Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Examen Final de C´ alculo alculo III
12 de junio junio de 201 2018 8
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas 1. (35 puntos ) Hallar el valor de y (2) sabiendo (2) sabiendo que
˙ = 2 + 3 − 5 − 2 ˙ =(0)2= +3 +(0)−=1 −2 x y x
Respuesta:
x x
y t , y t , , y
Para cambiar la costumbre, esta vez resolveremos convirtiendo el sistema sistema diferencial en una ecuaci´on diferencia diferenciall ordinaria ordinaria con una sola funci´ funci´on on inc´ognita. ognita. Derivamos la primera ecuaci´on, on, obtenemos y¨ − y˙ − 2x˙ = t − 1
(1)
Introducim Introducimos os y˙ de la segunda ecuaci´on on del sistema a (1). Obtenemos y¨ − y˙ − 2(3y + 2 x − 5t − 2) = 1 y¨ − y˙ − 6y − 2(2x) = −10t − 3.
(2)
Despejamos (2x) de la primera ecuaci´on on del sistema 2x = y˙ − y − t + 1,
(3)
introducimos a la ecuaci´on on (2), lo que da y¨ − y˙ − 6y − 2(y˙ − y − t + 1) = −10t − 3, y¨ − 3y˙ − 4y = −12t − 1.
(4)
Ahora resolvamos la ecuaci´on on (4). El polinomio caracter´ caracter´ıstico est´a dado por p(λ) = λ 2 − 3λ − 4 = (λ − 4)(λ + 1) ⇒ SF = {e4t , e−t }.
La soluci´ soluci´ on particular la realizamos por tanteo, planteando y = αt + β , de donde on = −12t − 1 ⇒ α = 3, β = = −2 ⇒ y = 3t − 2. −3α − 4αt − 4β = Por consiguiente la soluci´on on general de la ecuaci´on on (4) es y = c 1 e4t + c2 e−t + 3t − 2.
(5)
Ahora transformamos los valores iniciales y(0) = −2 y y˙ (0) = −2+2(3) − 1 = 3. Hallamos los valores de c 1 y c2 reemplazando reemplazando las condicione condicioness iniciales iniciales en la soluci´ soluci´ on on general: y (0) = c 1 + c2 − 2 = −2, ⇒ c1 = c 2 = 0. y˙ = 4c1 − c2 + 3 = 3.
Por lo tanto y = 3t − 2 y x(2) = 6 − 2 = 4. 2. (35 puntos ) Hallar y (2) sabiendo (2) sabiendo que
Respuesta:
y + y − 2y = −3ex , y(0) = 2, y (0) = 1
Resolvemos primero la ecuaci´on on (LH) asociada: y + y − 2y = 0
(LHC)
El polinomio caracter´ caracter´ıstico de la ecuaci´ on on es p(λ) = λ 2 + λ − 2 = (λ − 1)(λ + 2), las ra´ ra´ıces de este polinomio x 2x } de la ecuaci´on son λ1 = 1, λ2 = 2. Por lo tanto, SF = { e , e on (LH) asociada. Para la soluci´on on particular de la ecuaci´on on (L), aplicamos variaci´on on de constantes, planteando: −
x
2x
−
y = c 1 (x)e + c2 (x)e
⇒
ex ex
e−2x −2e−2x
c1 c2
=
0 −3ex
.
Resolvemos el sistema lineal, lo que da:
c1
c2
0 − 3 −2 = 3 −3 0−2 3 = −3 = e−2x e−2x
ex
=
ex ex
e−2x e−2x
ex ex
=
e−x = −1 ⇒ c1 (x) = −x e−x
ex
x
3e
−
e2x −3e−x
e 3x ⇒ c2 (x) =
1 3x e 3
Soluci´ on particular encontrada y = −xex + 31 e3x e 2x = −xex + 31 ex . Por lo tanto, la soluci´on on on general de (L) es: y = c 1 ex + c2 e 2x − xex . −
−
Hallamos los valores de c1 y c2 reemplaza reemplazando ndo las condiciones condiciones iniciales en la soluci´ soluci´ on on general, y (0) = c 1 + c2 = 2 y (0) = c 1 − 2c2 − 1 = 1
⇒ c1 = 2, c2 = 0.
La soluci´ soluci´ on on del problema es y = 2ex − xex , de donde y(2) = 2e2 − 2e2 = 0.
3. (35 puntos ) Utilizando m´ etodos etodos variacionales, determinar la ecuaci´ ecuaci´ on (cartesiana) que satisface y, sabiendo que y (3) = 4, 4, y(4) = 3, 3, e 4 1 + y 2 dx −→ m´ın .
3
y
Respuesta:
La funci´on on objetivo objetivo de este problema variacion variacional al es f (y, y ) =
1 +
y 2
y
,
por lo que aplicamos la variante y f y − f = c de las ecuaciones de Euler–Lagrange, lo que da como ecuaci´on on diferencial y2 1 + y 2 1 = c ⇒ = c. − y y 1 + y 2 y 1 + y 2
Despejando y, luego planteando y = tan θ, se obtiene
y = c cos θ,
Para x, se tiene dy
dx −c sin = dθ = = −c cos θ ⇒ x = −c sin θ + d. dθ y tan θ
Despejamos θ de las ecuaciones y obtenemos ( x − d)2 + y 2 = c , por lo que la curva que une los puntos es un arco de circunferencia de centro en el eje x. Remplazando (3, 4) y (4 , 3), se tiene (−3 + d )2 + 42 = c (−4 + d )2 + 32 = c
restando =⇒
De donde la soluci´on on es x2 + y 2 = 25.
2
2d = 0 ⇒ c = 25.
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Examen Final de C´ alculo alculo III
12 de junio junio de 201 2018 8
1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
f
3.
a
1. (35 puntos ) Hallar el valor de y (2) sabiendo (2) sabiendo que
˙ = 2 + 3 − 5 − 2 ˙ =(0)2= +3 +(0)−=1 −2 x y x
Respuesta:
a) y(2) = −e2 + 3, d) y(2) = −2e 4 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
x x
y
y t , y
t
,
,
b) y(2) = 0, e) y(2) = e 2 − e
−
2
−
,
c) f)
y(2) = 4, y(2) = e 2 + e−4 − 2,
2. (35 puntos ) Hallar y (2) sabiendo (2) sabiendo que
Respuesta:
y + y − 2y = −3ex , y(0) = 2, y (0) = 1
a) y (2) = 2, d) y (2) = 5, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (2) = 4, e) y (2) = 6,
c) y (2) = −2, f) y (2) = 0,
3. (30 puntos ) Utilizando m´ etodos etodos variacionales, determinar la ecuaci´ ecuaci´ on (cartesiana) que satisface y, sabiendo que y (3) = 4, 4, y(4) = 3, 3, e 4 1 + y 2 dx −→ m´ın .
3
y
Respuesta:
a)
x2 + y 2 = 25 ,
d) y = x 2 + 1, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
1 b) y = 4 + (x + 3, 7 e) y 2 − x2 = 10 ,
c)
x2 − y 2 + 2x = 10,
f)
x2 = y + 1 ,
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2
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
a
3.
d
1. (30 puntos ) Utilizando m´ etodos etodos variacionales, determinar la ecuaci´ ecuaci´ on (cartesiana) que satisface y, sabiendo que y (3) = 4, 4, y(4) = 3, 3, e 4 1 + y 2 dx −→ m´ın .
3
y
Respuesta:
a)
x2 − y 2 + 2x = 10,
b) y = x 2 + 1,
d) x2 = y + 1 , g)
e)
x2 + y 2 = 25 ,
Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
c) y 2 − x2 = 10, 1 f) y = 4 + (x + 3 , 7
2. (35 puntos ) Hallar el valor de y (2) sabiendo (2) sabiendo que
˙ = 2 + 3 − 5 − 2 ˙ =(0)2= +3 +(0)−=1 −2 x y x
Respuesta:
a) y (2) = 4, d) y (2) = e 2 + e 4 − 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. −
x x
y
t
y t , y
,
,
b) y (2) = −2e 4 , e) y (2) = −e2 + 3, −
c) y (2) = e 2 − e f) y (2) = 0,
3. (35 puntos ) Hallar y (2) sabiendo (2) sabiendo que
Respuesta:
y + y − 2y = −3ex , y(0) = 2, y (0) = 1
a) y (2) = −2, d) y (2) = 0, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (2) = 5, e) y (2) = 2,
c) f)
y(2) = 6, y(2) = 4,
2
−
,
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
f
3.
b
1. (35 puntos ) Hallar y (2) sabiendo (2) sabiendo que
Respuesta:
y + y − 2y = −3ex , y(0) = 2, y (0) = 1
b) y (2) = −2, e) y (2) = 0,
a) y (2) = 4, d) y (2) = 6, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
c) y (2) = 5, f) y (2) = 2,
2. (30 puntos ) Utilizando m´ etodos etodos variacionales, determinar la ecuaci´ ecuaci´ on (cartesiana) que satisface y, sabiendo que y (3) = 4, 4, y(4) = 3, 3, e 4 1 + y 2 dx −→ m´ın .
3
y
Respuesta:
1 (x + 3 , 7 d) y 2 − x2 = 10 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s. a)
b) x2 − y 2 + 2x = 10,
y = 4 +
e)
x2 = y + 1 ,
c)
y = x 2 + 1,
f)
x2 + y 2 = 25 ,
c) f)
y(2) = −2e−4 , y(2) = −e2 + 3,
3. (35 puntos ) Hallar el valor de y (2) sabiendo (2) sabiendo que
˙ = 2 + 3 − 5 − 2 ˙ =(0)2= +3 +(0)−=1 −2 x y x
Respuesta:
a) y (2) = 0, d) y (2) = e 2 − e 2 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s. −
x x
y
y t , y
t
,
,
b) y (2) = 4, e) y (2) = e 2 + e
4
−
− 2,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
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Examen Final de C´ alculo alculo III
12 de junio junio de 201 2018 8
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
a
2.
b
3.
d
1. (35 puntos ) Hallar y (2) sabiendo (2) sabiendo que
Respuesta:
y + y − 2y = −3ex , y(0) = 2, y (0) = 1
a) y (2) = 0, d) y (2) = −2, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (2) = 2, e) y (2) = 5,
c) f)
y(2) = 4, y(2) = 6,
2. (35 puntos ) Hallar el valor de y (2) sabiendo (2) sabiendo que
˙ = 2 + 3 − 5 − 2 ˙ =(0)2= +3 +(0)−=1 −2 x y x
Respuesta:
a) y (2) = 0, d) y (2) = e 2 − e 2 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s. −
x x
y
y t , y
t
,
,
b) y (2) = 4, e) y (2) = e 2 + e
4
−
c) f)
− 2,
y(2) = −2e−4 , y(2) = −e2 + 3,
3. (30 puntos ) Utilizando m´ etodos etodos variacionales, determinar la ecuaci´ ecuaci´ on (cartesiana) que satisface y, sabiendo que y (3) = 4, 4, y(4) = 3, 3, e 4 1 + y 2 dx −→ m´ın .
3
y
Respuesta:
a)
y = x 2 + 1,
d) x2 + y 2 = 25 , g)
Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y 2 − x2 = 10 , 1 e) y = 4 + (x + 3, 7
c)
x2 = y + 1 ,
f)
x2 − y 2 + 2x = 10,
