RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
2011
CONJUNTOS
UNIÓN DE CONJUNTOS: La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como: A U B = {x / x A o x B} En forma gráfica veamos t res casos diferentes:
elementos comunes
elementos comunes
conjunto pertenecen pertenecen a otro conjunto
Cuando no tienen
Cuando tienen algunos
Cuando todos los elementos de un
INTERSECCIÓN DE CONJUNTO: Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota denota por A B, que se lee: A intersección intersección B. B. La intersección intersección de A y B también se puede definir:
A B = {x / x
Ay x
B} y mediante mediante un diagrama diagrama de Venn-Euler Venn-Euler::
Cuando no tienen elementos comunes
Cuando tienen elementos comunes
Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen pertenecen a otro conjunto
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO: Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A ' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se
expresa: A’ = {x/x
U y x
A}
a) Sean U = {m, a, r, t, e}
y
A = {t, e}
En forma gráfica:
Su complemento de A es: A' = {m, a, r}
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DIFERENCIA DE CONJUNTOS: Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:
A - B = {x / x
Ayx
B}
Mediante un diagrama de Venn - Euler:
Cuando no tienen elementos comunes
Cuando tienen elementos comunes
DIFERENCIA SIMETRICA: Se llama diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, pero no a ambos.
Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto
Mediante un diagrama de Venn - Euler:
:
Casos especiales:
La diferencia de un conjunto consigo mismo es el conjunto vacío. Si un conjunto A está incluido en otro B: - La diferencia A - B es el conjunto vacío. - La diferencia B - A es igual al complemento de A respecto de B.
Si: A= {1; 2; 3; 4} y B= {3; 4; 5; 6; 7} Entonces: A UB= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} A B= {3; 4} Luego: n(A)= 4; n (B)= 5; n(A UB)=7; n(A B)=2 Se comprueba que: n(A UB)= n(A) + n (B) - n(A B) 7=4+5-2
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PROBLEMAS CON CONJUNTOS
I.
INTRODUCCIÓN: Desde que se tratan los primeros conceptos en matemática se utilizan palabras como: todos, algunos, ninguno, etc.... con los cuales nos podemos referir a agrupaciones que satisfacen una propiedad. Posteriormente estas agrupaciones se representan utilizando el lenguaje simbólico de la matemática. Resolver problemas de conjuntos implica un conocimiento previo de las operaciones básicas de unión, intersección, diferencia y complemento. El análisis de estas situaciones se representaran gráficamente utilizando diagramas de Venn, para así poder apreciar las relaciones establecidas que se den acuerdo a la lectura del problema que nos estén planteando. La representación gráfica utilizando para esto los diagramas de Venn es una gran ayuda “visual”; ya
II.
que se determinarán regiones o espacios en donde se colocarán los diferentes tipos de elementos que se identifiquen de acuerdo a la lectura del problema. TEORÍA BÁSICA: Muchos problemas que se presentan comúnmente en donde intervienen datos sobre estadística o resultados de encuestas, se resuelven de modo organizado, claro y preciso utilizando los diagramas de conjuntos o los diagramas de Venn. Para esto veamos una situación problemática en la que se presentan dos conjuntos. Para esto es importante que se identifique las diferentes regiones que se presentan.
Universo (total de elementos)
A
B
Región que no pertenece ni a A ni a B
Región que solo Región que pertenece Pertenece a A a A y B.
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Región que solo Pertenece a B
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Veamos un ejemplo básico que nos permitirá apreciar el proceso de solución que debemos seguir. En una encuesta realizada a 52 personas, se observa que a 26 de ellas les gusta Matemática, a 14 de ellas les gusta Historia y a 8 les guata ambos cursos. ¿A cuántas personas no les gusta ninguno de los dos cursos? Universo (total de alumnos)
En esta región están los que no gustan Matemática ni tampoco Historia Solo les gusta les gusta Matemática ambos Cursos
Les gusta solo Historia
Luego realizaremos la distribución o colocación de los datos que se extraerán de acuerdo a la lectura del problema.
U = 52
H=14
M= 26 18
8
6
20 18 Esta región se calcula así: 52- (18+8+6)= 20
26-8=18
Les gusta ambos cursos
14-8=6
Por lo tanto: 20 son los alumnos que no les gusta ni Matemática ni Historia, por que de los 52 alumnos que en total existen, se le restó: 18 que solo les gusta matemática, 8 que les gusta ambos cursos y 6 que les gusta solo Historia. “El que estudia, estudia y no practica; es como el que ara, ara y no siembra.”
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 01 1.
Dados los conjuntos A y B señalar la n otación correcta:
7.
A = {x N/ 7 x 18}
¿Cuál es la intersección en dos conjuntos disjuntos? a. Un conjunto unitario b. c. d.
B = {x N/ 9 x 12} A) B A 2.
B) A B
C) B
A
D) B A E) B A Dados los conjuntos A y B s iguientes, ¿cuáles de las afirmaciones dadas son verdaderas? A = {17, 23,25} B = {2, 3, 23, 25, 31}
III. A IV. A B B A) Sólo IV B) Sólo I C) Sólo III D) I y II E) III y IV
¿Cuántos elementos tiene la UNIÓN los conjuntos M y T siguientes?
Dados los siguientes conjuntos:
9.
Calcular: n(AB)+n(A C)+n(BC) A) 3 B) 6 C) 9 D) 7 E) 5 ¿Cuál es el conjunto diferencia A – B si se sabe que dichos conjuntos A y B son: A= {x/x es par} B= {x/x es impar}
de
M = {7,8,9} T = {9,10,11}
Nota.- Lo que se pide también se expresa como: n (M T) A) 3 D) 6
4.
B) 4 E) 8
C) 5
B) 9 E) 13
C) 10
A = {x N/ x es par 14 x 67}
F = n(C) + n (D) – n(C D)
A) 7 D) 11
C) 7 12.
Dados dos conjuntos A y B, el número de elementos de la unión es 14 y el número de elementos de la intersección es 6. Hallar la suma del número de elementos de A más el número de elementos de B. A) 19 B) 20 C) 16 D) 21 E) 15
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2
U = {x N/ 10 x 73}
D = {x N/x=10y,y N 2 y 5} Calcular el valor de F, si:
6.
e)
11. Cuántos elementos tiene A si se sabe que:
C = {10,20,30,40,50}
B) 5 E) 6
A) 7 D) 11
C) 4
Dados los conjuntos:
A) 4 D) 8
d)
B = {x N/ 3 x 16}
E = n (P) + n (M) – n (PM)
5.
N Todos los números pares Todos los números impares
A = {x N/ 1 x 7}
Calcular el valor de E si:
B) 3 E) 8
a) b) c)
10. ¿Cuántos elementos tiene la d iferencia simétrica de (AB)?
Sean los conjuntos: P = {x N/ 1 x 5} M = {x N/ 2 x 3}
A) 2 D) 6
Más de 1 elemento AóB
A = {x N/ 1 x 9} B = {5, 6, 7, 9,10} C = {6, 7, 8, 10, 11,12}
II.Btienecuatroelementos
I.B A
3.
8.
B) 9 E) 5
C) 13
La región sombreada representa la operación: B
A
A) A B
B) A B
C) B – A
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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO D) A – B
E) A - B’
A
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B
13. La región sombreada representa la operación: C
B C
A) B
C
B) B C
D) B C’
C) B – C
I.
(A – C) (B – C)
II.
Ac
III.
B
IV.
(A – B) C
V.
(A – B) C
C
17. La región sombreada representa la operación:
E) C y D
B
14. La región sombreada representa la operación:
A P T
C A) A B C C)A –B E) C –B A) P T D) P – T
B) P T E) T - P
C) (P –T) (T –P)
15. La región sombreada representa la operación:
B)A B C D)B –C
18. De 120 amigos que tengo, 92 juegan ajedrez y 32 juegan NINTENDO. ¿Cuántos juegan ambas cosas a la vez, si todos juegan por lo menos alguno de estos entretenimientos? A) 4 B) 5 C) 3 D) 6 E) 8
U 19. En la sección del 1° grado A hay 36 alumnos, de los cuales 16 gustan del curso de Geografía y 28 gustan del curso de Historia; si todos gustan de al menos, uno de los dos cursos ¿Cuántos alumnos gustan a la vez de los dos cursos?
B
A) B - U
B) B’ – U
D) U B
E) N.A.
C) B’
16. La región sombreada representa la operación:
A) 6 D) 5
C) 7
20. Se observó en una reunión, que 46 personas usaban relojes, 24 usaban pulseras y 12 usaban ambas cosas. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión si todas llevaban al menos una de las dos prendas? A) 50 D) 46
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B) 8 E) 9
B) 58 E) 59
C) 52
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21. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son no vacíos? A ={0} D = {x/x es múltiplo de7 menor que 10} B ={} E ={x/x es solución par dex2-4=12} C= F = {x/x es un cubo perfecto entre 12 y20}
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25. La región sombreada está representada por:
Y X Z
A) C, A, F, E B) A, B, E, D C) Todos los números D) A, B, F, D E) A, D, E 22. En el siguiente diagrama, la parte rayada representa a:
A) x’ – (y z)’
B) (y z ) – x
C) x’
(y z)
D) A y B A 26. Sí: A = {2;3;5;6;7} ; B = {4;5;6} y C = {1;2;6} Entonces: ¿Cuáles son los elementos que deberían estar en la parte sombreada del diagrama?
B
A) A’
B’
B) A’
C) (AB)’ E) N.A.
C
B’
D) A – B
A
B
23. 24. Determina la expresión analítica del siguiente diagrama de Venn.
A
B
C
A) 2; 5; 6
B) 1;2;6
E) N.A.
C) 2;5 D) 5;6
27. ¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?
A) (A B ) C
B) C ( A B)
C) (A B ) - C E) N.A.
D) (A C) – B
24. 25. Indicar la operación que representa la región sombreada.
C
A
B
A B
C
A) (ABC) – C’
B) [(AB)-C]’ [(BC)-A]
C) (ABC)’ A D) B – [(B-A) (B-C)] E) [B – (AC)]’ VI.
A – ( B C )
VII.
( A B ) – C )
VIII.
( A B ) – C
A) Sólo I D) I y III
B) Sólo II E) II y III
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C) I y II
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 02 1)
En una sección de 2° año de secundaria los alumnos están pensando estudiar el próximo año HOTELERIA o COMPUTACIÓN. Si 7 estudiarán ambas cosas y 19 estudiarán HOTELERIA, ¿cuántos estudiarán solamente HOTELERIA?
2)
Si el conjunto P tiene 34 elementos, el conjunto B tiene 18 elementos y ambos conjuntos tienen 9 elementos comunes. ¿Cuántos elementos pertenecen a P pero no pertenecen a B?
3) Un grupo de personas leen revistas HOLA o MAGALY TV; se conoce que 72 leen HOLA, 51 leen MAGALY TV y 34 leen sólo HOLA. ¿Cuántas personas leen sólo MAGALY TV? 4)
Durante todas las noches del mes de octubre, GARFIELD escucha música o lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches, ¿cuántas noches escucha música y lee un libro simultáneamente?
5) Eduardo realiza un viaje mensual durante todo el año a Tarapoto o Caraz. Si 8 viajes fueron a Tarapoto y 11 viajes fueron a Caraz, ¿cuántos meses visitó los dos lugares? 6)
06. En una encuesta sobre 80 personas; 47 tienen radio, 56 tienen computadora y 5 no tienen ninguno de los dos artefactos. ¿Cuántas personas tienen computadora solamente?
7)
Cien alumnos de un colegio solicitan beca y al hacer su estudio socioeconómico se establece que 60 tienen televisor y 78 tienen radio. ¿Cuántos tienen radio y televisor a la vez si sabe además que 9 no tienen ni televisor ni radio?
8)
En un avión hay 100 personas, de las cuales 16 no fuman y 32 no juegan ajedrez. ¿Cuántas personas fuman y juegan ajedrez, si se sabe que 15 personas solamente juegan ajedrez?
9)
En el problema anterior, ¿cuántas personas ni fuman ni juegan ajedrez?
10) En un grupo de 100 alumnos, se sabe que los que solo estudian son el doble de los que estudian y trabajan a la vez y los que solo trabajan son el triple de los que hacen ambas cosas a la vez y los que no estudian ni trabajan son el doble de los que solo estudian. ¿Cuántos son los que solo estudian y solo trabajan? 11) Supongamos que la clase de primer año de una universidad está formada por 100 estudiantes. De estos, 40 son mujeres, 73 estudian Historia, 12 son mujeres que no estudian Historia. ¿Cuántos hombres no estudian Historia?
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12) Se tiene 41 personas de las cuales 15 no trabajan ni estudian, 28 no estudian y 25 no trabajan. Halla el número de personas que estudian y trabajan. 13) En una sección de 1° grado hay 25 estudiantes que saben mucho, de los cuales 13 son hombres. Si además hay 19 mujeres y 8 hombre que saben poco, ¿cuántos estudiantes hay en dicha sección?.
14) Durante todas las mañanas del mes de enero Fernando desayuna chocolate y/o leche. Si durante 19 mañanas desayuna chocolate y 15 mañanas desayuna leche, ¿cuántas mañanas desayuna chocolate con leche? 15) En un salón de 36 alumnos, se nota que 20 son mujeres, de las cuales 3 no estudian matemática. Si del total de alumnos del salón 24 estudian matemática, ¿cuántos hombres no estudian matemática? 16) En un colegio preuniversitario se encuestó a 300 alumnos dando los siguientes resultados : 208 no postulan a la UNI. 218 no postulan a la U. Católica y 140 no postulan ni a la UNI ni a la U. Católica. ¿Cuántos postulan a la UNI y a la U. Católica? 17) De un grupo de 30 personas, se sabe; que 13 conocen el español, 15 el inglés y 26 el alemán. También se sabe que 9 personas hablan sólo un idioma, mientras que hay 13 que conocen exactamente 2 idiomas. ¿Cuántas personas desconocen estos idiomas?
18) Cierto número de medallas de oro, plata y bronce es distribuido entre 100 atletas en un festival deportivo. Se sabe que 45 atletas reciben medallas de oro, 45 reciben medallas de plata, 60 reciben de bronce, 15 reciben medallas de oro como de plata, 25 atletas reciben medallas de plata y bronce, 20 reciben medallas de oro y bronce, 5 reciben de oro, plata y bronce. ¿Cuántos atletas no recibieron medallas? 19) En un salón de clases de 100 alumnos, hay 40 hombres provincianos, 30 mujeres limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 al número de hombres limeños. ¿cuántos hombres hay en elaula. ? 20) En un salón de clases: 3/5 de los alumnos usa reloj; 1/3 de los alumnos solo usa anteojos y los 2/5 usa anteojos y reloj. ¿Qué fracción de los alumnos no usa anteojos ni reloj?
Todo es posible con esfuerzo y voluntad.
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A, 58 no prefieren B y 28 no prefieren ninguno de los dos. Determinar el número de personas que prefieren los dos. A) 13 B) 12 C) 16 D) 14 E) 18
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 03
1.
De 600 bañistas se supo que 250 iban a la playa, 220 iban a la piscina, 100 iban a la playa y a la piscina. ¿Cuántos no iban a la playa ni a la piscina? A) 230 B) 250 C) 240 D) 210
E) 190
2.De un grupo de 40 personas se sabe que: 15 no estudian ni trabajan 10 estudian 3 estudian y trabajan ¿Cuántos realizan sólo una de las dos actividades? A) 20 B) 23 C) 21 D) 24 E) 22 3.
4.
De 100 personas encuestadas sobre si practican fútbol y básquet : 20 no practicaban estos dos deportes, 30 no practicaban fútbol y 60 no practicaban básquet, ¿cuántos practicaban fútbol y básquet? A) 20 B) 23 C) 30 D) 24 E) 22 De 106 personas se sabe que los que hablan sólo inglés son tantos como los que hablan inglés y francés, además los que hablan sólo francés es la quinta parte de los que hablan inglés. Si 10 personas no hablan ninguno de estos idiomas, ¿cuántos hablan sólo francés? A) 8 B)16 C)24 D) 32 E) 40
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9.
En una encuesta de 50 alumnos, 24 no llevan lenguaje y 28 no llevan matemáticas, si 14 estudiantes no llevan matemáticas ni lenguaje, determinar, cuántos estudiantes llevan exactamente uno de tales cursos. A) 14 B) 28 C) 24 D) 30 E) 20
10. Luego de los exámenes de física y química, se observó que los 2/3 del número de alumnos que aprobaron física, 1/4 aprobaron química, 1/5 aprobaron ambos cursos y 51 alumnos restantes no aprobaron ninguno de los dos cursos, ¿cuántos alumnos dieron exámenes de los dos cursos? A) 160 B) 180 C) 150 D) 140 E) 130 11. En la UNMSM existen 45 000 alumnos, de los cuales 10 000 estudian medicina, si existen 15 000 señoritas que no estudian medicina, ¿cuántos caballeros no estudian medicina? A) 20 000 B) 15 000 C) 18 000 D) 35 000 E) 32 000
5.
De 140 personas 60 no leen y 50 no escriben, sabiendo que 30 sólo leen, ¿cuántas personas leen y escriben? A) 45 B)60 C)50 D)62 E)52
12. En un colegio estudian 10 400 alumnos, de los cuales 3 600 practican sólo básquet, 2 800 practican sólo fútbol y 1500 practican ambas disciplinas. ¿cuántos alumnos no practican ninguna de estas dos disciplinas? A) 3 500 B) 2 800 C) 2 700 D) 1 800 E) 2 500 13. De un grupo de 100 personas, el 35% sólo saben cantar y el 90% canta o baila. ¿Qué porcentaje no baila? A) 35 B) 40 C) 30 D) 48 E) 45
6.
Una persona come huevos y tocino cada mañana en el mes de enero. Si come huevos 15 mañanas y tocino 19 mañanas, ¿cuántas mañanas comió un solo plato? A) 23 B) 28 C) 20 D) 24 E) 22
14. De 72 alumnos, 36 estudian en el día, 35 en la tarde y 25 en la noche. ¿Cuántos estudian en sólo dos turnos, si sólo uno estudia en tres turnos? A) 22 B)20 C)18 D) 21 E)23
7.
De un grupo de postulantes a medicina, 53 postulan a medicina o ingeniería y 37 a medicina y derecho, ¿cuántos no postulan a derecho? A) 16 B) 14 C) 15 D)2 E) 13
8.
En una encuesta realizada a 100 personas, por la preferencia de los artículos A y B; 56 no prefieren
15. De 32 personas se sabe que 13 hablan inglés, 15 francés y 26 alemán. También se sabe que 9 personas sólo hablan un idioma, mientras que hay 12 que hablan exactamente 2 idiomas. ¿Cuántas personas no hablan estos idiomas? A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5
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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO D) 7
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E) 9
16. Se reciben 80 alumnos para hacer deporte, 25 juegan fútbol, 45 juegan básquet, pero ninguno de ellos juega voleibol, estos últimos son 20, ¿cuántos juegan fútbol y básquet, si todos participan? A) 9 B) 12 C) 10 D) 13 E) 15
24. Juan realiza un viaje mensual durante todo el año a Trujillo o Cajamarca. Si 8 viajes fueron a Trujillo y 11 viajes fueron a Cajamarca, ¿cuántos meses visitó los dos lugares?
17. De 80 personas encuestadas sobre el uso de cigarrillos, se ha obtenido que 20 mujeres no fuman y de los encuestados, 44 son hombres, ¿cuántos de los encuestados fuman cigarrillos? A) 18 B) 16 C) 19 D) 15 E) 17
25. En una encuesta sobre 80 personas; 47 tienen refrigerador, 56 tienen computadora y 5 no tienen ninguno de los dos artefactos. ¿Cuántas personas tienen computadora solamente?.
18. De un grupo de personas, el 35% sólo saben cantar y el 90% canta o baila, ¿qué porcentaje no baila? A) 47% B) 46% C) 40% D) 45% E) 42% 19. En un grupo de 41 alumnos, 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan. Se pide ¿cuántos trabajan y estudian? A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5 20. En una sección de 5° grado de secundaria los alumnos están pensando estudiar el próximo año MEDICINA o COMPUTACIÓN. Si 7 estudiarán ambas cosas y 19 estudiarán MEDICINA, ¿Cuántos estudiarán solamente MEDICINA? A) 15
B) 23
D) 11
E) 16
C) 12
21. Si el conjunto A tiene 34 elementos, el conjunto B tiene 18 elementos y ambos conjuntos tienen 9 elementos comunes. ¿Cuántos elementos pertenecen a A pero no pertenecen a B? A) 25
B) 22
D) 28
E) 30
C) 24
22. De un grupo de personas que leen revistas GENTE o CARETAS, se conoce que 72 leen GENTE, 51 leen CARETAS y 34 leen sólo GENTE. ¿Cuántas personas leen sólo CARETAS? A)3 D) 7
B) 5 E) 9
C) 6
B) 5
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A) 15 D) 25
B) 7 E) 9
B) 26 E) 29
C) 5
C) 28
26. Cien alumnos de un colegio solicitan beca y al hacer su estudio socioeconómico se establece que 60 tienen televisor y 78 tienen radio. ¿Cuántos tienen solo radio si se sabe además que 9 no tienen ni televisor ni radio? A) 31 D) 38
B) 27 E) 41
C) 36
27. En un avión hay 100 personas, de las cuales 16 no fuman y 32 no juegan ajedrez. ¿Cuántas personas fuman y juegan ajedrez, si se sabe que 15 personas solamente juegan ajedrez? A) 51 B) 53 C) 54 D) 55 E) 50 28. En el problema anterior, ¿cuántas personas ni fuman ni juegan ajedrez?. A) 2 B) 4 C) 1 D) 3 E) 5 29. En un grupo de 242 alumnos, se sabe que 95 desean aprender a hablar en inglés, 82 desean aprender a hablar en alemán y 110 no desean saber nada con estos idiomas. ¿Cuántos alumnos desean aprender a hablar estos dos idiomas al mismo tiempo?. A) 37 B) 45 C) 42 D) 39 E) 40 30. Supongamos que la clase de primer año de un universidad está formada por 100 estudiantes. De estos, 40 son mujeres, 73 estudian Historia, 12 son mujeres que no estudian Historia. ¿Cuántos hombres no estudian Historia? A) 15 D) 17
23. Durante todas las noches del mes de octubre, Liliana escucha música o lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches, ¿cuántas noches escucha música y lee un libro simultáneamente? A)3
A) 6 D) 8
B) 18 E) 19
C) 13
31. Se tiene 80 personas de las cuales 6 juegan fútbol y básquet, 30 no juegan fútbol ni básquet y 20 juegan fútbol. ¿Cuántos solamente juegan básquet? A) 28 B) 30 E) 32 D) 35 E) 36
C) 6
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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 32. En una sección de 1° grado hay 25 estudiantes que saben mucho, de los cuales 13 son hombres. Si además hay 19 mujeres y 8 hombres que saben poco, ¿cuántos estudiantes hay en dicha sección? A) 38 B) 42 C) 36 D) 39 E) 40 33. Durante todas las mañanas del mes de enero Fernando desayuna chocolate y/o leche. Si durante 19 mañanas desayuna chocolate y 15 mañanas desayuna leche, ¿cuántas mañanas desayuna chocolate con leche? A) 2 D) 3
B) 5 E) 4
C) 6
34. En un salón de 36 alumnos, se nota que 20 son mujeres, de las cuales 3 no estudian matemática. Si del total de alumnos del salón 24 estudian matemática, ¿cuántos hombres no estudian matemática? A) 6 B) 9 C) 8 D) 7 E) 10 35. Se reunieron 80 estudiantes para hacer deporte, de los cuales 25 juegan fútbol, 45 juegan básquet y 20 juegan a "las escondidas" solamente. ¿Cuántos son los que juegan fútbol y básquet si solo hay 3 juegos y todos participan?. A) 9 D) 13
B) 12 E) 15
C) 10
36. De un grupo de 30 personas, se sabe; que 13 conocen el español, 15 el inglés y 26 el alemán. También se sabe que 9 personas hablan sólo un idioma, mientras que hay 13 que conocen exactamente 2 idiomas. ¿Cuántas personas desconocen estos idiomas? A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
37. Cierto número de medallas de oro, plata y bronce es distribuido entre 100 atletas en un festival deportivo. Se sabe que 45 atletas reciben medallas de oro, 45 reciben medallas de plata, 60 reciben de bronce, 15 reciben medallas de oro como de plata, 25 atletas reciben medallas de plata y bronce, 20 reciben medallas de oro y bronce, 5 reciben de oro, plata y bronce. ¿Cuántos atletas no recibieron medallas? A)1 D) 7
B) 5 E) 6
C) 2
38. En el problema anterior, ¿cuántos atletas recibieron sólo medallas de plata? A) 10 D) 8
B) 12 E) 13
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C) 11
2011
39. Tengo 100 amigos de los cuales 86 fuman puros y 35 cigarrillos. ¿Cuántos fuman ambas cosas a la vez, si todos fuman por lo menos alguna de las dos cosas? A) 25 D) 21
B) 24 C) 34 E) Enunciado absurdo
40. De 234 alumnos, se sabe que 932 quieren estudiar Medicina, 87 Derecho y 120 ninguna de las 2 carreras. ¿Cuántos quieren estudiar ambos cursos al mismo tiempo? A) 27 D) 65
B) 22 E) N.A.
C) 66
41. De 100 personas que leen por lo menos 2 de 3 Diarios (Comercio, Correo y Ojo), se observa que de ellas 40 leen Comercio y Correo, 50 leen Correo y Ojo y 60 leen Comercio y Ojo. ¿Cuántas personas leen los 3 diarios? A) 15 B) 35 C) 25 D) 55 E) 50 42. 19. En un hotel hay 51 turistas, de los cuales 26 tienen dólares, 26 tienen francos suizos y 29 tienen pesos mexicanos; 8 tienen dólares y francos suizos pero no pesos mexicanos, 6 tienen únicamente pesos mexicanos y francos suizos y 10 poseen solamente dólares y pesos mexicanos. ¿Cuántos poseen las 3 clases de moneda al mismo tiempo? A) 3 B) 5 C) 9 D) 10 E) 4 43. 20. En una encuesta, hemos entrevistado a 300 personas acerca de sus preferencias por los equipos de fútbol: Universitario, Alianza y Municipal. Los resultados son los siguientes: 130 = personas simpatizan por “Universitario”
120
=
personas
simpatizan
por
personas
simpatizan
por
“Alianza”
100
=
“Municipal”
65 = personas simpatizan únicamente por la “U” y Alianza
45 = pers. simpatizan solamente por “Alianza” y “Municipal”
35 = pers. simpatizan por “Universitario” y “Municipal” a la vez , y hay 270 personas que no simpatizan con ninguno de los 3 equipos al mismo tiempo. 44. De las personas que no simpatizan por ninguno de estos 3 equipos se sabe que 35 son hinchas únicamente del Sport Boys y el resto lo es únicamente del Deportivo Junín. ¿Cuantos son hinchas de este último equipo? A) 6 B) 3 C) 4 D) 5 E) N.A.
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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Profesor: Raúl Suarez Ruiz
2011
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