9.1
ESTADO Y REALIMENTACIÓN DE LA SALIDA S ALIDA
Para el estado de retroalimentación implica el uso del vector de estado para calcular la acción de control para la dinámica de un sistema específico
El la figura mostrada vemos un sistema lineal (A, B, C) con constante de realimentación del estado de la matriz de ganancia K, utilizando las reglas de la multiplicación multiplicaci ón de matrices ya antes vistas comprendemos que la matriz K es m*n de manera para un sistema de una sola entrada K es una fila vectorial. Para las ecuaciones del sistema lineal y la ley de control de realimentación son:
Las dos ecuaciones se pueden combinar para producir la ecuación de circuito cerrado
Se define como
lazo cerrado a la matriz de estado
Y al rescribir del circuito cerrado en el sistema de espacio cerrado la ecuación seria:
La dinámica del sistema de lazo cerrado dependerá de los valores y vectores propios (eigenvalores) de la matriz A cl. Así los sistemas dinámicos se eligen con elección apropiada de la matriz de ganancia K.
Para muchos sistemas físicos es costoso o imposible medir todas las variables de estado. Las mediciones de salida deben entonces ser utilizadas para obtener el control de U como muestra la figura
El control de retroalimentación para la salida retroalimentada es
Sustituyendo el estado de la ecuación del sistema de circuito cerrado
La matriz de estado correspondiente es:
Intuitivamente Intuitivament e no se puede lograr, utilizando la salida de retroalimentación retroaliment ación del estado realimentado. Porque, menos información informaci ón utilizada en la construcción de la ley de control. Además la multiplicación multiplicaci ón por C en la matriz, limita la elección de lazo cerrado dinámico. Sin embargo la salida de la retroalimentación es un problema de diseño más general, porque el estado de retroalimentación es un caso especial donde C es la identidad de la matriz
Para muchos sistemas físicos es costoso o imposible medir todas las variables de estado. Las mediciones de salida deben entonces ser utilizadas para obtener el control de U como muestra la figura
El control de retroalimentación para la salida retroalimentada es
Sustituyendo el estado de la ecuación del sistema de circuito cerrado
La matriz de estado correspondiente es:
Intuitivamente Intuitivament e no se puede lograr, utilizando la salida de retroalimentación retroaliment ación del estado realimentado. Porque, menos información informaci ón utilizada en la construcción de la ley de control. Además la multiplicación multiplicaci ón por C en la matriz, limita la elección de lazo cerrado dinámico. Sin embargo la salida de la retroalimentación es un problema de diseño más general, porque el estado de retroalimentación es un caso especial donde C es la identidad de la matriz
9.2
UBICACIÓN DE POLOS
Usando la realimentación de estado y de salida, los polos o valores propios del sistema pueden ser asignados sujetos a las limitaciones del sistema. Esto es conocido como ubicación de polos. Hemos de plantear el problema de la siguiente manera.
Definición: Ubicación de polos. Seleccione la matriz de ganancia K o K y y para asignar el sistema de valores propios a un conjunto arbitrario { λi, i = 1,. . ., n}. El siguiente teorema da las condiciones que garantizan una solución al problema de ubicación de polos con la realimentación de estado. Teorema: Retroalimentación de Estado. Si el par (A, B) es controlable, entonces existe una matriz de retroalimentación de ganancia K que asigna arbitrariamente los polos del sistema a cualquier conjunto {λi, i = 1,. . ., n}. Además, si el par (A, B) es estabilizable, entonces los modos controlables pueden ser asignados arbitrariamente.
PROCEDIMIENTO 1: UBICACIÓN DE POLOS POR IGUALACIÓN DE COEFICIENTES.
1. Evaluar el polinomio característico deseado con los valores valores de los valores propios especificados utilizando la expresión:
2. Evaluar el polinomio característico en lazo cerrado usando la expresión:
3. Igualar los coeficientes de los dos polinomios para obtener las n ecuaciones que serán resueltas para las entradas de la matriz K .
Ejemplo: Ubicación de polos. Asignar los los valores valores propios (0,3 ± j0.2) j0.2) al par
Solución Para los valores propios dados el polinomio característico deseado es:
La matriz del sistema en lazo cerrado es:
El polinomio característico en lazo cerrado es:
Igualando los coeficientes obtenemos las dos ecuaciones:
Esto es
UBICACIÓN DE POLOS POR TRANSFORMACIÓN TR ANSFORMACIÓN EN FORMA CONTROLABLE Cualquier sistema controlable con una entrada-una salida (SISO) puede ser transformado en forma controlable usando la transformación:
Donde es la matriz de controlabilidad, el subíndice c denota la forma controlable y los términos de la t jn , j = 2,. . . , n, están dados por
La realimentación de estado para un sistema en forma controlable es
Ahora tenemos el siguiente procedimiento de ubicación de polos.
Procedimiento 2 1. Obtener el polinomio característico de la pareja (A, B), utilizando el algoritmo de Leverrier. 2. Obtener la matriz de transformación utilizando los coeficientes del polinomio del paso 1. 3. Obtener los coeficientes deseados del polinomio característico de los valores propios obtenidos con la ecuación
4. Calcular la matriz de realimentación de estado utilizando la ecuación
Ejemplo Diseñe un controlador por realimentación para el par:
Para obtener los valores propios.
Solución El polinomio característico de la matriz es:
La matriz de transformación
es
El polinomio característico deseado es:
De ahí obtenemos el vector de ganancia por realimentación
UBICACIÓN DE POLOS USANDO UNA MATRIZ POLINOMIAL El vector de ganancia para la ubicación de polos puede ser expresado en términos del polinomio característico deseado en lazo cerrado. La expresión, conocida como la fórmula de Ackermann es:
Donde
es la primera fila de la matriz de T c-1 y
es el polinomio característico
deseado en lazo cerrado. Sabemos que la retroalimentación de estado puede colocar arbitrariamente los valores propios del sistema en lazo cerrado para cualquier par controlable (A, B). Además, cualquier par controlable puede ser transformado en la forma controlable (Ac , B c ). Por el teorema de Cayley-Hamilton, la matriz del sistema satisface su propio polinomio característico Δ(λ), pero que no corresponde a la ubicaciones de los polos deseado. Esto es,
Restando y usando la identidad
obtenemos:
La matriz en forma controlable posee una propiedad interesante, la cual utilizaremos en esta prueba. Si la matriz esta elevada a la potencia i , con i = 1, 2,. . . , n-1 , es multiplicado por el primer vector elemental
El resultado es el (i+1) vector elemental, esto es:
Multiplicando por el vector elemental
e1, obtenemos:
Usando la ecuación:
Obtenemos
Multiplicando por T c-1 y observando que la primera fila de la inversa es obtenemos la fórmula de Ackermann. Haciendo algunas modificaciones menores al procedimiento 2, podemos realizar la ubicación de polos usando la formula de Ackermann. El siguiente ejemplo se muestra la ubicación de polos con la fórmula de Ackermann.
Ejemplo Obtener la solución del ejemplo anterior usando la formula de Ackermann .
Solución El polinomio característico deseado en lazo cerrado es:
La primera fila de la inversa de la matriz transformada es:
Usando la formula de Ackermann para hallar el vector de ganancia
ELECCION DE LOS VALORES PROPIOS EN LAZO CERRADO Los procedimientos 1 y 2 producen la matriz de ganancia de realimentación una vez que los valores propios en lazo cerrado se han seleccionado arbitrariamente. Las ubicaciones de los valores propios deseados son relacionadas directamente a la respuesta transitoria deseada del sistema. Si todos los valores propios deseados en lazo cerrado se seleccionan en el origen del plano complejo, la estrategia de control de punto muerto es implementada, y el polinomio característico en lazo cerrado es elegido como:
Sustituyendo en la formula de Ackermann la ganancia de la matriz de realimentación.
La ley de control resultante será llevar los estados a cero la mayoría n de intervalos de muestras a partir de cualquier condición inicial. Sin embargo, las limitaciones del control punto muerto se aplican, es decir, la variable de control puede asumir valores inaceptablemente altos, y pueden ocurrir oscilaciones indeseables.
Ejemplo Determine el vector de ganancia k, mediante la para la discretizacion del modelo en espacio de estados del control de armadura de un motor DC para los siguientes valores propios seleccionados. 1. 2. 3.
Simular el sistema en cada caso para obtener la respuesta de entrada cero a partir de la condición inicial X (0) = [1,1,1], y discutir los resultados.
Solución El polinomio característico de la matriz del sistema es
Esto es,
La matriz de control del sistema es
Obtenemos la matriz transformada
1. El polinomio característico deseado en lazo cerrado es
Esto es,
Usando la fórmula de Ackermann, obtenemos el vector de ganancia
La respuesta discretizada con entrada cero para los tres estados y el control correspondiente de la variable u se muestra en la Figura a continuación:
2. El polinomio característico deseado en lazo cerrado es Esto es, El vector de ganancia es
La respuesta discretizada con entrada cero para los tres estados y el control correspondiente de la variable u se muestra en la Figura a continuación:
3. El polinomio característico deseado en lazo cerrado es
El vector de ganancia es
La respuesta discretizada con entrada cero para los tres estados y el control correspondiente de la variable u se muestra en la Figura a continuación:
Podemos observar que cuando seleccionamos polos asociados a modos rápidos modos, se requieren ganancias altas para la realimentación de estado y las variables de estado tienen oscilaciones largas en la respuesta transitoria.
Específicamente, para el control en el punto muerto (caso 3), los valores de ganancia son un orden mayor de magnitud que las de los casos 1 y 2, y la magnitud de las oscilaciones su respuesta transitoria es mucho más grande. Además, para el control el punto muerto el estado cero se alcanza en n=3 intervalos de muestreo como lo dice la teoría. Sin embargo, las oscilaciones transitorias realmente se producen en x 2, la velocidad del motor. Esto se muestra en la Figura a continuación, donde se grafican la velocidad análoga y la velocidad muestreada del motor.
COMANDOS EN MATLAB PARA LA UBICACIÓN DE POLOS El comando para la ubicación de polos es del comando.
place. El siguiente ejemplo muestra el uso
ndigits es una medida de precisión para la ubicación de los polos. También es posible calcular la realimentación del estado matriz de ganancia utilizando comandos básicos de MATLAB de la siguiente manera: 1. Generar el polinomio característico de una matriz
2. Obtener los coeficientes del polinomio característico de un conjunto de valores propios deseado dados como entradas de un vector de polos.
El vector desired contiene los coeficientes deseados en orden descendente. 3. Generar la matriz polinomial para una matriz
A, correspondiente al polinomio
9.3
SERVO PROBLEMAS
En las figura de bloques antes mostradas, son los reguladores que dirigen el sistema estado cero a partir de cualquier condición inicial, capaz de rechazar perturbaciones, en la práctica es frecuente realizar un seguimiento a la constante de referencia r con cero error de estado estacionario para este propósito un posible método es utilizar el dos grados de libertad
Llamado así por que ahora tenemos dos matrices para seleccionar, conseguir la de realimentación de la matriz K y conseguir la referencia de la matriz F La entrada de referencia en el segundo esquema muestra que la entrada se convierte en v(k)=Fr(k) es la ley de control elegido como
Con r(k) es la entrada de referencia para ser rastreado. Para sistema de circuito/cerrado las ecuaciones son
el correspondiente
Donde la matriz de estado cerrado es
La trasformada z correspondiente a la salida está dado por
El estado estacionario para localizar el error en una entrada de escalón unitario esta dado por
Para cero en el estado estacionario el error se requiere la condición
Si el sistema es cuadrado (m=I) y A cl es estable (no hay valores propios de unidad) se resuelve para una ganancia de referencia
Ejemplo 9.5 Diseñe un estado de espacio para un controlador discretizado, un modulo de velocidad en espacio de estado para un motor DC. Un sistema de motor discreto con T=0,02 para obtener (1) cero error de estado estacionario debido a una unidad etapa (2) una relación de amortiguamiento de 0,7 y (3) un tiempo de asentamiento alrededor de 1s
Solución La función de trasferencia discretizada de un sistema con conversor digital/análogo y análogo/digital es
El correspondiente modelo de espacio de estado, cálculo con MATLAB es
Los propios valores deseados del sistema de circuito cerrado son seleccionados como (0,9 ± j0.09) esto produce el vector de ganancia de realimentación
Y el estado de la matriz de circuito cerrado
El anticipo de ganancia es
La respuesta del sistema a un paso de referencia de entrada R se muestra en la siguiente figura
El sistema tiene un tiempo de asentamiento de alrededor de 0,84s y el porcentaje de rebasamiento de alrededor del 4% con un tiempo máximo de 1s todas las especificaciones de diseño se cumple. La ley de control ( u(k)=-Kx(k)+Fr(k) ) es equivalente a la acción de prealimentación determinada por F y dará como resultado cero error en estado estacionario para una entrada de referencia constante r, porque al propiciar acciones no incluye ninguna forma de retroalimentación, este enfoque no es robusto a las incertidumbre del modelo,
los errores que aparecen en la práctica resultan en cero error de estado estacionario. Para eliminar estos errores se introduce el control integral como se muestra en la figura
Con un nuevo estado agradado para cada error en un control integrado Lo que resulta en espacio de estado son las ecuaciones
Donde
es l*1. Las ecuaciones de estado se pueden combinar y rescribir en términos
de un vector de estado
Esto es
Donde
como
Los valores propios del sistema de circuito cerrado del estado de la matriz pueden ser asignados aleatoriamente mediante el cálculo de la ganancia de la matriz K utilizando cualquier de los procedimientos para regular el problema como se describe anteriormente.
Ejemplo 9.6 Resolver el problema de diseño anterior utilizando el control integral Solución Las matrices de espacio de estado del sistema son
Adicionando una integral de control se obtiene
Los valores fueron anteriormente seleccionados como (0,9 ± j0.09) el uso del control integral aumenta el orden del sistema por una parte y el valor adicional debe ser seleccionado. Los valores deseados propios se seleccionan como (0,9 ± j0.09,0.2) y el adiciona del valor propio
A 0,2 es elegido por efecto insignificante sobre la dinámica general, esto produce retroalimentación obteniendo vectores
El sistema de circuito cerrado para la matriz es
La respuesta del sistema a una referencia r de una señal esta mostrada en la figura anterior, la figura muestra que las especificaciones de control estas satisfechas. El tiempo de estabilidad es de 0,87 muy inferíos al valor especifico de1 s y el porcentaje del sobre impulso es de aproximadamente 4,2% lo que es menos al valor correspondiente a ζ =0.7 para el par dominante
9.4
INVARIANZA DE LOS CEROS DEL SISTEMA
Una severa limitación en el esquema de control de realimentación de estado, es que no se puede cambiar la ubicación de los ceros del sistema, lo cual afecta significativamente la respuesta transitoria. Para demostrar esto, consideremos la transformada z del sistema:
Si z = z o es un cero del sistema, entonces Y(z o) es cero con V(z o ) y X(z o ) distinto de cero. Así, para z = z0, la ecuación de estado-espacio (9.40) puede rescribirse como:
] [
Rescribiendo la matriz (9,41) en términos de la matriz de espacio de estado del sistema en lazo abierto quedaría:
[ ] [ ] Se observa que con la realimentación de estado estado cuádruple (A, B, C, D) se convierte en
el espacio de
Así, los ceros del sistema en lazo cerrado son los mismos que los de la planta y son invariantes bajo la realimentación de estado.
Ejemplo Considere el siguiente sistema en tiempo continuo
Obtener un modelo discreto para el sistema con control digital y un periodo de muestreo T=0,02, luego diseñar un controlador de espacio de estado con control integral y con los valores propios en lazo cerrado
Solución El sistema análogo con DAC y ADC tiene la siguiente función de transferencia
Con cero en 0.9802 en lazo abierto. El modelo correspondiente de espacio de estado (calculado en MATLAB) es
Los valores propios deseados del sistema en lazo cerrado son seleccionados como y esto produce el vector de ganancia de realimentación
La matriz del sistema en lazo cerrado del sistema es
La respuesta del sistema a un escalón unitario con una señal de referencia r , se muestra en la figura a continuación, tiene un gran sobrepaso debido al cero en lazo cerrado de 0,9802. El control de lazo cerrado no puede cambiar la ubicación del cero.
9.5
ESTIMACION DE ESTADO
El la mayoría de las aplicaciones es imposible o extremadamente caro. Para implementar el control de realimentación del estado, se puede utilizar una estimulación x(k) en el vector de estado, esto se puede llevar acabo con una estimulación a partir de la entrada y mediciones de la producción de un observador ( estimulador de estado)
OBSERVADOR DE PORDEN COMPLETO Para estimular todos los estados del sistema en teoría se podría utilizar un sistema de ecuaciones del mismo estado de la planta que s observa, en pocas palabras se puede utilizar el sistema de bucle abierto.
Sin embargo este estimulador de bucle abierto asume el conocimiento perfecto del sistema y carece de retroalimentación que es necesaria por que siempre aparecerán errores, la limitación de este observador se define como la dinámica del error le resta dinámica observador en el lazo abierto
obtenemos que
la dinámica del error se determina pro la matriz de estado del sistema y no se puede elegir arbitrariamente. Para un sistema inestable el observador será inestable y no se puede realizar el seguimiento del estado del sistema. Una alternativa práctica es retroalimentar la diferencia entre la medida y la salida estimada del sistema
Esto nos proporciona el siguiente observador
Restando la ecuación del observador de estado del sistema dinámico se obtiene la estimación del error de la dinámica
La dinámica del error se rigen los valores propios de la matriz del observador Ao=A-LC. Tenemos la transposición de la matriz para
Teniendo los mismos valores propios como la matriz del observador, se identifica a la ecuación de diseño del controlador con el par (A,B) sustituidos por el par (AT, CT) por lo tanto tenemos el teorema 9.2
TEOREMA 9.2 ESTIMACION DE ESTADO Si el par (A, C) es observable, entonces existe una ganancia de realimentación L matriz que asigna arbitrariamente los polos del observador a cualquier conjunto(ƛ i=1,……, n) además si el par (A, C) es detectable, los modos de los observables todos pueden ser asignados arbitrariamente
Prueba: basado en el teorema 8,12 el sistema (A, C) es observable(detectables) y si solo si (AT, CT) es controlable (estabilizable). Por lo tanto el teorema 9,2 deduce teorema 9,1
Basado en el teorema 9,1 la matriz L de ganancia se puede determinar a partir de los polos deseados del observador, por lo tanto puede seleccionar arbitrariamente los polos deseados del observador o el polinomio característico asociado
Ejemplo Determine la ganancia del observador con matriz L por el modelo discreto de estado de espacio de la armadura controlada, motor de corriente continua con los valores propios de observación seleccionados como (0,1 , 0,2 +-j 0,2) Solución: Recuerde que las matriz del sistema son
el comando de Matlab da la ganancia del observador
La expresión
Representa una predicción de observador, debido a que la estimación del vector de estado (y a cualquier acción de control asociado) en un momento dado de muestreo, no depende del valor de medición actual de la salida del sistema Alternativamente, un observador filtrado calcula el vector de estado basado en la corriente de salida(suponiendo que el tiempo de calculo es insignificante), utilizando la expresión
Claramente la corriente de salida y(k+1) se compara con su estimación basada en las variables en el instante del muestreo anterior. La dinámica del error esta representada ahora por
Es la misma expresión
Con la diferencia que sustituimos la matriz C por la matriz del observador del sistema (A, CA)
Donde es la matriz de observabilidad del par (A, C), si A tiene valores propios de cero, el par (A, CA) es detectable por que lo s valores propios de cero están asociados con los modos estables , y el diseño del observador puede ser completado mediante la selección de una matriz L que asigna valores adecuados para los restantes
Ejemplo Determine la ganancia del observador filtrado ocn la matriz L para el sistema descrito en el ejemplo anterior Solución Usando el comando de Matlab
Se obtiene la ganancia del observador
OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDO Porque las estimar las variables n del estado cuando ya tenemos las mediciones del y son funciones lineales de la misma variable, será posible estimar n variables y solo las utilizamos con la medida para estimar el estado entero, esto es lo que precisamente hace el diseño de un observador de orden reducido, es mas eficiente que un observador de orden completo, pero no es muy recomendable usar un observador reducido cuando se trabaja en presencia de ruido, además el diseño es mas complejo Las variables que se determinan
Donde M es un rango completo de n-l x n matriz con filas que son linealmente independientes de los de C y z es el estado parcial desconocido Las matrices de estado de espacio para las variables de estado son trasformadas
Por la tanto las ecuaciones de estado para el estado parcial de lo desconocido es
Se define una variable de salida para formar un modelo de espacio con
Esta salida representa la parte de la conocida y parcial del estado (k +1) que se calcula utilizando el estado parcial desconocido, la dinámica del observador incluyendo el error en la computación Yz se supone que el tiempo lineal invariante de la forma
Donde z denota la estimación parcial del vector de estado z, mover el termino al primer miembro revela que su uso puede ser evitada mediante la estimación de al variable
Podemos obtener un observador combinando las dos ecuaciones anteriores
cuando
El al figura mostrada
Se rige por la matriz Ao. Los valores propios de Ao deben ser seleccionados dentro del circulo unitario y debe ser suficientemente rápida para seguir el observando el estado del sistema reduce diseño del observador de solución para ganancias observada L una vez se obtiene la matriz L las otra matrices se pueden calcular y el vector X el estado puede ser obtenido mediante la siguiente ecuación
Donde la matriz de trasformación Qo se define
Recordar que los polos de la matriz de siempre que el par
puede ser asignada arbitrariamente
es controlable, desde el concepto de dualidad, esto es
equivalente a la observabilidad de los pares el siguiente teorema da una condición necesaria y suficiente para la observabilidad del par
Teorema 9.3 el par
es observable si y solo si el sistema (A, C) es observable
Ejemplo Diseñe un observador de orden reducido par el estado de espacio discreto para un modelo de armadura modelada Motor de corriente continua con valores propios de observación (0.2 +- 0.2j) Las matrices del sistemas son
La matriz de salida C esta en al forma requerida no hay necesidad de trasformación la matriz de estado es
La transformación de similitud puede ser seleccionada como una matriz de identidad, es decir,
Teniendo At=A Bt=B y Ct=C t5enemso que resolver la ecuación lineal
Para tener la ganancia del observador
Las matrices observadas son
La estimación del estado puede ser calculada utilizando
9.6
REALIMENTACION MEDIANTE OBSERVADOR DE ESTADO
Si el vector de estado no está disponible para el control de realimentación, un estimador de estado puede ser utilizado para generar la acción de control como se muestra en la figura .
El vector de control correspondiente es
Sustituyendo en la ecuación de estado obtenemos
Sumando y restando el termino términos del error estimado
, podemos rescribir la ecuación anterior en como
Si se utiliza un observador de orden completo (predictor), combinando de la ecuación anterior con obtenemos
La matriz del sistema anterior es un bloque triangular, y su polinomio característico es
Por lo tanto, los valores propios del sistema en lazo cerrado se pueden seleccionar por separado de las del observador. Este importante resultado es conocido como el
teorema de separación o la incertidumbre del principio de equivalencia. Análogamente, si se emplea un observador de orden reducido, el error estimado puede ser expresado en términos de los errores en la estimación de
Si partimos la matriz
en una matriz
de
y una matriz
Y y Z como
de
para poder hacer la separación de los dos términos de error, y volver a escribir la estimación del error como
Despreciando el error de medición
, el error estimado se reduce a
Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación de lazo cerrado obtenemos
Evaluando
y sustituyendo
por yz obtenemos
Combinando las dos ecuaciones anteriores
La matriz del sistema anterior es un bloque triangular, y su polinomio característico es
Así, para el observador de orden completo, los valores propios en lazo cerrado del observador en retroalimentación de estado de orden reducido puede ser seleccionado por separado de los observador de orden reducido. El teorema de separación se aplica tanto para los observadores de orden reducido como para los observadores de orden completo. Además, combinando la ecuaciones de estado de la planta con el estimador y utilizando la ecuación de salida, tenemos
Expresamos el estimador de realimentación de estado como
Donde T oy y T ox son partes de T o de orden n x 1 sustituyendo obtenemos
Esta ecuación puede ser utilizada realimentación de estado del sistema.
para simular
y
n x n-1 respectivamente,
el estimador completo de
ELECCIÓN DE LOS VALORES PROPIOS DEL OBSERVADOR La respuesta del sistema en lazo cerrado debe ser determinada por los polos del controlador que cumple con las especificaciones de rendimiento. Por lo tanto los polos del observador se deben seleccionar de 3 a 10 veces más rápido que los polos del controlador. La elección de los polos del observador también se rige por las mismas consideraciones relacionadas con la robustez del control del sistema por realimentación de estado Así, la sensibilidad de los valores propios a las perturbaciones en las matrices del sistema se deben considerar en la selección de los polos del observador. La selección de los polos del observador no influye en el rendimiento del sistema de control general si las condiciones iniciales se estiman perfectamente. Para demostrar este hecho, consideramos que la ecuación de estado con la ecuación de salida:
La respuesta del sistema cero entrada-salida iterando
puede ser determinada
La matriz del observador L influye en la respuesta transitoria si y sólo si . Este hecho se confirmó mediante la determinación de la función de transferencia z, que supone implícitamente condiciones iniciales cero.
Donde la matriz del observador L no aparece
Ejemplo Consideremos el controlado de armadura de un motor DC. Dejando las condiciones iniciales x(0) = [1, 1, 1], y estimando el vector cero Diseñe un observador de realimentación de estado de orden completo, para obtener una respuesta de entrada cero con un tiempo de asentamiento de 0,2 s.
Solución Como se mostró, una opción para los valores propios del sistema de control cumplan con las especificaciones de diseño {0,6, 0,4 ± j0.33}. Se produce el vector de ganancia
Los valores propios del observador deben ser seleccionados de manera que asocie los modos lo suficientemente rápido que los del controlador. Seleccionamos los valores propios {0.1, 0.1 ± j0.1}. Esto produce el vector de ganancia del observador
Obtenemos las ecuaciones de espacio-espacio
La respuesta a la condición inicial [1, 1, 1, 1, 1, 1] se representa en la figura a continuación, podemos comparar las variables de estado de la planta xi, i = 1, 2, 3 con los errores de estimados xi, i = 4, 5, 6 . Observemos que el error estimado cae a cero más rápido que el sistema de estados y que el sistema tiene un tiempo de asentamiento de menos de 0,2 s.
Ejemplo Solucione el ejemplo anterior usando un observador de orden reducido
Solución En este caso, tenemos l = 1 y, debido a que el valor de la salida corresponde al primer elemento del vector de estado no es necesaria para la transformación de similitud, es decir, .Obtenemos
Seleccionamos los valores propios del observador de orden reducido como {0,1± j0.1} y obtenemos vector de ganancia del observador
Las matrices asociadas son
Particionando
, obtenemos
La ecuación de espacio de estados es
Considerando que la ecuación de estado-espacio es
La respuesta del sistema de espacio de estado, con la condición inicial [1, 1, 1, 1, 1] es representada en la figura arriba. Se observa que el error estimado xi, i = 4, y 5, decae a cero mas rápido que el sistema de estados xi, i = 1, 2 y 3 , y que el sistema tiene un tiempo total de asentamiento menor que 0,2 s.
9.7
ASIGNACIÓN DE POLOS USANDO FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
El problema de asignación polo puede ser resuelto usando funciones de transferencia. Consideremos las ecuaciones de estado del controlador de dos grados de libertad se mostrado a continuación con el vector de estado estimado utilizando un observador de orden completo.
Para una planta SISO con observador de realimentación de estado, tenemos
O su equivalente
La correspondiente función de transferencia en z de [r, y] para u es
Así, el observador de orden completo de realimentación estado es equivalente a la función de transferencia representada en la figura a continuación. En la figura, la planta G (z) = P (z) / Q (z) se supone que estrictamente realizable; esto significa que el grado de P (z) es menor que el grado de Q (z).
A partir del diagrama de bloques mostrado en la figura, haciendo algunas manipulaciones sencillas al diagrama de bloques obtenemos la función de transferencia en lazo cerrado.
La ecuación polinomial es
La ecuación característica en lazo cerrado es
El problema de ubicación del polo, se reduce a encontrar los polinomios D (z) y S (z) que satisfacen la ecuación anterior dado P (z), Q (z), y para un determinado polinomio característico deseado
,
la ecuación anterior se llama una ecuación diofántica, y
se puede solucionar expandiendo sus términos RHS como
El polinomio característico en lazo cerrado
es de grado n + m y tiene la forma
Rescribiendo obtenemos
Esta ecuación es lineal en las 2m incógnitas , d i y s i, i = 0, 1, 2,. . ., m - 1 , y su LHS es un polinomio conocido con n + m -1 coeficientes. La solución de la ecuación diofántica es única si n + m - 1 = 2 m , es decir, si m = n - 1 . La ecuación se puede escribir en forma de matriz
Se puede ver que la matriz en el LHS es no singular si y sólo si el polinomios P(z) y Q(z) son primos entre sí.
Ahora discutiremos la elección del polinomio característico deseado. Desde el diseño de la función de transferencia equivalente de para el diseño de espacio de estado, el principio de separación implica que
Donde
puede escribirse como el producto
es el polinomio característico del controlador y
es el polinomio
característico del observador, seleccionamos el polinomio N(z) como
De manera que el polinomio del observador
se cancele en la función de
transferencia de referencia de entrada a la salida del sistema. La constante
se
selecciona de modo que la salida de estado estacionario sea igual a la entrada de referencia constante
La condición cero error de estado estacionario es
Ejemplo Solucione el ejemplo del controlador de armadura del motor DC, utilizando la aproximación de la función de transferencia.
Solución La función de transferencia de la planta es
Obtenemos los polinomios
Esto es
La planta es de tercer orden, es decir, n = 3, y la condición de la solución de la ecuación diofántica es m = n - 1 = 2 . El orden del polinomio característica deseado en lazo cerrado es m + n = 5 . Se puede seleccionar los polos del controlador {0.6, 0.4 ± j0.33} y los polos del observador serian {0.1, 0.2} con los polinomios correspondientes
En otras palabras y Utilizando la ecuación de la matriz descrita anteriormente se obtiene
Con el comando de MATLAB
linsolve obtenemos la solución
Y los polinomios
Obtenemos
y el polinomio del numerador
La respuesta al escalón del sistema de control de la figura tiene un tiempo de asentamiento de 0,1 s y un porcentaje de sobrepaso inferior al 7%. La respuesta cumple todas las especificaciones de diseño.
