INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PIEDRAS NEGRAS
INGENIERÍA MECATRÓNICA CONTROL TEMA NO. 5 SISTEMAS DE CONTROL EN ESPACIO DE ESTADO.
EFRÉN ALAMILLO MATA 14430088 LUIS ALBERTO CAMACHO AYALA 14430061 ERIK OSVALDO CASTILLÓN RODRÍGUEZ 14430011 MARCO ANTONIO CÁZARES HERNÁNDEZ 14430067 RAMIRO ZAMARRIPA RIVAS 12430099 CRISTIAN ALEXIS ZAVALA CASTRO 14430102
PROFESOR : ING. HÉCTOR JAVIER NORATO RAMOS FECHA: 05 DICIEMBRE 2016
ÍNDICE
5.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................. 3 5.2 CONVERSIÓN ENTRE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA YESPACIO DE ESTADO .................................................. 3
Representa ciones en el espacio de esta dos de s istemas definidos por su funci ón de transfe rencia ...................................................................................................... 3 Transform ación entre la ecua ción de esta do y una función de transfere ncia ...... 5 5.3 ESTABILIDAD EN EL ESPACIO DE ESTADO: PUNTO DE EQUILIBRIO O PUNTO CRÍTICO ..................................... 7 5.4 CONTROLABILIDAD Y ESTABILIDAD ..................................................................................................... 10
Condición para controlabilidad compl eta del estado en e l pl ano s ....................... 13 Controlabilidad de la salida Sistema no controlable
............................................................................................... 13
....................................................................................................... 14
Estabilizabilidad .................................................................................................................... 14 5.5 CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEESTADOS ..................................................................................... 15 5.5.1 DISEÑO POR UBICACIÓN DE POLOS ............................................................................................... 18
Diseño mediante a signación de polos. .......................................................................... 19 5.5.2 FÓRMULA DE ACKERMANN ......................................................................................................... 21 5.6 OBSERVABILIDAD YDETECTABILIDAD .................................................................................................. 22
Observabilidad. ..................................................................................................................... 22 Detectibilidad. ....................................................................................................................... 23 5.7 DISEÑO DE OBSERVADORES ............................................................................................................... 25
Diseño de sistemas de control con
observadore s. ..................................................... 30
5.8 CONTROL INTEGRAL (CONTROL POR MODELO INTERNO)........................................................................ 36
Esquema de Control por Modelo Interno
....................................................................... 36
Control en tiempo real ........................................................................................................ 39 5.9 REGULADOR CUADRÁTICO LINEAL (LQR, LINEAR QUADRATIC REGULATOR) ............................................. 40
LQR de horizonte infinit o y tiempo contin uo ................................................................ 42 LQR de tiempo discreto y finito ................................................................................................ 43
LQR de tiempo discreto y de horizonte infinito ............................................................................ 44
2
5.1 INTRODUCCIÓN Este tema analiza los métodos de diseño en el espacio de estados basados en los métodos de asignación de polos y el regulador óptimo cuadrático. El método de asignación de polos es algo análogo al método del lugar de las raíces ya que se colocan los polos en lazo cerrado en posiciones deseadas. La diferencia básica es que el diseño en el lugar de las raíces se sitúan sólo los polos en lazo cerrado dominantes, mientras que en el diseño por asignación de polos se colocan todos los polos en lazo cerrado en las posiciones que se deseen.
5.2 CONVERSIÓN ENTRE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y ESPACIO DE ESTADO
Representaciones en el espacio de estados de sistemas definidos por su función de transfere ncia Existen muchas técnicas para obtener representaciones en el espacio de estados de sistemas definidos por su función de transferencia. Representación en el espacio de estados en formas canónicas.
Considerese un sistema definido mediante:
Donde u es la entrada, y es la salida. Esta ecuación puede escribirse como:
3
A continuación se presentan las representaciones en el espacio de estados del sistema definido en su forma canónica controlable, en su forma canónica observable y en su forma canónica diagonal (o de Jordan). Forma canónica controlable. La siguiente representación en el espacio de estados
se denomina forma canónica controlable:
La forma canónica controlable es importante cuando se analiza el método de asignación de polos para el diseño de sistemas de control. Forma canónica observable. La siguiente representación en el espacio de estados
se denomina forma canónica observable:
Forma canónica diagonal. La forma canónica diagonal de la represntación en el
espacio de estados de este sistema viene dada por:
4
Transformación entre la e cuación d e esta do y una fun ción de transferencia Consideremos la forma general de la representación de espacio de estados, la cual es también equivalente a tener una función de transferencia G(s).
̇()=()+() (1) ()=()+() (2) Primero tenemos que cambiar dicha representación del dominio del tiempo al dominio de Laplace. Es posible realizar la transformación de este sistema expresado como ecuaciones de estado a una representación de función de transferencia por medio de un procedimiento simple. Consideremos el sistema dado por las ecuaciones (1) y (2) y expresemos las variables en el dominio de Laplace
Y
ℒ{̇()=()+()} (3) ()(0)=()+() (4) ℒ{()=()+()} (5) ()=()+() (6) ( )()=()+(0) (7) ()=( )−()+( )−(0) (8)
De esto obtenemos
Además,
()=( )−+()+( )−(0) (9) 5
De esta ecuación, vemos que el primero término representa la función de transferencia.
() =( )−+ (10) ()= () El segundo término C(sI-A)-1x(0) es la respuesta de la condición inicial. Es parte de la respuesta, pero no de la función de transferencia. Además, si tomamos en cuenta que la condición inicial es x(0)=0, la ecuación anterior se reduce y se puede expresar solamente como una función de transferencia.
()∈ℝ
La función de transferencia tendrá dimensión
de acuerdo al número de
entradas y salidas que tenga el sistema srcinal expresado por las ecuaciones (1) y (2)
Ejemplo. Representación en el espacio de estados a función de transferencia Sea
[̇̇̇ ]=[100 210 301 ][]+[1000] (11) =1 0 0[] (12) {,,,}
Puesto que sabemos las matrices del sistema
, debemos aplicar el
método para realizar la transformación de la representación en el espacio de estados a una función de transferencia. Obtengamos primero la ecuación característica (sI-A)
1 10 ] (13) ( )=[100 010 01][10 210 301 ]=[012+3 6
) (14) () − = det(() det( )= (+3)+1+2 (15) = +3 +2+1 (15) (+3)+2 1 +3+2 +3 1 2+2+1(2+1 )] = 1 +3(2+1 ( )− =[ +31 +3(+3) +2+1 (+3) ) 2 +3 12 1 0 0 +3+2 1 (2+1 (+3) ()= +3 +2+1 ) (17) Simplificando obtenemos
+3+2) (18) ()= 10( +3 +2+1 5.3 ESTABILIDAD EN EL ESPACIO DE ESTADO: PUNTO DE EQUILIBRIO O PUNTO CRÍTICO Un punto de equilibrio de un sistema dinámico es estable en el sentido de Lyapunov si todas las soluciones que nacen en las cercanías del punto de equilibrio permanecen en dichas cercanías; de otra forma resulta inestable. El punto de equilibrio además es asintóticamente estable si las soluciones además de permanecer en las cercanías del mismo, tienden hacia el punto de equilibrio a medida que transcurre el tiempo. A continuación se formalizan estos conceptos.
̇ =()
Donde las componentes del vector n-dimensionalf(x) son continuas y además son funciones Lipschitzianas en forma local dex, definidas para todo x en el dominio en 7
D
∈ℜ
. La condición de Lipschitz garantiza la existencia y unicidad de la solución de
que satisface la condición inicialx(0) = x0
Las singularidades x * para las cuales
̇ = (∗)=0
son llamadas puntos críticos;
En estos puntos el campo vectorial que determina la dirección de las trayectorias en el espacio fase es nulo. Los eigenvalores λ del sistema guardan una estrecha relación con los puntos críticos ya que determinan la forma en que las trayectorias interactúan con el punto crítico. Suponiendo que x
∈
(∗)=0
D es un punto de equilibrio de (1); o sea
, se pretende
caracterizar y analizar la estabilidad dex *. Por conveniencia se considera x=0 lo cual no representa una pérdida de generalización ya que cualquier punto de equilibrio
(∗)≠0 ̇ =̇ = ()=(+∗)≔(), (0)=0
puede ser trasladado al rigen mediante el cambio de variable
y: x-x* con lo que se tiene:
En esta nueva variable y, el sistema y =g(y) tiene como punto de equilibrio al srcen del espacio de estados. En consecuencia, de ahora en más se considerará que f (x) satisface f (0) = 0 y se estudiará la estabilidad del srcen del espacio de estados x = 0 como punto de equilibrio.
Definición Si Φ (t; t 0, x0) representa la solución de (1) dada a partir de la condición inicial x(t0) = x 0 a partir del instante inicial t = t0 , entonces el punto de equilibrio x = 0 de (1) es:
Lyapunov estable si para cada ε > 0 , hay un δ = δ (ε) > 0 tal que
8
Inestable si no es estable Asintóticamente estable si es estable y δ se puede elegir de modo que
En la figura 1 se muestra una representación gráfica de la definición 1 para los tres casos de estabilidad definidos.
Fig.1 Puntos de equilibrio en x = 0 con trayectorias solución representativas para un caso: (a) estable, (b) inestable y (c) asintóticamente estable.
Una vez definidos los diferentes tipos de estabilidad de los puntos de equilibrio, es necesario encontrar métodos para determinar la misma .
9
5.4 CONTROLABILIDAD Y ESTABILIDAD Se dice que un sistema es controlable en el tiempot0 si se puede transferir desde cualquier estado inicial x (t0) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito. Se dice que un sistema es observable en el tiempot0 si, con el sistema en el estado
x (t0), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito. Kalman introdujo los conceptos de controlabilidad y observabilidad, que juegan un papel importante en el diseño de los sistemas de control en el espacio de estados. De hecho, las condiciones de controlabilidad y observabilidad determinan la existencia de una solución completa para un problema de diseño de un sistema de control. La solución a este problema puede no existir si el sistema considerado no es controlable. Aunque la mayor parte de los sistemas físicos son controlables y observables, los modelos matemáticos correspondientes tal vez no posean la propiedad de controlabilidad y observabilidad. En este caso, es necesario conocer las condiciones en las cuales un sistema es controlable y observable. Esta sección aborda la controlabilidad y la siguiente analiza la observabilidad. En lo que sigue, se deducirá en primer lugar la condición para garantizar controlabilidad completa del estado. A continuación, se obtendrán formas alternativas de dicha condición y un análisis análogo de la controlabilidad completa de salida. Finalmente se presenta el concepto de estabilizabilidad.
Controlabilidad completa del estado de sistemas en tiempo continuo. Sea el sistema en tiempo continuo
̇ =+ 10
Donde: X= vector de estados (vector de dimensiónn). U= señal de control (escalar). A= matriz de n*n B= matriz de n*1 Se dice que el sistema descrito mediante la Ecuación anterior es de estado controlable en t = t0, si es posible construir una señal de control sin restricciones que transfiera un estado inicial a cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito t0 < t < t1. Si todos los estados son controlables, se dice que el sistema es de estado
completamente controlable. Ahora se obtendrá la condición para controlabilidad completa del estado. Sin pérdida de generalidad, se supone que el estado final es el srcen en el espacio de estados y que el tiempo inicial es cero, ot0 = 0. La solución de la ecuación (1) es:
Aplicando la definición de controlabilidad completa del estado recién establecida, se tiene que:
O bien:
También se puede escribir como:
11
Obteniendo:
Se define:
Entonces la ecuación (4) se convierte en:
Si el sistema es de estado completamente controlable, entonces, dado cualquier estado inicial x (0), la ecuación (5) debe satisfacerse. Esto requiere que el rango de la matriz n*n sea n.
De este análisis, se puede concluir la condición para controlabilidad completa del estado de la forma siguiente. El sistema obtenido mediante la ecuación (1) es de estado completamente controlable si y sólo si los vectoresB, AB,..., A n-1 B son linealmente independientes, o la matrizn * n es de rango n.
12
El resultado recién obtenido se extiende al caso en el que el vector de control u es de dimensión r . Si el sistema se describe por
̇ =+ Donde u es un vector de dimensión r , se demuestra que la condición para controlabilidad completa del estado es que la matrizn*nr
Sea de un rango n , o que contenga n vectores columna linealmente independientes. La matriz se conoce comúnmente comomatriz de controlabilidad.
Condición p ara controlabilidad completa del e
stado en el plano s
La condición para controlabilidad completa del estado se puede plantear en términos de funciones de transferencia o matrices de transferencia. Se puede demostrar que una condición necesaria y suficiente para controlabilidad completa del estado es que no ocurra una cancelación en la función de transferencia o en la matriz de transferencia. Si ocurre una cancelación, el sistema no puede controlarse en la dirección del modo cancelado.
Controlabilidad de la
salida
En el diseño práctico de un sistema de control, se puede necesitar controlar la salida en lugar del estado del sistema. Una controlabilidad completa del estado no es condición necesaria ni suficiente para controlar la salida del sistema. Por esta razón, es conveniente definir de forma independiente la controlabilidad completa de la salida. Sea el sistema descrito mediante:
̇ =+ =+ 13
Donde: X= vector de estados (vector de dimensiónn). U= señal de control (escalar). A= matriz de n x n B= matriz de n x 1 C= matriz de m x n D= matriz m x r
Se dice que el sistema descrito mediante las ecuaciones (6 y 7) es de salida completamente controlable si es posible construir un vector de control sin restricciones u (t) que transfiera cualquier salida inicialy (t0) a cualquier salida final y (t1) en un intervalo finito de t0 < t < t1.
Sistema no contro lable Un sistema no controlable tiene un subsistema que esta desconectado físicamente de la entrada.
Estabilizabilidad Para un sistema parcialmente controlable, si los modos no controlables son estables y los modos inestables son controlables, el sistema se dice entonces que es estabilizable. Por ejemplo, el sistema definido por:
No es de estado controlable. El modo estable que se corresponde con el valor propio -1 no es controlable. El modo inestable que corresponde al valor propio 1 es controlable. Este sistema se puede estabilizar mediante una realimentación adecuada. Así que este sistema es estabilizable. 14
5.5 CONTROL POR REALIMENTACIÓN DE ESTADOS Realimentación de Estado Comenzamos con sistemas SISO y el esquema de control de la Figura 3, suponiendo por el momento N = 1 para simplificar la notación. Una propiedad de sistemas lineales esencial en la realimentación de estados es la de controlabilidad. Nuestra primera observación importante es que La controlabilidad de un sistema es invariante con respecto a realimentación de estados. Teorema (Invariancia de la controlabilidad) El par (A − BK, B), para cualquier vector K1×n, es controlable si y sólo si el par (A, B) es controlable Demostración. La matriz de controlabilidad del sistema a lazo abierto (1) es C = [B, AB, A2B,. . . , An−1B], Y la matriz de controlabilidad del sistema a lazo cerrado (3) es CK = [B, (A − BK)B, (A − BK) 2B, . . . , (A − BK) n−1B]. No es difícil chequear que C y CK están relacionadas de la forma
Notar que como K es 1 × n y B es n × 1, todas las entradas de la matriz que multipli ca a C son escalares. Como esta matriz es no singular, el rango de C es igual al rango de CK. Así (1) es controlable si y sólo si (3) es controlable.
15
Aunque la controlabilidad es invariante con respecto a la realimentación de estados, la observabilidad no lo es, como se ve en el siguiente ejemplo. Ejemplo. El sistema
El control por realimentación de estados u(t) = r (t) − [ 3 1 ]x(t) en (4) , lleva al sistema a lazo cerrado
La matriz de controlabilidad de (5) es
, que es no singular y comprueba
que el sistema realimentado es controlable. Sin embargo, la matriz de observabilidad de (5) es
, que es singular, por lo que el sistema con esta
realimentación no es observable. La observabilidad de un sistema no es invariante con respecto a realimentación de estados. El siguiente ejemplo ilustra lo que puede conseguirse con realimentación. Ejemplo. La planta
Tiene una matriz de evolución con polinomio característico
16
Y como se ve, auto valores 4 y −2, por lo que es inestable. Consideremos un control u = r − [k1 k2] x, con el que el sistema a lazo cerrado queda
La nueva matriz de evolución tiene el polinomio característico
Está claro que las raíces de ∆K(s) o, equivalentemente, los auto valores del sistema a lazo cerrado pueden ubicarse en cualquier posición mediante una elección adecuada de k1 y k2. Por ejemplo, si los dos auto valores se ubican en −1 ± j2, el polinomio característico deseado es (s + 1 − j2)(s + 1 + j2) = s 2 + 2s + 5. Igualando
El ejemplo muestra que la realimentación de estados permite ubicar los autovalores del sistema realimentado en cualquier posición, y que la ganancia de realimentación K puede calcularse por substitución directa. Sin embargo, el método del ejemplo no es práctico para mayores dimensiones. Más aún, no queda claro que rol jugó la controlabilidad en esta asignación de autovalores. Para formular un resultado general de ubicación de autovalores
17
recurrimos a la forma canónica del controlador, vista en el Capítulo 4: Si C = [B, AB, . . . , An−1B] es no singular, el sistema (1) puede llevarse a la forma
5.5.1 DISEÑO POR UBICACIÓN DE POLOS La técnica de diseño empieza con la determinación de los polos en lazo cerrado deseados a partir de la respuesta transitoria y/o las especificaciones de la respuesta en frecuencia, tales como velocidad, razón de amortiguamiento, o ancho de banda, al igual que los requisitos en estado estacionario. upóngase que se decide que los polos en lazo cerrado deseados estén en s= 1µ, s=µ2, … , s=µn. Seleccionando una matriz de ganancias apropiada para realimentación del estado, es posible hacer que el sistema tenga los polos en lazo cerrado en las posiciones deseadas, siempre y cuando el sistema srcinal sea de estado completamente controlable.
18
Dise ño media nte asignación de polos . En el enfoque convencional del diseño de un sistema de control con una sola entrada y una sola salida, se diseña un controlador (compensador) tal que los polos dominantes en lazo cerrado tenganuna razón de amortiguamiento y una frecuencia natural no amortiguada
deseada. En este método, el orden del sistema aumenta
en 1 o 2, a menos que ocurra una cancelación de polos o ceros. Obsérvese que en este método se supone que los efectos sobre las respuestas de los polos en lazo cerrado no dominantes son despreciables. En lugar de especificar sólo los polos dominantes en lazo cerrado (enfoque del diseño convencional), el enfoque actual de asignación de polos especifica todos los polos en lazo cerrado. (Sin embargo, hay un costo asociado con colocar todos los polos en lazo cerrado, porque hacerlo requiere tener buenas medidas de todas las variables de estado, o bien incluir un observador de estado en el sistema.) También existe un requisito por parte del sistema para que los polos en lazo cerrado se puedan situar en posiciones elegidas de forma arbitraria. La exigencia es que el sistema sea de estado completamente controlable. Sea un sistema de control
̇ =+ =+ Donde
x= vector de estado (vector de dimensiónn) y= señal de salida (escalar) u= señal de control (escalar)
A = matriz de coeficientes constantes n x n B = matriz de coeficientes constantes n x 1 C= matrz de coeficientes constantes 1 x n 19
D= constante (escalar)
Se selecciona la señal de control como
= Esto significa que la señal de control u se determina mediante un estado instantáneo. Tal esquema se denomina realimentación del estado. La matrizK de 1 x n se denomina matriz de ganancia de realimentación de estado. Se supone que todas las variables de estado están disponibles para su realimentación. Este sistema en lazo cerrado no tiene entradas. Su objetivo es mantener la salida a cero. Como pueden existir perturbaciones, la salida se desviará de cero. Esta salida retornará a la entrada de referencia cero debido al esquema de realimentación del estado del sistema. Un sistema de esta naturaleza en que la entrada de referencia es siempre cero se conoce como un sistema regulador. Al sustituir la ecuación anterior en la ecuación del sistema se obtiene
La solución está dada por
(̇ )=()() ()=(−)(0)
Donde x (0) es el estado inicial provocado por perturbaciones externas. La estabilidad y las características de respuesta transistoria se determinan mediante los valor carácterísticas de la matriz A-B K . Si se elige la matriz K de forma adecuada, la matriz A-BK se convierte en una matriz asintóticamente estable y para todos los x (0) ≠0 es posible hacer que x (t) tienda a 0 conforme t tiene a infinito. Los valores propios de la matriz A-BK se denominan polos del regulador. Si estos se colocan en el semiplano izquierdo del plano s, entonces x (t) tiende a 0 cuando t tiene a infinito. El problema de situar los polos en lazo cerrado en las posiciones deseadas se denomina problema de asignación de polos. 20
Una condición necesaria y suficiente para la colocación arbitraria de los polos es que el sistema sea de estado completamente controlable.
5.5.2 FÓRMULA DE ACKERMANN
Esta fórmula permite evaluar directamente la matriz de ganancia del observador a partir de la ecuación:
Siendo
,, …..
los coeficientes de la ecuación característica deseada para el
observador:
El diseño de la matriz de ganancia de realimentación y el diseño de la matriz de
ganancia del observador , son dos problemas independientes entre si que se combinan para obtener el sistema de control con realimentación del estado observado.
21
5.6 OBSERVABILIDAD Y DETECTABILIDAD Observabilidad. Analizaremos la observabilidad de los sistemas lineales. Sea el sistema no forzado descrito mediante las ecuaciones siguientes:
Donde: X = vector de estado (vector de dimensiónn) Y= vector de salida (vector de dimensiónm) A = matriz n
× ×
C = matriz m
m n
Se dice que el sistema es completamente observable si el estadox(t o ) se determina
≤ ≤
a partir de la observación de y(t) durante un intervalo de tiempo finito,
Por tanto, el sistema es completamente observable si todas las transiciones del estado afectan eventualmente a todos los elementos del vector de salida. El concepto de observabilidad es útil al resolver el problema de reconstruir variables de estado no medibles a partir de variables que sí lo son en el tiempo mínimo posible. En esta sección, se tratan sólo sistemas lineales e invariantes en el tiempo.
=0
Por tanto, sin pérdida de generalidad, se supone que
.
El concepto de observabilidad es muy importante porque, en la práctica, la dificultad que se encuentra con el control mediante realimentación del estado es que algunas de las variables de estado no son accesibles para una medición directa, por lo que se hace necesario estimar las variables de estado no medibles para construir las señales de control.
22
Al analizar las condiciones de observabilidad, se considera el sistema sin excitación como el que se obtiene mediante las Ecuaciones (9-63) y (9-64). La razón de esto es la siguiente. Si el sistema se describe mediante
y (t ) es
Como las matrices A, B, C y D se conocen al igual queu (t ), los dos últimos términos del segundo miembro de esta última ecuación son cantidades conocidas. Por tanto, se pueden restar del valor observado de y(t). Así, a fin de investigar una condición necesaria y suficiente para observabilidad completa, basta con considerar el sistema descrito mediante las Ecuaciones (9-63) y (9-64).
Detectibilidad. Para el sistema LTI suministrado por un modelo de salida
donde
matriz de salida.
()∈
es considerado como un vector de salida y
×
como una
∈ 23
Definición. El sistema LTI anterior o el par (C,A) se dice que es detectable si la matriz A+LC es estable para alguna L. Criterio de dectabilidad. El par (C,A) es detectable si y solo si alguno de los siguientes criterios se cumple: 1. Criterio 1. La matriz de Hautus
≥0.
tiene rango completo por columna para toda 2. Criterio 2. Para
≥0 ≠0.
A =
y
y
un auto valor y su correspondiente auto vector, tal que
se cumple
3. Criterio 3. Existe una matriz L tal que la matriz A+LC es estable. 4. Criterio 4. El par (At,Ct) es estabilizable.
Se obtiene:
La ecuación característica deseada es:
2
−
+ 0.5 = 0, por lo tanto:
24
5.7 DISEÑO DE OBSERVADORES En esta sección se considerará un problema de diseño de reguladores utilizando el método de asignación de polos con observador. Sea el sistema regulador que se muestra en la Figura 10-19. (La entrada de referencia es cero.) La función de transferencia de la planta es:
Utilizando el método de asignación de polos, diséñese un controlador de forma tal que cuando el sistema está sujeto a la siguiente condición inicial
donde x es el vector de estado para la planta ye es el vector error del observador, la máxima sobre elongación dey(t) es del 25 al 35% y el tiempo de asentamiento es alrededor de 4 seg. Suponga que se utiliza el observador de orden mínimo. (Se considera que sólo la salida y es medible.) Se utilizará el siguiente procedimiento de diseño: 1. Obtener un modelo en el espacio de estado de la planta. 2. Escoger los polos en lazo cerrado deseados para la asignación de polos. Seleccionar los polos del observador deseados. 3. Determinar la matriz de ganancia de realimentación delestado K y la matriz de ganancia del observador Ke. 4. Utilizando las matrices de ganancia K y Ke obtenidas en el paso 3, deducir la función de transferencia del controlador observador. Si es un controlador estable, comprobar la respuesta para la condición inicial dada. Si la respuesta no es aceptable, ajustar la localización de los polos en lazo cerrado y/o la
25
localización de los polos del observador hasta que se obtenga una respuesta aceptable.
Paso de diseño 1. Se deducirá la representación en el espacio de estados de la planta. Como la función de transferencia de la planta es:
La ecuación diferencial correspondiente es:
Se definen las variables de estado x1, x2, x3 tal como sigue:
También x3 se define por:
26
Donde:
Entonces la ecuación en el espacio de estados y de la salida se pueden obtener como:
Paso de diseño 2. Como primer intento se seleccionan los polos en lazo cerrado deseados en:
y se escogen los polos del observador deseados en:
Paso de diseño 3. Se utilizará MATLAB para calcular la matriz de ganancia de realimentación del estado K y la matriz de ganancia del observador Ke. El programa de MATLAB 10-11
27
da las matrices K y Ke. En el programa, las matrices J y L representan los polos en lazo cerrado deseados para la asignación de polos y los polos deseados para el observador, respectivamente. Las matrices K y Ke se obtienen como:
Paso de diseño 4. Se determinará la función de transferencia del controlador observador.
Se utilizará MATLAB para calcular la función de transferencia del controlador observador. El Programa 10-12 de MATLAB obtiene esta función de transferencia. El resultado es:
28
Defínase el sistema con este controlador observador como sistema 1. La Figura 1020 muestra el diagrama de bloques del sistema 1.
29
El controlador observador tiene un polo en el semiplano derecho del plano s (s=1,6119). La existencia de un polo en lazo abierto en el semiplano derecho del plano s en el controlador observador significa que el sistema es inestable en lazo abierto, aunque el sistema en lazo cerrado sea estable. Lo último puede verse a partir de la ecuación característica del sistema:
(Véase el Programa 10-13 de MATLAB para el cálculo de la ecuación característica.) Una desventaja de utilizar un controlado r inestable es que el sistema se hace inestable si la ganancia del sistema se hace pequeña. Un sistem a de control de esta naturaleza no es ni deseable ni aceptable. Por tanto, para obtener un sistema satisfactorio se necesita modificar la localización de los polos en lazo cerrado y/o de los polos del observador.
Dise ño de sist emas de contr ol co n observadores. El diseño de sistemas de control con observadores cuando los sistemas tienen entradas de referencia. La salida del sistema de control debe seguir a la entrada que es variable en el tiempo. En el seguimiento de la entrada, el sistema debe mostrar un comportamiento satisfactorio (un tiempo de subida, sobre elongación y tiempo de asentamiento razonables). En esta sección se consideran sistemas de 30
control que se diseñan por el método de asignación de polos con observador. Específicamente, se considerarán sistemas de control utilizando controladores observadores. En la Sección 10-6 se analizaron los sistemas de regulación cuyo diagrama de bloques se muestra en la Figura 10-25. Este sistema no tiene entrada de referencia, o r%0. Cuando el sistema tiene una entrada de referencia son posibles algunas configuraciones diferentes del diagrama de bloques, cada una con un controlador observador. En las Figuras 10-26(a) y (b) se muestran dos de estas configuraciones; en esta sección se considerarán ambas.
Figura 10-26. (a)Sistema de control con controlador-observador en el camino directo; (b) sistema de control controlador-observador en el camino de realimentación.
Configuración 1. Sea el sistema mostrado en la Figura 10-27. En este sistema la entrada de referencia se añade simplemente en el punto de suma. Se desea diseñar el controlador observador de manera que en la respuesta a un escalón 31
unitario la sobre elongación máxima sea menor que el 30% y el tiempo de asentamiento alrededor de 5 seg. En lo que sigue se diseñará en primer lugar un sistema de regulación. Luego, utilizando el controlador observador diseñado, simplemente se añade la entrada de referencia r en el punto de suma. Antes de diseñar el controlador observador, se necesita obtener una representación en el espacio de estados de la planta. Como:
se obtiene:
Si se eligen las variables de estado como:
se obtiene:
Donde:
32
A continuación, se seleccionan los polos en lazo cerrado deseados para la asignación de polos en
y los polos del observador deseados en:
La matriz de ganancia de realimentación del estado K y la matriz de ganancia del observador Ke se pueden obtener como sigue:
Véase el Programa 10-16 de MATLAB.
La función de transferencia del controlador observador se obtiene utilizando el Programa 10-17 de MATLAB. El resultado es:
33
La Figura 10-28 muestra el diagrama de bloques del sistema regulador que se acaba de diseñar. La Figura 10-29 muestra el diagrama de bloques de una configuración posible del sistema de control basado en el sistema regulador que se muestra en la Figura 10-28. En la Figura 10-30 se muestra la curva de respuesta a un escalón unitario para este sistema de control. La máxima sobreelongación es alrededor del 28% y el tiempo de asentamiento de unos 4,5 segundos. Así, el sistema diseñado satisface los requisitos de diseño.
34
35
5.8 CONTROL INTEGRAL (CONTROL POR MODELO INTERNO) En control de procesos normalmente se considera la posibilidad de contar con un modelo que represente adecuadamente la planta a controlar, como punto de partida para el diseño del controlador respectivo, aunque es frecuente que los modelos presenten incertidumbre en sus parámetros. En el presente trabajo se aborda el problema de control de procesos con incertidumbre paramétrica y rechazo a perturbaciones, con base en el esquema de control por modelo interno IMC. Se pretende que el controlador tenga aplicación en procesos de tipo experimental, en laboratorios de enseñanza, aunque no se descarta su empleo en procesos industriales. Sus características didácticas le permiten manejar diversos modelos de procesos lineales, desarrollar las variantes de control de uno o dos grados de libertad y ajustar los parámetros de la planta y el control.
Esquema de C ontrol por Mode lo Interno El control por modelo interno de un grado de libertad que se muestra en la Figura 1, ha sido empleado como una alternativa al tradicional control PID y presenta dos características relevantes: incorpora explícitamente el modelo de la planta, p(s) y el diseño del controlador qr(s) está enteramente ligado a dicho modelo, por lo que su obtención sigue una idea matemática clara y particularmente sencilla.
Considerando las funciones que relacionan a la variable del proceso y(t) con la referencia r(t), y la perturbación d(t), ecuaciones 1 y 2, 36
se analiza el comportamiento en el estado estable de la salida, asumiendo que ambas entradas son de tipo escalón. De donde se obtiene que para rq(0) = p(0)-1
Es decir, con sólo invertir la ganancia del modelo de la planta, se obtiene un sistema de control capaz de regular a la variable de salida, con total rechazo a la perturbación. Para el diseño de qr(s) se debe revisar otra propiedad importante del IMC GL1. Una condición de control ideal se alcanza cuando
es decir, es deseable un seguimiento en cada instante de r(t) por parte de y(t), así como un rechazo total a cualquier efecto de la perturbación d(t), lo cual es posible sólo si
Ambas condiciones son imposibles de cumplir, ya que nunca se cuenta con un modelo exacto de la planta, y si se lograra, seguramente existi rían partes del modelo que no se pueden invertir, como son elementos de fase no mínima: tiempos de retardo o ceros en el semiplano derecho. Para enfrentar esta situación, puede 37
hacerse una aproximación de la inversión de p(s) si se separa este término en dos partes, una conteniendo los elementos susceptibles de invertirse, -p(s) y otra con los elementos no invertibles, p+(s). Entonces el diseño de qr(s) queda de la forma
El filtro paso-bajas de orden ρ se agrega al controlador para hacerlo realizable, tal que el único parámetro a ajustar en qr(s) es la constante de tiempo del filtro, εr. Por ello, el comportamiento en lazo cerrado del sistema de control se puede modificar con sólo cambiar el valor de este parámetro. El ajuste de εr ofrece la posibilidad de diseñar un sistema de control de desempeño robusto, en donde a pesar de la incertidumbre de planta, la variable del proceso se comporte dentro de las especificaciones de los parámetros de diseño de la respuesta en el tiempo (el sobrepaso máximo y el tiempo de asentamiento a entradas tipo escalón en la referencia). Igualmente, el sistema rechazará cualquier efecto producido por la acción de una perturbación. En suma, se tiene que el comportamiento de lazo cerrado del esquema de control puedereferirse al de un sistema de segundo orden, para el cual están bien definidas las relaciones entre las características en el dominio del tiempo y de la frecuencia. El sobrepaso de la respuesta en el tiempo, SP, y el pico máximo en la traza de magnitud de la respuesta en frecuencia, MP, están relacionadas por
Así, definiendo un límite máximo en M p para la respuesta de lazo cerrado del IMC GL1, se debe encontrar el valor de εr que asegure esta condición, para toda la descripción de incertidumbre de p(s), como se muestra en la Figura 2.
38
La síntesis atiende a la pregunta de qué combinación de modelos del proceso, y del controlador, produce respuestas más rápidas para el control, sin dejar de cumplir con la especificación de sobrepaso máximo. La búsqueda se realiza con base en ensayos, tomados a partir de ciertos valores de los parámetros de la planta dentro del rango de incertidumbre, o en ajustar el orden del modelo del proceso para la inversión.
Control en tiempo real Un sistema de tiempo real procesa la información en respuesta a estímulos de la entrada, dentro de un lapso de tiempo finito y específico. Por lo tanto, el correcto funcionamiento de un sistema de tiempo real no solamente depende de la obtención de los resultados esperados del sistema, sino también de que estos resultados se presenten en el tiempo en que deben de ser producidos. Algunos procesos requieren que la ejecución del ciclo de control se realice dentro de un límite máximo de tiempo, ya que de lo contrario podría ponerse en peligro la estabilidad y operación segura del mismo, es decir, el tiempo juega un papel crítico en una aplicación altamente determinística. En la actualidad, los sistemas de control en 39
tiempo real basados en computadora han ganado aceptación dentro del control de procesos industriales. Dichos sistemas funcionan sobre una computadora que cuente con un sistema operativo de tiempo real, donde el programador es capaz de asignar distintas prioridades a distintas tareas que corran en paralelo, y de especificar los tiempos de ejecución de cada una de estas tareas.
5.9 REGULADOR CUADRÁTICO LINEAL (LQR, LINEAR QUADRATIC REGULATOR) Hasta ahora hemos presentado métodos que construyen la ley de control como una de realimentación de estados en la que, si el sistema es controlable, los polos del sistema de lazo cerrado pueden ubicarse en cualquier locación del plano “s”. De igual forma, hemos presentado posibles ubicaciones de los polos del sistema que aseguran una respuesta temporal predeterminada. En este capıtulo presentaremos un enfoque diferente a la construcción de la ley de control, que se basa en encontrar una ley de control que minimice la suma de los esfuerzos de control y las desviaciones de la señal de salida de su valor deseado. Este problema se conoce como el de Control Optimo. La teoría del control óptimo se refiere a la operación de un sistema dinámico a un costo mínimo. El caso en el que la dinámica del sistema se describe por un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales y el coste se describe por una función cuadrática se llama el problema LQ. Uno de los principales resultados en la teoría es que la solución es proporcionada por el regulador lineal-cuadrático (LQR), un controlador de realimentación cuyas ecuaciones se dan a continuación. El LQR es una parte importante de la solución al problema LQG (linear-quadratic-gaussian). Al igual que el problema LQR en sí, el problema LQG es uno de los problemas más fundamentales en la teoría de control. Los ajustes de un controlador (regulador) que gobierna una máquina o un proceso (como un avión o un reactor químico) se encuentran usando un algoritmo matemático que minimiza una función de coste con factores de ponderación suministrados por un humano (ingeniero). La función de coste se define a menudo como una suma de las desviaciones de las mediciones clave, la altitud deseada o 40
la temperatura del proceso, de los valores deseados. Por lo tanto, el algoritmo encuentra los ajustes del controlador que minimizan las desviaciones no deseadas. La magnitud de la acción de control en sí misma también se puede incluir en la función de coste. El algoritmo LQR reduce la cantidad de trabajo realizado por el ingeniero de sistemas de control para optimizar el controlador. Sin embargo, el ingeniero todavía necesita especificar los parámetros de la función de coste y comparar los resultados con los objetivos de diseño especificados. A menudo esto significa que la construcción del controlador será un proceso iterativo en el que el ingeniero juzga los controladores "óptimos" producidos mediante la simulación y luego ajusta los parámetros para producir un controlador más consistente con los objetivos de diseño. El algoritmo LQR es esencialmente una forma automatizada de encontrar un controlador de realimentación de estado apropiado. Como tal, no es raro que los ingenieros de control prefieran métodos alternativos, como la retroalimentación de estado completo, también conocida como colocación de polos, en la que existe una relación más clara entre los parámetros del controlador y el comportamiento del controlador. La dificultad para encontrar los factores de ponderación adecuados limita la aplicación de la síntesis de control basada en LQR. Para un sistema lineal de tiempo continuo, definido en, descrito por
Con una función de coste cuadrático definida como
La ley de control de retroalimentación que minimiza el valor del costo es
Donde está dado por 41
Y se encuentra resolviendo la ecuación diferencial de Riccati en tiempo continuo:
Con la condición de contorno
Las condiciones de primer orden para Jmin son (i)
Ecuacion de estado
(ii)
Ecuación de co-estado
(iii)
Ecuación estacionaria
(iv)
Condiciones de los límites
Y
LQR de horizonte infinito y tiempo continu
o
Para un sistema lineal de tiempo continuo descrito por
Con un costo funcional definido como
42
La ley de control de retroalimentación que minimiza el valor del costo es
Donde está dado por
Y se encuentra resolviendo la ecuación algébrica de Riccati del tiempo continuo
Esto también puede escribirse como
Con
LQR de tiempo discreto y finito
Para un sistema lineal de tiempo discreto descrito por [1]
Con un índice de desempeño definido como
La secuencia de control óptima que minimiza el índice de rendimiento está dada por
dónde
Y se encuentra iterativamente hacia atrás en el tiempo por la dinámica ecuación de Riccati
43
Desde la condición terminal . Tenga en cuenta que no está definido, ya que es conducido a su estado final por.
LQR de tiempo discreto y de horizonte infinito Para un sistema lineal de tiempo discreto descrito por
Con un índice de desempeño definido como
La secuencia de control óptima que minimiza el índice de rendimiento está dada por
dónde
Y es la única solución definitiva positiva a la ecuación algébrica de Riccati del tiempo discreto (DARE).
Esto también puede escribirse como
Con
Obsérvese que una forma de resolver la ecuación algebraica de Riccati consiste en iterar la ecuación dinámica de Riccati del caso del horizonte finito hasta que converge.
44
B IBLIOGRAFÍA Ingeniería de Control Moderna- Ogata 5ª Edición. http://gama.fime.uanl.mx/~salinas/APUNTES3_CM.pdf http://uhu.es/antonio.barragan/content/23-funcion-transferencia-ecuacion-estado
45
