Cuaderno de Aprendizaje
Introducción Introd ucción a la
Matemática
Estimado Estudiante:
Este CUADERNO DE APRENDIZAJE tiene como objetivo ser una ayuda para el logro de tus aprendizajes. Este material, basado en el Programa del Módulo, está estructurado de modo que oriente tu estudio y actividades prácticas. Primeramente te encontrarás con un APRENDIZAJE ESPERADO, el cual te señala el gran aprendizaje que debes alcanzar. Luego, aparecen los CRITERIOS DE DE EVALUACIÓN; EVALUACIÓN; éstos son los indicadores que te permiten demostrar que ya has aprendido. • Ejemp Ejemplode lodeCrite Criteriode riodeEvalu Evaluación: ación:
Calcula expresiones aritméticas dadas, utilizando reglas operatorias, propiedades y el orden de las operaciones en el conjunto de los Números Reales, utilizando
Criterio 1.1.-
calculadora científca.
• Cómo Cómoutiliz utilizarel arelCuadern Cuadernode odeAprendi Aprendizaje: zaje:
A continuación continuación de cada Criterio, encontrarás: - Dos preguntas de respuesta abierta con su desarrollo y solución. - Una pregunta de selección múltiple con su solución. La idea es que aprendas a través de las preguntas que se te ofrecen. Algunas actividades pueden ser: - Prepárate para tus pruebas según los Criterios de Evaluación; realiza ejercicios de acuerdo a ellos. Ten presente que las evaluaciones de tus docentes se deben basar en estos Criterios. Si requieres más explicación sobre el signifcado de
éstos, pídesela sin problema a ellos. - Determinar si llegaste a la respuesta correcta. - En caso de estar correcta la respuesta, verifcar si el desarrollo que hiciste de la
pregunta coincide de un modo general con la solución dada o también si existe otra alternativa igualmente correcta para llegar al resultado. - En caso de no llegar al resultado correcto, ubica en el desarrollo de la pregunta propuesta, dónde estuvo el problema. - Ejercita mucho.
Esperamosqueestematerialseaunaporteparati.
¡Muchoéxito! Dirección de Desarrollo Curricular y Evaluación Vicerrectoría Académica
CUADERNO CUADERNO DE D E APRENDIZAJE MÓDULO:
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA MATEMÁT ICA
APRENDIZAJE ESPERADO:
1. Resuelven ejercicios numéricos y problemas de aplicación sencillos, aplicando la operatoria y propiedades de los números reales, con ayuda de calculadora científica. Criterio 1.1 .- Evalúa expresiones aritméticas dadas, utilizando reglas operatorias, propiedades y el orden de las operaciones en el conjunto de los Números Reales, utilizando calculadora científica
1. Encuentre el valor que se obtiene obtiene al resolver la la siguiente siguiente expresión v erificar el resultado). − 7 ⋅ [− (3 + 5 ) − 8] − [− (9 + 7 ) − 3]+ 14 : 2 (utilice calculadora para verificar Solución:
[
5) − 8]− [− (9 + 7) − 3]+ 14 : 2
[
] [
− 7 ⋅ − (3 +
] 7
− 7 ⋅ − 8 − 8 − − 16 − 3 +
[
] [
]
− 7 − 16 − − 19 + 7
112 + 19 + 7 Respuesta: 138
2. Encontrar el valor de;
7
4
5
e n forma + 1,3 Exprese el resultado en 3 5 4 fraccionaria (utilice calculadora calculadora para verificar el resultado) resultado) −
Solución:
7
−
3 −
7 3
.
−
+ 0, 5 ÷
+
5 9
÷
4 5
− 6,12 ⋅
4 551 5 −
5
⋅
90 4
7 25 551 13 + − + 3 36 72 10
Respuesta: −
959 120
5 4
+ 1,3
+ 0, 5 ÷
− 6,12 ⋅
2 3. Encuentre el valor de ⋅ + 5 1313 A) − 1120
3 1 3 7 − ⋅ − 7 8 4 2
1302 1120 1313 C) 1120 1302 D) − 1120
B)
Alternativa correcta: C Solución:
29 1 11 35 − 8 ⋅ − 4 29 11 35 + 32 Respuesta:
1313 1120
Criterio 1.2.-. Resuelve problemas de aplicación utilizando reglas operatorias, propiedades y orden de las operaciones en los números naturales 4. Una cadena de supermercados realiza un pedido de 3.000 kg de pan a una panificadora distribuidora. Primero le envían 854 kg, al día siguiente 12 kilos menos que la primera vez y dos días después 156 kg más que la primera vez. ¿Cuántos kilógramos faltan por enviarle? Solución:
854 + (854 − 12 ) + (854 + 156 )
Por lo tanto, faltan por enviarle: 3.000 − 2.706 = 294 Kilos
5. Tres motocicletas giran alrededor de una pista, un corredor da la vuelta al circ uito cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6:30 de la tarde los tres coinciden ¿A qué hora vuelven a coincidir nuevamente los tres motociclistas? Solución:
Debemos encontrar el mínimo común múltiplo entre 12, 18 y 60
Mínimo común múltiplo: 180 segundos = 3 minutos Respuesta: Por lo tanto vuelven a coincidir a las 6:33
6. Para realizar una inauguración de un monumento se dispone de un coctel de 48 porciones de bebestibles, 24 porciones de cóctel calientes y 12 porciones de cóctel frío. Se desea que cada invitado reciba la misma cantidad de bebida, cócteles calientes y cócteles fríos ¿Cuál es el mayor número de personas que es posible atender en esta recepción? A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 Alternativa correcta: D Solución:
Los divisores de 48 son: {1,2,3,4, 6,8,12,16,24,48} Los divisores de 24 son: {1,2,3,4, 6,8,12, 24} Los divisores de 12 son: {1, 2,3, 4,6, ,12} Por lo tanto el máximo común divisor es: 12
Criterio 1.3.- Resuelve problemas de aplicación utilizando reglas operatorias, propiedades y orden de las operaciones en los números enteros 7. El dueño de una cadena de supermercados hace el siguiente resumen de la evolución de sus finanzas a lo largo de un año determinado: • • • •
Enero --Marzo: ganancias de 30.000.- dólares mensuales Abril --Julio: pérdidas de 10.000.- dólares mensuales Agosto: pérdida de 3.000.- dólares Septiembre – Diciembre: ganancias de 25.000.- dólares mensuales
¿Cuál fue el balance final de año? Solución:
30.000 ⋅ 3
+ (− 10.000 ) ⋅ 4 + (− 3 .000 ) + (25.000 ) ⋅ 4
Resultado: Ganancias por 147. 000 dólares
8. En un estanque de combustible hay 800 litros de petróleo. Por la parte superior un tubo vierte en el estanque 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de petróleo habrá en el estanque después de 15 minutos de funcionamiento? Solución:
800 + 25 ⋅ 15
− (30 ⋅ 15)
800 + 375 − 450 = 725 Resultado: 725 litros
9. Tenemos una bomba que extrae agua de un pozo a 975 metros de profundidad y lo eleva a un estanque que se encuentra a 48 metros de altura ¿Qué nivel supera el agua? A) 1.023 metros B) 1.100 metros C) 1.200 metros D) 1.350 metros Alternativa correcta: A Solución: 48 − ( −975) = 48 + 975 = 1. 023 metros.
Criterio 1.4.- Resuelve problemas de aplicación utilizando reglas operatorias, propiedades y orden de las operaciones en los números racionales 10. De una piscina inicialmente llena de agua se saca un día la cuarta parte y luego la tercera parte del agua que quedaba, finalmente hay 450 m 3 Determine la capacidad total de la piscina. Solución:
Inicialmente: 1 (lleno) 1 4 1 1 1 Segundo día: se extrae ⋅ 1 − = 3 4 4 1 1 1 Entonces: 1 − − = de la piscina queda finalmente 4 4 2 1 3 → 450 m 2 1→ x m 3
Primer día:
se extrae
450 3 = 900 m 1 2 Capacidad de la piscina: 900 m3
x =
11. Un estanque se llena con 3.000 litros de agua. Un día se gastó 1 1.250 litros. ¿Qué fracción de agua queda en el estanque?
6
del estanque y otro día
Solución:
1 = 500 6 500 +1.250 =1.750 ltrs. 3.000 ⋅
3.000 − 1750 =1.250 1.250 Por lo tanto queda: 3.000
=
5 12
12. En una fábrica de textiles se trabaja desde las 8:00 hrs. hasta las 20:00 horas. El proceso para maximizar la producción es el siguiente: 1 del tiempo, se dedica a la fabricación de camisas, 3 1 de la jornada para pantalones, 1 del tiempo que se ocupa para la fabricación de camisas, se 4 2 utiliza para bordar los botones, 1 del tiempo destinado a pantalones, se usa para afinar detalles, 3 1 del tiempo utilizado para los bordar los botones, se destina para almorzar. El resto de la 2 jornada se dedica a actividades recreativas. ¿Cuántas horas se dedican a esta actividad? A) B) C) D)
Media hora Una hora Una hora y media Dos horas
Alternativa correcta: B Solución:
1 1 1 1 1 + + + + 3 4 6 12 12
=
11 12
Por lo tanto para actividades recreativas, se utiliza
1 .12 =1 hora 12
APRENDIZAJE ESPERADO:
2. Resuelven problemas propios del mundo cotidiano y la especialidad, que impliquen operar correctamente con razones y proporciones, con ayuda de calculadora científica Criterio 2.1 Identifica el concepto de razón e interpreta su valor en el contexto de casos 13. Una empresa importadora de verduras, exportó en Febrero del 2010, 5.200 cajas de tomates, para Marzo del 2010, ante las eventualidades del alza del combustible y variaciones en el cambio peso – dólar, la exportación se debe reducir a 1.300 cajas del producto. Determine la razón entre la importación del mes de Febrero del 2010, en relación a Marzo del 2010 e interprete el resultado Solución:
Se establece la razón entre ambas exportaciones:
Febrero del 2010 Marzo del 2010
=
5.200 1.300
=
4 1
Se concluye que la importación en Febrero del 2010 es cuatro veces superior a la del mes de Marzo del 2010.
14. Se realiza un presupuesto de materiales para una obra, entre vigas de techumbre de 2 x 6 pulgadas, de pino corriente y pino oregón. Si la viga de pino corriente tiene un valor unitario de $7.550 y la viga de pino oregón $15.400, determine cuántas veces es mayor el valor del pino oregón respecto al pino corriente. Solución:
15.400 = 2,0397 veces mayor 7.550
15. Dos compañías internacionales del área informática realizarán inversiones de 20 millones y 22,5 millones de dólares respectivamente, entonces la cantidad de veces que la segunda compañía supera a la primera en inversión es de: A) B =1, 25 A B) B =1,15 A C) B =1,125 A D) B = 0,889 A Alternativa correcta: C Solución:
22,5 = 1,125 veces 20
Criterio 2.2 Resuelve problemas, aplicando teoremas y propiedades de las razones. 16. Una compañía realiza una inversión en el año 2009 del orden de los 25 millones de pesos, inversión que supera 1,25 veces la realizada el año anterior para la adquisición de los mismos productos. Determine la inversión realizada el año 2008. Solución:
inversión año 2009 Inversiónaño 2008 25
x x =
=
=
1,25
1,25
25 = 20 millones de pesos 1,25
17. La remuneración de un trabajador este mes ha disminuido con respecto al mes anterior en la razón 3: 8. Si la remuneración de este mes es de $456.430. ¿Cuál es el valor de la remuneración correspondiente al mes anterior? Solución:
456.430 ingreso mes actual = ingreso mes anterior x 456.430
x x =
=
3 8
= 0,375
456.430 0,375
x = $1.217.147
18. La producción actual del diario “La Primera” es del orden de los 85,6 millones de pesos, pero ante una eventual recesión, la producción se limitará a 53,4 millones de pesos . ¿En cuánto se ha reducido la producción de acuerdo a esta información? A) 0,6234 veces B) 1,603 veces C) 0,546 veces D) 0,3766 veces Alternativa correcta: D Solución:
53, 4 = 0,6234 85,6 1 − 0, 6234 = 0,3766
Criterio 2.3 Calcula el término desconocido de una proporción, aplicando propiedades y el teorema fundamental de las proporciones. 19. Cual es el valor de x en la proporción, calcule: 6
18
=
x
15
Solución:
6 x = 18 ⋅ 15 6 x = 270
x = 45
20. Cuál es el valor de x en la proporción, calcule: 2 3 3 4
=
x 4
Solución : 3 2 x = ⋅ 4 4 3 3 8 x = 4 3 8 x = 3 3 4 32 x = 9
3
21. El valor de x en la proporción: 2 4 7 A) B)
105 8 8
105 4 C) 7 7 D) 4 Alternativa Correcta: B
Solución:
3 2
x =
4 35
4 x = 35 3 2
=
8 105
=
1 5 es:
x
Criterio 2.4: Resuelve problemas contextualizados aplicando teoremas y propiedades de las razones y proporciones. 22. En la bodega de la empresa de zapatillas “Niki” se entrega el siguiente recuento : “La suma de las zapatillas de damas y varones es de 464 pares y la razón entre los mismos es de 3: 5”
encuentre la cantidad de pares de zapatillas correspondientes a cada rubro. Solución:
D + V = 464 D 3 = V 5 D = k ⇒ D = 3k 3
V
= k ⇒ V = 5k 5 3k + 5k = 464
8k = 464
k = 58 D =174 pares V = 290 pares
23. Las recomendaciones de higiene señalan que para que exista una adecuada desinfección se debe realizar con tres productos: A , B y C .¿Cuántos mililitros se requieren de cada producto, si se necesitan preparar en total 250 ml, en la relación : A : B = 8 : 5 y B : C = 4 : 3? Solución:
A + B + C = 250 A 8 ⋅ 4 32 = = B 5 ⋅ 4 20 B 4 ⋅ 5 20 = = C 3 ⋅ 5 15 A : B : C = 32 : 20 : 15 A = k ⇒ A = 32k 32
B 20
C 15
= k ⇒ B = 20k = k ⇒
C = 15k
32k + 20k + 15k = 250 67 k = 250
k = 3,73 A =119,36 B = 74,6 C = 55,95
24. Un agente de la bolsa de comercio puede invertir en tres tipos de acciones del tipo X más dos acciones del tipo Z por un total de $478.000. Si las acciones del tipo X respecto de las del tipo Z están en la razón 5: 2 ¿Cuánto pagó por cada una de las acciones? A) B) C) D)
X=$330.000 X =$340.000 X =$300.000 X =$125.789
Z= $148.000 Z= $138.000 Z= $178.000 Z= $ 50.316
Alternativa: B Solución:
Sean x e y el precio unitario de las acciones tipo A y B respectivamente 3 x + 2 y = 478.000
x y
=
5 2
Alternando medios, tenemos.
x y =
5
x 5
y 2
2 =
=
k
Por lo tanto:
k ⇒ x = 5k
= k ⇒ y =
2k
Reemplazando x e y en función de k en 3x + 2y = 478.000 tenemos: 3 (5k ) + 2 (2k ) = 478.000 15k + 4k = 478.000
k = 25.157,89 Por lo tanto: x = $125.789
y = $50.316
APRENDIZAJE ESPERADO:
3. Resuelven problemas de variación proporcional, en el contexto de la especialidad y la vida cotidiana. Criterio 2.5 Identifica variaciones proporcionales directas, inversas y conjuntas en fenómenos naturales, económicos y/o sociales. 25. Establezca si las magnitudes de los siguientes ejercicios corresponden a una proporcionalidad directa o inversa a. El número de bienes de un cierto tipo que compra y la cantidad que debe cancelar por los bienes b. la velocidad de un avión y el tiempo que tarda en realizar un viaje c. Si tiene $20.000 para adquirir libros, el número de libros que se pueden adquirir y el precio de los libros. Solución:
a. Directamente proporcional b. Inversamente proporcional c. Inversamente Proporcional
26. Se da la siguiente relación entre el consumo de un bien (x) y su precio (y), si k es la constante de proporcionalidad ¿Qué relación existe entre el consumo del bien y el precio?
x =
k y 2
Solución:
El consumo es inversamente proporcional al cuadrado del precio
27. Se da la siguiente relación entre los ingresos de una empresa de comida rápida (i), el número de productos vendidos diariamente (p) y el número de días que atienden aquellos lugares de comida rápida (d). Si k es la constante de proporcionalidad, entonces,
i=
kp , entonces se da la siguiente relación entre las variables d
A) B) C) D)
i es directamente proporcional con d e inversamente proporcional con p i es directamente proporcional con p con d i es directamente proporcional con p e inversamente proporcional con d i es inversamente proporcional con p y directamente proporcional con d
Alternativa: C
i es directamente proporcional con P e inversamente proporcional con D
CRITERIO 2.6 Plantea fórmulas en base a problemas dados, aplicando conceptos de variaciones proporcionales directas, inversas y conjuntas. 28. El volumen V de una madera que produce un árbol de eucaliptus es directamente proporcional a su altura h y al cuadrado de su diámetro d. Escriba algebraicamente la relación. Solución:
V = h ⋅ d 2
29. En la elaboración de un producto de limpieza, dos de los principales componentes son cera de ceresina y aguarrás, dependiendo de la cantidad del producto a elaborar, se recomiendan los siguientes volúmenes de aguarrás:
Aguarrás (ml)( x) Cera (gramos)(y)
165 82,5
330 165
495 247,5
660 330
825 412,5
990 495
a. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad b. Si se requieren 750 ml de aguarrás, determine la cantidad de cera necesaria (en gramos) Solución:
a. Relación directamente proporcional. 165 330 495 660 825 990 = = = = = = 2 82,5 165 247,5 330 412,5 495
k = 2
x = 2 ⋅ y b. x 750 y = = 2
2
=
375 gramos
30. Un control de calidad estipula que la presión (P) de un líquido en un envase de transporte convencional, debe ser inversamente proporcional al volumen (V) que ocupa y directa mente proporcional a la temperatura absoluta (T). Si k es la constante de proporcionalidad, entonces, la relación anterior queda expresada algebraicamente como:
k ⋅ V T k ⋅ T B) P = V C) P = k ⋅ V ⋅ T k ⋅ T D) P = 2 V A) P =
Alternativa Correcta: B
P=
k ⋅ T V
Criterio 2.7 Grafica e interpreta gráficos de variaciones proporcionales, directas e inversas, relacionados con situaciones y fenómenos comerciales, económicos, etc. 31. El siguiente gráfico entrega el comportamiento de las variables Nº de latas adquiridas, versus el precio en pesos a cancelar por ellas. a. ¿Qué tipo de relación existe entre las variables? b. Determine la constante de proporcionalidad c. Si usted compra 12 latas de bebidas ¿Cuál es el precio a cancelar?
Solución:
a. Relación directamente proporcional b.
350 1
=
700 1.050 = = .......... ...... = 350 2 3
c.
x = k ⋅ y x = 350 ⋅ 12 = $4.200
32. Se quieren transportar 1.200.000 Kg de chatarra. En un determinado tipo de camión caben 8.000 Kg ¿Cuántos viajes tendrá que hacer para transportar la chatarra? La información se entrega en la siguiente tabla. Nº de camiones Nº de viajes
1
2
3
5
6
150
75
50
30
25
a. Graficar la información anterior. b. ¿Qué tipo de relación existe entre las variables? c. Si se utilizaran 10 camiones ¿Cuántos viajes tendría que realizar? Solución: Nº de viajes
a. 140 120
s e 100 j a i v 80 e d 60 º N 40
20 0 1
2
3 Número de camiones
b. Relación inversamente proporcional
N º de camiones = c,
N º de camiones =
k N º de viajes 150 6
= 15
4
5
33. En la figura 1, P y Q son dos magnitudes inversamente proporcionales. La expresión algebraica de tal relación es: P
A) P = 60 Q B) P ⋅ Q = 90 C) P =
10
60
Q
D) Q = 3 P 10
Alternativa correcta: C
4 6
15
Q
Figura 1
Criterio 2.8 Resuelve problemas de proporcionalidad relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad. 34. En la construcción de un mall, 6 camiones transportan un total de 80.000 toneladas de material, empleando 6 horas de trabajo. Si se reduce a 4 la cantidad de camiones y la cantidad de material a transportar se duplica, determine el nuevo tiempo a utilizar que se deberá emplear bajo estas nuevas condiciones. Solución:
6 camiones.......... .......... 80. 000 toneladas.......... .... 6 hrs. trabajo 4 camiones.......... .......... 160.000 toneladas.......... .... x hrs. 6
=
4 80.000 ⋅
x 6 160.000 6
x
=
1 3
x =18 horas
35. En una industria alimenticia operan 12 máquinas, las cuales trabajando 6 días a la semana, a diez horas diarias, producen 35 unidades de un cierto producto. Determine cuántas unidades se deben producir en 10 días si el número de máquinas se reduce a la cuarta parte y la cantidad de horas diarias de trabajo es de 8 horas Solución:
12 máquinas.......... 6 días .......... .10 hrs. diarias.......... ...35 unidades 3 máquinas.......... ..10 días.......... . 8 hrs. diarias.......... ..... x unidades 35
x 35
=
12 6 10 ⋅
⋅
3 10 8 =3
x 3 x = 35 x =11,67 x =12 unidades
36. Los ingresos que obtiene un restaurante de comida china son directamente proporcionales al número de platos que venden diariamente, e inversamente proporcionales al número de días que atiende el restaurante. Si por la venta de 500 platos en 7 días reciben ingresos del orden de los $7.500.000. Determine el ingreso, si se venden 300 platos trabajando 5 días a la semana A) $6.300.000 B) $8.928.571 C) $7.300.000 D) $6.500.000 Alternativa: A Solución:
500 platos.......... .7 días.......... ...$7.500.000 300 platos.......... .5 días.......... ....$ x 7.500.000
x
=
500 5 ⋅
300 7 7.500.000 25 = x 21 25 x = 157. 500.000
x = $6.300.000
APRENDIZAJE ESPERADO: 4. Resuelven problemas de aplicación, utilizando fórmulas y conceptos de porcentajes.
Criterio 2.9 : Calcula porcentajes de cantidades dadas 37. Calcular el 5,4% de 6.500 Solución:
6.500 − − − − − − − − − − − − − −100%
x 6.500
−−− −−−−−−−−−− −
=
5,4%
100 5, 4
x 100 x = 35.100 x = 351 El 5,4% de 6.500 es 351
38. ¿Qué tanto por ciento es 2.940 de 8000? Solución:
8.000 − − − − − − − − − − − 100% 2. 940 − − − − − − − − − − − 8.000 100 = 2. 940 x 8.000 x = 294.000
x = 36,75% 2.940 es el 36,75% de 8.000
x%
39. ¿De qué número 12 es el 25%? A) B) C) D)
50 70 75 48
Alternativa: D
Solución:
x − − − − − − − − − − − −100% 12 − − − − − − − − − − − −25%
x 100 =
12 25 25 x =1.200
x = 48
Criterio 2.10 Aplica propiedades de los porcentajes en la resolución de problemas. 40. Según una encuesta socioeconómica, en la población Adulto Mayor se verifica que:
El 60% son mujeres y el 40% hombres. El 15% de las mujeres y el 45% de los hombres están económicamente activos.
Según estos datos, el % de la población Adulto Mayor que está económicamente activa es: Solución
0,60 ⋅ 0,15 + 0, 40 ⋅ 0,45 = 0, 27 Por lo tanto el 27% de la población Adulto Mayor es la que está económicamente activa
41. En una investigación realizada en un colegio mixto, sobre la cantidad de inasistencias entre hombres y mujeres, se entregó la siguiente información: De un día investigado, asiste el 80% de los alumnos, de los cuales sólo 210 eran mujeres, que corresponden al 70% del total de mujeres. Si el 30% de los alumnos de este colegio no son hombres . a. ¿Cuántas mujeres hay en el colegio? b. ¿Cuál es la cantidad total de alumnos? Solución:
a. 210mujeres .......... ..70% x mujeres.......... .100%. x =
210 ⋅ 100 70
=
300 mujeres
b. 30%......... ........ 300 mujeres 70%......... ........ x hom bres x =
70 ⋅ 300 30
=
700 hom bres
Por lo tanto el total de alumnos es de 1.000 personas
42. Si gastara el 30% de mi dinero y recibiera una cantidad igual al 25% de lo que tengo, me quedaría con $1.250 menos que ahora. ¿Cuánto dinero tengo? A) $1.190 B) $1.313 C) $27.500 D) $25.000 Alternativa Correcta: D Solución:
Sea x la cantidad de dinero que tiene
x −1,30 x + 1,25 x = x − 1.250 − 0, 05 x = − 1.250 x = $25.000
Criterio 2.11 Resuelve problemas de comisión, descuentos y recargos, relacionados con la especialidad. 43. Por una asesoría realizada, Ud. recibe $750.000, los cuales son cancelados mediante boleta de honorarios, de lo que legalmente se le retiene un 10%, calcule la retención. Solución:
$750.000
→
90%
$ x
→
100%
750.000
x
=
x =
90 100 $833.333
Por lo tan to se le retiene : 833.333 − 750.000 = $83 .333 44. En una tienda se liquidan pantalones por cambio de temporada. Si el primer día la rebaja es de un 20%, el segundo día la rebaja es de un 12% y el tercer día se descuenta $1.500 por cada pantalón, para quedar con un valor de $ 7.500. Determine el valor del pantalón antes de iniciar la liquidación. Solución:
7.500 + 1.500 = $9.000 $9.000.......... ........ 88% $ x.......... ......... 100%
x = $10.227 $10.227.......... ......... 80% $ x.......... ......... 100%
x = $12.784 El valor
del pantalón antes de iniciar la liquidación.es de $12.784
45. A un trabajador, se le cancelan sus ingresos, en base a comisiones. En el mes de Marzo el 15% de sus comisiones fueron de $60.000, entonces su ingreso mensual fue de: A) $500.000 B) $450.000 C) $400.000 D) $350.000 Alternativa Correcta: C
Solución:
$60. 000.......... .......... .......... 15% $ x.......... .......... ......... 100%
x = $400.000
Criterio: 2.12 Calcula tasa de incremento e índices en la resolución de problemas. 46. Si el kilo de carne costaba $8.000 en el mes de Septiembre del 2010, aumenta su valor a $8.570 en Octubre del 2010, calcular la tasa de incremento. Solución:
8.570 − 8.000 ⋅ 100 = 7,13% 8. 000
∆ =
47. El rendimiento sobre una inversión, se define como:
Utilidadesnetas x 100 Activo total
Si una empresa tiene una utilidad neta de 36.000 unidades monetarias y un activo de 300.000 unidades monetarias, determine el porcentaje de rendimiento sobre la inversión.
Solución:
Porcentaje de rendimiento:
36. 000 x 100 = 12% 300.000
48. EI IPC del mes de Septiembre fue de un 0,9% y en Octubre del mismo año 1,1%, determine la variación porcentual. A) 15,4% B) 22,2% C) 23,45% D) 25,61% Alternativa Correcta: B
Solución:
1,1 − 0,9 x 100 = 22,2% 0 , 9
APRENDIZAJE ESPERADO: 5. Operan con potencias, raíces y logaritmos, utilizando sus propiedades. 2.13.- Opera con potencias, utilizando sus propiedades 49. Realizar la siguiente operación:
(− 2)9 ⋅ (− 2 )⋅ (− 2 ) 4 −
=
Solución:
(− 2)9 ⋅ (− 2) 3 −
(− 2)6
=
64
1 50. Determinar el valor de: 1 4 Solución:
5 4
−2
25 ⋅ 8
−1
2
4 8 ⋅ 5 25 16 8 128 ⋅ = 25 25 625
−2
1 ⋅ 3 8
−1
3
2 51. El valor de − equivale a: 5 A)
8 125
B) C) − D)
8 5 8 5
−
8 125
Alternativa: D
2 Solución: − 5
3
= −
8 125
2.14.- Opera con raíces utilizando sus propiedades 52. Simplificar la siguiente expresión: Solución:
75
=
25 ⋅ 3
12
=
4⋅3
25 ⋅ 3
=
=2
3
147 = 49 ⋅ 3 = 7 3 5 3+2 3−7 3= =
0
=
5 3
75 + 12
−
147
53. Racionalizar
3 5− 3
Solución:
3
⋅
5− 3
=
=
=
5+ 3 5+ 3
3( 5 + 3 )
(
5− 3
)⋅ (
3 5 +3 3
( 5 ) − ( 3) 2
3 5 +3 3 5−3
=
3 5 +3 3 2
2
5+ 3
)
(
54. El valor de
3 + 2 5 )⋅ ( 3 − 2 5 ) es:
A) 3 B) 20 C) -17 D) -20 Alternativa Correcta: C
Solución:
( 3 ) − (2 5 ) 2
2
3 − 20 = − 17
2.15.- Resuelve expresiones numéricas con logaritmos vulgares y naturales, utilizando sus propiedades. 55. Sabiendo que log 3 = 0, 4771 , utilice las propiedades logarítmicas para determinar el valor de: Log 81. Solución:
Como 81= 3 4 , entonces log 81= log 34 log 81 = 4 log 3 = 4 ⋅ 0,4771
log 81 =1,9084
56. Las ventas de un producto, vienen dadas por la siguiente expresión V = m ⋅ (ln x ) + b . Si sabemos que m = 19, 4 b =18 , y x representa la producción del producto. Determine las ventas, si se producen 200 unidades. Solución:
V =19,4 (ln 200) + 18 V =19,4 ⋅ ( 5,298317367 ) + 18 V =121unidadesaproximadamente
57. El valor de log 5 10 es : A) B) C) D)
1,43068 1,00000 2,30259 0,69897
Alternativa Alternativa Correcta: A Solución:
log10 = 1, 43068 log 5
2.16.- Resuelve expresiones y problemas de aplicación utilizando utilizando potencias, raíces raí ces y logaritmos. 58. ¿Qué cantidad de dinero, gasta una persona después de siete semanas, si gasta siete euros diarios? Solución:
7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 7 3 = 343 Euros diarios
59. Se tiene una pizarra cuadrada de 1.204 cm 2 ¿Cuánto mide cada lado de la pizarra?
A = a 2 1.024 = a 2
a = 1.024 a = 32 cm.
60. El valor de n en la expresión n =1 − A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 Alternativa Alternativa Correcta: B
Solución:
n =1 −
log 0,804249 log 1,0245
n =1 − (−9) n =10
log(1,0245 − 0, 220251 ) es : log 1, 0245
APRENDIZAJE ESPERADO: 6. Operan correctamente con álgebra elemental, con apoyo de calculadora científica. 2.17.- Realiza operaciones básicas con polinomios: Adición, Sustracción, Productos
61. Sumar los siguientes polinomios:
P = − 2 x 4 + 5 x 3 − 2 x 2 + 3 x − 5 Q = 8 x 3 − 2 x + 5 R = − x 4 + 3 x 2 − x − 2 S = 6 x 3 + 2 x + 5 Solución: − 2 x
4
3
+ 5 x − 2 x
2
8 x 3 − x
− 2 x + 5 + 3 x − x
4
2
6 x 3 − 3 x
+ 3 x − 5
4
−2
+ 2 x + 5
+ 19 x + x 3
2
+
2x + 3
62. Reduzca la siguiente expresión: e xpresión: ( x − 3 x 2 + x 3 Solución:
x − 3 x 2 + x 3 + 9 + 8 − 7 x + x 2 + 5 x − 7 x 3 − 2 x 2 − x + 10
)
+ 9 − ( −8 + 7 x − x − 5x + 7) 2
63. Al efectuar el producto de (3 − 5 x ) ⋅ (2 + 3 x ) , se obtiene. A) 15 x 2 B) 15 x 2
−
x +6
x+6 C) − 15 x 2 − x + 6 D) − 15 x 2 + x − 6 +
Alternativa Alternativa Correcta: C Solución:
Multiplicando término a término: (3 − 5 x ) ⋅ (2 + 3 x ) = 6 + 9 x − 10 x − 15x 2
2.18 Desarrolla productos notables: cuadrado de binomio y producto de una suma por su diferencia. 64. Desarrollar (3 x 2
+ 2y
)2
, utilizando cuadrado de un binomio
Solución:
(3 x 2 + 2 y )2 = 9 x 4 + 12 x 2 y + 4 y 2 65. Desarrollar (2m 2
) (2m 2 − 2n) , utilizan utili zando do “suma por su diferencia”
+ 2n ⋅
Solución:
(2m 2 + 2n)⋅ (2m 2 − 2n)= (2m 2 )2 − (2n )2
=
4m
4
− 4n
2
65. Al desarrollar (t 3 A) B) C) D)
−
2s
)
2 2
se obtiene:
t 6 − 2s 2 t 3 + 2s 4 t 6 − 4s 2 t 3 + 4s 4 t 6 − 4s 2 t 3 + 2s 4 t 6 − 4s 4
Alternativa Correcta: B Solución:
(t 3 ) 2
t 6
−
−
2 ⋅ t 3 ⋅ 2 s 2
4 ⋅ s 2 t 3
+
+
(2 s 2 ) 2
4s 4
2.19 Factoriza expresiones algebraicas 66. Factorizar las siguientes expresiones:
a. 49 x 2 − 56 xy + 16 y 2 .
b.
1 1 2 n − 4 25
Solución:
a. (7 x )2
−
2 ⋅ 7 ⋅ 4 xy + (4 y ) 2
(7 x − 4 y ) 2
2
2
1 1 b. − n 2 5 1 1 1 1 + n ⋅ − n 2 5 2 5
67. Factorizar las siguientes expresiones:
a. p 2 + 2 p − 80 b. 4 y 4 + 12 y 2 + y 2 + 3 Solución:
a. ( p − 8) ⋅ ( p + 10 ) b. 4 y 4 + 12 y 2 + y 2 + 3 4 y 2 ( y 2
+ 3) ⋅ +( y + 2
3)
( y 2 + 3)⋅ (4 y 2 + 1)
68. Al Factorizar la expresión 3a 3 A) (3a + 2) ⋅ (a 2
)
+1
B) (3a + 2) ⋅ a 2 C) (a 2 + 1) ⋅ (a + 2) D) (a + 1) ⋅ (a − 3) Alternativa Correcta: A Solución:
3a 3
+ 2a + 3a + 2
2
a 2 (3a + 2) + (3a + 2) (3a + 2)(a 2 + 1)
+
2a 2
+ 3a +
2 resulta:
2.20 Resuelve problemas de aplicación, utilizando operaciones básicas, productos notables y factorizaciones. 69. Los costos de una empresa corresponden a la expresión (3 x 2 + 2 x − 10) pesos, y los ingresos de la misma representan la expresión ( x + 3) ⋅ ( x − 3) pesos. Determinar la fórmula que da cuenta de la utilidad de esta empresa. Solución:
U = ( x + 3) ⋅ ( x − 3) − (3 x 2 + 2 x − 10) U = x 2 − 9 − 3 x 2 − 2 x + 10 U = − 2 x 2 − 2 x + 1
70. Se inicio una empresa con un aporte de capital total de ( x 2 − 3x − 108) dólares, si la empresa está integrada por ( x − 12 ) socios. Determine la cantidad de dinero que aporto cada uno de los socios. Solución:
x 2 − 3 x − 108 x − 12
=
( x + 9) ⋅ ( x − 12 ) ( x − 12)
Por lo tan to cada socio recibe ( x + 9) dólares
71. Una persona invierte (2 x 4
+ 5 x + 3
3 x 2
este capital debe cubrir un pago de 2( x 4
) pesos en el armado de computadores. Si con
+ 8x − 1
) pesos, por sueldo a los trabajadores,
+ 10
y con el resto
2
pagar ( x − 5) pesos en la compra de productos informáticos. Entonces la cantidad de dinero que le quedará después de realizar las operaciones indicadas es de: A) B) C) D)
2 x 4 + 5 x 3 + 4 x 2 − 2 x + 46 5 x 3 − x 2 − 18 x + 46 5 x 3 + x 2 + 18 x − 46 5 x 3 − x 2 + 18 x − 46
Alternativa Correcta: C Solución:
(2 x 4 + 5 x 3 + 3 x 2 + 8 x − 1) − [(2 x 4 + 20 ) + ( x 2 − 10 x + 25)] (2 x 4 + 5 x 3 + 3 x 2 + 8 x − 1)− [2 x 4 + 20 + x 2 − 10 x + 25] 2 x 4
+ 5 x + 3 x
5 x 3 + x 2
3
2
+ 8 x − 1 −
2 x 4
− 20 − x
2
+ 10 x −
25
+ 18 x − 46
APRENDIZAJE ESPERADO: 7. Resuelven, con ayuda de calculadora científica, problemas sencillos relacionados con el área económica, comercial, tecnológica, etc., que impliquen operar correctamente con ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de dos ecuaciones lineales y ecuaciones logarítmicas y exponenciales.
2.21 Resuelve ecuaciones de primer grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral.
72. Un vendedor comisionista recibe un sueldo base de $ 144.000 y una comisión del 5% por las ventas que realice. ¿Qué cantidad en dinero debe vender para obtener un ingreso de $ 200.000? Solución:
144.000 + 0,05 x = 200.000 0,05 x = 56.000
x =
56.000 0,05
x = $1.120.000 Por lo tanto debe vender $1.120.000
73. Se distribuyen 48.000 euros por concepto de utilidades entre dos socios, de modo que la parte del que recibe menos equivale a los 5 de la parte del socio que recibe más. Determinar qué 7 cantidad recibe cada socio. Solución:
Sea x : socio que recibe más dinero (48.000 − x ) : Socio que recibe menor cantidad de dinero
(48.000 − x) = 5 7 x 336.000 − 7 x = 5 x 336.000 = 12 x
x = 28.000 y = 20.000
74. En una hostal de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, entonces el número de habitaciones del segundo piso son: A) 32 B) 16 C) 40 D) 20 Alternativa Correcta: B Solución:
x + 2 x = 48 3 x = 48 x = 16 2 x = 32
x : Habitaciones primer piso y : Habitaciones segundo piso
2.22.- Resuelve ecuaciones de segundo grado orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral. 75. La longitud de una casa excede a su ancho en cuatro metros. Si cada dimensión se aumenta en cuatro metros, el área será el doble. Hallar las dimensiones de la casa. Solución:
x : Largo de la casa x − 4 : Ancho de la casa x + 4 : Largo de la casa aumentado en 4 metros x − 4 + 4 = x : Ancho de la casa aumentado en 4 metros
Área = l arg o x ancho x ( x − 4) = x 2 − 4 x Área original de la casa
( x + 4) ⋅ x = x 2 + 4 x Área de la casa una vez que se han aumentado sus dimensiones en 4 metros
x 2
(
+ 4 x = 2 x
2
− 4 x
)
x 2 + 4 x = 2 x 2 − 8 x 2 x 2 − x − 8 x − 4 x = 0 x 2 − 12 x = 0 x ( x − 12 ) = 0 x = 0 x =12 Por lo tanto el largo de la casa es de 12 metros y el ancho 8 metros
76. Un jardín rectangular de 50 metros de largo por 34 metros de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Determine el ancho del camino si se sabe que su área es de 540 m 2 . Solución:
(50 + 2 x) ⋅ (34 + 2 x ) − 50 ⋅ 34 = 540 4 x 2
+ 168 x − 540 = 0
dividiendo por 4
x 2 + 42 x − 135 = 0 x1 = 3 x 2 = − 45 El ancho del camino mide 3 metros
77. Para cercar una finca rectangular de 750 m 2 se han utilizado 110 metros de cerca, entonces las dimensiones de la finca son: (ver dibujo)
A) 20 y 25 metros B) 15 y 20 metros C) 5 y 10 metros D) 30 y 35 metros Alternativa Correcta: D Solución:
x ⋅ (55 − x ) = 750 x 2 − 55 x + 750 = 0 x1 = 30 x2 = 35
2.23 Resuelve sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral.
78 Una persona tiene un depósito de 2.000 dólares en dos bancos. Uno le paga un interés de un 6% anual y el otro 8%. Si ganó un total de 144 dólares de intereses durante un año. ¿Cuánto depositó en cada banco? Solución:
x + y = 2.000 0,06 x + 0,08 y =144 Multiplicando la primera ecuación por
− 0,06
obtenemos
− 0,06 x + − 0,06 y = −120
0,06 x
+
0,08 y
=
144
Sumando ambas ecuaciones 0,02 y = 24
y = 1.200 x = 800 Por lo tanto depositó 800 dólares al 6% y 1.200 dólares al 8%
79. Entre las 7:00 y 9:00 de la mañana, el metro transporta 1.000 personas. Si los escolares cancelan $160 por el pasaje y los adultos $580 por el pasaje y el ingreso total obtenido en ese horario es de $496.000 ¿Cuántos escolares y cuantos adultos utilizaron el metro entre las 7:00 y 9:00 de la mañana? Solución:
Sea x la cantidad de escolares e y la cantidad de adultos
x + y = 1.000 160 x + 580 y = 496.000 Multiplicando la primera ecuación por −160 tenemos. −160 x −
160 x
+
160 y
= − 160. 000
580 y
=
496. 000
Sumando ambas ecuaciones 420 y = 336.000
y = 800 x = 200 Por lo tanto 200 escolares y 800 adultos utilizaron el metro entre las 7:00 y las 9:00 de la mañana.
80. Una pizzería tiene dos tipos de pizza: margarita, que tiene un valor de 4 euros, y cuatro quesos, la cual vale 6 euros. Una noche vendieron 74 pizzas y se recaudaron 388 euros, entonces el número de pizzas cuatro quesos vendidas es de: A) B) C) D)
28 40 46 50
Alternativa Correcta: C
Solución:
Sean x : Cantidad de pizzas margarita y : Cantidad de pizzas cuatro quesos
x + y = 74 4 x + 6 y = 388 Resolviendo sistema de ecuaciones, tenemos:
x = 28 y = 46 EL número de pizzas “cuatro quesos” vendidas es de 46.
2.24 Resuelve ecuaciones exponenciales y logarítmicas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral 81. Un equipo de fútbol considera que la cantidad de dólares x que gana semanalmente en publicidad en y unidades de su producto (camisetas, gorros, etc) está dada por 400 y = 200 ln . Calcular la cantidad de unidades que se deben vender para que la 500 − x ganancia publicitaria sea de 139 dólares. Solución:
400 500 − 139
y = 200 ln y = 20,51
Por lo tanto se deben vender aproximadamente 21 unidades, para que el ganancia publicitaria sea de 139 dólares
−0 , 016 t
82. El nivel de agua de un pueblo se reduce de acuerdo a la relación N = 1.000e , donde t se mide en años y N en millones de litros. Calcular la cantidad de agua que debe quedar cuando haya trascurridos 20 años, y cuantos años deben transcurrir para que la cantidad de agua se reduzca a la mitad. Solución:
N = 1000e
−0 ,016 t
N = 1.000 ⋅ e
− 0 ,016 ⋅20
0 , 016 t
500 = 1.000 e −
=
726,15 litros
/ ln
ln 0,5 = − 0,016t ln e ln 0,5 − 0, 016
=
43,32 años
Debe quedar 726,15 litro de agua después de 20 años, y deben transcurrir aproximadamente casi 44 años para que el agua se reduzca a la mitad.
83. Se adquiere mobiliario por $300.000 y se deprecia continuamente desde la fecha de adquisición. Su valor después de t años está dado por la fórmula V = 300.000 ⋅ e −0, 2t . ¿Cuántos años aproximadamente deben transcurrir para que el mobiliario tenga un valor de $100.000? A) 5,5 años B) 4,8 años C) 4,4 años D) 3,9 años Alternativa Correcta: A Solución:
100.000 = 300. 000 ⋅ e −0, 2t 0,333 = e − 0 ,2t / ln ln 0,333 = − 0,2t ln e ln 0,333 − 0, 2
=
t = 5,5 años
APRENDIZAJE ESPERADO: 8. Operan con funciones básicas, relacionando su estudio con la resolución de problemáticas del ámbito de la economía, los negocios, la tecnología y otros fenómenos socioeconómicos, con ayuda de calculadora científica. 3.1.- Identifica el concepto de función, su dominio y recorrido, operando con la nomenclatura correspondiente. 84. Dados los siguientes gráficos, cuál (es) representan una función:
Solución:
El gráfico I no representa una función, ya que dos elementos diferentes del dominio, tienen la misma imagen. Los gráficos II y III son funciones ya que todos los elementos del dominio tienen una imagen única .
85. Hallar el dominio de las siguientes funciones definidas mediante las ecuaciones siguientes:
a. f ( x) = x − 1
b. f ( x ) =
1
x
2
−
4
c. f ( x) = x 2 + 3
Solución:
a. Como la raíz cuadrada de un número negativo no está definida, es necesario que x − 1≥ 0 . El conjunto de los números reales x ≥ 1 satisface la desigualdad. Así, el dominio de la función es el intervalo [1, ∞ ) b. La única restricción sobre x es que x 2 − 4 debe ser distinta de cero, ya que no se permite la x = 2 .Así en este caso, el división entre cero; pero ( x 2 − 4) = ( x + 2) ⋅ ( x − 2) = 0 si x = − 2 o dominio de la función consta de los intervalos (− ∞, − 2), (− 2, 2) y (2, ∞ ) c. En este caso, cualquier número real satisface la ecuación, de modo que el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales
86. Determinar el dominio y recorrido de las siguientes funciones:
a. f ( x ) = x 2
Solución:
Si consideramos la función que a cada número le asocia su cuadrado, y = x 2, su dominio será todos los números reales, es decir, existe el cuadrado de cualquier número. Pero la variable dependiente y sólo tomará valores mayores que 0, ya que el cuadrado de un número es siempre positivo .Por lo tanto el recorrido de la función son todos los números reales positivos. b. f ( x) = 2 x
Solución:
El dominio de la función es el conjunto de todos los reales El recorrido de la función es el conjunto de los reales positivos
87. El dominio de la función f ( x) = x 2 A) B) C) D)
+1
es:
(∞, ∞ ) (∞, − ∞ ) (− ∞, ∞ ) (− ∞, − 1)
Alternativa Correcta: C Solución:
Como x 2 es siempre positivo, el dominio de la función es (− ∞,
∞)
3.2 Calcula imágenes y pre-imágenes en funciones reales sencillas 88. Dada la función: f ( x) = 2 x 2
a. f (1)
b. f (−2)
−
x + 1 Calcular.
c. f (a )
Solución:
a. f (1) = 2(1)2 − 1 + 1 = 2 − 1 + 1 = 2 b. f (− 2 )= 2 (− 2 )2 − (− 2 ) + 1 = 8 + 2 + 1= 11 c. f (a) = 2(a ) 2 − (a ) + 1 = 2a 2
− a +1
89. Dada la función y =
a. f 1 (3) −
x + 5 , calcular: x − 2
b. f 1 (−2) −
c. f 1 (a) −
Solución:
x + 5 x − 2 y( x − 2 ) = x + 5 xy − 2 y = x + 5 xy − x = 5 + 2 y x ( y − 1) = 5 + 2 y y =
x =
5 + 2 y y − 1
5 + 2 x x − 1 5 + 2 ⋅3 f −1 (3) = = 5,5 3 −1 5 + 2 ⋅ (− 2) f −1 (−2) = = − 2 −1 5 + 2a f −1 (a) = a −1
y =
−
1 3
90. Calcular f (5) , dada la función: f ( x) = A) 1
6
B) 1
7 C) 2 7 D) 1 3 Alternativa Correcta: B Solución:
f (5) =
5 −1 (5 + 2)(5 − 3)
=
2 14
=
1 7
x − 1 ( x + 2) ⋅ ( x − 3)
3.3 Representa gráficamente funciones reales sencillas, en el plano cartesiano. 91. Graficar la función: y = 2 x 2
+1
Solución:
92. Graficar la función: y = − 2 x + 5 Solución:
93. El siguiente gráfico representa la función:
A) x = 3 B) x = − 3 C) y = − 3 D) y = 3 Alternativa Correcta: D Solución:
El gráfico corresponde a la función y = 3
APRENDIZAJE ESPERADO: 9. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función lineal como modelo. 3.4 Identifica la función lineal y la caracteriza a través de sus parámetros, ceros y gráfica. 94. Dadas las siguientes funciones: I. y = 2 x − 3 II. y = x 2
+ 3x − 2
III. y = x 3 IV. y = − 3x + 5 ¿Cuál(es) representa(n) funciones lineales? Solución:
Las funciones I y IV representan una función lineal, ya que ambas tienen la forma y = mx + n
95. Dada la siguiente función lineal y = 3x + 5 , determine: a. pendiente de la función lineal b. intersección con el eje de las abscisas c. intersección con el eje de las ordenadas d. Gráfico de la función lineal Solución:
a. La pendiente de la función lineal es 3 b. Intersección con el eje de las abscisas (Hacemos y = 0) 3 x + 5 = 0 3 x = − 5
x = −
5
3 c. intersección con el eje de las ordenadas (Hacemos x = 0) y = 5
d. Gráfico de la función lineal
96. Dada la función lineal f ( x ) = − 5 x + A) Tiene pendiente positiva. . B) Corta al eje de las abscisas en
1 2
podemos afirmar que.
−5
C) Corta al eje de las ordenadas en 1 D) Corta al eje de las abscisas en 1
2
2
Alternativa Correcta: C Solución:
Es una función lineal con pendiente negativa -5, corta al eje de las abscisas en 1 y al eje de las 10 ordenadas en 1 2
3.5 Analiza e interpreta la pendiente e intercepto 97. C ( x) = 55,73 x + 182.100 .000 es la función de costo estimada para una empresa metalúrgica para los años 2000 - 2015. Donde C es el costo total en dólares por año y x es la producción de acero en toneladas por año. Interprete la el valor de la pendiente Solución:
La pendiente 55,73 dólares, significa que si la producción aumenta 1 tonelada, el costo aumenta en 55,73 dólares.
98. Calcular e interpretar la pendiente de la siguiente función lineal: q = − 0,15 p + 0,14 , que representa la función estimada de demanda anual de arroz en un cierto país para el período 20012011. Solución:
La pendiente es − 0,15 , lo que nos dice que si el precio aumenta en una unidad, entonces la cantidad demandada disminuye en 0,15 unidades 99. Dada la función de costo C ( x) = 20 x + 20.000 , que corresponde a la fabricación de un cierto bien en una empresa. En esta función 20.000 representa: A) Costo variable B) Costo fijo C) Costo unitario D) Costo total Alternativa Correcta: B Solución: El valor 20.000 representa el costo fijo del producto
3.6 Calcula ecuación de la recta en sus formas principal y general. 100. Determinar la ecuación de la recta en sus formas principal y general, que pasa por los puntos P1 = (3, − 2) y P2 ( 5, 4) Solución:
y − y1
=
y + 2 =
y 2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1 4+ 2 ( x − 3) 5−3
y + 2 = 3(x − 3) y + 2 = 3x − 9 y = 3x − 11 Ecuación de la recta en su forma principal 3 x − y − 11 = 0
101. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P = ( −1, 2, en sus formas principal y general.
y + 3 = 2( x + 1) y + 3 = 2 x + 2 y = 2 x − 1 ecuación de la recta en su forma principal 2 x − y − 1 = 0
ecuación de la recta en su forma general
− 3) , siendo su
pendiente
102. La ecuación de la recta que pasa por los puntos ( 4,
−
7) y ( 2, 3) viene dada por:
A) y = 5 x − 13 B) y = − 5 x − 13 C) y = − 5 x + 13 D) y = 5x + 13 Alternativa Correcta: C Solución:
y + 7 =
3+ 7
( x − 4 )
2−4 y + 7 = − 5( x − 4)
y + 7 = − 5 x + 20 y = − 5 x + 13
3.7 Resuelve problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función lineal como modelo. 103. Encuentre la expresión lineal que se asocia al ingreso, si se sabe que por la venta de 40 estufas ingresaron 4.500 euros, y por la venta de 15 estufas del mismo tipo el ingreso fue de 2.000 euros. Solución:
P1 = (40, 4.500)
P2 = (15, 2.000 )
2.000 − 4.500 ( x − 40 ) 15 − 40 y − 4.500 =100( x − 40 )
y − 4.500 =
y − 4.500 =100 x − 4.000 y = 100 x + 500
104. Dadas las ecuaciones de oferta (O) y demanda (D) de un artículo D : p = 28 − x ; O : p = 2 x +1 Determinar el precio p (pesos) y la cantidad x (en unidades) de equilibrio del mercado 28 − x = 2 x + 1 27 = 3 x
x = 9 p = 28 − x p = 28 − 9 p = 19 Por lo tanto la cantidad en equilibrio es de 9 unidades y el precio $19 105. Un supermercado recibe 25 dólares por cada unidad de producción vendida de una marca de licores. Sus costos variables por unidad son de 15 dólares y un costo fijo de 1.200 dólares ¿Cuál es el nivel de utilidad si se producen y venden 200 unidades? A) 600 dólares B) 800 dólares C) 900 dólares D) 950 dólares Solución:
C ( x) =15 x + 1.200 I ( x) = 25 x U ( x ) = 25 x − (15 x + 1.200) U ( x ) =10 x − 1.200 U (200) = 800 dólares
APRENDIZAJE ESPERADO: 10. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función cuadrática como modelo. 3.8 Representa gráficamente funciones cuadráticas indicando sus elementos característicos. 106. Dada la función cuadrática y = − x 2 característicos
+ 2 x + 3 . Graficar, indicando sus elementos
Solución:
Intersección de la parábola con respecto al eje de las x (hacemos y = 0) − x
2
+ 2 x +
3 = 0 / − 1
x 2 − 2 x − 3 = 0 x =
2 ± 4 + 12 2
2± 4 2 x1 = 3 x 2 = −1
x =
Por lo tanto intersecta al eje de las x en los puntos ( −1, 0) y (3, 0) Intersección de la parábola con respecto al eje de las y (Hacemos x = 0)
y = 3 Por lo tanto intersecta al eje de las y en el punto (0, 3) Determinación del vértice de la parábola:
− 2 ; − 2
V =
V = (1, 4 ) Gráfico:
− 12 − −
4
4
107. Graficar la función: x 2
−
4x + 4
Intersección de la parábola con respecto al eje de las x (hacemos y = 0)
x 2
− 4 x + 4 = 0
4 ± 16 − 16 2 4±0 x = 2 x1 = 2 x 2 = 2
x =
Por lo tanto intersecta al eje de las x en los puntos ( 2, 0) Intersección de la parábola con respecto al eje de las y (Hacemos x = 0)
y = 4 Por lo tanto intersecta al eje de las y en el punto (0, 4) Determinación del vértice de la parábola:
4 2
V = ; V = (2, 0 ) Gráfico:
16 − 16 4
108. El siguiente gráfico corresponde a una parábola, cuya ecuación es:
A) y = x 2 − 2 x + 3 B) y = x 2 + 2 x + 3 C) y = 2 x 2 + 2 x + 3 D) y = 2 x 2
− 2x + 3
Alternativa Correcta: A
3.9 Utiliza los elementos característicos de una función cuadrática para interpretar su comportamiento. 109. La ganancia trimestral de una empresa (en miles de dólares) está dada por 1 G( x) = − x 2 + 7 x + 30 , interprete los parámetros a, b y c 3 Solución:
La función ganancia, es una función cuadrática y, por tanto su gráfica es una parábola. Además, el coeficiente x 2 es a = − 1 < 0 , de modo que la parábola abre hacia abajo, por lo tanto tiene un 3 punto máximo. Se desplaza hacia la izquierda b > 0 y corta al eje de las ordenadas (eje y) en 30.
110. Dada la función de ganancia del problema anterior G ( x)
=−
1 3
valor del vértice de la parábola.
x 2 + 7 x + 30 .Interprete el
Solución:
La abscisa del vértice de la parábola es
−
b 2a
= −
7 2
=
−
21 2
= 10,5
3 1 21 21 La ordenada correspondiente es f = − 3 2 2
2
21 + 30 2
+ 7
=
267 4
=
66,75
La parábola abre hacia arriba, por lo tanto su vértice es el punto más alto sobre la parábola, por lo que la ordenada del vértice proporciona el valor máximo de la ganancia trimestral Esto significa que la máxima ganancia trimestral es de 66.750 dólares, este valor se presenta cuando la empresa gasta 10.500 dólares trimestrales en publicidad. 111. Dada la función cuadrática f ( x) = − 2 x 2
+ 5x − 2 ,
entonces
A) La parábola abre hacia arriba B) La parábola tiene un valor mínimo C) La parábola se desplaza hacia la izquierda D) La parábola en x = 0 , es − 2 Alternativa Correcta: D Solución: La parábola abre hacia abajo ( a < ) , tiene un valor máximo, se desplaza hacia la
derecha (b < 0) , corta al eje de las ordenadas (y) en
−2
3.10 Aplica métodos gráfico y analítico para resolver ecuaciones de segundo grado. 112. Desarrolle de manera gráfica y analítica el comportamiento de la siguiente ecuación cuadrática: 4 x 2 − 16 x + 7 = 0 Solución:
x =
−b ±
b 2 − 4ac 2a
16 ± 256 − 112 8 16 ± 12 x = 8 7 x1 = = 3,5 2 1 x 2 = = 0,5 2
x =
113. Desarrolle de manera gráfica y analítica el comportamiento de la siguiente ecuación 2 cuadrática: ( x − 2) = 9 Solución:
( x − 2)2 = 9 x 2 − 4 x + 4 = 9 x 2 − 4 x − 5 = 0 x = x = x =
4 ± 16 + 20 2 4 ± 36 2 4±6
2 x1 = 5 x 2 = − 1
114. Utilizando el discriminante, la ecuación cuadrática 2 x 2 A) B) C) D)
− 3x + 4 = 0 , tiene:
Dos raíces reales iguales Dos raíces reales diferentes La ecuación no tiene soluciones reales Nada se puede afirmar
Alternativa Correcta: C Solución: ∆ =b − 4 ⋅ a ⋅ c 2
∆ = 9 − 32 ∆ = − 23
Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales
3.11 Utiliza la función cuadrática para modelar y resolver problemas de la vida cotidiana y de la especialidad. 115. El costo promedio por unidad (en dólares) al producir x unidades de un bien es C ( x) = 20 − 0,06 x + 0,0002 x 2 ¿Qué número de unidades producidas minimizarían el costo promedio? ¿Cual es el correspondiente costo mínimo por unidad? Solución: −
b 2a
=
0,06 0,0004
= 150
unidades
150 unidades minimizarían el costo promedio
C (150) = 20 − 0,06 ⋅ 150 + 0,0002 (150) 2 C (150) =15,5 dólares , es el costo mínimo por unidad
116. El costo de producir x artículos al día está dado en dólares por: C ( x) = 80 + 4 x + 0,1x 2 . Si cada artículo puede venderse en 10 dólares, determine el punto de equilibrio. Solución:
C ( x) = 80 + 4 x + 0,1x 2 I ( x ) = 10 x Punto de equilibrio: 80 + 4 x + 0,1 x 2 = 10 x 0,1 x 2
− 6 x + 80 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado, obtenemos:
x1 = 40
x 2 = 20
117. El ingreso mensual (en dólares) obtenido por vender x unidades de un producto está dado por: I ( x ) = 4 x − 0,025 x 2 Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo de maximizar el ingreso. A) 160 unidades B) 80 unidades C) 40 unidades D) 20 unidades Alternativa Correcta: B Solución: −
b 2a
=
−4 − 0,05
=
80 unidades
APRENDIZAJE ESPERADO: 11. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función exponencial y logarítmica como modelo. 3.12 Identifica la función exponencial de la forma y = a ⋅ b x , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica, cuando 0 < b < 1 y cuando b > 1 .
x
118. Dada la función y = 2 , identifique el tipo de función y caracterícela a través de sus parámetros, ceros y gráfica Solución: x
Es una función exponencial, ya que es de la forma y = a ⋅ b . Su dominio es (− ∞, ∞ ) , su imagen es (0, ∞ ) . Su gráfica pasa por el punto (0,1) , es una curva continua sin saltos. Como b > 1 , la función crece de izquierda a derecha
x
1 119. Dada la función y = 2
caracterícela a través de sus parámetros, ceros y gráfica
Solución:
Su dominio es (− ∞, ∞ ) , su imagen es (0, ∞ ) . Su gráfica pasa por el punto (0,1) es una curva continua sin saltos, como b < 1 , su gráfica decrece de izquierda a derecha.
120. Dada la función exponencial y = e − x , entonces: A) La gráfica de la función crece de izquierda a derecha B) El dominio de la función es (0, ∞ ) C) La gráfica de la función decrece de izquierda a derecha D) La imagen de la función es (− ∞, ∞ ) Alternativa Correcta: C Solución:
Como e
>
1 , esto implica que 0
<
1
e
<
1 , de modo que f ( x) = e − x
=
1
x =
e
(1e ) es una x
función exponencial con base menor que 1, por lo tanto la gráfica de la función decrece de izquierda a derecha.
3.13 Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo exponencial.
121. La demanda semanal de una nueva línea de refrigeradores, t meses después de introducido al mercado está dada por la siguiente expresión: D (t ) = 2 .000 − 1. 500 e −0 , 05 t t > 0 ¿Cuál es la demanda del producto después de dos años? Solución:
D(24) = 2.000 − 1.500 e 0, 05 24 D(24) = 1.548 refrigerad ores −
⋅
122. Si el valor de los bienes raíces se incrementan a razón del 10% por año, entonces después de t
t años, el valor de una casa comprada en P pesos, está dada por v(t ) = P ⋅ 1,1 . Si una casa fue comprada en $40.000.000 en el año 2004. ¿Cuál será su precio en el año 2011? Solución:
v (7) = 40 .000 .000 ⋅ 1,17 v (7) = 77 .948 .684
123. El ingreso I (en dólares) de un cierto producto como función de la demanda x, viene dado por la expresión:
I ( x) = 150 ⋅ x ⋅ e
−
x 25
, si se venden 50 unidades del producto, entonces, el ingreso es de:
A) 55.417,92 dólares B) 1015,01 dólares C) 2030,35 dólares D) 1050,32 dólares Alternativa Correcta: B Solución: −
50
I (50) =150 ⋅ 50 ⋅ e 25 I (50) =1015 ,01 dólares
3.14 Identifica la función logarítmica de la forma y = a + b log x , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica. 124. Dada la función y = log x identifique el tipo de función y caracterícela a través de sus parámetros, ceros y gráfica Solución:
Función logaritmo con dominio ( 0, ∞ ) , su imagen. (−∞ , ∞ ) .Su gráfica es una curva continua que pasa por el punto (1, 0) , la cual crece de izquierda a derecha.
125. Dado el gráfico logarítmico, caracterícelo a través de sus parámetros, ceros y gráficas Solución:
.
La gráfica corresponde a una función creciente, por otro lado la curva se acerca indefinidamente al eje y en la medida que x se acerca a cero, es una curva continua que pasa por el punto (1, 0)
126. Dados los siguientes gráficos. ¿Cuál de ellos representa una función logarítmica?
I
II
III
IV
A) Gráfico I B) Gráfico II C) Gráfico III D) Gráfico IV Alternativa Correcta: D Solución:
2 x − 3 , el x − 1 gráfico III es una función exponencial decreciente y el gráfico IV corresponde a una función logarítmica
El gráfico I corresponde a función exponencial creciente, el gráfico II es la función y =
3.15 Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo exponencial y logarítmico 127. Se adquiere un horno industrial en $ 450.000 y se deprecia continuamente desde la fecha de adquisición. Su valor después de t años está dado por la fórmula: V = 450.000 ⋅ e −0 , 2 t ¿En cuánto tiempo la máquina tendrá un valor de $200.000? Solución:
200.000 = 450.000 ⋅ e −0,2 t 200.000 − 0, 2 t =e 450.000 0,44444 = e −0 , 2 t aplicando log aritmo natural ln 0,44444 = ln 0,44444 − 0, 2
t = 4,1 años
=
− 0, 2t ln e
t
128. La temperatura de una taza de café t minutos después de ser servida está dada por
T = 21 + 40 ⋅ e
− 0 , 0446t
donde T se mide en grados Celsius.
a. ¿Cuál es la temperatura del café al ser servido? b. ¿Cuándo estará el café lo suficientemente frío para poder beberlo (aproximadamente 50º Celsius) Solución:
a. T = 21 + 40 ⋅ e
−0, 044 ⋅
0
T = 21 + 40 ⋅ e 0 T = 61º Celcius b. 50 = 21 + 40 ⋅ e
− 0 ,0446 t
29 = 40 ⋅ e − 0, 0446 t 29 − 0 , 0446 t = e 40 0,725 = e −
0 ,0446 t
aplicando log aritmo natural ln 0,725 = − 0,0446 t ln e ln 0,725 − 0,0446
=
t = 7,21
Por lo tanto el café estará lo suficientemente frío dentro de 7,21 minutos
129. La población actual de Chile (año 2010) es de 17 millones de habitantes, si la tasa de crecimiento es de un 1,1% anual, entonces, suponiendo la misma tasa de crecimiento, la población actual se duplicara dentro de: A) B) C) D)
59,24 años 60,54 años 61,25 años 63,36 años
Alternativa Correcta: D
Solución:
P f = Pi (1 + i ) n P f Población final Pi Población inicial i Tasa de crecimiento
n Número de períodos 34 = 17 (1 + 0,011) n 34 n = 1,011 17 2 = 1,011n Aplicando log aritmo log 2 = n log 1,011 log 2 log 1, 011
=n
n = 63,36 La población se duplicará dentro de 63,36 años
N Ó I C A C I F I T N E D I : I
A C I T Á M E T A M A L A N Ó I C C U D O R T N I
a r o d a l u c l a c s a l o r e t o t y n e a m í g z o a l c o i f n e c o e d t a n l , a z s i l t o i i c u o y g s e o n c s i s o á l , b a s í e l m o a n n o o i c c e n u a f l e s o d l : o e e d d d n o s u m e m y c l a e s o p t a n n c o e c n s m á a r o d e d n s a u f s n o o e i t c d n l a a e n a p r i c i s l c p i o t c a r i , a t s p á o c s m e i o t l m a ó o m n l u s o d a c ó m e o m e i c l l o e b s o r r s a p o . z r a i l e n c v e i a l f í m n t o i f s ó n e l e n e i f c A R
: O L U D Ó M L E D E R B M O N
: A I C N E T E P M O C E D D A D I N U
) a l u a l e n ) e a r v l e i t i l a s t o e p d x e j o e a s b a a l r c t , , a a n n a a m m e e s s a l a l O a a T I s s a a S r r I o o U h h Q 2 3 E ( ( R . s s s a a R c a i c E c g i i R g g ó ó P ó g g g a a Y a d d N d e e e p p Ó I p s C s s a a a r r A r o o M o a h h h R d 0 6 4 O i a 9 3 5 F c e r t E n r s D e e e A f i m E d e s R l a Á r r e e R n 1 : e O e a n g l : l P : a e a i l n N ó m t u o a Ó i I c l a n n a : C e : n o m P t r e I N : r i a l e s l o n i R f Ó I u l u ó a C i e C a t q S c d e A s s E a a r a a c R r r D e i r e U o o : r b r I Á U P D H H I
e a n d o – c ó i i : , c l a d s s c a s ó o a i m r i r c l r e i e t c e t s s e p n á a u d i e b R E S a m , s e – S s e s n s e o n ó n l O l i o a ó o n a i D c i c I r i c c o f s c e u i c í N t a d t e a r i r E a A f d n n e s a T N ó i e i : . e i o p m r N : o d c e s s s s e e a t : l e O o a c n s p r s b e i r c l a C i e e o o p l o r a s i r n t i d x e é e á c o i o n a e d p B i l R m f u c e s e u d u y s n C a i c e d l n s e l n m a – r a n n n s l e o o ó i i i o a i o f o m . c ó t c t n e c c c c s i n n a u c a a ó d r i u i o e u n e c c l u i j o l d a o l d n c p o r c s a p s o a O r T n a U e v r - E A C R - P - u f - R , , , s s s a i a a s i r s i e r l o e r a t o s o a t t c a l i o n f a r a a r í r i t e r u r e s l e t e o t n p e a e o a p n p c l i o e o a n r g n c s s s s e e s s a o a o r s a l a r l r l o o e o g r g e g r e d n d e e e e r r r o l n i m a o m m ú ú N a o ú u d n o n z c n a i d d c Ó l r l n I i n s n s t a a s C u e a a o o o z l z l p c l z l A , o o i i i i l n l n t i i s n t e U a s d u e t e u u L d l a n s s n A a a ó e n e n s e e i z i n ó ó V d d n n i i l c i E s t c c o o o i a i i n u a a a c c c c E i i a i c a c c e , l i a l D t d r s p r l r p r é o l e a e p a e a e S m p p p l a e t o o O e e o I i r e e d s d s d s R a y R s a s a a s l E s s s a l a l a T e o e e e m I e r m n d e l d d e d m R i e n e n o a b l l n C s d m o e b e b e e ú r d o d o e r d r i r r r r p N p p o p o p o o x r s e y e y e o l v e p l v s v y l , e e s l a s e e s e e e ú a d u u d l d u d s i s a a r o e a s a e d e d v o t R n . d E t R e R e e a i i i u j . r . p . p . p e n 1 4 . p o 2 . o r 3 . o r . o r 1 o c 1 p 1 p 1 p
a c i t á s E m e a J t c A a i g Z I m ó D l a g a N d e e E d p R P n s A ó i a r o E c a h l D e 0 v 2 S i E N : D : N A d Ó a I D I d C i N A n U U R : U I I ° I 1 D
s e e d y d , a s s a O o o d d c l D i l e u i i r A é c p y a R m n o r E u e s p n P n y o c n S s ó , a s i . E i o i r c l e c a t o a E i c i a c J c f i l a r e í A r e p e r t j n Z I e a p s i e D n e o o r c d e N e l a a v s E l m r o ú o a e R d m n n d P u s l e a s a A e l c o u b c R o i l l l . r p e a 1 p a d c
r a l u c r o i r n í u a C c l o A ñ e o s i i c i D r t y a P t o : c e e t n y e o r 0 m P 1 a o 0 c i d 2 g a e ó g d g r o a a d c r e n e P E n e : ó : o a d i h l g r a a c e V C F
s a c i s á B s a i c n e i a l a C e T d o l d a e r n o f l i A c a : N e 0 t n r o 1 0 e d 2 m a e n d a i c i d o n r c o r é o e T C n e : ó : o a d i g h l r c a a e V C F
o c i n c é T a t s i l a i c e p s E . l a i r t s u o d n I n i l r i a v 0 m i 1 u C 0 P o 2 r e o i g e d e i n r e o D g e n n : I e ó : r : a o o h b g r c a l a e E C F
