Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Primer parcial de C´ alculo alculo III
1, 2, 3, 4
1 de octubre octubre de 201 2018 8
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Resolviendo, hallar y (π ), sabiendo que y es soluci´
y − 2y + 2y = cos x − 2 sin sin x, = 1, yy(0) (0) = 0.
Respuesta:
Resolvemos la ecuaci´on on diferencia diferenciall asociada asociada al problema problema y − 2y + 2y = cos x − 2 sin sin x.
Para tal efecto, primero resolvemos la ecuaci´on on (LH) asociada y − 2y + 2 y = 0,
que es una ecuaci´on on a coeficientes constantes. Determinamos el polinomio caracter´ caracter´ıstico p(λ) = λ 2 − 2λ + 2 = ( λ − 1)2 + 1,
cuyas raices son: λ1 = 1 + i, λ2 = 1 − i. Estas ra´ıces ıces contribuyen al sistema fundamental con dos soluciones, como el orden de la ecuaci´on on es 2, se obtiene SF = {ex cos x, ex sin x}. Determinamos una soluci´on on particular por tanteo, planteando y = α cos x + β sin sin x, derivando y remplazando, se obtiene sin x + 2 α sin x − 2β cos cos x + 2 α cos x + 2β sin sin x = cos x − 2 sin sin x −α cos x − β sin cos x + (2α + β + + 2) sin sin x = 0. ⇒ ( α − 2β − − 1) cos Resolviendo el sistema lineal para α y β , obtenemos α = − 35 y β = − 45 ; de donde la soluci´on on particular encontrada es y = − 35 cos x − 54 sin x. Por lo tanto, la soluci´on on general de la ecuaci´on on lineal de segundo orden es 3 4 y = c 1 ex cos x + c2 sin x − cos x − sin x. 5 5 Ahora, determinemos los valores de c1 y c2 , remplazando las condiciones iniciales: y (0)
=
y (0)
=
3 8 = 1 ⇒ c 1 = , 5 5 8 4 4 + c2 − = 0 ⇒ c 2 = − . 5 5 5
c1 −
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es on 8 x 4 3 4 e cos x − sin x − cos x − sin x 5 5 5 5 y la soluci´ on on del ejercicio es y(π ) = − 85 eπ −
3 5
.
on del problema diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ y = y ey , y = 0, y = 2
para x = 0.
Reducimos el orden de la ecuaci´on on planteando y = u (y ). Derivando obtenemos
y = ( u(y )) =
du dy du · = u , dy dx dy
remplazamos en la ecuaci´on on u
du dy
= ue y .
La condici´ on on inicial y = 0, y = 2, para x = 0, se convierte en u(y = 0) = 2. Como u(0) = 0, simplificamos u, obtenemos du = e y ⇒ u = e y + c
dy
Obtenemos c remplazando la condici´on on inicial u (0) = 1 + c = 2, de donde c = 1 y y = e y + 1,
ecuaci´ on separable, resolvemos on y ey + 1
= 1 ⇒
Luego, sacamos ln, tenemos
e−y y = 1 ⇒ − ln(e−y + 1) = x + d. 1 + e−y e−y + 1 = e −x+d = de −x .
Remplazamos la condici´on on inicial x = 0 e y = 0, obtenemos 1 + 1 = d ⇒ e
y
−
x
−
= 2e
− 1
Por consiguiente la soluci´on on del problema es y = − ln(2e−x − 1).
on general de 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y − xy = y y 2 ey .
Respuesta:
Colocamos Colocamos la ecuaci´ ecuaci´ on on en su forma est´andar andar y =
y , x + y 2 ey
intercambiamos roles de las variables: x funci´on on inc´ognita, ognita, y variable independiente. La ecuaci´on on se convierte en x + y 2 ey 1 x = = x + ye y ,
y
y
ecuaci´ on on lineal no homog´enea. enea. Hallamos Hallamos la soluci´ soluci´ on on de (LH) asociada x =
1 y
x ⇒ x = ce ln y ⇒ x = cy. cy .
Mediante variaci´on on de constantes determinamos una soluci´on on particular de (L), planteando x = c(y )y . Se obtiene c y + c = c + ye y ⇒ c = e y ⇒ c = e y .
Por lo tanto, la soluci´on on particular encontrada es x = y ey y la soluci´on on general de la ecuaci´on on es x = cy + ye y .
2
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Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Primer parcial de C´ alculo alculo III
1 de octubre octubre de 201 2018 8
1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
e
3.
a
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Resolviendo, hallar y (π ), sabiendo que y es soluci´
y − 2y + 2y = cos x − 2 sin sin x, = 1, yy(0) (0) = 0.
Respuesta:
a) y(π) = e 2π + 1, d) y(π) = e π , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(π) = − 1, e) y(π) = 1,
c) y (π) = − 85 eπ − 53 , f) y (π) = 2eπ − 1,
on del problema diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ y = y ey , y = 0, y = 2
a) y = 2ex + 1, d) y = 2ex , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es. on general de 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
para x = 0.
b) ey = e x − 2, e) y = − ln(2e
x
−
− 1),
c) y = − ln(sin(x)) + 2, f) y + x3 = 3 ,
y − xy = y y 2 ey .
Respuesta:
a) x = y ey + cy, d) 1 = x 2 (y + cy 2 ), g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y = xe x + cx, e) y = ce y/x ,
c) xy 2 = e y + c, f) x = ce x/y ,
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Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
a
3.
c
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Resolviendo, hallar y (π ), sabiendo que y es soluci´
y − 2y + 2y = cos x − 2 sin sin x, = 1, yy(0) (0) = 0.
Respuesta:
b) y(π) = 2eπ − 1, e) y(π) = − 85 eπ − 53 ,
a) y(π) = 1, d) y(π) = − 1, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
c) y (π ) = e 2π + 1, f) y (π ) = e π ,
on del problema diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ y = y ey , y = 0, y = 2
a) y = − ln(2e x − 1), d) ey = e x − 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y + x3 = 3, e) y = − ln(sin(x)) + 2,
−
on general de 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
para x = 0. c) y = 2ex + 1, f) y = 2ex ,
y − xy = y y 2 ey .
Respuesta:
a) y = ce y/x , d) y = xe x + cx, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x = ce x/y , e) xy2 = e y + c,
y ey + cy, c) x = ye f ) 1 = x 2 (y + cy 2 ),
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Primer parcial de C´ alculo alculo III
1 de octubre octubre de 201 2018 8
3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
f
3.
b
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Resolviendo, hallar y (π ), sabiendo que y es soluci´
y − 2y + 2y = cos x − 2 sin sin x, = 1, yy(0) (0) = 0.
Respuesta:
a) y (π ) = 2eπ − 1, d) y (π ) = − 85 eπ − 53 , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (π ) = e 2π + 1, e) y (π ) = e π ,
c) f)
y(π ) = − 1, y (π ) = 1,
on del problema diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ y = y ey , y = 0, y = 2
b) y = 2ex + 1, e) y = 2ex ,
a) y + x3 = 3, d) y = − ln(sin(x)) + 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. on general de 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
para x = 0. c) f)
ey = e x − 2, y = − ln(2e−x − 1),
y − xy = y y 2 ey .
Respuesta:
a) x = ce x/y , d) xy 2 = e y + c, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x = y ey + cy, e) 1 = x 2 (y + cy 2 ),
c) y = xe x + cx, f) y = ce y/x ,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Primer parcial de C´ alculo alculo III
1 de octubre octubre de 201 2018 8
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
b
3.
d
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Resolviendo, hallar y (π ), sabiendo que y es soluci´
y − 2y + 2y = cos x − 2 sin sin x, = 1, yy(0) (0) = 0.
Respuesta:
a) y(π) = e π , d) y(π) = e 2π + 1, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(π) = 1, e) y(π) = − 1,
c) y (π) = 2eπ − 1, f) y (π) = − 85 eπ − 53 ,
on del problema diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ y = y ey , y = 0, y = 2
a) y = 2ex , d) y = 2ex + 1, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es. on general de 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
para x = 0.
b) y = − ln(2e e) ey = e x − 2,
x
−
− 1),
c) y + x3 = 3 , f) y = − ln(sin(x)) + 2,
y − xy = y y 2 ey .
Respuesta:
a) 1 = x 2 (y + cy 2 ), d) x = y ey + cy, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y = ce y/x , e) y = xe x + cx,
c) x = ce x/y , f) xy 2 = e y + c,
