor derivate, pentru care trebuie alese numai acele unităţi care rezultă din unităţile mărimilor fundamentale. Când K  = 1  (relaţia de condiţionare pentru unitatea de volum), 3 relaţia fizică se va scrie {V } = { X } şi coincide cu relaţia matematic ă V = X 3 . Prezenţa coeficientului parazit în formulele fizice conduce la complicarea formei acestora. Pentru eliminarea coeficientului parazit era nevoie de un sistem coerent   de unităţi de măsură, care să conţină  un număr restrâns de unităţi fundamentale, ca şi unităţi derivate care s ă rezulte din unităţile fundamentale. 1.10 Ecuaţii între mărimi şi ecuaţii între valori numerice

În ştiinţă şi în tehnică se utilizează două tipuri de ecuaţii: - ecuaţii între mărimi, în care mărimea fizică (produsul între valoarea numerică şi unitate) este indicat ă  printr-un simbol literal. Aceste ecuaţii au avantajul că sunt independente de alegerea unităţilor de măsură; - ecuaţii între valori numerice, unde valorile numerice ale m ărimilor fizice depind de alegerea unităţilor de măsură pentru mărimile corespunzătoare. Să considerăm ecuaţia vitezei în mi şcarea rectilinie şi uniformă: l v= t  Dacă  folosim drept unităţi de măsură  metrul pentru lungime, secunda pentru timp şi metrul pe secund ă pentru viteză, obţinem ecuaţia între valorile numerice: 13

{v} =

{l} {t }

Dacă însă folosim drept unităţi de măsură metrul pentru lungime, secunda pentru timp şi kilometrul pe oră pentru viteză, ţinând cont că 1km=10 m=103 m şi 1h 1h = 36 3600 00ss , m 10-3km k m ⋅ 3 60 0 km atunci 1 =1 =1 =3,6 , şi obţinem ecuaţia între valorile numerice: s 1h h {l} {v}km/h = 3,6 m {t }s Este evident că alegând alte unităţi de măsură vom obţine în loc de numărul 3,6 alt număr. Dacă nu se precizează  unităţile de măsură  într-o ecuaţie între valori numerice, atunci ecuaţia nu poate fi utilizată sub această formă. 1.11 Dimensiunile mărimilor. Sisteme de dimensiuni

S-a arătat că  procedeul de măsurare a mărimilor fundamentale nu este arbitrar, condiţia generală  impusă  fiind ca raportul valorilor a două mărimi fundamentale de aceeaşi natură să  fie independent de unitatea aleas ă. Această condi ţ  ie generală se impune şi la definiţia sau determinarea mărimilor derivate.  ţ ie Pentru ca raportul dintre valorile a două mărimi derivate de aceea şi natură s ă fie independent de unitatea aleasă, relaţiile prin care se definesc sau se determin ă mărimile derivate în func ţie de mărimile fundamentale nu sunt arbitrare. S-a arătat de asemenea că  raportul valorilor unei aceleaşi mărimi se modifică cu schimbarea unităţilor, fiind egal cu inversul raportului dintre unităţi. Problema esenţială  este de a determina în ce condiţii se respect ă  cerinţa principală  si generală  referitoare la independen ţa de unităţile de măsură a raportului dintre valorile a două mărimi de aceeaşi natură. În acest scop vom considera două mărimi derivate de aceea şi natură  notate cu  A1 şi  A2 , măsurate şi  A′ : fiecare cu dou ă unităţi de măsură,  A1 = { A1} A = { A1′} A′    ′ ′ = =  A A A A A { } { } 2 2  2

(1.9)

Vom stabili forma funcţiei prin care valoarea mărimii derivate depinde de valorile mărimilor fundamentale (să  presupunem lungimea, timpul şi masa în { A } demonstraţia ce urmează), astfel încât raportul valorilor celor două mărimi 1 , { A2 } { A′} respectiv 1 , să  fie independent de unitatea aleas ă, adică să  fie independent { A2′} de unităţile alese pentru m ăsurarea mărimilor fundamentale. În acest scop, presupunem pentru funcţie o formă de tipul: 14

{ A1} = f ( l , t , m ) ,

(1.10)

care indică  expresia valorii { A1}  a mărimii derivate fa ţă  de unitatea  A  în funcţie de valorile l , t  şi m  ale lungimii-tip, timpului-tip şi respectiv masei-tip  în anumite unit ăţi, şi funcţia: { A1′} = f ( k ′l , k ′′t , k ′′′m ) ,

(1.11)

indicând expresia valorii { A1′}  a mărimii derivate faţă de unitatea  A′  în funcţie de valorile l′ = k ′l , t′ = k ′′t ş i m′ = k ′′′m ale lungimii-tip, timpului-tip şi respectiv masei-tip în unităţile al căror sistem conţine şi unitatea  A′ . Condi ţ ia ia generală  cere ca raportul valorilor mărimilor derivate  A1 şi  A2 să nu depindă de unităţile alese, conform rela ţiilor (1.9): { 1} { A1′}   = ′ { A2 } { A2 }

(1.12)

Ţinând cont de relaţiile (1.10) şi (1.11), relaţia (1.12) devine:

 f1 ( l , t , m ) f1 ( k ′l , k ′′t , k ′′′m )   =  f 2 ( l , t , m ) f 2 ( k ′l , k ′′t , k ′′′m )

(1.13)

Egalitatea din expresia (1.13) este îndeplinit ă dacă funcţia din membrul al doilea nu depinde de k ′, k ′′ şi k ′′′, ceea ce este posibil numai dacă  funcţia  f   este de forma produsului unor puteri:  f ( l , t , m ) = C l pt q m r  ,

(1.14)

unde  p, q şi r  sunt numere arbitrare întregi sau fracţionare care pot avea valori pozitive, nule sau negative. Factorul C   este o constantă  care nu depinde de unităţile mărimilor fundamentale. Produsele şi puterile pot reprezenta oricare dintre produsele sau puterile definite în calculul cu aceste m ărimi. Numai pentru această  formă  a funcţiei  f  se poate simplifica produsul k ′ p ⋅ k ′′q ⋅ k ′′′ r   între numărător şi numitor. În acest caz, raportul dintre valorile celor dou ă mărimi derivate  A1 şi  A2  nu depinde de unitatea aleasă de măsură pentru aceste mărimi. Deoarece unitatea mărimii derivate depinde de unităţile mărimilor fundamentale, rezultă că  acest raport r ămâne constant chiar dacă  se schimb ă  independent unităţile mărimilor fundamentale. Plecând de la aceste consideraţii se ajunge la introducerea noţiunii de dimensiune. Pornind de la formula (1.14) se poate scrie expresia raportului a dou ă valori ale mărimii  A  faţă de unităţile  A şi  B :  p q r  { A1} l pt q m r   l   t   m  =  p q r  =       . ′  A { 1} l ′ t′ m′  l′   t′   m′ 

15

Chiar în cazul schimbării unităţilor fundamentale, raportul

{ A1}  a două  valori { A1′}

ale aceleaşi mărimi derivate este egal cu produsul p rodusul rapoartelor l t m = L, = T, = M, ′ ′ ′ l t m la puterile  p, q şi r : { A1}  p q r  == ( L ) ( T ) ( M )   { A1′}

(1.15)

(valorile mărimilor fundamentale în cele două  sisteme de unităţi din care fac parte respectiv unităţile şi  A′ ). Produsul (1.15) se numeşte şi dimensiunea ia dimensională) mărimii derivate A , şi se notează simbolic (sau ecua ţ ia (1.16) [ A]LTM = L pT q M r    Relaţia (1.16) se poate citi astfel: Mărimea  A  are dimensiunea  p  în raport cu lungimea, q  în raport cu timpul şi r  în raport cu masa. În cazul  p = q = r = 0 :

[ A]LTM = L0T 0M 0 = 1 prin urmare mărimea respectivă  este o mărime numerică, f ără  dimensiuni. Nedepinzând de mărimile fundamentale, nici unitatea sa nu va depinde de unităţile fundamentale. De obicei unitatea mărimilor f ără  dimensiuni se ia ia dimensională pentru o mărime derivată presupune de numărul unitate. Ecua ţ ia fapt cunoaşterea valorii coeficienţilor  p, q şi r  , iar pentru a o obţine se explicitează  relaţia de definiţie până  în membrul al doilea apar numai mărimi fundamentale. De exemplu, puterea P  se defineşte astfel: W F ⋅l m ⋅ a ⋅l m ⋅l ⋅l m ⋅l2 P= = = = = 3 , t t t t ⋅t2 t   iar ecuaţia dimensională este:

[ P ]LTM = L2 T-3M. Teoremele folosite pentru stabilirea dimensiunilor mărimilor derivate sunt următoarele: 1. Dimensiunile unei mărimi  D  egală  cu produsul a două mărimi  A şi  B  sunt egale cu produsul dimensiunilor celor dou ă mărimi:

[ D ] = [ A ⋅ B ] = [ A] ⋅ [ B ] Dacă [ A]LTM = L pT q M r  şi [ B ]LTM = L p′T q′M r ′ , atunci [ D ]LTM = L p + p′T q+ q′M r + r ′ . 16

2. Dimensiunile unei mărimi  D  egală  cu raportul mărimilor  A şi  B  sunt egale cu raportul dimensiunilor celor două mărimi:  A  [ A] , [ D ] =   =  B  [ B ]

sau [ D ]LTM = L p− p′T q− q′M r − r ′ 3. Dimensiunile unei mărimi  D  egală cu mărimea  A  ridicată la puterea n  sunt egale cu puterea a n -a a dimensiunilor mărimii  A : n

[ D ] =  An  = [ A] , sau [ D ]LTM = Lnp Tnq Mnr .   Prima teoremă se demonstrează scriind fiecare mărime ca produsul între valoare şi unitate, presupunând c ă fiecare mărime se măsoară cu două unităţi:  A = { A} A = { A′} A′  B = { B} B = {B′} B′  D = {D} D = {D′} D′

Relaţia care exprimă mărimea  D = A ⋅ B se poate scrie sub două  forme, { D} = { A} ⋅ {B}  sau { D′} = { A′} ⋅ {B′} ; împărţind membru cu membru obţinem: { D} { A} { B} = ⋅ { D′} { A′} { B′} Ţinând cont de relaţia (1.15) şi de relaţia corespunzătoare pentru mărimea  B :

{ B}  p′ q′ r ′ == ( L ) ( T ) ( M )   { B′}

(1.17)

obţinem { D}  p + p′ q+ q′ r + r ′ == ( L ) ( T ) ( M ) , { D′}

adică relaţia

[ D ] = [ A] ⋅ [ B] În acelaşi mod se demonstrează, f ără dificultate, celelalte teoreme. Importanţa ecuaţiilor de dimensiuni const ă în următoarele: - permit verificarea omogenităţii formulelor fizice; - cu aceste ecuaţii se pot stabili ecua ţiile unităţilor; - intervin în problemele de schimbare a unităţilor. 17

Un sistem de dimensiuni  se caracterizează  prin grupul mărimilor fundamentale din care se pot determina univoc toate celelalte mărimi fizice. Deşi sistemul de dimensiuni din fiecare capitol al fizicii este complet arbitrar în privinţa naturii şi numărului mărimilor fundamentale, se pun două condiţii: - formulele fizicii să fie scrise cu un număr cât mai mic de constante universale, ceea ce ar conduce la un număr minim de mărimi fundamentale; - să  existe cât mai puţine posibil mărimi cu aceleaşi dimensiuni, fapt ce ar conduce la un număr cât mai mare de mărimi fundamentale. Pentru sistemul ales în prezent, deşi există mărimi cu aceeaşi dimensiuni, numărul acestora este foarte mic. În mecanică  de exemplu, dimensiunile momentului forţei coincid cu ale energiei, şi ale viscozităţii cinematice cu ale modulului de difuzie. În electricitate coincid dimensiunile fluxului induc ţiei electrice cu ale sarcinii electrice, şi ale inducţiei electrice cu ale densităţii superficiale de sarcină  electrică. Aceste egalităţi dimensionale ridică însă problema dacă mărimile respective sunt sau nu de aceea şi natur ă. Două  sisteme de dimensiuni pot diferi atât prin num ărul mărimilor fundamentale, cât şi prin natura acestora. Din punctul de vedere al naturii mărimilor fundamentale, se aleg acele mărimi pentru care realizarea de etaloane,  în scopul concretizării unităţii fundamentale, este mai uşoară  (de exemplu, se preferă  masa în locul forţei sau impulsului). Din punctul de vedere al dimensiunilor se alege acel sistem de dimensiuni în care ecua ţiile de dimensiuni au forma cea mai simplă  (exponenţii mărimilor fundamentale din ecuaţia dimensiunilor să fie cât mai mici, de exemplu egali cu 1 sau cel mult cu 2). 1.12 Mărimi de aceea şi natură şi mărimi de natur ă diferită

După cum s-a arătat, numărul mărimilor cu aceleaşi dimensiuni dintr-un sistem de dimensiuni este cu atât mai mare cu cât numărul mărimilor fundamentale este mai mic. Două mărimi cu aceleaşi dimensiuni într-un sistem de dimensiuni pot avea dimensiuni diferite în alt sistem de dimensiuni. De exemplu, în sistemul LTM   modulul de difuzie şi viscozitatea cinematică au aceleaşi dimensiuni ( L2T -1 ) . În sistemul de dimensiuni LTF  modulul de difuzie are dimensiunile ( L2T -1 ) , iar iar visc viscoz ozit itat atea ea cine cinem matic atică L-2TF. TF . Întrucâ Întrucâtt în sistem sistemee diferite de dimensiuni exist ă mărimi diferite care au acelea şi dimensiuni, apare firesc întrebarea dac ă mărimile cu acelea şi dimensiuni sunt în realitate de aceeaşi natură, sau se poate întâmpla ca m ărimi cu aceleaşi dimensiuni să fie de natură diferită? Aşa cum s-a arătat, în procesul măsurării comparăm o mărime cu o altă mărime de aceeaşi natură  numită  unitate. Evident că  toate mărimile de aceeaşi natură se vor măsuara cu aceea şi unitate şi în acelaşi mod, adică folosind acelaşi procedeu de măsurare. Astfel, trebuie s ă ad ăugăm la condiţia ca două mărimi să fie de aceeaşi natură şi pe aceea referitoare la măsurarea cu acela şi procedeu. 18

condi ţ  ia de omogenitate  a formulelor fizice impune ca  X  şi Y  să aibă  aceleaşi  ţ ia dimensiuni. Dacă [ X ] = Lα1 M β1 T γ 1Θδ1 Nε1 Iϕ1 Jη1   şi [Y ] = Lα2 Mβ2 T γ 2 Θδ 2 Nε 2 Iϕ 2 Jη 2 , în relaţia dimensională:

[ X ] = [ Y ] trebuie îndeplinite condiţiile: α 1 = α 2 ; β1 = β 2 ; γ 1 = γ 2 ; δ1 = δ 2 ; ε 1 = ε 2 ; φ 1 = φ 2 ; η 1 = η 2 Numai în acest caz legile fizicii r ămân  invariante faţă de schimbarea unităţilor de măsură ale mărimilor fizice fundamentale. Ţinând seama de condiţia de omogenitate a formulelor fizice, se poate verifica dacă  o formulă  fizică  este corect ă , sau se pot stabili anumite formule  fizice dacă ştim de cine depinde mărimea pentru care stabilim formula respectiv ă. Exemplul 1 Să presupunem că formula perioadei P  a unui pendul matematic ar fi: g l

P = 2π

Ecuaţia dimensională este în acest caz 12

−1 2

[ P] = [ g ] [ l ]

Dimensiunile mărimilor care apar în formul ă sunt: [ g ]LT = LT-2 ; [ L ]LTM = L ; [ P ]LTM = T . Din relaţiile de mai sus ob ţinem: 1 2

-2⋅

1 1 2 2

[ P ]LT = T = L T L = T-1 ceea ce este imposibil, de unde rezultă că formula perioadei este incorect ă. Stabilirea formulei corecte se face prin analiz ă dimensională cunoscând că perioada pendulului depinde de lungimea sa l şi de acceleraţia gravitaţională g : P = lα ⋅ gβ ,

Ecuaţia dimensională a perioadei va fi:

[ P ]LT = T = Lα LβT -2 β= Lα +βT -2β , Din condiţia de omogenitate obţinem sistemul de ecuaţii şi soluţia acestuia: −2β = 1 1 1 ⇒α= , β=− ,  2 2 α + β = 0

astfel formula fizică se va scrie, până la un factor adimensional: 20

P=

l g

Valoarea factorului adimensional se stabileşte, în general, pe baza unor calcule teoretice şi în cazul de faţă are valoarea 2π , astfel că formula riguroasă este l . g

P = 2π

1.14 Constante fizice

Constantele fizice sunt de două feluri: - constante de material  (tensiunea superficială, modulul lui Young, căldura specifcă etc.) - constante universale (viteza luminii în vid, constanta gazelor ideale, constanta gravitaţională, constanta structurii fine, constanta lui Planck, anumite constante numerice etc.). Constantele universale sunt de două  categorii: constante numerice  sau coeficien ţ i numerici (de exemplu 2π  care apare în formula perioadei pendulului) şi constante dimensionale, a căror valoare depinde de unit ăţile alese pentru măsurarea mărimilor respective (constanta atracţiei universale −8 − 11 −1 3 -2 −1 3 -2 K  = 6, 67 ⋅10 cm s g = 6, 67 ⋅10 m s kg ). Trebuie precizat că dacă  într-o formulă se introduce valoarea unei constante universale cu dimensiuni, formula nu mai poate fi interpretat ă ca o relaţie între mărimi, ci ca o relaţie între valori, şi  în acest caz trebuie indicate între paranteze unităţile folosite. 1.15 Dimensiunea unei m ărimi fizice Orice mărime fizică  X  se poate exprima în funcţie de alte

mărimi

printr-o ecuaţie. Această expresie poate să conţină o sumă de termeni, fiecare dintre aceşti termeni fiind exprimat prin produsul puterilor mărimilor fundamentale  A, B, C ,.....   care aparţin unui set ales. Uneori acest produs este multiplicat cu un factor numeric, având forma k ⋅ Aα BβC γ ......   , unde ansamblul exponenţilor α, β, γ .....  este acelaşi pentru fiecare termen. Dimensiunea mărimii  X   va fi astfel exprimată prin produsul dimensiunilor α

β

γ 

[ X ] = [ A] [ B] [C ] ...... , unde [ A] , [ B ] , [C ]...  reprezintă dimensiunile mărimil imiloor fundame amenta ntale  A, B , C ....., iar α, β, γ .... se numesc exponenţi dimensionali. O mărime cu exponenţii dimensionali egali cu zero se numeşte mărime f ăr ă dimensiune, produsul său de dimensiuni sau dimensiunea sa fiind 1, iar mărimea se exprimă printr-un număr. Exemplul 2. 21

Exprimând dimensiunile mărimilor fundamentale lungime, masă, timp, temperatură termodinamică, cantitate de substanţă, curent electric şi intensitate luminoasă prin simbolurile indicate mai jos: [l ] = L, [ m ] = M, [t ] = T, [θ] = Θ, [n ] = N, [i ] = I, [I ] = J , se pot exprima dimensiunile oric ărei mărimi fizice prin simbolurile respective şi exponenţii dimensionali corespunzători unei anumite mărimi (tabelul 1). Tabelul 1. Dimensiunile unor mărimi fizice Mărimea Dimensiunea Mărimea Dimensiunea Viteză Rezistenţa LT-1 L2T -3MI -2 electrică -1 Viteză unghiulară Inductanţă T L2T -2MI -2 Forţă Permeabilitate LT -2M LT -3MI -2

Energie

L2T -2M

Potenţial electric Permitivitate

L2T -3MI -1 L-3 T4 M-1 I2

Flux magnetic

L2T -2MI -1

Iluminare Constanta Faraday

L-2J TN -1I

Capacitate electrică Densitate relativă Inducţie magnetică Capacitate calorică Căldură specifică Randament energetic

1.16 Analiza dimensional ă a formulelor fizice

L-2 T4 M-1 I2 1 T MI-1 -2

L2T -2MΘ-1 L2T -2Θ-1 1

După  cum se ştie, Sistemul Internaţional cuprinde în prezent 7 unităţi fundamentale şi două  unităţi suplimentare. Într-un sistem coerent , unităţile mărimilor derivate trebuie să  se exprime numai prin unităţi fundamentale sau suplimentare. Este clar că o unitate derivată se poate exprima şi prin mai puţin de 7 unităţi fundamentale, de exemplu în mecanică, unde mărimile derivate se pot exprima prin numai trei mărimi fundamentale: lungime, timp şi masă. Referitor la legea a doua a dinamicii, forma matematică a acesteia este: F = ma Relaţia dimensională se va scrie: [ F ] = [ m ] ⋅ [a ] , unde [m] ≡ M şi [ a ] = L ⋅ T -2 , astfel că

[ F ] = M ⋅ L ⋅ T -2 .

22

ia F = ma  reprezintă legea fizică, iar [ F ] = [m] ⋅ [a ]  reprezintă rela ţ ia dimensională între mărimile fizice corespunzătoare. După cum s-a arătat în secţiunea 1.9, dacă înlocuim mărimile din formula fizică cu valorile acestor mărimi, forma formulei ce exprimă relaţia între mărimi nu se schimbă (indiferent de unităţile de măsură folosite), numai dacă se admite că  unităţile de măsură  pentru mărimile derivate se pot scrie în funcţie de unităţile de măsură ale mărimilor fundamentale printr-o expresie de forma:  X  = L

α

M

β

T

γ

Θ

δ

N

ε

I

φ

η

J .

Altfel spus, orice mărime  X    trebuie exprimată  dimensional sub forma unui monom algebric format din puteri ale simbolurilor mărimilor fundamentale, exponentul fiecărei puteri fiind egal cu indicele puterii la care acea mărime fundamentală  intră  în definiţia mărimii derivate ( α, β, γ … se mai numesc şi dimensiunile mărimii derivate  în raport cu mărimea fundamentală corespunzătoare:  L, M ,T ... ). În exemplul 3 se arată  cum se determină dimensiunile pentru unele dintre aceste mărimi. Exemplul 3. Să  deducem formula vitezei luminii în vid cunoscând c ă  ea depinde de permitivitatea electrică ε 0 şi de permeabilitatea magnetică µ 0  a vidului. c = ε 0α ⋅ µ 0β

Pentru a stabili dimensiunile mărimilor ε 0 şi µ 0 , se procedează astfel: - din formula lucrului mecanic L   efectuat asupra unei sarcini electrice q  care se deplasează sub diferenţa de potenţial U : L  = qU , rezultă

[ L] [ F ][l ] M LT -2L 2 -3 -1 = = =L T M I , [U ]LTMI = IT [ q ] [i][t ] de unde rezultă şi unitatea pentru tensiune, voltul, exprimat în unităţile celor 4 mărimi fundamentale folosite din sistemul SI: 1kg ⋅ m 2 . 1V= 3 s ⋅A Din legea inducţiei magnetice U  = −

d Φ dt 

rezultă 23

[Φ ]LTMI = [U ][ t ] = ML2 T -3 I -1T=L2T -2MI -1 Din relaţia de definiţie a fluxului vectorului inducţie a câmpului magnetic: Φ =  B ⋅ S  rezultă

[ Φ ] ML2 T-2I -1 -2 -1 = =T MI [ B ]LTMI = L2 [ S ] Din relaţia de definiţie a inducţiei câmpului magnetic în vid:  B = µ 0 H  rezultă

[ B ] MT -2I -1L = =LT -2MI -2 [µ0 ]LTMI = I [ H ] Din formula de definiţie a capacităţii electrice C : q C = U  rezultă

[C ]LTMI =

[q] IT = =L-2T 4M -1I 2 . 2 -3 -1 [U ] ML T I

Din formula capacităţii unui condensator (de exemplu condensatorul plan): ε ⋅ S  C = 0 d  rezultă

[ d ][C ] LL-2T 4M -1I 2 -3 4 -1 2 = =L T M I [ε 0 ]LTMI = L2 [ S ] Ecuaţia dimensională a vitezei luminii va fi: α

β

[c ]LTMI = LT -1 = [ε 0 ] [µ 0 ] = L−3αT 4α M −α I 2α M βT −2βI −2βLβ = L−3α+βT 4α− 2βM β−αI 2α− 2β . Din condiţia de omogenitate obţinem sistemul de ecuaţii şi soluţia acestuia −3α + β = 1 1 1 ⇒α =− ,β= −  2 2 −1 = 4α − 2β astfel formula fizică se va scrie, până la un factor adimensional:

24

−

1 2

c = ( ε 0µ 0 ) =

1 ε 0µ 0

Se observă ca în această formulă factorul adimensional este egal cu unitatea. Exemplul 4. Să  se adapteze relaţia care exprimă  lungimea de undă  asociată  unei particule elementare nerelativiste de masă m , sarcină q , accelerată la tensiunea U , în funcţie de unităţile: nanomet nanometru ru ( nm ) pentru pentru lungimea lungimea de und undă; masa electronului ( m e ) pentru masa m   a particulei; sarcina electronului ( e ) pentru sarcina q  a particulei; voltul ( V ) pentru tensiunea de accelerare U . λ  =  =

h , 2mqU 

unde h = 6, 62 ⋅ 10−34 J ⋅ s reprezintă  constanta lui Planck. Rela ţia între valori corespunzătoare sistemului SI este: 6,62 ,62 ⋅ 10−34 = m m q U  2 ⋅ ⋅ kg C V λ 

Transformând Transformând metrul în nm , kilogramul în mase electronice electronice şi coulombul în sarcini electronice din rela ţiile cunoscute: 1nm = 10−9 m; me = 9,1⋅ 10 10−31 kg; e = 1, 6 ⋅ 10−19 C. obţinem: λ 

nm

=

1,22   m q U  me e V

(1.18)

Din formula (1.18) rezultă că pentru un electron accelerat la o tensiune de 1V, lungimea de undă asociată va avea valoarea valoarea λ = 1, 22 nm. 1.17 Unităţi fundamentale şi unit ăţi derivate Unit ăţ  ile fundamentale se aleg pentru măsurarea mărimilor fundamentale, ăţ ile

independent unele faţă de altele, alegerea fiind convenţională. Unit ăţ  ile derivate sunt cele cu care se m ăsoară mărimile derivate. Aceste ăţ ile unităţi nu sunt independente nici între ele, nici fa ţă  de unităţile fundamentale. Regulile după  care se formeaz ă  unităţile derivate stabilesc mai multe aspecte care caracterizeaz ă  o unitate derivată: ecuaţia unităţii, denumirea, definiţia şi formula de transformare în alte unit ăţi. 25

Plecând de la rela ţia de definiţie a mărimii derivate se stabilesc, în aceast ă ordine: ia dimensiunilor  mărimii derivate din rela ţia prin care se determin ă a) ecua ţ ia această mărime; ia unit ăţ  ii, prin înlocuirea mărimilor fundamentale din ecuaţia b) ecua ţ ia ăţ ii dimensiunilor cu unităţile fundamentale corespunzătoare. Pentru că  în ecuaţia dimensiunilor nu apar coeficienţi numerici, aceştia nu vor apare nici în ecuaţia unităţii; ii se face cu ajutorul ecua ţiei unităţii sau direct din rela ţia de c) denumirea unit ăţ  ăţ ii definiţie; d) defini ţ ia ia, în care unitatea mărimii respective se ob ţine în cazul în care toate celelalte mărimi vor fi egale fiecare cu unitatea corespunz ătoare fiecăreia; e) formula de transformare, care se ob ţine din ecuaţia unităţii înlocuind unităţile fundamentale cu formulele lor de transformare. Drept exemplu, să stabilim unitatea pentru energie din rela ţia W = 1 2 mv 2 , care conţine coeficientul numeric 1 2 , având numele special Joule şi simbolul J. a) [W ]LTM = L2T -2M;  b) W  SI  = m 2 ⋅ s -2 ⋅ kg;  c) 1m 2 ⋅ s -2 ⋅ kg=1J;  d) W  = 1J  dacă m = 2kg şi v = 1m s . Definiţie:  Joule-ul este energia cinetică  a unui corp cu masa de două kilograme, care se deplasează cu o viteză de un metru pe secund ă. e) 1J = 104 cm 2 ⋅ 1s-2 ⋅ 103g= g=105cm cm 2 ⋅ s -2 ⋅ g=107er e rg . Unităţile derivate stabilite prin procedeul de mai sus se mai numesc coerente. Coerenţa este dimensional ă, deoarece la baza definiţiei acestor unit ăţi stă ecuaţia dimensiunilor mărimii. În consecinţă, indiferent de relaţiile care conţin mărimea respectiv ă (în cazul de sus energia) se ob ţine aceeaşi ecuaţie a unităţii mărimii. Două  unităţi sunt identice  numai dacă  atât ecuaţia unităţii, cât şi definiţia sunt aceleaşi. De exemplu, deşi au aceea şi ecuaţie, unitatea pentru momentul forţei şi pentru lucrul mecanic nu au aceea şi definiţie. Deşi mărimile au aceleaşi dimensiuni, ele sunt de natură diferită, în consecinţă unităţile celor două m ărimi au denumiri diferite: 1N ⋅ m ≠ 1J.  Diferenţierea procedeelor de măsurare atrage după sine diferenţierea definiţiilor unităţilor. 1.18 Sisteme de unit ăţi

Un sistem de unităţi trebuie să  posede un grup de unităţi fundamentale. Unui sistem de dimensiuni îi pot corespunde mai multe sisteme de unit ăţi, ca de exemplu sistemului de dimensiuni LMT îi corespund sistemele de unit ăţi  MKS  (metru-kilogram-secund ă) şi CGS  (centimetru-gram-secund ă). Pentru folosirea practică  a sistemelor de unit ăţi este nevoie ca unit ăţile fundamentale să  fie concretizate şi păstrate în condiţii speciale, ceea ce se realizeaz ă sub forma etaloanelor . Nu se realizează îns ă etaloane pentru unităţile fundamentale ale tuturor sistemelor de unit ăţi. Unităţile fundamentale ale altor 26

sisteme de unit ăţi decât sistemul principal se definesc prin anumite rela ţii în funcţie de unităţile sistemului principal. Ca exemplu prezent ăm cazul sistemului CGS , unde centimetrul şi gramul diferă de metru şi kilogram. Nu se realizeaz ă alt etalon pentru centimetru sau gram, ci se definesc în func ţie de metru şi kilogram astfel: 1cm=10-2 m; 1g=10-3 kg; 1s=1s Un sistem de unit ăţ  ii: ăţ i trebuie să îndeplinească anumite condi ţ   ţ ii - să fie  practic, adică la măsurarea mărimilor uzuale să nu fie nevoie de valori foarte mari sau foarte mici; - să fie general, care să se aplice în toate capitolele fizicii; - să fie coerent , în care unităţile derivate se formeaz ă după principiul coerenţei dimensionale; între aceste unit ăţi nu există coeficienţi numerici; - unităţile fundamentale să  fie independente  între ele din punct de vedere dimensional. Din acest punct de vedere chiar şi Sistemul Internaţional are neajunsuri, deoarece în definiţia amperului se folose şte metrul şi kilogramul. 1.19 Etaloane şi măsuri

În paragraful 1.15 s-a arătat că  pentru folosirea unităţilor este nevoie de concretizarea acestora, prin rela ţiile de definiţie sau de determinare a m ărimii, conform unor operaţii precizate. Întrucât pentru mărimile fundamentale concretizarea nu se poate obţine în acest mod, se folosesc aşa numitele etaloane. Etaloanele trebuie s ă satisfacă o serie de cerin ţe, printre care: - să poată fi reconstituite in orice moment; - să prezinte variaţii minime faţă de influenţa factorilor externi (presiune, temperatură, umiditate etc; - materialele din care sunt confec ţionate să  nu sufere modificări de structură fizico-chimică în timp; - să fie uşor de folosit în tehnica de măsurare. Trebuie precizat că nu este nevoie ca pentru toate unit ăţile fundamentale din diferite sisteme de unit ăţi s ă existe câte un etalon. Cu toate acestea, numărul etaloanelor este egal cu numărul unităţilor fundamentale. Metrologia se ocupă  cu realizarea şi conservarea etaloanelor. Etaloanele sunt de mai multe ordine:  prototip, etalon de primul ordin, de ordinul doi, de ordinul trei etc. Etaloanele prototip de lungime şi masă  (metrul şi kilogramul) sunt depozitate în camerele speciale ale pavilionului Breteuil de la Sèvres – Franţa. Cu acestea sunt închise etaloane de prim ordin. După  acestea se realizeaz ă  copii, care constituie etaloane de ordinul doi, care se distribuie diferitelor ţări. În aceste ţări se construiesc etaloane de ordinul trei, folosite de institutele meteorologice şi institutele de cercet ări. După  aceste etaloane de ordinul trei se realizeaz ă măsurile, care sunt folosite în practica zilnic ă. Există măsuri de lungime – rigle, rulete, de mase – cutia cu greut ăţi, ca şi măsuri ale unor unităţi derivate - de exemplu măsurile de capacitate. 27

Tendinţa actuală  este ca în locul etaloanelor artificiale să  se folosească etaloane naturale. Astfel, pentru etalonul de lungime s-a c ăutat lungimea de undă  a unei radiaţii electromagnetice emise în anumite condi ţii, apoi lungimea drumului parcurs de lumină în vid, într-un interval precizat de timp. 1.20 Sisteme coerente de unit ăţi

Unităţile pot fi alese arbitrar, îns ă o astfel de alegere a unei unităţi pentru fiecare mărime ar conduce la introducerea de noi factori numerici în ecua ţiile  între valorile numerice. Este totuşi posibilă şi chiar logică alegerea unui sistem de unităţi astfel ca ecua ţiile între valori numerice (cu factorii numerici inclu şi) să aibă  aceeaşi formă  cu ecuaţiile corespunzătoare între mărimi. Un sistem de unităţi definit în acest mod se numeşte coerent  în  în raport cu sistemul de mărimi şi de ecuaţii considerat. Sistemul Interna ţional de Unităţi SI este un astfel de sistem. Acest sistem este dat în ISO 31-1, ISO 31-10, ISO 31-12 şi ISO 31-13. Unităţile necoerente sunt legate de cele coerente prin rela ţii cu coeficien ţi numerici, ca de exemplu caloria în funcţie de joule: 1cal=4,18J Pentru un sistem anumit de mărimi şi ecuaţii se obţine un sistem coerent ile de unităţi definind mai întâi unităţile mărimilor fundamentale, adică unit ăţ  ăţ ile  fundamentale. Pentru fiecare mărime derivată, definiţia unit ăţ  ii derivate ăţ ii corespunz ătoare în funcţie de unităţile fundamentale se d ă  printr-o expresie algebric ă obţinută  prin înlocuirea în produsul de dimensiuni a simbolurilor dimensiunilor fundamentale cu simbolurile unităţilor fundamentale. În cazul particular al unei mărimi cu dimensiunea unu, unitatea este 1. Într-un astfel de sistem coerent de unităţi, nici un factor numeric diferit de numărul 1 nu figureaz ă  în expresiile unităţilor derivate (date în funcţie de unităţile fundamentale) - a se vedea exemple în tabelul 2. Tabelul 2. Unităţi derivate într-un sistem coerent de unităţi Mărimea Ecuaţia Dimensiunea Simbolul

unităţii

derivate Viteză Forţă Energie cinetică

Energie potenţială Energie mecanică

28

dl v= dt  d 2l F =m 2 dt  1 Ec = mv 2 2 E p = mgh 1 E = mv 2 + mgh 2

LT −1

m ⋅ s -1

MLT −2

kg ⋅ m ⋅ s-2

ML2T −2

kg ⋅ m 2 ⋅ s -2

ML2T −2 ML2T −2

kg ⋅ m 2 ⋅ s -2 kg ⋅ m 2 ⋅ s -2

Randament energetic Căldura molară Fluxul magnetic

η=

L  u

1

1

ML2T −2

kg ⋅ m 2 ⋅ s -2

L2 T-2MI -1

kg ⋅ m 2 ⋅ s -2 ⋅ A -1

L  c

dQ C =  ν ⋅ dT    Φ =  B ⋅ S 

ional de Unit ăţ  ăţ i, prescurtat SI, a fost adoptată Denumirea Sistem Interna ţ ional la a 11-a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi, în 1960. România a aderat la acest sistem prin hot ărârea Consiliului de Miniştri nr.550 din 31 august 1961. SI cuprinde patru categorii de unităţi: 1 -  fundamentale; 2 - derivate ăţ i derivate ce se exprimă  prin (grupele a, b şi c); 3 - suplimentare; 4 - unit ăţ  unit ăţ  ăţ i suplimentare. Acestea formează împreună sistemul coerent de unit ăţ  ăţ i SI. În 1960 CGPM (Conférence Générale des Poids et Mesures) a clasat unităţile pentru unghiul plan (radianul) şi unghiul solid (steradianul) în categoria unităţilor suplimentare. În 1980 Comitetul Internaţional de Măsuri şi Greutăţi a hotărât să  considere clasa unităţilor suplimentare în SI ca o clasă  de unităţi derivate f ără dimensiune. CGPM a lăsat libertatea fiecăruia de a le utiliza sau nu  în expresiile unităţilor SI derivate. Deşi în aceaste condiţii unitatea coerentă pentru unghiul plan şi pentru unghiul solid este numărul 1, în cele mai multe aplicaţii se utilizezează  totuşi denumirile speciale radian şi steradian  în locul numărului 1. În continuare vom considera unit ăţile suplimentare în cadrul unităţilor derivate cu denumiri speciale, astfel vor fi numai dou ă  categorii de unităţi – fundamentale şi derivate. ile fundamentale sunt: lungimea (unitatea metru, simbol m), ăţ ile 1. Unit ăţ  masa (kilogram, kg), timpul (secundă, s), curentul electric (amper, A), temperatura termodinamică  (kelvin, K), cantitatea de substanţă  (mol, mol), intensitatea luminoasă (candelă, cd). ăţ ilor  Defini ţ iile iile unit ăţ  ilor fundamentale Metrul reprezintă  lungimea drumului parcurs de lumină  în vid, într-un interval de timp de 1 299 792 458 dintr-o secundă. Prototipul kilogramului rămâne cel confirmat de prima Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi, de la Paris din 1889. Este confecţionat din platină iridiată. Secunda reprezentă durata a 9.192.631.77 9.192.631.7700 perioade perioade ale radiaţiei corespunzătoare tranziţiei între cele două  niveluri hiperfine ale stării fundamentale a atomului de cesiu 133. 1 Kelvinul reprezintă   din temperatura termodinamică  a punctului 273,16 triplu al apei. Molul reprezintă cantitatea de substanţă dintr-un sistem ce conţine atâtea entităţi elementare (atomi, molecule, grupări de molecule etc.) câţi atomi conţine 29

o masă de 0,012 kg de carbon carbon 12, adic adică un număr de atomi egal cu numărul lui Avogadro ( N  A = 6, 02 02252 ⋅10 23 mol −1 ) . Amperul reprezintă intensitatea curentului electric constant care, menţinut  în două  conductoare paralele, rectilinii, de lungime infinită, de secţiunea circulară  neglijabilă, aşezate în vid la o distan ţă  de 1m unul unul de celălalt, ar produce între cele două conductoare o forţă de 2 ⋅10 10−7 N  pe unitatea de lungime. Candela este intensitatea luminoasă, într-o direcţie dată, a unei surse care emite o radiaţie monocromatică cu frecvenţa de 540 ⋅1012 Hz şi a cărei intensitate radiantă în acea direcţie este 1 683 dintr-un watt pe steradian. Aceste unităţi fundamentale, ca şi etaloanele lor, nu sunt stabilite o dată pentru totdeauna prin definiţiile enunţate mai sus. Este posibil ca în urma cercetărilor din domeniile de vârf ale fizicii (corp solid, fizică nucleară etc.) să se impună elaborarea altor unităţi fundamentale. ăţ i derivate 2. Unit ăţ  Expresiile unităţilor derivate coerente în funcţie de unităţile fundamentale se pot obţine din expresiile produselor de dimensiuni şi utilizând următoarele substituiri formale: L → m; M → kg; T → s; I → A; Θ → K; N → mol; J → cd Se admite folosirea unor anumite combina ţii sau a anumitor denumiri speciale pentru a deosebi mărimile care au aceeaşi dimensiune. Se pot distinge trei grupe de unităţi derivate, notate în continuare cu a), b) b ) şi c) a) unităţi derivate exprimate prin unităţile fundamentale: aria ( m2 ) , volumul ( m3 ) , viteza ( m s ) , acceleraţia ( m s 2 ) , numărul de undă ( m -1 ) , densitatea ( kg m3 ) , densitatea de curent ( A m2 ) , intensitatea câmpului magnetic ( A m ) , concentraţia cantităţii de substanţă ( mol m3 ) . b) Unităţi derivate cu denumiri speciale (tabelul 3) Tabelul 3. Unităţi SI derivate cu denumiri speciale, incluzând i ncluzând şi unităţile SI suplimentare Mărimea derivată Unitatea SI derivată Denumire Simbol Expresie în funcţie de unităţi SI specială fundamentale şi/sau SI derivate

unghi plan unghi solid frecvenţă  forţă presiune, mecanică 30

radian steradian hertz newton tensiune pascal

rad sr Hz N Pa

1rad 1rad =1m/m= =1m/m=11 1sr =1m 2 /m 2 =1 1Hz 1Hz =1s-1 1N =1kg ⋅ m/s 2 1Pa =1 =1N/m 2 = kg m ⋅ s 2

enrgie, lucru mecanic, cantitate de căldură putere, flux radiant sarcină  electrică, cantitate de electricitate potenţial electric, diferenţă de potenţial, tensiune electrică, tensiune electromotoare capacitate electrică rezistenţă electrică  conductanţă electrică 

 joule

J

1J =1N ⋅ m =kg ⋅ m 2 s 2

watt coulomb

W C

1W =1J ⋅ s= m 2 ⋅ kg s 3 1C =1 =1A ⋅ s

volt

V

1V=1W/1A= J C = m2 ⋅ kg ⋅ s -3 ⋅ A -

farad ohm siemens

F

1F =1C/V= m2 ⋅ kg -1 ⋅ s 4 ⋅ A 2 1Ω =1V/A= m 2 ⋅ kg ⋅ s -3 ⋅ A -2 1S=1Ω -1 = A V= V = m-2 ⋅ kg -1 ⋅ s 3 ⋅ A 2

flux al inducţiei magnetice inducţie magnetică inductanţă temperatură Celsius

weber tesla henry grad Celsius lumen lux

flux luminos iluminare

�

S Wb T H °C

1Wb =1V ⋅ s = m 2 ⋅ kg ⋅ s -2 ⋅ A -1 1T =1 =1Wb/m 2 = kg kg ⋅ s 2 ⋅ A -1-1 1H =1Wb/A= m2 ⋅ kg ⋅ s -2 ⋅ A -2 1°C=1 C=1K

lm lx

1lm=1c m=1cd ⋅ sr 1lx=1l x=1lm/m 2 =1cd ⋅ sr m 2

Dintre unităţile S.I. derivate care conţin şi  unit ăţ  ăţ i suplimentare, pe lângă cele cu denumiri speciale (lumen şi lux), enumerăm viteza unghiulară ω ( rad s sau s-1 ) , acceleraţia unghiulară ε ( rad s 2 ) , intensitate atea energetică  ( W/sr ) , luminanţa sr -1 ⋅ m-2 ) . energetică ( W ⋅ sr  ţ ia ăţ ilor  Defini ţ  ia unit ăţ  ilor suplimentare S.I. Unghiul plan (simbol α, β, γ, δ, ϕ ...... ) este unghiul dintre două semidrepte care pornesc din acelaşi punct. Se defineşte ca raportul dintre lungimea arcului subîntins pe un cerc (cu centrul în punctul considerat) şi lungimea razei cercului, prin formula:  B  AB r  α= , (1.19) r  α  A unde  AB  este arcul subântins de laturile unghiului la centru, iar r  este raza cercului (fig.1). Unitatea de unghi plan este radianul, care reprezintă  unghiul plan cuprins între dou ă  raze ce Figura 1. Radianul delimitează  pe circumferinţa unui cerc un arc de  

 

31

lungime egală cu cea a razei ( AB = r ) . Unghiul plan maxim exprimat în radiani  

2πr  = 2 π rad. r  Unghiul solid (simbol Ω ) este unghiul solid al unui con. Se defineşte ca raportul între aria delimitată  pe suprafaţa unei sfere (având centrul în vârful conului) şi pătratul razei sferei, prin formula: ∆S  (1.20) Ω= 2   r  ∆S  r  unde ∆S    este suprafaţa intersectată  pe o sferă de α rază r   de un con cu unghiul la vârf 2α , având vârful în centrul sferei (fig.2). Unitatea de unghi h solid este steradianul. Un steradian reprezintă unghiul solid care, având vârful în centrul unei sfere, delimitează pe suprafaţa acestei sfere o arie egală cu cea a unui pătrat a cărui latură  este egală  cu raza Figura 2. Steradianul sferei ( ∆S = r 2 ) . De la geometrie se ştie că  aria segmentului de sferă ∆S  este dată  de formula ∆S = 2 πrh , unde h = r (1 − cos α) reprezintă înălţimea calotei sferice, astfel că corespunde unui arc de lungime 2πr , şi are valoarea α max =

∆S = 2πr 2 (1 − cos α) .

Conform definiţiei, formula unghiului solid Ω  va fi: ∆S  Ω = 2 = 2 π(1 − cos α) , (1.21) r  de unde prin diferenţiere obţinem: dΩ = 2 π sin α ⋅ d α . (1.22) Formula (1.21) indică relaţia dintre unghiul solid Ω şi unghiul plan α . c) Unit ăţ  ăţ i derivate care se exprimă folosind denumiri speciale (tabelul 4) Tabelul 4. Unităţi SI derivate cu folosirea denumirilor speciale Mărimea derivată Unitatea SI derivată Denumirea unităţii în Simbol Expresia în

SI momentul forţei metru- newton N⋅m densitate de flux termic, watt pe metru pătrat W m2 iluminare energetică capacitate termică joule pe kelvin JK capacitate termică masică  joule pe kilogram J kg ⋅ K kelvin 32

unităţi SI fundamentale m2 ⋅ kg ⋅ s -2 kg ⋅ s -3 m 2 ⋅ kg ⋅ s -2 ⋅ K -1 m 2 ⋅ s -2 ⋅ K -1

J/kg energie masică joule pe kilogram m2 ⋅ s -2 energie volumică joule pe metru cub J/m3 m-1 ⋅ kg ⋅ s-2 intensitate a câmpului volt pe metru V/m m ⋅ kg kg ⋅ s-3 ⋅ A -1 electric sarcină  electrică coulomb pe metru C/m3 m-3 ⋅ s ⋅ A volumică cub permitivitate farad pe metru F/m m-3 ⋅ kg -1 ⋅ s 4 ⋅ A 2 permeabilitate henry pe metru H/m m ⋅ kg kg ⋅ s-2 ⋅ A -2 energie molară joule pe mol J/mol m 2 ⋅ kg ⋅ s -2 ⋅ mol-1 capacitate termică molară joule pe mol kelvin J/mol ⋅ k m 2 ⋅ kg ⋅ s-2 ⋅ k -1 Din tabelul 4 se poate observa avantajul utilizării de simboluri sau denumiri speciale în expresiile unităţilor compuse. Astfel, utilizând unitatea derivată volt ( 1V=1m 2 ⋅ kg ⋅ s -3 ⋅ A -1 ), simbolul unităţii SI pentru permitivitate se poate scrie sub forma mai simplă s ⋅ A ⋅ m-1 ⋅ V -1 . Utilizând unitatea derivată  joule (1J=1m 2 ⋅ kg ⋅ s -2 ), simbolul unităţii SI pentru entropia molar ă se poate scrie sub forma simplă J ⋅ K -1 ⋅ mol-1 ; Unitatea unu Unitatea coerentă a oricărei mărimi cu dimensiune unu este unitatea unu, simbol 1. În general, acest număr nu se scrie în mod explicit când se exprimă valoarea unei asemenea mărimi (cu excepţia unor mărimi cu denumiri speciale, când, în funcţie de context, pot fi sau nu utilizate). Exemple: indicele de refracţie n = 1, 53 × 1 = 1, 53 , unghi plan α =0,5rad=0,5; unghi solid Ω =3,5sr=3,5. Simbolurile mărimilor Sunt constituite dintr-o singură  literă  a alfabetului latin sau grec, uneori cu indice interior sau alte semne distinctive. Se tipăresc cu caractere italice, indiferent de caracterele folosite în text. Indicii inferiori care reprezintă simbolul unei mărimi fizice se tipăreşte tot cu caracter italic, ca şi mărimea. Ceilalţi indici inferiori se tipăresc cu caractere romane drepte. Exemplul 5 Indici italici Indici drepţi

 p=presiunea) C  p  ( p C g (g = gaz)

 x=coordonata x) ∑ anbn (n=nr. curent)  p x  ( x µ r (r = relativ)

χ e (e = electric)

Simbolurile mărimilor trebuie tipărite cu litere mici, în afara acelor mărimi pentru care denumirea derivă de la un nume propriu ca de exemplu: e xemplu: m (metru); s (secundă); A (amper); Wb (weber) 33

1.21 Unităţile speciale

Se introduc pentru situaţii speciale întâlnite în anumite fenomene. Exemplul 6 Torrul se foloseşte ca unitate de presiune deoarece presiunile joase se măsoară cu manometrul cu mercur. Expresia torrului este: N 1torr=133,3 2 m Ora se foloseşte curent pentru măsurarea timpului în activităţile umane zilnice: 1h=60min=3600s Tabelul 5. Prefixe pentru multiplii şi submultiplii zecimali ai unităţilor SI

Factorul 10 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 10 24

Prefixul Denumire yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca

Factorul Simbol Y Z E P T G M k h da

10 10−21 10−18 10=15 10−12 10−9 10−6 10−3 10−2 10−1 −24

Prefixul Denumire yocto zepto atto femto pico nano micro mili centi deci

Simbol y z a f p n µ

m c d

Bibliografie ăţ i în Fizică, vol.I. Editura Tehnic ă, 1. Mircea Oncescu.  M ărimi  şi Unit ăţ 

Bucureşti, 1955 2. Traian I. Creţu, Corneliu Ghizdeanu.  Metode de măsurare  şi prelucrare a datelor experimentale – pentru uzul studen ţ ilor  ilor . Institutul Politehnic Bucureşti, 1980 3. Traian I. Creţu. Fizica Generală Vol.I. Editura Tehnică, Bucureşti, 1986 4. Jerome V. Scholle. Metrology. Addison Wesley Longman Inc., 1993 5. Institutul Român de Standardizare. Unit ăţ  ăţ i de M ăsur ă. Colec ţ ie ie de standarde. Editura Tehnică, Bucureşti, 1997 6. Arjana Davidescu.  Metrologie generală , Ed. Politehnică, Timişoara, 2001 7. Preben Horwath, Fiona Redgrave.  Metrology – in short , 2nd edition, MKom Aps, Denmark, 2003 8. Jay L. Bucher (editor), The Metrology Handbook , Measurement Quality Division, ASQ, 2004 34

9. T. W. Hansch, S. Leschiutta and A. J. Eallard. Metrology and Fundamental Constants, Course CLXVI, Società Italiana de Fisica, Bologna, 2007. 10. G. I. Barenblatt. Dimensional Analysis, Gordon and Breach Science Publishers, Amsterdam, 1987.

35

Tema 2 Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării. Forţe conservative. Oscilatorul liniar armonic, amortizat şi întreţinut. Compunerea oscilaţiilor paralele şi perpendiculare 2.1 Ecuaţiile diferen ţiale ale mişcării



Dacă asupra unui punct material de mas ă m  acţionează o forţă F , aceasta va imprima punctului material, conform legii a 2-a a dinamicii, accelera ţia:  

a=

F  m

 

(2.1) 



Se poate demonstra c ă ştiind raza vectoare r ( t ) şi impulsul  p ( t )   la un  moment oarecare de timp t , dată fiind forţa F  care în general este o funcţie de     r ( t ) , rɺ ( t ) şi t , se pot determina raza vectoare r ( t + dt )  şi impulsul  p ( t + dt ) punctului material la momentul t + dt  imediat ulterior. Introducem nota ţiile    ɺ  dr    r ( t ) = R şi  p ( t ) = P = mv = m = mR . dt 

(2.2)

Raza vectoare şi impulsul punctului material la momentul t + dt  vor fi:   ɺ  P   ɺ r ( t + dt ) = r ( t ) + r ( t ) dt = R + R ⋅ dt = R + ⋅ dt    m

(2.3)

    ɺ  p ( t + dt ) = p ( t ) + p ( t ) dt = P + F ⋅ dt  

(2.4)

Procedeul pote fi continuat din aproape în aproape, iar afirma ţia demonstrată este cunoscută sub numele de  principiul determinismului clasic, sau  principiul determinismului de tip Laplace. Să deducem ecua ţ iile iile de mi şcare  ale definiţiile acceleraţiei şi vitezei: 

a=



dv dt

 = vɺ ;



v=



dr dt

unui punct material, plecând de la

 = rɺ ;

2

d r   a = 2 = ɺrɺ.     dt   

(2.5)

Pentru simplificare vom considera o mi şcare rectilinie. Vom alege un sistem de referinţă  cu axa Ox   pe direcţia forţei F , şi astfel putem folosi numai mărimi scalare. Considerăm originea timpului în momentul începerii mi şcării ( t 0 = 0 ) . a=

dv dt 

v

t 

v0

0

⇒ d v = a ⋅ d t ⇒ ∫ dv = ∫ a ⋅ d t  

ia vitezei: Dacă F = const. ⇒ a =const. ⇒ v - vo = at, ş i obţinem ecua ţ ia

36

v = v0 + at  

(2.6)

 Ecua ţ ia ia coordonatei se obţine din defini ţia vitezei : v=

dx dt 

 x

t

t 

⇒ dx = v ⋅ dt ⇒ ∫ dx = ∫ v ⋅ dt ⇒ x − x0 = ∫ ( v0 + at ) ⋅ dt = v0 t +  0

 x0

0

a ⋅ t2

2

 

,

2

a ⋅ t 

. 2 ia lui Galilei: Eliminând timpul între ecuaţiile (2.6) şi (2.7) obţinem ecua ţ ia  x = x0 + v0t  +

v 2 = v02 + 2a ( x − x0 ) .

(2.7)

(2.8)

Prin înlocuirea acceleraţiei a  din legea a doua a dinamicii d inamicii se obţine v 2 = v02 + 2

 F  m

( x − x0 ) ,

de unde rezult ă: mv 2

mv02

− = F ( x − x0 ) = L  , (2.9) 2 2 unde L    reprezintă  lucrul mecanic efectuat de for ţa F   în timpul deplasării corpului de la  x0  la  x . Această ultimă relaţie scrisă sub forma: L   = ∆ E c  

(2.10)

constituie teorema energiei cinetice. 2.2 Punctul material în câmp de for ţe elastice

Forţa elastică  este una dintre cele mai întâlnite în practic ă şi în viaţa cotidiană, având o importanţă deosebită în multe domenii ale fizicii şi tehnicii. Forţa elastică are două proprietăţi importante: a) modulul forţei F el  este proporţional cu distanţa  x  faţă de poziţia de echilibru; b) forţa este îndreptată permanent spre pozi ţia de echilibru: Fel = − kx   (2.11) unde k  este constanta elastică a resortului (arcului). Forţa elastică  nefiind constant ă, lucrul efectuat de forţa elastică  care acţionează asupra unui punct material de mas ă m  deplasându-l între dou ă poziţii date de elongaţiile (distanţele faţă de poziţia de echilibru)  x0 şi  x , se determină astfel:  x

L  el

=∫  x0

  F ⋅ dr =

x

∫ −kx ⋅ dx = − x0

kx 2

2

 x

x0

 kx 2 kx02  = − −   2 2  

(2.12) 37

Înlocuind expresia (2.12) în teorema energiei cinetice ob ţinem mv 2

mv02

kx 2

mv02

kx 2

kx02

− =− + , 2 2 2 2 şi obţinem legea conserv ării energiei mecanice în cazul ac ţiunii forţei elastice: =

L  el

mv 2

kx02

+ = + = const.   (2.13) 2 2 2 2 ării energiei sub acţiunea forţelor O aplicaţie simplă  a legii conserv  elastice este imprimarea unei viteze v0 , pe direcţia axei Ox , unui resort de constantă  elastică k , nedeformat în starea ini ţială ( x0 = 0 ) (fig.1). Punctul material de masă m  legat de resort se va deplasa f ără frecare din starea iniţială  în punctul de coordonată  x = A ( A  este amplitudinea mişcării, unde v = 0 . Din legea conservării energiei obţinem: kA2

2

=

mv0

2

2

⇒  A = v0

m k 

.

(2.14)

 y m

v = 0

v0

k   x0 = 0

O

 x = A

 x

Figura 1. Legea conservării energiei pentru oscilatorul elastic de constantă k  i masă m

Să ar ătăm că un punct material efectueaz ă sub acţiunea unei forţe elastice o mişcare oscilatorie armonic ă, a cărei ecuaţie este dată de una din expresiile  x = A sin ( ωt + ϕ0 )  sau  x = A cos ( ωt + ϕ0 ) ,

unde  A  este amplitudinea mişcării, ω0 =

k  m

(2.15)

pulsaţia proprie a oscilatorului, iar

ϕ0  faza iniţială a mişcării. Vom scrie expresia energiei mecanice a sistemului:  E = Ec + E p =

m  dx 

2  dt  

2

+

kx 2

2

,

de unde rezult ă:  kx 2  2 2 E − kx 2 = ±  E − . m =± dt m 2  

dx

(2.16) 38

dx Impunând condi ţiile iniţiale t = 0 ⇒  x = A , din condiţia v = = 0   rezultă v=0 dt 

{

0=

2 E − kA2 m

 = , de unde  E  =

kA

2

2 dx dt

. Înlocuind în expresia (2.16) ob ţinem: k 

=±

m

⋅ ( A2 − x 2 )  

(2.17)

Integrând relaţia de mai sus, ob ţinem:

∫

dx 2

 A − x

2

k

=

m

∫

dt + C ⇒ arcsin

x A

=

k m

 

⋅t + C   

(2.18)

π

 = 0 , arcsin (1) = C ⇒ C  = , de unde: Din condiţia iniţială  x = A  la t  = 2

arcsin Cu notaţia

k  m

 x

 k π k  = ⋅ t + ⇒ x = A si n  ⋅ t +  = A cos ⋅ t     (2.19) m m m 2 2   k

π

= ω0 , ecuaţia oscilatorului armonic în cazul general devine:  x ( t ) = A cos(ω0t + ϕ0 ) .

(2.20)

2.3 Punctul material în câmp de for ţe centrale (conservative)

O forţă invers proporţională cu pătratul distanţei dintre două corpuri şi cu direcţia pe linia ce une şte centrele celor dou ă corpuri, este o forţă de tip central.   α r  F  = 2 ⋅   r r 

(2.21)

S-a considerat originea sistemului de coordonate în centrul unuia dintre corpuri, ţionează  cu cel de-al doilea ce creează  câmpul prin intermediul căruia interac  corp, a cărui poziţie este dată de raza vectoare r . Particularizând pe α  se poate obţine expresia for ţei gravitaţionale ( α = −Γ m1 m2 ), sau a forţei electrostatice  q1q2  α =  . πε ε 4 0 r   

Să arătăm că, în cazul mai general al unei forţe a cărei formula este:   α r  F  = n ⋅ , r r 

(2.22)

unde n  este un număr întreg nenul, energia mecanică  a sistemului celor două corpuri se conservă. 39

Se poate arăta că  legea conservării energiei se aplică şi în cazul unui sistem format din mai multe corpuri aflate în câmp câ mp de forţe centrale. Determinăm mai întâi expresia lucrului mecanic al for ţei (2.22): r2

L  12

=∫



r

r1

unde am folosit faptul



r2

αr ⋅ d r

=∫

n +1

αdr 2

2r r1

n+1

α 2 dr 2   r 

=

2 ∫r 1 r n+1

, 2

          dr  c ă dr = d(r ⋅ r ) = dr ⋅ r + r ⋅ dr = 2r ⋅ dr ⇒ r ⋅ dr  = 2

2

n +1

2

Efectuăm schimbarea de variabil ă r = x => r L  12

=

α

 x2

2  x∫1

dx n +1

 x

=

α

2

−

⋅

2 −

n +1

 x2

+1

x 2 n +1

2

=

1− n  x2 αx 2

1− n

+1

n +1

2

=x

şi integrăm definit:

1− n r 2

αr ( )   α  r21−n − r 11−n    (2.23) = = 1 − n r  1 − n 1

 x1

 x1

.

Se constată următoarele cazuri particulare:  kr12 kr22   + = − − Cazul 1: n = −1 şi α = −k  ⇒ L12 = −  = − ∆E  p , unde 2 2 2 2   2

2

kr2

kr1

el

2

 E  pel =

kr 

2

 este energia poten ţială elastică. Conform teoremei energiei cinetice: 2

L  12 = ∆ E c

=

2

mv2

−

2

mv1

2

,

de unde se obţine 2

mv1

2

kr1

2

mv2

2

kr2  

, 2 2 2 2 adică legea conservării energiei în câmp de for ţe elastice. +

=

Cazul 2: α = −Γ m1 m2 , n = 2 , ⇒L  12 = − =

α r1

−

α r 2

= − ∆ E  p , unde  E p grav

grav

(r) =

α r 

+

(2.24)

 1 1 Γ m1m2 −1 −1  r2 − r1  = Γm1m2  −  = −1  r2 r 1 

+ C  este energia poten ţială gravitaţională.

Din teorema energiei cinetice ob ţinem L  12 = ∆ Ec = −∆E p , de unde rezultă:  

mv22

2

−

mv12

2

=−

Γm1m2 r1

+

Γm1m2 r2

⇒

mv12

2

−

grav

Γm1m2 r1

=

mv22

2

−

Γm1m2   r2

, (2.25)  

care constituie legea conserv ării energiei în câmp de for ţe gravitaţionale.

40

Valoarea constantei C   din formula de defini ţie a energiei potenţiale gravitaţionale se determin ă din condiţia de zero pentru  E  p grav , adică în funcţie de alegerea punctului în care energia poten ţială are valoarea zero.  E pgrav ( r ) =L  r →∞ =

α r

+C =−

Γ m1 m2 r 

+ C  

(2.26)

Din (2.26) rezultă interpretarea fizică a energiei potenţiale gravitaţionale: lucrul mecanic efectuat de forţa gravitaţională pentru a deplasa unul dintre cele dou ă corpuri din pozi ţia în care distanţa dintre corpuri este r , până  la infinit. Pentru  = 0.  → ∞ , de unde C  = sistemul Pământ-corp se poate alege  E  p grav = 0  când r  → Dacă alegem  E  p grav = 0  când r = R p  (corpul pe suprafa ţa Pământului), atunci α

α

α

=− C = − şi E  pgrav = −  R p r R p

Γ Mm r

+

ΓMm   R

,

(2.27)

unde am folosit nota ţia m1 = M  pentru masa P ământului şi m2 = m  pentru masa corpului aflat în câmpul gravita ţional al Pământului. Se observă că, indiferent de alegerea configuraţiei de zero, şi deci a constantei C , expresia diferenţei între energia potenţială pentru două poziţii oarecare rămâne aceeaşi.  Exemplul 1. Să  deducem

expresia lui ∆ E  p  în cazul deplasării corpului de mas ă m  între două poziţii aflate în apropierea suprafeţei Pământului. ∆ E p

grav

grav

= E p2 − E p1 = −

Γ Mm r2

+

Γ Mm r1

1

= ΓMm 

 r1

−

1

 

(2.28)

r2   

Însă din r1 = R p + h1 şi r2 = R p + h2 rezultă: ∆ E p

grav

=

Γ  Mm

( R

+ h1 ) ( R p + h2 )  p

(R

+ h2 − R p − h1 ) = p

Γ Mm ( h2 − h1 )

(R

+ h1 ) ( Rp + h2 ) p

  (2.29)

În aproximaţia considerată (h1 << R p şi h2 << R p )  formula (2.29) ia forma: ∆ E p

grav

≈

Γ  Mm  R p2

(h2 − h1 ) = mg0 ∆h ,

(2.30)

unde s-a folosit expresia acceleraţiei gravitaţionale la suprafaţa Pământului: g0 =

Γ  M   R p2

.

(2.31)

Reiese clar incorectitudinea afirma ţiei “energia potenţială gravitaţională a unui corp de mas ă m   aflat la înălţimea h faţă  de suprafaţa Pământului este 41

 E pgrav = mg 0 h ”.

Însă afirmaţia “diferenţa dintre energia poten ţială gravitaţională a unui corp de mas ă m  aflat la o înălţime h  neglijabilă fa ţă de raza Pământului şi a aceluiaşi corp aflat la suprafa ţa Pământului, este ∆ E p = mg 0 h ” este corectă. grav

 Exemplul 2 Să se

determine înălţimea până la care poate ajunge un proiectil lansat de m la suprafaţa Pământului pe vertical ă  în sus cu viteza ini ţială v0 = 6435 , s neglijând efectul mi şcării de rotaţie a Pamântului. Se cunosc raza medie a Pământului  R = 6400km , masa Pământului  M  = 5, 96 ⋅10 24 kg şi constanta 3 −11 m atracţiei gravitaţionale Γ = 6,67 ,67 ⋅ 10 . kg ⋅ s

 Rezolvare

Se scrie legea conserv ării energiei între cele dou ă poziţii ale corpului : −

ΓmM r

+

mv02

=−

2

Γ mM   , R+h

de unde se ob ţine înălţimea h : h=

 R 2Γ  M  v02 R

=

R

−1 2 −1

=

R

2

= 3200km .

Dacă am fi calculat înălţimea din formula lui Galilei v02 = 2 g 0 h , am fi 2

obţinut h =

v0

2 g0

= 2112,7km . Acest rezultat diferă substanţial de cel corect, din

m  este o aproximare bun ă s2 numai pentru în ălţimi mici faţă de suprafaţa Pământului. cauză că valoarea acceleraţiei gravitaţionale g 0 = 9,8

2.4 Legea conserv ării energiei mecanice

Plecând de la defini ţia lucrului mecanic s-a demonstrat teorema energiei 2

cinetice pentru un punct material:

  L  12 = F ⋅ dr = Ec − Ec = ∆Ec .  2 1

∫1

Să  deducem

această teoremă analitic. d dt

 Ec =

m d

⋅

2 dt

( vx2 + v y2 + vz2 ) =

m

dv x

2

dt

 2v x

+ 2v y

dv y dt

+ 2v z

dvz 

=

dt   

42

dy dz   dx v F v F v F v Fx + Fy + Fz ,   = x x + y y + z z = ⋅F = dt dt dt dt dt dt   de unde rezult ă în cazul unei for ţe care nu variază în timp,   dEc = Fx dx + Fy dy + Fz dz = F ⋅ dr dr = dL , (2.32)

= mv x

dv x

+ mv y

dv y

+ mv z

d vz

L     este lucrul mecanic elementar. Integrând între starea ini ţială  (1) şi unde d L   finală (2) obţinem: 2

   Ec2 − Ec1 = F ⋅ dr  

∫1

(2.33)

În unele cazuri particulare de for ţe integrala din (2.33) nu depinde de drum, astfel că poate fi scrisă ca diferenţa dintre valorile unei mărimi ce depinde numai ială  a corpului, în cele dou ă stări (1, de coordonate, numit ă energie poten ţ ial respectiv 2). În acest caz forţa F  se numeşte  for  ţă  conservativă, deoarece sub acţiunea acestei forţe energia mecanică a corpului se conserv ă în timp. 2

∫1

2   F ⋅ dr = − dE p = E p1 − E p2 = − ( E p2 − E p1 ) = − ∆E p . 

∫1

(2.34)

Comparând (2.33) şi (2.34) se obţine: ∆ Ec = −∆ −∆E p ⇒ Ec2 − Ec1 = E p1 − E p2 ⇒ Ec2 + E p2 = Ec1 + E p1 ,

adică  E1 = E 2

Forma diferenţială a relaţiei (2.34): F x dx + Fy dy + Fz dz = − dE p ( x , y, z)  

(2.35)

ială totală exact ă. se mai nume şte şi diferen ţ ial Expresia (2.35) se mai poate scrie şi astfel: F x dx + Fy dy + Fz dz = −

de unde rezult ă F  x = −

∂ E  p δ   x

, F  y = −

∂ E p

∂ E  p δ   y

δ x

dx −

∂E p δy

şi F  =−  z

 F = −grad E p .

dy −

∂ E  p δ   z

∂E p δz

dz ,

, sau echivalent:

(2.36)

Prin gradientul unei func ţii scalare de coordonate în ţelegem operatorul diferenţial “nabla”, care este un vector: 43

nabla

 ∂  ∂  ∂ =∇=i + j + k    ∂ x ∂y ∂z

(2.37)

aplicat funcţiei respective, în cazul nostru  E p ( x, y, z ) :  ∂ E p  ∂E p  ∂E p + j + k  grad E p = ∇E p = i ∂ x ∂y ∂z

 

(2.38)

Dacă  pentru oricare pereche de dou ă  componente ale forţei facem operaţiile următoare: 2

∂ ∂  ∂ E p − F  x =  ∂ y ∂y  ∂x

∂ E p  = −  ∂y∂x  ∂ 2 E p ∂ ∂  ∂ E p  F  y = − =−   ∂ x ∂x  ∂y  ∂x∂y

 ∂ 2 E p ∂ 2 E p  = se obţine, în condi ţiile teoremei lui Schwartz    egalitatea: ∂ ∂ ∂ ∂  x y y x   ∂F  x ∂F  y = , ∂ y ∂x ∂F  y

de unde, prin permut ări circulare obţinem

∂ z

(2.39) =

∂F z ∂F ∂F  , respectiv  z = x . ∂y ∂ x ∂z 

Definind operatorul diferenţial “rotor” aplicat unui vector v  prin relaţia   (2.40) rot v = ∇ × v   şi aplicând acest operator

vectorului

 F , obţinem:

 ∂      ∂  ∂     ∂F x   ∂F  y   ∂F z  + (i × j ) + i ×k    + rot F =  i + j + k  × iFx + jFy + kFz =  ( i × i )  x y z  x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂x    

(

   ∂F  x

+ (  j × i )



∂ y

  ∂F

=i 

 z

 ∂ y



 ∂F y

+ ( j × j)

−

∂F y  + ∂z 

∂ y

)



 ∂F   z

+ ( j × k )

  ∂F ∂F j x − z ∂x  ∂z

(

   ∂F x

 + ( k × i )

∂y 



∂z



 ∂F y

+ (k × j )  i

Fy      unde s-a ţinut cont de relaţiile dintre versorii i ,  j şi k  : i × i =                şi ( i × j ) = k ; i × k = − j ; ( j × i ) = − k ; j × k = i ; k × i = j ;

)

(

)

(

)

=  ∂ z 

 ∂ ≡ ∇×F ∂z

∂ ∂y

F x

(

 ∂F    z

+ ( k × k )

 k 

 j

   ∂F y ∂Fx   ∂  + k  ∂x − ∂y  = ∂x   

∂z



)

(

( 2.41) 

F z     j × j = k × k =  0    k × j = −i .

)

44

Astfel, ţinând cont de identit ăţile (2.39) se obţine 



rot F = ∇ × F  = 0  

(2.42)

care este o condiţienecesară şi suficientă ca forţa să fie conservativă.  Din relaţia F ⋅ dr = − dE p   rezultă că  E  p  este definită până la o constant ă ce este determinată din condiţia ca  E  p  să aibă valoarea aleasă într-un punct. Sumând relaţiile de tipul 2

 Eci2 − Eci1

  = Fi ⋅ dr i  

∫1

(2.43)

pentru toate punctele materiale ale unui sistem, ob ţinem: 2

 Ec2 − Ec1 =

∑∫

  Fi ⋅ dri =

2

∑∫

1 n

n

i =1

i =1

 int  Fi ⋅ dri +

2

∑∫

1

 ext  Fi ⋅ dr i ,

(2.44)

1

unde  Ec2 = ∑ Eci2 ; Ec1 = ∑ E ci1 . Aceste integrale depind, în cazul general, de traiectoriile tuturor punctelor sistemului. 2





În cazul forţelor interioare de tip conservativ, integralele ∫ Fiint ⋅ dr i  nu depind de 1

drum, şi putem scrie, sub formă diferenţială sau integrală: 2   int   int Fi ⋅ dr dri = − dE pi ( xi , yi , zi ) ⇔ Fi int ⋅ dr dri = − ( E ipni t2 − E ipni1t  )  

∫1

(2.45)

Sumând pe toate particulele sistemului ob ţinem:

∑ int

 E  p

  Fi int ⋅ dr = − dE ipnt ( x1 , y1 , z1 ; x2 , y2 , z2 ;....) ⇔ i

2

∑∫

  Fi int ⋅ dr dri = − ( E ipn2t − E ipn1t  ) (2.46)

1

 fiind energia poten ţială a întregului sistem datorat ă forţelor interioare, iar int

 E p2 =

n

∑1 E i=

int pi2

n

; E p1 = ∑ E ipin1t int

i =1

Din (2.44) obţinem: 2

int

int

 Ec2 − Ec1 = E p1 − E p2 +

∑∫ 1

 ext  Fi ⋅ dri ⇔ ( Ec2 + Eipn2t ) − ( Ec1 + Eipn1t ) =

2

∑∫

 ext  Fi ⋅ dr i ,

1

(2.47) formulă  valabilă  în cazul general când asupra sistemului ac ţionează forţe exterioare neconservative. 45

Dacă sistemul nu suferă acţiuni din exterior şi toate forţele interioare sunt conservative, atunci:  Ec2 + E pin2t = Ec1 + E ipn1t ,

sau, renunţând în acest caz la indicele “ int”:  Ec2 + Ep 2 = Ec1 + E p1 ,

(2.48)

adică legea conservării energiei mecanice pentru sistemul de n  puncte materiale.  Exemplul 3 a) Să se demonstreze relaţia          a × b ×c = b (a ⋅ c) − c a ⋅b

(

)

(

)

b) Să se deducă relaţia: 





rot ( rota ) =grad ( diva ) -grad 2 a , sau echivalent 





∇ × ( ∇ × a ) = ∇ ( ∇ ⋅ a ) − ( ∇ ⋅ ∇) a  Rezolvare

a)

    b × c = i ( b y cz − bz c y ) + j ( bz cx − bx cz ) + k ( bx cy − by cx )     a × b × c = i  a y ( bx c y − by cx ) − az ( bz cx − bx cz )  +     + j  a z ( by cz − bz c y ) − ax ( bxc y − by cx )  + k  ax ( bz cx − bx cz ) − ay ( by cz − bz cy )  =   = i ( a y bx c y − a y by cx − az bz cx + az bx cz ) + j ( az by cz − az bz cy − ax bx cy + ax by cx ) +      + k ( a xbz cx − axbx cz − a y by cz + a y bz c y ) = ax cx by j + b z k + a y c y bx i + bz k   +         + a z cz ( bx i + by j ) − ax bx c y j + cz k − a y by cx i + cz k − az bz ( cx i + cy j ) .

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

Adăugând la expresia ob ţinută următorii termeni, a căror sumă este de fapt zero:       a xbx cx i + a y by c y j + az bz cz k − ax bx cx i − ay by cy j − az bz cz k  

şi grupându-i corespunz ător, se obţine în final:          a × b × c = b (a ⋅ c) − c a ⋅ b

(

)

(

). 



b) Se aplică rezultatul de la punctul a), înlocuind formal pe a  cu ∇ , pe b  cu ∇ , şi pe c  cu a . 46

2.5 Mişcarea oscilatorie 2.5.1 Oscilatorul armonic liniar (pendulul elastic)

Sub acţiunea unei forţe elastice  x0 = 0 un punct material de mas ă m  execută o mişcare oscilatorie armonic ă. Un exemple simplu este deformarea unui arc (resort). Să  deducem ecua ţia de  x mişcare a unui corp punctiform de mas ă Figura 2. Pendulul elastic m   sb acţiunea forţei elastice Fel = − kx . În fig.2  x0 = 0   în cazul resortului netensionat, când for ţa elastică  este zero. Corpul fiind scos din pozi ţia de echilibru şi lăsat apoi liber, asupra lui va acţiona forţa elastică datorată alungirii sau comprim ării resortului. Dependen ţa de timp a poziţiei corpului  x = x(t )  se obţine aplicând legea a doua a lui Newton: d 2x

ma = F ; a =

dt 2

⇒m

d 2x dt 2

= Fel = − kx kx ,

de unde obţinem ecuaţia diferenţială de mişcare a oscilatorului armonic liniar: m

Ecuaţia:

d 2x dt 2

2

a

d x dt

2

+b

+ kx = 0 .

(2.49)

dx

(2.50)

+ cx = 0  

dt  

este o ecuaţie diferenţială omogenă cu coeficienţi constanţi, cu soluţia generală: λt λ t   x = C1e 1 + C2 e 2 ,

(2.51)

unde C 1 şi C 2  sunt dou ă constante care se determin ă din condi ţiile iniţiale, iar λ1 şi λ 2  rădăcinile ecuaţiei caracteristice: 2 aλ + bλ + c = 0 ,

(2.52) Ecuaţia (2.52) s-a obţinut prin introducerea solu ţiei (2.51) în ecua ţia (2.50). Ecuaţia caracteristică a oscilatorului armonic liniar (2.49), este: mλ 2 + k  = 0 , (2.53) cu soluţiile: λ1,2 = ± −

unde am folosit nota ţia ω0 =

k  m

k m

= ±i

k  m

= ±iω0 ,

(2.54)

. Mărimea ω0  se numeşte  pulsa ţ ia ia proprie a

oscilatorului armonic liniar. Aceasta depinde de constanta elastic ă a resortului şi 47