CONDICIONES DE FRONTERA Y CONTINUIDAD PARA VIGAS SUJETAS A FLEXIÓN
Mecanica de solidos ii
El cálculo de las deflexiones es una parte importante del análisis y diseño estructurales; por ejemplo, la determinación de deflexiones es esencial en el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. Las deflexiones también son importantes en el análisis dinámico, como cuando se investigan las vibraciones de aeronaves o las respuestas de edificios a sismos.
Las condiciones de frontera y continuidad se utilizan para encontrar deflexiones en vigas estáticamente determinadas, donde se utiliza la ecuación de momentos flexionantes por medio de la resolución de ecuaciones diferenciales; como son vigas estáticamente determinadas se pueden obtener los momentos flexionantes a partir de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio.
Las condiciones de frontera se refieren a las deflexiones y a las pendientes en los apoyos de una viga; por ejemplo, en un apoyo simple, la deflexión como la pendiente son cero y en un empotramiento, tanto la deflexión como la pendiente son cero. Cada una de tales condiciones de frontera da una ecuación que puede usarse para evaluar las constantes de integración.
Condiciones de frontera en apoyos simples y Condiciones de frontera en un empotramiento.
Las condiciones de continuidad se presentan en puntos donde las regiones de integración confluyen, como en el punto C de la viga en la figura. La curva de deflexión de esta viga es físicamente continua en el punto C, de suerte que la deflexión en el punto C determinada para la parte izquierda de la viga debe ser igual a la deflexión en el punto C determinada para la parte derecha. De manera similar, las pendientes encontradas para cada parte de la viga deben ser iguales en el punto C. Cada una de estas condiciones de continuidad proporciona una ecuación para evaluar las constantes de integración. Las condiciones de frontera y continuidad solas bastan para determinar las constantes de integración.
Viga empotrada en voladizo
OrigenOrigenSe identifica donde se encuentra el origen del sistema. Se deduce para fines de facilita miento que el origen sea en el empotramiento. De acuerdo a la configuración del sistema el extremo izquierdo esta fijo:
Origen
Origen
V (0) = 0 Deflexión en cero es igual a cero.
V' (0) = 0 La pendiente en 0 es igual a cero.
Sin importar cuanto se deforme, la pendiente en 0 cero deberá ser 0 cero.
El momento en el empotramiento deberá ser el momento máximo ( Mmax. ) y el momento en el extremo libre deberá ser 0 cero.
Viga Simplemente apoyada
U.S.U.S.Art.Art.En la articulación V (0)= 0 desplazamiento es igual a cero. Claro está porque el perno impide que la barra se desplace. El momento es igual a cero ya que el perno no ofrece ninguna resistencia al giro.
U.S.
U.S.
Art.
Art.
En el otro extremo las condiciones son similares:
V (L)=0 deflexión en L es igual a cero.
M (L)=0 también es igual a cero.
El origen está en el perno, ya que en la barra la carga se encuentra en la mitad y es simétrica, la curva de deflexión dirá que hay una pendiente igual a cero, V' (L/2) = 0, se deduce que en el centro habrá un momento máximo ( Mmax. ).
Estas condiciones ocurrían si en lugar de una carga puntual, hubiera una carga uniformemente distribuida sobre la viga (barra).
A B C A B C a b a bEn el caso de las deflexiones en los extremos, las deflexiones siguen siendo las mismas pero ahora referimos a una condición especial, la condición de "Continuidad".
A B C
A B C
a b
a b
De la estática reconocemos que tenemos 2 ecuaciones de momentos de A-B y B-C, entonces, si utilizáramos el método de integración sucesiva tendríamos que emplear 2 ecuaciones de momento y por lo tanto, nos darían 2 ecuaciones de deflexión y 2 de pendiente, en ese caso la continuidad de la viga en el punto B que es la unión entre el primer segmento y el segundo segmento tendría que ser igual. La pendiente medida en A de la ecuación que va de A-B tiene que ser igual a la pendiente en A medida de la ecuación de B-C, pasa lo mismo con la ecuación de deflexión.
FUNCIONES DE CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD
El método de la integración, que se usa para deducir la ecuación de la elástica para una viga o un eje, es adecuado si la carga o el momento interno se pueden expresar como función continua en toda la longitud de la viga. Sin embargo, si sobre la viga actúan varias cargas distintas, el método se vuelve de aplicación más tediosa, porque se deben plantear distintas funciones de carga o de momento, para cada región de la viga además para para integrar más funciones se requiere la evaluación de constantes de integración usando condiciones de la frontera y/o condiciones de continuidad.
Por ejemplo la viga requiere plantear cuatro funciones de momento, las cuales describen el momento en las regiones AB, BC, CD Y DE. Al aplicar la relación entre momentos y curvaturas, el d2v/dx2 =M, e integrar dos veces cada ecuación de momentos, se deben evaluar ochos constantes de integración, las cuales involucran el empleo de dos condiciones de la frontera que requieren que el desplazamiento sea cero en los punto A y E, más seis condiciones de continuidad, para pendiente y desplazamiento en los puntos B, C, D.
SEA LA FORMULA A PARTIR DE LA CARGA DE LA VGA, w=w(x), o del momento interno de la viga, M= M(x). Si la ecuación de w se sustituye en EId4v/dx4 = -w(x), y se integra 4 veces, o bien si la ecuación de M se sustituye en EId2v/dx2 = -w(x), y se integra dos veces, se determinaran las constantes de integración solo a partir de las condiciones en la frontera. Como no intervendrán las ecuaciones de continuidad, el análisis se simplifica mucho.
MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN
Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral.
El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.Recordando la ecuación diferencial de la elástica:
El producto 'E·I' se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de 'x' antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante.
Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a 'x'. Planteamos:
Donde 'C1' es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante.
Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación:
De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación De la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud 'x' de la viga.
Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior tenemos:
Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia 'x' medida desde un extremo de la viga. El término 'C2' es una constante de integración que, al igual que 'C1 ', depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.
En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:
Del apoyo en 'A' puede Establecerse:
x = LA y = 0
Y, debido al apoyo en 'B':
x = LB y = 0
Debido al empotramiento 'A':
x = LA y = 0
x = LA θ = 0
