Consolidado Trabajo Colaborativo Calculo 2

FACULTADDEINGENIERÍAYC FACULTADDEINGENIERÍAYCIENCIASBÁSICAS IENCIASBÁSICAS DEPARTAMENTODECIENCIASBÁSICAS TRABAJOCOLABORATIVO CÁLCULOII Integrantes: YennyAlexandraArámbulaCarreño AndrésFelipeSierra AdrianJosé AdrianJosé RodríguezGazabon RodríguezGa RodríguezGazabon zabon

Ejercicio

A continua continuación ción, , se presen presenta ta un un plan plano o del del prim pr prime imer imer err piso pis piso piso o de uuna un na a casa casa en en ddos os dimens dimension iones: es: la medida medida del lado lado de cada cada cuadra cuadrado do es de un metro, metro, se omiten omiten paredesinternas,pue paredesinternas,puertasyventa rtasyventanasparafa nasparafacilitarloscál cilitarloscálculos. culos.

a.) Se quiere embaldosinar toda la casa, por esto calcula el área de la casa utilizandocomounidadelcuadradodelacuadrícula. Solución: unaformaparapoderhallareláreadebajodelacurva,seriadividiendoeláreaen triángulosigualesyluegosumandoeláreadecadaunodelosrectángulos, utilizandolasumaRiemannqueesunmétododeintegraciónnuméricaquenos permitecalcularelvalordeunaintegraldefinida fórmulaparalostriángulos: A=B.A

Basándonosenelgráficosepuededecirque:    

sepuedecalculareláreatotalsumandolasáreas1+2+3+4+5+6 lasáreas1-4-5sepuedentomarcomotriángulos lasáreas2-3sepuedentomarcomorectángulos elárea6sepuededividirenaproximadamentetresrectángulos

b.)Ahora,userectángulosparacalculareláreadelacasa,paraestorealiceel cálculovariandoelnúmeroderectángulos(cambieelnúmeroderectángulostres veces),porfavorregistrelosdatosobtenidosenlasiguientetabla. Númerodeintervalos

Estimadodelárea

Solución: Silosrectángulosloshacemoscadavezmáspequeños,elcálculodeláreasehace cada vez más exacto ysi hacemos los rectángulos infinitamente pequeños y tenemos infinitos rectángulos, la suma infinitade esos rectángulos sería elárea exactadeláreaencerradadebajodeesafunciónyseríaigualalaintegraldefinida deesafunciónparaunintervalo[a,b]: 

paranueverectángulos:



paraveintitrésrectángulos: serealizanlosmismosprocedimientosqueel puntoanteriorsoloquetomamosdiferentespuntosdependiendodeltamaño delrectángulo



paracuarentayseisrectángulos:

Númerodeintervalos

Estimadodelárea

9 23 46

46,28 48,86 46,84

c.)Uselaintegraldefinidaparacalculareláreadelacasa. Solución:

− =∫− ℎ − =∫− +24 − =∫− 2+6 − =∫− +6  =16918 =59 = 5+9 =4

 =∫−   =∫− +42  =∫− +4+2   =∫− 6 = 06 = 0+6=6  =∫  =∫  =∫

7 sin+4 2 sin+6      =cos 2 +6 =[cos1 12+6(cos0)] =cos1 +6 12  =∫  =∫  =∫

      3 sin +42 2  3      sin   2 +3+25

 3  5    =cos  6 + 2 + 2 =[cos5 1256 +725 +225cos116+ 32+52] =cos5+cos1+25 12  =∫ 5  =∫ sin +41  =∫ sin +5 =cos+5 =cos2π+10πcos5+25 =cos5 +10π26

 =+++ + =4+6cos1+6 12 cos5+cos1+25 12 +cos5 +10π26 AT=6 12 +25 13 +10π16 AT=15 56+10π AT=47,24

d.)Teniendoencuentaelítembyc¿Cuáleslamejoraproximacióndeláreadela casa?Justifiquesurespuesta. Solución: unaformadehallareláreadebajodelacurvaeshacerrectángulosdentrodela figura.Sisehacenestoscadavezmáspequeños,elcálculodeláreasehace cada vezmásexactoysisehacenlosrectángulosinfinitamentepequeñosysetienen infinitosrectángulos,lasumainfinitadeesosrectángulosseríaeláreaexactadel áreaencerradadebajodeesafunciónyseríaigualalaintegraldefinidadeesa función para un intervalo[a,b]; de igual forma se pueden hacer rectángulos por  arriba(sehaceunpromediodelasumadeporarribaydeporabajo).lasfiguras másusadassonlostrapeciosylosrectángulos