TEOR\u00cdA ELECTROMAGN\u00c9TICA
CAP\u00cdTULO 2 CONDICIONES DE FRONTERA PARA LOS CAMPOS. 2.1 Desarrollo de las Condiciones de frontera. Frecuentemente debemos resolver problemas de campos, en los cuales se involucran dos (o m\u00e1s) regiones de diferentes materiales, y en consecuencia con diferentes propiedades de conductividad, permitividad, permeabilidad, etc. Para resolver problemas de campos electromagn\u00e9ticos que involucren una frontera entre dos materiales diferentes, necesitamos determinar las propiedades transicionales del campo, en las dos regiones en esta frontera. Estas son conocidas como condiciones de frontera. Primero consideremos el vector intensidad de campo el\u00e9ctrico . En la frontera entre dos medios diferentes, podemos descomponer el campo el\u00e9ctrico total E en una componente tangente a la superficie de la frontera, , y en una componente normal a la superficie de la frontera, , como se muestra en la figura 2.1:
Figura 2.1 Descomposici\u00f3n de E en sus componentes normal y tangencial.
Medio 1
.
Medio 2
Ahora consideremos una ruta rectangular peque\u00f1a, paralela a una secci\u00f3n de la superfici con lados de ancho \u2206 l, paralelos a la superficie, y lados de longitud \u2206h, perpendiculare la superficie, como se muestra en la Figura 2.1. Si aplicamos la 1er, ecuaci\u00f3n de Maxwell ( Ley de Faraday), en la forma integral a un peque\u00f1o contorno plana
,
, el cual consiste de lados \u2206 l y \u2206 h, los cuales rodean la supe
Ecuaci\u00f3n 2.1 obtenemos:
Ecuaci\u00f3n 2.2 En el l\u00edmite cuando \u2206 h\ u 2 1 9 2
0, el \u00e1rea de
se va a volver infinitamente p
Ecuaci\u00f3n 2.3a Ecuaci\u00f3n 2.3b Puesto que \u2206 l \u2260
0, entonces: \u00f3
Ecuaci\u00f3n 2.4
Por lo tanto, las componentes del vector de campo el\u00e9ctrico que son tangentes a la superficie de una frontera entre dos materiales, deben ser continuas (iguales) a trav\u00e9s de esa frontera. De manera similar, consideremos las condiciones de frontera para el vector densidad de flujo el\u00e9ctrico . La ley de Gauss es:
Ecuaci\u00f3n 2.5
Para evaluar esta integral en la frontera, construimos una peque\u00f1a superficie gaussiana en forma de caja.
Figura 2.2 Superficie Gaussiana para obtener las condiciones de frontera de las componente normales. Conforme la altura de esta caja se aproxima a cero, \u2206h\u2192 0, s\u00f3lo los componentes normales a la frontera contribuyen a la Ley de Gauss:
Ecuaci\u00f3n 2.6 dividiendo entre \u2206 S
Ecuaci\u00f3n 2.7 La cantidad del lado derecho cuando \u2206 h\u2192 libre en la superficie en la frontera:
0 es simplemente la distribuci\u00f3n de ca
Ecuaci\u00f3n 2.8 Por lo tanto:
Ecuaci\u00f3n 2.9
"La diferencia en las componentes vector D, en la frontera entre la dos regiones, que son normales a \u00e9sta, es densidad de la carga libre en la superficie, en esa frontera". Hay que notar que se Esta \u00faltima ecuaci\u00f3n se puede interpretar como:
asume que se aleja de la superficie,y queapunta hacia la superficie. La interpretaci\u00f3n de 2.9, en otras palabras, ser\u00eda que:
"El fllujo eléctrico neto normal entrando y saliendo de la superficie es igual a la densidad de carga positiva neta en la superficie".
Hemos obtenido condiciones de frontera para E tangencial y D normal, vamos a obtener resultados para E normal y D tangencial. Substituyendo D = ε E en 2.4:
Ecuación 2.10
Ecuación 2.11 De manera similar obtenemos las condiciones de frontera para el vector densidad de flujo magnético B, por analogía con la densidad de flujo eléctrico D:
Ecuación 2.12 La cual se puede interpretar como: los componentes del vector densidad del flujo magnético B, normales a la frontera, son continuos a través de ésta. De forma análoga a la obtención de condiciones de frontera para condiciones de frontera para H, aplicando la ley de Ampere
E, obtenemos las
Ecuación 2.13 cuando ∆ h→
0 Ecuación 2.14
donde K es cualquier densidad de corriente lineal que existe en la frontera. Las condiciones de frontera desarrolladas arriba son generales en el sentido de que no hay restricciones en las propiedades de los dos medios. Estas condiciones de frontera fueron simplemente una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, hay frecuentes e importantes casos que requieren especial atención. La mayoría de nuestras aplicaciones de condiciones de frontera serán para estos casos especiales.
2.2 Fronteras de Conductores Perfectos. El caso especial de primordial interés es el de un conductor perfecto, caso en el cual asumimos que la conductividad es infinita, σ=∞ , y la permitividad ε y la permeabilidad µ son de un valor finito. Un conductor perfecto no es tan ideal como podría parecer. Por ejemplo, hay materiales que cuando se enfrían a temperaturas cercanas al cero absoluto, (0 Kelvin ó -273 Centígrados), muestran una caída abrupta en su resistividad ( el inverso de la conductividad), hasta un valor de cero. Estos materiales son llamados superconductores. Para objeto del curso vamos a utilizar el término conductor perfecto simplemente para referirnos a un material idealizado que tenga una conductividad finita. Alternativamente, veremos que un conductor perfecto es un material idealizado que podría soportar una densidad de corriente lineal K en su superficie.
Figura 2.3 Curva de resisitividad contra temperatura en grados kelvin para un superconducto En el caso de los campos eléctricos estáticos se determinó que esencialmente no hay carga neta libre dentro de un conductor que tiene una conductividad finita, pero diferente de cero. Ciertamente, la carga libre va a existir dentro de estos conductores, pero cualquier exceso de carga se va a mover, por repulsión mutua a la superficie del conductor. El tiempo requerido para establecer el equilibrio dentro del conductor está relacionado con el tiempo de relajación, τ =ε/σ . Para el caso de un buen conductor, como el cobre, este tiempo de relajación es del orden de 10-19seg. El tiempo de relajación es el tiempo requerido para que la densidad de exceso de carga decaiga a 1/e, 37%, de su valor original; por lo tanto, estrictamente hablando, el exceso de carga requierede un tiempo infinito para caer a cero. Sin embargo, para un buen conductor, el equilibrio se va a restablecer en un tiempo relativamente corto. Para un conductor perfecto con σ=∞ , el equilibrio se establece, teóricamente, inmediatamente. Una vez que se ha establecido el equilibrio, no habrá carga neta libre en
el interior del conductor para establecer un campo eléctrico, y así conductor.
E = 0 dentro del
Para campos variantes en el tiempo podemos mostrar también que el campo eléctrico E dentro de un conductor perfecto es cero. Para demostrar esto vamos a suponer otra vez, que la conductividad relaciona la densidad de corriente J con el campo eléctrico E dentro de un conductor perfecto, en la siguiente ecuación
Ecuación 2.15 Si σ es igual a infinito, entonces ó J es cero ó E es cero. Una densidad de corriente infinita no es razonable, ya que esto implicaría ya sea que una cantidad infinita de carga está siendo transportada en un tiempo finito o que una cantidad finita de carga está siendo transportada en un tiempo igual a cero. De esta manera, concluimos que lo más razonable es que E sea igual a cero dentro de un conductor perfecto. Si suponemos que D = ε E dentro del conductor perfecto con ε finita, entonces observamos que D también es igual a cero dentro del conductor. Desde un punto de vista práctico; podemos aproximar los conductores como conductores perfectos siempre que la razón de cambio del campo sea lenta comparada con el inverso del tiempo de relajación , τ. Ahora consideraremos la ley de Faraday dentro de este conductor perfecto.
Ecuación 2.16 Puesto que E = 0 dentro del conductor perfecto, vemos que:
Ecuación 2.17 Por lo tanto, B en el conductor perfecto debe ser independiente del tiempo y en consecuencia no puede haber campo magnético variante en el tiempo dentro de un conductor perfecto. Queda, sin embargo, la posibilidad de que exista un campo magnético estático dentro del conductor. Suponiendo que B=µ H en este conductor perfecto, con µ finita, obtenemos también que H =0. Por lo tanto en un conductor perfecto, todos los campos magnéticos variantes en el tiempo son cero y el campo eléctrico es cero. Con sideremos la frontera entre dos medios
diferentes, uno de los cuales es un conductor perfecto, supongamos que el medio 1 es el conductor perfecto, σ = ∞ . En este caso las condiciones de frontera son:
Ecuaciones 2.18
2.3 Fronteras de conductividad Finita. Supongamos que los dos medios de los que hemos hablado tienen conductividad finita. En este caso, la corriente no puede existir únicamente en la frontera, sino que va a penetrar en los medios. De esta manera, suponemos que no puede existir densidad de corriente lineal aislada, en la frontera entre los dos medios, cuando ambos medios tienen conductividad finita, así que obtenemos lo que dedujimos al principio:
Ecuaciones 2.19 Donde σ 1 y σ 2 son finitas, es decir:
0 < σ 1 < ∞ Ecuación 2.20a 0 < σ 2< ∞
Ecuación 2.20b
Hay que hacer notar un punto adicional. La discontinuidad en las componentes normales de D es la densidad de carga de superficie, en la frontera. Si ambos medios son dieléctricos perfectos, entonces esta carga de superficie no pudo aparecer sin que haya sido puesta intencionalmente en la frontera. Así que podemos concluir que en la ausencia de cualquier carga provocada:
cuando
Ecuación 2.21
Ejemplo 2.1 Una interfase entre dos medios está en el pano YZ, en X=0. El medio 1 tiene
los parámetros ∈ 1 ,µ 1 y σ 1 y el medio 2 tiene los parámetros ∈ 2 ,µ 2 y σ 2.Si el vector de intensidad de campo eléctrico en la región 1, en la frontera, está dado por E 1 = α ax + β ay + δ az .Encuentre E2 si los dos medios son dieléctricos perfectos, es decir, σ 1 = σ 2 = 0.
Solución: Et 2=E t1 Si la frontera es en el plano yz, las componentes tangenciales ( a la frontera ) serán : β ay y δ az . Et 2 = β ay + δ az = E t1 Las componentes normales serán : Dn2 - Dn1 = ρ s Dn2 = ρ s + Dn1 ; ∈ 2En2 = ρ s + ∈ 1 En1 = ρ s + ∈ 1 α ax Despejando En2 = ((ρ s + ∈ 1 α ax )/∈ 2) = ρ s + ∈ 1 α ax ∴ E2 = ∈ 1 α ax + β ay + δ az + ρ s V/m .
2.4 Flujo de Potencia y Vector de Poynting.
Las unidades de E son volts/metro y las unidades de H son amperes/metro. Por lo tanto, el producto de sus magnitudes, |E||H|, tiene las unidades de V/m.A/m=VA/m2, o Watts/m2 . De esta manera, este producto implica una distribución de potencia en el campo sobre alguna superficie de área. La pregunta es ¿cómo vamos definir el producto de los dos campos vectoriales? ¿Debemos usar el producto punto E.H o el producto cruz EX H? . Aunque parece que el producto punto de los dos vectores es una posibilidad , ahora estamos interesados en el flujo de potencia , y E.H no tiene dirección . Por lo tanto, definimos el vector densidad de potencia como: W/m2 Ecuación 2.22 y vamos a mostrar que este vector se relaciona con la potencia. Este vector se conoce como vector de Poynting, toma el nombre de un físico inglés John H. Poynting, a quien se le acredita el siguiente desarrollo. Nótese que las unidades del vector de Poynting son Watts/m2 y la dirección es perpendicular al plano que contiene a E y H (de acuerdo a la regla de la mano derecha para el producto cruz). Puesto que el vector de poynting parece indicar un flujo de potencia, entonces vamos a calcular la divergencia de este vector, ∇.S. Para calcular esta cantidad, utilizamos identidad vectorial:
Ecuación 2.23 Por lo tanto obtenemos,
Ecuación 2.24 Substituyendo la ley de Faraday y la Ley de Ampere en forma puntual en el lado derecho de 2.24 obtenemos :
Ecuación 2.25 Multiplicando por -1:
W/m3 Ecuación 2.26 La cual se conoce como la forma puntual del teorema de poynting. Integrando ambos lados de 2.26 sobre algún volumen V y aplicando el teorema de la divergencia,
obtenemos la forma integral del teorema de Poynting. (donde el volumen por la superficie cerrada S.)
V está rodeado
Ecuación 2.27 El término a la izquierda de 2.27 es el flujo neto de S que entra en el volumen V . Por lo tanto, 2.27 indica que el flujo neto de S que entra en el volumen es la suma de las dos contribuciones . El primer término en el lado derecho de 2.27:
Ecuación 2.28 es el término de disipación de potencia, ya que representa la razón del gasto de energía por el campo eléctrico al mover las cargas de la densidad de corriente. Para un medio que contiene sólo corrientes de conducción,y 2.28 se vuelve:
Ecuación 2.29 lo cual claramente indica una potencia de disipación óhmica. La segunda integral en el lado derecho de 2.27 involucra una razón de cambio en el tiempo. Para un medio isotrópico en el cual y ,obtenemos:
Ecuación 2.30
Ecuación 2.30a y de manera similar
Ecuación 2.31 Para cualquier vector A
Ecuación 2.32a
Ecuación
2.32b
Ecuación 2.32c Sabemos que
J/m3 Ecuación 2.33a y
J/m3 Ecuación 2.33b Representan las densidades de energía eléctrica y magnética en el campo, respectivamente. Por lo tanto, (2.23 y 2.24) son las razones de cambio en el tiempo de la energía guardada (o almacenada) en el campo
δwe/δt Ecuación 2.34a y
δwm/δt
Ecuación 2.34b
Por lo tanto, la forma integral del teorema de Poynting dada en 2.27, establece que
el flujo neto de entrada del vector de Poynting a través de una superficie cerrada es l suma de la potencia disipada en el volumen encerrado por la superficie más la raz de cambio de la potencia almacenada en el mismo volumen. El vector de Poynting parece indicar el flujo de potencia. Sin embargo, se debe enfatizar que el vector de Poynting sólo implica una distribución de la potencia en el campo. La ecuación 2.27 sólo muestra que si integramos S sobre alguna superficie cerrada, vamos a obtener la potencia disipada y la razón de cambio de la energía almacenada en la región encerrada por esa superficie. Para las OPU (Ondas Planas Uniformes) la calcula como:
Densidad de Potencia Promedio (Sav) se
Ecuación 2.35
Donde El fasor de S es el vector de Poynting en forma fasorial y se utiliza la ecuación en 2.35 para evitar el cálculo en el dominio del tiempo, el cual podría ser más complicado, pero si se desea realizar el cálculo de la Densidad de Potencia Promedio en el dominio del tiempo, se puede utilizar la siguiente ecuación:
Ecuación 2.36
Si en las OPU el campo eléctrico sólamente tiene componente en X y el magnético sólo componente en Y (Son planas y uniformes sobre XY), entonces para un medio con
pérdidas:
Ecuación 2.37 Si el
medio es sin pérdidas:
Ecuación 2.38
Para obtener la Potencia Promedio se puede utilizar cualquiera de las últimas dos ecuaciones (2.37 ó 2.38) según sea el caso y substituir en:
Ecuación 2.39 Nótese que las coordenadas y la superficie de integración (X y Y) podrían cambiar, en este caso dS está formada por dX y dY.
