´ ´ UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON ´ nica y Electrica ´ Facult acultad de Ingenier´ ıa Mec Mecanica a ectrica
Control Moderno Ene.-Jun. 2007 Dise˜ no de controlador por retroalimentaci´ no on on de estado Dr. Rodolfo Salinas mayo 2007 Control Moderno N1
mayo 2007
Dr. Rodolfo Salinas
Retroalimentaci´ on on de estado
Dise˜ no de un controlador por retroalimentaci´on no on de estado.
• Lazo abierto y lazo cerrado • Para los casos en donde un sistema inestable se quiera llevar hacia la estabilidad. • Se utiliza asingaci´ on de polos (colocaci´ (colocaci´ on on de polos) del sistema. • Esta Esta acci´ acci´ on on se realiz realizar ar´ ´a median mediante te el dise˜ dise˜ no n o de un co cont ntro rola lado dorr por por retroalimentaci´on on de estado en la entrada del sistema.
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Lazo abierto y lazo cerrado u
x’ = Ax+Bu y = Cx+Du
y
Lazo Abierto x˙
= Ax + Bu
y
= Cx
• No existe retroalimentaci´on de la salida hacia la entrada B = 0 • El control no est´a dada como una funci´on de la salida del sistema u = 0 • x˙ = Ax + Bu. La matriz del sistema en lazo abierto sera A Control Moderno N1
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u
x’ = Ax+Bu y = Cx+Du
y
K
Lazo Cerrado
x˙
= Ax + Bu ; u = K x = Ax + BKx = (A + BK )x
• Se cierra el lazo de retroalimentaci´on de la salida-entrada u = Kx, donde K es una matriz de ganancias K ∈ R1 n que multiplican a cada una de las variables de estado x ∈ Rn 1 ×
×
• En general u = K y , pero si y = x, → u = K x, y = Cx, C = I • La matriz de lazo cerrado del sistema de esta manera es Ac = A + BK Control Moderno N1
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Controlabilidad
• Propiedad de acoplamiento entre la entrada u y el estado x de un sistema din´amico. • x˙ = Ax + Bu
∴
involucra las matriz del sistema A y de entrada B
Controlabilidad: propiedad que determina si es posible llevar un sistema din´amico de una posici´on inicial x(t0) al origen x(tf ) = 0 en tiempo finito t1; t1 > t0 mediante una entrada u(t). Condici´on:
C =
B
AB
2
A B
ρ(C ) = n
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···
n−1
A
B
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Asignaci´ on de polos
Procedimiento que consiste en determinar las ganancias K de la retroalimentaci´on de estado tal que los polos del sistema en lazo cerrado tengan ciertos valores deseados.
• Valores propios del sistema de lazo cerrado son las raices de polinomio caracter´ıstico ∆(λ) = det |sI − A + BK | = 0 • Condici´on: si y solo si el sistema de lazo abierto (A, B ) es controlable, se puede lograr tener los valores propios deseados Γ = { λ1, λ2, . . . , λn} • Ec. caract. de lazo cerrado (con retro) se iguala a ec. caract. deseada
det |sI − A + BK | = 0 ↔ (s − λ1)(s − λ2) · · · (s − λn) = 0
⇒ k1, k2, . . . , kn Control Moderno N1
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Dise˜ no de controlador por retroalimentaci´ on de estado 1. Verificar si el sistema es controlable 2. Obtener la ecuaci´on caracter´ıstica del sistema y sus valores propios 3. Expresar la matriz lazo cerrado Ac y su ecuaci´on caracter´ıstica 4. Determinar ecuaci´ on caracter´ıstica deseada polos deseados 5. Encontrar ganancias de retroalimentaci´ on K por asignaci´on de polos
• igualar t´erminos similares de ec. caract. de lazo cerrado y deseada • resolver para las ganancias de retro. K ∈ Rn desconocidas 6. Escribir el control por retroalimentaci´ on de estado u = Kx y comprobar Control Moderno N1
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Ejemplo 1 Suponga que se tiene un sistema x˙ =
1 1 1 2
x
Ecuaci´ on caracter´ıstica del sistema det |sI − A| = 0. det |sI − A| =
det
s−1
−1
−1 =0 −2
s
= (s − 1)(s − 2) − 1 = 0
= s2 − 3s + 1 = 0 ⇒ s1 = 2.618, s2 = 0.382 Las raices del sistema estan en semiplano derecho Control Moderno N1
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∴
sistema es inestable. Dr. Rodolfo Salinas
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El sistema expresado en la ecuaci´on de estado anterior es equivalente a x˙ =
1 1 0 1 2
x +
0
u
pregunta pensar : ¿ c´omo se puede hacer que este sistema sea estable? Respuesta : no es posible estabilizarlo sin disponer de una entrada u . Para tratar de estabilizar es necesaria una matriz de entrada B = [0 0]. Por ejemplo, podemos considerar el sistema x˙ =
1 1 1 1 2
x +
0
u
el cual sabemos de antemano que es inestable (matriz A). Diferencia es que cuando aparece la u existe la posibilidad de alterar esta propiedad del sistema utilizando una entrada u = − Kx = − [k1 k2]x. Control Moderno N1
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Controlabilidad Si deseamos colocar polos tal que sistema sea estable, la condici´on necesaria es controlabilidad ∴ verificar que el rango de C sea = dimensi´on del sistema n = 2 → C = [B
C = [B
AB ], verificar si sistema es controlable, ρ(C ) = 2? AB =
1 1 1 1
AB ] =
1 1
1 2
0 1
0
=
1
det(C ) = 1 ∴ ρ (C ) = n
Asi se verifica que este sistema si es controlable y se satisface condici´on para asignar los polos en posiciones nuevas mediante un controlador. Siguiente paso: considerar sistema en lazo cerrado y efectuar dise˜ n o de Control Moderno N1
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control. x˙ = Ax + Bu,
A =
1 1 1 2
,
1
B=
0
K = [k1 k2]
,
El procedimiento anal´ıtico consta d primero obtener la ecuaci´on de estado en lazo cerrado y la matriz del sistema en lazo cerrado Ac x˙ = Ax + B (−Kx) = Ax − BK x = (A − BK )x = =
1 1 1 − ( [ 1 2 0 1− 1− 1 2 1−
k1 k2])x =
k1
matriz lazo cerrado Ac =
k2
1 1 1 2
−
k1
k2
0
0
)x
x
1
k1
1 − k2 2
Siguiente paso: realizar asignaci´ o n de polos de acuerdo a los valores deseados Control Moderno N1
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Asignaci´on de polos Polos de lazo cerrado se determina por medio de ec. caract. de Ac s − (1 − k1) −1 + k2 det |sI − Ac| = det =0 −1 s−2
= (s − 2)(s − (1 − k1)) − (−1)(−1 + k2) = 0 = s2 − [(1 − k1) + 2]s + ( −1 + k2) + 2(1 − k1) = 0 = s2 + (k1 − 3)s − (1 − 2k1 + k2) = 0 Dise˜ ne un control por retroalimentaci´on de estado (buscar k1 y k2) para que asumiendo que se desea los polos de este sistema en s = − 5 y s = − 6. 1. Obtener ecuaci´o n caracter´ıstica del sistema con dichos valores multiplicando los factores correspondientes a cada uno de ellos. Ecuaci´on caracter´ıstica de polos deseados (deseada) Control Moderno N1
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(s + 5)(s + 6) = 0 s2 + 11s + 30
= 0 2. Comparar con ecuaci´ on caracter´ıstica del sistema en lazo cerrado s2 + (k1 − 3)s + (1 − 2k1 + k2) = 0
comparando t´ erminos similares, se obtienen el sistema de ecuaciones algebr´aicas y se resuelve para k1 y k2 k1 − 3
= 11
→ k 1 = 14,
1 − 2(14) + k2 = 30 −→ k2 = 57
1 − 2k1 + k2 = 30 K = [14 57] hacen que sistema sea estable con polos en los lugares deseados mediante una retroalimentaci´on de estado u = − Kx. Para comprobar que k1 y k2 hacen su funci´ on, substituir en ecuaci´on caracter´ıstica de lazo cerrado y obtenier ecuaci´ on caracter´ıstica deseada, o multiplicarlas para encontrar ecuaci´on caracter´ıstica del sistema. Control Moderno N1
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Ejemplo 2
Hay casos en el que el sistema ya sea estable, pero se quiere una respuesta del estado mas din´amica Suponga que se tiene un sistema x˙ =
1 1 −4 −3
0 x +
2
se desea colocar los polos en s = − 7 y s = − 5. Ecuaci´on caracter´ıstica det |sI − A| = 0. det |sI − A| =
det
s−1
4
−1 =0 + 3
s
= (s − 1)(s + 3) − (−4) = 0 = s2 + 2s + 1 = 0 ⇒ s1 = − 1, s2 = − 1 ∴ estable Control Moderno N1
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Controlabilidad AB =
1 −4
C = [B
1 0 2 = 2 −3 −6 0 2
AB ] =
2 −6 Para este sistema ρ(C ) = n = 2? → det(C ) = − 4 ⇒ ρ (C ) = 2 Ecuaci´on caracter´ıstica de lazo cerrado x˙
= Ax + B (−Kx) = Ax − BKx = (A − BK )x = =
1 1 0 − ( [ 2 −4 −3 1 1
k1 k2])x =
−4 − 2k1 −3 − 2k2
matriz lazo cerrado Ac = Control Moderno N1
1 1 −4 −3
−
0 0 2k1 2k2
)x
x
1 1 −4 − 2k1 −3 − 2k2 mayo 2007
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Asignaci´on de polos Obtener ecuaci´on caracter´ıstica de lazo cerrado −1 s−1 det |sI − Ac| = det 4 + 2 k1 s + 3 + 2 k2
=0
= (s − 1)(s + 3 + 2 k2)) + 4 + 2 k1) = 0 = s2 + 3s + 2 k2s − s − 3 − 2k2 + 4 + 2k1 = 0 = s2 + (2 + 2 k2)s + 1 + 2 k1 − 2k2 = 0 Ecuaci´ on caracter´ıstica de polos deseados (deseada) (s + 5)(s + 7) = 0 s2 + 12s + 35
= 0
Comparando t´erminos similares en ambas ecuaciones se obtiene 2 + 2 k2 = 12
→ k 2 = 5,
1 + 2 k1 − 2(5) = 35 =⇒ k 1 = 22
1 + 2 k1 − 2k2 = 35 Control Moderno N1
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K = [22
5] −→ u = − Kx.
u = − Kx = − [22
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5]
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x1 x2
= − 22x1 − 5x2
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Ejemplo 3 Suponga que se tiene un sistema x˙ = Ax + Bu, x ∈
˙ =
x
0 1 0 0 0 1 −1 −5 −6
3×1
R
, u ∈
1×1
R
0 + 0 x
1
Dise˜ nar controlador por retroalimentaci´on de estado para asignar los polos en s = − 2 + j 4, s = − 2 − j 4 y s = − 10. Matriz de controlabilidad C = [B 0 1 0 0 0 1 AB = −1 −5 −6
A2B
= A·A·B
A2 B
0 ] 0 0 = 1 1 −6 0 1 0 0 0 1 1 = = 0 AB
−1 −5 −6
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−6
1 −6 −31
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0 ]= 0
0 1 −6 1 C = [B AB A2B 1 −6 −31 Para este sistema ρ(C ) = n = 3? → det(C ) = − 1 = 0 ∴ ρ(C ) = 3 Matriz del sistema de lazo cerrado Ac x˙
= Ax + B (−Kx) = Ax − BK x = (A − BK )x, =
=
=
0 0 −1 0 0 −1 0 0
1 0 −5 1 0 −5
0 0 1 − 0 [ ] 1 −6 0 0 0 0 1 − 0 0 0 −6 1 0 0 1 k1 k2 k3
k1
k2
Ac = A − BK
x
x
k3
x
−1 − k1 −5 − k2 −6 − k3
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0 1 0 0 0 1 matriz lazo cerrado = −1 − −5 − −6 − Asignaci´on de polos Ecuaci´on caracter´ıstica de lazo cerrado 1 0 0 0 1 0 0 0 1 det | − | = det 0 1 0 − −1 − −5 − −6 − 0 0 1 −1 0 −1 0 = det =0 1 + 5 + + 6 + = ( + 6 + ) + 1 + + 0 − 0 + + − (5 + ) = 0 Ac
k1
sI
Ac
k2
k3
s
k1
k2
k3
s
s k2
k1
s2 s
k3
s
k3
k1
s
k2
= s3 + s2(6 + k3) + s(5 + k2) + 1 + k1 = 0
Ecuaci´ on caracter´ıstica deseada (s + 10)(s + 2 − j 4)(s − 2 − j 4) = 0 → s 3 + 14s2 + 60s + 200 = 0
⇒ 6+ k3 = 14 → k3 = 8, Control Moderno N1
5+k2 = 60 → k 2 = 55, mayo 2007
1+k1 = 200 → k 1 = 199 Dr. Rodolfo Salinas
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Simplificando ecuaci´on caracter´ıstica deseada: (s + 10)(s + 2 − j 4)(s − 2 − j 4) = (s + 10)(s2 + 4s + 4 − j 2(16)) = 0 (s + 10)(s2 + 4s + 20) = (s + 10)(s2 + 4s + 20) = 0 s3 + 4s2 + 20s + 10 s2 + 40s + 200
= s3 + 14s2 + 60s + 200 = 0
El controlador que coloca los polos del sistema en lazo cerrado en los lugares deseados de s = − 2 ± j 4, y s = − 10 es
u = − Kx = − [199
Control Moderno N1
55
= −199 8] x1 x2 x3
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x1 − 55x2 − 8x3
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