ARITM TICA
4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
II. TEORÍA DE CONJUNTOS
Los conjuntos se pueden determinar de dos maneras:
1. INTRODUCCIÓN Sin duda alguna, la teoría de conjuntos, es uno de los grandes aportes al desarrollo de la matemática. No obstante que el concepto de conjunto nació junto con el concepto de agrupación en los albores de la humanidad, fue sistematizado por primera vez por George Cantor (1845 – 1918), desde entonces a pasado a formar el punto de partida del estudio formal de la matemática y las creencias que se sirven de ella. 2. CONCEPTO Se entiende por conjunto a toda agrupación de objetos reales o imaginarios, que tienen una o más características comunes, estos objetos reales o imaginarios son llamados elementos del conjunto de manera que un conjunto esta bien definido si es posible conocer todos sus elementos. 3. NOTACIÓN Generalmente se denota a los conjuntos con letras mayúsculas de nuestro alfabeto y a sus elementos separados por comas y encerrados por signos de colección (llaves, corchetes), etc. Ejm: A
do,re,mi, f a, sol,la, si
P Ecuador ,Perú,Bolivia, Arge Argenti ntina na,....Chile Chile B
a, e, i, o , u
n A
B
9;9;6;6;6;11;11;11;11;17
a; e; i; o; u 1;2;3;4;5
* OBSERVACIÓN: El orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a él. D
3,5,10,17
nB
A
.7
B
.1
.4 .6
.3 .2
A
Ejemplo: Si: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} B = {1; 2; 3} Se observa : B A: Conjunto B incluido en conjunto conjunto A. A.
A
c) Igualdad de Conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales , s i A y B tienen los mismo elementos.
x / x es una vocal vocal
Se lee: x tal que x es una vocal B
x/x
x 6
Se lee: x tal que x pertenece a los números naturales menores que 6
5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS a) Relació Relación n de Pertenencia Pertenencia ( ) Un elemento elemento pertenece pertenece ( ) a un conjunto conjunto si forma parte o es un agregado de dicho conjunto. La relación de pertenencia vincula cada elemento con el conjunto.
*g
*s *i
*a *t
4
* s es un elemento del conjunto E
b) Conjunto Unitario Es cuando tiene un solo elemento; también se le llama conjunto Singlentón Ejemplo: A = {x/x N 8 x 10} B = {satélites de la tierra} c) Conjunto Finito Es cuando se pueden enumerar o contar sus elementos en su totalidad. Ejemplo: A = {x/x N x 99} B = {los países de América del Sur} d) Conjunto Infinito Es cuando sus elementos no se pueden determinar en su totalidad. Ejemplo: A = {x/x N x 5} B = {las estrellas del universo}
Ejemplo: Si: A = {1,3,5,7,9} y B = {x/x N x impar <10} A = B
e) Conjunto Universal Es el conjunto que dentro del cual están todos los demás conjuntos, teniendo una referencia se representa por el símbolo U.
6. CLASES DE CONJUNTO
f) Conjunto Potencia Esta formado por todos los subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado. Se
a) Conjunto Vacío Es aquel conjunto que no posee elementos; también se le llama conjunto nulo. nulo. Notación: o { }. SÍMBOLO
SIGNIFICADO “Pertenece a”
*i
“No Pertenece a”
*o
B
.5
Por comprensión o Forma Constructiva: Cuando se define al conjunto enunciando las propiedades comunes que caracterizan a los elementos de dicho conjunto. Ejemplo:
*a *m
3
b) Relación de Inclusión ( ): Se dice que A está incluido en el conjunto B (A B), cuando todo elemento de A pertenece a B. Gráficamente:
10,3,17,5
E
Nos indica el número de elementos diferentes que tiene el conjunto conjunto considerado. Ejm: 8;12;17
V P
A
Obs. CARDINAL DE UN CONJUNTO (n):
A
Por Extensión o Forma Tabular: Cuando se indican a todos y a cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo:
E s pertenece a E s * t es un elemento del conjunto A t pertenece a A t A * o no es elemento del conjunto E E o no pertenece a E o * m no es elemento del conjunto A m no pertenece a A m A
Ejemplo: B = {x/x N n(B) = 0
5
B={
} y
simboliza por “P”.
Notación: Notación: P(A), se lee potencia del conjunto A. A = {a, b, c} P(A)= {{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};{a,b {{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};{a,b,c}; ,c}; } Para hallar el número de subconjuntos, se aplica la formula: 2 n, de donde “n” es el número de elementos del c onjunto. Número de subconjuntos = 2 n = 23 = 8
ARITM TICA U
7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
A
a) Uni Unión ón o Reunió Reunión n( ) Dado los conjuntos A y B se llama conjunto unión al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o B o en ambos. Notación: A B.
A
B= x/x
A
x
B
Se lee: “A unión B”
.2 .12
El conjunto: A B = {1,2,20, 28, 29, 30, 32} Gráficamente:
B
.4 .6 .9
.3 .23
U
.20
A .2
.28 c) Diferencia Diferencia ( – ) Dados los conjuntos A y B se llama conjunto diferencia (A – B) al conjunto formado S únicamente por los elementos que S pertenecen a A pero no a B. Notación: A Notación: A – B
Ejemplo:
A – B = {x/x
Sean los conjuntos: A = 2; 4, 7, 9 B = 1, 7, 4, 12, 18
A
x
B}
U
A
Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {23, 19, 26, 25, 25, 30} B = {1,9,26,23,20,18} El conjunto A – B = {19, 25, 30}
.9
A
.1 .18
.12
.25 .19
b) Inter Intersec secció ción n( ) Dados los conjuntos conjuntos A y B se llaman conjunto intersección , al conjunto formado por todos los elementos elementos que pertenecen a A y B, es decir que que sean comunes a ambos conjuntos.
A
B B = {x/x
2.- Cuántos subconjuntos subconjuntos tiene:
.1 .29 .30 .32
A = {x 2 + 1/ x Z ; -3 x < 5} Solución: x {-3 , -2; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} (x2 + 1)
Complemento de un Conjunto (A’ )
Siendo A un subconjunto cualquiera del conjunto universal U. El complemento de A Con respecto a U se define como el conjunto de elementos de U que no pertenece pertenece a A. Notación: A` Se lee: el complemento de A.
.30
A
x
Se lee: “A intersección B”
Ejemplo: A = {2, 4, 6, 9, 12} B = {3, 6, 9, 4, 20, 23} Conjunto A B = {4, 6, 9} Gráficamente:
B}
.26 .20 .23 .18 . 9
(A
Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {2, 13, 19, 28, 30} B = {1,13, 19, 20, 29, 32}
B)
Solución:
A}
Total(51) C(30)
T(22)
18
12
10 11
Gráficamente:
U
.3
d) Diferencia Simétrica ( ) Dado los conjuntos A y B , se llama conjunto diferencia simétrica a aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen al conjunto (A B) pero no al conjunto (A B). Notación: A B B = {x/x
x
3.- De un total de 51 personas 30 gustan del cine y 18 sólo del cine, 22 del teatro. ¿A cuántos no les gusta ni el c ine ni el teatro?
El conjunto: A’ = {3,5,6,7,9,11}
B
.1
* Observación: A – B B – A
A
U
{10; 5; 2; 1; 2; 5; 10; 17}
A = {10; 5; 2; 1 ; 17} Rpta : N° Sub-conj =2 n(A) = 25 = 32
Ejemplo: A = {4, 8, 10} U = {x/x N 2 < x < 12}
.11 A
Notación: A
.13 .19
A’ = {x/x
U
B
.4 .7
.30
B
Se lee: “A diferencia B”
El conjunto A B = 1, 2, 4, 7, 9, 12,18 Gráficamente:
.2
Resolviendo: a=5 b=7 Rpta : a . b = 35
(A
B)}
.4
B A
.8 .9
.10
.5 .6
.7
Rpta : 11 4.- De un grupo de 70 personas: 32 hablan inglés; 26 español; 37 francés, 6 inglés y español; 9 español y francés; 12 inglés y francés. ¿Cuántos hablan sólo un idioma? Si hay 2 personas que hablan los 3 idiomas? Solución : Total (70)
PROBLEMAS RESUELTOS C(32)
1.- Si el conjunto “A” es unitario. Halla “a.b” A= {a + b ; 12 ; 3b-2a+1} Solución: Todos los elementos = 12 a + b = 12 3b – 2a + 1 = 12 3b – 2a = 11
E(26)
16
4 10
2
13 7
18 F(37)
ARITM TICA
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02 - Resuelve ( 2 pts. c/u) 1).- Sea el conjunto A = { m ; n ; { m ; n }; 2 ;
}
1).- Si los conjunto A y B son unitarios. Halla “b - a” A = { 2a + b; 13 } B = { b + 2; 3a - b } b) 2 e) 4
c) 3
c) 7
3).-Dado el conjunto: A = {1; 2;{ 3 }; 4; { 5} } Indica cuántos son verdaderos: 1 A ( ) 2 A {4} A ( ) {3} A 2;4 A ( ) {4} A {5} {5} A ( ) A a) 1 b) 2 d) 4 e) 5
( ) ( ) ( ) ( ) c) 3
4).- Dado el conjunto A = {2; 3; 4; 5} ¿Cuántas proposiciones son verdaderas? I. II. II.
b) II y III e) II y IV
Halla a3+b4
c) III y IV
b) 30 e) 16
c) 32 d)
x A / (2x + 1), es número número primo. primo. x A ; 3x < 18
b) 4 e) 7
b) 63 e) 31
a) 230 144
II. “A” tiene 16 subconjuntos............... subconjuntos.................( ..(
)
III.“A” tiene 31 subconjuntos propios....(
)
9).- Si el siguiente conjunto C, C = {a+b, 8, 2a – 2b+4}; es unitario
M = { 2; 3; {2}; 3; 2; {2}; {3} }
si las siguientes verdaderas (V) o
I. 8 (A ( A B) II. 12 (A B) III. III. n(A B) = 11 IV. (A B) - (A B) = {1; {1; 5; 7; 7; 8;10; 8;10; 11} 11} a) FVFF d) VVFF
b) FFFF e) FVVV
c) VVVV
16).- Si los conjuntos A y B son iguales: A = {n2+1; -6} B = {2-m; 10} Halla “m+n”
c) 15
A = { x + y; 20; x – y + 10 }
c) 5
c) VFF
a) 546 b)581 c)662 d) 559 e)613 11).- ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto?
Entonces indique proposiciones son falsas(F).
a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
17).- Si los conjuntos:
I. n(A) = 5............... ................ ............... ( )
b) FFV e) VFV
A = {x-y ; 12}
12).- Si “A” es unitario, halla “x 2 + y”.
8).- Dado el conjunto: A = {x 2 + 1/x Z -3 x 4}; determínal determínalo por extensión y luego indica verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes premisas:
a) VVV d) VVF
c) 80
Son iguales, además: C = {a+2 ; 3b+7}, es unitario. Calcula : x2 + y2 + 2a - 6b
a) 127 d) 7
7).- Si los conjuntos P y Q s on iguales: P={a2+2a; b3-b}
a) 3 d) 6
b) 397 e) 206
B = {x-2y ; -3}
a) {10x – 1 / x N N x < 6} b) {10x + 9 / x N x <6} c) {10x – 1 / x N 0 < x < 6} d) {10x – 1 / x Z x < 6} e) T.A. 6).-Halla el conjunto “C” por extensión y determina cuántos subconjuntos tiene: C={x2+1/x +1/x N; -3 x 4} a) 20 64
a) 145 d) 108
15).- Si : A = {1; 3; 5; 7; 9; 12} B = {3; 9; 8; 10; 11}
10).- Si los conjuntos:
5).- Dado el Conjunto: Conjunto: E = {9; 99; 999; 9999; 99999} Determinarlo por comprensión:
Halla “a.b”, siendo a y b naturales.
A = {2x + 3y ; 10} B = {29 ; x + y} y} Son iguales. Calcula (y-x) b) 8 e) 4
x
Q={15 ; 2a }
2).- Si los conjuntos:
a) 10 d) 11
x A / , es número entero. x A ; 4x, no es múltiplo múltiplo de 4.
a) I, II y III d) I y II
Indique cuantas de las afirmaciones son falsas I. { m; n} A II. II. {{ }} III. { 2 ; } ¢ A IV. { n ; 2 } A a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
a) 1 d) 0
III. II. IV.
b) 130 e) 152
c) 235 d)
13).- Dados los conjuntos unitarios : A = {3a + 1; 7}, B = {3; b+c} y C = {2; bc} Donde: b > c Calcula : a –2b + 3c a) 2 d) 4
b) 1 e) 6
c) 3
Q={y+z ; 10}
Calcula: (x+y+z) a) 10 d) 25
b) 15 e) 30
B = {29 ; x + y} y}
Son iguales. Calcula : (y-x) a) 10 d) 11
b) 8 e) 4
18).- Si los conjuntos: G = {2a ;6}
c) 7
B = {4 ; 4b}
Son unitarios. ¿cuántos elementos tiene: A = {3a – 1; 7b; 2a + 1; ab; a + b}? a) 1
b) 4
c) 7
d) 3
e) 5
19).- Si el conjunto: conjunto: R = {2p-r ; 18 ; p+r} Es unitario, halla: (p/ r)
14).- Dados los conjuntos unitarios: P={x+y ;8} S={x+z ;12}
A = {2x + 3y ; 10}
a) 1 d) 1,5
b) 2 e) 2,5
c) 3
20).- Si a y b son números enteros y c) 20
{a2+9, b+2} = {-9, 10}
ARITM TICA Halla el menor valor de “a+b” a) 10 b) 11 d) 12 e) –10
c) -12
26).- Si: A y B son c onjuntos tales que:
E
n(A U B) = 33; n(A - B) =7;
21).- Si A = {1, 2, 3, 4 }, B = {2, 4, 6}, C = {2,4,3};
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
N
¿Cuántos elementos oper operac ació ión: n:(B (B A) – –(A C)? a) 3 d) 4
b) 2 e) 6
tiene
la
Halla: 5[n(A) ] – 4[n(B)] b) 60 e) 100
c) 48
25).- Si: A y B son dos conjuntos finitos tales que: n (A)=163 ; n(B)=158 ; n (A (A B) = 83 Halla: n (A B) a) 238 d) 400
b) 321 e) 200
x 1/ 3x 1 2
a) 3 d) 4
N, x 17
b) 5 e) 1
c) 404
A) 10 D) 23
c)10
A) 250 D) 210
CLAVES DE RESPUESTAS 2) b
3) e
4) a
5) c
6) c
7) d
8) e
9) e
10)d
11)c
12)a
13)b
14)b
15)b
16)b
17)b
18)b
19)b
20)c
21)c
22)a
23)b
24)a
25)a
26)d
27)d
05.
A) 3 4
10
x 17}
C) E)
B)
4
C) E)
B)
16
C) E)
B)
2100
B)
1
B)
256
B)
VFV
C) E)
VFF FFV
C) E)
2 1
Si: M = {1, 3, 4, 2}
08.
N {m
3 4
;
m
m
2
6}
Hallar: n[P (M N)] A) 4 D) 3
B)
6
Dados A y B dos conjuntos comparables y diferentes del vacío. Además: n [P (A) – P (B)] = 896 Hallar: n (A B)
09.
3 1
A) 14 D) 10
B)
13
C) E)
12 11
En una fiesta el 44% toman el 37% fuman además el 25% de los que toman fuman. Si no toman ni fuman 84 personas. Calcule el total de invitados.
10.
20 21
D)
A) 280 181
B)
420
C)
270 E)
132 C) E)
223 2
11.
Una persona come huevo o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de enero (31 días). Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo y tocinos? A) 15 C) 10 D) 13
C)
2 E)
12.
8
Si: n (M x N) = 63, n[P(M n[P(M N)] = 1024 n(M N) = 3, hallar el máximo número de elementos de P(M) A) 128 D) 1024
07.
B)
N
Dados los conjuntos: M = {x3 + 2 Z / – 2 < x < 5} N = {y2 – 1 Z / – 3 < y < 7} Hallar: n(M N)
D)
06.
3
Si: M = {1, {1, 2, 3, ... , 100} N = {x/x es par} Hallar n [P (M – N)]
04.
1) a
x 1
Si: A = {n 2 + 1; 10; n + m} es un conjunto unitario. Determinar la suma de los valores de k = m – n
03.
c) 1
24).- Si: n (A U B) = 30 n (A –B)=12 y n (B – A) = 8
A) 5 D) 2
27).- Indica el el número de elementos elementos del conjunto A
23).- Halla el cardinal del conjunto A, sabiendo que tiene 2048 subconjuntos. a) 10 b) 11 c) 8 d) 9 e) 12
a) 38 d) 70
c) 40
c) 2
4 < x < 6}.
{x /
Dado el conjunto A = {2, {3}, {2, 3}. 4} Cuántas proposiciones son verdaderas: • • 4 A A • • 3 {2, 3} A • • {3} A {2} A
02.
Halla: n (A) + n (B) a) 38 b) 45 d) 44 e) 48
22).- Dados Dados los los conjuntos conjuntos A={x A={x N / 2 < x < 6}, B = {x2 + 1 / x N 1 < x < 4} y C = {x - 2 / x
A) 16 D) 2
n(B - A) = 15
E = {(A – B) (A – C) –(B – C) (B – A)} Dar el número de elementos de E.
A) VVV D) FVV
Calcule el cardinal de “E”:
01.
C) E)
Sean M, N, P subconjuntos de un conjunto universal U, si M N = M N, establecer la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I. Si M N = P M entonces N = P II. M U = U III. M P = , si y solo si M = P
13.
12
E)
14
En una pollada donde hay 100 personas, se sabe que 40 no tienen hijos, 60 son hombres. 10 mujeres están casadas y 25 personas casadas tienen hijos, hay 5 madres solteras. ¿Cuántos hombres son padres solteros?. Si se sabe qu e todas las personas casadas tienen hijos. A) 15 C) 30 D) 20
512 16
B)
B)
10
E)
50
Si: n (M) = 7x ; n (R) = 9x n(M R) = 5x + 3; además: n(M R) = 63 Calcular: n [(M R) (R M’)] A) 6
B)
33
ARITM TICA C) 42 D) 21 14.
E)
15.
9
En un salón de clases hay 90 alumnos: • 32 postulan al Callao • 43 postulan a San Marcos • 29 postulan a Villarreal • 8 postulan al Callao y San M arcos • 10 postulan a San Marcos y Villarreal • 6 postulan a Villarreal y al Callao • Si 4 postulan a las tres universidades Determinar cuántos postulan a una universidad. A) 17 C) 68 D) 29
C) 40 D) 32
B)
22
E)
39
19.
sola
De un grupo de 80 personas, 27 leían el diario deportivo “Libero”, “Libero”, pero no leían “Todo Sport”, 26 leían “Todo Sport” pero no “El Bocón” y 19 leían “El Bocón” pero no “Libero”. Si 2 leían las 3
revistas mencionadas. ¿Cuántos preferían otras revistas? A) 17 C) 8 D) 6
16.
B)
E)
12
9
En la clase de primer año de la UNMSM está formado por 100 estudiantes, de estos, 40 son mujeres, 73 estudian historia y 12 son mujeres que no estudian historia. ¿Cuántos hombres no estudian historia? A) 12 C) 16 D) 19
E)
De 45 alumnos de la academia CÍRCULO, el número de los que estudian Aritmética es el doble del número de los que estudian Física y Aritmética y el número de los que estudian Física es el séxtuplo del número de los que estudian Aritmética y Física, si hay 10 que no estudian estos cursos. ¿Cuántos estudian ambos cursos? A) 3 C) 5 D) 6
20.
B)
4
E)
7
En una encuesta de 68 estudiantes, 48 aprobaron Historia, 25 Matemática y 30 Lengua; sólo 6 estudiantes aprobaron los 3 cursos. ¿Cuántos aprobaron sólo dos cursos?
A) 36 C) 25 D) 23
B)
E)
II. 3 A
25
21
32
III. {3}
1. Sean A y B conjuntos: A
{a b; a
B
{b; {b; 3b}
V. {2; 3} A {2; {2; 3} A VI.
Si A = B, calcular: a 2 – b2. A) 24 B) 27 C) 30 D) 32 E) 36
VII. 3 ; 4 VIII. 2 A B) 4 C) 5
2. Si se cumple: M = {2m + n; 17} N = {n + 1; 3m – n} Son los conjuntos unitarios. Halla: m + n. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
E)
A) 210 C) 180 D) 215
5. Si se sabe sabe que el siguiente conjunto es unitario: A = {3m – 3n + 2; m + n; 14}, determina el número de subconjuntos propios de B = {m; 2m; n; 2n – 1}. A) 31 B) 32
3. Se tiene: A
{(3x 1)
15
B
{( x
E)
21
Calcular: n [P(B – A)]
18.
B)
250
E)
285
De 70 personas se conoce, 7 mujeres tienen 16 años, 15 mujeres no tienen 17 años, 22 mujeres no tienen 16 años, 15 hombres no tienen ni 16, ni 17 años. ¿Cuántos hombres tienen 16 ó 17 años? A) 26
B)
30
D) 6 7
C) 15
B)
En una reunión se observa que el 70% de las personas hablan castellano, 120 ingles y el 10% hablan inglés y castellano. ¿Cuántas personas hablan castellano?
A
A) 3
/1 /x
x
2}
10)}
E) 6.
A) 2 17.
A
IV.
b; b2 }
A
B) 4 C) 8 D) 16 E) 32
D) 63 7 a,b / a 2
A
b2
90, a
b2 , a y b
, halla el número de elementos del conjunto A. A) 3 B) 4 C) 8 D) 2 E) 1
4. Dado el conjunto: A = {2; {3}; {2; 3}; 3; 4} ¿Cuántas de las siguientes propo-siciones son verdaderas? I.
2
A
7.
Si
B
X/
2x 1 3
halle card. (B). A) 16
z ;
2x 1 5
7 ,
ARITM TICA B) C) D) E)
17 6 5 7
11. Determina la suma de elementos del siguiente conjunto: A
8. Dados los conjuntos binarios: A B
6; a b; a b;16 a2
b2 2
; cd; c
y d ,
hallar: c – d. A) 1 B) 2 C) 3
nB
n2
y/y
/x
Z;
2
;
z / z 1 m; m; m
Indicar: n P
A) B) C) D) E)
1; n
2
R
x
4
n R
3 n
5
;m 4 n P
R
11 12 8 10 9
NIVEL III
2
es igual a A) B) C) D) E)
1
3 18 25 17 16 P
9. Si A es el conjunto conjunto formado por los subconjuntos unitarios unitarios de B y además, el número de sub-conjuntos de A más el número de subconjuntos de B es igual a 128 entonces: 1
1
x2
12. Dados los conjuntos:
D) 4 E) 5
n A
A) B) C) D) E)
x4
256 512 125 343 625
10. Dados: A
a2
b2
B
2
1; d
c
c 2 ;d e
e
4 ;5
Si A = B; A es unitario, c > a > b y son no negativos. Halla: a + b + c + d x e. A) 9 B) 6 C) 8 D) 7 E) 10
13. El conjunto A tiene 2 elementos menos que el conjunto B, que, por cierto, posee 3072 subconjuntos más que A. ¿Cuál es la máxima cantidad de elementos que puede tener A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26 14. Halla la suma de los elementos de F: F
A) B) C) D) E)
111 113 115 117 119
x/
x 1 2
Z ;x
73
