Índice I.
II.
CLASIFICACION DE LOS NUMEROS 1.1 Números naturales 1.2 Números enteros 1.3 Números racionales 1.4 Números irracional 1.5 Números imaginarios 1.6 Números complejos CONJUNTOS 1.1 ¿Cómo se determina una colección? 1.1.1 Por extensión 1.1.2 Por comprensión 1.1.3 Por diagramas de Venn Euler 1.2 Elementos de los conjuntos 1.3 Cardinalidad conjuntos iguales y equivalentes 1.5
Conjuntos “Un conjunto es la reunión en un todo de objetos de nuestra intuición o de nuestro pensar, bien determinados y diferenciables los unos de los otros. Georg Cantor (1845-1918)” Antecedentes históricos
Georg Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo xix y principios del xx. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos. El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell, y más tarde varios matemáticos encontraron más paradojas, incluyendo al mismo cantor. Russell descubrió su paradoja en 1901, y la publicó en un apéndice de su libro "principios de las matemáticas". Cuando los matemáticos supieron de esta paradoja, muchos se preguntaron si las matemáticas en realidad eran consistentes, y sobre todo verdaderas, ya que cualquier suposición matemática podía basarse en una teoría inconsistente. La primera propuesta para solucionar el problema de las paradojas provino de un matemático holandés llamado Brouwer, quien propuso una redefinición radical de todas las matemáticas y prometió una solución al conflicto. El programa de Brouwer se basaba en lo más simple de la intuición: el aceptaba los conceptos que son aparentes a la intuición general. Esta filosofía rechazaba muchos principios fundamentales de las matemáticas, pero en cambio, solucionaba satisfactoriamente el problema de las paradojas. Particularmente Brouwer rechazaba el principio del medio excluido, el cuál decía que los elementos de un conjunto o bien tienen una propiedad a o no la tienen, lo cuál sería la negación de la propiedad a. A esta corriente de pensamiento se le llamó intuicionismo. Por otro lado, david hilbert se opuso al intuicionismo y aunque no toleraba las paradojas, no estaba dispuesto a ver las matemáticas mutiladas. En 1904 propuso la teoría de la prueba, la cuál era una teoría de la lógica independiente del contexto y podría ser aplicada a las matemáticas sin encontrar paradojas. Russell a su vez desarrolló su teoría de los tipos para evitar las paradojas. El proponía que los enunciados se acomodaran jerárquicamente. Russell publicó sus resultados en 1908 con la colaboración de Alfred North Whitehead. La cuarta respuesta a la paradoja fue de Ernst Zermelo en 1908 con la axiomatización de la teoría de conjuntos. La mejor prueba de que la teoría de conjuntos no ha logrado unificar a las matemáticas es que éstas se han ramificado en áreas muy diferenciadas, como la aritmética, el álgebra, la trigonometría y geometría; también se han separados distintos campos como el cálculo, la topología, la teoría de conjuntos, la teoría de los números y la estadística.
Simbología Éstos son los símbolos que se utilizaron en el capítulo: { }
Conjunto.
€
Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.
I
Tal que.
n (C)
Cardinalidad del conjunto C.
ø
Conjunto vacío.
⊆
Subconjunto de.
˃
Mayor que.
˂
Menor que.
<=
menor o igual que.
>=
mayor o igual que.
⋂
Intersección de conjuntos.
⋃
Unión de conjuntos.
A´
Complemento del conjunto A.
=
Símbolo de igualdad.
≠
No es igual a.
...
El conjunto continúa.
⇒
Entonces.
⇔
Si y solo si.
~
No(es falso que).
∧
y
∨
o
Z
Conjunto de los números enteros.
N = Z + Conjunto de los números naturales o enteros positivos. Z+0
Conjunto de los enteros no negativos.
Q:
Conjunto de los números racionales.
R:
Conjunto de los números reales.
Origen de los números Entre los griegos, un número era una cantidad o una medida representada, por un entero natural, o por una relación de dos enteros naturales. Puede considerarse un número como una abstracción ligada a conjuntos de objetos y que se escinde, por consideración de los conjuntos infinitos, en dos conceptos diferentes. En la actualidad, se define un número como elemento de un conjunto de números que deben verificar ciertas propiedades. Así es como se han definido los conjuntos N, Z, Q, R, ó C cuya construcción se hace por etapas sucesivas a partir del conjunto N de los números naturales. La primera muestra de un registro numérico fue encontrada, en el sur de África; se trata de un hueso, el peroné de un babuino, con veintinueve muescas bien marcadas y data de, aproximadamente, 35000 años a.C. Tiene un parecido extraordinario con el “calendario de varillas” que aún se usa en Namibia para registrar el paso del tiempo. En la República Checa se encontró un radio de lobo que data de, alrededor de 30000 años a.C., marcado con cincuenta y cinco muescas en dos series de grupos de cinco. Posiblemente se trate de una lista de animales cazados. Entre los hallazgos, el más curioso es el hueso conocido como Ishango, descubierto en las orillas del lago Edwards, entre Uganda y la República Democrática del Congo, que data de aproximadamente 20000 años a.C., y aparenta ser algo más que un mero recuento, ya que, estudios microscópicos, han demostrado cierta relación con las fases lunares. Debido a la imperiosidad de predecir la luna llena, posiblemente por razones religiosas o pragmáticas que requerían la visibilidad nocturna, no es de extrañar que una de las inquietudes del hombre neolítico fuera observar el ciclo del gran reloj del cielo. De hecho, a través de la astronomía, de la astrología o de la cosmología, la observación de los cielos ha sido, sin duda, la mayor influencia en el descubrimiento de los números.
Clasificación de números
Números Naturales: Son aquellos con lo que contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal). El conjunto de los números naturales está formado por: N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Números Enteros: Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los opuestos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Los números enteros son del tipo: N = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc. Los números enteros se pueden subdividir en dos categorías, los Pares y los Impares.
Números Racionales: Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.
Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los números decimales
ilimitados no. Números Irracionales: Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Pi = 3.141592653589... Otros números irracionales son: El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos. e = 2.718281828459... El número áureo,
, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias,
Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.
Números Reales: El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por R.
Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.
La recta real A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.
Números complejos: Son aquellos formados por una parte real y una imaginaria. Un número complejo en forma binómica es a + bi. El número a es la parte real del número complejo. El número b es la parte imaginaria del número complejo.
Números imaginarios: Son aquellos formados por un radicando negativo y radical cuyo índice de este es dos. Es decir aquellas raíces cuadradas de números negativos.
Conjuntos La definición inicial de Cantor es totalmente intuitiva: un conjunto es cualquier colección C de objetos determinados y bien distintos x de nuestra
percepción
o
nuestro
pensamiento
(que
se
denominan
elementos de C), reunidos en un todo. Estos objetos reciben el nombre de elementos del conjunto. a ∈ A “significa a es un elemento del conjunto A.” a ∉ A “a no es un elemento del conjunto A.” Ejemplo: A= {1,3,5}
B={2,5,6}
Con relación a los conjuntos A y B, se advierte que: 3 ∈ A 3 es un elemento del conjunto A 4 ∉ B 4 no es un elemento del conjunto B Tendremos en cuenta que no es necesario denotar siempre con mayúsculas a los conjuntos y con minúsculas a sus elementos, ya que un conjunto puede ser a su vez un elemento de otro conjunto e incluso
podemos considerar que en nuestra teoría no hay objetos que no sean conjuntos. ¿Cómo se determina una colección?
Listar los objetos. De acuerdo con la definición intuitiva de Cantor un conjunto queda definido si es posible describir completamente sus elementos.
El procedimiento más sencillo de descripción es nombrar cada uno de sus elementos, se llama definición por extensión; es conocida la notación de encerrar entre llaves los elementos del conjunto. Por ejemplo el conjunto de los enteros pares positivos menores que 10 se expresa por medio de {2, 4, 6, 8}.
Escritura y representación de conjuntos
Forma enumerativa o por Extensión
Se enlistan los elementos del conjunto, si algún elemento se repite se considera una sola vez. Ejemplos: 1. Representa en forma enumerativa el conjunto M= {m ∈ N | m˂5 Solución El conjunto se lee: Los números naturales que son menores que 5 y su representación en forma enumerativa es: M= {1, 2, 3,4,} 2.
Representa en forma enumerativa el conjunto: A= {x ∈
x+8=10}. Solución
Z
|
Este conjunto lo forman los números enteros que sumados dan 8 como resultado 10, por tanto su forma enumerativa es: A= {2} Ya que 2+8=10 Ejemplos: Los siguientes conjuntos están definidos por extensión. (a) El conjunto de las vocales del alfabeto. A = {a, e, i, o, u} (b) El conjunto formado por los números enteros pares no negativos y menores que diez. B = {0, 2, 4, 6, 8} Ejemplos: Definir por extensión los siguientes conjuntos. (a) El conjunto de los enteros no negativos menores que cinco. (b) El conjunto de las letras de mi nombre. (c) El conjunto cuyo único elemento es el primer Presidente de Gobierno de la democracia. (d) El conjunto de los números primos entre 10 y 20. (e) El conjunto de los múltiplos de 12 que son menores que 65. Solución (a) A = {0, 1, 2, 3, 4} (b) B = {p, a, c, o} (c) C = {Adolfo Suárez} (d) D = {11, 13, 17, 19} (e) E = {12, 24, 36, 48, 60}
Ejemplo 1.3 Definir, por extensión, los conjuntos siguientes: (a) A = {x : x ∈ Z ∧ 3 < x < 12} (b) B = {x : x es un número de un dígito} (c) B = {x : x = 2 ∨ x = 5} Solución (a) A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} (b) B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (c) C = {2, 5}
Nota 1.1 Los elementos de un conjunto infinito no pueden especificarse de una forma explícita; consecuentemente, necesitaremos una forma alternativa de describir tales conjuntos implícitamente
Forma enunciativa o por comprensión
Se indican cuales elementos pertenecen al conjunto por medio de una propiedad que caracteriza a todos los elementos del mismo. Los casos anteriores los podemos expresar como: A= {sea x | x son los números dígitos El símbolo | se lee “tal que” Ejemplo: Definir por comprensión los siguientes conjuntos: (a) El conjunto de los enteros mayores que diez. (b) El conjunto de los enteros pares.
(c) El conjunto {1, 2, 3, 4, 5} Solución (a) A = {x : x ∈ Z ∧ x > 10} (b) B = {x : x ∈ Z ∧ ∃y ∈ Z ∧ x = 2y} (c) C = {x : x ∈ Z ∧ 1 6 x 6 5}
Igualdad de conjuntos Se dice que dos conjuntos A y B son iguales cuando constan exactamente de los mismos elementos, tal es el caso de: A={1,3,5,7,9} B={9,5,1,3,7] Si los conjuntos no son iguales se denominan distintos, lo cual se denota: A=B
Subconjuntos Si todos los elementos de un conjunto A pertenecen también a otro conjunto B, se dice que: A es un subconjunto de B A esta contenido en B B contiene a A Y se denota A ⊆ B
Elementos de los conjuntos Conjunto vacio El conjunto vacío o nulo lo representamos de la siguiente forma ø y es aquel que no tiene elementos.
Ø representa el conjunto vacío o nulo
Si quisiéramos representar el conjunto de los nombres de tus hermanos y sabiendo que no tienes, tendríamos lo siguiente: H= { }= ø
Conjunto Universal Si dada una cantidad determinada de conjuntos, existe otro conjunto U donde todos estén contenidos, a este conjunto U se le denomina conjunto universal de dichos conjuntos.
Conjunto Complemento Dados un conjunto universal U y un conjunto A contenido en U, se llama conjunto complemento de A ´ o A c , al conjunto de elementos en U que no pertenecen al conjunto A . U A
A c
Leyes de Morgan Las Leyes de Morgan permiten: El cambio del operador de conjunción en operador de disyunción y viceversa. Las proposiciones conjuntivas o disyuntivas a las que se aplican las leyes de Morgan pueden estar afirmadas o negadas (en todo o en sus partes). (A n B)´= A´ u B´
(A u B)´= A´ n B´
Operaciones con conjuntos Unión de conjuntos
Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, a B, o a ambos y se denomina por: A U B.
A U B= {x/x ∈A o x ∈ B}
Intersección de conjuntos
La intersección de dos conjuntos A y B , es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Y se denotan por A intersección B.
Diferencia de conjuntos
La diferencia de conjuntos A y B se representa por A – B y se define como el conjunto de elementos que pertenecen a “A” pero no a “B”.
A –B ={x/x ∈ A, x ∈ B}
Propiedades de conjuntos Propiedad Conmutativa A∩B=B∩A A∪B =B∪A Propiedad asociativa A ∪ (B ∪ C)= (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Propiedad distributiva A ∩ (B ∪ C) =(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪(B ∩ C) = (A∪B) ∩ (A ∪ C)
Capítulo 1 Ejercicios de conjuntos.
Sea U={ 1,2,3…20} A= {x/x =2n-5, n ∈ ℕ}={ 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19} B={ x/x son divisores del número 36} ={1,2,3,4,6,9,12,18} Calcular: 1. A∪B 2. A∩B 3. A´ 4. B´ 5. (A∪B)’ 6. (A ∩ B)’ 7. A’∪B’ 8. A’∩B’ 9. (A-B)’ 10. (B-A)’ 11. A’-B’ 12. B’-A’ Sean A ={1,2,3,4};
B ={2,4,6,8};
Hallar: a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B
Demuestre las leyes de De Morgan:
C ={3,4,5,6}
Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia. 2A
={
{6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},
{2,3},{8,4},{8,3},{4,3},
{6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},
{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{2,4,3},{8,4,3},{6,2,8,4},{6,2,8,3},{2,8,4,3,}, {6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }}
