Mecánica de Sólidos I CONCEPTO DE CARGA TRANSVERSAL Y ESFUERZOS COMBINADOS
Carga Transversal •
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Cuando se aplican cargas transversales, se producen esfuerzos normales y cortantes en elementos prismáticos. Nos enfocaremos en las fuerzas cortantes que actúan en las secciones horiz horizontales ontales de las vigas. Se especificarán el flujo de cortante y los esfuerzos cortantes horizontales de la viga.
Carga Transversal •
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Cuando se aplican cargas transversales, se producen esfuerzos normales y cortantes en elementos prismáticos. Nos enfocaremos en las fuerzas cortantes que actúan en las secciones horiz horizontales ontales de las vigas. Se especificarán el flujo de cortante y los esfuerzos cortantes horizontales de la viga.
Carga Transversal de Miembros Miembr os Prismáticos •
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El caso de cargas transversales más común es cuando se aplican cargas verticales a una viga, ya sean concentradas o distribuidas.
Considerando una viga en voladizo AB y una fuerza única P dirigida hacia arriba. Se supondrá que la viga posee un plano de simetría vertical y longitudinal y que la carga P se aplica en este, cortando la viga en C, se observa que las fuerzas internas ejercidas sobre AC deben ser equivalentes a una fuerza cortante V y a un par flector M de magnitud M = Px.
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Según la figura anterior, la convención de signos tanto de la carga cortante como del momento flector son positivos cuando la carga P es hacia arriba. En el caso de una viga apoyada en ambos extremos, los signos positivos se dan cuando las cargas son hacia abajo.
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Se pueden escribir seis ecuaciones para expresar que las fuerzas elementales normales y cortantes ejercidas son equivalentes a las fuerzas cortante V y al par flector M.
Las relacionadas con las cargas normales son equivalentes al momento par y dos ecuaciones adicionales se representan como sigue:
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Considerando el pequeño elemento cúbico localizado en el plano vertical de simetría de la viga, se observa que se ejercen esfuerzos normales y cortantes perpendiculares al eje x. Esto se representa con la siguiente figura:
Suposiciones Básicas Sobre la Distribución de Esfuerzos Normales •
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De manera simplificada, se supondrá que la distribución de los esfuerzos normales en una sección transversal dada no se afecta por las deformaciones causadas por los esfuerzos cortantes. En otras palabras, la distribución de esfuerzos normales en una sección transversal dada debe ser la misma cuando la viga está sometida a una carga transversal P o cuando está sometida a un par flector M de magnitud M = Px.
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Para el caso de la fuerza cortante, no se da lo mismo, ya que V = P para un caso y V = 0 para el otro.
En este caso, el mayor esfuerzo en compresión se da en el punto B y el de tensión en B”.
Determinación del Esfuerzo Cortante en un Plano Horizontal •
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Recordando que τxy representa tanto la componente vertical del esfuerzo cortante en una sección perpendicular al eje de la viga como la componente longitudinal del esfuerzo cortante en una sección horizontal. La aproximación para determinar τxy será analizar las fuerzas cortantes ejercidas sobre una sección horizontal de la viga. Considerando de nuevo una viga en voladizo AB sometida a una fuerza P en su extremo libre, sepárese de la viga ACC`A` obtenida haciendo un corte longitudinal A`C` en una distancia y1 por encima de la superficie neutra, y un corte vertical CC` a una distancia x del extremo libre. Las fuerzas que actúan en el cuerpo libre ACC`A` aparecen en la siguiente figura:
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En el diagrama de cuerpo libre, se incluye la porción de la carga P (P`), la resultante V` de las fuerzas cortantes ejercidas sobre la sección CC`, las fuerzas normales σx dA que actúan en la misma sección, y la resultante H de las fuerzas cortantes horizontales ejercidas sobre la cara inferior del cuerpo libre.
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De la ecuación de esfuerzo y la carga transversal P, se tiene que:
Ahora se escribe la ecuación ƩFx = 0 para el cuerpo libre:
Despejando H y observando que x es constante sobre la sección transversal:
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La integral obtenida representa el primer momento con respecto al eje neutro de la parte de la sección transversal que está situada encima de la línea y = y1. Llamando este momento Q:
Sustituyendo, se tiene: De aquí se deduce que la fuerza cortante horizontal H ejercida sobre la cara inferior de la porción de la viga es proporcional a su longitud x. Para un valor de y1, el cortante horizontal por unidad de longitud H/x es constante e igual a PQ/I. El cortante por unidad de longitud se denomina flujo de cortante y se representa por q.
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Este valor es igual al de la porción de la viga de la parte inferior:
Aplicando cargas distribuidas se tiene que el flujo de cortante:
En donde Q es el primer momento con respecto al eje neutro de la porción de la sección transversal localizada, ya sea arriba o abajo del punto C`, en donde el flujo de cortante debe calcularse, e I el momento de Inercia de toda la sección transversal con respecto al eje neutro.
Ejemplo 1 •
Una viga está hecha de tres planchones de 20 x 100 mm de sección, aseguradas con clavos. Si entre los clavos hay una separación de 25 mm y la fuerza cortante de la viga es V = 500 N, halle la fuerza cortante en cada clavo.
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Determine primero la fuerza horizontal por unidad de longitud q, ejercida sobre la cara inferior del planchón superior. Use la ecuación q = VQ/I, en donde Q representa el primer momento con respecto al eje neutro del área sombreada A` y donde I es el momento de Inercia con respecto al mismo eje de toda la sección.
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Sustituyendo en la ecuación:
Con la separación entre los clavos de 25 mm, la fuerza cortante en cada clavo es.
Cálculo de los Esfuerzos Cortantes τxy en una Viga •
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Considerando una viga con un plano vertical de simetría, sometida a varias fuerzas concentradas o distribuidas aplicadas en ese plano. Si V es la fuerza cortante q en un punto C` de esa sección es:
En donde Q es el primer momento definido por la ecuación Q = ∫y dA, e I el momento de inercia de la sección transversal con respecto al eje neutro.
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La fuerza cortante ΔH ejercida sobre una porción de longitud Δx del corte horizontal a través de C` es:
Dividiendo por el área ΔA = t Δx, en donde t es el ancho del corte, se obtiene el valor medio m edio del esfuerzo cortante.
Se nota que los esfuerzo esfuerzoss τxy y τyx son iguales para un plano horizontal y perpendicular en un punto de C`, entonces este valor representa el valor de τmed.
Esfuerzos Cortante Cortantess τxy en tipos comunes de vigas •
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Para una viga rectangular delgada, que tenga una relación b/h <= ¼, la variación del esfuerzo cortante a través del ancho de la viga es menor que el 0.8% de τmed.
En donde t es el ancho b de la viga y Q es el primer momento del área sombreada A` con respecto al eje neutro.
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Observando que la distancia desde el eje neutro al centroide C` de A` es:
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Entonces, se tiene que:
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Recordando que I = bh^3/12 = 2/3 bc^3, se tiene:
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Notando que el área transversal de la viga es A = 2bc,
De esta ecuación se deduce que la distribución de esfuerzos cortantes en una sección transversal de una viga rectangular es parabólica:
El esfuerzo cortante máximo en una sección dada de una viga rectangular delgada es:
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Para el caso de una viga americana (S) o una viga de aleta ancha (W), la ecuación puede usarse para calcular el valor medio del esfuerzo cortante τxy ejercido sobre una sección aa` o bb` de la sección transversal de la viga. Se escribe:
En donde V es la fuerza cortante vertical, t el ancho de la sección a la elevación considerada, Q el primer momento del área sombreada con respecto al eje neutro cc` e I el momento de inercia con respecto a cc`. En la figura se muestra τmed vs la distancia vertical y.
Análisis Adicional de la Distribución de Esfuerzos en una Viga Rectangular Delgada •
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Considerando una viga delgada en voladizo, de sección rectangular de ancho b y altura h, sometida a una carga P en su extremo libre. Como la fuerza cortante V en la viga es constante e igual en magnitud a P, la ecuación produce:
Se nota que los esfuerzos dependen sólo de la distancia y desde el eje neutro y son independientes de la distancia desde el punto de aplicación de la carga.
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Se observa que todos los puntos localizados a la misma distancia de la superficie neutra sufren la misma deformación cortante. Aunque las secciones planas no permanezcan planas, la distancia entre dos puntos correspondientes D y D` localizados en distintas secciones se mantiene igual. Esto indica que las deformaciones normales ϵx y los esfuerzos normales σx no se afectan por los esfuerzos cortantes.
Para una viga en voladizo de sección rectangular, sometido a una carga P en su extremo libre, se tiene:
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Para las diferentes cargas, se tiene:
Ejemplo 2 •
La viga AB está hecha de tres planchas pegadas y se somete, en su plano de simetría, a la carga mostrada. Sabiendo que el ancho de cada junta pegada es 20 mm, halle el esfuerzo cortante medio en cada junta de la sección n-n de la viga. El centroide de la sección se muestra en el dibujo y el momento centroidal de inercia es I = 8.63 x 10^-6 m^4.
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Cortante vertical en la sección n-n. Como la viga y carga son simétricas con respecto al centro de la viga, se tiene: A = B = 1.5 KN. Considerando la sección de la viga a la izquierda de n-n como un cuerpo libre, se escribe:
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Esfuerzos cortantes en la junta a. Haciendo un corte a-a por la junta pegada y separando la sección transversal en dos partes. Se escoge determinar Q calculando el primer momento con respecto al eje neutro del área por encima de a-a.
Recordando que el ancho de la junta pegada es t = 0.020 m, se utiliza la ecuación para hallar el esfuerzo cortante medio en la junta.
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Esfuerzo cortante en la junta b. Ahora se ejecuta el corte b-b y se calcula Q usando el área bajo el corte.
Ejemplo 3 •
Una componente de máquina tiene una sección en T y está cargada en su plano de simetría por la fuerza puntual mostrada. Determine el máximo esfuerzo de compresión en la sección n-n y el máximo esfuerzo cortante.
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Eje Neutro. El eje neutro pasa por el centroide C de la sección transversal. Usando el eje b-b como eje de referencia y escogiendo el sentido positivo hacia abajo, se escribe:
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Momento Centroidal de Inercia. Usando el teorema de los ejes paralelos.
Esfuerzo de compresión máximo. En la sección n – n el momento flector es M = (1.5 kips)(12 in) = 18 kips * in. El máximo esfuerzo de compresión ocurre en el punto d en donde c = 2 in – 0.1667 in = 1.833 in. Se escribe
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Máximo esfuerzo cortante. El máximo valor de Q ocurre en el eje neutro. Como en esta sección transversal el ancho t es mínimo en el eje neutro, el máximo cortante ocurriría ahí. Haciendo el corte a – a al eje neutro, dividimos la sección transversal en dos partes. Escogiendo el área bajo la sección aa, se tiene:
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Notando que V = 1.5 kips y t = 0.5 pulg, se escribe:
Ejemplo 4 •
Una viga-cajón cuadrada está hecha de dos tablas de 0.75 * 3 in, clavadas como se muestra. Si la separación entre los clavos es de 1.75 in y la viga está sometida a un cortante vertical de magnitud V = 600 lb, halle la fuerza cortante en cada clavo.
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Aísle la tabla superior y considere la fuerza total por unidad de longitud q, ejercida sobre sus dos extremos. Usamos la ecuación en donde Q es el primer momento con respecto al eje neutro del área sombreada A`, y donde I es el momento de inercia con respecto al mismo eje de la sección total de la vigacajón. Se tiene
Recordando que el momento de inercia de un cuadrado de lado a con respecto al eje centroidal es I = 1/12 a^4, se escribe:
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Sustituyendo en la ecuación:
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Como las secciones son simétricas, se tiene:
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½ q = ½ (92.3) = 46.15 lb/in y como la separación entre clavos es 1.75 in, la fuerza cortante en cada clavo es:
Esfuerzos Cortantes y Deformaciones Plásticas •
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Considerando una viga en voladizo AB, de longitud L y con sección rectangular, sometida en su extremo libre A a una carga concentrada P. EL momento máximo ocurre en el extremo fijo B y es igual a M = PL. Mientras este valor no exceda el máximo momento elástico My, es decir, siempre que PL <= My, el esfuerzo normal σx no excederá el límite de fluencia σy en ninguna parte de la viga. Sin embargo, cuando P se incrementa más allá del valor My / L, la fluencia se inicia en los puntos B y B` y se extiende al extremo libre de la viga. Suponiendo que el material es elastoplástico y considerando una sección CC` localizada a una distancia x del extremo libre A de la viga, se obtiene el semiespesor Yy del núcleo elástico de la sección haciendo M = Px
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En donde c es la mitad de la altura de la viga. Graficando Yy contra x, se obtiene la frontera entre las zonas elásticas y plásticas.
PL > My
PL = Mp = 3/2 My
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Mientras PL < 3/2 My, la parábola definida interseca la línea BB`, sin embargo, cuando PL alcanza el valor de 3/2 My, es decir, cuando PL = Mp, Yy es igual a 0 para x = L, lo cual muestra que el vértice de la parábola está en la sección BB` y que la sección se ha vuelto totalmente plástica. La carga P = Mp / L es la más grande que la viga puede soportar. Para el caso de los esfuerzos cortantes en una sección que se ha vuelto parcialmente plástica. Considérese la parte de la viga CC``D``D, si esta porción está enteramente en la zona plástica, los esfuerzos normales sobre las caras CC`` y DD`` estarán uniformemente distribuidas y serán igual al límite de fluencia σy.
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Para estos casos, se tiene que para la parte elástica de la sección transversal.
Cuando y = 0 es:
Ejemplo 5 •
Sabiendo que el cortante vertical es 50 kips en una sección laminada de acero W 10 x 68, halle el esfuerzo cortante horizontal en la aleta superior en un punto a localizado a 4.31 in del borde de la viga. Las dimensiones y otros datos geométricos de la sección se dan en el apéndice C.
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Se aísla la parte sombreada de la aleta cortando por la línea punteada que pasa por el punto a.
Ejemplo 6 •
Resuelva el problema anterior suponiendo que se han soldado platinas de 0.75 x 12 in a las aletas de la viga W 10x68 por medio de soldaduras de filete contínuas, como se muestra.
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Para la viga compuesta el momento centroidal de inercia es:
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Como la platina superior y la aleta están conectadas sólo en las soldaduras de filete, puede encontrarse el esfuerzo cortante en a haciendo un corte en la aleta en el punto a, entre la platina y la aleta, y de nuevo en la aleta en el punto simétrico a`.
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Para el área sombreada que se ha aislado, se tiene
Esfuerzos Bajo Cargas Combinadas •
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Hemos estudiado los esfuerzos y deformaciones causados por una carga axial céntrica, luego los causados por un torque, posteriormente los causados por momentos flectores y por último los causados por cargas transversales o de cortante. Todo este conocimiento puede combinarse para determinar los esfuerzos en los elementos delgados o de máquinas en condiciones de carga bastante generales. Considerando el elemento flexionado ABDE, de sección circular, sometido a varias fuerzas.
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Para determinar los esfuerzos producidos en un punto K por las cargas dadas, se hará primero un corte en K y se determinará el sistema de fuerza-par, en el centroide C de la sección que se requiere para mantener el equilibrio de la parte ABK. Este sistema representa las fuerzas internas en la sección y consta, en general, de tres componentes de fuerza y tres vectores pares que se supondrán dirigidos como se muestra.
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Se observa que P es una fuerza axial céntrica que produce esfuerzos normales en la sección. El esfuerzo normal σx en el punto K es la suma de los esfuerzos producidos por la fuerza y los pares de la figura.
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Por otra parte, el par de torsión T y las fuerzas cortantes Vy y Vz producen esfuerzos cortantes en la sección. Así, las componentes τxy y τxz del esfuerzo cortante en K pueden obtenerse sumando las componentes correspondientes de los esfuerzos producidos en K por cada una de las fuerzas y el par mostrados en la figura.
Todo esto se cumple si los esfuerzos implícitos no exceden el límite de proporcionalidad del material, por lo que no aplica en las deformaciones plásticas.
Ejemplo 7 •
Dos fuerzas P1 y P2, de magnitudes P1 = 15 KN y P2 = 18 KN, están aplicadas al extremo A de la barra AB, que está soldada a un miembro cilíndrico BD de radio c = 20 mm. Si la distancia de A al eje del elemento BD es a = 50 mm, halle los esfuerzos normales y cortante en los puntos H y K de la sección transversal del elemento BD localizada a una distancia b = 60 mm del extremo B. Suponga que todos los esfuerzos permanecen por debajo del límite proporcional del material.
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Fuerzas Internas en la sección HK. Primero se remplaza P1 y P2 por un sistema equivalente aplicado en el centro C de la sección que contiene los puntos H y K. Este sistema, que representa las fuerzas internas de la sección, consta de las siguientes fuerzas y pares: •
1. Una fuerza axial céntrica F igual a P1 de magnitud.
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Una fuerza cortante V igual a P2 de magnitud.
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Un par de torsión T de torque T igual al momento de P2 con respecto al eje del elemento. Un par flector My de magnitud My igual al momento de P1 con respecto al eje vertical que pasa por C: Un par flector Mz de magnitud Mz igual al momento de P2 con respecto a un eje transversal y horizontal que pasa C:
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Cada una de estas fuerzas y pares puede producir un esfuerzo normal o cortante en los puntos H y K de la sección. El propósito es calcular cada uno de estos esfuerzos separadamente y luego añadir los esfuerzos normales y los cortantes en cada uno de los dos puntos. Primero se calcularán las propiedades geométricas de la sección.
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Esfuerzos en H. Se observa que en H la fuerza céntrica F y el par flector Mz producen esfuerzos normales σx, y que el par de torsión T causa un esfuerzo cortante horizontal τxz. Por otra parte, el par flector My no produce esfuerzos normales en H, ya que está en el eje neutro correspondiente y el cortante vertical V no produce cortante en H, puesto que H está en la parte superior de la sección. Determinando el signo de cada esfuerzo de la figura se escribe:
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Esfuerzos en K. Se observa que la fuerza céntrica F y el par flector My, producen los esfuerzos normales σx en K, y que el par T y la fuerza cortante V causan los esfuerzos cortantes verticales τxy. Se escribe.
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Para calcular los esfuerzos cortantes debidos a V, se debe calcular el primer momento Q y el ancho t de la sección sombreada. Recordando que Ῡ = 4c / 3π para un semicírculo de radio c, se tiene:
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Se escribe el esf. Cortante para la carga V:
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Notando que
