Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Examen Final de C´ alculo alculo III
27 de junio junio de 201 2017 7
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial 1. (35 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
4x − y − 2, 2x + y − 4, 3, 7.
x˙ y˙
= = x(0) = y (0) =
Convertimos el sistema diferencial de talla 2 en una ecuaci´on diferencial lineal ordinaria, derivamos la primera ecuaci´ on y reemplazamos la segunda ecuaci´on on on x ¨ = 4x˙ − y = 4x˙ − 2x − y + 4 ,
Reemplazamos − y = x˙ − 4x + 2, x ¨ = 4x˙ − 2x + x˙ − 4x + 2 + 4 ⇒ ¨x − 5x˙ + 6x = 6,
La llineal ineal homog´enea enea asociada asoci ada es x ¨ − 5x˙ + 6x = 0 (LHC) ⇒ p (λ) = λ 2 − 5λ − 6 = (λ − 3)(λ − 2) ⇒ SF = {e3t , e2t }
La soluci´ soluci´ on particular por tanteo da x = 1. Por lo tanto la soluci´on on on general de la ecuaci´on on es x = c 1 e3t + c2 e2t + 1.
Tenemos x˙ (0) = 4 · 3 − 7 − 2 = 3. Hallamos los valores de c1 y c2 reemplazando reemplazando las condicione condicioness iniciales iniciales en la soluci´ on on general
x(0) = c 1 + c2 + 1 = 3 ⇒ c 1 = − 1, c2 = 3. ⇒ x = −e3t + 3e2t + 1 x˙ (0) = 3c1 + 2 c2 = 3
La soluci´ soluci´ on on del problema es x(ln (ln 2) = − 8 + 12 + 1 = 5 .
on del problema a valor inicial 2. (35 puntos ) Hallar el valor de y (2) sabiendo que y es soluci´
x2 y + 2xy − 2y = 4x2 + 2, y (1) = 3, y (1) = −7.
Respuesta:
Resolvemos primero la ecuaci´on on (LH) asociada x2 y + 2xy − 2y = 0, y = x es una soluci´on on no nula de esta ecuaci´ on. Buscamos una soluci´on on. on linealmente independiente planteando y = c (x)x. Derivamos y reemplazamos en la ecuaci´on on (LH) asociada lo que da:
4
1
1 1
x2 (c x + 2 c ) + 2 x(c x + c) − 2cx = x 3 c + 4x2 c = 0 ⇒ c = − c ⇒ c = 4 ⇒ c = − . x x 3 x3
La otra soluci´on on encontrada es y = − 13 x1 x = − 13 x1 , de donde SF = {x, x1 }. La soluci´ on on particular la 2 2 obtenemos por tanteo, planteando y = αx + β , lo que da y = x − 1. La soluci´ on on general de (L) es 3
y = c 1 x +
2
2
c2 + x2 − 1. x2
Obtenemos los valores de c1 y c2 reemplazando reemplazando las condicione condicioness iniciales iniciales en la soluci´ soluci´ on on general
y(1) = c 1 + c2 = 3, ⇒ c 1 = − 1, y (1) = c 1 − 2c2 + 2 = − 7
De donde y (2) = − 2 + 1 + 4 − 1 = 2
c2 = 4 ⇒ y = − x +
4 x2
+ (x2 − 1)
on general de 3. (30 puntos ) Resolviendo, hallar la soluci´ y = 2y(y )3 . Respuesta:
Reducimos el orden planteando u(y ) = y , derivando y reemplazando obtenemos uu = 2yu 3 ⇒
Reemplazamos
u 1 1 , = 2y ⇒ − = y 2 + c ⇒ u = 2 u u c − y 2
1 (c − y 2 )y = 1 ⇒ cy − y3 = x + d, 3
de donde la soluci´on on general es y 3 = 3(cy − x − d) .
2
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Examen Final de C´ alculo alculo III
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1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
a
2.
b
3.
f
on del problema a valor inicial 1. (35 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
4x − y − 2, 2x + y − 4, 3, 7.
x˙ y˙
= = x(0) = y (0) =
a) x(ln (ln 2) = 5, d) x(ln (ln 2) = 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = 0, e) x(ln (ln 2) = − 1,
c) x(ln (ln 2) = 1, f) x(ln (ln 2) = 4,
on del problema a valor inicial 2. (35 puntos ) Hallar el valor de y (2) sabiendo que y es soluci´
x2 y + 2xy − 2y = 4x2 + 2, y (1) = 3, y (1) = −7.
Respuesta:
a) y (2) = 4, d) y (2) = −2, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (2) = 2, e) y (2) = 3,
c) f)
y(2) = 0, y(2) = 5,
c) f)
y(x3 + c1 x) = 3c2 , y3 = 3( c2 − x − c1 y ),
on general de 3. (30 puntos ) Resolviendo, hallar la soluci´ y = 2y(y )3 . Respuesta:
a) x3 = 3( c2 − y − c1 x), d) y = c 1 + ln (x + c2 ), g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y2 = x 4 + c1 x3 + c2 , e) x = y tan(ln(cy )),
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2
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
b
2.
c
3.
a
on del problema a valor inicial 1. (35 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
4x − y − 2, 2x + y − 4, 3, 7.
x˙ y˙
= = x(0) = y (0) =
a) x(ln (ln 2) = 4, d) x(ln (ln 2) = 1, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = 5, e) x(ln (ln 2) = 2,
c) x(ln (ln 2) = 0, f) x(ln (ln 2) = −1,
on del problema a valor inicial 2. (35 puntos ) Hallar el valor de y (2) sabiendo que y es soluci´
x2 y + 2xy − 2y = 4x2 + 2, y (1) = 3, y (1) = −7.
Respuesta:
a) y (2) = 5, d) y (2) = 0, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (2) = 4, e) y (2) = − 2,
c) y (2) = 2, f) y (2) = 3,
on general de 3. (30 puntos ) Resolviendo, hallar la soluci´ y = 2y(y )3 . Respuesta:
a) y 3 = 3( c2 − x − c1 y), d) y (x3 + c1 x) = 3c2 , g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x3 = 3(c2 − y − c1 x), e) y = c 1 + ln (x + c2 ),
c) f)
y2 = x 4 + c1 x3 + c2 , x = y tan(ln(cy )),
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3
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
d
3.
b
on del problema a valor inicial 1. (35 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
4x − y − 2, 2x + y − 4, 3, 7.
x˙ y˙
= = x(0) = y (0) =
a) x(ln (ln 2) = −1, d) x(ln (ln 2) = 0, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = 4, e) x(ln (ln 2) = 1,
c) f)
x(ln (ln 2) = 5, x(ln (ln 2) = 2,
on del problema a valor inicial 2. (35 puntos ) Hallar el valor de y (2) sabiendo que y es soluci´
x2 y + 2xy − 2y = 4x2 + 2, y (1) = 3, y (1) = −7.
Respuesta:
a) y (2) = 3, d) y (2) = 2, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (2) = 5, e) y (2) = 0,
c) y (2) = 4, f) y (2) = − 2,
on general de 3. (30 puntos ) Resolviendo, hallar la soluci´ y = 2y(y )3 . Respuesta:
a) x = y tan(ln(cy )), d) y2 = x 4 + c1 x3 + c2 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y3 = 3( c2 − x − c1 y ), e) y(x3 + c1 x) = 3c2 ,
c) x3 = 3(c2 − y − c1 x), f) y = c 1 + ln (x + c2 ),
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III
27 de junio junio de 201 2017 7
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
e
3.
c
on del problema a valor inicial 1. (35 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que x es soluci´
Respuesta:
4x − y − 2, 2x + y − 4, 3, 7.
x˙ y˙
= = x(0) = y (0) =
a) x(ln (ln 2) = 2, d) x(ln (ln 2) = 5, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = − 1, e) x(ln (ln 2) = 0,
c) x(ln (ln 2) = 4, f) x(ln (ln 2) = 1,
on del problema a valor inicial 2. (35 puntos ) Hallar el valor de y (2) sabiendo que y es soluci´
x2 y + 2xy − 2y = 4x2 + 2, y (1) = 3, y (1) = −7.
Respuesta:
a) y (2) = −2, d) y (2) = 4, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (2) = 3, e) y (2) = 2,
c) f)
y(2) = 5, y(2) = 0,
c) f)
y3 = 3( c2 − x − c1 y ), y(x3 + c1 x) = 3c2 ,
on general de 3. (30 puntos ) Resolviendo, hallar la soluci´ y = 2y(y )3 . Respuesta:
a) y = c 1 + ln (x + c2 ), d) x3 = 3( c2 − y − c1 x), g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x = y tan(ln(cy )), e) y2 = x 4 + c1 x3 + c2 ,
