Cuaderno de Apuntes Introducción a la Matemática

Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009

I. IDENTIFICACIÓN NOMBRE DEL MÓDULO:

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA

UNIDAD UNIDAD DE CO COMP MPETEN ETENCIA: CIA:

Al finali finalizar zar el módulo los participant participantes es serán capaces de: Resolver problemas matemáticos básicos relacionados con el mundo de la economía, los negocios negocios la la tecnología y otros fenóm fenómenos enos socioeconóm socioeconómicos, icos, utili uti lizando zando efi eficazm cazmente ente calculadora científica 90 horas pedagógicas 36 horas (2 horas a la semana, semana, clase expositiva) expositiva) 54 horas (3 horas a la semana, semana, trabajo trabajo grupal en el aula)

DURACIÓN DURACIÓN:: HORAS HO RAS AULA: AULA: HORAS HO RAS TALLEREN AULA

II. DESCRIPCIÓN POR ÁREA DE FORMACIÓN Y PRERREQUISITO ÁR ÁREA DE FORMACIÓN IÓN: UBICACIÓN EN LA MALLA: PRERREQUISITO: PRERREQUISITO:

General ral Dife iferen renciad iada 1er semestre semestre no tiene tiene

III. UNIDADES DE APRENDIZAJE PRIMERA UNIDAD:

NIVELACIÓN

DURACIÓN:

20 horas pedagógicas

APRENDIZAJES ESPERADOS: 1. Reconoce Reconocen n y nominan los conjuntos numéricos, numéricos, desarrollando desarrollando el lenguaje matemático matemático para establecer rel relaciones aciones entre ellos. ellos. 2. Utilizan Utili zan propiedades propiedades y reglas de los números números Reales Reales para resolver las cuatro operaciones básicas, básicas, con ayuda de ca calculadora lculadora científica. 3. Resuelven Resuelven problemas problemas sencillos, relacionado relacionadoss con la especial especialidad idad y el el mundo mundo cotidi cotidiano, ano, utilizand utilizando o calculadora científica, propiedades y reglas de los Números Reales 4. Transforman números decimales a fracción común y viceversa 5. Realizan operaciones combinadas de números decimales y fracciones, con ayuda de calculadora 6. Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el mundo moderno y en la especialidad. SEGUNDA SEGUNDA UNIDAD: UNIDAD:

ÁLGEBRA EN LOS REALES

DURACIÓN:


APRENDIZAJES ESPERADOS: 1. Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas 2. Resuelven Resuelven problemas problemas relacionados relacionados con la especialidad, especialidad, aplicando el concepto concepto y las propiedades de las las razones 3. Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas 4. Calculan el término desconocido desconocido de una proporción, aplicando apli cando la propiedad fundamental fundamental de las proporciones 5. Resuelven Resuelven problemas problemas relacionad relacionados os con la la especialidad, aplicando el concepto concepto y las propiedades de las las proporciones. 6. Identifican proporcionalidad directa e inversa y expresan proposiciones algebraicamente. 7. Ap Aplic lican el concepto de Varia riación ión Prop roporcio rcion nal Dire irecta en inv inversa rsa en la res resoluc lución ión de prob roblem lemas rela relaccion ionados con la especiali ialid dad 8. Grafican variables relacionadas con la proporcionalidad directa e inversa en el contexto de la especialidad 9. Interpretan gráficos de variaciones proporcionales directa e inversa en el contexto de la especialidad. 10. Resuelven problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad 11. Resuelven Resuelven problemas problemas de tanto por ciento, descuentos descuentos y recargos, relacionados relacionados con la especialidad especiali dad 12. Identifican Identifican potencias, sus comp componentes onentes,, propiedades propiedades y operatoria 13. Operan con potencias 14. Identifican Identifican raíces, sus compo componentes, nentes, propiedades y operatoria 15. Operan con potencias 16. Resuelven expresiones numéricas aplicando concepto de logaritmo. Cuaderno Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los los estudiantes del Instituto Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos Derechos reservados AIEP. AIEP.

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I. IDENTIFICACIÓN NOMBRE DEL MÓDULO:

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA

UNIDAD UNIDAD DE CO COMP MPETEN ETENCIA: CIA:

Al finali finalizar zar el módulo los participant participantes es serán capaces de: Resolver problemas matemáticos básicos relacionados con el mundo de la economía, los negocios negocios la la tecnología y otros fenóm fenómenos enos socioeconóm socioeconómicos, icos, utili uti lizando zando efi eficazm cazmente ente calculadora científica 90 horas pedagógicas 36 horas (2 horas a la semana, semana, clase expositiva) expositiva) 54 horas (3 horas a la semana, semana, trabajo trabajo grupal en el aula)

DURACIÓN DURACIÓN:: HORAS HO RAS AULA: AULA: HORAS HO RAS TALLEREN AULA

II. DESCRIPCIÓN POR ÁREA DE FORMACIÓN Y PRERREQUISITO ÁR ÁREA DE FORMACIÓN IÓN: UBICACIÓN EN LA MALLA: PRERREQUISITO: PRERREQUISITO:

General ral Dife iferen renciad iada 1er semestre semestre no tiene tiene

III. UNIDADES DE APRENDIZAJE PRIMERA UNIDAD:

NIVELACIÓN

DURACIÓN:


APRENDIZAJES ESPERADOS: 1. Reconoce Reconocen n y nominan los conjuntos numéricos, numéricos, desarrollando desarrollando el lenguaje matemático matemático para establecer rel relaciones aciones entre ellos. ellos. 2. Utilizan Utili zan propiedades propiedades y reglas de los números números Reales Reales para resolver las cuatro operaciones básicas, básicas, con ayuda de ca calculadora lculadora científica. 3. Resuelven Resuelven problemas problemas sencillos, relacionado relacionadoss con la especial especialidad idad y el el mundo mundo cotidi cotidiano, ano, utilizand utilizando o calculadora científica, propiedades y reglas de los Números Reales 4. Transforman números decimales a fracción común y viceversa 5. Realizan operaciones combinadas de números decimales y fracciones, con ayuda de calculadora 6. Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el mundo moderno y en la especialidad. SEGUNDA SEGUNDA UNIDAD: UNIDAD:

ÁLGEBRA EN LOS REALES

DURACIÓN:


APRENDIZAJES ESPERADOS: 1. Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas 2. Resuelven Resuelven problemas problemas relacionados relacionados con la especialidad, especialidad, aplicando el concepto concepto y las propiedades de las las razones 3. Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas 4. Calculan el término desconocido desconocido de una proporción, aplicando apli cando la propiedad fundamental fundamental de las proporciones 5. Resuelven Resuelven problemas problemas relacionad relacionados os con la la especialidad, aplicando el concepto concepto y las propiedades de las las proporciones. 6. Identifican proporcionalidad directa e inversa y expresan proposiciones algebraicamente. 7. Ap Aplic lican el concepto de Varia riación ión Prop roporcio rcion nal Dire irecta en inv inversa rsa en la res resoluc lución ión de prob roblem lemas rela relaccion ionados con la especiali ialid dad 8. Grafican variables relacionadas con la proporcionalidad directa e inversa en el contexto de la especialidad 9. Interpretan gráficos de variaciones proporcionales directa e inversa en el contexto de la especialidad. 10. Resuelven problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad 11. Resuelven Resuelven problemas problemas de tanto por ciento, descuentos descuentos y recargos, relacionados relacionados con la especialidad especiali dad 12. Identifican Identifican potencias, sus comp componentes onentes,, propiedades propiedades y operatoria 13. Operan con potencias 14. Identifican Identifican raíces, sus compo componentes, nentes, propiedades y operatoria 15. Operan con potencias 16. Resuelven expresiones numéricas aplicando concepto de logaritmo. Cuaderno Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los los estudiantes del Instituto Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos Derechos reservados AIEP. AIEP.

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17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.

Calculan valor numérico numérico de expresiones que incl incluyen uyen logaritmos decima decimales les Calculan expresiones y operan con logaritmos naturales Identifican y operan con propiedades de los logaritmos Identifican potencias, raíces y logaritmos como operaciones inversas Identifican Identifican y reduce reducen n términos semejantes Reali Realizan zan operaciones operaciones básicas con poli polinom nomios: ios: Adición, Sustracción, Productos Productos Desarrollan productos de polinomios, utilizando las fórmulas de productos notables: cuadrado de binomio, producto de una suma por su diferencia Factorizan expresiones algebraicas Operan expresiones algebraicas con exponente, radicales y logaritmos aplicando sus propiedades y teoremas Calcula, con ayuda de calculadora científica, el valor numérico de expresiones numéricas y algebraicas con radicales, potencias y logaritmos aplicando aplicando sus propiedades propiedades Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando los diferentes tipos de números, operatoria y formas de expresión. Resuelven ecuaciones de primer grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral. Resuelven ecuaciones de segundo grado orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral Resuelven sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral. Resuelven ecuaciones exponenciales, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo cotidiano Resuelven ecuaciones logarítmicas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral Exploran sistemáticamente, diversas alternativas y estrategias para la resolución de problemas relacionados con la especialidad Resuelven problemas relacionados con la especialidad, seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y métodos de cálculo, incluyendo una sistematización del método ensayo error, y analizando la pertinencia de los datos y soluciones.

TERCERA UNIDAD:

LAS LA S FUNCIONES COMO MODELOS DESCRIPTIVOS DESCRIPTIVOS

DURACIÓN:


APRENDIZAJES ESPERADOS: 1. Identifican el concepto de función, su dominio y recorrido, operando con la nomenclatura correspondiente. 2. Calculan imágenes y coimágenes en funciones sencillas y las representan gráficamente. 3. Identifican Identifican la función lineal y la caracterizan a través de sus paráme parámetros, tros, ceros y gráfica 4. Operan con la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral 5. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de especialidad aplicando la función lineal como modelo 6. Identifican la función función cuadrática y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica. 7. Operan con la función con la función cuadrática en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral. 8. Resuelven Resuelven problemas problemas de la la vida cotidiana y de especialidad aplicando aplicando la función cuadráti cuadrática ca como como modelo. modelo. x 9. Identifican la función exponencial de la forma y a  b , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica. 10. Identifican el comportamiento de la función exponencial de la forma y a  bx cuando 0< b < 1 y cuando b> 1 11. Resuelven Resuelven problemas problemas contextualizados en el mundo mundo cotidiano yen la la especialidad, aplicando el modelo modelo exponencial. exponencial. 12. Identifican la función logarítmica de la forma y a  blog log x , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica. 13. Resuelven Resuelven problemas problemas contextualizados en el mundo mundo cotidiano y en la especiali especialidad, dad, aplicando el modelo logarítmico. 14. An Analiz lizan fen fenómenos de crec recimie imien nto line lineal, exponencial, ial, y log logarítm rítmic ico o en form forma a analíti líticca y gráfi ráficca. 15. Resuelven problemas de crecimiento contextualizados en el mundo cotidiano y de la especialidad, aplicando modelos de crecimiento lineal, exponencial y logarítmico.

IV. ORIENTACIONES ORIENTACIONES METODOLÓGICAS A) A) GENERALES: Iniciar el proceso de enseñanza-aprendizaje a partir de los conocimientos previos de los estudiantes. Diagnóstico. Centrar la docencia en el aprendizaje de los estudiantes, más que en la enseñanza. El estudiante debe ser activo. Situar y vincular permanentemente los aprendizajes, contenidos y actividades con el contexto social y laboral de los estudiantes y la carrera que estudian. Cuaderno Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los los estudiantes del Instituto Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos Derechos reservados AIEP. AIEP.

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Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 -

Utilizar la resolución de problemas como uno de los ejes fundamentales de la enseñanza-aprendizaje. Promover en los estudiantes la reflexión sobre sus conocimientos y las posibles implicaciones de sus actos. Promover aprendizajes de conocimientos, habilidades y actitudes, integradas y relevantes en el contexto de la carrera.

B) ESPECÍFICAS: -

Presentación centrada en el estudiante por parte del profesor de los diferentes contenidos temáticos. Desarrollo de diferentes ejercicios de práctica escritos. Actividades individuales de desarrollo de ejercicios específicos para cada contenido y aplicados a la especialidad. (Reforzamiento a través de actividades guiadas por el profesor, centradas en el estudiante). Actividades grupales de desarrollo de ejercicios específicos para cada contenido y aplicados a la especialidad. (reforzamiento a través de actividades guiadas por el profesor, centradas en el estudiante). Consolidación de conocimientos a través de diversos ejercicios guiados por el profesor, con el objetivo de esclarecer y reforzar contenidos.

V. EVALUACIÓN Las evaluaciones que se aplican en este módulo son del tipo ENE (Evaluación Nacional Estandarizada). Además cada docente puede evaluar los trabajos grupales u otras actividades con nota. De estos trabajos se obtiene una nota promedio, que corresponde a una nota por unidad. Con las notas del semestre se obtiene la nota de presentación a examen. Si esta nota es igual o mayor a 5,5 el estudiante se exime del examen final. El examen final es una Prueba Nacional Estandarizada escrita que equivale al 30% del promedio.

Evaluaciones Nacionales Estandarizadas Primera ENE: Prueba Escrita, coeficiente 1 ingresada en la primera columna de la Primera Unidad. Segunda ENE: Prueba Escrita, coeficiente 1 ingresada en la primera columna de la Tercera Unidad. Controles: Unidad 1: al menos 1 (Controles Escritos y promedio de los trabajos desarrollados.) Unidad 2: al menos 1 (Controles Escritos y promedio de los trabajos desarrollados.) Unidad 3: al menos 1(Controles Escritos y promedio de los trabajos desarrollados.) VI. BIBLIOGRAFÍA - Piotr Maarian Wisniewski /Ana Laura Gutierrez Banegas; 2003; Introducción a las Matemáticas Universitarias. - Jagdish C. Arya; 2002; Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía.

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VII. CLASE A CLASE PRIMERA UNIDAD: CLASE

NIVELACIÓN

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APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS 1. Conjuntos numéricos.  Reconocer y nominar los conjuntos numéricos, desarrollando el lenguaje matemático para 1.1. Naturales 1.2. Enteros establecer relaciones entre ellos. 1.3. Racionales 1.4. Irracionales 1.5. Reales CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.1 Conjunto de los Naturales: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......} El conjunto de los Números Naturales se caracteriza porque: Tiene un número infinito de elementos Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor. El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

1.2. Conjunto de los Enteros: Z = {..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción; la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él). Por lo tanto podemos decir que el conjunto de los números enteros, está formado por los Naturales, sus simétricos y el cero

1.3. Conjunto de Racionales: Q = {....- ¾, - ½, - ¼, 0, ¼, ½, ¾,.....} El conjunto de los Números Racionales está formado por todos los números de la forma

a . Esta fracción en la Cuál el numerador a, es b

un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero. El conjunto de los números Racionales, se define como:

a  Q   / a,b Z  b 0 b  Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión. Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.


4


1.4. Conjunto de los Irracion ales: Son aquellos que no se pueden expresar en forma Racional El conjunto de los números Irracionales se define como. I = {x / x es un decimal infinito no periódico} Algunos ejemplos de números irracionales son:

2 1,414213562..........

0,313313331.......



 3,141592653.......

a No deben confundirse con los números racionales, b a porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden escribirse en la forma b

A él pertenecen todos los números que no pueden escribirse en la forma

1.5. Conjunto de los Reales: El conjunto de los números reales se define como:

IR  Q  I  Con lo Cuál obtenemos la denominada recta numérica. Recordemos que una recta es una sucesión infinita de puntos alineados. Entre dos puntos existen infinitos puntos y a cada punto le corresponde un número Real

Valor absoluto de un número: El valor absoluto de un número real a denotado por a , es la distancia sobre una recta numérica entre 0 y el punto con coordenada a

 Si  Para cualquier número real x Si  

x 0 entonces x 0 entonces

x x x  x

Si x es positivo o 0, entonces x es su propio valor absoluto. No obstante, si x es negativo, entonces – x (que es un número positivo) es el valor absoluto de x. En consecuencia x  0 , para todos los números reales x. Ejemplo:

44

 44 Encuentre cada uno de los siguientes valores absolutos: a. 3

Respuesta: 3

c.  4

Respuesta. 4

b.   8

Respuesta. 8

d.  6   3

Respuesta: 18


5


CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS Reconocer y nominar los conjuntos numéricos, desarrollando el lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos.

CONTENIDOS 1. Conjuntos numéricos. 1.1. Naturales 1.2. Enteros 1.3. Racionales 1.4. Irracionales 1.5. Reales Taller de Matemáticas

1. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a.-La medida de una excavación de 5 metros de profundidad se puede representar por el numeral -5. b.-El valor del pasaje del trasporte público se representa por un número positivo. c.-La cantidad de personas que asiste a un evento esta representado por un número positivo. d.-La temperatura de un caluroso día de verano, en grados Celsius está dada por un número positivo. 2. En la figura siguiente, en los recuadros señalados por cada flecha, anote las sumas de los números que están en el cuadriculado respectivo

A) Los números de los recuadros señalados con las flechas son los cubos de 2, de 3, de 4 y de 5 B) La suma de los números de la diagonal principal de cada cuadriculado son los cuadrados de 2, de 3, de 4 y de 5. C) La suma de todos los números del sexto cuadriculado de este mismo tipo es 216. D) Todas las afirmaciones anteriores son verdaderas. 3. A continuación se presenta parte de una tabla de la ubicación de los números del 1 al 200. 1 17

2 18

3 19

4 20

5 21

6 22

7 23

8 24

9 25

10 26

11 27

12 28 33

13 29 34

14 30 35


15 31 36

16 32 37 6


La figura siguiente es parte de esta tabla. ¿Qué números deben figurar en los recuadros x e y? A) 96 y 98 B) 98 y 100 C) 101 y 103 D) 102 y 104

4. a.- Anote cuatro números enteros menores que 10 y mayores que 3 b.- Anote cuatro números enteros que sean mayores que  3 5. Dados 3 números irracionales determinar el orden de mayor a menor de ellos:

6 3 5 ; ; 2 7 2 2 6. Ordenar de menor a mayor los números: - (- 3);

CLASE



; e ;

7

3

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Utiliza propiedades y reglas de los números Reales 2. Operaciones Básicas: para resolver las cuatro operaciones básicas, con 2.1. Adición ayuda de calculadora científica. 2.2. Sustracción 2.3. Producto 2.4. Cuociente 2.5. Uso de calculadora científica Operaciones Básicas : Adición de números reales Cuando se efectúa la adición de números, el resultado se denomina suma. Por ejemplo: a. Sume:  5 y  7 b.

 5  (7)   12 Sume (2) y (8) (2)  (8)   10

Generalizando:  Con signos iguales: Sumar los valores absolutos de los números y mantener el signo común  Con signos diferentes: Restar los valores absolutos de los números (del mayor, restar el menor) y mantener el signo del número con mayor valor absoluto Sume los números. a. b.

 12  (20)  20 (8)


7


c.  15 (12) d.  30  (15)

Sustracción de números r eales: Cuando un número se resta de otro número, el resultado se denomina diferencia. Para encontrar una diferencia, podemos convertir la resta en una suma equivalente. Por ejemplo, la resta de 10 6 es equivalente a la suma de 10  (6) , porque tienen el mismo resultado: 10 6 4 10 (6)  4 Esto sugiere que, para restar dos números cambiamos el signo del número que se resta y sumamos Reste: a. 14 9  b.  20 10= c.  8 (12) 

Multiplicación de Números Reales Cuando se multiplican dos números, el resultado se llama producto. Podemos encontrar el producto de 5 y 4 si usamos el 4 cinco veces en una suma:

(5)  (4)  4  4  4  4  4 20 El producto de 5 y (4) lo encontramos al usar

 4 cinco veces en una suma:

(5)  (4)  (4)  (4)  (4)  (4)  (4)   20 Por lo tanto para multiplicar dos números reales:  

Con signos iguales: Multiplique sus valores absolutos. El producto es positivo Con signos diferentes: Multiplique sus valores absolutos. El producto es negativo.



Multiplicación por 0: Si x es cualquier número real, entonces x 0 0 x 0

Multiplicar: a. 3(9)  b.  4(15)  c.  3(9)

División de números r eales Cuando se dividen dos números, el resultado lo denominamos cuociente. En la división tal que b q a

a  q (b  0) , el cuociente q, es un número b


8


Considere las siguientes divisiones:

 24   12, ya que  2(12)  24 2  15 5

  3, ya que 5(3)   15

 24 12, ya que(2)12  24 2 Los resultados anteriores sugieren que, para dividir números reales.  

Con signos iguales: Divida sus valores absolutos. El cuociente es positivo Con signos diferentes: Divida sus valores absolutos. El cuociente es negativo.



División entre 0: La división entre 0 no está definida.

Si x 0, entonces

0 x  0.Sin embargo, no está definido para ningún valor de x x 0

Dividir: a.

b.

c.

30  15

 20 4

 10  5

Orden de las operaciones: Consideremos la expresión:

10  3 4 , que contiene las operaciones de adición y multiplicación, convenimos en efectuar las multiplicaciones antes que las sumas:

10  3 410  12 Realice primero la multiplicación Luego realice la adición  22 Para indicar que las sumas deben efectuarse antes que las multiplicaciones, debemos utilizar signos de agrupación como son los paréntesis:

  Paréntesis redondo   Paréntesis rectangulares   Paréntesis de llaves Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Por ejemplo en la expresión 3 7  2 , los paréntesis indican que la adición debe efectuarse primero:

3 7  210 2 20 Para garantizar resultados correctos, realizar el siguiente orden: Utilice los siguientes pasos para realizar todos los cálculos dentro de cada par de símbolos de agrupación; trabaje del par más interno al más externo. a. Efectúe todas las multiplicaciones y divisiones, trabajando de izquierda a derecha. b. Efectúe todas las adiciones y sustracciones, trabajando de izquierda a derecha Cuando se hayan eliminado todos los símbolos de agrupación, repita las reglas antes mencionadas para finalizar el cálculo. En el caso de una fracción simplifique (divida el numerador y el denominador por el mismo número) Ejemplo: Evalúe la siguiente expresión:

4(7  2):5 1 4( 5) : 5 1  20: 5  1 5  4 1 5

Evaluar: a. 53 26 : 3 1

b.

4  83 4 6  22

Respuesta:

 15

Respuesta:

2

Propiedades de los números r eales: Sean a, b y c elementos pertenecientes a un conjunto numérico, entonces: AXIOMAS A1

Clausura composición interna)

A2 Conmutatividad A3 Asociatividad A4 Elemento Neutro A5 Elementos Inversos A6 Distributividad

ADICIÓN MULTIPLICACIÓN Sean a y b números pertenecientes de un mismo conjunto, (Ley de entonces: a  b pertenece al mismo a  b pertenece al mismo conjunto conjunto

a  b  b a a  (b  c)  (a  b)  c a  0  a  0 a a  (a)  0  (a)  a a  (b  c)  a  b  a  c

a  b  b a a  (b c)  (a  b)  c a  1 a  1 a a  a1  1 a1  a


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CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Utiliza propiedades y reglas de los números Reales para resolver 2. Operaciones Básicas: las cuatro operaciones básicas, con ayuda de calculadora 2.1. Adición científica. 2.2. Sustracción Resuelven problemas sencillos relacionados con la especialidad y 2.3. Producto el mundo cotidiano, utilizando calculadora científica, propiedades 2.4. Cuociente y reglas de los números reales. 2.5. Uso de calculadora científica Taller Resolver los siguientes problemas 1. Obtenga el valor final de:

 5  6 7  18 7  6 15  40

2. En 15 barriles de la misma capacidad, se han almacenado 1.200 litros de agua. ¿Cuántos barriles son necesarios para almacenar 8.400 litros de agua? Respuesta: a) 1200  15= 80  la capacidad del barril es de 80 litros b) 8400  80 = 105  se necesitan 105 barriles. 3. En una bodega hay 400 cajones de manzanas. Cada cajón tiene 80 manzanas. En diciembre se almacenan otros 639 cajones. ¿Cuál de las siguientes preguntas se contesta mediante una adición? A) B) C) D)

¿Cuántas manzanas hay en la bodega? ¿Cuántas manzanas se almacenan en Diciembre? ¿Cuántos cajones hay ahora en la bodega? Si se venden 180 cajones, ¿cuántos quedan por vender en la bodega?

4. Un camino de 37 baldosas se desea modificar para generar un cuadrado sobre el cuál se instalaría una maceta. ¿Es posible realizar esta modificación con 37 baldosas? ¿Es posible, si son 36 baldosas? Respuesta: Un cuadrado es un paralelogramo cuyos lados tienen igual medida, por lo que No existe un número natural tal que al multiplicarse por sí mismo, dé 37.En cambio con 36 baldosas Sí es posible. Todos los números que no es posible descomponerlos en factores distintos de 1 y de sí mismo, se denominan Primos. 5. Un buzo que hace trabajos en una obra submarina se encuentra en la plataforma base a 6 metros sobre el nivel del mar y realiza los desplazamientos siguientes: a. Baja 20 metros para dejar material b. Baja 6 metros más para hacer una soldadura c. Sube 8 metros para reparar una tubería d. Finalmente vuelve a subir a la plataforma. ¿Cuantos metros ha subido en su último desplazamiento hasta la plataforma? Solución: 18 metros 6. En una industria de congelados, la temperatura en la nave de envasado es de 12 grados Celsius, y en el interior del almacén frigorífico, de 15 grados Celsius bajo cero. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre la nave y la cámara? 7. Un día de invierno amaneció a dos grados bajo cero. A las doce del mediodía la temperatura había subido ocho grados, y hasta las cinco de la tarde subió tres grados más. Desde la cinco a medianoche bajo cinco grados, y de medianoche al alba, bajo seis grados más. ¿A qué temperatura amaneció el segundo día? Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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8. El empresario de un parque acuático hace este resumen de la evolución de sus finanzas a lo largo del año. Enero – Mayo: pérdidas de 2.475 euros mensuales Junio – Agosto: ganancias de 8.230 euros mensuales Septiembre: ganancias de 1.800 euros Octubre – Diciembre: pérdidas de 3.170 euros mensuales ¿Cuál fue el balance final de año? 9. Ud. tiene una Cuenta Corriente en un determinado Banco y como usted es una persona muy ordenada, contabiliza sus haberes de la siguiente manera: Saldo anterior Depósito/ Cargo   Red compra Saldo Valor del cheque Nuevo saldo Si su saldo anterior fue de $1.200.000, depositó hoy $350.000, realiza compras por un total de $250.000, usando su Red Compra y cancela la cuenta de la luz con cheque por $15.000. ¿Cuál es su nuevo saldo? Respuesta: $1.285.00

CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS - Transforman números decimales a fracción común y viceversa. - Operaciones con fracciones

CONTENIDOS Transformaciones: Transformación de fracción a decimal Transformación de un número decimal infinito periódico o semiperiódico a fracción

REPRESENTACIÓN DECIMAL DE NÚMEROS RACIONALES: Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0,5. 3405/25=136,2 y 1/3= 0,33333....... Esto puede dar lugar a dos tipos de desarrollos decimales , los finitos (nº decimal) y los periódicos. Éstos últimos pueden a su vez dividirse en periódicos o periódicos mixtos . Desarrollo decimal finito , es aquél que tiene un número finito de términos. Por ejemplo: 0,5, 1,348 ó 367,2982345 Estas expresiones surgen de números racionales cuyo denominador (en la expresión irreductible) sólo contiene los factores 2 y 5. Por ejemplo 1349/1000, 40/25, … Desarrollo decimal periódico es aquél que tiene un número infinito de cifras decimales, pero, de modo que un grupo finito de ellas se repite infinitamente, de forma periódica, llamado período , por ejemplo 0,333333....., 125,67777777....... ó 3,2567256725672567...... Surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5, por ejemplo, 1/3=0,33333... En un desarrollo decimal periódico mixto , antes del período y después de la coma aparece un bloque de una o más cifras que no se repite, llamado anteperíodo.

Podría considerarse que las expresiones decimales finitas son periód icas mixtas pero con período 0. TRANSFORMACIÓN DE FRACCIÓN A DECIMAL Para transformar una fracción en un número decimal, se divide el numerador por el denominador:


12


Ejemplos: 1)

125  125: 400  0,3125 (desarrollo decimal finito) 400

2)

5  5: 6  0,833333 (desarrollo decimal periódico mixto) 6

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN Recíprocamente, dado un desarrollo decimal finito o periódico , puede encontrarse una expresión racional (fracción ) para la misma, siguiendo la siguiente norma: Si el desarrollo decimal es finito : se coloca como numerador el número entero que resulta de suprimir la coma decimal y como denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras se encontraran a la derecha de la coma decimal en la expresión decimal original. Ejemplo: 

34,287 

34287 1000

Si el desarrollo decimal es periódico : se coloca como numerador el resultado de restar al número entero, sin coma, hasta la primera repetición del período, la parte entera. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período. Ejemplo: 

32,532 532... 

32532  32 999

= 32500 999

Si el desarrollo decimal es periódico mixto: se coloca como numerador el resultado de restar al número entero formado por la parte entera, el anteperíodo y la primera repetición del período, el entero formado por la parte entera y el anteperíodo. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Ejemplo: 

4,58 41 4141... 

45841 458 9900

=45383 9900

Posteriormente se pueden simplificar las fracciones obtenidas para conseguir la expresión irreductible.

FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número decimal. Es decir, al dividir numerador por denominador, el resultado es el mismo. Para obtener fracciones equivalentes, se amplifica o simplifica la fracción, por cualquier número distinto de cero. Ejemplos: 1) Dada la fracción

2 2·2 4 , si la fracción se amplifica por 2, se obtiene , que es equivalente a la anterior ya que al dividir 2 en  5 5·2 10

5 se obtiene 0,4 y al dividir 4 en 10, también se obtiene 0,4. 2) Dada la fracción

5 5: 5 1  , que es equivalente a la anterior, ya , si se divide numerador y denominador por 5 se obtiene 20 20 : 5 4

que al dividir 5 en 20 se obtiene 0,25 y al dividir 1 en 4 se obtiene, también, 0,25.

Observación : Si una fracción no es simplificable, se denomina fracción irreductible. Si una fracción se amplifica por cada elemento de Z (excepto el cero) se forma el conjunto llamado clase de equivalencia. Ejemplos de clases de equivalencia:


13


1 1 2 3 4 5    , , , , ,... 2  2 4 6 8 10  3  3 6 9 12     , .  , ,... 4  4 8 12 16  PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES:

a a: n equivale a . Sólo se pueden efectuar en presencia de multiplicación. b b: n a a n 2. Amplificar una fracción equivale a b b n 1. Simplificar una fracción

3. Máximo común div isor (MCD) entre dos o más números es el mayor número que divide exactamente a todos ellos. Ej.: el MCD entre 48-96-64 es 16. 4. Mínimo común múltiplo (MCM) entre dos o más números es el menor número que es divisible por cada uno de ellos. Ej.: el mcm entre 48-96-64 es 192. El mínimo común múltiplo entre 15, 45 y 60 es 180 Para determinar el MCM se procede de la siguiente forma. Disponer los números en una tabla y comenzar a dividir por 2, 3, 5, 7, etc.

15 15 15 5 5 1

45 45 45 15 5 1

60 30 15 5 5 1

2 2 3 3 5

El mínimo común múltiplo resulta de multiplicar 2 ·2 ·3 · 3 · 5 = 180 5. Fracción propia es la fracción menor que la unidad. Ej.: 3

25 6. Fracción impropia es la fracción igual o mayor que 1. Ej.: 25 3 7. Las fracciones impropias se transforman en números mixtos . Ej. 8. Igualdad de fracciones : 9. Comparación entre dos fracciones

a c  b d a c  b d

25 1 8 3 3

 ad  bc 

ad  bc

10. Intercalar un racional entre dos r acionales dados : - ordenar de menor a mayor los racionales - sumar los numeradores y denominadores respectivamente - la fracción así obtenida se ubica entre las fracciones dadas Ej.: ubicar una fracción entre

2 5  5 4

2 2 5 5 2 7 5   , entonces, se determina que   5 5 4 4 5 9 4 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

14


11. Inverso multiplicativo. Si el producto de dos números es 1, los números son recíprocos o inversos multiplicativos. 3

Ej.:

4

 4    1  3 

a c y son números racionales, se define: b d

OPERACIONES CON FRACCIONES: Si OPERACIÓN ADICIÓN

a c ad  bc   b d bd a c a c   b b b a c a c    b d b d a·c a c ·  b d b· d

Adición con denominadores iguales SUSTRACCIÓN MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN

a c a d a· d  ·  : b d b c b· c

Completar la siguiente tabla, sabiendo que a, b, c, d son números racionales.

1

2

3

a

b

c

d

2

7

3

6

5

8

2

5

1

1

21

1

3

8

10

10

45

4

2

3

4

5

25

40



a b

c· d

a–(b+c)

(a+b )·c

a·b – c·d

Respuesta.

a b 1



2

3



c· d

16



35

9

9

5

40

8

21

3

100

225 16



a–(b+c)



(a+ b )·c 

57

29

80

20

227

77

120

80

3

1213

500

100



a·b – c·d

209 250





101 600 4497 500


15


CLASE

6

APRENDIZAJES ESPERADOS - Transforman números decimales a fracción común y viceversa. - Operan con fracciones

CONTENIDOS Transformaciones: Transformación de fracción a decimal Transformación de un número decimal infinito periódico o semiperiódico a fracción Taller

Resolver los siguientes problemas:

1. En la especialidad de alimentación se preparan tort as para una recepción. Susana preparó 2 tort as de igual tamaño, una de piña y otra de manjar. La de piña la dividió en 24 trozos iguales y la otra en 12 trozos iguales. Don Juan, asistente a la recepción, comió 4 pedazos de torta de piña y dos de manjar. a) b) c) d) e)

Represente numéricamente cuánto de torta de piña comió don Juan Represente numéricamente cuánto de torta de manjar comió don Juan ¿Comió lo mismo de ambas? ¿Cuánto comió en total? Si cada trozo de torta de piña se vendiera a $400 y cada trozo de torta de manjar se vendiera a 1/3 de lo que se vende el de piña, ¿Cuánto debería pagar don Juan por lo que comió?

Solución a) La torta de piña se divide en 24 partes iguales y se toman 4 de ellas, se obtiene la fracción:

b) La torta de manjar se divide en 12 partes iguales y se toman 2 partes, se obtiene la fracción :

c) ¿Qué puede decir de las fracciones

5 20

y

1 4

4 24

2 12

? ¿Son iguales? ¿Por qué?


16


Entonces, tomando la fracción de la torta de piña

4 24

Luego, hacemos lo mismo con la fracción de la torta de manjar Podemos concluir que las fracciones

4 24

y

2 12

4: 4

se simplifica por 4, 2 12

24 : 4



1 6

se simplifica por 2,

2: 2 12 : 2



1 6

representan la misma fracción , son fracciones equivalentes , luego, don Juan

comió la misma cantidad de torta de piña que de manjar.

d) Debemos sumar 4/24 y 2/12 ó 1/6 y 1/6. Resulta más fácil la segunda opción, pues, son dos fracciones de igual denominador :

1 1 2 1    . Don Juan comió 1/3 (un tercio) de torta, en total. 6 6 6 3 e) Para saber cuánto debería pagar, multiplicamos 4*400 = $1.600, lo que correspondería a los trozos de torta de piña. Para saber el valor de un trozo de torta de manjar multiplicamos

1 400  400   $133,333... El valor de cada trozo de torta de manjar es 3 3

$133. Aproximamos al entero, pues, la división 400/3 da un número decimal infinito periódico y los precios en Chile no tienen decimales. En total, don Juan debería pagar: 4*400 + 2*133 = $1.866 por lo consumido.

2. Un almacén de pinturas utiliza 2/3 de la superficie para almacenar pinturas, 1/4 del resto para disolventes y los 600 m² restantes para pintar. ¿Cuántos metros cuadrados tiene el almacén? Solución: Al decir 2/3 significa que queda 1/3 que no almacena pinturas. La suma de las partes debe dar el entero 3/3 = 1. 1 1

Al decir ¼ del resto, significa ¼ de 1/3. Debemos multiplicar ¼ por 1/3,



4 3

1 1



4 3



1 12

.

O sea, 1/12 del almacén contiene disolventes. Pero, la pregunta apunta al total de metros cuadrados que tiene el almacén. Si ¼ de 1/3 están con disolventes, entonces, ¾ de ese 1/3 no tienen ni pintura ni disolventes, es decir, está destinado a pintar y corresponden a 600 m2 .

Multiplicando de nuevo ¾ por 1/3 y simplificando:

3 1



4 3



31 4 3



3 12



1 4

obtenemos que ¼ corresponde a 600 m2 . Luego

2

multiplicando por 4 concluimos que el almacén tiene 2.400 m .

3. En una fábrica de automóviles se trabaja desde las 8 hrs. hasta las 20 hrs. El proceso para maximizar la producción es el siguiente: 1 3 1 4 1 2 1 3 1 2

del tiempo se dedica a la construcción de motores de la jornada para carrocerías del tiempo que se ocupa para fabricación de motores, se utiliza para construir accesorios. del tiempo destinado a carrocerías, se usa para afinar detalles finales. del tiempo utilizado para los accesorios, se destina a almorzar.

El resto de la jornada se dedica a actividades recreativas. ¿Cuántas horas se dedican a esta actividad? 4. Se tienen dos botellas de bebida. La primera de 1

1 4

lt. y la segunda de

3 4

lt. Con cada una se llenan vasos de

1 8

¿Cuántos vasos más se pueden llenar con la primera botella que con la segunda? Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

17

lt.


Respuesta: 4 vasos más 5. Una lechería despacha al supermercado 18 cartones de mantequilla de 25 kg. cada uno. La mantequilla está envasada en paquetes de

1 4

de kg. Calcular cuántos paquetes se despacharon.

Respuesta: 1.800 paquetes de mantequilla 6.

1 5

de los ingresos de una comunidad de vecinos de un edificio se emplean en gas,

recogida de basuras,

1 4

1 3

se emplean en electricidad,

1 12

en la

en mantenimiento del edificio y el resto en limpieza.

a) ¿Cuánto se emplea en limpieza? b) Si la comunidad dispone de $3.300.000, ¿cuánto corresponde a cada actividad? 7. En un centro comercial, 5 de cada 7 empleados cobran cada 15 días, 2 de cada 9 lo hacen mensualmente y el resto cobra semanalmente. Si en total hay 6.300 empleados, hallar el número de empleados de cada clase.


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CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Realizan operaciones combinadas de números decimales y -Operaciones básicas con decimales fracciones, con ayuda de calculadora. La matemática en el mundo cotidiano y - Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el en la especialidad mundo moderno y en la especialidad

Clase de Taller: Resolver los siguientes problemas: 1. 2.

a  b  3c b(c  a) 1 (a  b)  c Si a   4, b 3,5, c   , evalúe b 5 c 1 3

Si a  2, b , c  3, 25, evalúe

3. Se desea construir un edificio de 10 pisos con 4 departamentos por piso y dos niveles de estacionamientos subterráneos. Para esto se realiza una excavación de 5 metros y se construye una fundación para 8 pilares como soporte del edificio. Cada uno de los departamentos debe tener una altura de 2.5 metros entre suelo y cielo, además cada nivel estará dividido por una losa de 15 centímetros más una sobre losa de 7 centímetros. 4. De acuerdo a la situación planteada: a) Calcular la altura del edificio y la de la construcción. Respuesta: 27,2 metros b) Si uno de los dormitorios de los departamentos es cuadrado y tiene una superficie de 10 metros cuadrados ¿cuáles son sus dimensiones? Respuesta: 3,16 metros por lado c) Si por cada departamento se pagan $ 44.775.000 ¿Cuál es el precio expresado en UF si UF 1 = $19.930? Respuesta: UF 2.246,6314… 5. Una familia consume 1

1 litro de leche diariamente. Calcular: 2

a)el consumo semanal b)el consumo en el mes de Abril c) el consumo anual.

6. En la celebración de unos tijerales participan 38 albañiles y carpinteros, además de 10 empleados de la obra. Cada uno recibe con la comida, 4 vasos de vino de que encargar?

1 2 litro y 2 vasos de bebida de litros cada uno. ¿Cuántos litros de vino y cuántos de bebida hubo 8 5

7. Si un trozo de tela mide 820 cm. y se divide en 4 partes, de modo que, el segundo trozo sea 2/3 del primero, el tercer trozo sea 1/5 del segundo y el cuarto trozo es el doble del tercer trozo, calcular el tamaño longitudinal de cada trozo de tela.


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CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Realizan operaciones combinadas de números decimales y -Operaciones básicas con decimales fracciones, con ayuda de calculadora. - Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el mundo moderno y en la especialidad

La matemática en el mundo cotidiano y en la especialidad

Clase de Taller. Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grup al. 1. Un mayorista vende azúcar a $750 el kilo en el caso de cantidades hasta 100 kilos .Si se trata de cantidades mayores a 100 kilos, pero menores que 200 kilos la tarifa es de $675 el kilo y para compras superiores a 200 kilos el precio es de $600 el kilo. Si en un día cualquiera las compras efectuadas al comerciante fueron las siguientes: Comprador 1: 250 kilos de azúcar; comprador 2: 120 kilos de azúcar; comprador 3: 95 kilos de azúcar. Determine la cantidad total de dinero cancelada por los tres compradores. 2. Un cartero reparte correspondencia en un edificio de cuatro pisos sin ascensor .Cierto año subió 25 días al primer piso, 72 días al segundo piso, 43 días al tercer piso y 140 días al cuarto piso. El número de escalones que hay de la calle al primer piso es 32 y 24 entre piso y piso. ¿Cuantos escalones subió el cartero durante ese año solo en el servicio de ese edificio? 3. Para la formación de una sociedad se reúnen cuatro socios A, B, C y D. El socio A aporta $1.500.000, el socio B la mitad del aporte del socio A, el socio C, el triple del aporte de A y el socio D $750.000 más que el socio B, determine el aporte total para la formación de la sociedad. 4. Un comerciante compró 500 unidades de un producto a 6 euros cada uno .Vendió cierto número de unidades en 500 euros, a 5 euros cada una. ¿A que precio debe vender el resto para no perder? 5. Una persona compra en un mall de la capital dos artículos A y B por un total de $300.000, si por el artículo B canceló $35.800 menos que por el artículo A, determine el precio de cada artículo. 6. Obtener el valor entero correspondiente a la expresión:

  9  10  4  3 2  8  3 14: 7 1 4

7. Sean a   ; b  0,75; c  0, 2 y d 

3 (a  b  c)  a , calcule el valor de  5 b d

8. Una jarra tiene 5 de litro de capacidad y está llena de jugo. Se echa 1 de litro de este jugo en un vaso. ¿Cuanto queda en la jarra?

4

5

9. El agua contenida en cuatro depósitos pesa 879,002 Kg. El primer depósito contiene 18,132 Kg. menos que el segundo; el segundo, 43,016 Kg. más que el tercero, y el tercero 78,15 Kg. más que el cuarto. Hallar el peso del agua contenida en cada depósito.


20


CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e - Razones: Concepto, Cálculo e interpretación. interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Proporciones : Concepto, Teorema Fundamental - Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad -Término desconocido de una proporción e interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Calculan el término desconocido de una proporción, aplicando la propiedad fundamental en las proporciones. Frecuentemente comparamos dos o más cantidades, por ejemplo, cuantas veces es mayor el precio del trasporte de una mercadería si se dispone de las cotizaciones de dos empresas de despacho a domicilio. 1.- Una empresa importadora dispone de dos cotizaciones para realizar el traslado de mercaderías que se encuentran en una bodega del puerto de Valparaíso a las bodegas de la empresa ubicadas en el sector sur de la región metropolitana. Los valores de cada cotización son: C1:$ 375.000 y C2: 431.250 ambas con IVA incluido. ¿Cuántas veces el valor de la cotización C2 corresponde a la cotización C1?

SOLUCIÓN: En la pregunta planteada debemos entender el concepto que recurramos a un ejemplo simple:

matemáticamente nos entrega la palabra “veces”. Para ello

¿Cuántas veces esta contenido 20 en 40? Claramente entendemos que 40 es “doble” de 20, es decir si 20 se multiplica por 2 se obtiene 40. Por lo tanto podemos establecer que 40 es 2 veces 20. Entonces: para determinar la cantidad de veces un número esta contenido en otro bastará con conocer el factor que multiplica a uno de los números para obtener el otro. En el problema planteado se tiene: 431.250  A  375.000; donde A representa el numero de veces que el valor 375.000 esta contenido en 431.250, es decir: 431.2500/375.000 = 1,15 veces. 2.- Las utilidades anuales de una empresa que asciende a 100 millones de pesos se reparte entre dos socios de forma que el primero recibe 40 millones y la segundo 60 millones. Establezca una relación entre las partes que cada uno recibe, con respecto al monto total de las utilidades.

SOLUCIÓN: Como necesitamos establecer la relación entre los montos recibidos por cada socio tenemos dos alternativas, establecer cuantas veces es menor el valor 40 millones que el valor 60 millones ó bien cuantas veces es mayor 60 millones que 40 millones. La primera alternativa corresponde a: 40 millones  A  60

millones; de donde se obtiene que:

40 millones

60 millones 40 lógico podemos prescindir de la unidad millones y así obtenemos una relación mas simple de la forma:  A. 60 2

Esta última relación podemos expresarlas en números más simples, es decir

3

 A ; como es

 A.

Esta relación nos indica que las cantidades recibidas por cada socio se puede expresar diciendo que uno recibe dos partes de las utilidades y el otro tres partes.


21


Si se considera la segunda alternativa, se tiene que: 3

anterior, se puede concluir:

2

 B,

60 millones

 B  40

millones;

y procediendo de forma similar al caso

lo que indica que un socio recibe tres partes y la otra dos partes de total de las utilidades

De lo anterior, podemos concluir que el socio que recibe 40 millones representa dos partes de las utilidades y el que recibe 60 millones tres partes. La relación entre dos cantidades, expresada en números enteros y sencillos, se denomina RAZÓN. Esta razón se representa utilizando simbología fraccionaria o de división, por ejemplo:

2 Si 2 partes de A se relacionan con 5 partes de B, se establece la razón 5 o bien 2 : 5 a Una razón escrita en cualquiera de sus formas, ó a : b, se lee: “a es a b” b La fracción o cuociente que genera una razón corresponde al valor de la razón e indica el número de veces que una de las cantidades esta contenida en la otra, por ejemplo: Si dos cantidades están en la razón 4: 5, significa que la primera esta contenida en la segunda cuatro quintas veces o dicho de otra forma 0,8 veces. También se puede establecer que la segunda está contenida en la primera cinco cuartos veces es decir 1,25 veces. Al invertir los términos de una razón se obtiene otra razón denominada razón inversa, por ejemplo: Si una razón es 4 : 5 su razón inversa es 5 : 4 Estas dos razones, que podríamos llamar directa e inversa, si bien mantienen la relación entre las cantidades, su interpretación o significado es diferente como se pudo ver al analizar el valor de cada una de ellas. Los términos que forman una razón se denominan ANTECEDENTE y CONSECUENTE Dada la razón

a , a se denomina antecedente y b consecuente b

PROPORCIÓN Una proporción es la igualdad de dos razones: Se anota

a c  y se lee “a” es a “b” como “c” es a “d” ; donde se debe cumplir como propiedad fundamental que: b d

a  d  b c

.

El producto de los extremos es igual al producto de los medios Ejemplo: El rendimiento de un automóvil en carretera es de 20 Km. por litro de combustible. Si se tiene que viajar una distancia de 450 Km. A lo largo del país. ¿Qué cantidad de combustible se deberá utilizar? La solución a la interrogante planteada se escribe como una proporción, donde:

20km. 450km.  x 11lt.

Utilizando el teorema fundamental de las proporci ones, tenemos:

20km. x1lt.  450 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

22


x

450 1 20

x 22,5litros Otras propiedades importantes son: En toda proporción, la suma o diferencia de los términos de una de las razones es a uno de sus términos, como la suma o diferencia de los términos de la otra razón es a uno de sus términos: a) c)

ab a ab a

 

cd

b)

c c d

d)

c

ab b ab b

 

cd d c d d

En toda proporción, la suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes, como un antecedente es al consecuente de una de las razones: a.

a c a  ; b d b

b.

a c c  ; b d d

c.

a c a  b d b

d. .

a c c  b d d

3 , al multiplicar simultáneamente antecedente y consecuente por una misma magnitud n, la razón se modifica: 5 3 n 3 n2  3 n3  3    ....... generando una serie de razones de igual magnitud. 5 n 5 n2  5 n3  5

Una razón de la forma

Hemos definido la proporción como la igualdad de dos razones pertenecientes a dos magnitudes entre las Cuáles se puede establecer alguna relación, pero también este concepto de proporción se puede ampliar a más de dos razones iguales, generándose una Serie de Razones o Proporción Múltiple, dada por:

a c e g x     ..........  K b d f h y Siendo K la constante de proporcionalidad y corresponde al valor de la serie de razones. Esta ampliación del concepto de razón, permite establecer relaciones entre varias magnitudes.

Ejercicios. 1. En un supermercado de la comuna de Santiago el kilogramo de harina se comercializa a $450 y se desean adquirir 45 Kg. de este producto. Usando el concepto de proporción determine el valor a cancelar por la compra de este producto.

1Kg. 45kg  $450 $x

x 450 45 x $20.250


23


2. En una empresa los dividendos obtenidos después de un año de inversiones positivas, se pretende dividirlos e cuatro estamentos, de acuerdo a la siguiente proporción múltiple:

A : B : C : D 1: 3: 5: 7 Si el monto de este dividendo alcanza los 800 millones de pesos. ¿Cuál deberá ser el monto a recibir por cada estamento de la empresa? La proporción múltiple, A : B : C : D 1: 3: 5: 7la podemos expresar como:

A B C D     K de modo que: 1 3 5 7 A  K ;

B  3K ;

C  5K ;

D  7K pero A  B  C  D  800 millones

Por lo tanto K  3K  5K  7K  800 millones

K 

800  50 (valor de la constante de proporcionalidad, válida para cada razón de la serie) 16

Conociendo el valor de K se determina el monto a recibir por cada estamento de la empresa:

A 50millones; B 150millones; C  250 millones;

CLASE

D  350 millones

10

APRENDIZAJES ESPERADOS - Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas. -Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Calculan el término desconocido de una proporción, aplicando la propiedad fundamental en las proporciones.

CONTENIDOS - Razones: Concepto, Cálculo e interpretación. - Proporciones : Concepto, Teorema Fundamental -Término desconocido de una proporción Taller

Clase de Taller Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grup al. 1. Un cordel que mide 24 metros, se hacen dos cortes de modo los trozos que se obtienen se encuentran en la razón 3: 4: 5. ¿Cuál es la medida que tiene el trozo de mayor longitud? Respuesta: El trozo de mayor longitud, mide 10 metros 2. En la confección del plano de una casa, se ha utilizado la escala 1 : 100, entonces: a) ¿Cuál será la medida real de un muro que en plano mide 2,5 centímetros? b) ¿Cuál será la medida en el plano de la altura de una ventana que mide 1,2 metros? 3. En “propiedades.elmercurio.com” se han encontrado los siguientes avisos de venta de propiedades: Aviso 1:

652.000.000 Mónica Pobrete Piedra Roja, 566/ 1.800, impecable, cuatro dormitorios en suite, cinco baños, escritorio, estar, mansarda: amplia sala juegos, subterráneo, hermosísimo jardín, piscina, (0)92233xxx, 2323xxx. Publicado: 24/02/2009 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Av Aviso iso 2:

415.000.000 Berríos Publicado: 23/02/2009 23/02/2009

Zegers.cl,

Quinchamalí

405/

1800

Mediterránea

Nueva,

4807xxx

¿Cuántas veces es el valor de la propiedad más cara con respecto a la más barata? ¿Cuántas veces es el valor de la propiedad más barata con respecto a la más cara? 4. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 4:9:2. ¿Cuál es la medida de cada uno? 5. En la elaboración de una pintura para el revestimiento de una placa metálica se utilizan 3 componentes A, B, y C. Par fabricar esta pintura se mezclan 3 partes de A por cada 5 partes de B y 2 partes de C por cada 7 partes de A. Determine la cantidad de cada componente para fabricar 93 litros de esta pintura. Respuesta. 31,5 litros de A; 52,5 litros de B; 9 litros de C. 6. La diferencia diferencia entre los lados conti contiguos guos de un rectángulo es 4 metros metros y están en la razón 5 es a 6 ¿Cuál es su perímetro? Si se pagan pagan $12.000 por 40 minutos minutos de tiempo en en el uso de su teléfono. Con la información información anterior completar completar la la siguiente tabla: Costo pesos

Minutos

en

3.000

1.200 20

48.000 80

7. La razón entre el precio de un litro de bencina u un litro de petróleo es de 5: 3 y se deben cargar 5 camiones, de los Cuáles 3 son petroleros y 2 bencineros, gastando en total $218.000. $218.000. a.-¿Cuál es la cantidad de dinero asignado al gasto de petróleo?

Respuesta: $103.363

b.- ¿Qué cantidad se gasta en cada camión bencinero si sus estanques tienen la misma capacidad? Respuesta: $57.368 8. En supermercado de la capital, se tiene la siguiente oferta: Tres productos tipo A más Cinco productos tipo B por un total de $25.000. Si el producto A y el producto B están en la razón 3: 7 Determine el valor unitario del producto A y del producto B.

CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS -Identifican proporcionalidad directa e inversa y expresan proposiciones algebraicamente. - Grafican variables relacionadas con proporcionalidad directa e inversa en el contexto de la especialidad - Interpretan gráficos dde e variaciones proporcionales directas, e inversas y no proporcionales, relacionados con situaciones y fenómenos comerciales, económicos etc. -Aplican el concepto de Variación Proporcional Directa e Inversa en la resolución de problemas relacionados con la especialidad especiali dad

CONTENIDOS Proporcionalidad y Variación Proporcional : Proporción Directa Proporción Inversa Proporción Conjunta Gráficos de la proporcionalidad directa e inversa.

1. Entre dos o más magnitudes de cualquier naturaleza se pueden establecer relaciones de proporcionalidad y determinar como las cantidades pertenecientes a estas magnitudes varían mutuamente. Si se desea embarcar toneladas de un producto para exportar a países vecinos, cada tonelada de este producto tiene un costo en pesos, costo que crece a medida que la cantidad de toneladas a embarcar también crece.

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2. Por el contrario, si se desea viajar entre dos ciudades de nuestro país en un automóvil, la cantidad de kilómetros ha recorrer dependerá de la cantidad de gasolina que se encuentre en el estanque, de modo que, a mayor distancia recorrida, menor será la cantidad de combustible que quedará en el estanque del automóvil. En ambas situaciones planteadas existen magnitudes que se relacionan. En el primer caso ambas crecen simultáneamente, Proporcionali Proporcionalidad dad Directa y en el segundo segundo caso al crecer una la otra disminuye simultáneame simultáneamente, nte, Proporcionalidad Inversa.

Proporcionalidad Directa Dos magnitudes A y B son Directamente Propor dos cantidades cantidades pertenecientes pertenecientes a A y B, son iguales entre Proporcionales, cionales, si la razón entre dos sí y a la vez iguales a una constante K, constante de proporcionalidad

A : a1, a2 , a3, a4 ,...........an B:b1,b2 ,b3 ,b4 ,...........bn La cual se anota:

a a1 a2   ............... n b1 b2 bn

y se lee A es directamente directamente proporcional proporcional a B  A K  B Ejemplo Una empresa empresa del área gastronómica, desea estimar estimar la cantidad de dinero que necesita para realizar reali zar una recepción para 130 personas dado que en 12 porciones se deben invertir $24.000¿Cuál es el monto que se requiere para las 130 personas? Solución: Como se sabe que en 12 porciones se tiene un costo de $24.000; en más porciones tendrá que destinar más dinero y para determinar exactamente exactamente cuanto dinero se rrequiere equiere plantearemos plantearemos la siguiente igualdad:

12  $24.0000 130  $x ; es decir

12 24.000   12x  24.000 130 130 x 12  3.120.000 3.120.000 Se tendrá que destinar una suma de $260.000. x 12  260.000 Proporcionalidad Inversa Dos magnitudes A y B son Inversamente Proporcionales, si el producto producto entre entre dos dos cantidades cantidades pertenecientes pertenecientes a A y B, son son iguales entre sí y a la vez iguales a una constante K, constante de proporcionalidad

A : a1, a2 , a3, a4 ,...........an B:b1,b2 ,b3 ,b4 ,...........bn a1  b1  a2  b2  a3  b3  .............an  bn Cuaderno Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los l os estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. AIEP.

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Se anota A  B  K , y se lee A es inversamente proporcional a B Ejemplo: Una famil familia ia en las vacaciones de este este año, viajo al sur, iban a una velocidad de 105 Km. Km. /h y demoraron demoraron en llegar a su destino destino 8,4 horas. .Si hubieran vviajado iajado a una velocidad velocidad de 90 Km. Km. /h ¿Cuántas horas se habrían habrían demorado? Solución:

105  8,4 90  x 90 8,4  105 x 90x  105 8,4 882  9,8horas x  90

Demorarían más tiempo dado que viajan a menor velocidad Am Ambas Varia riacion iones de Prop roporcio rcion nalid lidad se pueden rep repres resentar tar en Diag iagram ramas Carte rtesian ianos, donde cada magnitu itud se asocia a uno de los los ejes de este diagrama, para representar respectivamente la Proporcionalidad Directa y la Proporcionalidad Inversa

Proporcionali Proporcionalidad dad Directa

Proporcionali Proporcionalidad dad Inversa

Estas variaciones de Proporcionalidad Directa e Inversa tienen gran aplicación en una cantidad de situaciones entre las Cuáles se puede citar la Proporción Conjunta o Compuesta.

Proporción Compuesta. Una Proporción es Compuesta, si la razón entre dos cantidades de una magnitud A es proporcional al producto entre otras magnitudes B y C, escritas como razón Directa o Inversa, según sea la proporción simple que entre ellas se determine

A :a1 a2 B :b1 b2 C :c1 c2 De la definición anterior se desprenden los siguientes casos:

Caso I: Si las magnitudes B y C son Directamente Proporcionales a A, la Proporción Conjunta está dada por:


27


a1 b1 c1   a2 b2 c2

Caso II: Si la magnitud B es directamente proporcional con A y la magnitud C es inversamente proporcional con A, la proporción conjunta o compuesta es:

a1 b1 c2   a2 b2 c1 Caso III: Si las magnitudes B y C sin inversamente proporcionales con A, entonces, la proporcionalidad conjunta se escribe:

a1 b2 c2   a2 b1 c1 Ejemplo 1: Se estimó por un experto que 6 trabajadores pueden realizar un trabajo de excavación para una línea de alcantarillado de 12 metros en 5 días. ¿Cuantos trabajadores serían necesarios para excavar 18 metros de iguales características en 3 días, si la habilidad de estos últimos es igual a la de los primeros? Solución: La relación entre el número de trabajadores y el número de metros es directamente proporcional (considerando que el número de días no varía) y la relación entre el número de trabajadores y los días es inversamente proporcional (considerando que la cantidad de metros no varía)

6 trabajadores  12metros  5días x trabajadores  18 metros  3 días

6 12 3   x 18 5 6 2  x 5 Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones.

2 x  6 5 2 x 30 x15 trabajadores Ejemplo 2: Se observan dos variables x e y x y

400 2.000

800 1.000

1.600 500


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a. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad b. ¿Cuál es el valor que corresponde a y para un x = 6.400? Solución. a. Es una relación inversamente proporcional:

400 2.000 800 1.000 1.600 500 800.000 k k 800.000 b. y   125 6.400

CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven problemas de variación conjunta - Resolución de problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad. - Resuelven problemas de tanto por ciento, descuentos y recargos, relacionados con la especialidad

Clase de Taller. Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grup al. 1. Diez y seis personas realizan 4 operaciones contables en 18 días trabajando 4 horas diarias. ¿Cuantos días demorarían 20 personas en realizar 6 de estas operaciones si trabajan 6 horas diarias? Respuesta: 14,4 días 2. La cantidad de petróleo consumida por un transporte marítimo convencional, que se desplaza con velocidad uniforme, es directamente proporcional a la distancia recorrida y al cuadrado de su velocidad. Si dicho transporte consume 50 barriles en un viaje de 400 Kilómetros, a una velocidad de 60 Km./ hr ¿ Cuanto petróleo consume en un viaje de 1.000 Kilómetros a una velocidad de 40 Km./ hr. ? Respuesta: 555,55 barriles 3. Un control de calidad estipula que la presión de un líquido en envase de transporte convencional debe ser inversamente proporcional al volumen que ocupa y directamente proporcional a la temperatura absoluta T. ¿A que presión se deben someter 100 metros cúbicos de gas de helio a 1 atmósfera de presión y 253 grados absolutos de temperatura, para que se reduzcan a 50 metros cúbicos a una temperatura de 313 grados absolutos? Respuesta: 2,47 atmósferas 4. P es directamente proporcional a Q e inversamente proporcional a R.

Si P  5 cuando Q  4 y R  2 , determine el valor de Q cuando P Respuesta: 33,6

 12 y R  7

5. En la elaboración de cera para los automóviles, dos de los principales componentes son cera de ceresina y aguarrás, dependiendo de la cantidad de cera a elaborar, se recomiendan los siguientes volúmenes de aguarrás en mililitros Aguarrás (ml) Cera (gramos)

165 82,5

330 165

495 247,5

660 330

825 412,5

990 495

a. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad? Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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b. Si Ud requiere preparar 450 gramos de cera. ¿Que cantidad de aguarrás requiere? Respuesta: a. Directamente proporcionales. k = 2 c. 900 gramos

PORCENTAJES El porcentaje es uno de los elementos matemáticos más utilizados cotidianamente. En estudios de marketing es importante conocer las opiniones y preferencias de un grupo de personas respecto por ejemplo de un cierto bien, por lo general estos resultados se expresan porcentualmente En cálculos financieros se requiere trabajar con porcentajes ya sea en el cálculo de interés simple, interés compuesto, anualidades, amortizaciones etc. Definición 1: Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las partes iguales en que se puede dividir dicho número, es decir uno o varios centésimos de un número. El Porcentaje es un caso particular de proporcionalidad Directa, en que uno de los términos de la proporción es 100, lo que resulta de comparar una parte con un todo. Para el cálculo del tanto por ciento consideraremos tres casos. Caso I: ¿Cuál es el tanto por ciento de un número? Ejemplo: ¿Cuál es el 20% de 300?

300  100%  20% x 300 100  Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones: 20 100x 300 20 100x 6.000 x 60 Caso II: ¿Qué tanto por ciento es un número de otro? Ejemplo: ¿Qué tanto por ciento es 30 de 800?

800  100% 30  x% 100 800  x 30

Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones

800x 100 30 800x 3.000 x 3,75% Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Caso III: ¿De qué número a es el b%? Ejemplo: ¿De qué número 80 es el 5%?

x  100% 80  5% x 100  80 5

Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones:

5x 80 100 5x 8000 x 1.600 Consideremos dos situaciones que se presentan con frecuencia: 1. Aumento de un número en un cierto porcentaje Ejemplo: Aumentar 7.500 en un 19%

 

19   100  7.500 1,19 8.925 7.500 1

2. Disminución de un número en un cierto porcentaje Ejemplo: Disminuir 63.000 en un 5%

 

5   100  63.000 0,95 59.850 63.000 1

Hay expresiones que presentan ciertas características: Propiedad 1: El a %de b es igual al b % de a. Ejemplo: El 20% de 70 es igual al 70% de 20

70 100  El 20% de 70 es: x 20 x14


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20 100  El 70% de 20 es: x 70 x 14 Propiedad 2: El b % del c % del d %....................de “a” es:

 b  c  d  ................              a    100 100  100        Ejemplo: El 15% del 12% del 9% del 4% de 3.000 es:

0,150,120,090,04  3.000 0,194 Propiedad 3: Variación Porcentual, es la razón entre la diferencia del valor final al valor inicial, al valor inicial, expresada porcentualmente



V f  Vi Vi

 100.

Ejemplo: El I. P. C del mes de Febrero fue de un 1,2% y el IPC de Marzo del mismo año 1,3% Determine la variación porcentual.



1,31,2  100 8,33% 1,2

Problemas Resueltos: 1. En un centro comercial por fin de temporada todos los artículos son rebajados en un 20%. Después de un mes todos los artículos vuelven a rebajarse en un 10%.Si originalmente un pantalón cuesta $9.000. a. ¿Cuanto vale después de la primera liquidación? b. ¿Cuanto vale después de la segunda liquidación? c. ¿La oferta sería la misma si originalmente todos los productos hubiesen sido rebajados en un 30%? Solución: a. 9.000  0,80 $7.200 b. 7.200  0,90 $6.480 c. 9.000  0,70 $6.300 La oferta sería diferente ya que se están aplicando disminuciones sobre bases distintas. 2. El precio de un equipo de música es de $250.000 si este se cancela al contado. Es posible cancelar a crédito en 10 cuotas de $28.500. ¿En que tanto por ciento aumenta el precio del televisor si se compra a crédito? Solución: La diferencia de precio entre la compra a crédito y contado es : 285.000 – 250.000 = $35.000, por lo tanto: Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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250.000 100  35.000 x x14% de aumento 3. Un comerciante compra un producto en $250.000 la unidad, precio neto, pero desea obtener una ganancia del 8% sobre el precio neto. Determine el precio de venta al público. Solución:

Al precio neto agregamos la ganancia y luego el I.V.A. 250.000 1,08 $270.000 270.000 1,19 $321.300 Pr ecio venta público : $321.300

4. Por un trabajo realizado, Ud. recibe $750.000, los Cuáles son cancelados mediante boleta de honorarios, legalmente, se le retiene un 10%, calcule la retención. $750.000  90% $x  100% 750.000 90  100 x  x $833.333 Por lo tanto se le retiene: 833.333  750.000  $83.333

Clase de Taller. Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grup al : 1. Utilidades anuales correspondientes a $40.000.000 serán repartidas entre tres socios A, B y C de modo que: A recibirá el 38% del monto total, B recibirá el 70% de lo de A, más $2.000.000 y C recibirá lo restante. ¿Cuanto recibirá cada uno? Respuesta: A: $15.200.000 B: $12.640.000 C: $12.160.000 2. En un centro deportivo, se renuevan los siguientes implementos deportivos: 5 trotadoras, 4 bicicletas hidráulicas dobles y 2 bancas con pesas. Si cada trotadora cuesta $420.990, cada bicicleta hidráulica doble $97.990 y cada banco con pesas $69.990. Determine el total a cancelar si por pago al contado, le efectúan un descuento de un 15%, agregando además un 19% de I.V.A Respuesta: $2.667.214 3. El precio de costo y el precio de venta de un artículo están en la razón 13: 17. Si la ganancia fue de $18.500. ¿Cuál fue el precio de venta del artículo? ¿Cuál fue el porcentaje de ganancia? Respuesta. Precio de Venta: $78.625 Porcentaje de ganancia: 30,77% 4. En la permanente discusión, en una empresa si los hombres o las mujeres presentan mayor cantidad de inasistencias, se realizó una investigación, la que en un día dio la siguiente información: El día investigado asiste el 80% de los empleados, habían solo 210 mujeres, que corresponden al 70% del total de mujeres. Si el 30% de los empleados de esta empresa son mujeres. a. ¿Cuantas mujeres hay en la empresa? b. ¿Cuál es el total de empleados de esta empresa? c. ¿Cuantos hombres faltaron ese día? Respuesta: a. 300 mujeres b. 1.000 mujeres c. 110 hombres Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Refuerzan aprendizajes esperados, de las clases 1 Reforzamiento Evaluación Nacional Estandarizada de a 12, preparación Evaluación Nacional los aprendizajes esperados de las clases 1 a 12 Resolver en forma grupal o individual, los siguientes pr oblemas, en preparación de la primera Evaluación Nacional 1. Un vendedor viajero recorrió en su último viaje 3.360 kilómetros, viajando por todo Chile, gastando en total 160 litros de bencina. Si hubiese recorrido 210 kilómetros. ¿Cuanta bencina hubiese ocupado? Respuesta: 10 litros 2. En una fábrica trabajan 35 hombres y 12 mujeres, al final de año se retiran 1 7 de los hombres y 1 3 de las mujeres, en busca de nuevas perspectivas económicas. Al año siguiente se contratan 4 hombres y 3 mujeres.¿ Cuál es la cantidad total de actual de trabajadores en la empresa? Respuesta: 45 trabajadores 3. Para la instalación y puesta en marcha, de un equipo de refrigeración, la

cuarta parte del tiempo se utiliza en la

planificación para la ubicación del equipo; la sexta parte del tiempo en la instalación física del equipo y la novena parte del tiempo se destina a una marcha blanca ¿Qué cantidad del tiempo restante le quedará para atender otras tareas? Respuesta:

17 36

4. Un hombre puede hacer un trabajo en 18 Respuesta:

7 36

días ¿Qué parte del trabajo puede hacer en 5

1 3

días?

192 655

5. En el sitio Mapcity de Internet, se establece que la razón de las distancias entre 2 puntos es de 1cm. por 1.000 m. Si en pantalla se puede observar una distancia de 3,5 cm. entre 2 puntos ¿Cuál es la distancia real en kilómetros? Respuesta: 3,5 kilómetros 6. Las pruebas de calidad de una nueva pintura han permitido evaluar su poder cubridor de 30 m2 por galón. ¿Cuántos galones serán necesarios para pintar 60 paneles de 2 metros x 3 metros cada uno? Respuesta: 12 galones 7. Cuarenta trabajadores han levantado una torre de 15 pisos en 250 días, si se quiere levantar una torre de 10 pisos con los mismos trabajadores. ¿Cuántos días demorarán? Respuesta: 166,67 días 8. El volumen V de madera útil que produce un tronco de cierta especie de árbol es directamente proporcional a su altura h y al cuadrado de su diámetro d. Si un tronco de 10 metros de altura y 20 centímetros de diámetro produce 24 decímetros cúbicos de madera, con estas unidades , determine la constante de proporcionalidad. Respuesta: k  0,006


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9. Una obra cuyo presupuesto inicial alcanza la cifra de $150.000.000 ha requerido un aumento en consideración al ítem mayor obra por una cifra de $55.000.000 ¿En que porcentaje aumento el presupuesto? Respuesta: 36,67% de aumento 10. Los estudios revelan que construir un edificio de 6 pisos, requiere 18 día por piso. Si la tabla muestra el estado de avance en porcentaje de cada piso, determinar el número de días que faltan para terminar la obra. PISO 1 2 3 4 5 6

% DE AVANCE 100 100 100 89 35 0

Respuesta: 32 días

CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS Desarrollan evaluación sumativa

CLASE

CONTENIDOS Evaluación Nacional Estandarizada de los aprendizajes esperados de las clases 1 a 12.

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APRENDIZAJES ESPERADOS - Identifican potencias, sus componentes, propiedades y operatoria

CONTENIDOS -Potencias: Operatoria Propiedades Fundamentales Potencias de exponente fraccionario o decimal Potencias de exponente negativo

- Identifican raíces, sus componentes, propiedades Raíces: y operatoria Operatoria Propiedades fundamentales Raíces de índice fraccionario o decimal

POTENCIA Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente. Exponente

Se lee:

Base

tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta

3 . 3 . 3 . 3 = 34 El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia 2 6 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo Cuál dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).


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Ejemplos: 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 El exponente es 5, esto significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces. 32 =3·3= 9

El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces.

5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625

El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.

Una potencia puede representarse en forma general como: an = a · a · a · ........ Donde: a = base n = exponente “n” factores iguales Recuerde que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposición factorial de un número.

PROPIEDADES DE POTENCIAS a. Producto de potencias de igual base

Para

multiplicar

potencias

de

igual

base,

se

conserva

la

base

y

se

suman los

exponentes.

Ejemplo: 23  25 = (2x2x2) x (2x2x2x2x2) = 2 8 = 2 3+5 (como la base (2) es la misma, los exponentes se suman) y da como resultado = 2 3+5 = 256 Si m y n son números naturales, entonces:

xm  xn  xm n b. División de pot encias de igual base Para dividir potencias que poseen la misma base diferente de cero, se conserva la base y se restan los exponentes.

Ejemplo: 25  22  = (2x2x2x2x2)  (2x2) =2 5-2 = 2 3= 8 Si m y n son enteros, entonces:

xm n

 xmn

c. Potencia de un producto Si queremos realizar la siguiente operación: (2x3) 3 observamos que (2x3) 3 = (2x3) x (2x3) x (2x3) = (2x2x2) x (3x3x3) = 2 3 x 3 3. Para calcular el resultado también podemos multiplicar (2x3) y elevar el producto al cubo (2x3) 3 = 6 3 = 216 O bien, elevar al cubo cada uno de los factores, que sería: 2 3 = 8 y 3 3 = 27 y luego, multiplicar el resultado: 8 x 27 = 216. Si m y n son números naturales:

x yn  xn  yn


36


d. Potencia de un cociente La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor. Tenemos que elevar el dividendo y el divisor a dicha potencia. Ejemplo: (6:2) 2 = 6 2: 2 2 = 9; Porque: (6:2) 2 = 3 2 = 9 Si m y n son números naturales, entonces: n

 x  xn    n ( y  0)  y  y e. Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia, se conserva la misma base y luego se multiplican los exponentes.

Ejemplo: (22) 3 = 64; porque: 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64; o también podemos multiplicar los exponentes: es decir, 2 x 3 y, luego elevar la base a dicho resultado. (22x3) = 2 6= 64 Si m y n son números naturales, entonces:

xmn  xmn Potencia de un exponente cero y negativo Exponente cero: Por definición matemática, todo número real distinto de cero, elevado al exponente cero es igual a 1.

x0 1 (x  0) Exponente negativo: Si n es un número entero negativo y x es distinto de cero

x n =

1 n

Por ejemplo a2 / a4 = a2 - 4 = a-2 = 1 / a2 o bien (a x a) / (a x a) (a x a) = 1 / (a x a) = 1 / a 2 Todo número real distinto de cero y elevado a un exponente negativo, es igual a la fracción de 1 dividido por dicho número elevado a su exponente con signo positivo A la inversa, toda fracción, cuyo denominador es un número real distinto de cero y está elevado a una potencia con signo negativo, es igual a dicho número elevado a la misma potencia con exponente positivo

https://www.u-cursos.cl/ieb/2008/1/0352/227101/material_docente/objeto/8401 -


37


Radicales (Raíces) Raíz enésima de un número de un número real: Si n es un número natural y a y b sinnúmeros reales tales que an  b , entonces se dice que a es la raíz enésima de b. Para n = 2 y n =3, las raíces se conocen como raíces cuadradas y raíces cúbicas respectivamente. Ejemplos de raíces:

 2 y 2 son raíces cuadradas de 4, ya que (2)2 y 22  4  4es una raíz cúbica de  64 , ya que (4)3 =  64 Número de raíces de un número real b Índice b n par b>0 n par b<0 n par b=0 n impar b>0 n impar b<0 n impar b=0

Número de raíces Dos raíces reales (una raíz principal) Sin raíces reales Una raíz real Una raíz real Una raíz real Una raíz real

La notación n b , llamada radical, denota la raíz enésima principal de b El símbolo

es el signo radical, y el número b dentro del signo radical es el radicando. El entero positivo n es el índice del radical.

Para las raíces cuadradas(n =2), se escribe

b en vez de 2 b

Ejemplo 1: a. Determine el número de raíces de cada número real.

25

i)

ii). 3

en este caso b >0, n es par y existe una raíz principal que es 5

 27

en este caso b < 0, n es impar y existe una raíz que es – 3

2. Evaluar: a.

6

b. 

64 = 2, ya que 26  64 4 2   25 5

Exponentes racionales y r adicales 1. Si n es un número natural y b es un número real, entonces: Si b < 0 y n es par, b

1 n

1

b n n b

no está definido


38


Ejemplo: 1 2

 9 3

9

(8)

1 3

3 8  2

2. Si m es un número racional reducido a su mínima expresión (con m, n, naturales), entonces:

n

m n

b

m n

1

 (b n )m o en forma equivalente b

 n bm siempre que exista

Ejemplo: 2

1

(27) 3  (27 3 )2  32  9 Expresiones que comprenden exponentes racionales negativos:  mn

a

1



m n

a 0

a Ejemplo:  52

1



4

5 2



4

1 ( 4)5



1 1  25 32

Propiedades de los radicales Si m y n son números y a y b son números reales para los que existen las raíces indicadas, entonces:

1. (n a)n  a Ejemplo:

 7

5

5

7

2. n a  b  n a  n b Ejemplo: 3

216 

3.

n

3

a  b

27 8  3 27  3 8  3 2 6 n

a n b


39


Ejemplo:

3

4.

mn

a

27  8 mn

3

27 3  3 8 2

a

Ejemplo:

64 

3

32

64  6 64  2

Suma y resta de expresiones con radicales Las expresiones con radicales con el mismo índice y el mismo radicando se llaman radicales iguales o semejantes. Por ejemplo 3 2 y 5 2 son radicales semejantes, no obstante 2 5 y  4 7 no son radicales semejantes, porque los radicandos son diferentes

2 5 y 33 6 no son radicales semejantes, porque los índices son diferentes. La suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es igual a la suma o resta de los coeficientes de los radicales sumados o restados. Ejemplos; a. 12 5  3 5 15 5 b.

27  12

En nuestro ejemplo, tenemos radicales con el mismo índice, pero radicandos diferentes, entonces, utilizando las propiedades de los radicales, tenemos:

27  12  9 3  4 3 3 3  2 3 3 Las raíces no son distrib utivas respecto de la suma y resta:

a b



a b

Ejemplo:

64  36 Lo correcto es



64 

36

¡Esto está incorrecto!

64  36  100  10


40


Producto y Cuociente de Radicales El producto de dos radicales, con el mismo índice es igual a otro radical cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicando de los factores.

bn a  dn c  b dn a c Ejemplo:

2 5 3

15 15 75 75 6  6 5  6  6  75  3 75 4 4 4 4 2

El cuociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, al cuociente de los coeficientes y radicándolos de los radicales dividendo y divisor.

bn a b n a  dn c d n Ejemplo.

2 5: 3 7 

2 5 3 7

RACIONALIZACIÓN Operación que consiste, en eliminar el término radical del denominador de una fracción. Los casos más comunes, en que se presenta la racionalización son tres: - Caso monomio con raíz cuadrada - Caso monomio con raíz de cualquier índice. - Caso binomio con suma o con resta

p a

Caso 1.- Racionalización de fracciones de la fo rma Se amplifica por el radical del denominador. Ejemplo:

6 4 6 2   6 6  62 3 p

4 4   6 6

Caso 2.- Racionalización de fracciones de la fo rma

n

ak

Se amplifica por una raíz de igual índice, y se completa el exponente de la potencia dada. Ejemplo:

6 6

16



6 6

4

2

6



6

2

2



2

2

Caso 3.- Racionalización de fracciones de la fo rma

6 32 6



33 2

6

2

p a b

Se amplifica por el conjugado del término del denominador.


41


Ejemplo:  5

5

3



3

 5 5

3 3



 5 5

3



5  2 15

3

53

3



8  2 15 2



2( 4  15 ) 2



4  15

CLASE 16 APRENDIZAJES ESPERADOS - Operan con potencias - Operan con raíces

CONTENIDOS -Operatoria de Potencias y Raíces

Resolver en forma grupal o individual, los siguientes problemas: 1. Calcule el valor de: a. 24

Respuesta: 16

b. (2)3

Respuesta: - 8

2. Simplifique cada expresión: a. (32 )5

Respuesta: 59.049

b. (x11)5

55 Respuesta: x

3. Simplifique cada expresión. Suponga que ningún denominador es cero a. x2  y

3

 x3  b.  4   y 

2

Respuesta: x6  y3

x6 Respuesta: 8 y

4. Escriba cada expresión sin exponentes negativos

1

a. x5  x3

Respuesta:

b. (x3 )2

6 Respuesta: x

2

5. Simplifique cada expresión

a5 a. 3 a

Respuesta: a

(x2 )3 b. 3 2 (x )

Respuesta: 1

2


42


6. Escriba cada expresión sin exponentes negativos y determine su valor

 3  .   5 

4

Respuesta:

625 81

7. Simplificar la expresión:

 a2  b3   2 3 4   a  a  b  Respuesta:

3

1

a

21

 b3

8. Determine el número de raíces de

5

0

Respuesta: Una raíz

9. Evaluar: a.

5

 32

Respuesta: - 2

b.

3

8 27

Respuesta:

2 3

10. Simplifique las siguientes expresiones: 2 3

a. 27

 1  b.    16 

Respuesta: 9 3 4

Respuesta:

11. Simplificar: 2 12  3 48  3 3 12. Simplificar 3 16  3 54  3 24

20 7

13. Racionalizar:

1 1 2

14. Racionalizar:

1 8 Respuesta:  5 3 Respuesta:

 3 2  23 3

2 35 Respuesta: 7 2 1

Respuesta: 3

3

15. Racionalizar:

3

5

18

60 Respuesta: 6


43


CLASE 17 APRENDIZAJES ESPERADOS - Resuelven expresiones aplicando concepto de logaritmo - Calculan valor numérico de expresiones que incluyen logaritmos decimales - Calculan Calculan expresiones y operan con logaritmos logaritmos naturales - Identifican y operan con propiedades de los logaritmos - Identifican potencias, raíces y logaritmos como operaciones operaciones inversas.

CONTENIDOS - Logaritmos: Definición de logaritmo Sistemas de logaritmos: Logaritmos vulgares y naturales Propiedades Propiedades de los los logaritmos logaritmos

Se denomina logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

log loga x b  ab  x (a  0) Se lee: “el logaritmo en base a del número x es b”, o también: “el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base” Ejemplos: 1. Escriba en forma logarítmica: 23  8 2. Escriba en forma exponencial log log5 25 2

Solución: 23  8

 log log2 8 3 Solución: log log5 25 2  52  25

Los logaritmos tienen diversas aplicaciones en las áreas de la economía, la tecnología, la arquitectura y fenómenos socioeconómicos, por ejemplo, es posible realizar cálculos relacionados con cálculo de PH; Magnitud de terremotos, intensidad del sonido, presión sanguínea, sanguínea, presión barométrica barométrica etc. Los dos sistemas de logaritmos más utilizados son el sistema de los logaritmos comunes, cuya base es el número 10, y el sistema de logaritmos naturales, cuya base es el número irracional e 2,711828....... Ad Además, la prác ráctic tica co común es es es escrib ribir log log en vez de

log log10 y lnen lugar de log loge Cambio Cambio de base: la siguiente siguiente expresión, permit permite e cambiar cambiar de base “b” a base “a”:

log logb N 

log loga N log loga b

Ejemplo: Dado log log2 5, cambiarlo a la base 10 y a la base e, compruebe con la ayuda de su calculadora científica que el valor obtenido en ambos casos es idéntico Solución:

log log2 5

log log5 ln5   2,3219..... log log2 ln2


44


Propiedades de los logaritmos.

1. log loga 1 0 2.log loga a 1 3.log loga ax  x 4.log loga (u  v)  log loga u  log loga v

 u  5.log loga    log loga u  log loga v  v  6.log loga (u)n  n log loga u 1 7.log loga n u  log loga u n Nota:

log loga (u  v)  log loga u  log loga v log loga u  log loga u  log loga v log loga v Los siguientes ejemplos ilustran las propiedades de los logaritmos. 1. log(2 3)  log log2  log log3 2. ln

5  ln5 ln3 3

3. log log 7  log log7

1 2

1 2

 log log7

CLASE 18 APRENDIZAJES ESPERADOS - Resuelven expresiones aplicando concepto de logaritmo - Calculan valor numérico de expresiones que incluyen logaritmos decimales - Calculan Calculan expresiones y operan con logaritmos logaritmos naturales - Identifican y operan con propiedades de los logaritmos - Identifican potencias, raíces y logaritmos como operaciones operaciones inversas.

CONTENIDOS - Logaritmos: Definición de logaritmo Sistemas de logaritmos: Logaritmos vulgares y naturales Propiedades Propiedades de los los logaritmos logaritmos


45


Resolver en forma grupal o individual los siguientes problemas: 1. Dado que log log2 0,3010 y log log3 0,4771, encuentre aproximaciones para el valor de: a. log log9

Respuesta: 0,9542

b. log log2,5

Respuesta: 0,3980

ESTAS APROXIMACIONES SE OBTIENEN SIN CALCULADORA, APLICANDO PROPIEDADES COMPROBAR POSTERIORMENTE CON CALCULADORA. 2. Encuentre el valor de log log4 9 usando logaritmos de base 10:

Respuesta: 1,584962501

3. Desarrolle y simplifique las siguientes expresiones: a. log log3 x2 y3 Respuesta: 2log log3 x  3log log3 y

x2  1 b. log log2 x 2 Respuesta: log log2 (x2  1)  xlog log2 2 4. En la escala de Richter, la magnitud R de un terremoto está dada por la fórmula:

log R  log

I donde I es la intensidad del terremoto terremoto en cuestión cuestión e I 0 es la intensidad estándar de referencia. I0

Exprese la intensidad I de un terremoto de magnitud R  5 en términos términos de la intensidad intensidad estándar estándar de referencia. referencia. Respuesta: log log I

 log log I 0  5

5. El volumen relativo de un sonido D de intensidad I se mide en decibeles, donde:

log D 10log

I e I 0 es el umbral estándar de la audibilidad. I0

Exprese la intensidad I de un sonido de 30 decibeles (el nivel sonoro de una conversación normal) en términos de I 0 Respuesta: 103  I 0


46


6. Los logaritmos comunes se utilizan para expresar la acidez de soluciones. Cuanta más ácida sea una solución, mayor es la concentración de iones de hidrógeno. Esta concentración está indicada en forma indirecta por la escala de pH, o índice de acidez, definida por:

pH   log H  , en donde H  Es el grado de acidez en iones- gramos por litro Encuentre el pH del agua pura, que tiene un grado de acidez de 107 iones gramo por litro Respuesta: 7 7. La presión sanguínea sistólica normal de un niño se puede aproximar mediante la relación:

p m(ln x)  b, donde p se mide en milímetros de mercurio, x es el peso (en libras), y m y b son constantes. Dado que m = 19,4 y b = 18, determine la presión sanguínea sistólica de un niño que pesa 92 libras. Respuesta: 105,7 milímetros


47


CLASE 19: APRENDIZAJES ESPERADOS - Identifican y reducen términos semejantes - Realizan operaciones básicas con polinomios: Adición sustracción Productos - Desarrollan productos de polinomios, utilizando las fórmulas de productos notables: cuadrado de binomio, producto de una suma por su diferencia. - Factorizan expresiones algebraicas

CONTENIDOS - Expresiones algebraicas : Monomio, Binomio, Polinomio - Operaciones básicas con polinomios - Productos notables: Cuadrado de Binomio Suma por su diferencia - Factorización

El Álgebra se define como la teoría de las operaciones con cantidades no especificadas. Su preocupación ya no son las cantidades mismas, sino en las operaciones que con ellas puede realizar, o las relaciones que entre ellas puede establecer. En álgebra las cantidades se designan por letras, la que no tienen un valor definido. Las letras son los símbolos que representan cantidades y son las que utilizamos en nuestro alfabeto. Expresiones Algebraicas. Se denomina expresión algebraica al conjunto de cantidades numéricas o literales relacionadas entre sí a través de los signos de las operaciones aritméticas. Ejemplos de expresiones algebraicas: 2x, 3 5a,

2a  3b  5c , 5

x2 y3 z5  3 2x  3y  2 3

2

Término Algebraico Es una cantidad numérica o literal o un conjunto de ambos, los que relacionados entre sí por las expresiones de multiplicación y / o división, constituyen, en una expresión algebraica, cantidades separadas de otras. Ejemplos de términos algebraicos:

1  , 7

2 y , 3 x  y, z, 5 2

2 a4  b 3

En un término algebraico se distinguen los siguientes elementos:

5

x3

Exponente

Signo

Factor literal Factornumérico o coeficiente numérico

Notación: 1. En álgebra, el signo multiplicativo

( ) antes de factores literales pueden suprimirse. Por ejemplo:

6 a puede escribirse 6a 2. El coeficiente numérico 1, en un término algebraico suele quedar tácito. Por ejemplo 1x = x 3. Solo el signo positivo (+) del primer término de una expresión algebraica puede obviarse y no se escribe. Por ejemplo: +5a - 3b + 2c  5a - 3b +2c Dependiendo del número de términos que posea una expresión algebraica, éstas se clasifican en: a. Monomios: Es la expresión algebraica que consta de un solo término por Ejemplo: b. Binomios: Es la expresión algebraica que consta de dos términos

 3xy,

2 2 3a x, a b 5


48


Ejemplo: a  3b, x2 y  3z3 , c.

1  z4 ab

Trinomios: Es la expresión algebraica que consta de tres términos Ejemplo: a  4b  5c,

 3x2  2y3 

1 4

d. Polinomios: Es la expresión algebraica de más de tres términos Ejemplo: 5x4  3x3 y 

2 2 2 x y  3xy3, 3

5a3  2a2b  4ab3  b4  1

Términos semejantes: Los términos semejantes son aquellos que tienen el mismo factor literal e igual exponente. Ejemplo 1. Son semejantes a 2a3b los siguientes términos:

 7a3b,

2 3 a b, 5

5ba3

Ejemplo2. Son semejantes a x2 y3z4

 3x2 y3z4 ,

1 3 2 4 y x z ,  5z4 x2 y3 3

Reducción de Término s Semejantes: Una expresión algebraica que contiene términos semejantes pueden reducirse a una mínima expresión sumando algebraicamente los coeficientes numéricos y conservando el factor literal con su respectivo exponente. Problemas Resueltos: Reducir las siguientes expresiones a su mínima expresión. 1. 32c+ 5c – 12c = (32+5-12) c = 25 c 2.

1 4

1 3

1 5

 a2c  5ac2  a2c  10ac2  ac2 1 1 1 propiedad conmutativa 4 3 5 1    1 2  1 2      a c a c  5ac2  10ac2  ac2  propiedad asociativa 3   5   4 1 2 74 2 a c  ac 12 5

 a2c  a2c  5ac2  10ac2  ac2


49


3.

1 2 1 2 4 1 x y  xy2  x2 y  xy2  x2 y 2 3 3 5 6 1 2 2 1 1 4 x y  x2 y  x2 y  xy2  xy2 propiedad conmutativa 2 3 6 3 5  1 2  2 2  1 2     1 2  4 2  xy  propiedad asociativa  x y x y x y  xy 2 3 6 3 5     7 x2 y  xy2 15

Problemas Propuestos: Resolver grupalmente o en forma individual los siguientes problemas propuestos Reducir las siguientes expresiones a su mínima expresión: 1. 41m2w3u4  15m2u3w4  37u4w3m2  55w2m3u4  23u3w4m2  8u4w3m2 Respuesta:  4m2w3u4  38m2u3w4  55m3w2u4

2 3 3 2 x  x  0,001x3  0,04x2 100 1.000 3 2 Respuesta: 0,009x  0.036x

2.

 0,01x3  0,001x2 

3.

3 2 7 1 a b  0,01ba2  ab2  0,006a2b  0,009b2a  ab2 5 10 8 Respuesta: 0,584a2b  0,584ab2

Suma de Expresiones Algebraicas Cuando se relacionan cantidades específicas con la adición, el resultado será el mismo independientemente del orden en que se dispongan dichas cantidades. Por una razón práctica, se “agrupan” términos convenientemente utilizando paréntesis. Por lo tanto los paréntesis son signos que se utilizan en álgebra para indicar que los términos que se agrupan pueden ser considerados como una cantidad. La adición de dos o más expresiones algebraicas se realiza suprimiendo los paréntesis y reduciendo términos semejantes. Si en una expresión encerrada en un paréntesis está precedida por un signo ( + ), entonces el paréntesis puede suprimirse sin alterar los signos de los términos que se encuentran al interior, Un paréntesis precedido por un signo ( - ) puede suprimirse cambiando el signo de cada uno de los términos que está dentro de él.

La eliminación de paréntesis en una expresión algebraica En una expresión algebraica pueden encontrarse varios paréntesis y de distintas formas. Los de uso común suelen ser: ( ), al que llamamos paréntesis redondo;   , denominado llave; y   al que comúnmente se le conoce como paréntesis cuadrado o de corchete.


50


Problemas Resueltos: Resolver los paréntesis y reducir los términos semejantes 1.

  5a  3a   8b  6a  9b  b 

Para resolver la expresión señalada, se deben tener presente las reglas de los paréntesis precedidas por (+) ó (-). Una de las formas mas comunes de eliminar los paréntesis es comenzar por aquel paréntesis que está más al interior de los otros. De este modo, sucesivamente, hasta llegar a una expresión sin paréntesis.

  5a  3a   8b  6a  9b  b  Resolviendo el paréntesis ( ) queda:

  5a  3a  8b  6a  9b  b  Resolviendo el paréntesis de llave { } se tiene:

  5a  3a  8b  6a  9b  b  Resolviendo el paréntesis de corchete [ ] se obtiene:

5a  3a  8b  6a  9b  b Reduciendo Términos Semejantes, nos queda finalmente:

14a  2b

2.

 a  b a b  a b   a b   a b                         2 3    4 6  6 2   3 2   4 3 

Resolviendo los paréntesis ( ) queda.

 a  b a b a b  a b a b                   2  3 4 6 6 2  3 2 4 3 Resolviendo el paréntesis { } queda.

a b a b a b a b a b                 2 3 4 6 6 2  3 2 4 3 Resolviendo los paréntesis cuadrados [

] queda:

a b a b a b a b a b 2 3 4 6 6 2 3 2 4 3

           Reduciendo Términos Semejantes nos queda finalmente:



a b  2 2 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

51


Problemas Propuestos: Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos Resolver los paréntesis y reducir términos semejantes: 1. y  0,01x  0,001y   0,1y   0,01y  0,1x  0,01y  0,01x  x Solución: 1.081y  0,9x 2.   4  5x  2y    8x  6y  3  4x  9y  7  18 Solución: 18 x  y Para restar Expresiones Algebraicas, se escribe el Minuendo con sus propios signos y a continuación el Sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes. Problemas Resueltos: 1. Dado P1  4x3  2x  6

y

P2  6x3  7x2  3x  4

Calcular P1  P2 Solución: Se escriben los polinomios dispuestos verticalmente de forma tal que los términos semejantes queden uno bajo el otro.

P1 

 P2 

4x3  0x  2x  6 6x3  7x2  3x  4

 P2  P1  ( P2 ) , es decir debemos sumar el opuesto del sustraendo O sea, si P2  6x3  7x2  3x  4 Entonces  P2   (6x3  7x2  3x  4)  P2   6x3  7x2  3x  4 P1  4x3  0x2  2x  6 Luego:  () P2   6x3  7x2  3x  4 Tenemos que P1

Sumando P1  ( P2 ) 

 2x3  7x2  5x  2

En una forma más mecánica, bastaría con cambiar los signos a cada uno de los términos del sustraendo y luego reducir los términos que son semejantes, considerando los signos contenidos entre paréntesis. 2. Sea M  6x2  3x  6 Solución:

()

y

N   4x3  8x  1

M  0x3  6x2  3x  6 () () () ( ) N   4x3  0x2  8x  1

M  N  4x3  6x2  11x  7 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Problemas Propuestos: Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos: Dados los siguientes Polinomios:

P : 5x3  3x  8 Q :  7x4  5x3  2x2  3x  12 R :  9x3  7x2  15 S : 10x4  6x2  11x  17 T : 4x4  x3  13x  1 1. Calcular: P  Q  S  T Respuesta: 7x4  9x3  8x2  8x  12 2. Calcular: (Q  R )  T Respuesta:

 11x4  3x3  9x2  10x  4

3. Calcular: ( S  P )  ( T  S ) Respuesta: 4x4  6x3  10x  9

Multiplicación d e Expresiones Algebraicas En la multiplicación de expresiones algebraicas intervienen los factores numéricos y literales. Cada término es, en esencia, un producto 3ab

factores Recordemos las propiedades de la multiplicación: Conmutatividad Asocatividad : (Propiedad muy recurrida en la multiplicación algebraica). Esta propiedad permite multiplicar más de dos factores. Distributividad de la multiplicación respecto de la adición, la Cuál permite multiplicar expresiones de más de un término.

Multiplicación de potencias de igual base y exponente natural Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. Ejemplo: x5  x x8  x14

Multiplicación de Monomios Para multiplicar monomios por monomios se multiplican los coeficientes numéricos y luego los factores literales. Se debe tener en cuenta que la regla de los signos aplicada a la multiplicación de números enteros rige sin restricción, en la multiplicación algebraica


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( a)  (b)   ab ( a)  (b)   ab (a) (b)   ab (a) (b)   ab Problemas resueltos: 1. 7p 6q Aplicando la propiedad conmutativa:

7 6 p q

 pq  42pq 2. 4ab (  3a2b3 )   12a3b4 Por asociatividad 42

3. 4.

2  4  8  x3 y    x4   x7 y 3  5  15 (9r 4s3 ) (5r 2s4 )  2s3    90r 6s10

Multiplicación de un Monomio por Polinomio

Para multiplicar un monomio por un binomio, trinomio o polinomio, se utiliza la propiedad distributiva.

a (b  c  d)  a  b  a  c  a  d monomio trinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Problemas resueltos: 1.

4x  ( 3y

 8x  xy  1)



12xy

 32x 2  4x 2y  4x

12xy

32x 2

4x y

4x

2.

6 21  3   2  ab  a   a    b  7  11  11   5  55

3.

 6m3r 5   5m2  2m3r 4  r 3  1  30m5r 5  12m6r 9  6m3r 8  6m3r 5

Una expresión puede contener más de un producto de monomio por polinomio. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Problemas Resueltos: 1.

 3a(4c  2b)  5b( a  c)  2c(b  a)

a. Se resuelve cada multiplicación:

 12ac  6ab  5ab  5bc  2bc  2ac b. Se reducen los términos semejantes:

 10ac  11ab  7bc 2. 5x2 y( 3x  2y  1)  ( 4xy  3x2  5x)  2xy a. Se resuelven los productos:

(15x3 y  10x2 y2  5x2 y)  (8x2 y2  6x3 y  10x2 y) b. Se eliminan los paréntesis y se reducen los términos semejantes:

15x3 y  10x2 y2  5x2 y  8x2 y2  6x3 y  10x2 y 9x3 y  18x2 y2  5x2 y Para multiplicar un polinomio por otro polinomio se multiplican cada término de la primera expresión por cada término de la segunda. La suma algebraica de los productos parciales así formados da el producto completo. Este procedimiento para multiplicar polinomios se conoce como distribución del producto.

Problemas Resueltos: Multiplicar los siguientes productos: 1. ( 5a  3b) (10a  4b)

 50a2  20ab  30ab  12b2  50a2  10ab  12b2 2. ( 7x  4y  6z) ( x  3y  5z)

 7x2  21xy  35xz  4xy  12y2  20yz  6xz  18yz  30z2  7x2  25xy  41xz  12y2  38yz  30z2


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Problemas Propuestos Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos: Resolver los siguientes productos.

1. 3a3b2 (  5a5  10b4  a2b3 ) Respuesta :  15a8b2  30a3b6  3a5b5

4 4 2 3 3 4 1 2  x n c  5x c  c  x3n3c3  10 5 4   1 4 Respuesta :  4x7n2c7  x4n2c5  x7n5c6  8x4n2c3 5 5

2. 

3.

 3  2    3  2    a b 1  b a 1  4 3   4 3  Respuesta :

4.

145 1 17 1 17 ab  a2  a  b2  b  1 144 2 12 2 12

(x  y) (x2  xy  y2 ) Respuesta : x3  y3

Existen algunos productos binomiales en los Cuáles, por la mecánica de su desarrollo, es posible deducir leyes de formación general, las que hacen más fácil su resolución. Esto elude el desarrollo término a término y la reducción de términos semejantes. A los productos con estas características se les conoce como Productos Notables.

1. Productos de la suma de dos términos por su diferencia

(a  b) (a  b)  a2  b2 Problemas Resueltos:

1. (x  11) (x  11)  x2 112

 x2  121 3   3    3  2 15z  x  15z  x  15z   x 4   4    4 

 225z2 

2

9 2 x 16


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Problemas Propuestos Resolver grupalmente o en forma individual los siguientes problemas propuestos.

 

1. 13pq2r 3 

7c   7c    13pq2r 3   2   2 

49c2 Solución : 169p q r  4 2

 x 2.    2

4 6

y   x y      3   2 3 

x2 y2 Solución :  4 9 2.. Cuadrado del binomio

a  b2  a2  2ab  b2 Problemas Resueltos.

1. (3 x)2  32  2 3 x  x2

 9  6x  x2 2

3  3  3   2 2.  8pq    8pq  2 8pq     7  7  7  

 64p2q2 

2

48 9 pq  7 49

Problemas Propuestos Resolver grupalmente o en forma individual los siguientes problemas propuestos.

2   1.  3a2b   5  

2

Solución : 9a4b5 

 3 1  2.   xyz  4 4 

12 3 4 a b  a2 5 25

2

9 3 x2 y2 z2 Solución :  xyz  16 8 16


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Factorización de Expresiones Algebraicas La factorización de un número consiste en descomponerlo en un producto de dos o más factores. Ejemplo. La factorización del número 48 es.

48 6 8 48 3 2 8 48 3 2 2 4

Los números que carecen de una descomposición en factores, a no ser que sea por 1 y por si mismo se denominan Números PrimosEjemplo: La factorización del número 3 es 3 1 y es la única descomposición. Los números no primos se llaman Compuestos y por lo tanto, factorizables.

16 2 8 Ejemplo. 16 2 2 4 16 2 2 2 2  factores primos

Los términos algebraicos también pueden ser descompuestos en sus factores Ejemplos:

4x3  2 2 x x x 27a2b2  3 3 3 a  a  b b

Factor común: En una Expresión Algebraica es posible encontrar factores que sean comunes a cada término de ella. Estos pueden ser numéricos o literales o ambos a la vez. Ejemplos.

1. 2a  2b 2 a  2 b 2. 3xy 2xz 3 x y  2 x z

factor común numérico dos factor comun literal a

3. 5x2 y  5x2 z  5 x2  y  5 x2  z

factor común mixto : numérico y literal 5x2

Factorización es la técnica algebraica que consiste en dar forma de producto a un polinomio dado. Este proceso es el inverso de la distributividad. Problemas Resueltos: 1. Factorizar el siguiente binomio:

3x  3y 3 x  3 y

De acuerdo con la propiedad distributiva de la multiplicación podemos sacar factor común fuera de un paréntesis, en la forma: 3 (x  y) , se lee 3 factor común de a-b. 2. Factorizar el siguiente trinomio.

3a  5ab  2ac  3 a  5 a  b  2 a  c factor común: a luego : 3a  5ab  2ac  a  (3 5b  2c)


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3. Factorizar el siguiente trinomio:

81x3 y2  54x4 y3  27x5 y4 Factor común entre los coeficientes numéricos: Se busca el máximo común divisor (M.C.D) entre ellos. El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es la mayor expresión que divide a cada uno de ellos sin que queden residuos, o sea residuo igual a cero. Son divisores de 81: 1,3, 9, 27,81 Son divisores de 54: 1, 2, 2, 6,9,18, 27,54 Son divisores de 27: 1,3, 9, 27 Por lo tanto el máximo común divisor entre 81,54 y 27 es 27 El máximo común divisor de: x3 y2 ; x4 y3; x5 y4 es x3 y2

ya que

x3 es la máxima potencia de x que divide a

x3, x4 , x5; y2 es la mayor potencia de y que dividirá a y2 , y3 e y4 , por lo tanto al factorizar el trinomio: 81x3 y2  54x4 y3  27x5 y4 obtenemos: 27x3 y2  (3 2xy  x2 y2 ) Problemas Propuestos Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos: Factorizar las siguientes expresiones.

1. x2 y3z4  x3 y5 z6 Respuesta : x2 y3 z4 (1 xy2 z2 ) 2. 8a2b3c  32a3b5  40a5b4c3 Respuesta : 8a2b3 ( c  4ab2  5a3bc3 ) 3.

1 7 6 1 6 8 1 9 7 pq  pq  pq 5 20 30 1 1   1 Respuesta : p6q6  p  q2  p3q 5 6   4

4. a  52x  a  53y  a  5z Respuesta : a  52x  3y  z Factorización de trinomios de la forma x2  bx  c

x2  bx  c  (x  p) (x  q) tal que p  q  b En general: y p q  c Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Problemas Resueltos: Factorizar los siguientes trinomios cuadráticos:

1. x2  25x  150 Se deben encontrar dos números cuyo producto sea 150 y cuya suma sea 25, estos son 10 y 15 por lo tanto:

x2  25x  150 (x  10)(x  15) 2. a2  13a  48 Las parejas de enteros, cuyos productos resultan 48: 12 y 4; 6 y 8; 24 y 2; 16 y 3; 48 y 1. De éstas, las que suman algebraicamente –13 ( si el número es negativo, los números serán de distinto signo) son –16 y 3

a2  13a  48  a  16a  3 3. x2  1,1x  0,24 Debemos encontrar dos números tal que el producto de ellos sea 0,24 y la suma 1,1, estos son: 0,3 y 0,8

x2  1,1x  0,24 ( x  0,3) ( x  0,8) Problemas Propuestos Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos: Factorizar los siguientes trinomios cuadráticos:

1. t2  23t  132 Respuesta : (t  12) (t  11) 2. k  2k  15 4

2

Respuesta : (k2  5) ( k2  3)

4. z2 

3. r 4 

33 2 r 2 4

1   Respuesta :  r 2   r 2  8 4  

7 2 z 15 15

 2   1  Respuesta :  z    z    3   5  Diferencia de cuadrados:

( a2  b2 )  (a  b) (a  b)


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Problemas Propuestos Factorizar:

1. x2  81

 x2  92  (x  9) (x  9) 2. 25 49r 2

 52  (7r )2  (5 7r ) (5 7r ) 3. a2b2c2 _ 0,49 (abc)2  (0,7)2 (abc  0,7)(abc  0,7) Problemas Propuestos Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos:

1. x2 y2  2.500 Respuesta : (xy  50) (xy  50) 2. 4a4 x6  25b6 y4 Respuesta :

2a2x3  5b3 y2 (2a2x3  5b3 y2 )

3. 16x2 y2  64a2b2 Respuesta : 4xy  8ab4xy  8ab

9 2 v2 u  4. 64 100

v   3 v   3 Respuesta :  u     u    8 10   8 10 

Trinomios cuadrados perfectos: El trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo del cuadrado de un binomio. Por lo tanto se factoriza como tal. Un trinomio se advierte como cuadrado perfecto si sus términos extremos son los cuadrados de dos términos y el término medio el doble del producto entre ellos.

a2  2ab  b2  (a  b)2


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Problemas Resueltos

1. x2  10x  25

 x2  10x  52  (x  5)2 Observe que el doble producto de 5x = 10x.

2. 16  80xy  100x2 y2

 42  80xy  (10xy)2  (4  10xy)2 3.

4 4  n  n2 9 3 2

 2  4     n  n2  3  3 2      n  3 

2

Problemas Propuestos Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos:

1. 289x2  374xy  121y2 Respuesta : (17x  11y)2 2. x2 y2 

2 1 xy  7 49

1   Respuesta :  xy   7  

2

3. 0,0009p2  0,0006pq  0,0001q2 2

Respuesta : 0,03p  0,01q 4.

4 2 8 4 a  ab  b2 9 15 25

 2 2  Respuesta :  a  b  3 5 

2


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CLASE 20 APRENDIZAJES ESPERADOS - Operan expresiones algebraicas con exponente, radicales y logaritmos, aplicando sus propiedades y teoremas. - Calculan, con ayuda de calculadora científica, el valor numérico de expresiones numéricas y algebraicas con radicales, potencias y logaritmos aplicando sus propiedades. - Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando diferentes tipos de números, operatoria y forma de expresión.

CONTENIDOS - Operatoria con expresiones algebraicas - Evaluación de expresiones algebraicas - Resolución de problemas y operatoria contextualizados.

Resolver los siguientes problemas, en forma grupal o individual: 1. Escriba la suma del cuadrado de a, con el cubo de b Respuesta: a2  b2 2. Si cierta casa comercial, vende x refrigeradores al mes y una segunda casa comercial vende ocho menos que una tercera parte de la anterior ¿Cuantos refrigeradores vende la segunda casa comercial? Respuesta:

1 x 5 3

3. Tenía $a y cobré un cheque de $b. Si el dinero que tengo lo utilizo en adquirir (m 2) bienes de un cierto tipo ¿cuanto cuesta cada bien? Respuesta: $

a b m 2

3. En un edificio hay x oficinas. En el segundo piso el doble de oficinas que en el primero, en el tercer piso la mitad de oficinas que en el primer piso. Escriba una expresión algebraica, que denote el total de oficinas en el edificio.

 

Respuesta:  x  2x 

x   2 

4. Compro (x + 5) bienes a (y + 9) pesos cada uno.¿Cuanto pago por el total? Respuesta. (x  5)  ( y  9) Pesos 5. Si un bien me cuesta $a y otro bien diferente me cuesta $b.¿ Cuanto me costarán x bienes del primer tipo e y bienes del segundo tipo? Respuesta: (ax  by) 6. Escriba un polinomio que represente el perímetro del rectángulo X+4

X+1 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Respuesta: 2(x  4)  2(x  1) 7. Escriba un polinomio que represente el volumen del cubo de arista (x+2) metros

Respuesta: (x  2)3 8. Se reparten x2  4x  5sacos de trigo en partes iguales entre (x  1) socios.¿que cantidad de sacos le corresponde a cada uno de ellos? Respuesta: x – 5 sacos 9. La velocidad, v, de un cuerpo después que ha caído d pies está dada por la expresión v2  64 d , escriba una expresión que me permita calcular el valor de v Respuesta: v 8 d 10. La expresión para calcular el volumen de un cubo es V = a3 , donde a es la arista del cubo, escriba una expresión que permita obtener el valor de a Respuesta: a = 3 V 11. Evaluar la expresión: a2  3 a  b2  4a  b c

Respuesta:

si a  3 4 b  1 5 y c  2 7

1.347 2.800

12. Sabiendo que a  2 2

Calcular :

a  b c

c( y  z) 5 Solución: 1 6

b1 c  3 3 4 c  a

x 4

y 6

z 0

 

3 a y


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13. Evaluar la siguiente expresión, sabiendo que a  5 1 1  a b 1 b  c d 32 Solución :  75 14. Si x 4

y 1 8. Evalúe la expresión:

 x 4 x

1

b3

c 4

d 2

 5x0 )(3 y2  3y1  2y0 )

Respuesta: 89 15. Es frecuente que los equipos de oficinas, se deprecien, un equipo con una esperanza de vida útil de N años, que cuesta $C, se depreciará a un valor de $V en n años, donde n está dado por la fórmula.

n

logV  logC  2  log1   N 

Un computador que cuesta 17.000 unidades monetarias, tiene una esperanza de vida útil de 5 años. Si se ha depreciado a un valor de 2.000 unidades monetarias. ¿Cuál es su antigüedad? Respuesta: 4,2 años

CLASE 21 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven ecuaciones de primer grado. - Ecuación de primer grado - Resuelven ecuaciones de segundo grado Resolución - Resuelven sistemas de ecuaciones de primer - Ecuaciones de segundo grado: grado con dos incógnitas Resolución Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Resolución Graficación Ecuaciones Una de las herramientas mas importantes que nos ofrece el algebra es poder expresar en forma simbólica diversos problemas cotidianos y del ámbito profesional o laboral. Estas expresiones a su vez nos permiten conocer las restricciones o Cuálidades que los elementos involucrados en dicha expresión deben tener para que ella se válida. Para conocer estos aspectos estas expresiones algebraicas se transforman en ECUACIONES, a las Cuáles debemos dar solución, encontrando así la respuesta al problema que deseamos resolver.

Ecuaciones de primer grado La igualdad de dos expresiones algebraicas, que se cumple para uno o más valores de la o las variables que intervienen en estas expresiones, se denomina ecuación algebraica. Estas ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo al máximo exponente que tenga la variable, así se tiene por ejemplo: Ecuación de primer grado: 5x  2  3x  1 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Ecuación de segundo grado: 3x2  7  4x  1 Una ecuación se puede representar por una balanza, la cual debe permanecer en perfecto equilibrio durante el desarrollo de la ecuación. Por ejemplo: Resolver la ecuación:

3x  2  x  4

3x +2

Restando 2 en ambos miembros de la igualdad:

X-4

ECUACIÓN

3x

X-6

3x  x  6 ECUACIÓN

Restando x en ambos miembros de la igualdad:

2x

6

2x  6 ECUACIÓN

Dividiendo por 2 ambos miembros de la igualdad: x

El ejemplo anterior nos muestra el proceso básico de una resolución de una ecuación de primer grado.

3

ECUACIÓN

En general se puede decir que esta igualdad no se altera si en cada uno de sus miembros se efectúan la misma operación, Algunas reglas que nos servirán para la resolución de ecuaciones: 1º A toda igualdad se le puede agregar o quitar una cantidad sin alterarla, siempre que se haga sobre ambos lados de dicha igualdad. Por ejemplo; todos sabemos que 2 = 1 + 1, si agregamos una unidad a cada lado de la igualdad obtenemos 2 + 1 = 1 + 1 + 1 lo que implica que 3 = 1 + 1 + 1 que también resulta ser verdadero. 2º Toda igualdad puede ser multiplicada y/o dividida en ambos lados por Cuálquier número real distinto de 0 manteniéndose la igualdad inalterable. 3º Toda ecuación de primer grado con una variable se puede escribir de la forma ax + b


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Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:

1. 3x   5x   x  3  8x   5x  9)

3x   5x  x  3 8x  5x  9 3x  6x  3 3x  9

 3x  3  9  3  6x  6 x1 2.

3x 2x 1   0 5 3 5

El mínimo común denominador es 15, por lo tanto:

15

3x 2x 1  15  15  0 5 3 5

9x  10x  3 0

 x  3 0  x  3 x 3 En muchos casos existen problemas que es necesario conocer el valor de más de una variable o incógnita, para lo Cuál en general, debemos disponer de tantas ecuaciones como variables se deseen conoce, las Cuáles forman en conjunto lo que se denomina SISTEMA DE ECUACIONES. La forma o método de resolución de un sistema de ecuaciones consiste en reducir las ecuaciones de forma tal que se obtenga una nueva ecuación que deberá contener solo una de las variables. Resolviendo esta ecuación y conociendo el valor de la incógnita es posible determinar el valor de las restantes. Ejemplo:

3x  2y  19 4x  3y  14 Amplificando la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 obtenemos:


67


9x  6y  57 8x  6y  28 Sumando ambas ecuaciones, tenemos:

17x 85  x  5 Conocido el valor de x, lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones y calculamos el valor de y.

3 5 2y  19  2y  19  15  2y  4  y  2 Resolver.

8x 5 7y 9 6x 3y 6

8x 7y  4 6x 3y 6 Amplificando la primera ecuación por – 3 y la segunda por 4 obtenemos:

 24x 21y12 24x12y 24 Sumando ambas ecuaciones, tenemos:

9y 36

y 4 Conocido el valor de y, lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones y calculamos el valor de x =3

Ecuaciones de segundo gr ado: Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, son aquellas cuya forma general es.

ax2  bx  c  0

a  0 b, c  IR

Las ecuaciones de segundo grado las podemos resumir en el siguiente cuadro:

ax2  bx  c  0 Ecuación Completa General x2  bx  c  0 Ecuación Completa Particular Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

68


ax2  bx 0

Ecuación Incompleta Binomial

ax2  c  0

Ecuación Incompleta Pura

Fórmula General de una ecuación de segundo gr ado:

 b  b2  4 a  c x 2 a Resolver la ecuación cuadrática: 2x2  5x  3 0 En nuestro ejemplo tenemos que: a  2 Por lo tanto tenemos que:

b  5

c  3

5  (5)2  4 (2)  (3) x 2(2) 5  25 24 4 5  49 x 4 5 7 por lo tanto las raíces o soluciones son: x 4

x

x1 

5 7 12  3 4 4

x2 

5 7 2 1   4 4 2

Resuelva la ecuación de segundo grado: 3x2  5x  2 0 Solución: 1 y

2 3

CLASE 22 APRENDIZAJES ESPERADOS -Resuelven ecuaciones de primer grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral. Resuelven ecuaciones de segundo grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral. Resuelven sistemas de de primer grado con dos incógnitas ecuaciones grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral.

CONTENIDOS - Ecuación de primer grado: Resolución de problemas - Ecuaciones de segundo grado: Resolución - Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Resolución de problemas


69


Resolver los siguientes problemas, en forma grupal o individual. 1. En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso? Respuesta: Primer piso: 32 habitaciones; Segundo Piso: 16 habitaciones 2. Repartir 300 dólares entre tres personas A, B, C, de modo que la parte que le corresponde a B sea el doble de la de A y la de C el triple de A. Respuesta: A= 50 dólares; B = 100 dólares y C = 150 dólares 3. Dos ángulos suman 180° y el doble del menor excede en 45° al mayor. Hallar los ángulos Respuesta: Los ángulos miden respectivamente, 75° y 105°. 4. En una pastelería se fabrican dos tipos de tortas. La primera necesita 2.4 Kg. de masa y 3 horas de elaboración. La segunda necesita 4 Kg. de masa y 2 horas de elaboración. Calcular el numero de tortas elaboradas de cada tipo si se han dedicado 67 horas de trabajo y 80 Kg. de masa. Respuesta: 15 tortas de un tipo y 11 del otro tipo 5. Los ingresos de un comerciante durante el primer trimestre del año están dados bajo la siguiente condición:”Lo recibido el mes de febrero es

3 de lo recibido en el mes de enero y lo recibido en el mes de marzo es el doble de lo recibido en el mes de febrero”. Si 4

el total recaudado en este periodo del año es de 812.500 pesos. Hallar los montos ingresados en cada uno de estos meses señalados. Respuesta: Enero: $250.000; Febrero: $187.500; Marzo: $ 375.000 6. Para una actividad de beneficencia se confeccionaron 120 invitaciones, las Cuáles se ofrecerán a 2.000 pesos las del almuerzo y a 1.000 pesos las de la once. Si en total se recaudan 200.000 pesos. Calcular la cantidad de invitaciones utilizadas en el almuerzo y las utilizadas en la once. Respuesta: ochenta entradas para el almuerzo y cuarenta entradas para la once. 7. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? Respuesta: 100 botellas de 2 litros y 20 botellas de 5 litros 8. Un comerciante de artículos deportivos compró 1.000 pares de zapatillas a $15.000 cada una. Vendió 400 pares de ellas obteniendo una ganancia del 25%¿A que precio deberá vender los restantes 600 pares de zapatillas, si la utilidad promedio del lote completo ha de ser del 30% Respuesta: Vendió los restantes 600 pares de zapatillas a $20.000 9. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 metros. Si cada dimensión reaumenta en 4 metros el área será el doble. Determine las dimensiones de la sala. Respuesta: 12 metros de largo por 8 metros de ancho. 10. Un comerciante, compró cierto número de sacos de azúcar por 1.000 unidades monetarias. Si hubiera comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 5 unidades monetarias menos. ¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno? Respuesta: 40 sacos y 25 unidades monetarias


70


CLASE 23 APRENDIZAJES ESPERADOS - Resuelven ecuaciones exponenciales - Resuelven ecuaciones logarítmicas

CONTENIDOS - Ecuaciones exponenciales Resolución - Ecuaciones logarítmicas Resolución

Aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente de una potencia, se considera una Ecuación Exponencial :

ax  by  a  b y x  y Para resolver este tipo de ecuaciones, una vez igualadas las bases, se igualan los exponentes, transformándose la ecuación exponencial en una ecuación de primer o segundo grado, según corresponda. Cuando en las ecuaciones exponenciales, no podemos igualar los exponentes recurriremos a los logaritmos. Todas las condiciones que necesitaremos para resolver Ecuaciones Exponenciales, hacen referencia al concepto de potenciación y radicación, estudiados anteriormente. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales. 1. 52x1  254x1 Igualando las bases, tenemos.

52x1  (52 )4x1 52x1  58x2 Igualadas las bases, igualamos los exponentes:

2x  1 8x  2 2x 8x  2  1  6x  3 1 x 2 1 2.     4 

x 1

  1 2       2      1     2   1     2 

 1     8 

x 1

2x 2

4x  7 



1 32

3 2x

  1 3        2    

 1     2 

4x 7

32x

9 6x

 1     2 

 1     2 

 1     2 

5

5

5

5


71

Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 4x   2 x

1 2

Resuelva la siguiente ecuación exponencial:

c

3x 1 4x 3





x   x 

 c 2 x  c 6x 1  c 2x

3

1

Respuesta: x  5 En los siguientes problemas, resolveremos ecuaciones exponenciales, en las Cuáles no es posible igualar las bases, por lo tanto recurriremos a los logaritmos, es importante conocer logaritmos, vistos en clases anteriores para resolver problemas de este tipo. Resuelva: 1. 4x  7 Solución: Como los logaritmos de números iguales son iguales, podemos tomar el logaritmo común (o logaritmo natural9 de cada lado de la ecuación. La regla de potencia de logaritmos entonces proporciona una forma de cambiar la variable x de su posición como exponente a una posición como coeficiente.

4x  7 log4x  log7 xlog4 log7 log7 Use calculadora x log4 x1,54037 2. 6x3  2x aplicando logaritmo

log6x3  log2x (x  3) log6 xlog2 xlog6  3log6  xlog2 xlog6 xlog2 3log6 x(log6  log2)  3log6 3log6 x log6  log2 x 4,8928 3. 731,6(1,03)t

73  1,03t 1,6 45,625 1,03t aplicando logaritmo log45,625 t log1,03


72


log45,625 t log1,03

t 129,2493 Resolución de Ecuaciones Logarítmicas En cada uno de los siguientes ejemplos, utilizamos las propiedades de los logaritmos para cambiar una ecuación logarítmica una ecuación algebraica.

Resolver: 1. log(3x  2)  log(2x  3)  0

log(3x  2)  log(2x  3) Si loga r  loga s, entonces r  s

3x  2 2x  3 x  5 2. log x  log(x  3) 1

log x(x  3)  log10 x(x  3) 10 x2  3x10 Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos. x2  3x  10 0 x1   2 x2  5 x1   2 no es solución, porque no satisface la ecuación(un número negativo no tiene logaritmo) 3.

log(5x  6) 2 log x log(5x  6)  2log x log(5x  6) )  log x2 (5x  6)  x2 0 x2  5x  6 Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos. x1  3

x2  2 compruebe los resultados


73


CLASE 24 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven ecuaciones exponenciales, orientando su -Alternativas y estrategias de resolución de estudio a situaciones de la especialidad y el mundo problemas atinentes a la especialidad. cotidiano - Resolución de problemas Resuelven ecuaciones logarítmicas , orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo cotidiano - Exploran sistemáticamente, diversas alternativas y estrategias para la resolución de problemas relacionados con la especialidad. - Resuelven problemas relacionados con la especialidad, seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y métodos de cálculo, incluyendo una sistematización del método ensayo y error, y analizando la pertinencia de los datos y soluciones Resolver los siguientes problemas. 1. Según cierta información científica confiable, a partir del año 2000, la concentración de CO2 ambiental, en cierta ciudad ha ido variando según la relación: C = 175 · 1,02t; donde: C es la concentración de CO2, en ppm (partes por millón) y t = años a partir de 2000. A partir de este modelo determine la concentración de CO2 para el año 2010 Respuesta: 213,321 partes por millón 2. La concentración de pesticida en manzanas a partir de la última fecha de aplicación está dada por C = 1,5 · 0,86T, donde la concentración C está medida en miligramos del producto por cada 1 kilogramo de fruta, y el tiempo T, en días. Determine la variación en la concentración del pesticida entre el primer y tercer día de la última aplicación Respuesta: Bajó en aproximadamente un 26% 3. Bajo ciertas condiciones, una población de bacterias crece en función del tiempo según la ecuación: N = 500 · 2 t, siendo N el número de bacterias del cultivo y t el tiempo, en horas. Según el modelo, determine el tiempo para el Cuál habrán 5 mil bacterias en el cultivo. Respuesta: 3,32 horas 3. Las utilidades de una empresa aumentan de acuerdo con la siguiente relación:

Uf  U i (1 i )t , donde U f es la utilidad final, U i es la utilidad inicial, i tasa de crecimiento y t es el tiempo. Si las utilidades de esta empresa han aumentado a un promedio de un 5% entre el año 2000 y el 2008, alcanzando este último año $3,5 millones, estime la utilidad para el año 2010, suponiendo que este crecimiento exponencial continúa. Respuesta: 3,86 millones de pesos 5. La altura de un cierto tipo de árbol (en pies) está dada aproximadamente por.

h

160 , donde t es la edad del árbol en años. Estime la edad de un árbol de 80 pies de altura 1 240 e0,2t

Respuesta: 27,4 años


74


6. La población de un cierto país era de 8.000.000 de habitantes el año 2005 y está creciendo a una tasa del 1% anual, suponiendo que esta tasa de crecimiento continúa. Cuándo alcanzará este país los 10.000.000 de habitantes, de acuerdo a la siguiente relación Pf  Pi  1,01t , siendo Pf la población final, Pi la población inicial y t es el tiempo Respuesta: 22,43 años 7. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 2000, su población fue de 500.000 habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula:

 7  P  50.000    3 

0,02t

en donde t es el tiempo en años.

Calcule la población para el año 2.009 Respuesta: 42.927 habitantes

CLASE 25 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Refuerzan aprendizajes esperados, de las clases 15 Reforzamiento Evaluación Nacional Estandarizada de a 24 preparación Evaluación Nacional los aprendizajes esperados de las clases 15 a 24 Resolver en forma grupal o individ ual, los siguientes prob lemas, en preparación de la Segunda Evaluación Nacional  3a2  1. Simplificar la expresión  5   b 

3

2. Simplificar la siguiente expresión: 3. Simplifique: ( 3  6 2) 

27 a6 Respuesta. b15 18



50



32 

3 2 2

8

Respuesta: 14 2 Respuesta:

 21 4 6

4. Racionalice el denominador:

3

a.

6 3

b.

5

Respuesta: 15  10

2 3 3 2

d.

Respuesta: 5 2 6

3 2 3

16a5

3

6 2

Respuesta: 3 2  3

21

c.

e.

Respuesta:

Respuesta: 23 a2

2a3 4

 1  5. Exprese la ecuación en forma logarítmica:    16  2 

Respuesta: log1 16  4 2


75


6. Dado log3 = 0,4771 y log4 = 0,6021, determine el valor de: a. Log 48 b. Log 3

Respuesta: 1,6812 Respuesta: 0,2386

7. Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión:

x 1 2 1

log

Respuesta.

1 log(x  1)  log(x2  1) 2

8. Si R es la intensidad de un temblor, A es la amplitud (medida en micrómetros), y P es el período (el tiempo de una oscilación de la superficie terrestre, medida en segundos), entonces

A R  log , encuentre la medida en la escala de Richter de un terremoto de 10.000 micrómetros y un período de 0,1 segundos. P Solución: El terremoto es de 5 en la escala de Richter 9. Si E0 es el voltaje de salida de un dispositivo y E I es el voltaje de entrada, la ganancia de voltaje en decibeles está dada por:

dB  20log

E0 , si la entrada de un amplificador es de 0,4 volts y la salida es de 50 volts, encuentre la ganancia de voltaje en EI

decibeles del amplificador. Respuesta: El amplificador produce una ganancia de voltaje de 42 decibeles 10. Es frecuente que un equipo se deprecie. Si un equipo con esperanza de vida útil de N años, que cuesta $C, se depreciará a un valor de $V en n años, donde n está dado por la fórmula:

n

logV  logC , una impresora que cuesta 470 unidades monetarias tiene una esperanza de vida útil de 12 años. Si se ha 2   log1   N 

depreciado a un valor de 189 unidades monetarias ¿Cuál es su antigüedad? Respuesta: 5 años 11. Reduzca la siguiente expresión a su mínima expresión:

 28a6b2  16a2b6  11b6a2  48b2a6  60a6b2  27b2a6  18a2b6 Respuesta:  103a6b2  23a2b6 12. Dados los siguientes Polinomios.

P : 5x3  3x  8 Q: 7x4  5x3  2x2  3x  12 R: 9x3  7x2  15 S:10x4  6x2  11x  17 T :4x4  x3  13x  1 a. Calcular: P  Q  S  T Respuesta: 7x4  9x3  8x2  8x  12 b. S  Q  R 4

Respuesta: 17x

 14x3  11x2  14x  44


76


13. Resuelva el siguiente producto:

 3 2   3 2   a  b  1   b  a  1  4 3   4 3  Solución: 145 144

ab 

1 2

a2 

17 12

a

1 2

b2 

17 12

b 1

14. Resuelva utilizando productos notables:

 pq2r 3  7c    pq2r 3  7c  13  13  2   2   49c

Solución: 169p 2  q 4  r 6 

2

4

15. Resuelva utilizando productos notables:

 2 2 1 3   a  b 4   3 Respuesta:

4 9

2

a4 

1 3

a 2b 3 

1 16

b6

Factorizar las siguientes expresiones. 16.

1 7 6 1 6 8 1 9 7 pq  pq  pq 5 20 30 Respuesta:

17.

1 5

 

p 6q 6  p 

1 4

q2 

1 6

 

p 3q 

t2  23t  132 Solución: t  11  ( t  12)

18.

r4 

33 2 r 2 4

Solución: r 2  8   r 2  1  

19.

4 2 8 4 a  ab  b2 9 15 25 Solución:   2 a  2 b  5   3

20.

4 

2

289x2  374xy  121y2 Solución: ( 17x  11y )2

21. Una persona recibe un ingreso mensual de:

3x2 y  2xy2  xy

pesos y gasta en arriendo y alimentación

x2 y  5xy pesos y 4xy2  2xy pesos, respectivamente. Determine la cantidad de dinero que le queda para pagar el resto de sus obligaciones. Respuesta: 2x 2y  6xy 2  6xy Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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22. Compro x2  3xy  y bienes a Respuesta:

23. Si x = 0,1

3 2 4x y

4

xy

2



pesos cada uno. ¿Cuánto cancelo por el total?

 12x 2y 3  4xy 3

3x2 y y = 0,2 z = 0,3 Evaluar: 2y2 z

Respuesta: 0,25 24. Resolver la ecuación:  3x  5x   x  3  8x  5x  9 Respuesta: x 3 25. Resolver el sistema de ecuaciones:

 6y 7 x  63 9x  2y  13 Respuesta: x 3; y  7 26. Resolver la ecuación: 5(x  4)  8(x  5)  4(x2  53) Respuesta: x1  8

x2   4,75

1    27. Resolver la ecuación exponencial: 4    4  28. Resolver la ecuación exponencial: 13x1  2 4x1

x9

Respuesta: x 2 Respuesta: 1,2702

29. Resuelva la ecuación logarítmica: ln(2x  5)  ln3 ln(x  1)

Respuesta: x 8

30. Entre dos vendedores, A y B, han vendido un total de 20 plantas para jardín, por un total de $23.200. Por un problema de información, ambos vendieron a precios diferentes. A vendió a $1.250 y B a $1.100 cada planta. ¿Cuál es la diferencia entre las plantas vendidas por ambos? Respuesta: 4 plantas 31. Un grupo de trabajadores han instalado la tercera parte de un cierro perimetral de una carretera. Si falta por instalar las 3/5 partes más 550 m. ¿Cuál es la longitud total del cierro a instalar? Respuesta: 8.250 metros 32. Se sabe que el total de la pintura de fachadas que se requiere para una construcción es de 158 galones, si por error de despacho se cuenta con el triple del verde musgo y el doble del amarillo colonial, por un total de 400 galones. ¿Cuántos galones se requiere de cada color? Respuesta: X = 84 galones de verde musgo Y = 74 galones de amarillo colonial 33. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 2000, su población fue de 500.000 habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula: P  500.000e0,02t en donde t es el tiempo en años. Calcule la población para el año 2.008 Respuesta: 426.072 habitantes Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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34. El volumen de ventas de una marca de cereales disminuye después de una campaña publicitaria de acuerdo a la Fórmula V = 750(1,3)-t donde t es el tiempo en meses. La siguiente campaña está planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a dos tercios de su valor inicial. ¿Cuánto tiempo debe pasar entre dos campañas sucesivas? Respuesta: 1,55 meses 35. Si cierta marca de automóvil se compra por C pesos, su valor comercial v al final de t años, está dado por

v 0,78 C  0,85t1 .Si el costo original es de $6.500.000, calcule el valor del automóvil después de tres años. Respuesta: $3.663.075

CLASE 26 APRENDIZAJES ESPERADOS Desarrollan evaluación sumativa

CONTENIDOS Evaluación Nacional Estandarizada de aprendizajes esperados de las clases 15 a 24.

los

CLASE 27 APRENDIZAJES ESPERADOS - Identifican el concepto de función, su dominio y recorrido, operando con la nomenclatura correspondiente. - Calculan imágenes y coimágenes en funciones sencillas y las representan gráficamente. - Identifican la función lineal y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica.

CONTENIDOS - Concepto de función Dominio y Recorrido de la función Nomenclatura funcional - Cálculo de imágenes y coimágenes de funciones sencillas. Representación gráfica. - Función lineal: Características Ecuación representativa Gráfico

Una función es una correspondencia entre un conjunto de valores x de entrada (llamado dominio de la función) y un conjunto de valores y de salida (llamado rango de la función), donde exactamente un valor y del rango corresponde a cada número x del dominio.

Dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspond encia matemática, denotada por:

f : X  Y

Ej. 1 Dada la expresión y 2x  3¿es función? Si es así, encuentre su dominio y su rango, e ilustre la función con una tabla y una gráfica Solución: Para que exista una función, todo valor de x debe determinar un valor de y, si reemplazamos en y 2x  3, valores de x correspondientes a los reales, cada opción de x determina un valor de y, por lo tanto es una función. Como la entrada x puede ser cualquier número real, el dominio de la función es el conjunto de los números reales. Como la salida y puede ser cualquier número real, el rango es el conjunto de los números reales. Tabla de valores x 1 2 3

y -1 1 3

(x, y) (1, -1) (2, 1) (3, 3)


79


0 -1 -2 -3

Gráfico:

-3 -5 -7 -9

(0, -3) (-1,-5) (-2,-7) (-3,-9)

y y = 2x - 3

x Ej. 2 ¿La expresión y2  x define que y es una función de x? Para que exista una función cada valor de x debe determinar un valor de y, si consideramos el valor de x = 4, por ejemplo, y podría ser 2 o - 2, ya que 22  4 y (2)2  4 , como se determina más de un valor de y cuando x = 4, la ecuación no representa una función.

Notación de funciones La notación y f (x) denota que la variable y es una función de x Ej. Sea f (x)  4x  3, encuentre f (3) y f (1)

f (3)  4 3 315 f (1)  4(1)  3   1

Localización de dominios y rangos de la función Ej.1 Sea una función f : IR  IR definida por y

1

x 2

, determine el dominio y el rango de la función.

El Dominio de la función es el conjunto de todos los Reales, excepto el 2, ya que al reemplazarlo en la función, el denominador se hace cero. Puesto que una fracción con numerador 1 no puede ser cero, el rango es el conjunto de todos los números reales, excepto el cero. Ej. 2 Sea una función f : IR  IR definida por y  2x  1, determine el dominio y el rango de la función. Puesto que todo número real x, determina un valor correspondiente de y, el dominio es el conjunto de todos los números reales. Como los valores de y pueden ser cualquier número real, el rango es el conjunto de todos los números reales.


80


FUNCIÓN LINEAL Al establecer que una función es una correspondencia uno a uno entre los elementos de dos conjuntos claramente definidos, se está en condiciones de poder desarrollar y estudiar relaciones funcionales entre innumerables elementos de diferentes campos operacionales. Una función lineal es una relación de proporcionalidad directa entre los elementos de dos variables X e Y, las Cuáles se denominan Dominio y Rango de la función, donde se establece una relación de dependencia entre ambas variables, tal es el caso que la variable X se denomina variable independiente y la variable Y, variable dependiente de esta función. Si la función lineal es una relación de proporcionalidad directa entre las variables X e Y, si una de las variables crece lo hará también la otra y viceversa Definición: Una relación funcional de la forma: y ax  b o y mx  n es una función lineal, donde a y b son números reales que no cambian de magnitud para la función dada. Las magnitudes a y b son elementos característicos de cada función lineal y representan respectivamente a: 1. La pendiente de la función, a, o coeficiente de dirección 2. Al punto donde esta función se intersecta con el eje ordenado, del Diagrama Cartesiano, (0, b), o Coeficiente de Posición La expresión general para la Función Lineal o Ecuación de la Recta también se expresa analíticamente como Ax  By  C  0, donde la pendiente a y el punto de intersección de la recta b corresponde a:

a 

A B

b 

C B

Consideremos la Función Lineal y 2x  1, la Cuál deberá corresponder a una Línea Recta de pendiente a = 2 y Coeficiente Posicional b = - 1 y que representada gráficamente corresponde a: Y

X

El valor o magnitud de la Pendiente de la Función Lineal, es el cuociente entre la variación o incremento de la variable y y la variación o incremento de la variable x, tal que:

a

y y2  y1  x x2  x1

Esto significa que para obtener y conocer la pendiente se deben conocer dos pares cartesianos (x, y) de la función o de las variables que se estén utilizando y establecer la relación: a 

y2  y1 x2  x1

Ejemplo: Determine la pendiente o inclinación de la función lineal, que pasa por los puntos P1 (3,5) y P2 (2,6) Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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a

6 5  1 2 3

Propiedades de la pendiente: 1. Si a = 0 la función lineal es paralela al eje de las x 2. Si a > 0 la función lineal es ascendente 3. Si a < 0 la función lineal es descendente La función lineal tiene por característica geométrica representar una línea recta, de modo que su representación gráfica y los valores asignados a la pendiente y al Coeficiente Posicional b, son de gran utilidad en la interpretación de situaciones prácticas que abarcan muchas disciplinas del conocimiento, fundamentalmente de las Ciencias Aplicadas. La representación gráfica de la función lineal de acuerdo a las propiedades asociadas a la pendiente son de la forma.

a >0

a<0

a=0

no existe

CLASE 28 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Operan con la función lineal en forma analítica y gráfica, - Función lineal: relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral. Aplicaciones - Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función lineal como modelo Para la construcción de una Función Lineal es necesario conocer a lo menos: 1. Un punto o par cartesiano (x, y) y la pendiente a 2. Dos puntos o pares cartesianos Y aplicando la expresión y y1  a x  x1  en el caso punto- pendiente o la expresión:

 y2  y1    x x1  en el caso de conocer dos puntos x x   2 1 

y y1  

Cabe hacer notar que ambas expresiones son equivalentes de acuerdo a la definición dependiente Ejemplo1: Escribir la Ecuación de la Recta que tiene pendiente a = 4 y pasador el punto A (1, 5)

y y1  a(x  x1) y 5 4(x  1) y 4x  1 4x  y  1 0

Ecuación Principal Ecuación General

Escribir la Ecuación de la Recta que pasa por los puntos: A (-3, 1) y B (3, -1), usando la forma Principal y la forma general Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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 y2  y1   x x1  x x   2 1 

y y1  

  1 1 (x 3)    3 3  1 y  (x  3)  1 y1 

3 1 y  x 3 x  3y 0

Ecuación Principal Ecuacón General

Consideremos las siguientes Funciones Lineales o Ecuaciones de Recta

y 3x  2

y 3x 2

1 y  x  1 3

y representémoslas en un gráfico, destacando de acuerdo a lo establecido que las dos primeras presentan lamisca pendiente a = 3. Al asignar valores a la variable independiente x para los tres casos se deben obtener las siguientes representaciones: X

Y = 3X+-2

Y= 

1 X 1 3

Y = 3X -2 Y

De la representación gráfica se observa que las dos primeras rectas son paralelas y la tercera recta es perpendicular a las anteriores. Dos Rectas son Paralelas si tiene igual pendiente ( a1  a2 ) de modo que la distancia entre ambas debe ser constante y Dos Rectas son Perpendiculares, si sus pendientes son valores recíprocos y negativos (a1  a2   1)


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Resuelva los siguientes problemas en forma grupal o en forma indi vidual: 1. Dadas las rectas y 2x  5

e

y 

1 x  1, demostrar gráficamente que son perpendiculares 2

2. Encuentre la función lineal o ecuación de la recta que pasa por los puntos P11,5 Respuesta: y  9x  14

y P2 2,4

3. El costo fijo de producción de galletas finas es de $50.000 al mes y el costo variable de producir cada kilo es de $1.180. a. ¿Cuál será la función de costo total? b. ¿Cuál será el costo de producir 45 kilos de estas galletas? Respuesta: a. C (x) 1.180x  50.000 b $103.100 4. Una empresa líder en el mercado tiene un costo fijo de 4.000 dólares para planta y equipo y un costo variable de 300 dólares por cada unidad producida. ¿Cuál es el costo total de fabricar a. 25 unidades? b. 40 unidades? b.16.000 dólares Respuesta: a. 11.500 dólares 5. Una fabrica recibe 25 dólares por cada unidad de producción vendida .Sus costos variables por unidad son de 15 dólares y un costo fijo de 1.200 dólares ¿Cuál es el nivel de utilidad si se venden a. 200 artículos? b. 300 artículos? c. 100 artículos? Respuesta: a. 800 dólares b.1.800dólares c. 200 dólares 6. Las ventas anuales (en unidades) estimadas S de un nuevo aditivo están dadas por la ecuación S  150.000  3000t en donde t es el tiempo medido en años desde el año 2005, tal ecuación es llamada ecuación de tendencia. Determine las ventas anuales estimadas para el año 2008. Respuesta: 159.000 unidades 7. Una empresa que fabrica vajilla desechable tiene costos fijos de 3.000 dólares mensuales y el costo de la mano de obra y del material es de 50 dólares. a. Determine la función de costos, es decir el costo total como una función del número de vajilla producida. b. Si cada vajilla se vende a 80 dólares. Encuentre la función de ingresos y de utilidades Respuesta: a.C( x)  50x  3.000 b. I (x)  80x U (x)  30x  3.000 8. Encuentre la expresión lineal que se asocia al ingreso, si se sabe que por la venta de 40 bicicletas ingresaron 4.500 dólares, y por la venta de 15 bicicletas del mismo tipo el ingreso fue de2.000 dólares. Respuesta: I (x) )  100x  500 9. Cuando el precio es de 50 dólares hay disponibles 50 litros de pintura. Cuando el precio es de 75 dólares, hay disponibles 100 litros de pintura. ¿Cuál es la ecuación de la oferta suponiendo que la relación es lineal? Respuesta: p  0,5x  25 10. Dadas las ecuaciones de oferta y demanda de un artículo D : p  28 x ; O : p  2x +1 Determinar el precio (pesos) y la cantidad (en unidades) de equilibrio del mercado Respuesta: Precio en el equilibrio: $19; Cantidad en equilibrio: 9 unidades


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11. Una compañía fabrica dos tipos de cierto producto. Cada unidad del primer producto requiere 2 horas-maquinas y cada unidad del segundo producto requiere 5 horas-maquinas. Hay 280 horas máquinas disponibles cada semana. a. Si unidades del primer tipo e unidades del segundo tipo se fabrican cada semana, encuentre la relación entre x e y si se emplean todas las horas máquinas. Respuesta 2x  5y  280 b. ¿Cuántas unidades del primer producto pueden fabricarse si se producen 40 unidades del segundo producto en una semana? Respuesta : 40 unidades 12. En el casino de una industria, se necesita una función para determinar la bonificación mensual de sus maestros de cocina en relación con su producción. Si todos los trabajadores reciben un sueldo base de $205.500 y su producción mensual máxima es de 9.000 platos calientes al mes de acuerdo a la exigencia máxima de la industria. El bono correspondiente por cada plato producido se cancela a $22. a. ¿Cuál es la función para determinar la bonificación por trabajador? Respuesta: y  205.500  22x b. ¿Cuál es el valor de este bono si se producen 8.500 platos?

Respuesta: $392.500

CLASE 29 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican la función cuadrática y la caracterizan a - Función cuadrática : través de sus parámetros, ceros y gráfica Características La parábola Elementos Ecuación general y particular Una función de la forma f (x)  ax2  bx  c

a  0 con a, b y c constantes se denomina función cuadrática.

El dominio de la función cuadrática es el conjunto de los números reales. La función cuadrática queda representada gráficamente por una parábola Para graficar una función cuadrática, consideraremos tres puntos: 1. Intersección de la parábola con respecto al eje de las abscisas. 2. Intersección de la parábola con respecto al eje de las ordenadas 3. Determinación del vértice de la parábola. 1. Intersección de la parábola con respecto al eje de las abscisas. Para calcular el o los puntos donde la parábola corta al eje de las x igualamos la función a cero.

ax2  bx  c  0 ; por lo tanto debemos resolver una ecuación cuadrática, recordemos que las raíces de la ecuación cuadrática están dadas por la fórmula cuadrática:

x

 b  b2  4ac 2a

b2  4ac se denomina Discriminante, que simbolizaremos por  .

  0, tenemos 2raíces diferentes, esto significa que la parábola corta al eje de las x en dos puntos diferentes, por ejemplo y x2  2,5x  9

Si


85


Si

Si

  0, tenemos dos raíces iguales, esto significa que la parábola corta al eje de las x en un solo punto, por ejemplo y x2

  0, las raíces son imaginarias, por lo tanto no corta al eje de las x, por ejemplo y x2  2x  2

2. Intersección de la parábola con respecto al eje de las y Para calcular el punto donde la parábola corta al eje de las y, hacemos x = 0 en la función cuadrática y ax2  bx  c , si hacemos x = 0, entonces y = c, por lo tanto la parábola corta al eje de las y en el punto c. Observando los gráficos anteriores, vemos que para la función y x2  2,5x  9 , la parábola corta al eje de las y en el punto (0, 9); para la función y x2 , la parábola corta al eje de las y en el punto (0,0), y en la función y x2  2x  2, la parábola corta al eje de las y en el punto (0,2) 3. Determinación del vértice de la parábola (punto máximo o mínimo de ella) La gráfica de la función: f (x)  ax2  bx  c a  0 es una parábola que se abre hacia arriba si a  0(Punto mínimo) y hacia abajo si a  0 (Punto máximo).Este punto tiene coordenadas:


86


b x  ; 2a

4ac  b2 y 4a

 b 4ac  b2   , Vértice:   2 4 a a  

Ejemplo: Graficar la función cuadrática: y 3x2  2x  1 1. Intersección de la parábola con respecto al eje de las x

3x2  2x  1 0 , utilizando la ecuación cuadrática: 2  4  4 3 1 6 2  16 x 6

x

x

2 4 6

Por lo tanto las raíces son 1 y

1  1   ; esto significa que la parábola corta al eje de las x en los puntos: (1, 0) y   , 0 3  3 

2. intersección de la parábola con respecto al eje de las y y 3x2  2x  1; haciendo x = 0, tenemos que y = -1, por lo tanto la parábola corta al eje de las y en el punto (0, -1) 3. Determinación del vértice de la parábola: Como a > o, la parábola abre hacia arriba (punto mínimo)

x 

2 1 b   2a 6 3

4ac  b2 4 3 (1)  4    1,33333333 y 4a 12 Con los tres puntos anteriores estamos en condiciones de graficar la Parábola


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CLASE 30 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Operan con la función cuadrática en forma analítica y gráfica, -Función cuadrática: relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral. Gráfico - Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la Aplicaciones función cuadrática como modelo. Resolver los siguientes problemas, en forma grupal o en forma individual 1. Determine el vértice de la parábola: y 3 x 3x2 Respuesta: (0.167; 3.083) 2. Graficar la parábola y 4x x2 , indicando los puntos de intersección con los ejes coordenados y el vértice de la parábola Respuesta: Intersección con el eje de las x: x 0 y x 4 Intersección con el eje de las y: y 0 Vértice de la parábola: (2,4) 3. Determine el valor máximo o mínimo, según corresponda de la función: y 3x2  5x  1 Respuesta: (0,83;  3.083) 4. El ingreso obtenido por vender x unidades de pendrive está dado por: I (x)  60x 0,01x2 Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo de maximizar el ingreso. Respuesta: 3.000 unidades El costo de producir x artículos al día está dado en dólares por: C (x)  80  4x  0,1x Si cada artículo puede venderse en 10 dólares, determine el punto de equilibrio. Respuesta: x1  40 x2  20

2

5. Una empresa vende un artículo a un precio de p = 4q – 1.080. Si q representa la cantidad de artículos vendidos, determine el valor de q para que la empresa tenga un ingreso total de 64.000 dólares. Respuesta: 320 artículos 6. Una empresa sabe que, si fija en p dólares el precio de un producto, el número de unidades vendidas será x millones, donde p = 2 – x. Si el costo del producto viene dado por 0,25 + 0,5x millones de dólares. ¿Qué precio se debería fijar para obtener utilidades de 0,25 millones de dólares? Respuesta: p (2  1)  1 p (2  0,5) 1,5 7. El número de y unidades vendidas cada semana de un producto depende de la cantidad x (en dólares) gastada en publicidad y está dada por: y  70 150x  0,3x2 ¿Cuánto deberían gastar a la semana en publicidad con objeto de obtener un volumen de ventas máximo? Respuesta: 234,38 dólares semanales 8. Los costos fijos semanales de una empresa por su producto son de 200 dólares y el costo variable por unidad es de 70 centavos de dólar. La empresa puede vender x unidades a un precio de p dólares por unidad en donde 2p = 5 – 0,01x. ¿Cuantas unidades deberán producirse y venderse a la semana de modo que obtenga utilidad máxima? Respuesta: 180 unidades


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9. El ingreso mensual (en dólares) obtenido por vender x unidades de un producto está dado por: I (x)  4x 0,025x2 Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo de maximizar el ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo? Respuesta: 80 unidades Ingreso máximo: 180 dólares 10.El costo promedio por unidad ( en dólares) al producir x unidades de un bien es de C(x)  20 0,06x  0,0002x2 ¿Qué número de unidades producidas minimizarían el costo promedio? ¿Cuál es el correspondiente costo mínimo por unidad? Respuesta: Número de unidades: 150 Costo mínimo por unidad: 15,5 dólares 10. Si las plantas de arroz se siembran con una densidad de x plantas por pié cuadrado, la producción de arroz en cierta plantación es de x(10 0,5x) bushels por acre. ¿Qué valor de x maximiza la producción por acre Respuesta: 10 plantas por pie cuadrado

CLASE 31 APRENDIZAJES ESPERADOS - Identifican la función exponencial de la forma y a  bx , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica. - Identifican el comportamiento de la función exponencial de la forma y a  bx , cuando 0 < b < 1 y cuando b > 1. - Identifican la función logaritmo de la forma y a  blog x , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica. - Analizan fenómenos de crecimiento lineal, exponencial y logarítmico en forma analítica y gráfica

CONTENIDOS - Función exponencial Ecuación Gráficos - Función logarítmica Gráficos - modelos de crecimiento

Sea a  IR  , entonces f (x)  ax con x IR, a 1, se llama Función Exponencial en base a

f exp  x, y / y ax , x IR, a  1, a  1 f exp : IR  IR  Si a > 1 el gráfico de la función tiene la forma:

Si 0 a  1 el gráfico tiene la forma:


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Ejercicios: Graficar utilizando una tabla de valores a. f (x)  2x

 1  b. f (x)     2 

x

Se define la función logaritmo como:

f loga   x, y / y loga x a  0; a  1, y IR Si a > 1 el gráfico de la función tiene la forma:

Si 0 a  1 el gráfico tiene la forma:


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Ejercicio: Graficar utilizando una tabla de valores a. y log2 x b. y log1 x 2

CLASE 32 APRENDIZAJES ESPERADOS - Resuelven problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo exponencial - Resuelven problemas contextualizados en el mundo cotidiano y e la especialidad, aplicando el modelo logarítmico. - Resuelven problemas de crecimiento contextualizados en el mundo cotidiano y de la especialidad, aplicando modelos de crecimiento lineal, exponencial y logarítmico.

CONTENIDOS Función exponencial: Aplicaciones Función logarítmica Aplicaciones - Problemas de crecimiento

Resolver los siguientes problemas en forma grupal o en forma individual 1. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 2000, su población fue de 500.000 habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula: P  500.000e0,02t en donde t es el tiempo en años. Calcule la población para el año 2.008 Respuesta: 426.072 habitantes 2. Si cierta marca de automóvil se compra por C pesos, su valor comercial v(t) al final de t años, está dado por

v( t )  0,78 C  0,85t1 . Si el costo original es de $6.500.000, calcule el valor del automóvil después de tres años. Respuesta: $3.663.075 3. Si el valor de los bienes raíces se incrementan a razón del 10% por año, entonces después de t años, el valor de una casa comprada en P pesos, está dada por v(t)  P  1,1 . Si una casa fue comprada en $40.000.000 en el año 2001. ¿Cuál será su precio en el año 2008? Respuesta: $77.948.684 t

4. El volumen de ventas de una marca de cereales disminuye después de una campaña publicitaria de acuerdo a la Fórmula V (t) = 750(1,3)-t donde t es el tiempo en meses. La siguiente campaña está planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a dos tercios de su valor inicial. ¿Cuánto tiempo debe pasar entre dos campañas sucesivas? Respuesta: 1,55 meses 5. El valor de una máquina adquirida hace 8 años por 10.000 dólares viene dado por la expresión: V (t) = 10.000 e-0,3 t, donde t mide los años después de su adquisición.¿En cuanto tiempo la máquina tendrá un valor de 2.231,30 dólares ? Respuesta: 5 años

6. Una población crece de acuerdo con la fórmula: P 5 x106 e0,06t donde t es el tiempo en años. ¿Cuanto tiempo tardará la población en aumentar 50%? Respuesta: 6,76 años Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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7. Se adquiere una máquina batidora industrial por $450.000 y se deprecia continuamente desde la fecha de adquisición. Su valor después de t años está dado por la fórmula: V  450.000 e0,2t ¿En cuanto tiempo la máquina tendrá un valor de $200.000? Respuesta: 4,1 años 8. Según cierta información científica confiable, a partir del año 2000, la concentración de CO2 ambiental, en cierta ciudad de Chile ha ido variando según la función: C = 175 · 1,02t; donde: C = concentración de CO2, en ppm (partes por millón) y t = años a partir del 2000. A partir de este modelo determine la concentración del CO2 el año 2000

Respuesta: 175 ppm

9. La concentración de pesticida en manzanas a partir de la última fecha de aplicación está dada por la función: C = 1,5 · 0,86T, donde la concentración C está medida en mg del producto por cada 1 kilogramo de fruta, y el tiempo T, en días. Determine en que tanto por ciento disminuye la concentración del pesticida entre el primer y tercer día de la última aplicación. Respuesta: Disminuye un 26% 10. Una persona invierte cierta cantidad de dinero en negocios que le producen utilidades, estas utilidades vienen dadas aproximadamente por la expresión U  2,5 1,1 , donde U es la utilidad en millones de pesos y t es el tiempo en meses. ¿Cuanto tiempo demoraría en obtener 25 millones de pesos en utilidades? Respuesta: 24,2 meses. t

11. Una compañía que fabrica software contrató a un técnico para evaluarlos. El número de software posibles de evaluar por día viene dada por:

N

200 , donde N es el número de software evaluado por día, después de t días de trabajo. ¿Cuántos días requiere 4  21 e0,1t

un técnico para evaluar 40 software diarios? Respuesta: Apro ximadamente 30días

CLASE 32 APRENDIZAJES ESPERADOS - Examen Nacional. Aprendizajes esperados del módulo

CONTENIDOS - Evaluación Sumativa

1. El precio conjunto de dos bienes es de $35.000. Si el precio del bien A es el triple del bien B, calcular el valor comercial de cada artículo. Respuesta: Precio del bien A: $26.250; Precio Del bien B: $8.750 2. Una persona recibe un ingreso mensual de $1.500.000, de este ingreso ocupa la cuarta parte para pagar los estudios de sus hijos, la octava parte en gastos relacionados con su casa y un octavo de lo que le queda para viajar. Calcular el gasto total realizado por la persona y la cantidad de dinero que puede guardar como ahorro. Respuesta: Gasto total: $679.688; ahorro: $820.312 3. El agua contenida en cuatro depósitos pesa 879,002 Kg. El primer depósito contiene 18,132 Kg. menos que el segundo; el segundo, 43,016 Kg. más que el tercero, y el tercero 78,15 Kg. más que el cuarto. Hallar el peso del agua contenida en cada depósito. kilos de agua Respuesta: En cada uno de los depósitos hay respectivamente: 247,197; 265,329; 222,313 y 144,163 4. Una librería obtuvo utilidades de $360.000 sobre una venta total de $1.200.000 en el año anterior, determine la razón del total de ventas a las utilidades. Respuesta:

10 3


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5. Se reparten $410.000 entre tres personas A, B y C, de tal forma que, la razón en la que se establece la repartición es A: B: C = 2: 3: 5. Calcular la cantidad de dinero que recibe cada una de estas personas. A $82.000; B  $123.000; C  $205.000 Respuesta: 6. En una fábrica trabajan normalmente 5 maquinas, las Cuáles emplean 5 días en confeccionar 2.600 artículos, trabajando 6 horas cada día. Si la confección para la próxima temporada se reduce a 1.500 de estos artículos Calcular la cantidad de máquinas que han de trabajar durante 3 días con un promedio de 8 horas diarias. x  3,61.Por lo tanto se necesitan aproximadamente 4 máquinas Respuesta: 7. El precio de costo de un televisor de pantalla plana es de $850.000, se desea obtener una ganancia del 15% sobre el costo, calcular el precio de venta al público, si se debe agregar un 19%de IVA.

Respuesta:

$1.163.225

1 1 i  n  8. Evaluar la expresión: A    si i  

A  500.000

i  0,03

n 12

4.977.0001,997

Respuesta:

9. Los ingresos de un comerciante durante el primer trimestre del año están dados bajo la siguiente condición:”Lo recibido el mes de febrero es

3 de lo recibido en el mes de enero y lo recibido en el mes de marzo es el doble de lo recibido en el mes de febrero”. Si 4

el total recaudado en este periodo del año es de 812.500 pesos. Hallar los montos ingresados en cada uno de estos meses señalados. Respuesta: Enero: $250.000 Febrero: $187.500 Marzo: $ 375.000 10. Para una actividad de beneficencia se confeccionaron 120 invitaciones, las Cuáles se ofrecerán a 2.000 pesos las del almuerzo y a 1.000 pesos las de la once. Si en total se recaudan 200.000 pesos. Calcular la cantidad de invitaciones utilizadas en el almuerzo y las utilizadas en la once. Respuesta: x= 80 Entradas para el almuerzo y = 40 entradas para la once 11. El costo de fabricar 10 unidades diarias de un producto es de $175.000 mientras que cuesta $300.000 producir 20 unidades del mismo tipo al día. Suponiendo un modelo de costo lineal, determine la función y12.500x 50.000 Respuesta: 12. El costo de producir x artículos al día está dado en dólares por: C(x)  80  4x  0,1x2 Determine el costo, si se fabrican 50 artículos diarios. Respuesta: El costo de producir 50 artículos diarios es de 530 dólares 13. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 2000, su población fue de 50.000 habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula:

 7  P  50.000     3 

0,02t

en donde t es el tiempo en años. Calcule

la población para el año 2.010 Respuesta: P  42.206 habitantes


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Cuaderno de Apuntes Introducción a la Matemática

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