CONSTRUCCIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
MINISTERIO DE EDUCACIÓN Edita: © SECRETARÍA GENERAL TÉCNICA Subdirección General de Documentación y Publicaciones Fecha de edición: 2009 NIPO.: 820-09-137-0 ISBN.: 978-84-369-4766-3 Depósito Legal: M-7607-2010
Colección: AULAS DE VERANO Serie: Ciencias
CONSTRUCCIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Este libro se enmarca en los recientes desarrollos curriculares derivados de la nueva Ley Orgánica 2/2006 de Educación y en el contexto de los resultados del sistema educativo español alcanzados en las evaluaciones internacionales, en especial en el estudio PISA de la OCDE. Ambas Ambas circunstancias subrayan la importancia de las competencias en el diseño y desarrollo del currículo de matemáticas y la pertinencia de abordar su planificación y desarrollo. Las competencias básicas expresan las expectativas sobre el aprendizaje a largo plazo de los estudiantes, en particular de Educación Secundaria Obligatoria y de Bachillerato. Una de estas competencias básicas es la competencia matemática. El nuevo marco curricular establece, como meta prioritaria para el sistema educativo, la alfabetización y el uso funcional de las matemáticas por los escolares. La construcción de modelos matemáticos y la resolución de pro blemas destacan como componentes componente s de la competencia compet encia básica en matemáticas, matem áticas, establecida para guiar el aprendizaje de los escolares en esta materia durante su educación obligatoria. Herramientas matemáticas, tareas y problemas, capacidades y competencias constituyen tres referentes sobre los que se asienta la concepción funcional de las matemáticas. Las tareas y problemas abiertos requieren que el estudiante movilice sus herramientas matemáticas –conceptos, estructuras, destrezas y procedimiento proced imientos– s– y desarr desarrolle olle cierta pericia o maestría en su uso, muestre ciertas ciertas capacidades y competencias, para dar respuesta satisfactoria a las cuestiones planteadas plantea das inicialmen inicialmente te en las tareas tareas.. Los procesos de modelización y de resolución de problemas están en el núcleo de la actividad matemática y los avances recientes en educación matemática quieren reforzar su presencia en el currículo, de manera que el aprendizaje matemático de los escolares tenga en el dominio de los correspondientes procesos una de sus referencias clave. De ahí la oportunidad de documentos, seminarios, cursos y actividades dirigidos al profesorado de matemáticas de secundaria, orientados a poner en común e intercambiar experiencias, a discutir y seleccionar tareas y actividades relacionadas con la construcción y uso de modelos matemáticos y con la resolución de problemas.
Se pretende alcanzar los siguientes objetivos: 1. Reflexionar y profundizar sobre las capacidades matemáticas que contribuyen a la construcción de modelos y a la resolución de problemas, y que caracterizan estas competencias matemáticas básicas. 2. Destacar las peculiaridades de las estructuras y procedimientos del álgebra y el cálculo matemático como herramientas para la modelización y resolución de problemas de cambio y de relaciones, en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato. 3. Determinar situaciones y contextos en las que los modelos matemáticos basados en conceptos y estructuras del álgebra y el cálculo escolar, principalmente, proporcionen una estrategia adecuada de resolución de problemas. 4. Utilizar las nuevas tecnologías en la construcción de modelos matemáticos y resolución de problemas. 5. Analizar tareas matemáticas en términos de las capacidades a cuyo logro contribuyen. 6. Seleccionar y secuenciar tareas para desarrollar competencia en la construcción de modelos matemáticos y en la resolución de problemas. 7. Establecer criterios para evaluar el aprendizaje de los escolares en modelización y resolución de problemas matemáticos al término de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato. Este documento recoge las aportaciones realizadas por especialistas de distintos niveles educativos, centradas en la construcción de modelos matemáticos y en la resolución de problemas como componentes claves de la competencia matemática, mediante las cuales se proponen tareas que contribuyen a los objetivos anteriores.
Dirección editorial del volumen Construcción de modelos matemáti-
cos y resolución de problemas: LUIS RICO ROMERO Coordinación: BECERRA SEPÚLVEDA, Mª Victoria Autores:
CAMACHO MACHÍN, Matías DE LA FUENTE MARTÍNEZ, Constantino GÁMEZ RUIZ, José Luis GONZÁLEZ LÓPEZ, Mª. José JARA MARTÍNEZ, Pascual MARÍN DEL MORAL, Antonio ORTEGA DEL RINCÓN, Tomás RECIO MUÑIZ, Tomás Jesús RICO ROMERO, Luis RUIZ HIDALGO, Juan Francisco
ÍNDICE
Currículo de matemáticas y marco de competencias................................... 11 Luis Rico Romero Funciones a trozos: splines. Áreas y primitivas “esa misteriosa relación” ...... 27 José L. Gámez Ruiz El desarrollo de la actividad matemática con estudiantes de Bachillerato, mediante el uso de la tecnología para la resolución de problemas. Algunos ejemplos........................................................................................................ 43 Matías Camacho Machín Modelización matemática y contenidos matemáticos .................................. 69 M. Camacho, J.L. Gámez, M.J. González, T. Recio Experiencias y reflexiones en torno al desarrollo de la competencia de Modelización matemática en Secundaria con apoyo de las Nuevas Tecnologías................................................................................................... 77 Antonio Marín del Moral Modelos matemáticos, resolución de problemas y proceso de creación y descubrimiento en matemáticas. Conexiones y aprovechamiento didáctico en secundaria ............................................................................... 123 Constantino de la Fuente Martínez
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Modelización y resolución de problemas en el aula .................................... 155 Juan Francisco Ruiz Hidalgo Modelización y construcción de enunciados. Un camino de ida y vuelta por las esferas de Dandelín .......................................................................... 197 Tomás Ortega del Rincón Desarrollo de la competencia en resolución de problemas ......................... 231 Pascual Jara Martínez Aspectos didácticos de la modelización matemátic ..................................... 275 M.J. González, P. Jara, T. Ortega, J.F. Ruiz
Ediciones del Instituto de Formación del Profesorado, Investigación e Innovación Educativa ................................................................................... 285
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CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS Y MARCO DE COMPETENCIAS Luis Rico Romero Universidad de Granada
1. LA LOE Y LAS COMPETENCIAS 2. LAS EXPECTATIVAS DEL APRENDIZAJE 3. LAS COMPETENCIAS, UN PROYECTO EUROPEO 4. LAS CLAVES DE LAS COMPETENCIAS 5. NOCIÓN DE COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL ESTUDIO PISA REFERENCIAS
1. LA LOE Y LAS COMPETENCIAS La Ley Orgánica 2/2006 de Educación (LOE) introduce innovaciones en el marco curricular para la Educación Obligatoria, que suponen cambios im portantes respecto a lo establecido por la Ley Orgánica 1/1990 de Ordenación General del Sistema Educativo (LOGSE).
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Quizás, uno de cambios más significativos es el que afecta a la noción de currículo, al introducir la ley actual nuevas componentes en su definición: las competencias. Así, la LOGSE establecía: “Artículo 4.1: A los efectos de lo dispuesto en esta Ley, se entiende por currículo el conjunto de objetivos, contenidos, métodos pedagógicos
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y criterios de evaluación de cada uno de los niveles, etapas, ciclos, grados y modalidades del sistema educativo que regulan la práctica docente”.
Mientras que la LOE contempla: “Artículo 6.1: A los efectos de lo dispuesto en esta Ley, se entiende por currículo el conjunto de objetivos, competencias básicas, contenidos, métodos pedagógicos y criterios de evaluación de cada una de las enseñanzas reguladas”.
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La noción de competencia se presenta como pieza central, como estructura clave en la arquitectura de las reformas educativas emprendidas por la nueva Ley. Esto se aprecia en las diferentes funciones que la LOE señala para las competencias:
Integrar los aprendizajes formales con los informales y los no formales. Seleccionar los contenidos básicos e interpretar su integración. Utilizar los contenidos en diferentes situaciones y contextos. Seleccionar las tareas de aprendizaje y los criterios de evaluación. Orientar la enseñanza de las distintas materias desde una perspectiva transversal e integradora. 2. LAS EXPECTATIVAS DEL APRENDIZAJE La introducción de una nueva componente curricular modifica el planteamiento de preguntas básicas a las que da respuesta un currículo. En este caso las competencias atienden al para qué de un plan de formación, ya que se ocupan de las expectativas sobre el aprendizaje de alumnas y alumnos. Introducir competencias supone modificar el entramado de expectativas sobre el aprendizaje. “Un programa educativo, como cualquier actividad, está dirigido por las expectativas de ciertos resultados. La actividad principal de la educación es cambiar a los individuos en alguna medida: agregar conocimientos a los que ya poseen, permitirles desempeñarse en habilidades que, de otra manera, no podrían realizar, desarrollar ciertas comprensiones, intuiciones y apreciaciones. Los enunciados de estos resultados esperados se denominan corrientemente metas u objetivos educativos” (Taba, 1983).
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Para el caso de las matemáticas escolares la consideración de las competencias y, en particular, de la competencia matemática, tiene importantes implicaciones sobre la planificación de su enseñanza y para las expectativas sobre su aprendizaje. En nuestra perspectiva consideramos las expectativas de aprendizaje en el currículo de matemáticas como la denominación genérica de aquellas capacidades, competencias, conocimientos, saberes, aptitudes, habilidades, técnicas, destrezas, hábitos, valores y actitudes que, según diferentes instancias del currículo, se espera que logren, adquieran, desarrollen y utilicen los escolares. En este caso, mediante las matemáticas. Las expectativas expresan determinados usos reconocibles y deseados del conocimiento matemático, que se pueden observar o inferir a partir de actuaciones de los escolares ante tareas. Las expectativas de aprendizaje en matemáticas se sostienen en actuaciones, contenidos y tareas (Rico y Lupiáñez, 2008). Los documentos curriculares expresan comúnmente las expectativas generales sobre el aprendizaje de los alumnos mediante los objetivos generales de ciclo o etapa y los objetivos específicos de área o asignatura. Así, los objetivos específicos de matemáticas en el currículo expresan qué se espera que haga un sujeto, de una edad y nivel determinados, en situaciones que requieren el uso de unas herramientas matemáticas determinadas. Las expectativas de aprendizaje en matemáticas se concretan, en este caso, en la consecución de capacidades vinculadas con los conocimientos que se espera que adquieran los escolares durante la etapa obligatoria de su formación.
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Ser capaz de consiste en llevar a cabo ciertas acciones, desempeñar ciertas actuaciones en contextos específicos; cuando los estudiantes logran ser ca paces de hacer algo han satisfecho determinados objetivos, han cubierto unas expectativas de aprendizaje.
Los objetivos matemáticos específicos se enuncian, usualmente, como el logro de una o varias capacidades. El esquema muestra cuál es la estructura con la que se articulan los objetivos específicos:
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Capacidades
Realizar acciones o mostrar conductas que expresan la capacidad de un sujeto
Objetivo específico
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Requiere unos contenidos concretos
Se pone en juego al abordar tareas en situaciones concretas
Conocimientos específicos
Resuelve problemas en contexto
Por su parte, el término competencia se refiere a aquellos procesos cognitivos que el alumno es capaz de llevar a cabo a partir de sus conocimientos y capacidades. El concepto de competencia matemática muestra la riqueza cognitiva de esta disciplina, expresa los procesos o modos de actuación que tienen lugar por medio de los conocimientos matemáticos, no sólo por su dominio formal. Las competencias establecen otras referencias en las expectativas de aprendizaje; responden a ciclos formativos más amplios y comprensivos, a medio y largo plazo; implican el desarrollo intelectual y social de los escolares so bre campos disciplinares amplios o no convencionales. La variedad y desarrollo de procesos cognitivos se muestra al abordar tareas complejas en situaciones abiertas y dar respuesta a problemas no convencionales. Esquemáticamente visualizamos así la estructura con la que se articulan las competencias: Procesos cognitivos El dominio de diversos procesos muestra la competencia y riqueza cognitiva de un sujeto
Competencia básica Es genérica e integra y aplica diversos conocimientos Disciplinas generales
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Se pone en juego al abordar tareas complejas en situaciones abiertas Resuelve problemas en contextos no convencionales
