Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Examen Final de C´ alculo alculo III
14 de junio junio de 201 2018 8
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial 1. (35 puntos ) Determinar el valor de y (2), sabiendo que y es soluci´
x2 y + 2xy − 2y = 4x2 , y(1) = − 1, y (1) = 0.
Respuesta:
Comenzamos resolviendo (LH) asociada: X 2 y + 2xy − 2y = 0, y = x es una soluci´on on no nula. Buscamos otra soluci´ on linealmente independiente, planteando y = c (x)x; derivamos y reemplazamos en (LH), lo que da on
4
x3 c + 4x2 c = 0 ⇒ c = − c ⇒ c = e x
4 ln x
−
=
1
1 ⇒ c = − x 3
3
−
x4
.
Soluci´ on linealmente independiente encontrada y = − 13 x 3 x, de donde SF = {x, x1 }. on La soluci´ soluci´ on particular la obtenemos por tanteo, planteando y = Ax2 , derivamos y reemplazamos: on −
2
2Ax2 + 4Ax2 − 2Ax2 = 4 x2 ⇒ A = 1. Soluci´ o particular encontrada y = x 2 , de donde la soluci´on on general de (L) es y = c 1 x +
c2 + x2 . x2
Encontramos los valores de c 1 y c 2 reemplazando reemplazando las condiciones condiciones iniciales iniciales en la soluci´ solucio´ general: general: y (1) = c 1 + c2 + 1 = − 1, ⇒ c 1 = − 2, y (1) = c 1 − 2c2 + 2 = 0
c2 = 0.
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es y = − 2x + x2, por consiguiente y(2) = − 4 + 4 = 0. on
on del problema a valor inicial 2. (35 puntos ) Determinar el valor de y (ln3), sabiendo que y es soluci´
˙ = 3 − 2 1 ˙ =(0)2= −3 −(0) =4 x y x
Respuesta:
x x
y,
y , , y
.
Escribimos Escribimos el sistema sistema diferencial diferencial del problema problema a valor valor inicial de manera manera matricial, matricial,
˙ 3 x y
=
−2 2 −1
0 x y
+
1
.
Resolvemos Resolvemos primero el sistema sistema diferencia diferenciall (LH) asociado que es (LHC)
˙ 3 x y
=
−2 2 −1
x y
− 3 ( )= −2
⇒ p λ
λ
2 = λ 2 − 2λ − 3 + 4 = (λ − 1)2 . λ + 1
Tenemos como FG = {et , tet }, planteamos como soluci´on on general x = c 11 et + c12 tet , y = c 21 et + c22 tet .
Reemplazamos en la segunda ecuaci´on on para obtener relaciones entre las constantes: = (c21 + c22 )et + c22 tet , 2x − y = = (2c11 − c21 )et + (2c12 − c22 ) y˙
Comparando, planteando c 11 = c 1 y c12 = c 2 , obtenemos c22 = c 2 y c21 = c 1 − 21 c2 . Por lo tanto, la soluci´on on general de (LH) asociado es x = c 1 et + c2 tet , y = (c1 − 21 c2 )et + c2 tet .
La soluci´ soluci´ on particular por tanteo da x = 2, y = 3. De donde la soluci´on on on general del sistema diferencial es x = c 1 et + c2 tet + 2, y = (c1 − 21 c2 )et + c2 tet + 3.
Hallamos los valores de las constantes c 1 y c 2 reemplazando reemplazando las condicione condicioness iniciales iniciales en la soluci´ soluci´ on on general x(0) = c 1 + c2 + 2 = 3, ⇒ c1 = 11, y = (c1 − 21 c2 ) + 3 = 4
c2 = 0
La soluci´ soluci´ on on del problema es x = e t + 2, y = e t + 3.
de donde y (ln 3) = 3 + 3 = 6.
on general de 3. (35 puntos ) Resolviendo, hallar la soluci´
y = 2y(y )3 .
Respuesta:
Reducimos el orden planteando u (y ) = y (x), derivamos, obtenemos y = uu , lo que da
uu = 2yu 3 ⇒ u = 0, o u = 2 yu 2 ⇒ u = c o −
1 u
= y 2 + c
Reemplazamos, tenemos
y = c o y = −
1 1 3 2 = + ( + ) = y x d y c y x y + cy = − x + d ⇒ ⇒ − ⇒ 3 y 2 + c
La soluci´ soluci´ on on del problema es y3 = 3(cy − x + d).
2
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1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
e
3.
a
on del problema a valor inicial 1. (35 puntos ) Determinar el valor de y (2), sabiendo que y es soluci´
x2 y + 2xy − 2y = 4x2 , y(1) = − 1, y (1) = 0.
Respuesta:
b) y(2) = − 2, e) y(2) = 12,
a) y(2) = 2, d) y(2) = 6, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
c) y(2) = 0, f) y(2) = 23 , 3
on del problema a valor inicial 2. (35 puntos ) Determinar el valor de y (ln3), sabiendo que y es soluci´
˙ = 3 − 2 1 ˙ =(0)2= −3 −(0) =4 x y x
Respuesta:
x x
a) y(ln (ln 3) = 3 + 2ln 3, d) y(ln (ln 3) = −3, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
y,
y , , y
.
b) y(ln (ln 3) = 0, e) y(ln (ln 3) = 6,
c) y(ln (ln 3) = 5, f) y(ln (ln 3) = 4,
on general de 3. (30 puntos ) Resolviendo, hallar la soluci´
y = 2y(y )3 .
Respuesta:
a) y 3 = 3( c2 − x − c1 y), d) y (x3 + c1 x) = 3c2 , g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x3 = 3(c2 − y − c1 x), e) y = c 1 + ln(x + c2 ),
c) y2 = x 4 + c1 x3 + c2 , f) x = y tan(ln(cy)),
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
a
3.
c
on general de 1. (30 puntos ) Resolviendo, hallar la soluci´
y = 2y(y )3 .
Respuesta:
a) y2 = x 4 + c1 x3 + c2 , d) x = y tan(ln(cy)), g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(x3 + c1 x) = 3c2 , e) y3 = 3( c2 − x − c1 y ),
c) y = c1 + ln (x + c2 ), f) x3 = 3(c2 − y − c1 x),
on del problema a valor inicial 2. (35 puntos ) Determinar el valor de y (2), sabiendo que y es soluci´
x2 y + 2xy − 2y = 4x2 , y(1) = − 1, y (1) = 0.
Respuesta:
a) y (2) = 0, d) y (2) = 23 , 3 g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (2) = 6, e) y (2) = 2,
c) y (2) = 12, f) y (2) = − 2,
on del problema a valor inicial 3. (35 puntos ) Determinar el valor de y (ln3), sabiendo que y es soluci´
˙ = 3 − 2 1 ˙ =(0)2= −3 −(0) =4 x y x
Respuesta:
a) y (ln (ln 3) = 5, d) y (ln (ln 3) = 4, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
x x
y, y , , y
.
b) y (ln (ln 3) = − 3, e) y (ln (ln 3) = 3 + 2ln 3,
c) y (ln (ln 3) = 6, f) y (ln (ln 3) = 0,
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3
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
f
3.
b
on del problema a valor inicial 1. (35 puntos ) Determinar el valor de y (ln3), sabiendo que y es soluci´
˙ = 3 − 2 1 ˙ =(0)2= −3 −(0) =4 x y x
Respuesta:
x x
a) y (ln (ln 3) = 0, d) y (ln (ln 3) = 6, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
y,
y , , y
.
b) y (ln (ln 3) = 5, e) y (ln (ln 3) = 4,
c) y (ln (ln 3) = −3, f) y (ln (ln 3) = 3 + 2ln 3,
on general de 2. (30 puntos ) Resolviendo, hallar la soluci´
y = 2y(y )3 .
Respuesta:
a) x3 = 3( c2 − y − c1 x), d) y = c 1 + ln(x + c2 ), g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y2 = x 4 + c1 x3 + c2 , e) x = y tan(ln(cy)),
c) y(x3 + c1 x) = 3c2 , f) y3 = 3( c2 − x − c1 y ),
on del problema a valor inicial 3. (35 puntos ) Determinar el valor de y (2), sabiendo que y es soluci´
x2 y + 2xy − 2y = 4x2 , y(1) = − 1, y (1) = 0.
Respuesta:
a) y (2) = − 2, d) y (2) = 12, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (2) = 0, e) y (2) = 23 , 3
c) y(2) = 6, f) y(2) = 2,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III
14 de junio junio de 201 2018 8
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
b
3.
d
on del problema a valor inicial 1. (35 puntos ) Determinar el valor de y (ln3), sabiendo que y es soluci´
˙ = 3 − 2 1 ˙ =(0)2= −3 −(0) =4 x y x
Respuesta:
x x
a) y (ln (ln 3) = 4, d) y (ln (ln 3) = 5, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
y,
y , , y
.
b) y (ln (ln 3) = 3 + 2ln 3, e) y (ln (ln 3) = − 3,
c) y (ln (ln 3) = 0, f) y (ln (ln 3) = 6,
on del problema a valor inicial 2. (35 puntos ) Determinar el valor de y (2), sabiendo que y es soluci´
x2 y + 2xy − 2y = 4x2 , y(1) = − 1, y (1) = 0.
Respuesta:
a) y (2) = − 2, d) y (2) = 12, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (2) = 0, e) y (2) = 23 , 3
c) y(2) = 6, f) y(2) = 2,
on general de 3. (30 puntos ) Resolviendo, hallar la soluci´
y = 2y(y )3 .
Respuesta:
a) y (x3 + c1 x) = 3c2 , d) y 3 = 3( c2 − x − c1 y), g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y = c 1 + ln(x + c2 ), e) x3 = 3(c2 − y − c1 x),
c) x = y tan(ln(cy)), f) y2 = x 4 + c1 x3 + c2 ,
