“Conceptos Básicos” INTRODUCCION Las técnicas técnicas de flujo de redes est están án orie orientada ntadas s a opti optimiza mizarr situ situacio aciones nes vinculadas vinculadas a las redes de transporte, redes de comunicación, sistema de vuelos de los aeropuertos, rutas de navegación de los cruceros, estaciones de bombeo que transportan fluidos a través de tuberías, rutas entre ciudades, redes de conductos y todas aquellas situaciones situaciones que puedan representarse mediante una red donde los nodos represen repr esentan tan las esta estacion ciones es o las ciudades, ciudades, los arcos los caminos, caminos, las líneas aéreas, aéreas, los cables, las tuberías y el flujo lo representa representan n los camiones, mensajes y fluidos que pasan por la red. Con el objetivo de encontrar la ruta mas corta si es una red de caminos o enviar el máimo fluido si es una red de tuberías. Cuando se trata de encontrar el camino más corto entre un origen y un destino, la técnica, algoritmo o el modelo adecuado es el de la ruta más corta! aunque eisten otros modelos de redes como el árbol de epansión mínima, flujo máimo y flujo de costo mínimo cada uno abarca un problema en particular. "n este trabajo trabajo se mencionan mencionan los mode modelos los de rede redes s eis eistente tentes s y los problemas problemas que abarca cada uno de ellos, además se describen los algoritmos que aplican estos modelos para encontrar la solución optima al problema. #tilizando la terminología utilizada para representarlos como una red.
MODELOS DE REDES Los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de uno de estos cuatro modelos$
%odelo de minimización de redes &'roblema del árbol de mínima epansión(.
%odelo de la ruta más corta.
%odelo del flujo máimo.
%odelo del flujo del costo mínimo.
Modelo de minimización de edes "l modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima epansión tiene que ver con la determinación determinaci ón de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. )o se deben incluir ciclos en al solución del problema.
!aa cea el á"ol de e#pansión m$nima tiene las si%&iente si%&ientess caacte$sticas' *e tie tienen nen los nod nodos os de una red pe pero ro no las ligadur ligaduras as.. "n su lu lugar gar se pro propor porcio cionan nan las lig ligadu adura ras s potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. &Las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y tiempo.( *e desea dise+ar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que aya un camino entre cada par de nodos. "l objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red. #na red con n nodos requiere sólo &n-( ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. Las &n-( ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante formen un árbol de epansión. 'or tanto el problema es allar el árbol de epansión con la longitud total mínima de sus ligaduras.
(l%oitmo paa const&i el á"ol de e#pansión m$nima' *e selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta &es decir, se agrega una ligadura( al nodo distinto más cercano. *e identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos &es decir, se agrega una ligadura entre ellos(. "ste paso se repite asta que todos los nodos están conectados. "mpates$ los empates para el nodo más cercano distinto &paso ( o para el nodo no conectado más cercano &paso /(, se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar a una solución optima. )o obstante, estos empates son se+al de que pueden eistir &pero no necesariamente( soluciones optimas m0ltiples. 1odas esas soluciones se pueden identificar si se trabaja con las demás formas de romper los empates asta el final.
Modelo de )l&*o Má#imo *e trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a través de una red de arcos dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máima de flujo admisible. "l objetivo es el de obtener la máima capacidad de flujo entre la fuente y el destino. Características$ 1odo flujo a través de una red conea dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino. Los nodos restantes son nodos de trasbordo. *e permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la fleca, donde la cantidad máima de flujo está dad por la capacidad del arco. "n la fuente, todos los arcos se+alan acia fuera. "n el destino, todos se+alan acia el nodo. "l objetivo es maimizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. "sta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino. "l problema de flujo máimo se puede formular como un problema de programación lineal, se puede resolver con el método símple y usar cualquier soft2are. *in embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas muco más eficientes. "l algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de red residual y el de trayectoria aumentada.
(l%oitmo de la ta+ectoia de a&mento paa el po"lema de ,l&*o má#imo' *e identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva. &*i no eiste una, los flujos netos asignados constituyen un patrón del flujo óptimo(. *e identifica la capacidad residual c3 de esta trayectoria de aumento encontrando el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. *e aumenta en c3 el flujo de esta trayectoria. *e disminuye en c3 la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. *e aumenta en c3 la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. *e regresa la paso .
Conceptos "ásicos + teminolo%ias
Red' #na red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos &o vértices(. Las líneas se llaman arcos &o ligaduras, aristas o ramas(. Los arcos se etiquetan para dar nombres a los nodos en sus puntos terminales, por ejemplo, 45 es el arco entre lo nodos 4 6 5. "n un problema de programación lineal, las redes pueden representar un conjunto de estaciones, campos petrolíferos, almacenes, fabricas, sucursales, ciudades, interconectadas entre si a través de caminos, conductos, tuberías que permiten fluir productos para la comercialización o la distribución.
(cos Dii%idos' *e dice que un arco es dirigido cuando el arco tiene flujo en una dirección &como en una calle de un sentido(. La dirección se indica agregando una cabeza de fleca al final de la línea que representa el arco. 4l etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodos que une, siempre se coloca primero al nodo de donde viene y después el nodo a donde va, esto es, un arco dirigido del nodo 4 al nodo 5 debe etiquetarse como 45 y no como 54. 7tra %anera es 45.
(cos No Dii%idos' *i el flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones &como una tubería que se puede usar para bombear fluido en ambas direcciones(, se dice que es un arco no dirigido. 1ambién se les llama ligadura. 4unque se permita que el flujo a través de un arco no dirigido ocurra en cualquier dirección, se supone que ese flujo será en una dirección, en la seleccionada, y no se tendrá flujos simultáneos en direcciones opuestas.
Ta+ectoia' #na trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos que conectan estos nodos. 'or ejemplo, una de las trayectorias que conectan los nodos 7 y 1 en la figura es la sucesión de arcos 75-58-81 &7581(, y viceversa. Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos, se ace la distinción entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas.
Ta+ectoia Dii%ida$ #na trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es una sucesión de arcos cuya dirección &si la tienen( es acia el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j, a través de esta trayectoria es factible.
Ta+ectoia No Dii%ida' #na trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección &si la tienen( pueden ser acia o desde el nodo j. Con frecuencia alguna trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos acia el nodo j y otros desde él &es decir, acia el nodo i(.
Ciclo' #n ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. "n la red no dirigida que se muestra en la figura 9 eisten mucos ciclos, 74-45-5C-C7.
Red Cone#a$ #na red conea es una red en la que cada par de nodos está conectado. *e dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. *e debe resaltar que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red sea dirigida. La figura representa una red conea.
-"ol de E#pansión $ es una red conea para los n nodos, que contiene ciclos no dirigidos. 1odo árbol de epansión tiene justo n- arcos, ya que este es el n0mero mínimo de arcos necesarios para tener una red conea y el máimo numero posible para que no aya ciclos no dirigidos. La figura : representa una red conea, la figura ; muestra los cinco nodos de la red conea de la figura :, aora la figura < muestra el proceso para acer crecer un árbol colocando una rama a la vez, asta obtener un árbol de epansión. "n cada etapa del proceso se tienen varias alternativas para el nuevo arco, por lo que la figura < muestra solo una de las mucas formas de construir un árbol de epansión.
Capacidad de (co' "s la cantidad máima de flujo &quizás infinito( que puede circular en un arco dirigido.
Nodo )&ente' .o nodo de origen( tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo ecede al flujo que entra a él.
Nodo Demanda' .o nodo destino( es el caso contrario al nodo fuente, donde el flujo que llega ecede al que sale de él.
Nodo de Tas"odo' &o nodo intermedio( satisface la conservación del flujo, es decir, el flujo que entra es igual al que sale.
REDES DIRI/ID(S 0 NO DIRI/ID(S Red Dii%ida' "s una red que t iene solo arcos dirigidos. "n una red dirigida, un ciclo puede ser dirigido o no dirigido, seg0n si la trayectoria en cuestión es dirigida o no dirigida. &Como una trayectoria dirigida también es no dirigida, un ciclo dirigido es un ciclo no dirigido, pero en general el inverso no es cierto.( 'or ejemplo en la figura = 8"-"8 es un ciclo dirigido. 'or contrario, 45-5C-C4 no es un ciclo dirigido puesto que la dirección del arco 4C es opuesta a la de los arcos 45 y 5C. 'or otro lado, 45-5C-4C no es un ciclo d irigido porque 45C4 es una trayectoria no dirigida.
Red No Dii%ida$ "s una red donde todos sus arcos son no dirigidos. La figura > representa una red no dirigida.
1IST( /ENER(L DE (L/UN(S (!LIC(CIONES !R-CTIC(S DE L( O!TIMI2(CI3N DE REDES
8ise+o de redes de telecomunicación &redes de fibra óptica, de computadores, telefónicas, de televisión por cable, etc.(
8ise+o de redes de transporte para minimizar el costo total de proporcionar las ligaduras &vías ferroviarias, carreteras, etc.(
8ise+o de una red de líneas de transmisión de energía eléctrica de alto voltaje.
8ise+o de una red de cableado en equipo eléctrico &como sistemas de computo( para minimizar la longitud total del cable.
8ise+o de una red de tuberías para conectar varias localidades.
8ise+o de una red de tuberías de gas natural mar adentro que conecta fuentes del golfo de %éico con un punto de entrega en tierra con el objetivo de minimizar el costo de construcción.
8eterminación de la ruta más corta que une dos ciudades en una red de caminos eistentes.
8eterminar la capacidad anual de máima en toneladas de una red de conductos de pasta aguada de carbón que enlaza las minas carboneras de ?yoming con las plantas generadoras de electricidad @ouston. &Los conductos de pasta aguada de carbón transportan éste bombeando agua a través de tubos adecuadamente dise+ados que operan entre las minas de carbón y el destino deseado.(
8eterminación del programa de costo mínimo de los campos petrolíferos a refinerías y finalmente a los campos de distribución. *e pueden enviar petróleo crudo y productos derivados de la gasolina en buques tanque, oleoductos yAo camiones. 4demás de la disponibilidad de la oferta máima en los campos petrolíferos y los requisitos de demanda mínima en los centros de distribución, deben tomarse en cuenta restricciones sobre la capacidad de las refinerías y los modos de t ransporte.
E*emplos de teminos Nodos (cos (co Dii%ido Ta+ectoia Ta+ectoia Dii%ida Ta+ectoia No Dii%ida Ciclo Red Cone#a Capacidad de (co Nodo )&ente Nodo Demanda Nodo tas"odo
(4 B4 C4 D 4 E (56B4 (56C4 (56D4 B56C4 C56E4 D56E4 E56D (B4 (C4 (D4 BC4 CE4 DE4 ED Ente ( + D' (56D (56C56E56D (56B56C56E56D Ente ( + E (56B56C56E Ente B + D B56C5656(56D DE7ED .ciclo dii%ido8 (B7BC7C( .ciclo no dii%ido8 Si es ed cone#a 94 :4 ;4 94 <4 :4 = ( C4 D B OTR(S DE)INICIONES
Red Resid&al' #na red residual muestra las capacidades restantes &llamadas capacidades residuales( para asignar flujos adicionales.
Ta+ectoia de (&mento' #na trayectoria de aumento es una trayectoria dirigida del nodo fuente al nodo destino en la red residual, tal que todos los arcos en ese trayectoria tienen capacidad residual estrictamente positiva. "l mínimo de estas capacidades residuales se llama capacidad residual de la trayectoria de aumento porque representa la cantidad de flujo que es factible agregar en toda la trayectoria. 'or lo tanto, cada trayectoria de aumento proporciona una oportunidad de aumento más el flujo a través de la red original.
!ROBLEM( DEL )LU>O DE COSTO M?NIMO
"l problema de flujo de costo mínimo tiene una posición medular entre los problemas de optimización de redes! primero, abarca una clase amplia de aplicaciones y segundo, su solución es muy eficiente. Bgual que el problema del flujo máimo, toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos. Bgual que el problema de la ruta más corta, considera un costo &o d istancia( para el flujo a través de un arco. Bgual que el problema de transporte o el de asignación, puede manejar varios orígenes &nodos fuente( y varios destinos &nodos demandas( para el flujo, de nuevo con costos asociados. 8e eco, estos cuatro problemas son casos especiales del problema de flujo de costo mínimo. 4 continuación se describe el problema del flujo de costo mínimo$
La red es una red dirigida conea.
4l menos uno de los nodos es nodo fuente.
4l menos uno de los nodos es nodo demanda.
"l resto de los nodos son nodos de trasbordo.
*e permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la fleca, donde la cantidad máima de flujo está dada por la capacidad del arco. &*i el flujo puede ocurrir en ambas direcciones, debe representarse por un par de arcos con direcciones opuestas.( La red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir que todos lo flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda. "l costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad. "l objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a través de la red para satisfacer la demanda dada. &#n objetivo alternativo es maimizar la ganancia total del envío.(
Definición de Red:
Una red consiste en una serie de nodos enlazados con arcos (o ramas). La notación para describir una red es (N, A), donde N es el conjunto de Nodos y A es el conjunto de Arcos. Ejemplo: N= {1, 2, , !, "# A = {(1,2),(1,),(2,),(2,"),(,!),(,"),(!,2),(!,")#
Figura 2. $je%plo de &ed (N, A ).
'
ada red se asocia a un lujo.
'
$l flujo en una red est* li%itado por la capacidad de sus arcos (initos o ininitos).
Un arco es orientado o diri+ido si per%ite un lujo positio en una dirección y lujo cero en la ' dirección opuesta.
'
Una red dirigida tiene todos sus arcos diri+idos.
' Una ruta es una sucesión de arcos distintos -ue unen dos nodos pasando por otros nodos, independiente%ente de la dirección de lujo de cada arco. '
Una ruta or%a un ciclo si conecta un nodo consi+o %is%o pasando por otros nodos.
'
Un ciclo es diri+ido si consiste en una ruta diri+ida.
' Una red conectada es a-uella en -ue cada dos nodos distintos est*n enlazados al %enos por una ruta. ' Un árol es una red conectada -ue puede consistir solo en un subconjunto de todos los nodos en ella, donde no se per%iten ciclos.
Figura !. rbol de la &ed de la i+ura 2.
'
Un árol de e"pansión es un *rbol -ue enlaza todos los nodos de la red, ta%bi/n sin per%itir
ciclos. Figura #. rbol de e0pansión de la &ed de la i+ura 2.
CONCEPTOS BÁSICOS EN TEORÍA DE REDES Gráfica: Una gráfica es una serie de puntos a!ados nodos "ue #an unidos por unas $neas a!adas ra!aes o arcos%
Red: Una red es una gráfica "ue presenta ag&n tipo de fu'o en sus ra!aes% Por e'e!po una gráfica cu(o fu'o en sus ra!aes sea a eectricidad es una red e)ctrica%
En as redes se usa una si!*oog$a espec$fica para denotar su ta!a+o ( ee!entos "ue a constitu(en, dic-a notaci.n es a /N, A0 donde N representa e n&!ero de nodos "ue contiene a red ( A representa e n&!ero de arcos o ra!aes%
111%ingenieriai ndustriaonine%co! Cadena: Una cadena corresponde a una serie de ee!entos ra!aes "ue #an de un nodo a otro% En e siguiente caso se resata una cadena "ue #a desde e nodo 2 -asta e nodo 3 ( "ue se co!pone por os ee!entos 4256, 6537% Ruta: Una ruta corresponde a os nodos "ue constitu(en una cadena, en e siguiente caso 42, 6, 37%
111%ingenieriai ndustriaonine%co! Ciclo: Un cico corresponde a a cadena "ue une a un nodo con sigo !is!o, en e siguiente e'e!po e cico está co!puesto por a cadena 4 658, 859, 953, 3567%
111%ingenieriai ndustriaonine%co! Ramal orientado: Un ra!a o arco orientado es a"ue "ue tiene un sentido deter!inado, es decir "ue posee un nodo fuente ( un nodo destino%
111%ingenieriaindustriaonine%co! Gráfica orientada: Una gráfica orientada es a"uea en a cua todos sus ra!aes se encuentran orientados%
111%ingenieriai ndustriaonine%co! Árbol: Un ár*o es una gráfica en a cua no e:isten cicos, co!o e siguiente e'e!po% Árbol de expansión: Un ár*o de e:pansi.n es a"ue ár*o "ue ena;a todos os nodos de a red, de igua !anera no per!ite a e:istencia de cicos%
111%ingenieriai ndustriaonine%co! Nodo fuente: E nodo fuente es a"ue nodo en e cua todos sus ra!aes se encuentran orientados -acia afuera% Nodo destino: E nodo destino es a"ue nodo en e cua todos sus ra!aes se encuentran orientados -acia )%
