INSTITUTO TECNOLOGICO DE ACAPULCO
Mecánica de fluidos
Análisis dimensional y semejanza Profeso: Francisco Rodríguez Barrientos INTEGRANTES DEL EQUIPO: Tevillo Betancourt cristhian Palacios Martínez Emmanuel Coria Hernàndez Jorge Ulises
1
INDICE Unidad 4 Análisis dimensional y semejanza
4.1................ 4.1................ Definición de análisis dimensional, modelos hidráulicos pg. 3 4.2…………………………….Semejanza geométrica, geométrica, cinemática cinemática y dinámica dinámica pg. 10 4.3…………………………………………………………. Parámetros dimensionales dimensionales pg. 13 4.4………………………………………………………………. Teorema π Buckingham pg. 16 4.5…………………………………………………………………………………… Problemas pg. 18
4.6…………………………………………………………………………………. Bibliografía Bibliografía pg. 20
2
Unida 4 Análisis dimensional y semejanza 4.1 definición de análisis dimensional, modelos hidráulicos Para resolver problemas prácticos de diseño en la mecánica de fluidos se requiere de desarrollo teórico y resultados experimentales Por la agrupación de cantidades en parámetros a dimensionales es posible reducir el número de variables que aparecen y hacen el resultado compacto aplicable a todas las situaciones similares De los curso de mecánica se pude decir que las ecuaciones deducida analíticamente son correctas para cualquier sistema de e unidades y en consecuencia cada grupo de términos en la ecuación debe tener la misma representación dimensional, esta ley se le conoce como homogeneidad dimensional Dicha ley ha utilizado para establecer las dimensiones de cantidades como la viscosidad Otra aplicación muy importante de esta ley se presenta en las situaciones donde las variables que intervienen en un fenómeno físico se conocen, mientras que la relación entre las variables se desconoce. Mientras un procedimiento conocido como análisis dimensional, el fenómeno puede formularse como una relación entre un conjunto de grupos a dimensionales de las variables, siendo un número de grupos menor que el de variables. Las ventajas inmediata de este procedimiento consiste en que se requiere una experimentación mucho menor para establecer la relación entre las variables se desconoce. Mediante un procedimiento conocido como análisis dimensional, siendo el número de grupos menor que el de variables. La ventaja inmediata de este procedimiento consiste en que se requiere una experimentación mucho menor para establecer la relación entre las variables en un rango dado. Además, la naturaleza de la experimentación se simplificara en forma considerable Para ilustrar esto, considérese el problema de determinar el arrastre F sobre una esfera lisa de dinámetro D que se mueve en forma comparativamente lenta con velocidad V a través de fluido viscoso. Otras variables involucradas son la densidad y la viscosidad, respectivamente, del fluido. Puede establecerse que el arrastre F es una función desconocida de variable. Es decir,
3
Para determinar experimentalmente la relación se requería un trabajo considerable, ya que solo una de las variables entre paréntesis debe modificarse cada vez, lo que resulta en la acumulación de muchas graficas. En la siguiente imagen se representa la relación posible de los resultados de este procedimiento, con la grafica de F contra D para diferentes valores de V. Sin embargo, cada grafica corresponde a un valor fijo de de manera que como se ve el diagrama, se requerían muchas graficas para hacer una descripción efectiva del
Proceso. Además, un método como este implica el uso de muchas esferas con diferentes diámetros y de muchos fluidos con diferentes viscosidades y densidades. Luego, puede verse que esto significa una investigación extremadamente larga y costosa. Se puede emplearse el análisis dimensional antes de abordar un programa experimental.
4
El análisis anterior del arrastre puede formularse mediante una relación funcional solamente entre dos grupos dimensionales.
Donde la naturaleza de la función g se desconoce. Sin embargo mediante experimento puede establecerse una curva única que relacione a π.
Supóngase que desea conocer el arrastre para la condiciones . El grupo a dimensional ( puede calcularse de inmediato mediante . Correspondiente a este valor de , el valor de se lee en la curva, como se muestra. Lugo se calcula mediante
Con el fin de establecer una curva como esta, puede utilizarse un túnel de viento o un túnel de agua donde, para una esfera el valor de puede justificarse fácil y continuamente con solo variar la velocidad V de la corriente libre. La fuerza se mide para cada valor de V de manera que los valores correspondiente de puede calcularse con facilidad. Luego, con tiempo y costo muchos menores, se establece una curva entre grupos a dimensionales que, como resultado del análisis dimensional, es válida cualquier fluido o para cualquier esfera en un flujo del intervalo de probado
De acuerdo con esto se encuentra ecuaciones que no depende de dimensiones y unidades es usual tener ecuaciones físicamente significativa. Luego, los grupos a 5
dimensionales mencionados antes son mejores para imitar procesos reales que las variables mismas en sí.
Estudios de modelos Para ayudar al diseñador frecuentemente se emprende estudios con modelos de estructuras y maquinas hidráulicas propuestas. Estos permite una observación visual del flujo y hacen posible la obtención de ciertos datos numéricos; por ejemplos, calibraciones de vertederos y compuertas, profundidades de flujos, distribuciones de velocidad, fuerzas en compuertas, eficiencia y capacidades de bombas y turbinas, distribuciones de presión y perdidas. Si se van obtener datos cuantitativos correctos de un estudio con un modelo, debe haber similitud geométrica exacta y (2) que la razón de las presiones dinámicas en puntos correspondientes sea una constante similares La similitud geométrica se extiende a la rugosidad de la superficie del modelo y prototipo. Si el modelo es un decimo del tamaño del prototipo en todas las dimensiones lineal, la altura de la proyecciones de rugosidades debe estar en la misma proporción. Para que las presiones dinámicas estén en la misma proporción en puntos correspondientes del modelo y el prototipo, las razones de los varios tipos de fuerzas deben ser las mismas en puntos correspondientes. Por tanto, paraqué se tenga una similitud dinámica estricta, los números de Mach, de Reynolds, de Froude y de Weber deben ser lo mismo tanto en el modelo como en el prototipo.
Flujos en tubos Cuando se tiene flujo a régimen permanente en un tubo, las fuerzas viscosas e inerciales son las únicas de importancia; de aquí que cuando se observa una similitud geométrica, el tener el mismo numero de Reynolds en el modelo y prototipo proporciona similitud dinámica. Los varios coeficientes de presión correspondiente son los mismos. Para con fluidos que tiene la misma viscosidad cinemática en el modelo y prototipo, el producto VD debe ser igual. Frecuentemente esto requiere muy altas velocidades en modelos pequeños.
Estructuras hidráulicas abiertas Las estructuras tales como canales de alivio, tanques amortiguadores, transiciones de canal y vertederos generalmente tienen fuerzas debida ala 6
gravedad y fuerzas inerciales que son mayores que las fuerzas viscosas y fuerzas turbulentas de corte Ene estos casos, la similitud geométrica y el mismo valor del número de Froude en modelos y prototipos producen una buena aproximación a la similitud dinámica; así
√
Ya que la gravedad es la misma, la razón de velocidad varía según la raíz cuadrada de la razón de escala ,
Los tiempo corresponde para que tenga lugar eventos (como el tiempo para que se pase una particular por una transición) esta relacionados; así
y
7
√
La razón de descarga
es
⁄
8
Las razones de fuerza, por ejemplo, sobre las compuertas
, son
Donde h es la carga. De igual manera, se pueden derivar otras razones pertinentes de manera que los resultados del modelo se puedan interpretar como el funcionamiento del prototipo. La figura 4. 3 muestra una prueba de modelo que se realizo para determinar el efecto de un rompeolas sobre la formación de ola en un puerto.
Maquinaria hidráulica La velocidad de rotación de maquinaria hidráulica presenta una variable adicional. Las partes móviles en una maquina hidráulica requiere un parámetros adicional para asegurar que los patrones de la línea de corriente sean similares en el modelo y en el prototipo. Este parámetro debe relacionar el flujo con la velocidad de las partes móviles. Para maquinas geométricamente similares, si los diagramas vectoriales de velocidad que entran o salen de las partes de movimientos son similares, se dice que las unidades son homogénea, es decir, que para propósito prácticos existen similitud dinámica. El número de Froude no es importante, pero los efectos del número de Reynolds pueden causar una discrepancia de 2 o 3% en la eficiencia entre modelos y el prototipo. El número de Mach también es de importancia en los compresores de flujo axial y en turbina de gas.
9
4.2 Semejanza geométrica, cinemática y dinámica En sentido general la semejanza es la indicación de una relación conocida entre dos fenómenos
Con frecuencia en mecánica de fluidos es la relación entre un flujo escala natural y un flujo que involucra fronteras más pequeña pero geométricamente similares
Sin embargo existes leyes de similitud de uso común de fluidos en que intervine flujos con fronteras similares. Por ejemplo existe, una relación de similitud entre un flujo comprensible subsónico y un flujo incompresible alrededor de un cuerpo deformado de manera preestablecida con respecto a la del flujo compresible. De la misma manera, en hidrología se utilizan modelos de ríos que son geométricamente similares en una vista de planta, pero que a menudo no son similares con respecto a la profundidad del rio real. Dos flujos compuestos por conjuntos similares de líneas de corriente se conocen como flujos dilemáticamente similares. Debido a que las fronteras formaran algunas de la líneas de corrientes, los flujos cinematicamente similares también debe ser geométricamente similares. Sin embargo el inverso de esta afirmación no es cierto, ya que es fácil encontrar flujos cinematicamente no similares a pesar de tener fronteras geométricamente similares.
Se le conoce como similitud dinámica a la distribución de fuerza entre dos flujos tal que en puntos correspondientes de esto, existen tipos idénticos de
10
fuerzas paralelas y además tiene una relación con el mismo valor para todos los puentes correspondientes entre los dos flujos, Además, esta relación debe ser la misma para todos los tipos de fuerzas presentes. Luego, para flujos dinámicamente similares existirá esta misma relación entre las fuerzas resultantes correspondientes que actúan sobre las fronteras correspondientes, Se demuestra que los flujos deben ser cinematicamente similares y, además, deben tener distribuciones de masa tales que la relación de las densidades en puntos correspondientes de los flujos sea de la misma para todos los conjuntos de puntos correspondientes. Los flujos que satisfacen esta última condición se conoce como flujo con distribuciones de masa similares. Para demostrar que las similitudes cinemática y de masa son necesarias para que haya similitud dinámica, nótese que la primera condición de similitud cinemática significa que las aceleraciones: 1.- Son paralelas en puntos correspondientes 2.- Tienen una relación de sus magnitudes contante para todos los conjuntos de puntos correspondientes Por lo siguiente, pude concluirse que debido a que las fuerzas resultantes sobre las partículas tiene una relación de magnitudes constantes entre los flujos, es necesariamente cierto que todas las componentes correspondientes de las fuerzas resultantes tiene la misma relación de magnitudes entre los flujos. En pocas palabras, flujos cinematicamente similares con distribución de masa similares satisfacen todas las condiciones de los flujos dinámicamente similares, ¿Por qué la similitud dinámica es importante en los ensayos de modelos? Si existe la misma reacción entre las fuerzas correspondientes en punto correspondientes y esta relación es la misma para todo el flujo, puede decirse que la integración de las distribuciones de fuerzas que origina la sustentación o el arrastre también tendrá la misma relación entre los flujos del modelo y del prototipo. Si no se tienen flujos que tenga aproximadamente similitud dinámica, las relaciones de fuerzas entre los flujos de modelos y del prototipo para diferentes conjuntos de puntos correspondientes serán diferentes y no existirá una forma simple para relacionar las resultantes. El ensayo en modelos será útil, para flujos dinámicamente similares, la relación entre fuerzas correspondientes en puntos correspondientes y la relación 11
respectiva entre las fuerzas resultantes deseadas del modelo y del prototipo no es difícil de establecer, La relación entre estas fuerzas es la relación deseada entre las fuerzas resultantes sobre las fronteras correspondientes de los flujos. Es decir
12
4.3 Parámetros adimensionales. CANTIDAD
SÍMBOLO
DIMENSIONES
Longitud
l
L
Tiempo
t
T
Masa
m
M
Fuerza
F
MLT -2
Velocidad
V
LT-1
Aceleración
a
LT -2
Área
A
L2
Caudal
Q
L3T -1
Presión
p
ML-1T -2
Gravedad
G
LT -2
Densidad
γ
ML-3
Peso Específico
µ
ML-2 T -2
Viscosidad Dinámica
ν
ML-1T -1
Viscosidad Cinemática
v
L2 T -1
Los parámetros adimensionales asociados a las magnitudes anteriores, vienen determinados por relaciones entre los diversos efectos que se pueden considerar:
13
El Número de Reynolds. El número de Reynolds VDρ/μ es la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas. Un número de Reynolds críticos distingue entre los diferentes número de flujo, tales como laminar o turbulento en tuberías, en la capa límite, o alrededor de objetos sumergidos. El valor particular depende de la situación. En flujo compresible, el número de Mach generalmente es más importante que el número de Reynolds.
El Número de Froude. El número de froude V/ √gl, cuando se eleva al cuadrado y se multiplica y se divide por ρA, es una relación de las fuerzas dinámicas (o inerciales ) con respecto a las fuerzas gravitacionales, con un flujo a superficie líquida libre. La naturaleza del flujo depende de si el número de froude es mayor o menor que la unidad. Este número es útil en cálculos de resalto hidráulico, en el diseño de estructuras hidráulicas y de barcos.
El Número de Weber. El número de Weber V 2lρ/σ es la relación de las fuerzas inerciales con respecto a las fuerzas de tensión superficial. Éste es importante en interfases gas-líquido o líquido-líquido y también donde estas interfases se encuentran en contacto con una frontera. La tensión superficial causa pequeñas ondas (capilaridad) y la formación de gotas, y tiene un efecto sobre la descarga de orificios y vertederos con pequeñas cabezas.
El Número de Mach. La velocidad del sonido en un líquido se escribe como √K/ρ si K es el módulo de elasticidad volumétrica o c = √(kRP) donde k es la relación de calor específico y T la temperatura absoluta para un gas perfecto. V/c o V/√K/ρ es el número de Mach. Es una medida de la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas elásticas. Cuando V/c se eleva al cuadrado y se multiplica por ρA/2 en el numerador y el denominador, el numerador es la fuerza dinámica y el denominador la fuerza dinámica a la velocidad del sonido. También se puede demostrar que es una medida de la relación de la energía cinética del flujo con respecto a la energía interna del fluido. Es el parámetro correlacionante más importante cuando las velocidades están cerca o por encima de las velocidades locales de sonido.
14
15
4.4 Teorema π de Bunkingham
De acuerdo con este teorema, el numero de grupos adimensionales independientes que pude emplearse para describir un fenómeno en el que intervine n variables es igual al numero n – r, donde r usualmente es el numero de dimensiones básicas necesarias para expresar las variables para expresar las variables dimensionales.
El cálculo de r en el teorema de Buckingham como el número de dimensiones básicas necesarias para expresar dimensionalmente las variables no siempre es correcto. Por ejemplo, en análisis de esfuerzos existen problemas relacionados con fuerzas y la distancias donde las dimensiones básicas pueden ser dos (F, L) para el sistema FLT o puede ser tres (M, L, T) si se selecciona el sistema MLT. A continuación se dará un procedimiento correcto para calcular el valor de r
Las variables se colocan alo largo de un eje horizontal y las dimensiones básicas M, L, T, etc., que se utilizaran, se colocan en un eje vertical, como se muestra. Debajo de cada variable se colocan una columna de números con las potencias a las que deben elevarse las dimensiones básicas en la representación de las variables particular.
Luego, en la representación anterior la variable dbe tener las dimenciones , mientras que la variable . El arreglo de números conformado de esta manera se conoce como matriz dimensional del proceso y se representa así:
( )
Como debe recordarse de algebra, pude calcularse el determinante de un grupo de números que forman un arreglo con igual números de filas y columnas, el 16
arreglo anterior pude “hacerse cuadrado” arreglando una fila de ceros, es obvio que este determínate es cero. ¿Cuál es le tamaño diferente de cero?
del mayor sub grupo
cuadrado cuyo determínate
es
El número de filas o columnas en este determínate define el rango de la matriz original. En este caso existen varias posibilidades. Por ejemplo, al utilizar las primeras 3 filas y las primeras 3 columnas se obtiene:
[ ]
Por lo que el rango de la matriz dimensional es igual a 3
El valor correcto de r en el teorema de π de Bunkingham puede establecerse ahora como el rango de la matriz dimensional.
17
4.5 Problemas
18
19
4.6 Bibliografía Mecánica de fluidos, tercera edición, Irving H. Shames Mecánica de fluidos, octava edición, Víctor L. Streeter
20
