Estimasi Titik 1. Pabrik melakukan pengamatan mengenai lama usia pakai sebuah lampu rem, menurut mereka 44 buah lampu rem tersebut rata-rata bisa dipakai selama 4900 hari dengan simpangan baku 220 hari, dengan interval 95% brp rata2 usia pakai sebenernya dari lampu rem tersebut? Dik :
σ
= 220 hari
n = 44 buah
X´
= 4900 hari
Dit : estimasi interval tingkat kepecrcayaan 95% pd rata2 pemakaian lampu rem? Jawab : = 1 - 0,95 = 0,05 Z/2 = 0,5 – 0,05/2 = 0.4750 Z/2 = 1,96 Sehingga estimasi interval didapat :
X Z1 / 2
4900−1,96 ×
X Z1 / 2 n n
220 220 < μ< 4900+1,96 × √ 44 √ 44
4900−65< μ< 4900+65
4835< μ< 4965 2. Apabila di suatu desa diketahui bahwa rata-rata usia penduduk berdasarkan data di kelurahan adalah 35.3(anggap peneliti tidak tahu mengenai usia data tersebut).Seorang peneliti yang sedang melakukan penelitian di desa tersebut, dari hasil penelitian menemukan bahwa rata-rata usia penduduk di desa tersebut adalah 36.3 tahun, dengan standar deviasi sebesar 13.3 yang didapat dengan menggunakan sampel sebanyak 120 orang. Sedangkan keseluruhan penduduk(populasi) sebesar 400 orang. Diketahui : X bar = 36.3 ; n = 120 ; S = 13.3 Ditanya : estimasi interval dengan kepercayaan 95% Jawab :
α =1−95 =5 =0,05
α =0.025 2 α 1− =1−0.025=0.475 2 z
1−
α 2
=1.96 → dalam tabel normal
´x −z
α 1− 2
13.3 ≤ μ ≤ 36,6+1,96 ( √σn ) ≤ μ ≤ ´x+ z ( √σn )=36,6−1,96( √13.3 ) ( 120 √ 120 ) 1−
α 2
¿ 33.92≤ μ ≤38.68 3. Sebuah sampel acak nilai kapasitansi 144 kapasitor diambil dari sebuah pabrik komponen dan menghasilkan rata-rata 114 dan simpangan baku 10. Jika diketahui interval taksiran rata-rata dengan tingkat kepercayaan 95%. Hituglah interval selang kepercayaan! Jawab: n= 144
´x =¿ 114 σ =10
α
= 1-95%= 5%= 0,05
α 2 = 0,025
α 1− =¿ 1-0,025= 0,475 2 z
1−
´x
α 2
= 1,96 → dilihat dengan menggunakan table normal
-
z
1−
α 2
.
114−¿ 1,96. 114−¿ 112.37
σ √n
≤µ≤
10 √144
´x
≤µ≤
+
z
1−
α 2
.
114+ ¿ 1,96.
σ √n 10 √144
1,63 ≤ µ ≤ 114 + 1,63 ≤ µ ≤ 115,63
4. Rata-rata umur baterai adalah 30 minggu – 35 minggu, diketahui standar deviasi sebesar 5 minggu. Jika diambil sample sebanyak 25 baterai, hitung kepercayaan bila diketahui tingkat kepercayaan berada pada 90%!
Diketahui: a.
n=25
b.
´x =30−35
c.
σ =5
d.
α =1−0,90=0,1
Jawab: 1.
Z
α 0,1 =0,5− =0,45 2 2
Z
α =1,645 2
(dilihat dari table normal)
σ ´ +Z α σ X´ −Z α ≤ μ≤ X 2 √n 2 √n 30−1,645
5 5 ≤ μ ≤ 30+1,645 √ 25 √ 25
28,355 ≤ μ ≤ 31,645
2.
σ ´ +Z α σ X´ −Z α ≤ μ≤ X 2 √n 2 √n 35−1,645
5 5 ≤ μ ≤ 35+1,645 √ 25 √ 25
33,355 ≤ μ ≤36,645 Jadi dapat disimpulkan
28,355 ≤ μ ≤ 36,645
5. Sebuah sample acak nilai induktansi dari 64 Sensor Edddy Curent di sebuah mesin menghasilkan rata2 56, dan Simpangan baku 20. Jika diketahui interval bagian rata2 dengan tingkat kepercayaan 95%. Hitunglah interval selang kepercayaan.. Jawab : n = 64 ,
α =¿ 2 z
1−
α 2
´x =56
0,025 , 0,5 -
,
σ =20 α 2
= 1,96 table normal
,
α =1−95 =5 =0,05
= 0,5 – 0,025 = 0,475
´x
-
1−
α 2
.
σ √n
≤µ≤
20 ≤ μ ≤ 56 + 1.69 . √64
56 – 1,96 .
56 – 4,9
z
≤ μ ≤ 56 + 4,9 51,1
´x
+
z
1−
α 2
.
σ √n
20 √64 ≤μ≤
60,9
6. Rata – rata umur lampu adalah 24 bulan – 30 bulan standar deviasi 6 bulan. Diambil sampel sebanyak 30 lampu. Hitung kepercayaan bila diketahui tingkat kepercayaan berada pada 95% Jawab:
´x =24−30 σ =6 n = 30
α =1−95 =0,05 Z α =0,5− 2
0,05 =0,475 2
Z α =1,96 → dilihat dengan menggunakan tabel normal 2
σ ´ +Z α σ X´ −Z α ≤ μ≤ X 2 √n 2 √n
24−1,96
6 6 ≤ μ ≤24 +1,96 √ 30 √30
21,8 ≤ μ ≤ 26,1
σ ´ +Z α σ X´ −Z α ≤ μ≤ X 2 √n 2 √n 30−1,96
6 6 ≤ μ ≤ 30+1,96 √ 30 √30
27,8 ≤ μ ≤ 32,1 Jadi
21,8 ≤ μ ≤ 32,1 7. Seorang pengelola bengkel elektronik ingin meng-estimasi kerusakan pada resistor diambil 30 sempel secara random dari box yang berisikan resistor 220 Ω . Dari pengecekan boxnya. Diketahui standar deviasinya adalah 10 buah dan tingkat kepercayaanya adalah 90%. Tentukan estimasi rartaratanya!
α =1−90 =1−
0,1 =0,95 2
¿ 40 α =10
n=30
(
¿ 40− Z 1−0,1/2
Z 1−
( ))
(
( ))
10 10 ≤ ≤ 40+ Z 1−0,1/ 2 √ 30 √ 30
0,5 =Z 0,45 2
Z0,45 = Z0,05 + Z0,4 = 1,64
( ( √ ))
40− 1,64
( ( ))
10 10 ≤ ≤ 40+ 1,64 30 √ 30
40−( 1,64 ( 1,83 ) ) ≤≤ 40+ ( 1,64 ( 1,83 ) ) 40−3 ≤≤ 40+ 3 37 ≤≤ 43 Dengan kata lain seorang pengelola bengkel mengestimasi dengan tingkat keyakinan 90 % bahwa jumlah resistor yang rusak untuk setiap box-nya adalah antara 37 buah hingga 43 buah 8. Perusahaan Compaq memproduksi Transformator CT dengan berat bersih menyebar normal dengan simpangan baku
σ =20 gram. Dari produksi
tersebut dipilih secara acak 54 buah, setelah ditimbang dengan seksama
diperoleh berat bersih rata-rata = 360 gr. Taksirlah rerata berat bersih Transformator CT tersebut dengan selang kepercayaan 90% Penyelesaian :
σ =20 gram
Dik :
n=54 X´ =360 gram Dit :
Estimasi interval tingkat kepercayaan 90% pada rerata berat bersih Transformator CT?
Jawab : Selang kepercayaan 90%. Maka sebagai acuan untuk
Z∝ 2
digunakan
tabel normal. caranya : cari
∝=1−0,9=0,1
Z ∝ =0,5− 2
Z∝= 2
0,1 =0,45 2
1,64+1,65 =1,645 → dilihat dari tabel normal 2
Sehingga interval estimasi yang diperoleh sbb :
X Z1 / 2
360−1,645 ×
X Z1 / 2 n n
20 20 < μ<360+1,645 × √ 54 √ 54
360−4,47< μ<360+ 4,47
355,53< μ<364,47
9. Seorang manajer di perusahaan pembuatan Resistor ingin mengestimasi waktu rata-rata yang dibutuhkan oleh sebuah mesin baru untuk memproduksi satu gross resistor. Suatu sampel acak sejumlah 36 gross menunjukkan bahwa rata-rata waktu yang dibutuhkan adalah 1,5 menit untuk setiap grossnya. Informasi dari perusahaan pembuat mesin menyatakan bahwa deviasi standard dari waktu produksi adalah 0,30 menit dan manajer tersebut
mengasumsikan hal yang sama dalam estimasinya. Berapa estimate interval yang dapat ditentukan dengan tingkat kepercayaan sebesar 95 persen?
μ=1,5 , σ =0,30
Jawab : n=36 ,
, 1- α =95 ,α =5
α 1− =¿ 0,05 =0,475 2 0,52 Z¿
maka nilai
Dalam table normal, 0,475 berada Z1=1,96 Jadi,
´x −Z
α 1 2
.
σ σ < μ< ´x + Z α . 1 √n 2 √n
¿ 1,5−1,96 .
0,3 0,3 < μ<1,5+1,96. √ 36 √36
¿ 1,402< μ <1,598
∴ Manajer mengestimasi dengan tingkat keyakinan 95 persen bahwa waktu rata-rata untuk memproduksi 1 gross resistor dengan mesin yang baru tersebut adalah antara 1,402 menit sampai 1,598 menit. 10.Alkaline company memproduksi baterai dengan berat bersih normal dengan simpangan baku 15gram. Dari produksi tersebut dipilih satu contoh acak berukuran 64, setelah ditimbang diketahui bahwa berat bersih rata-rata 360gr. Taksirlah rerata berat bersih baterai tersebut dengan selang kepercayaan 95% Diketahui:
n=64
´x =360 σ
¿ 15
α =1−0,95=0,05 α 0,05 Z − =0,5− =0,4750 2 2 α Z − =¿ 2
1,96 (dilihat dari table normal)
Jawab:
´x
-
z
1−
α 2
360 - 1,96.
.
σ √n 15 √64
≤µ≤
´x
≤µ≤
360
360 – 3,675 ≤ µ ≤ 360 + 3,675
+
z
1−
α 2
+1,96.
.
σ √n 15 √64
356,33 ≤ µ ≤ 363,68 11.ABC company memproduksi remote control menggunakan dua baterai. Ratarata umur baterai yang digunakan di produk ini adalah 35 jam dengan standar deviasi 5,5 jam. Sebagai bagian dari program pengujian diambil sampe 45 baterai , hitunglah selang kepercayaan bila diketahui tingkat kepercayaan berada pada interval 99%!
μ=35 , σ =5,5 , 1- α =99 ,α =1 α 1− =¿ 0,01 =0,495 2 maka nilai 0,52 Z¿ n=45 ,
Dalam table normal, 0,4950 berada diantara 2,57 dan 2,58 jadi Z1=2,575 Jadi,
´x −Z
α 1 2
.
σ σ < μ< ´x + Z α . 1 √n 2 √n
¿ 35−2,575.
5,5 5,5 < μ< 35+2,575. √ 45 √ 45
¿ 35−2,11 < μ<35+2,11
¿ 32,89< μ<37,11 ∴ selang kepercayaan pada baterai ini berada pada estimasi waktu antara32,8 jam dan 37,1 jam 12.Sebuah sampel acak terdiri dari 100 mahasiswa telah diambil dari sebuah politeknik lalu nilai-nilai IQ-nya dicatat. Didapat
´x
= 112 dan
σ =10.
a. Dapat dikatakan : IQ rata-rata untuk mahasiswa U politeknik itu = 112 b. Jika dikehendaki interval taksiran IQ rata rata dengan koefisien kepercayaan 95% Untuk p = 0.975 dan dk= 99 dengan interpolusi dari daftar G dalam lampiran didapat tp=1.987
Jawab: n= 100
´x =¿ 112 σ =10
α
= 1-95%= 5%= 0,05
α 2 = 0,025
α 1− =¿ 1-0,025= 0,475 2
z
1−
´x
α 2
-
= 1,987 → dilihat dengan menggunakan table normal
z
1−
α 2
.
112−¿ 1,987.
σ √n
≤µ≤
10 √ 100
´x
≤µ≤
+
z
1−
α 2
.
σ √n
112+¿ 1,987.
10 √100
100.0 < µ <114.0 13.Sebuah toko komponen menjual resistor bernilai 220 ohm dengan simpangan baku 20 ohm. Lalu diambil sampel acak 25 resistor, setelah diukur dengan ohm meter dieroleh nilai resistansi rata-rata 219,8 ohm. Taksirlah rerata nilai resistansi resistor tersebut dengan selang kepercayaan
´x
= 219,8
S = 20 α= 1-95% = 5% = 0,05 Z α/2 = 0,5 – 0,05/2 = 0,475 = 1,96 Interval kepercayaan µ (rata-rata populasi) dengan koefisien kepercayaan 95% :
´x
-
t n - 1 ; 0,975
219,8 – 1,96 .
20 √ 20
s √n
≤ µ≤
´x
+
≤ µ ≤ 219,8 + 1,96 .
t n - 1 ; 0,975
s √n
20 √ 20
219,8 – 4,47 ≤ µ ≤ 219,8 + 4,47 215,33 ≤ µ ≤ 224,27 14.Sebuah perusahan optic dvd yang akan digunakan pada merk lite-on mempuyai kegagalan baca pada beberapa kaset dengan simpangan baku sebesar 4 buah. Dipilih beberapa optic secara acak sebesar 100 buah. Setelah dilakukan percobaan diperoleh rata-rata optic yang berhasil sebesar 89 buah. Taksirlah rerata banyaknya optic yang bagus dengan selang kepercayaan 95% Diketahui:
n=100 ´x =89
σ =4
α =1−0,95=0,05 Z
α 0,05 =0,5− =0,4750 2 2
Z
α =1,96 2
(dilihat dari table normal)
Jawab:
σ ´ +Zα σ X´ −Z α ≤ μ≤ X 2 √n 2 √n 89−1,96
4 4 ≤ μ ≤ 89+1,96 √ 100 √ 100
88,2 ≤ μ ≤ 89,8 15.Winda, Budi, Roni melakukan pengamatan mengenai lama usia pakai baterey merk Alkalin yang digunakan pada alfalinknya masing-masing, menurut mereka dari 4 baterey merk Alfalink tersebut rata-rata bisa dipakai selama 1200 jam dengan simpangan baku 200 jam, dengan interval konfidensi 95% temukan berapa rata-rata usia pakai sebenarnya dari baterey merk Alkalin tersebut? Diketahui :
n=4
´x =1200 jam σ
¿ 200 jam
α =1−0,95=0,05 α 0,05 Z − =0,5− =0,4750 2 2 α Z − =¿ 2
1,96 (dilihat dari tabel normal)
Jawab:
¿ ´x
-
z
1−
α 2
.
¿ 1200 - 1,96.
σ √n 200 √4
≤µ≤ ≤µ≤
´x
+
1200
¿ 1200 – 196 ≤ µ ≤ 1200 + 196 ¿ 1004 jam ≤ µ ≤ 1396 jam
z
1−
α 2
.
+1,96.
σ √n 200 √4
Ternyata setelah di uji dengan interval konfidensi 95%, usia pakai baterey merk Alkalin berkisar (sebenarnya) antara 1004 jam minimum dan 1396 jam maksimum. 16.Pandawa 5 company memproduksi lampu LED sebagai pengganti bohlam yang lebih tahan lama. Rata-rata umur lampu LED adalah 100 jam dengan standar deviasi 27 jam. Sebagai bagian dari program pengujian diambil sampe 81 baterai , hitunglah selang kepercayaan bila diketahui tingkat kepercayaan berada pada interval 95%!
μ=100 , σ =27 , 1- α =95 ,α =5 α 1− =¿ 0,05 =0,475 2 maka nilai 0,52 Z¿ n=81 ,
Dalam table normal, 0,4750 adalah 1,96 Jadi,
´x −Z
α 1 2
.
σ σ < μ< ´x + Z α . 1 √n 2 √n
¿ 100−1,96.
27 27 < μ<35+1,96. √ 81 √ 81
¿ 100−5,88< μ< 100+ 5,88
¿ 94,12< μ<105,88 ∴ selang kepercayaan pada LED ini berada pada estimasi waktu antara94,12 jam dan 105,88 jam 17.Ada seratus mesin bor sebagai sampel acak, yang telah mengikuti tes pengujian standarisasi, mempunyai rata-rata hasil sebesar 110 dan diketahui mempunyai simpangan baku rata-rata sebesar 20. Dengan menggunakan tingkat kelayakan sebesar 95%, buatlah pendugaan interval dari rata-rata hasil tes dari mesin bor tersebut! Jawab :
σ ´ +Z α σ X´ −Z α ≤ μ≤ X 2 √n 2 √n
110−1,96
20 20 ≤ μ ≤110 +1,96 √ 100 √ 100
110−3,92≤ μ ≤110 +3,92 106,08 ≤ μ ≤113,92
18. Seorang manajer di pabrik paku ingin mengestimasi waktu rata-rata yang dibutuhkan oleh sebuah mesin baru untuk memproduksi satu box paku . Suatu sampel acak sejumlah
36 box menunjukkan bahwa rata-rata waktu yang dibutuhkan adalah 1,5 menit untuk setiap boxnya. Informasi dari perusahaan pembuat mesin menyatakan bahwa deviasi standard dari waktu produksi adalah 0,30 menit dan manajer tersebut mengasumsikan hal yang sama dalam estimasinya. Berapa estimate interval yang dapat ditentukan dengan tingkat kepercayaan sebesar 99 persen? ´x = 1,5
n = 36 Maka nilai
σ =0,30
1−α =99
α =1
σ 0.01 Z 1 =0.5 =0,4950 2 2
Dalam table normal 0.4950 berada diantara 2,57 dan 2,58 jadi Z1= 2,575 Jadi,
´x −Z 1
σ σ σ σ . < μ< ´x + Z 1 . 2 √n 2 √n
36−2,575
0.3 0.3 < μ <36+2,575 √ 36 √ 36
36−0,12875< μ<36+0,12875 35,87125< μ<36,12875
19.Rata-rata pada 64 sample acak alat elektronika yang dibuat oleh mahasiswa teknik elektro memiliki rata-rata nilai arus 184 mA. Hitung selang kepercayaan sebesar 20% dengan standar deviasi 32 Dik : n = 10
σ =75,39
Jawab :
X´ −Z
1−
∝ 2
×
σ σ ≤ μ ≤ X´ + Z ∝ × 1− √n √n 2
20 =0,2 100 α 0,2 = =0,1 2 2 0,5−0,1=0,4
Pada table normal 0,4 terletak diantara 1,28 dan 1,29 Maka nilai Z dari 0,4 adalah
1,28+1,29 =1,285 2
Maka selang kepercayaanya adalah
¿ 184−1,285×
32 32 ≤ μ ≤ 184+1,285 × √64 √ 64
¿ 184−5,14 ≤ μ ≤ 184+5,14
¿ 178,86 ≤ μ ≤ 189,14
20.Seorang pengawas laboratorium ingin mengestimasi rata-rata kerusakan relay perbulan di Universitas X. Diambil sampel acak 200 relay untuk diamati,menghasilkan rata-rata kerusakan 120 relay perbulan dan simpangan baku 10.Hitunglah interval selang kepercayaannya,dengan tingkat kepercayaannya 95%! n= 200
´x =¿ 120 σ =10 α
= 1-95%= 5%= 0,05
α 2 1− z
1−
= 0,025
α 2 α 2
= 0,475 = 1,96 → (Table normal)
´x
-
z
1−
α 2
.
σ √n
120−¿ 1,96 . 120−¿
≤µ≤
10 √200
´x
≤µ≤
+
z
1−
α 2
.
σ √n
120+¿ 1,96 .
10 √200
1,38 ≤ µ ≤ 120 + 1,38
118.61 ≤ µ ≤ 121,38 21.Tegangan dari 50 battrei dari tipe yang sama memiliki mean sebesar 18,2 V dan deviasi standard 0,5 V . carilah (α) error yang mungkin pada mean dan batas kepercayaannya 44% Penyelesaian :
´x
= 18,2 ; n= 50 ; = 0,5
α =1−44 =¿ 66% = 0,66 α 2=0,33 0,5−
α 2=0,5−0,33=0,17
α z 1− =0,44 2
( dilihat menggunakan tabel z )
α σ α σ 0,5 0,5 X´ −z1 − ∙ ≤ μ ≤ X´ + z 1− ∙ =18,2−0,44 . ≤ μ ≤ 18,2+ 0,44 . 2 √n 2 √n √50 √ 50 ¿ ¿
18,11
≤μ≤
18,2 – 0,09
≤μ≤
18,2
+¿ 0,09
18,29
22.kelompok 9 instrumentasi semester 3 melakukan pengukuran resistansi pada NTC mulai dari suhu 30-90 derajat celcius dengan pengukuran selang kenaikan 5 derajat celcius dengan rata-rata resistansi yang dapat diukur adalah 1.575 K ohm dan didapatkan simpangan bakunya adalah 1.10 K ohm dengan interval konfidensi 98%,temukab berapa estimasi rata-rata sebenarnya resistansi pada NTC tersebut?
Diketahui : n
= 13
X´ = 1.575 K ohm
S
= 1.10 K ohm
1−α
= 98 % = 0.02
α 2
= 0.01
Jawab
X´ -
t n−1
; 1-
α 2
.
s √n
≤μ≤
X´ +
t n−1
; 1-
α 2
.
s √n 1,575K -
t 12
; 0,01 .
1,10 k √ 12
≤μ≤
1,575K +
t 12
; 0,01 .
1,575K – 2,681 . 317,5
≤μ≤
1,575K + 2,681 . 317,5
1,575K – 851,21
≤μ≤
1,575K + 851.21
723.8ohm
1,10 k √ 12
≤ μ ≤ 2426,3 ohm
23.Sebuah sensor yang akan digunakan pada sebuah mesin foto copy mempuyai kegagalan copy pada beberapa kertas dengan simpangan baku sebesar 3 buah. Dipilih beberapa sensor secara acak sebesar 60 buah. Setelah dilakukan percobaan diperoleh rata-rata sensor yang berhasil sebesar 25 buah. Taksirlah rerata banyaknya optic yang bagus dengan selang kepercayaan 90% Diketahui:
e.
n=60
f.
´x =25
g.
σ =3
h.
α =1−0,9=0,5
Z
α 0,5 =0,5− =0,25 2 2
Z
α =1,64 2
(dilihat dari table normal)
Jawab: σ ´ +Zα σ X´ −Z α ≤ μ≤ X 2 √n 2 √n 25−1,64
3 3 ≤ μ ≤25+1,64 √ 60 √ 60
24,37 ≤ μ ≤ 25,63 24.Perusahaan PCM ingin meng estimasikan rata – rata jumlah simpana resisto 120 ohm pada perusahaannya . pada sample tersebut menghasilkan rata 3500 25.Panasonic company memproduksi remote tv dengan menggunakan dua buah baterai. Rata-rata Umur baterai 24 bulan-30 bulan dengan standar deviasi 6 bulan. Sampe sebanyak 49 baterai. Hitunglah kepercayaan bila diketahui tingkat kepercayaan berada pada 95% Penyelesaiaan :
x=24−3 0
σ =6 n=4 9
α =1−95 =0,05 Z α =0,5− 2
0,05 =0,47 5 2
Z α =1,96 → dilihat dengan menggunakantabel normal 2
σ σ ≤ μ ≤ x+ Z α 2 √n 2 √n
x−Z α
24−1,96
6 6 ≤ μ ≤ 24+1,96 √ 49 √ 49
22,32≤ μ ≤25,6 8
σ σ ≤ μ ≤ x+ Z α 2 √n 2 √n
x−Z α
30−1,96
6 6 ≤ μ ≤30+ 1,96 √ 49 √ 49
28,32≤ μ ≤31,6 8
∴22,32 ≤ μ ≤ 31,6 8
26. Estimasi Interval 1. Pabrik memproduksi baterai handphone, dari produksi tersebut berat baterai adalah 101, 99, 95, 96, 101, 99, 102, dan 95 gram. Berapakah estimasi titik baterai handphone tersebut dengan selang kepercayaan 95%
α =1−99 =1 =0.01 0.01 =0.005→ 3.499 tabel distribusi T 2 n=8 ´x =
σ=
√
101+ 99+95+96 +101+ 96+102+94 =98 8 2
2
2
2
2
2
2
( 101−98 ) + ( 99−98 ) + ( 95−98 ) + ( 96−98 ) + ( 101−98 ) + ( 99−98 ) + ( 102−98 ) + ( 95−98 ) 8−1
σ =¿ 2.8
Sehingga estimasi diperoleh :
X Z1 / 2
98−3.499×
2,8 2,8 < μ< 98+ 3.499× √8 √8
X Z1 / 2 n n 98−3,46< μ<98+3,46
94,54< μ< 101,46
2. Diketahui didapat nilai 70;75;80;62;65;75;70;63 dari nilai ulangan 8 orang mahasiswa. Tentukan selang kepercayaan 99% dari rata-rata nilai nilai tersebut: Jawab:
n=8
2
´x =70 σ =6
α =1−99 =1 =0.01 0.01 =0.005→ 3.499 daritabel distribusi T 2
( √σn ) ≤ μ ≤ ´x+ z ( √σn ) ¿ 70−3.499 ( √68 )≤ μ≤ 70+3.499 ( √68 ) ´x −z
1−
α 2
1−
α 2
¿ 70−7.49 ≤ μ ≤ 70+7.49 ¿ 62.51≤ μ ≤77.49 3. Isi kaleng asam sulfat adalah 9,8; 10,2; 10,4; 9,8; 10,0; 10,2; 9,6; & 10 liter. Tentukan selang kepercayaan 99% bagi nilai tengah isi semua kaleng , bila isi kaleng itu meyebar normal! Jawab: n= 8
´x =
9,6+9,8+ 9,8+10+10+10,2+10,2+10,4 8
σ=
√
= 10
( 9,6−10)2 +(9,8−10)2 +(9,8−10)2 +(10−10)2+(10−10)2 +(10,2−10)2+(10,2−10)2+(10,4−10)2 8−1
σ = 0,261 α
= 1-99%= 1%= 0,01
α 2 = 0,005 v =n−1=8−1=7
tα 2
´x
= 3,499 → dilihat dr table distribusi t
-
tα 2
.
10,0 – 3,499.
σ √n
≤µ≤
0,26 ≤ µ≤ √8
´x
+
tα 2
.
10,0 +3,499.
σ √n 0,26 √8
10,0 – 0.321 ≤ µ ≤ 10,0+ 0.321 9,68 ≤ µ ≤ 10,32 4. Seorang pengusaha ingin mengestimasi waktu rata-rata yang dibutuhkan oleh sebuah mesin untuk memproduksi LED. Suatu sample acak berjumlah 55 menunjukkan bahwa rata-rata waktu yang dibutuhkan adalah 4 menit, standar deviasi dari waktu produksi 2 menit. Berapa estimasi yang dapat ditentukan dengan tingkat kepercayaan 99%? Diketahui: a.
n=55
b.
´x =4
c.
σ =2
d.
α =1−0,99=0,01
Jawab:
Z
α 0,01 =0,5− =0,495 2 2
Z
α =2,575 2
(dilihat dari table normal)
σ ´ +Z α σ X´ −Z α ≤ μ≤ X 2 √n 2 √n
4−2,575
2 2 ≤ μ ≤ 4 +2,575 √55 √ 55
3,305 ≤ μ ≤ 4,694 5. Jumlah flipflop dalam beberapa IC adalah : 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 10. Tentukan selang kepercayaan 98% bagi nilai tengah jumlah flipflop. Jawab : n = 10
´x
=
3+ 4+ 5+5+6+7+ 8+8+ 8+10 10
= 6,4
σ
=
√(3−6,4 )2 +(4−6,4)2 +2(5−6,4)2 +( 6−6,4 )2 +(7−6,4)2+ 3(8−6,,4)2+(10−6,4)2 =¿ 10−1
4,71
α
= 1-98% = 2% = 0,02
t.
α 2
≤µ≤
´x
V = n -1 = 10 - 1 = 9 ,
´x
-
z
1−
α 2
.
6,4 – 0,1879.
64 – 0,3
≤μ≤
σ √n 4,71 √10
≤μ≤
α 2
= 0,01
= 0,1879 table distribusi t
+
z
1−
α 2
σ √n
.
6,4 + 0,1879.
64 + 0,3 6,1
≤μ≤
4,71 √ 10
6,7
6. Seorang manajer ingin mengestimasi waktu rata – rata yang dibutuhkan oleh sebuah mesin untuk memproduksi baut. Suatu sampel acak berjumlah 40 menunjukan bahwa rata – rata waktu yang dibutuhkan adalah 3 menit standar deviasi dari waktu produksi 1,5 menit. Berapa estimasi yang dapat ditentukan dengan tingkat kepercayaan 90% Jawab :
n = 40
´x =3 σ =1,5 α =1−90 =0,1 Z α =0,5− 2
0,1 =0,45 2
Z α =1,645 → dilihat denganmenggunakan tabel normal 2
σ ´ +Zα σ X´ −Z α ≤ μ≤ X 2 √n 2 √n 3−1,645
1,5 1,5 ≤ μ ≤3+1,645 √ 40 √ 40
2,60 ≤ μ ≤ 3,39 7. Seorang mahasiswa memeriksa suatu pengukuran nilai tegangan LED pada rangkaian Runing LED masing masing adalah: 2,3 2,3 2,2 2 1,8 1,9 2 2,1 1,8 2,1 2,1 1,9 Diketahui tingkat kepercayaannya adalah 95%. Tentukan estimasi rata-rata dari pengukuran ini!
¿
1,8 ( 2 ) +1,9 ( 2 )+ 2 ( 2 ) +2,1 ( 3 ) +2,2+2,3(2) =2,04 12
s=c
√
M
f
u
f .u
f . u2
1,8
2
−0,48
−0,48
0,2304
1,9
2
−0,28
−0,28
0,0784
2
2
−0,4
−0,8
0,64
2,1
3
0,06
0,18
0,0324
2,1
1
−0,16
−0,16
0,0256
2,3 Ʃ
2 Ʃn=12
0,26
0,52
0,2704
Ʃ f .u 2 Ʃ f .u − N N
(
C=1+3,3 log12 ¿ 1+ 3,56=4,56(4)
2
)
Ʃ f . u=−1,02
Ʃ f . u2=1,2772
s=4
√
1,2772 −1,02 − 12 12
(
2
)
s=4 √ 0,106433−( 7,225 × 10 ) −6
s=4 √ 1064,334 ×10 −( 0,07225 ×10 ) −4
s=4 √ 1064,25775× 10−4 s=4 ( 32,622 )=130,49 ×10−2 =1,3
α =1−95 ¿ 1−0,95=0,5
1−
α 2
=
1−
0,5 =0,75 2
v =n−1=12−1=11
−tn−1 ; 0,75
1,3 1,3 ≤ ≤+tn−1 ; 0,75 √12 √ 12
2,04−( 0,69 ) ( 0,37 ) ≤≤ 2,04+ ( 0,69 )( 0,37 ) 1,78 ≤≤ 2,3
−4
Dengan kata lain seorang mahasiswa mengestimasi dengan tingkat keyakinan 95 % bahwa rata-rata nilai tegangan untuk setiap LED adalah antara 1,78 Volt hingga 2,3 Volt 8. Perusahaan HP memproduksi baterai laptop, dari produksi tersebut dipilih secara acak: 395, 398, 400, 401, 402, 397, 399, 400, 402, 403, 401, 399, 400, 398. Berapakah estimasi titik baterai laptop tersebut dengan selang kepercayaan 97% Penyelesaian :
σ =15 gram
Dik :
n=14 Dit :
Estimasi titik dengan tingkat kepercayaan 97% pada rerata berat
bersih baterai laptop? Jawab : Selang kepercayaan 97%. Maka sebagai acuan untuk
Z∝ 2
digunakan
tabel t. caranya : cari
∝ =1−0,97=0,03
Z ∝= 2
0,03 =0,015 2
n−1=14−1=13
Z ∝ =0,015 ; 13 2
Z ∝ =2,65 → dilihat dari tabel t 2
( 395+397+ 398+398+399+399+ 400+400+ 400+401+ 401+402+ 402+ 403 ) X´ = 14 ¿ 399,6 ≈ 400
√
2
2
2
2
2
2
2
( 395−400 ) + ( 397−400 ) + ( 398−400 ) + ( 398−400 ) + ( 399−400 ) + ( 399−400 ) + ( 400−400 ) 2 2 2 2 2 2 2 + ( 400−400 ) + ( 400−400 ) + ( 401−400 ) + ( 401−400 ) + ( 402−400 ) + ( 402−400 ) + ( 403−400 ) σ= 14−1 ¿ √ 4,8
¿ 2,2 Sehingga interval estimasi yang diperoleh sbb :
X Z1 / 2
360−2,65 ×
X Z1 / 2 n n
2,2 2,2 < μ<360+2,65 × √ 14 √ 14
360−1,55< μ< 360+1,55
358,45< μ<361,55
9. Pengukuran temperatur ruang pemanas 6 buah oven sejenis, yg dilakukan setelah beberapa waktu lamanya pemanasan dilakukan sampai bacaan temperatur stabil (sesuai kondisi operasi yg ditetapkan), menunjukkan nilai sbb (dalam derajat celsius): 102, 100,88, 93, 92, dan 105. Estimasikan temperatur rata-rata ruang pemanas sesungguhnya (populasi) dari oven jenis tersebut dg tingkat kepercayaan 90 % !
´x =
88+92+93+100+ 102+105 6 =
580 =96,66 6
S
√
2
2
2
2
2
2
(88−96,66) +(92−96,66) +(93−96,66) +(100−96,66) +(102−96,66) +(105−96,66) ¿ 6−1
s=
s=
√ √
75+21,7+13,4+ 11,1++28,5+69,5 5 219,2 =6,62 5
Disamping itu,
´x −t n−1; 0,1 .
α =1−90 =0,1 ,
yang mana dalamtabel t=2.01505
s s <μ<´x +t n−1; 0,1 . √n √n
96,66−2.01505
6,62 6,62 < μ <96,66+2.01505 . √6 √6
96,66−5,446< μ<96,66+ 5,446 91,2< μ<102,1 10.Pengukuran temperature 8 buah ricecooker sejenis yang dilakukan saat temperature sudah stabil mendapatkan nilai (0C) adalah 101, 88, 94, 96, 103, 88, 102, dan 95. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah temperature semua ricecooker!
n=8
´x =
σ=
√
88+88+94 +95+ 96+101+102+103 =95,9 8 2
2
2
2
σ =¿ 34,6 α =1−95 =5 =0,05 α =0,025 2 v =n−1 ¿ 8−1=7
tα =2,365 (berdasarkan tabel distribusi t) 2
Jawab:
´x
2
2
2
( 88−95,9 ) + ( 88−95,9 ) + ( 94−95,9 ) + ( 95−95,9 ) + ( 96−95,9 ) + ( 101−95,9 ) + ( 102−95,9 ) + ( 103− 8−1
-
tα 2
.
95,9 - 2,365.
σ √n 34,6 √8
≤µ≤
´x
+
tα 2
.
≤ µ ≤ 95,9 +2,365.
σ √n 34,6 √8
95,9 – 28,93 ≤ µ ≤ 95,9 + 28,93 66,97 ≤ µ ≤ 124,83 11.Berikut ini adalah nilai koefisien variansi dari berbagai jenis endapan emas 5,10 2,81 2,22 1,63 1,58 1,63 4,58 1,72 3,92 2,41 5,10 6,0 Nilai rata-rata koefisien jenis endapan dengan tingkat kepercayaan 90% dapat diestimasi sebagai……..
´x =
5,10+ 2,81+ 2,22+ 1,63+ 1,58+1,63+4,58+1,72+3,92+2,41+5,10+6,0 12 =
s=
s= s=
38,7 =3,225 12
√
2.(5,1−3,225) +(2,81−3,225) +( 2,22−3,225) +2.( 1,63−3,225) +(1,58−3,225) +(4,58−3,225) 12−1
√ √
7,03+0,17+1,01+5,08+2,9+1,84 +2,27+0,48+ 0,66+7,7 11
2
2
2
2
2
29,14 =2,65 11
Disamping itu,
´x −t n−1; 0,90 .
α =1−90 =0,1 ; 1−0,1=0,90 yang manadalam tabel t=1.79588
s s < μ< ´x +t n−1; 0,90 . √n √n
3,225−1.79588 .
2,65 2,65 < μ<3,225+1.79588 . √12 √12
3,225−1.374 < μ<3,225+1,374 1,43< μ< 4,59
12.Isi derigen bensinyaitu 8,9; 10,2; 8,4; 9,8; 9,0; 8,2; 9,6; & 10 liter. Tentukan selang kepercayaan 99% bagi nilai tengah isi semua derigen , bila isi derigen itu meyebar normal! Jawab: n= 8
´x =
8,2+ 8,4+8,9+ 9,0+9,6+ 9,8+10+10,2 8
= 9.3
σ=
√
( 8,2−10)2+(8,4−10)2 +(8,9−10)2+(9−10)2+(9,6−10)2+(9,8−10)2 +(10−10)2 +(10,2−10)2 8−1
σ = 1.1 α
= 1-99%= 5%= 0,01
α 2 = 0,005 v =n−1=8−1=7
tα 2
´x
= 3,499 → dilihat dr table distribusi t
tα
-
2
.
10,0 – 3,499.
σ √n
≤µ≤
0,26 ≤ µ≤ √8
´x
+
tα 2
.
10,0 +3,499.
σ √n 0,26 √8
10,0 – 0.321 ≤ µ ≤ 10,0+ 0.321 9,68 ≤ µ ≤ 10,32 13.IPK kelas TE-1 adalah 3,4 ; 3,4 ; 3,7 ; 3,0 ; 2,8 ; 3,1 ; 3,3 ;3,5 ; 2,9 ; 3,2. Tentukan selang kepercayaan 98% bagi nilai tengah IPK kelas TE-1 ! Jawab : n = 10
´x
=
σ
=
√
2,8+ 2,9+3,0+3,1+3,2+3,3+3,4+ 3,4+3,5+3,7 10
2
= 3,23
(2,8−3,23)2 + ( 2,9−3,23 ) +(3,0−3,23)2 +(3,1−3,23)2+(3,2−3,23)2 +(3,3−3,23)2 +(3,4−3,23)2 +(3,4− 10−1
= 0,849 α = 1-98% = 2% = 0,02
α 2 tα 2
= 0,01
= 0,1879 (dilihat dari tabel distribusi)
´x
-
tα 2
.
0,849 √10
≤ µ≤
´x
tα 2
+
.
0,849 √ 10
3,18 ≤ µ ≤ 3,28 14.Seorang mahasiswa sedang melakukan pengukuran nilai tegangan pada beberapa powerbank, yang diketahu sebagai berikut: 5 9 5,3 12 5,2 5 9 5,2 12 5,3 6 9 Diketahui jika tingkat kepercayaan penukuran adalah 90%. Tentukkan estimasi rata-rata dari pengukuran ini! Diketahui:
´x =
5+5+5,2+5,2+5,3+5,3+6+ 9+ 9+9+12+12 =7,3 12
f
5 5,2 5,3 6 9 12 Ʃ
2 2 2 1 3 2 Ʃn=12
σ =s
s=
s=
M
√
√
2
2
2
2
2
2
( 5−7,3 ) ∗2+ ( 5,2−7,3 ) ∗2+ ( 5,3−7,3 ) ∗2+ ( 6−7,3 ) + ( 9−7,3 ) ∗3+ ( 12−7,3 ) ∗2 12−1
10,58+8,82+8+1,69+8,67+ 44,18 =2,7 11
α =1−0,9=0,1
α =0,05 2
α z =0,5−0,05=0,45=1,645(berdasarkan tabel normal) 2
Jawab:
σ ´ +Z α σ X´ −Z α ≤ μ≤ X 2 √n 2 √n 7,3−1,645
2,7 2,7 ≤ μ ≤7,3+ 1,645 √12 √ 12
6,02≤ μ ≤ 8,58 15.Pengukuran temperatur ruang pemanas 5 buah oven sejenis, yg dilakukan setelah beberapa waktu lamanya pemanasan dilakukan sampai bacaan temperatur stabil (sesuai kondisi operasi yg ditetapkan), menunjukkan nilai sbb (dalam derajat celsius): 101, 88, 94, 96, dan 103. Estimasikan temperatur rata-rata ruang pemanas sesungguhnya (populasi) dari oven jenis tersebut dg tingkat kepercayaan 98% ! Diketahui : n= 5
´x =
88+94+ 96+101+103 5
σ=
σ= α
√
= 96,4
(88−96,4)2+(94−96,4)2 +(96−96,4)2 +(101−96,4)2 +(103−96,4)2 5−1
141,2 =35,3 4 = 1-98%= 2%= 0,02
α 2 = 0,001 v =n−1=5−1=4
tα 2
= 7,173 → dilihat dr table distribusi –t
Jawab :
´x
tα
-
2
σ √n
.
≤µ≤
35,3 ≤µ≤ √5
96,4 – 7,173.
´x
+
tα 2
.
96,4 +7,173.
σ √n 35,3 √5
96,4 – 112,6 ≤ µ ≤ 96,4 + 112,6 16,2 ≤ µ ≤ 209 16.9 mahasiswa IKI 3 dipilih secara acak untuk di nilai hasil ulangan Matematika Tekniknya 90 80 95 85 45 50 40 30 35 Nilai rata-rata ulangan Matematika Teknik dengan tingkat kepercayaan 99% dapat diestimasi sebagai……..
´x =
90+80+ 95+ 85+45+ 50+40+30+ 35 9 =
550 =61,1 9
√
2
2
2
2
2
2
2
(90−61,1) +(80−61,1) +( 95−61,1) +(85−61,1) +(45−61,1) +(50−61,1) +(40−61,1) +(30−6 s= 9−1
s=
√
835,21+357,21+ 1149,21+571,21+ 259,21+ 123,21+ 445,21+967.21+681.21 8
5388.89 =¿ 8 25.95 s= √¿ α =1−99 =0,01 ; lalu dibagi 2 menjadi 0,005 v =n − 1 = 9 – 1 = 8 Hasil dalam table t = 3.355
´x −t n−1; 0,005 .
s s < μ< ´x +t n −1 ;0,005 . √n √n
61,1−3,355.
25,95 25,95 < μ<61,1+3,355. √9 √9
61,1−29< μ< 61,1+ 29 32,1< μ<90,1 17.
Lima buah baterai dipilih secara acak untuk menguji berapa lama
ketahanannya.
1=¿ 160 hari ; x2=160hari ; x 3=165 hari ; x 4=175 hari ; x5 =180 hari. x¿ Buatlah pendugaan interval rata-rata ketahanan baterai dengan tingkat keyakinan 95%! Jawab :
X´ =168 S=9,083 X´ −t
α 2,n −1
168−t
α 2,4
S S ≤ μ ≤ X´ +t α √n 2,n−1 √ n
9,083 9,083 ≤ μ ≤ 168+t α √5 2,4 √ 5
18.berikut merupakan hasil pengukuran tegangan pada rangkaian flip flop dengan Vsumber= 10V 5,2 5,2 5,5 5 5,5 5,2 5,3 5,2 5 5,5 5,4 5,4 Nilai rata-rata hasil pengukuran tegangan flip flop dengan tingkat kepercayaan 90% dapat diestimasikan sebagai …
´x =
5,2+5,2+5+ 5,5+ 5,5+5,2+ 5,3+5,2+ 5+5,5+5,4+5,4 =5,3 12 s= √ 2[5−5,3 ]+4 [ 5,2−5,3 ] + [ 5,3−5,3 ] + 2 [ 5,4−5,3 ] +3[5,5−5,3] 12-1
√
0,36 s= =0,032 11 Disamping itu,
α =1−90 =0,1; 1−0,1=0,9
Yang mana dalam table t = 1,3634
´x −tn−1 ; 0,90. 5,3−1,3634
s s < μ< ´x +tn−1 ; 0,90. √n √n
0,032 0,032 < μ <5,3+1,3634 √ 12 √12
5,3−0,0126 < μ<5,3+0,0126
5,2874< μ<5,3126 19.Suatu praktik pengukuran tegangan rangkaian elektronika yang dilakukan oleh seorang mahasiswa menghasilkan data sebagai berikut 5 4,8 4,9 5,1 5,2 5 4,7 5,3 4,6 5,4. Tentukan selang kepercayaannya sebesar 98%! Jawab :
X=
5+ 4,8+4,9+ 5,1+5,2+5+ 4,7+5,3+ 4,6+5,4 =5 10
s=
√
(5−5)2+(5−4,8)2+ …(5−5,4)2 =0,258 10−1
∝=1−98 =0,02
∝ =0,01 2 Pada table nilainya adalah 2,821
¿ 5−2,281 ×
0,258 0,258 ≤ μ ≤5+1,285 × √ 10 √10
5−0,186≤ μ ≤5+ 0,186
4,814 ≤ μ ≤5,186 20.Sebuah pabrik elektronik memproduksi beberapa komponen elektronika,salah satunya resistor. Dari produksi beberapa resistor, diambil secara acak resistor dengan nilai : 10 10 4,7 5,1 12 1,0 1,0 9,1 10. Berapakah estimasi titik resistor tersebut dengan selang kepercayaan 98%? n=9
´x =
1,0+ 1,0+4,7+ 5,1+ 9,1+10+10+10+12 9
= 6,98
σ=
√
( 1,00−6,98)2+(1,00−6,98)2+(4,7−6,98)2 +(5,1−6,98)2 +(9,1−6,98)2 +(10−6,98)2+(10−6,98 9−1
σ = 17,13 α
= 1 - 98%
= 2% = 0,02
α 2
= 0,01
t n−1
= 2,896→ (Table distribusi t)
´x
-
t n−1 .
σ √n
6,98−¿ 2,896 .
≤µ≤
17,13 √9
´x
+
≤µ≤
t n−1 .
σ √n
6,98+¿ 2,896 .
6,98−¿ 16,53 ≤ µ ≤ 6,98 + 16,53
17,13 √9
-9,55 ≤ µ ≤ 23,51 21.Gaya gerak listrik (ggl) yang dibangkitkan oleh baterai-baterai yang diproduksi oleh sebuah perusahaan adalah sebesar 61 61 48 53 62 56 70 53 71 73 maka tentukan selang kepercayaan 93% bagi nilai tengah semua besar tegangan pada battrei untuk ggl totalnya. Penyelesaian: Data
48
53
53
56
61
61
62
70
71
73
n= 10
´x =
48+53+53+56 +61+61+62+70+71+73 608 = =60,8 10 10
σ=
√
( 48−60,8)2 +2 ×(53−60,8)2 +(56−60,8)2 +2×(61−60,8)2+(62−60,8)2 +(70−60,8)2+(71−60,8)2 + 10−1
= ¿
√
647,4 9
¿ √71,93333
¿ 8,48
α =1−99 =1 =0,01
α =0,005 2 v =n−1=10−1=9 tα =¿ 3,2498 ( dilihat dari tabel distribusi t ) 2
tα σ tα σ 8,48 8,48 X´ − ∙ ≤ μ ≤ X´ + ∙ =60,8−3,2498 . ≤ μ ≤ 60,8+ 3,2498. 2 √n 2 √n √ 10 √ 10 ¿ 60,8−8,715≤ μ ≤60,8+ 8,715
¿ 52,08≤ μ ≤ 69,515
22.Diberikan sebuah tabel hasil pengukuran ketinggian air yang dimonitoring melalui LCD 16 X 2 dengan berbasis microcontroller dengan interval konvidensi 95% hitunglah estimasi rata-ratanya! Xi(Data)
Fi
Fi.Xi
161 162 163 165 166 167 170 183 184 186 190 192 193 196 200 201
2 1 4 4 1 4 2 2 1 3 1 3 2 3 1 2
322 162 652 660 166 668 340 366 184 558 190 576 386 588 200 402
∑❑
36
6420
´ | Xi- X 17,33 16,33 15,33 13,33 12,33 11,33 8,33 5,33 6,33 8,33 12,33 14,33 15,33 18,33 22,33 23,33
Dari tabel diatas diketahui bahwa: n=36
X´
=
∑ Fi . Xi ∑ Fi
6420 36
=
= 178,33
S=
=
√ √
∑ Fi∨Xi− X´ ∨² n−1
7460,62 36
= 14,395
|
Fi| Xi-
X´
|
34,66 16,33 61,32 53,32 12,33 45,32 16,66 10,66 6,33 24,99 12,33 42,99 30,66 54,99 22,33 46,66 491,88
´ | Xi- X ² 300,32 266,67 235,00 177,69 152,02 128,37 69,39 28,40 40,06 69,39 152,02 205,34 235,00 335,98 498,62 544,29
|
Fi | Xi-
X´
|²
600,64 266,67 940 710,76 152,02 513,48 138,78 56,8 40,06 208,17 152,02 616,02 470 1007,94 498,62 1008,58 7460,62
1−α α Z 2
= 95 % = 0.05
α 2
= 0,5 –
=0.5 – 0,25 = 0,4750 =>1,96 (Lihat Pada Tabel) Ditanyakan : estimasi rata-rata?
X´ -Z 178,33 -
1,96
α 2
14,395 √ 36
.
s √n ≤μ≤
≤μ≤ 178,33 +
X´ + Z 1,96
178,33 – 4,702
≤μ≤
178,33 + 4,702
173,62
≤μ≤
183,032
α 2
.
s √n
14,395 √ 36
23.Seorang pegawai salah satu perusahaan listrik negara sedang melakukan pengukuran nilai tegangan pada sebuah gardu listrik, yang diketahu sebagai berikut:
3 3,4 3,5 3,6 6 6
6,5 6,7 7,3 9 11 15
Diketahui jika tingkat ketepatan pengukuran adalah 95%. Tentukkan estimasi rata-rata dari pengukuran ini! Diketahui:
´x =
3+3+3,5+3,5+6+ 6+6,5+6,5+7 +9+11+15 =6,6 12
M
f
3 3,5 6 6,5 7 9 11 15 Ʃ σ =s
s=
s=
2 2 2 2 1 1 1 1 Ʃn=12
√
√
2
2
2
2
2
2
( 3−6,66 ) . 2+ ( 3,5−6,66 ) .2+ ( 6−6,66 ) .2+ ( 6,5−6,66 ) .2+ ( 7−6,66 ) + ( 11−6,66 ) + (15−6,66 ) 12−1
26,79+19,97+0,87+ 0,05+0,11+18,83+69,55 =3,5 11
α =1−0,95=0,05
α =0,025 2 Z
α =2,201 2
(dilihat dari table distribusi t)
Jawab: σ ´ +Z α σ X´ −Z α ≤ μ≤ X 2 √n 2 √n 6,66−2,201
3,5 3,5 ≤ μ ≤ 6,66+2,201 √12 √ 12
4,44 ≤ μ ≤ 8,88 24.Mahasiswa PNJ sedang melakukan pengamatan mengenai usia lama pakai battrey lippo pada line follower mereka masing”, dari 100 merk batrrey lippo tersebutdi paki selama 1200 jam dan simpangan baku 200 jam , dengan interval konfideransi 95% temukan berapa rata-rata usia pakai sebenernya dri masing” batrey tersebut. Z= 100 – 95 = 5 = 5/100 = 0,05 = 0,05/2 = 0,025
2
=0,5 – 0,025 = 0,4754 Kita menggunakan tabel normal maka kita mendapatkan nilai z = 1,96
X Z 1 / 2
1200 1,96
X Z 1 / 2 n n
200 100
1200 1,96
200 100
1200 – 1,96 . 20 ≤ µ≤ 1200 + 1,96 20 = 1200 - 39,2 ≤ µ ≤ 1200 + 39,2 = 1160, 8 ≤ µ ≤ 1239,2 25.Berikut adalah nilai kapasitor dari berbagai jenis kapasitor 5,1 2,2 3,3 4,1 1,5 1,5 1,3 2,2 3,3 1,2 Nilai rata-rata kapasitansi dari berbagai jenis kapasitor dengan tingkat kepercayaan 90% dapat diestimasi sebagai
´x =
s=
s= s=
1,2+1,3+ 1,5+ 1,5+2,2+3,3+3,3+ 4,1+5,1 25,7 = =2,57 10 10
√
(1,2−2,57) +(1,3−2,57) +2(1,5−2,57) + 2(2,2−2,57) +2(3,3−2,57) +(4,1−2,57) +(5,1−2,57 10−1
√ √
1,87+1,61+2,28+0,27+1,06 +2,34+6,40 9
2
2
2
2
2
15,83 =1,326 9
Disamping itu,
´x −t n−1; 0,90 .
α =1−90 =0,1 ; 1−0,1=0,90 yang manadalam tabel t=1.79588
s s < μ< ´x +t n−1; 0,90 . √n √n
2
2,57−1.79588.
1,326 1,326 < μ< 2,57+1.79588 . √10 √ 10
2,57−0,753< μ<2,57+ 0,753
∴1,817<μ <3,323
