DINÁMICA DE FLUIDOS
Propiedades de los Fluidos. Concepto de fluido. Fluido ideal. Viscosidad Tensión superficial. Capilaridad Estática. Presión en un punto. Ecuación general de la estática. Teoremas de Pascal y Arquímedes. Cinemática de fluidos. Descripciones Euleriana y Lagrangiana. Lagrangiana. Definiciones cinemáticas. Deformación de un fluido. Divergencia, cizalla y rotación. Vorticidad y teorema de Stokes. Función de corriente.
Leyes de conservación Ecuación de continuidad. Fuerzas en fluidos. Tensión en un punto. Conservación de momento. Ecuación constitutiva para fluidos newtonianos. Ecuación de Navier-Stokes. Soluciones particulares de la Ec. N-S. Ecuación de energía. Ecuación de Bernouilli. Aplicaciones. Flujo Potencial. Potencial de velocidades. Función de corriente. Ejemplos. Semejanza dinámica. Flujo laminar y turbulento. Número de Reynolds. Idea de capa límite. Leyes de semejanza.
Concepto de Fluido: Se conoce como fluido a todo cuerpo que carece de elasticidad de forma. Es decir decir no tiene una forma propia propia y se puede adaptar al recipiente que lo contiene. No presenta fuerzas internas tangenciales tangenciales o éstas son muy pequeñas. Los movimientos relativos entre partículas partículas fluidas no realizan trabajo.
Fluidos ideales: a) no responden a tensiones tangenciales. b) Son continuos. La propiedad a) implica que sólo existen fuerzas normales entre dos parcelas de fluido.
La hipótesis de continuidad del fluido permite hablar de densidad como función de punto.
ρ
Incertidumbre microscópica
Incertidumbre macroscópica
ρ0
δv*
δv
δv
ρ0
ρ
δm δv→δv* δv
= lim
Viscosidad. Existen fuerzas tangenciales: Fluidos Reales. La tensión es proporcional a la deformación: deformación:
δuδt τ → u =δu δθ
τ
δy
∝
δθ δt
u= 0
Se puede hacer la siguiente aproximación para deformaciones pequeñas: δθ
con esto se tiene que:
τ
=µ
d θ dt
=µ
du dy
≈ tan δθ =
δ uδ t δ y
⇒
Fluido Newtoniano.
dθ
du = du
dt
dy
µ coeficiente de viscosidad (viscosidad) . FT M [µ ] = 2 = L
u y
τ
= µ du dy
ν
=
µ ρ
LT
[ ]= Viscosidad cinemática. ν
2
L
T
Tensión superficial. aire
Las partículas fluidas están sometidas a fuerzas de cohesión lo que da lugar al fenómeno de tensión superficial en la separación de dos fluidos inmiscibles.
agua
Fσ
En el caso de una superficie alabeada, en general la diferencia de presión entre los lados de la interface depende de dos radios de curvatura.
Para superficies con curvatura la tensión superficial se equilibra con las fuerzas debidas a la diferencias de presión. F p
ρw
Si una superficie libre se limita por un contorno, se puede medir la fuerza debida a la tensión superficial. Y dicha fuerza por unidad de longitud da el coeficiente de tensión superficial.
Fp
Ejemplos:
ρa
F p R1
L>>R
F p
= 2 LR ⋅ ∆p
;
∆ p =
σ L
Fσ
= 2 Lσ
R2
F σ
F σ
1 1 ∆ p = σ + R1 R2
dl1
F p
= π R 2 ⋅ ∆p
;
∆ p =
Fσ
2σ R
= 2π Rσ
dl2
Estática. Presión. La presión es una magnitud escalar que se puede definir como la relación entre el módulo de una fuerza normal a una superficie y el área de la misma. Se cumple, para fuerzas normales: r F
r
= pS
La presión es función de la posición por lo que se puede hablar de campo escalar de presiones en le interior de un fluido. S1 =α1S S2 =α2S S3 =α3S 3
S2 F2
F
F=pS
F1
F1 = p1 S1 = p1 α1 S F2 = p2 S2 = p2 α2 S F3 = p3 S3 = p3 α3 S
S1 S
2
Por equilibrio: S3
1
F3
F1 =α1 F
F2 =α2 F
F α1 = p S α1 = p1 α1 S F α2 = p S α2 = p2 α2 S F α3 = p S α3 = p3 α3 S
F3 =α3 F
⇒
p = p1 = p2 = p3
Presión independiente de la orientación:
escalar
Distribución espacial espacial de la presión: Ley de Pascal. p+
dz
1
∂ p ∂ z
En las caras 1 y 2 la tensión normal es la presión en cada punto la fuerza que actúa sobre cada cara será: pdxdz Si existe equilibrio debe cumplirse:
dz
p1 dxdz = p2 dxdz = ( p1 +
2
∂ p dxdydz = 0 ∂ y
dx dy
p
∂ p ∂ y
dy) dxdz
∂p =0 ∂y
∂ p
lo mismo debe cumplirse en la dirección x: ∂ x = 0 En la dirección z, si consideramos que hay un campo gravitatorio el resultado es distinto. pdxdy− ( p+
∂ p dz) ∂ z
dxdy− ρ gdxdydz= 0
∂ p dxdydz = − ρ gdxdydz ∂ z
∂p = −ρg ∂z
con los resultados anteriores tendremos :
dz p= p0 − ρ gz
Con densidad constante (fluido homogéneo)
Ecuación de la Estática:
a=0;
F 1ext =
∇p ρ
−
= −ρ g
Ley de Pascal
⇒ ∆ p = − ρ g∆ z
∇ p ext a = − + F 1 donde En general la ecuación de movimiento se debe escribir: ρ internas.
dp
∇ p
ρ representan fuerzas
Aplicación de fuerzas de presión sobre cuerpos sumergidos: Principio de Arquímedes En un cuerpo sumergido en un fluido de volumen V y rodeado por una superficie A, se puede conocer la fuerza ejercida por el fluido sobre toda la superficie que rodea al cuerpo, a partir de la fuerza infinitesimal sobre un elemento de superficie extendida a toda ella.
A
dA
dF
r r dF = − pdA r r F = − Ñ pdA
∫
A
p = V
Ñ∫ A
gz
⇒
r
r F= Ñ ρ gz dA
∫
A
en caso de fluido homogéneo (densidad constante) r F
r z dA
−ρ
0p
r
= ρ g Ñ∫ A zd z dA
representa un vector cuyo módulo es el volumen rodeado por al superficie A y su vector unitario es ∇ z (Th. Gauss aplicado a un escalar)
r Por tanto F
r = ρ g V k Principio de Arquímedes.
La fuerza resultante en un cuerpo sumergido de densidad ρ’, teniendo en cuenta su peso y el empuje (fuerza calculada anteriormente) es:
r
∑F = Peso − Empuje = (ρ '− ρ) gV
Cinemática. Descripción Descripción Lagrangiana Se realiza en función del movimiento de las partículas que forman el fluido. Necesita identificar dichas partículas utilizando coordenadas de numeración. v( xn , yn , zn , t )
por ejemplo partícula que pasa por ( x1 , y1 , z1 ) en t = 0 : v( x10 , y10 , z10 , t )
Descripción Euleriana: Consiste en es estudio del movimiento según las velocidades de los puntos que ocupa el fluido sin importar qué partículas están en cada instante en cada punto. No reconoce a las partículas. v( x , y , z , t )
Derivada sustancial de una magnitud (escalar o vectorial) r
dv
Caso de la velocidad
dt
r
=
d dt
=
∂ r + v ⋅∇ ∂t
∂v r r + v ⋅ ∇v ∂t
∂vr derivada local ∂t r r v ⋅ ∇v termino advectivo.
r
Gradiente de la velocidad v :
∂v x ∂x r ∂v x ∇v = ∂y ∂v x ∂z
∂v y ∂x ∂v y ∂y ∂v y ∂z
∂vz ∂ x ∂vz ∂ y ∂vz ∂ z
Descripción del flujo (definiciones): (definiciones): línea fluida: fluida: línea formada por una sucesión sucesión de partículas partículas adyacentes. trayectoria: Recorrido de una determinada partícula partícula en el tiempo. línea de traza: Línea fluida formada formada por las partículas partículas que han pasado por determinado punto. punto. (emitidas desde un foco). línea de corriente: Línea tangente tangente al vector velocidad velocidad en cada punto para un instante dado. Se cumple que r r v P dl
r
r
con v = (u, v, w) y dl = ( dx, dy, dz) por lo que existen proporcionalidad entre componentes r dl r v
=
dx u
=
dy v
=
t = t o
dz w
r
v tubo de corriente: volumen encerrado por la superficie superficie engendrada por las líneas de corriente que se apoyan en una un a línea fluida cerrada. En flujo estacionario las líneas de corriente coinciden con las trayectorias. r ∂v =0 ∂t
DEFORMACIÓN EN UN FLUIDO.
Cuando en un sólido se aplican fuerzas externas se puede producir una deformación: Desplazamientos relativos entre las partículas que lo forman. En los fluidos la deformación que se produce se puede medir según la variación del campo de velocidades. δvp p
δs0 O
δr
p
δr
δsp
O
δsp= δs0 + δr ⋅ ∇s
δvp= δv0 + δr ⋅ ∇v
Deformación en el fluido
Deformación en el sólido
Sea
v = (u1 , u2, u3 ) ; r = ( x1 , x2 , x3 )
∂u1 ∂u 2 ∂ x1 ∂ x1 ∂u ∂u 2 ∇v = 1 ∂ x 2 ∂ x 2 ∂u1 ∂u 2 ∂ x3 ∂ x3
δv0
∂u 3 ∂ x1 ∂u 3 ∂ x 2 ∂u 3 ∂ x3
Tensor deformación de velocidad
Deformación lineal.
t t + dt
A
u1
B
A’ u1 +
δ x1
B’
∂u1 δx ∂ x1 1
(δ x1 ) '
u1dt
∂u u1 + ∂ x1 δ x1 dt 1
Deformación lateral.
t
∂u u1 + 1 δ x2 ∂ x2
t + dt
∂u u1 + ∂ x1 δ x2 dt 2
d α
B’
B
δ x2
u1dt
A
C δ x1
u1 u2
u2 +
∂u2 δx ∂ x1 1
A’
d β
C’ u2 dt
∂u u2 + ∂ x2 δ x1 dt 1
Los términos diagonales diagonales del tensor deformación representan las deformaciones deformaciones lineales y conjuntamente la variación relativa (deformación) volumétrica.
∂u ∂u1 ∂u2 ∂u3 = + + ∂ x ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 i
1
;
d
(δV ) =
δV dt
i
∂u ∂ x
i
i
El resto de términos llevan las variaciones de forma y las rotaciones del fluido. 1 ∂u1 ∂u 2 + → Cambios de forma por unidad de tiempo. Variaciones laterales laterales del campo ∂ x2 ∂ x1 2 de velocidades (Cizallas) 1 ∂u 2 ∂u1 → Rotación del fluido en el plano (1,2) − ∂ x1 ∂ x2 2 r Llamamos vorticidad al vector ω , que está relacionada con la velocidad según: r
ω =∇×u
Con las componentes:
ω1
;
∂u ∂u = 3 − 2 ; ∂ ∂ x x 2 3
ωi
ω2
= ε ijk
∂u k ∂ x j
∂u ∂u = 1 − 3 ; ∂ ∂ x x 3 1
ω3
∂u ∂u = 2 − 1 ∂ x1 ∂ x2
El tensor deformación es suma de los tres tensores vistos hasta ahora:
∂u1 0 0 ∂ x1 ∂u 2 0 Deformación Volumétrica A= 0 ∂ x2 ∂u3 0 0 ∂ x3 0 1 ∂u ∂u B = 2 + 1 2 ∂ x1 ∂ x2 1 ∂u ∂u 3 + 1 2 ∂ x1 ∂ x3
Se tiene que A + B =
1 ∂u1 ∂u 2 1 ∂u1 ∂u 3 + + 2 2 ∂ x2 ∂ x1 ∂ ∂ x x 3 1 1 ∂u 2 ∂u3 0 + ; Deformación lateral 2 ∂ x3 ∂ x2 1 ∂u 2 ∂u 3 0 + 2 ∂ x3 ∂ x2
∇v + ∇v 2
;
que representa la deformación del fluido propiamente.
0 1 ∂u ∂u C = 1 − 2 2 ∂ x2 ∂ x1 1 ∂u ∂u 1 − 3 2 ∂ x3 ∂ x1
1 ∂u 2 ∂u1 1 ∂u 3 ∂u1 − − 2 ∂ x1 ∂ x 2 2 ∂ x1 ∂ x3 1 ∂u 3 ∂u 2 = ∇v − ∇v ; Rotación − 0 2 ∂ x2 ∂ x3 2 1 ∂u 2 ∂u3 − 0 ∂ x3 ∂ x 2 2
Así el tensor gradiente de velocidad se puede poner como suma de los tensores A, B y C:
∂u1 ∂ x1 ∂u A+B+C= 1 ∂ x2 ∂u1 ∂ x3
Tensor rotación también se puede escribir:
∂u 2 ∂ x1 ∂u 2 ∂ x2 ∂u 2 ∂ x3
0 1 C = − ω3 2 ω 2
∂u3 ∂ x1 ∂u3 = ∇v . ∂ x2 ∂u3 ∂ x3
ω3
0
− ω1
− ω 2 ω 1 0
r
; 2C ≡ ( (ω ) ) = ( ( ∇ × v ) )
r
r
Por otra parte se cumple que δ r ⋅ ( (ω ) ) = ω × δ r , con lo que el campo de velocidades se puede poner como:
∇v + ∇v ∇ −∇ + δ r⋅ v v = 2 2 r ∇v + ∇v δ r ⋅ ( (ω ) ) ∇v + ∇v δ r ⋅ ( ( ∇ × v ) ) + = v0 + δ r ⋅ v0 + δ r ⋅ + 2 2 2 2 ∇v + ∇v 1 r vp = v 0 + δ r ⋅ + (ω × δ r ) 2 2 v p = v 0 + δ r ⋅ ∇ v = v0 + δ r ⋅
donde los tres términos del último miembro representan:
v0
traslación
∇v + ∇v 2
δr ⋅
deformación
1 r (ω × δ r ) 2
rotación.
Vorticidad : r
ω
r
r
r
ω
= ∇ ×u = rot u
r
∫
r
Definimos circulación según: Γ = Ñc v ⋅ dl r r r r por el teorema de Stokes se tiene: Ñ∫ c v ⋅ dl = ∫ s rot v ⋅ ds
∫
r
r v
dl
r
S C
r
es decir: Γ = S ω ⋅ ds que representa el flujo de la vorticidad a través de la superficie S r
Cuando la vorticidad es cero se dice que el movimiento es irrotacional ω
=0
Ejemplos: 1. vórtice sólido La velocidad angular es la misma en todo el fluido ω0. utilizando coordenadas polares: uθ = ω0 r ur = 0 uz = 0
2. vórtice irrotacional. La vorticidad en todos los puntos es cero excepto en el origen. c 0 uθ = ur = 0 → ω z = = 0 r
y la vorticidad: ω z =
1 ∂ r ∂r
(r uθ ) −
1. vórtice irrotacional. irrotacional.
1 ∂ur r ∂θ
= 2ω0
r
la vorticidad en el origen es ∞, ya que la circulación de v a lo largo de cualquier línea cerrada que contiene el origen O es finita y representa el flujo de la vorticidad. c
Γ = 2π r ⋅ = 2π c ≠ 0 (finito) r
r r
r
r
Γ = Ñ∫ v ⋅ dl =∫ ω ⋅ ds (th. Stokes)
r
→ω ≠ 0
ds → 0
en algú algúnn punt puntoo (O )
⇒
ω
→∞
Función de corriente Se dice que un fluido fluido es incompresible incompresible cuando se cumple: 1 dρ ρ dt
=0
o alternativamente
1 dδ V δ V dt
=0
no hay variación relativa de densidad (o volumen específico)
Según se ha visto en las deformaciones del fluido:
1 dδ V ∂ui δ V dt
=
∂xi
con lo que se puede decir que en fluidos fluidos incompresibles incompresibles se cumple: ∂ui ∂u1 ∂u2 ∂u3 = 0 ó ∇ ⋅ ur = 0 ó + + =0 ∂ ix ∂ 1x ∂ 2x ∂ 3x ∂u ∂v ∂w En movimiento plano: ∂ x+ ∂ y= 0 con ∂ z= 0
ó
w=0
(1)
(flujo solenoidal).
Las componentes de la velocidad se pueden tener de la derivación de una función escalar según: u
=
∂ψ ∂ y
;
v=−
∂ψ ∂x
donde se cumple la ecuación (1) porque las derivadas cruzadas son iguales:
∂u ∂v ∂ 2ψ ∂ 2ψ + = − =0 ∂ x ∂ y ∂ y∂ x ∂ x∂ y
La función ψ se llama función de corriente (Potencial de corriente)
ψ es constante a lo largo de las líneas de corriente
∂ψ ∂ψ dx + dy = 0 ∂ x ∂y
El flujo transcurre entre líneas de potencial de corriente constante. Los valores mayores de ψ quedan a la izquierda del movimiento. ∇ψ =
∂ψ ir ∂ψ rj vir ujr + =− + ∂ x ∂y
→
∇ψ ⊥
→
dψ = 0
r
r
−vi + uj
r v
r v
La diferencia de valores de dos líneas de corriente representan la cantidad de fluido que atraviesa una línea transversal (C ) en la unidad de tiempo (Flujo de volumen): ψ 1
ψ 2 −ψ 1
2
2
= ∫1 dψ = ∫1
r ∇ψ ⋅ d l =
Φ = ψ 2 − ψ 1
2
∫ 1
r r v × dl
v
C
ψ 2
r
r
= ui + vj
