CUADERNO DE EJERCICIOS DE PROBABILIDAD DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ESTADÍSTICA ITAM
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El presente documento es una compilación de ejercicios de los temas comprendidos en el curso de probabilidad, y tiene como objetivo que el alumno refuerce los conceptos vistos en clase con ejemplos concretos y de un nivel de dificultad aproximado al necesario para aprobar el curso.
1
INDICE TEMA 1
FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD
3
TEMA 2
VARIABLES ALEATORIAS
11
TEMA 3
ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
20
TEMA 4
DISTRIBUCIONES MULIVARIADAS
31
TEMA 5.
DISTRIBUCIÓN NORMAL MULTIVARIADA
40
2
Tema 1: Fundamentos de probabilidad 1.- Construya el espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos. a) Se pregunta a una persona si la primera letra de su apellido es vocal o consonante b) Se pregunta a una persona si el día del mes en que nació es non o par. c) Se observa el comportamiento de 10 acciones de la Bolsa Mexicana de Valores y se registra el número de éstas que finalizaron el día a la baja. d) Se pregunta una pareja el número de años cumplidos de escuela primaria cursados por cadaa uno. 2.- Demostrar la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones. a) Si b) Si c) Si d) Si
, ∩ , ∅∅ 0, 0, ∩0 entonces entonces entonces entonces
3.- Una urna contiene tres pelotas rojas, dos blancas y una azul. Una segunda urna contiene una pelota roja, dos blancas y tres azules. a) Una pelota es seleccionada al azar de cada urna. a.1) Describe el espacio muestral para este experimento. a.2) Encuentre la probabilidad de que ambas pelotas sean del mismo color. a.3) ¿La probabilidad de que ambas pelotas sean rojas es mayor que la probabilidad de que ambas pelotas sean blancas? b) Se selecciona aleatoriamente una urna y se extraen dos pelotas. b.1) Describa el espacio muestral para este experimento. b.2) Encuentre la probabilidad de que ambas pelotas sean del mismo color. b.3) ¿La probabilidad de que ambas pelotas sean rojas es mayor que la de que ambas sean blancas?
01 01 |≥ , |≥ | ,||b, , , |A |≥|+− |
4.- Dado que y las siguientes afirmaciones. a) Si b) Si c) Si d) Si e) Si
, probar la veracidad o falsedad de cada una de
entonces entonces
y
y
entonces entonces entonces
. son independientes. . .
3
.
5.- Un dado es lanzado tantas veces como sea necesario hasta obtener un seis. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten más de cuatro lanzamientos para obtener un seis, dado que no se obtuvo un seis en el primer lanzamiento?
|, |∩ ∩∩ |∩|, | ∩| ∩∩≠0 = . | ,…, () 1,2, … , ⋃>0 (, )>0 >0 AB , , . . , ∩∪ ∩ . 0,0,0,1,0,11, , 0, . ∪ ∩. 6.- a) Si
, encontrar
b) Demuestre que si
7.- a) Sean que
.
son tres eventos tales que y entonces .
y
eventos mutuamente excluyentes y Supongamos y que para . Demostrar que .
b) Sean y dos eventos mutuamente excluyentes tales que Demuestre que y no pueden ser independientes.
8.- Sean
y
dos eventos independientes en un espacio de probabilidad
a) Demostrar la independencia entre b) Si
y
y entre
y
y
Ω
y finalmente entre
y
encontrar
9.- Supóngase que un punto es escogido al azar en el cuadrado unitario. Sea punto esté en el triángulo delimitado por las líneas el punto esté en el rectángulo con vértices
y
el evento: el
, y sea el evento: Calcule y
10.- Suponga que los coches tienen la misma probabilidad de ser fabricados en lunes, martes, miércoles, jueves o viernes. Los coches hechos en lunes tienen una probabilidad de 4% de ser amarillos; los coches hechos en martes, miércoles o jueves tienen una probabilidad de 1 % de ser amarillos, y los coches hechos en viernes tienen una probabilidad de 2% de ser amarillos. Si se compra un coche y resulta ser amarillo ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado el lunes? 11.- Suponga que hay una prueba para detectar cáncer con la propiedad de que el 90% de aquellas personas con cáncer reaccionan positivamente y el 5% de aquellas sin cáncer reaccionan positivamente. Si el 1% de los pacientes en un hospital tienen cáncer, ¿cuál es la probabilidad de que un paciente seleccionado al azar reaccione en forma positiva a la prueba?
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12.- Una máquina tiene 4 componentes que funcionan en paralelo, de tal forma que la máquina falla si por lo menos tres componentes fallan. Suponga que las fallas en los componentes son independientes entre sí. Si los componentes tienen probabilidades de 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4 de fallar respectivamente cuando la máquina se pone a funcionar, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina funcione correctamente cuando empiece a funcionar? 13.- Un portafolio de inversión está formado por 10 acciones de las cuales 6 finalizaron a la alza y 4 a la baja el día de hoy. a) Se escogen aleatoriamente 3 acciones del portafolio, pero no se sabe si estuvieron a la alza o a la baja el día de hoy. Encuentre la probabilidad de que una cuarta acción seleccionada aleatoriamente del portafolio haya finalizado a la baja. b) ¿Cuál es la probabilidad de que las primeras tres acciones hayan finalizado a la alza si la cuarta acción seleccionada finalizó a la baja? c) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres acciones escogidas hayan finalizado a la alza si se sabe que al menos una de ellas terminó a la alza?
0,0,1
14.- Un punto es seleccionado aleatoriamente en el cuadrado unitario y se sabe que está en el triángulo delimitado por . Encuentre la probabilidad de que el punto también se encuentre en el triángulo delimitado por y
1,0 .
15.- La experiencia indica que el 20% de las personas que reservan una mesa en algún restaurante nunca asisten. Si un restaurante tiene 50 mesas y acepta 52 reservaciones, ¿cuál es la probabilidad de que se pueda acomodar a todas las personas que lleguen? 16.- Un autobús empieza su recorrido con 6 personas y realiza 10 paradas en diferentes lugares. Suponga que todos los pasajeros tienen la misma probabilidad de bajarse en cualquier parada. Encuentre la probabilidad de que no bajen dos o más pasajeros en la misma parada. 17.- Sean
y
, | | . ∩>0 . || | . | |
dos eventos tales que :
i) Demuestra que ii) Demuestre que iii) Calcule iv) Calcule v) Calcule
. no es subconjunto de . .
5
18.- Sean a) b) c)
∩ |∪ y
dos eventos independientes tales que .
0.3, 0.2
. Encuentre:
.
.
19.- A 100 estudiantes del ITAM se les pregunta el tipo de transporte que utilizan para llegar al ITAM. Los resultados de las entrevistas han sido clasificadas en la siguiente tabla de contingencia: Carro Otro propio Hombre 40 22 Mujer 29 9 ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar: a) Sea mujer? b) Sea hombre y utilice carro propio? c) Sea mujer o use carro propio? d) Dado que es mujer no utilice carro propio? e) Dado que no utilice carro propio no sea mujer? f) Que no sea hombre ni utilice carro propio? 20.- En cierto banco se sabe que 1 de cada 10 personas tarda más de 1 hora en realizar todos sus trámites. Cuatro personas llegan a este banco simultáneamente y el tiempo que se va a tardar cada una es independiente del que se van a tardar las otras personas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Todas salgan en menos de una hora? b) Todas salgan en más de una hora? c) Dos de las cuatro personas salgan después de una hora? 21.- ¿Cuáles de los siguientes eventos son independientes? Use el sentido común. a) A-Persona que es jugador profesional de básquetbol B-persona cuya estatura es mayor de 1.83m. b) A- Persona con una estatura de más de 1.83m B-Persona cuyo padre mide más de 1.83m. c) A-color de cabello B-sabor de helado favorito. d) A- edad del individuo B-tipo de música favorita.
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22.- A partir de experiencias previas, una casa de bolsa considera que bajo las condiciones actuales, un cliente invertirá en instrumentos de renta fija con una probabilidad de 0.6, en instrumentos de renta variable con una probabilidad de 0.3 y en instrumentos de renta fija o variable, o en ambos, con una probabilidad de 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente escogido al azar invierta: a) En ambos instrumentos? b) En ninguno de estos instrumentos? 23.- En un salón de 28 alumnos, 7 miden al menos 1.80 metros. Se va a formar un equipo de basquetbol (5 integrantes), pero como todos tienen muchas ganas de jugar, el equipo no se escogerá de acuerdo a las estaturas, sino al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres miembros del equipo midan 1.80 metros o más?
A, B C B
24.- Tres eventos y se definen en un espacio muestral. Los 3 conjuntos correspondientes a estos 3 eventos no se intersectan y la unión de los 3 es el espacio muestral. El evento es dos veces más probable que ocurra que el evento , y el evento es dos veces más probable que ocurra que el evento . Determine la probabilidad de cada uno de estos eventos.
A
B
C
25.- Verifique la validez de las siguientes proposiciones. Si la respuesta es falsa, explique la razón de que así sea. a) Si
y
entonces
y b) Si c) Si d) Si y e) ¿Es posible que
entonces y , entonces
. entonces . ?
∩∅ 0. 0.0815,,0. |0.0.3277,,8∩∅, 00.|4|∩≥0. 0.∩∅ 05, 5∪0. |0. 06. 0777. 0.50.5 0.60. 0.45 0. ∪0.82 ∪ 7525 ∪ 78 ∩ ⋮ 2 y
26.- Una compañía maneja 3 fondos de inversión diferentes. Sea el evento de que el iésimo fondo de inversión incremente su valor cierto día. Algunas probabilidades relacionadas con los fondos de inversión son:
a) ¿Son
y
independientes?
b) ¿Son ,y yindependientes? c) ¿Son eventos independientes? d) ¿Cuál es la probabilidad de que los fondos 1 y 2 aumenten su valor?
7
e) ¿Cuál es la probabilidad de que los fondos 1, 2 y 3 aumenten su valor? f) ¿Cuál es la probabilidad de que los fondos 1 y 2 aumenten su valor dado que el fondo 3 incrementó su valor? g) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los tres fondos de inversión incremente su valor? 27.- Mr. Bandit, un conocido ranchero, pero no conocido ladrón de ganado; tiene 20 cabezas listas para vender. Dieciséis de estas cabezas son suyas y consecuentemente llevan su propia marca. Las otras cuatro llevan marcas ajenas. Mr. Bandit sabe que el inspector de marcas revisa el 20% del ganado de cualquier cargamento. Él tiene dos camiones, uno puede cargar a las 20 cabezas a la vez, el otro puede cargar sólo 10. Mr. Bandit considera 4 estrategias en su intento de llevar el ganado al mercado para venderlo sin que sea descubierto: 1) Enviar en un sólo cargamento las 20 cabezas. 2) Enviar dos cargamentos de 10 cabezas cada uno, en donde las cuatro cabezas robadas se encuentran en uno de los viajes. 3) Se envían dos cargamentos de 10, uno con 3 cabezas robadas y el otro con una. 4) Se envían dos cargamentos de 10, cada uno con dos cabezas robadas. ¿Qué estrategia minimiza la probabilidad de que Mr. Bandit sea descubierto? 28.- Considere una urna que contiene 10 pelotas de las cuales 5 son negras. Primero se escoge al azar un número en , y después se selecciona una muestra de
n
pelotas sin reemplazo de la urna. a) Descubra el espacio muestral asociado al número de pelotas negras en la muestra. b) Encuentre la probabilidad de que todas las pelotas en la muestra sean negras. c) Si se realizara un juego con este experimento en el cual tendrían que pagar $100 y por cada pelota negra obtenida se recibieran $50.
n 1,2,3,4,5,6
i) Describa el espacio muestral del dinero que se puede ganar en este juego. ii) ¿Cuál es la probabilidad de que se ganen más de $100 en el juego? iii) ¿Cuál es la probabilidad de ganar $500? 29.- Un jugador tira un par de dados dos veces. Él gana si los dos totales obtenidos no difieren en más de dos, con las siguientes excepciones: si obtiene un 3 en el primer tiro, debe obtener un 4 en el segundo tiro; si obtiene un 11 en el primer tiro, debe obtener un 10 en el segundo ¿Cuál es la probabilidad de que gane?
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30.- Usted es dueño de un pequeño negocio y ha contratado la entrega de su producto a un precio fijo de $20 por unidad. A usted le gusta la seguridad que proporciona un contrato garantizado pero está preocupado por dos posibles catástrofes: a) que la Reserva Federal declare una disminución en los créditos, el cual limitará el financiamiento que necesita para la compra de materia prima y a la fabricación de su producto, o b) que la reserva federal permita cierta inflación y aumente los costos de la materia prima y mano de obra lo que impide a usted obtener utilidades al precio de $20 por unidad. En su opinión, la probabilidad de disminución en los créditos es 0.2 y la probabilidad de inflación es 0.1. Si estos dos sucesos son mutuamente excluyentes, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra uno o el otro? 31.- En Wall Street la tradición dice que si un equipo de la NFC gana el súper tazón, los precios de las acciones serán más altos un año después y si gana un equipo de la AGC el mercado se desplomará. Un artículo de USA Today muestra que lo primero sólo ha ocurrido 22 de 25 veces y lo segundo 9 de 14 veces. Suponga que la probabilidad de que ganen los Vaqueros de Dallas de la NFC es de 0.75. Obtenga la probabilidad de los precios de las acciones aumenten el siguiente año. 32.- Una compañía famosa de botanas en México lanzo una promoción en el año de 1999 en la cual en sus productos aparecía una tarjeta con 6 círculos para rascar. En cada círculo podía aparecer una estrella o la palabra “PIERDE”. Los premios dependí an del número de estrellas que se encontraran sin tener un solo “pierde”, y eran:
No. estrellas 2 3 4 5
De Premio Participaba en la rifa de $100000 Una bosa de botana de 40g Una computadora Un coche nuevo
Una tarjeta podía contener 3,4 o 5 estrellas cubiertas, si la probabilidad de que la tarjeta tuviera 3 estrellas era 0.99, de que tuviese 4 era 0.009 y de que tuviese 5, 0.001: a) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren 2 estrellas al rascar 2 círculos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren 4 estrellas al rascar 4 círculos? c) Si una persona encontró 4 círculos, ¿Cuál es la probabilidad de que hubiera encontrado la 5ª estrella?
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33.- Una persona tiene la siguiente estrategia de juego en las vegas. Apuesta $100 a que la ruleta caerá en el rojo y si gana, se retira. Si pierde, entonces hace la misma apuesta pero con $200 e independientemente del resultado se retira. Suponiendo que tiene una probabilidad de ½ de ganar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane con esta estrategia? b) ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de $100? c) ¿Por qué no todas las personas usan esta estrategia? 34.- En un casino se juega de la siguiente manera: Se lanzan 2 dados honestos de 6 caras, de los números impares obtenidos se gana la suma en cientos de pesos y de los números pares se pierde el 75% de la suma en cientos de pesos. Por ejemplo, si se obtiene (1,2) de gana (1 X 100) y se pierde -75(2) (100), es decir, finalmente se pierden $50 a) ¿Cuál es el espacio muestral de lo que se gana en este juego? b) ¿Cuál es la probabilidad de ganar $600? c) ¿Cuál es la probabilidad de perder $600? d) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en este juego? e) ¿Cuál es la probabilidad de perder en este juego?
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Tema 2: Variables Aleatorias 1.- a) Enseguida se presentan unas funciones. Diga si éstas pueden ser de densidad de probabilidad y si son continuas o discretas. Justifique su respuesta. i)
01 3 1 + 1,2,3,4,5 √! 0,1,041,22,,…3,4,.>0 , para
ii)
, para
iii)
, para
iv)
, para
v)
,
. .
.
b) ¿Cuáles de las siguientes son funciones de probabilidad o de densidad?, justifique su respuesta. i)
.0.0230.06.7−,,,… 0.−6−,, c02, 1,2.,…,. 1|3 .
ii)
.
iii) iv)
.
.
2.- Sea N un número positivo y sea f una función dada por:
a) Encuentre el valor de tal que sea función de probabilidad. b) Obtenga la función de distribución acumulada. c) Obtenga la moda y el valor esperado de X. d) Encuentre . 3.- Un dado se tira hasta que un 6 aparece.
a) Obtenga la función de probabilidades de la variable aleatoria , que indica el número de tiros necesarios hasta que un 6 aparezca. b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más el dado se tire 6 veces? c) ¿Cuántos tiros se necesitan para que la probabilidad de obtener un 6 sea al menos .5? d) Obtenga el valor esperado de .
4.- Sea X una variable aleatoria cuya función de distribución acumulada está dada por:
11
a) Calcule:
0 001 23 16 1 773 1 ≥ 3
1. 1. 1; , ≥0 A B X i)
.
ii)
iii)
b) Encuentre y grafíquela. c) Obtenga el valor esperado, la mediana y la varianza. d) Obtenga la función generadora de momentos.
5.- Pruebe la verdad o falsedad de la siguiente afirmación: si densidad y si los valores y son tales que es también una función de densidad.
y
son funciones de , entonces
6.- El individuo tiene dos monedas y el individuo tiene una. Ellos juegan volados hasta que uno de los dos tiene las 3 monedas. Sea el número de volados requerido para que el juego se acabe. a) ¿Cuál es la función de probabilidad de ? b) Obtenga la función generadora de momentos de . c) Obtenga los coeficientes de simetría y curtosis. Utilice la función generadora de momentos.
7.- El número de solicitudes de apertura de crédito que se reciben diariamente en un banco es una variable aleatoria con la siguiente función de distribución.
0 0.0,1, 01 0.1,73, 12 244 12
a) Encuentre la probabilidad de que se reciban dos o más solicitudes en un día. b) Si en la mañana de un día ya se recibió una solicitud, ¿cuál es la probabilidad de que al final del día se hayan recibido tres o más solicitudes? c) Encuentre la función de densidad de .
8.- Suponga que la duración en minutos de cada llamada que se realiza en una empresa, es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad está dada por:
Obtenga:
1 − 0,4 , .>0. .
a) La función de distribución de y grafíquela. b) La función generadora de momentos. c) El promedio de la duración de las llamadas. d) La varianza y el coeficiente de variación de la duración de las llamadas. e) el coeficiente de asimetría y curtosis. Interprete. f) Obtenga los cuantiles .25, .5 y .75. g) . h) En un grupo de llamadas de tamaño ¿Indique cuál es la probabilidad de que de ellas duren menos que el promedio?
>4| >2
9.- La proporción de declaraciones anuales del I.S.R. que se presentan correctamente a la S.H.C.P., es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad.
3W50. 2 ,50.011 . ∝+ , ≥
El costo (cientos de millones de $) del seguimiento que realiza la S.H.C.P. De las declaraciones está dado por: a) Encuentre el valor esperado y la desviación estándar del costo. b) ¿Qué relación debe darse entre y . Justifique su respuesta. 10.- Considere la variable aleatoria que representa el ingreso de las personas en cierta localidad. Una posible forma de estudiar el comportamiento de es proponer que su distribución es:
En donde Pareto.
α, β
son parámetros. Esta distribución se conoce con el nombre de distribución de
13
α, β
a) Construya la gráfica de para diferentes valores de . Analice estas gráficas, ¿qué se puede decir del comportamiento de la variable ? b) Obtenga los primeros cuatro momentos con respecto al srcen. c) Obtenga el coeficiente de asimetría y de curtosis. Interprete. 11.- Un inversionista realiza dos inversiones independientes y piensa lo siguiente: La inversión 1 tendrá una ganancia de $1000 con una probabilidad de 0.6 o una pérdida de $400 con probabilidad de 0.4. La inversión 2 tendrá una ganancia de $2000 con una probabilidad de .1, una ganancia de $700 con una probabilidad de 0.4 y una pérdida de $500 con probabilidad de 0.5. a) Obtenga la función de distribución de la ganancia o pérdida obtenida por las 2 inversiones y grafíquela. b) Obtenga la probabilidad de que el inversionista no pierda. c) Obtenga la ganancia esperada y la varianza.
+
12.- Si es una variable aleatoria continua con función de densidad y función de distribución , obtenga las funciones de densidad de las siguientes variables en términos de y . a) . b) . c) . d) Indique cómo se relacionan
y
para las funciones anteriores.
13.- Una persona está considerando tres estrategias para invertir $10000. Los rendimientos probables fueron estimados como se presentan a continuación: Estrategia 1: Una ganancia de $100000 con probabilidad de 0.15 y una pérdida de $10000 con probabilidad 0.85. Estrategia 2: Una ganancia de $10000 con probabilidad de .5, una ganancia de $5000 con probabilidad de 0.3 y una pérdida de $5000 con probabilidad de 0.2. Estrategia 3: Una ganancia de $4000. a) ¿Cuál es la estrategia que tiene la mayor ganancia esperada? b) Obtenga la desviación estándar de los rendimientos de cada estrategia. c) ¿Usted le recomendaría a esta persona escoger la estrategia de mayor ganancia esperada? Justifique. d) Un amigo le recomienda que combine las primeras dos estrategias de tal forma que invierta una proporción de la inversión inicial en la primera estrategia y el resto en la segunda, pero le advierte que los rendimientos que obtenga son directamente proporcionales a lo consejo que se ainvierta en cada está dando un buen su amigo? ¿Por una. qué? Si invierte 50% en cada una, ¿le
14
12 1 ,01 0,1 1w w w.
14.- Sea la proporción de un año que una persona se encuentra desempleada. La función de densidad de está dad a por: a) Obtenga la función de distribución. Grafíquela. b) Obtenga el valor esperado y la varianza. Una transformación (logit) para pasar del intervalo utilidad en los modelos estadísticos lineales es:
a los reales, y que es de mucha
c) Obtenga la función de distribución de . d) Obtenga la función de densidad de . e) Obtenga el valor esperado y la varianza de
15.- Un inversionista piensa asignar cierto monto en cada una de 2 inversiones y cuenta con un total de $200000 para invertir: El primer instrumento de inversión tiene un rendimiento del 10%, mientras que el segundo tiene un rendimiento esperado del 18% y una desviación estándar del 6%. Esta persona no sabe qué monto de su dinero destinará a cada instrumento. a) Cuál es el rendimiento total esperado y la desviación estándar si: i) Todo lo destina al primer instrumento. ii) Todo lo destina al segundo instrumento. iii) Invierte la mitad en cada uno. iv) Invierte $50000 en el primero y el resto en el segundo. b) Proponga uno (o más) criterio(s) para decidir el monto a invertir en cada instrumento. De acuerdo a estos criterios ¿cuánto le conviene invertir en cada instrumento?
N 2 1 ,1,2,…,
16.- Sea un número
Demuestre que
entero positivo, y sea
la función definida por:
es una función de densidad y encuentre su valor esperado.
15
17.- La distribución dada por:
1 −,
Es llamada la distribución Raleigh. Demuestre que la media y la varianza existen y encuéntrelos. 18.- La variable aleatoria
tiene función de densidad dada por:
, 02 72 2√12 1 /−+/, ∈ℝ,>0 ∙ ∫−−
a) Calcule los valores de c y d tales que el valor esperado de la variable 4/3. b) Obtenga el valor esperado y la varianza de si . 19.- Sea
sea igual a
una variable aleatoria con la siguiente función de densidad.
en donde k es el parámetro y
la función analítica Gamma dada por:
Esta distribución de probabilidad se conoce como distribución t de Student. Los momentos centrales de esta variable son:
0, >1, 1,3,5, … 12 12 ,, 22 ,>2,2,4,6,…
a) Construya la gráfica de la función de densidad para k=1, 5,10. b) ¿Cuál es el valor esperado de esta variable aleatoria? c) Obtenga el valor de los primeros cuatro momentos centrales, el coeficiente de asimetría y curtosis. d) ¿Qué sucede con los coeficientes obtenidos si ?
→∞
20.- Sea una variable aleatoria con función de densidad:
X
16
−/ +/ ,∈ℝ,>0 2/22 1/ ,1,2,… ´ 22 2 , 2
en donde son los parámetros de la distribución. Los momentos con respecto al srcen están dados por:
Esta distribución de probabilidad se conoce como distribución F.
a) Construya la gráfica de la función de densidad para m=1, n=2. b) Obtenga la media y la varianza de la variable aleatoria. c) ¿Qué signo debe tener el coeficiente de asimetría de la función F?
G
21.-a) Con relación al ejercicio 26 del tema “Fundamentos de probabilidad”. Considere que al apostar a color en la ruleta el pago es uno a uno. Se define la variable aleatoria como la ganancia neta obtenida con esta estrategia.
1) Obtenga la distribución de probabilidad de . 2) Obtenga el valor esperado y la varianza para la ganancia neta de esta persona. 3) ¿Conviene jugar con esta estrategia? b) Para el ejercicio 34 del tema “Fundamentos de probabilidad” sea que indica la ganancia neta en el juego. i) Obtenga la función de densidad de y grafíquela. ii) Obtenga la esperanza y la varianza de . iii) ¿Conviene jugar este juego?
XX
c) En el ejercicio 28 del tema “Fundamentos de probabilidad” si obtenida.
la variable aleatoria
es la ganancia neta
i) Obtenga la función de densidad de y grafíquela. ii) Obtenga la esperanza y la varianza de . iii) ¿Conviene jugar este juego?
X
22.- La cantidad diaria de agua demandada por la población de una ciudad grande del norte del país durante los meses de verano es el resultado de una variable aleatoria medida en millones de litros y que tiene la siguiente función generadora de momentos.
10.5 −, 2
a) Obtenga la esperanza y la varianza.
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b) Construya el intervalo a 2.5 desviaciones estándar de la media e indique qué puede asegurarse de dicho intervalo. c) ¿Es la función de densidad de la variable aleatoria simétrica? Justifique.
′ 0.5, ′ 0.5, ′ 0.75
23.- Los primeros tres momentos con respecto al srcen de la variable aleatoria
son:
a) Obtenga los tres primeros momentos con respecto a la media. b) ¿Es sesgada la densidad de ? 24.- Sea que:
+ / +.
una variable aleatoria con función generadora de momentos
a) b)
.
Demuestre
.
c)
.
d) Utilice estas propiedades y obtenga la media y la varianza de: i) ii)
.
.
iii)
expresadas en términos de la media y varianza de
.
25.- El gerente de una pastelería está considerando cuántos pasteles de chocolate se deben hacer cierto día. Él sabe que el número de pasteles de chocolate que son demandados por los clientes en ese día es una variable aleatoria con función de probabilidad dada por:
115 ,,, 715 ,
La pastelería tiene una ganancia de $15 en cada pastel de chocolate que se vende. Si el pastel no se vende en ese día, se tira (porque no está fresco) y la pastelería pierde $10. Si el gerente desea maximizar la ganancia diaria esperada por la venta de pasteles de chocolate, ¿cuántos pasteles se deben hacer? , ¿cuál es la varianza de la ganancia diaria? 26.- Una clase de economía tiene un total de 20 estudiantes con la siguiente distribución de edad.
18
Edad 19 20 21 24 29
No.de estudiantes 10 4 4 1 1
El profesor seleccionará aleatoriamente y sin reemplazo a 2 estudiantes de la clase para que realicen un reporte del estado de la economía del país. a) Obtenga el espacio muestral de las edades de los estudiantes seleccionados. b) Calcule las probabilidades de cada edad. c) Defina una variable aleatoria que represente el promedio de edad de los dos estudiantes seleccionados. Obtenga la distribución de probabilidad de esta variable y represéntela en una gráfica. d) ¿Cuál es el valor esperado, la varianza, el coeficiente de asimetría y de curtosis esta variable aleatoria?, ¿qué indican estas medidas?
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Tema3: Algunas distribuciones de probabilidad
2 >5 25 . >5|8 ≥20.0. . 52.2. 10 4 ≥6 26 6|0. 6≥3 15 >0 1 .|5|4 3..9 |0. 93.0.12. 3|> >2.85 , ≥ 1. 33 961.9.6. .
1.- Si
se distribuye como Binomial, obtenga las siguientes probabilidades:
a) b) c) d)
. .
i) con ii) con iii) con
2.- Si
.
se distribuye Poisson, obtenga las siguientes probabilidades:
a) b) c) d)
. .
.
.
i) con ii) con
.
.
3.- Si se distribuye como una normal con parámetros siguientes probabilidades: a) b) c) d) e) f)
4.- Si
3, 25
.
.
.
se distribuye como una normal con varianza igual a 36 y se sabe que encuentre el valor de la media.
5.-
se distribuye como a) b) c)
calcule las siguientes probabilidades:
. .
d) e)
20
Obtenga las
6.- Si se distribuye Normal con valor esperado 10 y una desviación estándar 10 compruebe si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) b)
12)2. 12 ). 2P2P10X12 P(102 10X12P(2 210
7.- Encuentre el área bajo la curva de la normal estándar entre los siguientes puntos: a) c)
.
b) d)
.
.
~ 1.52,∞0.5,225,1
1 . ∞, 4 3, 1 1. . 9 9 6 6 . | c |.9 | 2|1 0 1 – 0,1 (),01, , (X~N −, 0.)1,0.2,…,0.9 0 1, Fx >|> > x,t>0 θ. ,1,2,3,4
8.- a) Sea encuentre la constante tal que . b) Sea v.a. encuentre . c) Sea v.a. con distribución Poisson para la cual ¿cuál es el valor de ? d) ¿Cuándo puede asegurarse que la distribución de es la misma que la de ?
9.- Sea el número tal que acumulada de una ) a) Si
es una v.a. con distribución
b) Encuentre para 10.- Sea
(
, demuestre que:
para
una v.a. que se distribuye
es la función de distribución
y use estos valores para graficar
.
a) Encuentre y construya la gráfica de esta función para distintos valores de b) Demuestre que para toda . Esta propiedad se denomina pérdida de memoria, y caracteriza a la distribución exponencial. 11.- Encuentre el valor distribución: a) b) c)
,,
tal que
en donde
.
.
.
21
tiene una
∙ ;,…, ∙ ; ,…, ⋯= ,…, ∙, ∙, ∙, ∙ X , . 0,±1,±2,… 1 + ≥ , ,, 12.- Existe un conjunto de funciones que se denomina familia exponencial. Los elementos de esta familia son aquellas densidades que pueden ser expresadas como:
Para cualesquiera funciones y Poisson pertenecen a la familia exponencial. 13.-a) Si
. Demuestre que las distribuciones Normal
se distribuye Binomial con parámetros
cuál es la distribución de
b) Una persona que ha ingerido mucho alcohol realiza una “caminata aleatoria” moviéndose a las posiciones de la siguiente manera: comienza en la posición 0, después se mueve sucesivamente con pasos de una unidad a la derecha con probabilidad y a la izquierda con probabilidad Cada movimiento es independiente de los demás. Sea su posición después de n pasos, Encuentre la distribución de . c) Sean , v.a. con distribución Binomial con parámetros respectivamente. Si demuestre que (Este resultado muestra que entre más pequeño el valor esperado, más sesgada es la distribución Binomial).
14.Dos dados Seadel segundo el número de lanzamientos en los cuales el número del primer dadoseeslanzan mayor nalveces. número dado. a) ¿Cuál es la distribución de ? b) ¿Cuál es el número esperado de lanzamientos en los cuales el primer dado es mayor al segundo?
15.- Suponga que el número de accidentes fatales de automóvil, en cierta zona de la ciudad, obedece una distribución Poisson con un promedio de un accidente por día. a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 10 accidentes en una semana? b) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran más de 2 días entre 2 accidentes? 16.- Un distribuidor de semillas de frijol ha determinado, después de varios estudios, que el 5% de las semillas no germinan. Si esta persona vende paquetes de 200 semillas y garantiza una germinación del 90% ¿Cuál es la probabilidad de que el paquete viole esta garantía?
22
~ 0 , 4 m 55, 6, 5.5 6 ≥5.5 ~0,1 1,≥ A B A B B A B? ,. 1,2 z , 5 4 . ~ X 10− Pois onλ ´ μ´ λ μ´ μ´ μ 6λ7λ3λ
17.- Sea y sea una v.a. definida como , si en donde es entero tal que si y si Encuentre la función de densidad de y grafíquela. Obtenga su valor esperado y su varianza. 18.- Sea una v.a. cuyos posibles valores son enteros y su función de distribución acumulada es . Sea . Se define la variable como si , para todo entero . Demuestre que tiene la misma densidad que . 19.- Si un paracaidista cae en un sitio aleatorio de la línea recta entre los puntos
y
a) Encuentre la probabilidad de que esté más cerca de que de . b) Encuentre la probabilidad de que la distancia con respecto al punto A sea más de tres veces la distancia con respecto al punto . c) Tres paracaidistas caen en forma aleatoria sobre la recta del inciso anterior, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los tres se encuentre más cerca de que de
20.- a) Sea una v.a. Que tiene una distribución . Evalúe b) Si se distribuye uniformemente en el intervalo , encuentre tal que: . c) Suponga que se distribuye y que . y Encuentre y d) Suponga que es una v.a. continua con distribución uniforme con media 1y varianza 4/3 ¿Cuál es 21.- Sea
y
a) ¿Cómo es b) Encuentre
22.- Para la distribución
?
.
en relación a ? y compruebe lo anterior.
se sabe que los momentos alrededor del srcen son:
a) Obtenga los momentos centrales.
23
b) Obtenga los coeficientes de asimetría y curtosis. c) Indique de qué parámetro dependen los coeficientes del inciso anterior. Analice el comportamiento de estos coeficientes con respecto los parámetros. 23.- Sea
~ / 1 ~ 0 , ~, , X
una v.a. tal que
.
a) Obtenga la función de densidad de b) ¿Cómo es con respecto a ? c) ¿Cuál es el valor esperado y a varianza de ?
24.- La función generadora de momentos de
.
es:
a) Si entonces , aplicando las propiedades de la función generadora de momentos del ejercicio 23 del tema 2, obtenga la función generadora de momentos de . b) Obtenga los primeros cuatro momentos con respecto al srcen. c) Encuentre los coeficientes de variación, asimetría y curtosis.
25.- Si
~, −
. Obtenga la función de densidad de:
a)
.
. b) c) . d) Indique cómo se relaciona funciones anteriores es decir
−
, , 4 con .
considerando cada una de las
26.- Un vendedor ha encontrado que el número de artículos de la marca vender en un día es una variable aleatoria .
que puede
a) Construya una gráfica de la función de densidad correspondiente. b) ¿Cuántos artículos de la marca debe tener el vendedor para estar 95% seguro de que tiene los suficientes artículos para que le duren 5 días? Suponga independencia. 27.- Encuentre la moda para función de densidad de las siguientes distribuciones. a) b)
,, 24
28.- En un día dado 45% de las acciones en la Bolsa Mexicana de Valores aumentan su valor. a) Si se selecciona aleatoriamente cinco acciones ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro de ellas aumenten su valor? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres lo aumenten? 29.- Una tienda de discos ha aplicado encuestas que indican que el 25% de la gente que entra a la tienda hace una compra. Una muestra obtenida de las cintas de las cajas registradoras indica que el promedio de ingresos de una venta es de $55.00. Para el siguiente año se espera que entren 100000 personas a la tienda. a) ¿Cuál es el número esperado de personas que harán una compra? b) ¿Cuáles son los ingresos esperados para el año?
1. 0.5 1 0.250.2 75 |>0.1
30.- Un inversionista piensa que el precio de un stock aumentará mañana, y el aumento (denotado con ) será algún valor entre $0 y $3. Además el cambio en precio está uniformemente distribuido. Encuentre lo siguiente. a) . b) . c) . d) La media y la varianza de . 31.- Un modelo para llegar a un pronóstico económico es por medio del consenso. El pronóstico es obtenido de cada uno de los integrantes de un gran número de analistas; el promedio de estos pronósticos individuales es el pronóstico del consenso. Suponga que los pronósticos individuales de la tasa de interés para enero se puede aproximar a una normal con media 17% y desviación estándar 2.6%. Si se selecciona aleatoriamente a un analista del grupo ¿cuál es la probabilidad de que el pronóstico del analista: a) exceda 21%? b) sea menor del 19%? c) sea menor que 21% si se sabe que es mayor que 19%? 32.- El operador de un abastecedor de agua ha observado que la demanda de ésta antes del medio día tiene aproximadamente una distribución exponencial con media 100 pies cúbicos por segundo (p.c.s). a) Encuentre la probabilidad de que exceda 200 p.c.s antes del mediodía en un día cualquiera.
25
b) ¿Qué capacidad de agua debe mantener el abastecedor para que la probabilidad de que la demanda sea mayor en un día cualquiera sea solo de 0.01? 33.- Sully Blotnick notó que la mayoría de los inversionistas conservan sus acciones perdedoras y esperan lograr a la larga una ganancia. Específicamente, dice que por cada inversionista que ha recuperado una pérdida y después vende, otros 6 mantienen sus acciones. Suponga que se selecciona aleatoriamente una muestra de 4 inversionistas y sea el número de inversionistas que venden sus acciones perdedoras una vez que han recuperado.
X
XX −+,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea exactamente igual a 4? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor o igual que 1? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea exactamente igual a 1?
Y
34.- Sea una variaba aleatoria continua con función de densidad:
Demuestre que
tiene una distribución exponencial con parámetro .
μ
35.- Una máquina de refrescos se puede ajustar para que sirva un promedio de onzas por vaso. Si las onzas de llenado se distribuyen de manera normal con desviación estándar 0.3 onzas, obtenga al cual debe estar la máquina para que el refresco en vasos de 8 onzas se derrame sólo 1% de las veces por sobrellenado.
μ
36.- En cierta localidad donde habitan 500 personas adultas se seleccionó al azar una muestra de tamaño 100. Al preguntarle a cada persona seleccionada cuál era su opinión con respecto a un proyecto municipal, resultó que 60% lo apoyaron y 40% se opusieron a él. Si se supone que en toda la localidad la mitad de personas está a favor del proyecto y la otra mitad está en contra, ¿cuál es la probabilidad de obtener una mayoría de 60% o más a favor del proyecto en una muestra de tamaño 100? 37.- El gerente de una tienda de vinos garantiza que ninguna de sus cajas (de 12 botellas) de Champagne contiene más de una botella en mal estado. En caso contrario el cliente recibe otra caja y a demás se queda con la primera. La probabilidad de que una botella en particular esté en mal estado es de 0.05. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el gerente tenga que reponer la caja? b) ¿Si el costo es de $6500.00 y el precio de venta por caja es de $10000.00, cuálpor escaja la ganancia esperada?
26
38.- Muchas compañías de luz han comenzado a promover la conservación de energía y ofrecen tasas de descuento a clientes que mantienen su consumo debajo de ciertos estándares establecidos. Un reporte de la EPA hace notar que el 70% de los residentes de Puerto Rico han reducido su uso de electricidad lo suficiente para tener derecho a la tasa de descuento. Suponga que 5 clientes son seleccionados aleatoriamente. Encuentre las siguientes probabilidades. a) Que los 5 tengan derecho a la tasa de descuento. b) Que por lo menos 4 tengan derecho a la tasa de descuento. 39.- Un criminólogo ha desarrollado un cuestionario para predecir si un adolescente será un delincuente. Las puntuaciones en el cuestionario pueden tomar valores desde 0 hasta 100. Los valores altos reflejan una mayor tendencia a la delincuencia. Como regla, el criminólogo decide clasificar a un adolescente como delincuente potencial si su puntación excede de 75. Se sabe que entre adolescentes no delincuentes las puntuaciones se distribuyen normalmente con media 60 y desviación estándar 10, y para los adolescentes delincuentes se distribuye normal con media 85 y varianza 25. a) ¿Qué proporción de las veces el criminólogo clasificará erróneamente a un delincuente como no delincuente? b) ¿Qué puntuación necesita tomar como referencia para clasificar erróneamente a un no delincuente como delincuente sólo en un 5% de las veces? c) Si se aplica el cuestionario a 10 delincuentes elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean clasificados erróneamente más de 8 delincuentes? 40.- En la sala de espera de un aeropuerto hay una máquina que vende café. Por experiencias se puede afirmar que la cantidad de café vendida por día es una variable aleatoria que sigue una distribución uniforme en el intervalo (en litros).
7,10
a) Si se sabe que al medio día ya se han vendido 8 litros, ¿cuál es la probabilidad de que al final del día se vendan más de 9? b) Cada vaso de café de 200 ml. se vende a $5. ¿Cuál es el ingreso esperado por las ventas en un día, cuál es la varianza? 41.- Un Estado del gobierno de E.U. estudia las llamadas telefónicas hechas por sus empleados y sugiere que 1 de cada 3 llamadas es personal. Suponga que usted es un empleado del gobierno estadounidense y que 3 de cada 10 llamadas que hace son personales. El gobierno hizo una muestra al azar de 10 números que marcó. a) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más una llamada fue personal? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 5 llamadas fueron personales? c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 llamadas fueron personales?
27
42.- Un empleado recibe un sueldo mensual de $2000. Sea la variable aleatoria que denota el monto total (en $) que esta persona obtiene al mes por concepto de propinas. Si sigue una distribución uniforme en el intervalo .
0,500
a) Obtenga la función de distribución acumulada de la variable aleatoria que denota el ingreso total mensual de este empleado. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso total al mes rebase los $2300 si ya se sabe que es mayor a $2150? c) Encuentre el intervalo ¿Con qué probabilidad el ingreso
mensual caerá en este intervalo? Compare con el teorema de Tchebyshev. 43.- Cinco estudiantes realizarán un examen independiente unos de otros. El número de minutos que cualquier estudiante necesita para terminar el examen tiene una distribución exponencial con media 80. El examen empieza alas 9:00.
1.3,1.3
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los estudiantes termine el examen antes de las 9:40? b) El primer estudiante que terminó el examen lo hizo a las 9:25. ¿Cuál es la probabilidad de que otro estudiante termine antes de las 10:00? 44.- El tiempo hasta la descompostura de una copiadora después de su último servicio de mantenimiento tiene una distribución exponencial con media 30 días. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la copiadora se descomponga antes de 30 días después de un servicio? b) ¿Cuándo se le debe dar servicio a la copiadora para que la probabilidad de descompostura antes del siguiente servicio sea 0.2 si hoy se le dio mantenimiento? 45.- Usted quiere encontrar a alguien con el mismo día de cumpleaños que el suyo. ¿Cuál es el menor número de personas a las que tiene que preguntar para tener una probabilidad de 50% de tener éxito?
Y √21 −−⁄, ~ , ~,
46.- Se dice que una variable aleatoria tiene una distribución Lognormal si tiene una distribución Normal. La forma de la función de densidad Lognormal es:
Puesto que
es una función monótona de
En donde . Entonces se pueden obtener las probabilidades de una distribución Lognormal utilizando la distribución Normal. 28
~4,1 4 58
a) Si b) ¿Cómo es
encuentre con respecto a
y
.
?
47.- En cierto banco se desea tener una mejor planeación en la asignación de créditos hipotecarios. Entre otras cosas se pretende entender el comportamiento de la variable aleatoria : número de solicitudes de crédito aprobadas a la semana. Se propone una distribución Poisson para esta variable.
a) ¿Qué supuestos tienen que cumplirse para justificar el uso de una distribución Poisson? b) El banco tiene dos tipos de sucursales. En las sucursales tipo 1 se sabe que el promedio de solicitudes aprobadas es de 3,4 o 5 semanales. ¿Cuál será el valor de (3, 4 o 5) si se sabe que la proporción de veces se han autorizado 2 créditos en una semana es el doble de la proporción de veces que se ha autorizado un crédito? c) Utilice el valor elegido en el inciso anterior para determinar el número de semanas en un año en las que se espera que ocurra el evento . (Considere que el año tiene 52 semanas).
λ
>2
48.- En la B.M.V. en un día, el 30% de las acciones incrementaron su valor, el 20% se mantuvieron igual y el 50% disminuyeron su valor. Si se seleccionan 20 acciones al azar, determina a) La probabilidad de que por lo menos 10 hayan incrementado su valor. b) Por lo menos 10 hayan disminuido su valor. c) El número acciones que se espera que aumenten su valor ese día. d) El número de acciones que se espera que no disminuyan su valor ese día y su varianza. 49.- La cantidad demandada diaria de gasolina en un mercado regional se puede representar como:
1001 0 , ∈0,8 20,20 p
y donde es una variable aleatoria continua en el intervalo con función de densidad uniforme. La demanda está dada en miles de litros y el precio está medido en pesos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad demandada sea mayor a 70000 litros si: i) El precio es de $4? ii) El precio es de $3? b) Si el costo variable de ofrecer la cantidad
29
de gasolina está dado por:
2.
Defina una variable aleatoria que se pueda usar para representar la ganancia diaria sobre el costo de venta. c) ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga una ganancia positiva sobre el costo variable en un día dado si: i) el precio es de $4? ii) el precio es de $3? d) Si el precio es de $6 ¿cuál es la probabilidad de que la cantidad demandada sea de 4000 litros?
30
Tema4: Distribuciones multivariadas
||1⇔∃, ∈ℝ, ≠0 , , , 2, 4, 1, 6, , 1/2 32 2 ,…, = = 2<
1.- Demuestre que
, tales que
2.- Demuestre que,
.
para cualquier par de constantes
.
3.- Dé un ejemplo para mostrar que covarianza cero no implica independencia. 4.- Si
y
son dos variables aleatorias discretas en donde:
Obtenga el valor esperado y la varianza de las siguientes variables: a) b) c)
5.- Sean
variables aleatorias. Demuestre lo siguiente:
6.- En una caja hay tres bolas con números 1, 2 y 3. Dos bolas son seleccionadas al azar y sin reemplazo de la caja. Sea números.
el número de la primera bola y
1|,3,
a) Obtenga la función de densidad conjunta de b) Calcule . c) Calcule y .
el mayor de los dos
y .
7.- Don Chucho sabe que en promedio un alumno del ITAM se come 0.15 tortas de milanesa y 0.3 tortas de jamón en un día. Si y son variables aleatorias independientes que indican el número de tortas de milanesa y de jamón que se come un alumno del ITAM y se sabe que tienen una distribución Poisson.
a) Obtenga la función de densidad conjunta de y . (Suponga independencia). b) ¿Cuál es la probabilidad de que un día un alumno del ITAM se coma por lo menos una torta de milanesa y una de jamón. c) Si es el total de tortas que se come, obtenga la función de densidad, el valor esperado y la varianza de , ¿cuál es su distribución?
31
d) Si las tortas de jamón cuestan $6.00 y las de milanesa $9.00, ¿cuál es la función de densidad, el valor esperado y la varianza del ingreso de Don Chucho por cada alumno del ITAM? 8.- Suponga que el 15% de las familias en cierta comunidad no tienen hijos, 20% tienen uno, 35% tienen dos y 30% tienen tres o más. Además, suponga que cada familia es igualmente probable el que un hijo sea niño o niña. Si una familia se elige aleatoriamente de la comunidad y es el número de niños y es el número de niñas de dicha familia, ¿cuál es la distribución conjunta de
X
y ?
9.- Considere un círculo de radio y suponga que un punto es elegido al azar dentro del círculo de tal forma que todas las regiones del círculo con la misma área tienen la misma probabilidad de contener al punto. Si el centro del círculo es el srcen y las variables aleatorias y son las coordenadas del punto elegido,
a) Determine la función de densidad conjunta de y . b) Obtenga las densidades marginales. c) Calcule la probabilidad de que la distancia del srcen al punto seleccionado no sea mayor que un nivel . d) Obtenga la función de densidad de : la distancia del srcen al punto seleccionado.
10.- En la siguiente tabla se presenta las distribuciones conjuntas y marginales de las variables y donde,
XY
= número de años de estudio concluidos por el jefe de familia. = estrato de ingreso del jefe de familia (según el # de salarios mínimos)
X
Y
1 .199 .177 .008 .002 .386
0 3 6 9
2 .124 .035 .025 .005 .188
a) ¿Son independientes las variables b) Calcule: i) ii) iii)
.
3 .122 .009 .040 .022 .193
y
6 3≥4. .
32
?
4 .005 .003 .049 .041 .098
5 0 0 .065 .071 .136
.450 .223 .187 .141
5| 6 3|1. .
iv)
c) d) Calcule e) Calcule
).
.
y
y
,
11.- El administrador de un restaurante de comida rápida está interesado en el comportamiento conjunto de las variables el tiempo total entre la llegada del cliente y la salida del producto de la ventana de servicio; y el tiempo que tardan en atenderlo. Como incluye relativa el tiempo tarda en la fila, tenemos que ser modelados . La distribución de la frecuencia de que los valores observados y puede por la siguiente función de densidad:
−, ≥ , ≤≤< 2,≥2 >1 ≥1
Con tiempo medido en minutos.
a) Encuentre . b) Encuentre . c) Encuentre .Note que denota el tiempo que tarda en la ventana de servicio. d) Si el tiempo transcurrido entre la llegada del cliente y su partida de la ventana de servicio es de dos minutos encuentre la probabilidad de que espere en la fila menos de un minuto antes de llegar a la ventanilla. e) Obtenga el valor esperado y la varianza de , y .
12.- Sean y dos variables aleatorias no correlacionadas. Obtenga la covarianza y la correlación entre y en términos de las varianzas de y . 13.- Un supermercado tiene dos clientes esperando a pagar sus compras con el cajero I y a tres con el cajero II. Sean y el número de clientes que gastan más de $500 en sus compras en los cajeros I y II respectivamente. Suponga que y son variables aleatorias Binomiales independientes, la probabilidad de que un cliente gaste más de $500 con el cajero I es 0.2 y la probabilidad de que un cliente gaste más de $500 con el cajero II es 0.3. a) Encuentre la función de densidad conjunta de y . b) Encuentre la probabilidad de que no más de uno de los dos clientes gaste más de $500 en los dos cajeros. c) Si , es decir, es el total de clientes que gastaron más de $500. Obtenga la función de densidad, el valor esperado y la varianza de . d) ¿Qué puede decir de la distribución de ? e) Obtenga el valor esperado, la media y la varianza condicionales de para cada valor fijo de . Realice una gráfica para cada medida. Comente.
33
14.- Se eligen aleatoriamente algunas familias de un área dada. Sea el número de autos en la familia y el número de conductores con licencia en una familia. Las distribuciones marginales de y son:
X
1 2 0.6 0.4
1 2 0.1 0.5
3 0.3
4 0.1
Además se sabe que:
i) La probabilidad condicional de que haya un auto en la familia dado que hay tres conductores con licencia es de 0.4. ii) La probabilidad condicional de que haya dos conductores con licencia en una familia dado que hay dos autos es de 0.3. iii) La probabilidad conjunta de que en una familia haya un automóvil y cuatro conductores con licencia es 0.03.
a) Encuentre la distribución conjunta de y . b) Obtenga el coeficiente de correlación entre y e interprete. c) ¿Son y independientes? d) Obtenga el valor esperado y la varianza de , el número de conductores sin auto. e) Calcule el coeficiente de correlación entre y .
15.- Cada semana un cliente compra indistintamente en una tienda bebidas ligeras en botella o en lata. El vendedor registra el tipo de bebida que el cliente compra en cuatro semanas consecutivas. Se dice que existe un cambio si el cliente compra un tipo diferente de bebida que la semana anterior, es decir, si en una semana compró una bebida en lata y la siguiente compró una en botella. Sea el número de cambios y el número de compras de bebida en botella.
a) Obtenga el espacio muestral. b) Encuentre la distribución de la probabilidad conjunta de y . c) Encuentre la distribución marginal de y . d) ¿Cuántos cambios de tipo de bebida se esperan? y ¿cuál es la varianza de los cambios? e) Obtenga la varianza condicional de los cambios para cada número de compras de bebida embotellada. f) ¿Existe relación entre y ? Justifique.
34
, ,,,, PX2,Y3c , PX 2|Y 3, PX ≥2|Y 3. X , Z Z 3
16.- Sean y dos variables aleatorias tales que toma valores 1, 2 y 3, y los valores de son 2, 3 y 4. La función de probabilidad conjunta está dada por:
a) Obtenga el valor de . b) Calcule c) Obtenga la distribución marginal de y . d) Obtenga la covarianza y el coeficiente de correlación. e) ¿Son independientes y ? 17.- De un grupo de nueve estudiantes: cuatro mexicanos, dos españoles y tres franceses se van a elegir tres estudiantes para otorgarle una beca. Sea el número de estudiantes mexicanos elegidos y el número de estudiantes españoles. a) Construya la tabla de probabilidad conjunta de y . b) Encuentre las distribuciones marginales de y . c) Calcule el valor esperado y la varianza de y . d) Obtenga el coeficiente de correlación entre y . e) Si es el número de estudiantes franceses a los que se lo otorgó la beca. Obtenga el valor esperado y la varianza de . Note que . f) Obtenga la función de distribución de . g) ¿Cuál es la probabilidad de que se las otorgue beca a 2 o más estudiantes franceses? h) Obtenga el valor esperado, la media y la varianza condicionales del número de estudiantes elegidos por cada número de estudiantes españoles elegidos.
X
Y XY
18.- Se seleccionan al azar 2 tabletas de un frasco que contiene 3 aspirinas, 2 sedantes y 4 laxantes. Sea el número de aspirinas seleccionadas y el número de sedantes seleccionados. a) Determine todas las posibles parejas de pastillas , que se pueden seleccionar del frasco. b) Construya la función de probabilidad conjunta para y . c) Calcule las siguientes probabilidades:
0,2|21 1
i) ii) Iii
. .
.
d) la distribución condicional de X dado que a e) Construya Si es el número de laxantes seleccionados, exprese obtenga su valor esperado y su varianza.
. términos de en
1
35
y
y
19.- Sean
y
variables aleatorias con función de densidad conjunta dada por:
, <<−<< 23 Y C I I C I CI
a) Obtenga el valor . b) Obtenga las funciones de densidad marginales para y para . c) Sea ¿cuál es el valor esperado y la varianza de ? d) ¿Son independientes y ?
20.- El P.N.B. se define como la suma del consumo y de la inversión . Un economista quiere predecir el P.N.B sumando las predicciones de C e , estas últimas son variables aleatorias. Se sabe que la varianza de es 2600, la de es 1000 y la covarianza es de 1400. Las variables e se, miden en millones de pesos, por lo que las varianzas y la covarianza se encuentran en millones de pesos cuadrados. a) Explique el significado del término covarianza. ¿Existe significado económico para la covarianza y su signo en este problema? b) Encuentre un límite inferior para la probabilidad de que la predicción para de este economista se encuentre a menos de $100 millones de pesos de su valor esperado.
4, 1,346 ,1, 6, 0,,84 1 346,2, X Y 3, 4, 1, 9 Z5XY10 21.- Suponga que ,
Obtenga
y
Y
son variables aleatorias con:
y
22.- Sean y variables aleatorias tales que . Además se sabe que la correlación entre y es de 0.25. Calcule el valor esperado y la varianza de . 23.- Cierta universidad aplica pruebas de aptitudes en ciencias y humanidades a todos los alumnos de primer ingreso. Si y son las proporciones de respuestas correctas que obtiene un estudiante en cada una de las pruebas respectivamente, y la distribución conjunta de respuestas correctas puede determinarse con la función de densidad:
, 25 23 ,,
a) ¿Qué proporción de estudiantes obtendrán.
36
i) Menos de 0.4 en ambas pruebas? ii) Más de 0.8 en la prueba de ciencias y menos de 0.5 en la de humanidades?
| 3070. , 18 −+,, / P Q , 0.5 −.+,, , 0.15 [][0.07], , .0.00014 0..0000101 ≥ , ≥
b) Obtenga las funciones de densidad marginales para y . c) Calcule d) ¿Son independientes las variables aleatorias del problema?
e) Obtenga la media y la varianza condicionales de f) Si un alumno se inscribe a una licenciatura en el área de humanidades, su calificación en el examen admisiónlaestá dado porestándar, el coeficiente Calcule la función definal densidad, el valordeesperado, desviación de asimetría y el coeficiente de curtosis de la calificación. 24.- La función de densidad conjunta del tiempo en el que se realiza un tipo de transacción en dos bancos diferentes está dada por:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ? b) ¿La eficiencia relativa de los dos bancos al realizar el tipo de transacción de mide con . Obtenga la función de densidad de . 25.- El precio promedio de temporada ($ por libra) y la cantidad total vendida en temporada (millones de libras) de cerezas en una región son variables aleatorias con función de densidad conjunta dada por:
a) Encuentre la función de densidad de . b) Obtenga el valor esperado y la varianza condicionales de
para
.
26.- Una persona quiere invertir $1000000 y está analizando dos posibles fondos de inversión. El rendimiento neto por peso invertido se puede representar como dos variables aleatorias para las cuales:
a) Si la persona invierte $500000 en cada fondo. ¿Cuál es su rendimiento total neto esperado y la varianza?
37
b) Si esta persona desea invertir su dinero de manera que su utilidad esperada se maximice, y
0.01 ∝ ∝ , ; ∝, ∝≥0; ∝ ∝1000000
c) ¿Cuánto dinero debe invertir en cada fondo?
, ,…3,7 , ,…α,,β
27.- Si en el intervalo
son variables aleatorias independientes de una distribución uniforme . Obtenga la función generadora de momentos de:
28.- Si con parámetros
son variables aleatorias independientes de una distribución Gamma , obtenga la función generadora de momentos de:
̅ ∑= =
29.- Al solicitar un crédito para auto en un banco, el departamento de crédito realiza la investigación de la persona, parte de la cual es un buró de crédito. El tiempo de la investigación realizada en el departamento de crédito es una variable aleatoria con distribución Gamma . El tiempo de la investigación en el buró de crédito también se distribuye , que es independiente del tiempo que le lleve al departamento de crédito. Sean , el tiempo total en el que se realiza la investigación del crédito y , la proporción del tiempo total de la investigación que requiere el departamento de crédito.
2 , 1 3 , 1 +
a) Derive la función de densidad conjunta de y . b) Obtenga las funciones de densidad marginales de distribución conocida? c) ¿Son y variables aleatorias independientes?
y
, ¿Tienen alguna
30.- Un juego al que llamaremos 3- bin se realiza en dos etapas. En la primera se elige al azar una de tres bolas numeradas del uno al tres. Sea la v.a. que denota el número de la bola seleccionada. En la segunda parte del juego se lanza una moneda (honesta) tantas veces como lo indica el valor observado de . Un jugador gana cierta cantidad si al lanzar
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la moneda obtiene sol. Sea la v.a. que corresponde al número de veces que un jugador gana al participar en el juego.
a) Obtenga la distribución conjunta y las distribuciones marginales de y . b) ¿Existe alguna relación lineal entre y ? c) Suponga que por $100 se puede jugar 5 veces, y que la cantidad que se gana al obtener un sol es de $20. Con estas condiciones, ¿estaría usted dispuesto a pagar los $100?
,X,,Y,Z8 ,,, , , 01,01 Y 01, 01, 01 Z 31.- Las variables aleatorias
tienen como función de densidad conjunta a
a) Encuentre . b) ¿Cuáles son las funciones de densidad marginales de cada una de las tres variables aleatorias? c) Calcule el coeficiente de correlación entre y .
32.- Sea un punto escogido aleatoriamente del cuadrado la variable aleatoria que asigna al punto el valor . a) Encuentre la función de distribución de con todas las propiedades requeridas. b) Encuentre la función acumulada de .
. Sea
y demuestre formalmente que cumple
33.- Sea la v.a. que indica el porcentaje del gasto de una familia destinado a la alimentación y sea la variable aleatoria que indica el porcentaje del gasto de una familia destinado a vivienda. Por consiguiente se debe cumplir que:
Suponga que todos los subconjuntos de esta región tienen la misma probabilidad de ocurrir y que es la variable aleatoria que indica el porcentaje de gasto que una familia dedica a alimentación y vivienda. a) Obtenga la función de distribución de y grafíquela. b) Obtenga la función de densidad de y grafíquela.
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Tema 5: Distribución Normal multivariada
~0.1 , ,,…, ∑ ∑ ∑== a
1.- Sea
y
2.- Si parámetros a) b) c)
Demuestre que
, / 2/
.
son variables aleatorias independientes de una distribución normal con . Obtenga la función generador a de momentos de. e indique función de¿Cómo esta variable. con la constantes. se distribuye la variable
, ¿Cuál es su distribución?
?
3.- Un comerciante vende dos tipos de café. El tipo tiene un promedio de ventas de 50.8kg., con una desviación estándar de 3 kg. El tipo tiene un promedio de ventas de 51.12 kg., con una desviación estándar de 4.3 y el coeficiente de correlación entre ambos tipos de café es -0.7. Si es la venta del café tipo y es la del tipo y se distribuyen normalmente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se vendan más de 50 kg del café tipo ? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se vendan más de 50 kg del café tipo ? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se vendan más de 50 kg del café tipo si se sabe que se vendieron 48 kg del tipo ? d) Si es la¿De venta dos tipossedetrata? café, obtenga la función generadora de momentos. quetotal tipo de de los distribución e) ¿Cuál es la probabilidad de que la venta total sea mayor a 100 kg? Hint: sea
X , , , ; () 2 vector aleatorio distribuido
, en donde:
Entonces,
4.- Las variables aleatorias
y
tienen distribución bivariada dada por:
40
, 211 21 1 2 ( )}
a) Compruebe que las distribuciones marginales son normales con parámetros respectivamente. b) Compruebe que la función de densidad condicional de dado que tiene una función normal con parámetros:
, , , | |1 Y
5.- El rendimiento anual por peso invertido para dos diferentes instrumentos es el resultado de dos variables aleatorias con función generadora de momentos conjunta dada por:
′0.5´ [], , 0.07 0..000225 0003 .0.00625 00030.11
Donde:
a) Encuentre la media del rendimiento real anual de cada instrumento. b) Encuentre la matriz de covarianzas. c) Obtenga la matriz de correlaciones. d) ¿Cuáles son las distribuciones marginales de y ?
6.- Supón que
~, Σ , , , , ΣΣ ΣΣ ∈ℝ
Prueba que tanto
como
son distribuciones marginalmente normales y da su media y
varianza, ¿Cómo se puede generalizar este resultado para
41
?
7.- Sea
5 ´, , , ~, Σ 10105 , con
,
distribución de: a) b)
10 4 4 4 4 20 20 20 Σ44 1010 2010 1020
cuál es la
. .
, 2 , 5, , , , , , Σ200 102 101 ~, Σ Ξ Σ ΞΣ 0 Σ., ΣΣΞΣ,, , , Σ Σ Ξ ΞΞ, Σ. Σ ∈ℝ ℝ ~ 22 , 32 24 11 2 112 ,
8.- Sean variables aleatorias independientes con distribución , ¿cuál es la distribución de: y cuál es su distribución conjunta (especifica la covarianza entre cada par)? 9.- Sean
con media nula y matriz de covarianzas:
Encuentra la distribución conjunta de 10.- Suponga que
Además que distribución
y que
y
satisface que
, y que
.
, con:
pertenece sólo al hiperplano del soporte de la
.
a) Verifica que y b) Verifica que
son no correlacionadas. densidad condicional de dado . c) Encuentra para el caso en el que es una matriz cuadrada. d) Encuentra una fórmula sencilla para el caso en el que . la
11.- Sea el vector aleatorio en
determine la
distribución de: a)
es
.
42
, 20111 1 110 111 110 b) c)
Sean
.
.
y
.
Cómo se distribuyen: d) e)
ℝ,~ 0, Σ Σ4624 6936 2354 4646 3 4? , 2 3
12.- Suponga que el vector aleatorio en a) ¿Cuál es la distribución de b) ¿Cuál es la distribución de c) ¿Cuál es la distribución de
con
dado
43
? dado que
.
y
.
