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Universidad Antonio Antonio Ruiz de Montoya Carrera de Ingeniería Industrial CADENAS DE MARKOV
OBJETIVOS Al culminar la presente tarea, el alumno alumno estará capacitado para: para: Resolver y analizar procesos estocásticos mediante adenas de !ar"ov# !ar"ov# Analizar adenas de de !ar"ov Transitorios Transitorios y A$sor$entes# Interactuar con los modelos
RE%RSOS
%so del so&t'are POM!M "on la o#"i$n Mar%ov Analysis
A T I V I ( A ( E S ( E ) ) A B O R AT AT O R I O
*ormular procesos mar"ovianos mar"ovianos utilizando la teor+a de adenas de !ar"ov para determinar el comportamiento del sistema en condiciones de estado esta$le# (eterminar alternativas de optimizaci,n para el sistema en estudio#
CASO &' El - de enero .de este a/o0, las panader+as 1losman controla$an el 234 de su
mercado local, mientras 5ue las otras dos panader+as, A y B, ten+an 23 y 63 por ciento, resp respec ecti tiva vame ment nte, e, del del merc mercad ado# o# Basá Basánd ndos ose e en un estu estudi dio o de una una empr empres esa a de investi7acin de mercado, se compilaron los si7uientes datos: la panader+a 1losman retiene el 834 de sus clientes, y 7ana el 94 de los clientes de A y el -34 de los de B# )a panader+a A retiene el 94 de sus clientes y 7ana 94 de los clientes de 1losman y ;4 de los de B# )a panader+a B retiene <4 de sus clientes y 7ana 94 de los clientes de 1losman y -34 de los de A# a0
=uá =uáll ser será á la la par parti tici cipa paci cin n de cada cada empr empres esa a en en -> -> de de ene enero ro del del a/o a/o si7u si7uie ient nte? e?
!atriz de transicin#
#
La participación de cada empresa en 1º de enero del año siguiente (P1) será:
-
$0
=uál será la participacin de cada empresa lar7o plazo? La
-
c0
La empresa Klosman tendrá una participación del 40 % del mercado La empresa A tendrá una participación del ! % del mercado La empresa " tendrá una participación del # % del mercado
participación
de
cada
empresa
a
largo
pla$o
será:
La empresa Klosman tendrá una participación del 4 % del mercado La empresa A tendrá una participación del #!& % del mercado La empresa " tendrá una participación del #&1 % del mercado
1losman decide @acer una campa/a pu$licitaria a e&ectos de 7anar clientes, dic@a campa/a altera las pro$a$ilidades de transicin de estados de la si7uiente manera: la panader+a 1losman retiene el 834 de sus clientes, y 7ana el -94 de los clientes de A y el 634 de los de B# )a panader+a A retiene el ;94 de sus clientes y 7ana 94 de los clientes de 1losman y ;4 de los de B# )a panader+a B retiene ;<4 de sus clientes y 7ana 94 de los clientes de 1losman y -34 de los de A# Si a 1losman le cuesta <93 dlares por mes una campa/a pu$licitaria y por cada cliente 7anado o$tiene un in7reso i7ual a -3 dlares mensuales, =por cuántos periodos de$e mantener su campa/a pu$licitaria, sa$iendo 5ue se compite en un mercado de -333 clientes?
N° PERIODO
CLIENTES KLOSMAN
INCREMENTO
INGRESO
COSTO
CLIENTES
ADICIONAL
PUBLICIDAD
UTILIDAD
0 1 2 3
400 460 505.3 539.314
60 45.3 34.014
600 453 340.14
350 350 350
250 103 -9.86
DEBE MANTENER SU CAMPAÑA PUBLICITARIA DURANTE DOS PERIODOS.
d0 (etermine los Tiempos promedio de primera pasada para la pre7unta $0#
i(
)&*
#i%
% (
%(
'onde: p110& p100* p1#00* p##0+* p#01 p#100* p#00!p101
P0+
,111-.1 1-040# ## ,##1-.# 1-0#!&1 *+ ,1-. 1-0#&0! 44 /esoliendo el siguiente sistema: ,1#1 0&2 ,1# 00*2 ,# ,11 0&2 ,1# 00*2 ,# ,#11 0+*2 ,#1 012 ,1 ,#1 00*2 ,1 0+*2 ,# ,11 00!2 ,#1 0+2 ,1 ,#1 012 ,1# 0+2 ,# 3tenemos: ,1# **-5 ,# *0-5 ,1 10!0-*&5 ,# !*0-*&5 ,#1 *40-!5 ,1 440-!5
CASO +' %na má5uina puede estar en dos estados: * &unciona o C averiada, con t ** D
3#, tCC D 3#2, tC* D 3#, t*C D 3#6# uando &unciona da una utilidad de 23 por periodo y, cuando está averiada, los 7astos son de -3 por periodo#
4
a0
=uál es la 7anancia media por periodo?
FAGAGIAD3#;9H233#69H-3 D <63 S# A partir del noeno la ganancia media por periodo es de 6- #0 Pero antes del periodo noeno la ganancia es ariale Respuesta: La ganancia media por periodo a largo pla$o es s/. 320
$0
=uál es la pro$a$ilidad de 5ue la má5uina este averiada en el tercer periodo?
)a pro$a$ilidad de 5ue la má5uina este averiada es 3#62# c0
En un periodo de - a/o, =uántos meses &uncionará la má5uina? K =uántos meses estará averiada? )a má5uina &uncionara: 3#;9H-6 D 8 meses# )a má5uina estará averiada: 3#69H-6D < meses#
d0
Veri&i5ue si un plan de mantenimiento preventivo 5ue cuesta L93 por periodo, alterando: t** a 3#8 y tCC a 3#< vale la pena#
)a 7anancia promedio ser+a : 3#;28H233#-69H-3 D 233 )ue7o con el mantenimiento preventivo 233 93 D <93 S# si conviene#
*
CASO ,' alcule la situacin de rM7imen
para el modelo cuyas pro$a$ilidades de
transicin son las si7uientes: t--D 3#2 t-6D 3#< t-
t66D3#< t6
t<-D3#9 t<
.10+0* .#0171 .04*7*
Repita en el caso de t6
.104#1! .#01+0! .0&!7
CASO -' A una represa &luyen cantidades de a7ua en &uncin a N-, N6, N<, N2 y N9
durante los periodos -, 6, <, 2 y 9, en la ta$la se presenta la densidad de pro$a$ilidad del torrente de a7ua de acuerdo a Ni#
.i 01.i2
& &34
+ &3-
, &3-
&3-
/ &34
7
)a capacidad máima de la represa es de 9 unidades, si durante al7Pn periodo la represa se llena @asta su máima capacidad, todo el &luQo 5ue so$ra se pierde# omo consecuencia de ello, al &inal de cada periodo se deQan salir < unidades de a7ua para 7enerar ener7+a, si están disponi$les de lo contrario, toda el a7ua 5ue 5ueda en la represa se deQa escapar# (enote, para 7enerar la matriz de pro$a$ilidades .KQ, estado inicial de la represa antes del &luQo, KQ-, estado &inal de la represa despuMs del &luQo0# 0
1
2
0 Probabilida d
1 2
a# (etermine la matriz de pro$a$ilidades de transicin y de estado esta$le# $# =uál es el valor esperado de la cantidad de a7ua 5ue se pierde? c# =uál es la pro$a$ilidad 5ue a la lar7a ten7amos una represa vac+a, con una y con dos unidades en la represa? EQemplo 7rá&ico del pro$lema#
a2 P55)&34*&3-*&3-)&34' P5&)6luyen - y de(an es"a#ar ,)+34 P5+)6luyen / y de(an es"a#ar ,)&34 P&5)6luye & y de(an es"a#ar , o 6luyen + y de(an es"a#ar , )&34*+34),34' P&&)6luyen , y de(an es"a#ar , ) +34' P&+)6luyen - y de(an es"a#ar , o 6luye / y de(an es"a#ar ,)&34*+34),34' P+5)6luye & y de(an es"a#ar , )&34 P+&)6luyen + y de(an es"a#ar , )+34 P++)6luyen , y de(an es"a#ar , o 6luyen - y de(an es"a#ar , o 6luyen / y de(an es"a#ar , ) &34*+34*+34)/34'
P=
0 1
0 5/8 3/8
1 1/4 1/4
2 1/8 3/8
2
1/8
1/4
5/8
En estado esta7le8 8 9 -+ #-+ -+ 9 80 .1 .# 72 E1agua #erdida2) .12(1-+)21 .#2(1-4)21 .2(1-+)2# 0#1+!*
"2 Es#erado) .02(1-+)2# .02(1-4)21 .12(1-+)10#1+!*
!
CASO /' %na Qoyer+a produce una Qoya al d+a# or estudio del producto no es posi$le 5ue
5uede al7Pn producto despuMs de la venta# Si @oy dispone de una Qoya la pro$a$ilidad es de -< 5ue se venda la Qoya, si @ay disponi$les dos Qoyas, las pro$a$ilidades son de de 5ue al menos uno se venda y de 5ue al menos dos se vendan, si @ay disponi$le tres Qoyas el Qoyero se toma el d+a li$re y no produce y las pro$a$ilidades son de -< 5ue al menos uno se venda, -< 5ue se vendan al menos dos# .considere la matriz de inventario inicial e inventario &inal despuMs de la venta0 a#Fra&i5ue la cadena de !ar"ov $#=uál será la participacin de la Qoyer+a en d+as de produccin en el &uturo? =cuál la participacin en d+as 5ue no dedica a la produccin? c# =uál es el nivel promedio de inventario &inal de Qoyas al &inal de un d+a? d#=uál es el nPmero de d+as 5ue pasa con el mismo inventario inicial y &inal?
