Jr . lima #725
PROF.SANDRO GARFIAS ZEGARRA
Defniciones Geométricas
geom%trica. El punto no tiene dimensiones# por lo tanto no existe en la naturalea pero sí en el pensamiento $umano. e lee: Punto *+, +
1. PROP PROPOS OSIC ICIÓ IÓN. N. Enuncia una verdad verdad demost demostrad rada a o por demost demostrar rar.. Toda proposición tiene un solo valor 2. La Re-ta. Es una sucesión infinita puntos os que que sigue siguen n una mism misma a lógico: o es verdadero (V) o es falso de punt dirección ! que es ilimitada en am"os (F). sentidos. 2. AXIOM XIOMA. A. Proposición evidente por sí misma que no necesita . demostración. e lee: -ecta *, 3. POSTULADO. Es una proposición evidente que sin tener la evidencia del 3. E Pa+,. Es una superficie llana# axioma se acepta sin demostración. lisa# sin espesor que es ilimitada en 4. TEOREMA. Es una proposición que todo sentido. para ser evidente requiere ser demostrada tiene dos partes: a) Hipótes tesis Es lo que se plantea para la demostración del teorema.
e lee: Plano *P,
emostr tra ación ción del del !) Tesis Es la demos teorema.
I'URA 'EOM/TRICA. Es cualquier con/unto de puntos.
". COROLARIO. Es una consecuencia deducida de un teorema !a demostrado. #. LEMA. Es una proposición que sirve de "ase para la demostración de un teorema. CLASIICA CLASIICACIÓN CIÓN DE LAS I'URAS I'URAS $. ESCOLIO. Es una proposición que 'EOM/TRICAS sirve para aclarar# restringir o ampliar alguna proposición. 1. C,+0*e+tes i tienen igual forma ! tama0o. %. PRO&LEMA. Enunciado en el cual se pide $allar una cantidad o construir una figura geom%trica seg&n condiciones dadas. ELEMENTOS DE LA 'EOMETR(A 1. E P*+t,. Es un ente matem'tico# es la mínima representación geom%trica de cualquier figura PROF.SANDRO GARFIAS ZEGARRA
Defniciones Geométricas
geom%trica. El punto no tiene dimensiones# por lo tanto no existe en la naturalea pero sí en el pensamiento $umano. e lee: Punto *+, +
1. PROP PROPOS OSIC ICIÓ IÓN. N. Enuncia una verdad verdad demost demostrad rada a o por demost demostrar rar.. Toda proposición tiene un solo valor 2. La Re-ta. Es una sucesión infinita puntos os que que sigue siguen n una mism misma a lógico: o es verdadero (V) o es falso de punt dirección ! que es ilimitada en am"os (F). sentidos. 2. AXIOM XIOMA. A. Proposición evidente por sí misma que no necesita . demostración. e lee: -ecta *, 3. POSTULADO. Es una proposición evidente que sin tener la evidencia del 3. E Pa+,. Es una superficie llana# axioma se acepta sin demostración. lisa# sin espesor que es ilimitada en 4. TEOREMA. Es una proposición que todo sentido. para ser evidente requiere ser demostrada tiene dos partes: a) Hipótes tesis Es lo que se plantea para la demostración del teorema.
e lee: Plano *P,
emostr tra ación ción del del !) Tesis Es la demos teorema.
I'URA 'EOM/TRICA. Es cualquier con/unto de puntos.
". COROLARIO. Es una consecuencia deducida de un teorema !a demostrado. #. LEMA. Es una proposición que sirve de "ase para la demostración de un teorema. CLASIICA CLASIICACIÓN CIÓN DE LAS I'URAS I'URAS $. ESCOLIO. Es una proposición que 'EOM/TRICAS sirve para aclarar# restringir o ampliar alguna proposición. 1. C,+0*e+tes i tienen igual forma ! tama0o. %. PRO&LEMA. Enunciado en el cual se pide $allar una cantidad o construir una figura geom%trica seg&n condiciones dadas. ELEMENTOS DE LA 'EOMETR(A 1. E P*+t,. Es un ente matem'tico# es la mínima representación geom%trica de cualquier figura PROF.SANDRO GARFIAS ZEGARRA
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3
1uando tienen tienen igual igual 2. Seea+tes Seea+tes 1uando forma pero tama0os diferentes.
r
3. E*i5ae+tes i tienen igual 'rea o volumen sin importar su forma. i0*as Pa+as
llama 2. C,+*+ C,+*+t,s t,s Có+-a5 Có+-a5,s ,s e llama con/unto cóncavo a una figura geom%trica si por lo menos una parte del segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de dic$o con/unto no est' contenido en %ste. P 4
i0*as Espa-iaes
3na -egión 1uadrangular 1óncava
5 4 3na -ecta
3na Esfera P +
3n Tri'ngulo
-
3na uperficie 1ilíndrica
CON6UNTOS 'EOM/TRICOS UNDAMENTALES llama 1. C,+*+ C,+*+t,s t,s C,+5e7 C,+5e7,s ,s e llama con/unto convexo a una figura geom geom%t %tri rica ca si el segme segment nto o de rect recta a que une dos puntos cualesquiera de dic$o con/unto est' contenido-en %ste.
+
5
POSTULADOS DE LA SEPARACIÓN DE RECTAS 2. 3n punt punto o con conteni tenido do en una rect recta a divide a esta recta en dos semirrectas.
3na -egión Triangular Triangular PROF. SANDRO GARFIAS ZEGARRA
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Geo#etia
4
6. 3na recta contenida en un plano divide a este plano en dos semiplanos. 7. 3n plano divide al espacio en dos semiespacios.
SEMIRECTA Es uno de los sentidos de la recta. ea una recta cualquiera 45 ! so"re ella tomamos el punto 8 entre 4 ! 5# (ver figura). 8
4
(c) Paralelas L1
5
emirrecta 84
L2
4
8
L1 // L2
Segmentos
emirrecta 85 8
5
RA8O Es la figura formada por una semirrecta ! su punto de origen. 4
-a!o 84
8
8
-a!o 85
5
POSICIONES RELATI9AS DE DOS RECTAS EN UN PLANO (a) ecantes 8"licuas
α
Es aquel con/unto de puntos pertenecientes a una línea recta limitados por dos puntos denominados extremos. 4
5
Eee+t,s 4# 5 : Extremos 45 : egmento 45 P*+t, Me:i, :e *+ Se0e+t,. lamado tam"i%n punto "isector# es aquel punto que divide a un segmento en dos segmentos congruentes es decir# dic$o punto lo divide por la mitad. 4
α ≠ 90º
9 49
(") ecantes Perpendiculares L 1 L2 L1 ⊥ L2
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95
5 45 6
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"
Opea-i,+es -,+ Se0e+t,s. a) S*a 5
4 45
a) 7 d) 7#@ 1
51
41
!) Resta +
P P-
-
P+
+-
O!se5a-i,+es o"re una recta real - se tienen los puntos 4 ! 5 cu!as coordenadas son *a, ! *", respectivamente# entonces se cumple que: • as coordenadas del punto medio del segmento 45 viene dado por: 9
a
" 6
• a medida del segmento 45 es igual
a: 45
"
") ? e) =
c) @
7. P# + ! - son tres puntos consecutivos de una recta. P+ ; 6+B 2 ! P- ; 72. Aallar +-. a) C ") 2> c) 22 d) 26 e) < ?. 4# 1# ! E son puntos colineales ! consecutivos tal que sea punto medio de 1E ! 41 B 4E ; =>. Aallar 4. a) 6= ") 26#= c) => d) 6> e) 2= =. 4# 5 ! 1 son puntos colineales ! consecutivos tales que D45 ; <51 ! 41 ; ?=. Aallar 51. a) 6= ") 2C c) 67 d) 62 e) 2= @. os puntos consecutivos 4# 9# 5 ! 1 pertenecen a la misma recta. 9 es el punto medio de 41. Aalla la longitud de 95# si 45 51 ; 7>. a) < ") 76 c) 2< d) 6> e) 2=
a
D. En una recta se tienen los puntos consecutivos 4# 5# 1# ! # cumpliendo la relación: ?45 5 61 ; ?. Aallar PRO&LEMAS PROPUESTOS 4# si 45 ; 7 ! 41 ; =. a) < ") = c) C 2. o"re una recta se tienen los puntos d) @ e) D consecutivos ! colineales 451 tal que 41 ; 2<# 5 ; 2= ! 4 ; 7>. <. 9# ! - son puntos colineales ! eterminar la longitud del segmento consecutivos# tales que 6 9 B 7- ; 51. <2. Aallar -# si 9- ; 7@. a) 6 ") 7 c) ? a) 26 ") 22 c) 2> d) 2 e) = d) < e) C 6. e tienen los puntos colineales ! consecutivos 451 tales que: 4 ; 45 4 6?# 41 ; 2@ ! . Aallar 51: 51 1
C. ean los puntos colineales ! consecutivos P# +# -# # tales que:
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P+ +- - 7 ? = 6P+ =+- <-
a) 7 d) 26
") @ e) ?
Geo#etia
# !
276 Aallar P+.
d)
22. En una recta se toman los puntos colineales G# 4# H adem's se toma 5 entre 4 ! H cumpli%ndose: ?G5 ; 5H ! 4H ?G4 ; 6>. Aallar 45. a) 6 ") ? c) = d) @ e) 2>
2 2
")
2 6
c)
2
c) C
2>. e tienen los puntos colineales ! consecutivos 4# 5# 1# ! E# de modo que 4E ; 7@# 5 ; C# 41 ; 67 ! 45 E ; =. Aallar 1. a) 2 ") 2.6 c) 2#= d) 6.= e) 6
2
a)
2 6
e)
6 =
2@. o"re una recta se toman los puntos consecutivos 4# 5# 1# # ! E en donde se cumple que 4 . E ; 45 . 5E I1u'l de las alternativas es la correctaJ a) 51 1 ") 41 1E c) 5E 4 d) 4E 65 e) 4 651 2D. os puntos 4+-1 de una recta son tales que 4+ es la media aritm%tica entre 4- ! -1# si se cumple: (+1) 6 B ? ; ?+1# el valor de 41 es: a) 2 ") 7 c) 6 d) = e) ?
26. ados los puntos consecutivos -# 8# # 4# # donde -8 ; # 8 ; 4# -4 ; 2< ! - ; 6<. Aallar 4. a) D ") ? c) = 2<. e dan los puntos consecutivos 9# d) @ e) < 4# 5 siendo 8 el punto medio de 45. Aallar el valor de K para que se 27. ean los puntos -# 8# # cumpla la siguiente igualdad: consecutivos ! colineales. 94 6 95 6 K 986 486 -8 8 - 2< ! a) 6 Aallar -8# si: ") 2 c) 7 6 7 @ d) 6.= e) >.= -8 8 @ . a) 26 ") 2> c) 2= 2C. o"re una recta se tienen los d) 2? e) 2< puntos consecutivos 4# 5# 1# # E# F ! G cumpli%ndose que: 2?. En una línea se tienen los puntos consecutivos -# 8# G# 4 ! 5 4 5 1 1G G EG 2? -G -4 85 G5 8G 45 C ! 5E 74G . Aallar 4G. ? -8 G4 D . Aallar -G6 G56. a) 26 ") 2> c) C a) 2@ ") ? c) 6 d) < e) 2? d) 2 e) < 2=. o"re una recta se toman los 6>. e tienen los puntos colineales G# puntos consecutivos 4# 5 ! 1# 4# 5# L donde la longitud de 4L es el cumpli%ndose: 45. 51 ; α 416 ! triple de la longitud de G4 # calcular 45 51 G5 2 . uego: 6 5L# si se cumple: 51 45 6G4 4L PROF.SANDRO GARFIAS ZEGARRA
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$
a)
7 6
")
= 6
d)
? 7
e)
6 7
c)
= 7
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=. o"re una recta se u"ican los puntos 4# 5# 1 ! de tal forma que: 4 27 45.51 26 adem's 1 @ . Aallar el menor valor de 45. a) 7 ") ? c) = d) @ e) 6 @. En una recta se toman los puntos consecutivos # H# 9# 8# tal que 9 es el punto medio de . I4 que es H H 8 8 igual: J H9 98 a) ? ") 6 c) 7 d) 2 e) =
2. o"re una recta se toman los puntos consecutivos 4 5 1 ! tales que: 4 2< cm # 5 27 cm ! 41 26 cm . Aallar la medida del D. o"re una recta se consideran los puntos consecutivos 451# tal que segmento 51 . a) @ cm ") D cm c) < cm 41 45 4 4 ; 645# ! d) C cm e) = cm 2 2 2 . 1alcular 1. 45 51 ? 6. ean los puntos colineales ! ") 6 c) < consecutivos # 9# # P# +# siendo: a) ? d) 2 e) @ 2 + 69 9 ! . Aallar: 9+ = 9 <. o"re una línea recta se a) 26 ") 6 c) 27 consideran los puntos consecutivos 4# 9# 2 2 49 8d) e) 2. 1alcular *x, 8# tal que: 27 26 48 9x 7 98 98 7. o"re una recta se marcan los si: < 48 9puntos colineales ! consecutivos 4# 5# 1 ") 6 c) < ! # tal que: 45 1 . uego# la a) ? d) 2 e) @ 2 2 E expresión: es 45.41 51.5: C. G# 4# 5# L son puntos colineales equivalente a: ! consecutivos GL ; 6?# G4 ; (x !)# 45 2 ; (x B !) ! 5L ; (6! x). Aallar el valor a) 45.51 ") 6 6 c) entero de *!, 45 51 a) = ") C c) < 2 d) D e) @ 6 (45 5:)
d)
2 45.51
e)
6 45.51
?. e tienen los puntos consecutivos ! colineales 4 5 ! 1# de tal manera que: 41 2< 45 x ! 51 ?! x . IEntre qu% valores enteros varía *x,J a) @ x < ") 7 x = c) @ x 2> d) 7 x @ c) = x <
2>. o"re una recta se consideran los puntos consecutivos P# +# -# # calcular M7 7x M . i P+ ; 7+-# + 6 a) 6 d) ?
2 x 6 x
! P 7- ? ") C e) @
7N
N
7
7 c) <
22. e tienen los puntos consecutivos ! colineales 4# 5# 1 ! . 1alcular la longitud del segmento que une los puntos medios de 9 ! 4# si 9
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%
! son puntos medios de 45 ! 1. 4dem's 4 ; m ! 51 ; n. m n m n m n a) ") c) 6 ? 6 m n m n d) e) < ?
CLASIICACIÓN DE LOS
26. o"re una recta se tienen segmentos consecutivos cu!as 2 6 7 ? ... ! así longitudes son: 6O 7O ?O =O sucesivamente. Aallar la suma límite de sus longitudes. a) 7 ") 6#= c) 2 d) 2#= e) >#=
1. <+0*, N*,
2. <+0*, C,+5e7, > a) A0*:,
Ángulo
1on/unto de puntos pertenecientes a dos ra!os que tienen un mismo origen denominado v%rtice. 4
>Q
8
α
α
>Q
2<>Q
C>Q
!) Re-t, C>Q
-) O!t*s,
8 5
Eee+t,s
C>Q
α
2<>Q
3. <+0*, a+, α 2<>Q α
84 ! 85 : ados 8 : V%rtice 485 : ngulo α : 9edida del 'ngulo 485
4. <+0*, Có+-a5, 2<>Q α 7@>Q α
&ise-ti; :e *+ A+0*, e llama "isectri de un 'ngulo a un ra!o que partiendo del v%rtice# divide el 'ngulo en dos 'ngulos congruentes (de la misma medida) 4
α II. Se0=+ s*s -aa-te?sti-as 9
8
". <+0*, :e *+a 5*eta >pe?0,+,) e da cuando: α 7@>Q
a) <+0*,s C,pee+tai,s
5
89 es "isectri del 'ngulo 485
α α
θ
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θ
C>
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on congruentes. 4lternos externos:
!) <+0*,s S*pee+tai,s
θ
α
α
θ
6 < ! 2 D
<+0*,s C,+*0a:,s on suplementarios. Hnternos: 7 = 2<>Q ! ? @ 2<>Q Externos: 2 < 2<>Q ! 6 D 2<>Q
2<>Q
<+0*,s C,esp,+:ie+tes III. Se0=+ a p,si-ió+ :e s*s a:,s a) <+0*,s s*pee+tai,s
a:@a-e+tes α
θ
2<>Q
on congruentes. 2 @ # 6 = # ? < ! 7 D P,pie:a:es e+te :,s e-tas paaeas
1. i: 9RR 9
α
α θ
x
θ !
!) <+0*,s C,+se-*ti5,s 1
β 5
θ
α
8
4
-) <+0*,s ,p*est,s p, e 5ti-e 5S
4
α
θ
4 S
5
Le@ :e Sa*s a suma de los v%rtices que apuntan a la derec$a es igual a la suma de los v%rtices que apuntan a la iquierda. α
α
θ
F
θ
β
x
!
2. i: 2 RR 6 2
:) <+0*,s B,a:,s p, :,s e-tas paaeas @ *+a e-ta se-a+te 2
6
?
7
2 RR 6
@ <
2
=
6
D
<+0*,s Ate+,s i+te+,s on congruentes. 4lternos internos:
7
@ ! ?
=
<+0*,s Ate+,s e7te+,s PROF. SANDRO GARFIAS ZEGARRA
6 2<>Q
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Geo#etia
1
3. ngulo formado por las "isectrices de un par lineal
α
θ
En todo triangulo la suma de 2. las medidas de sus 'ngulos exteriores es 7@>Q.
5 !
C>Q
α θ θ α
θ
Triángulos
α 4
β
1
x Es el con/unto de puntos x ! ( 7@>Q pertenecientes a tres rectas secantes que se interceptan dos a dos al unir En todo tri'ngulo la medida 3. tres puntos no colineales. de un 'ngulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos 'ngulos 5 ! del tri'ngulo no ad!acentes a %l. θ
5 α 4
θ
β
x
Eee+t,s
x
α
4
V%rtices: 4 5 ! 1 ados: 45 51 ! 41 ngulos interiores: α θ ! β ngulos exteriores: x !
1
3. En todo tri'ngulo la longitud de uno de sus lados est' comprendido entre la suma ! la sustracción de las longitudes de los otros dos lados. i: a " c
P,pie:a:es En todo triangulo la suma de 1. las medidas de sus 'ngulos interiores es 2<>Q. 5
"
c
α
4
"
c
a
"
c
a
θ
α
x
1
β
θ
1
β
2<>Q
4. En todo tri'ngulo se cumple que a ma!or lado se le opone ma!or 'ngulo ! viceversa. i: a " c θ
c
"
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α
β
a
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11
m
θ
α
n
a
"
β
CasiBi-a-ió+ :e TiF+0*,s
4.
m
I. POR SUS LADOS a) TiF+0*, E*iFte, 1uando sus tres lados tienen la misma medida. !) TiF+0*, Isós-ees 1uando dos de sus lados tienen la misma medida. -) TiF+0*, Es-ae+, 1uando todos sus lados tiene distinta medida.
"
a
"
m
n
x
!
m
n
α
θ
n
".
m n !
x
II. POR SUS
a
#.
5 θ
α
4
1
P,pie:a:es :e ,s tiF+0*,s 1.
5
α θ
x
θ
β
TiF+0*,s N,ta!es
β
x
2. 4
α
1
?=Q
5 m
T
x
m
6
T
n ?=Q
6
7>Q
x θ θ
@>Q T 6
T 7
α α
n
1
4
=7Q
D?Q
3.
DT
6=T
a
"
=
2@Q 6?T
PROF. SANDRO GARFIAS ZEGARRA
m
7T
n
7DQ
?
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D2#=Q
@7#=Q
T 2>
T
T
T =
2<#=Q 7T
Geo#etia
12
6@#=Q
6T
U
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13
LINEAS 8 PUNTOS NOTA&LES DE UN TRI
PUNTO NOTA&LE
5isectri Hnterior
H:Hncentro
H
5isectri Exterior
E : Ex centro
gg
6" 9ediana
c
G:5aricentro G
6a
"
a 6c
4ltura 8
8 : 8rtocentro
9ediatri 1
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1 : 1ircuncentro
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Geo#etia
14
P,pie:a:es
i: a 6
1. x
C>Q
6
x
"6 c 6
a6
"6 c 6
a6
"6 c 6
El tri'ngulo es acut'ngulo El tri'ngulo es acut'ngulo El tri'ngulo es o"tus'ngulo
P,pie:a:es e+ e tiF+0*, isós-ees
2. x
C>Q
6
2. En un tri'ngulo isósceles al traar la altura relativa a su "ase# este tam"i%n cumple la función de "isectri# mediana ! mediatri. 5isectri 4ltura 9ediana 9ediatri 1eviana
x
3. x
x
6 6. a suma de las distancias de un punto cualesquiera de la "ase en un tri'ngulo isósceles a sus lados congruentes es igual a cualquiera de las alturas congruentes.
4.
x x
x
a
"
x
Nat*ae;a :e *+ TiF+0*, os valores de los lados de un tri'ngulo de"en cumplir con ciertas condiciones: 5
a
c 4
onde: a "
"
a
" P
C,+se-*e+-ia
a c θ
1
θ
x a
" P
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θ
x
a
"
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1"
59
41 6
P,pie:a:es e+ e tiF+0*, e*iFte,
Congruencia de Triángulos
2. En un triangulo equil'tero los puntos nota"les coinciden en un &nico punto ortocentro incentro "aricentro circuncentro
PRIMER CASO ALA >A+0*,GLa:,GA+0*,)
a suma de las distancias de un punto interior a un tri'ngulo equil'tero $acia sus lados es igual a cualquiera de las alturas congruentes.
os tri'ngulos son congruentes si tienen congruentes un lado ! los 'ngulos ad!acentes a %l. 5
5S
≅ α
α
θ
1
4
$ c
"
$
a
"
451
c
a
θ 1S
4S
4 S5 S 1S
SE'UNDO CASO LAL >La:,G<+0*,GLa:,)
P,pie:a:es e-tF+0*,
e+
e
tiF+0*,
os tri'ngulos son congruentes# si tienen congruentes dos lados ! el 'ngulo comprendido entre ellos.
2. En un tri'ngulo rect'ngulo el ortocentro# "aricentro ! el circuncetro pertencen a la mediana relativa $acia la $ipotenisa
5S
≅ α
α 1
4
5
8rtocentro
g
451 1ircuncentro
a
7a
9
7a
1
6. En todo tri'ngulo rect'ngulo la mediana relativa $acia la $ipotenusa traada desde el v%rtice del 'ngulo recto es la mitad de esta.
4 S5 S 1S
TERCER CASO LLL >La:,GLa:,GLa:,) 5
5S
≅ 4
1
451 CUARTO CASO
5
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4
9
1S
4S
5aricentro
6a
4
5
1
4S
4 S5 S 1S
1S
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Geo#etia
1#
LLA >La:,GLa:,G<+0*, a@,)
Te,ea :e a Me:iati;
os tri'ngulos son congruentes si tienen dos lados congruentes ! un 'ngulo congruente opuesto al lado ma!or.
i es 9ediatri de 45 ! P es un punto cualquiera de # entonces se cumple que: P
5S
5
P4
≅ 4 1
4
451
4S
P5
5
1S
4 S5 S 1 S
PRO&LEMAS PROPUESTOS Te,ea :e a !ase e:ia En todo tri'ngulo el segmento que une los puntos medios de dos lados# es paralelo al tercer lado ! su longitud igual a su mitad. 5
2. el gr'fico# calcule el valor de x. a) 6>Q ") 7>Q
80º
c) ?>Q d) =>Q
9 θ
41
69F
41 RR 9
4
θ
1
β 120º β
α α 70º
e) @>Q
6. En el gr'fico 45 51 # calcule x. C a) 7?Q ") 7=Q
Te,ea :e a &ise-ti;
3n punto cualquiera de la "isectri de un 'ngulo equidista de los lados del 'ngulo a distancia del v%rtice *8, $acia los pies de las perpendiculares son congruentes -
P 8
1:1ircuncentro
α
c) 7DQ
P+ P8+ 8-
d) 7CQ
!
β
111º α β
"
e) ?>Q 7. En el gr'fico 45 51 # calcule xR!. " a) 2R6 ") 2
º
C
c) 6 d) 7R6 e) =R6
PROF.SANDRO GARFIAS ZEGARRA
α
α
!
#º
Calidad Educativa
?. En el gr'fico# calcule x ! # si m n q 2=>Q m # a) 26>Q
<. En el gr'fico se cumple que 45 51 ! P+ +- # calcule x. a) 7@Q
") 2?>Q c) 2=>Q
... con Tecnología y Modenidad
1$
$
n
c) =>Q
d) 2@>Q
e) <>Q
=. En un tri'ngulo 451 so"re los lados 45 ! 15 se u"ican los puntos 9 ! # que
intersecta
9
a
c) 7
&
") 6@>Q !
") a "
e) 2>>Q
a #
c) 7 a " e) 6a "
β β β
m 2
c) D=Q
d) a "
C
2>. 1alcule el valor de x. a) @>Q m ") D>Q d) C>Q
α αα
)2
e) 76>Q
C
%
D. 1alcule x ! : a) 6 a "
)1
n
d) 7>>Q
'
c
m
c) 6=>Q
( !
%
'
C. En el gr'fico# el tri'ngulo 451 es equil'tero ! 2 RR 6 . 1alcule m n a) 6?>Q "
d) ? e) =
C
la
@. i los tri'ngulos 451 ! P+- son a c equil'teros# calcule . " " a) 2 a
2
" !
prolongación de 41 en P. i m S 415 m S P94 ! m S 451 6>Q . 1alcule la m S 4P9 . a) 2>Q ") 2=Q c) 2Q e) 6=Q
") 6
&
d) @>Q
e) 2<>Q
tal
") ?=Q
α
α
θ
22. En el gr'fico se cumple que 41 51 calcule x. " a) 7>Q θ
") ?>Q (
θ
c) =>Q
º
d) @>Q
C
e) D>Q
70º
!
PROF. SANDRO GARFIAS ZEGARRA
θ
C
CO!EGIO ISAAC NE"TON
26. En un tri'ngulo 451# se traa la "isectri interior 4E ! luego la altura del tri'ngulo 4E1. i 1A m S 41E m S E1A ! m S 54E 6>Q # calcule la m S 451 . a) 2>>Q d) 26=Q
") 2>=Q e) 2=>Q
c) 26>Q
27. En el gr'fico se cumple que " x. 45 51 ! T1 T # calcule a) 2=Q 20º ") 6>Q
D
c) 7>Q d) ?>Q e) @>Q
T
º
!
C
?>Q # calcule
2?. En el gr'fico# x !. a) 66>Q
α
") 6?>Q
m
β m
c) 2C>Q d) 66>Q
e) 62>Q
#
2=. En el gr'fico# calcule el valor de x 676Q
si α
2@. En un tri'ngulo 451 la prolongación de la "isectri interior 4 intersecta a la mediatri de 41 en P# luego se u"ica el punto + en 41 tal que 45 +1 . i m S 1P+ ?>Q # calcule m S 5P4 . a) 6>Q ") ??Q c) =>Q d) ?>Q e) 6=Q 2D. En un tri'ngulo isósceles 451 las cevianas interiores 45 51 4+ ! 1P se intersecan en . i m S 4+1 6 m S 41P . Entonces se puede afirmar que: a) 4 4P ") 4 P c) 4 4P d) 4P 4 e) P 4P 2<. En un tri'ngulo 451 se traa la "isectri interior 4P ! las medianas 59 ! 4 . i 9 ! 4P se intersecan en 8 ! 41 45 < . 1alcule 89. a) 6 ") 7 c) ? d) = e) @ 2C. En un tri'ngulo 451 se traa la mediana 4E ! la ceviana 5 quienes se intersecan perpendicularmente en 5P C P. i ! m S 54E mS 4E1 2<>Q # calcule P. a) 7 ") 7#= c) ? d) @ e) D
φ
6>. En un tri'ngulo 451 se traa la altura 1 ! la mediatri de 41 que interseca a 51 en 9# si dista de
β θ
a) 27>Q d) 26>Q
Geo#etia
1%
") 22@Q e) 276Q
c) 26=Q
2#= 41 m S 51 6 m S 41 9. a) 7 ") 6
PROF.SANDRO GARFIAS ZEGARRA
m 7>Q #
! Aalle
c) 7 6
Calidad Educativa
d) 7 7
... con Tecnología y Modenidad
1 e) 6 7
a) @Q
7*º
!
") DQ 62. En la figura 45 1 2> # 49 9 ! 5 1 . Aalle 9. a) ? "
") =
+ ,
!
C
AUTOE9ALUACIÓN 2. En el gr'fico las regiones 451 ! 6>Q # 1E son congruentes. i C $alle x. a) D6Q ") D?Q !
c) D>Q d) D
β
º
" α
-
D
1/º
C
?. En un tri'ngulo rect'ngulo 451 recto en 5# se traa la ceviana 5P# tal 45 P1 que ! calcule 7 m S 541 6 m S P51 # m S 514 . a) 7>Q ") 7DQ c) ?=Q d) =DQ e) @>Q =. En el gr'fico# calcule θ a) 2>Q
6. En el gr'fico# 51RRF 51 FE # 2?>Q. 1alcule x. 45 F ! D a) 6>Q β
" θθ
") 6>Q c) 6=Q &
d) ?>Q e) @>Q
e) <>Q
") 7=Q
*0º
d) CQ
D
d) C e) @
c) Q
7*º
c) <
"
!
20º
'
%
C
@. En un tri'ngulo 451 se traa la ceviana 59# m S 541 6 mS 459 6 mS 415 ! 45 91 . 1alcule m S 541 . a) =7Q ") @>Q c) D6Q d) <2Q e) =?Q
D. ado un tri'ngulo 451# en 45 51 ! 41 se u"ican los puntos P + ! º " d) =>Q ! θ - respectivamente. 1alcule m S 451 # si . 4P -1 # m S P41 mS P-+ ?>Q ! e) D>Q C m S -P+ D>Q. ") 22>Q c) 26>Q 7. i 51 @ 45 # calcule el valor de a) 2>>Q d) 27>Q e) 2=>Q x. c) ?>Q
PROF. SANDRO GARFIAS ZEGARRA
CO!EGIO ISAAC NE"TON
Geo#etia
2
<. En un tri'ngulo rect'ngulo 451# recto en 5# la "isectri exterior de 5 ! la mediatri de 41 se intersecan en P# luego se traa PE perpendicular a 51 (E en 51 ). 1alcule 45# si 5E 6 ! E1 < . a) 6 ") ? c) = d) @ e) <
") D=Q c) <>Q d) C>Q e) C=Q 27. En un tri'ngulo 451 se traa la ceviana 4E cu!a prolongación interseca en F a la "isectri exterior del 'ngulo 1. i m ∠54E W m∠E41 ; 6>X ! m∠EF1 ; 7>X# calcular la m ∠ 451. a) 7=X ") ?>X c) ?=X d) @>X e) 7>X
C. En un tri'ngulo rect'ngulo 451 recto en 5 se traa la altura 5A ! la "isectri interior 49 (P es la intersección de 5A ! 49 ) luego se traa 9+ perpendicular a 5P (+ 2?. En un tri'ngulo 451# se traa la tal que 5 # pertenece a 5P ) ! 5+ 2> . 1alcule ceviana interior 45;5;1 ! 41;51. 1alcular la PA. medida del 'ngulo 4. a) @ ") D c) < a) D6X ") 7>X c) 7@X d) C e) 2> d) ?=X e) 6?X 2>. e tiene el tri'ngulo 451 ! se traa la ceviana interior 5 si 2=. En un tri'ngulo 451# se traa la 45 4 1 ! mediana 1P . En el tri'ngulo 5P1 se m S 541 6 m S 514 # calcule traa la mediana 59 que mide 6? m S 51 . luego se traa PRR59 ( en 41) . a) 2>Q ") 6>Q c) 7>Q Aallar P. d) ?>Q e) =>Q a) 26 ") ? c) 2@ d) @ e) 2< 22. En el gr'fico se cumple que 45 51 # calcule x. " 2@. e tiene un tri'ngulo equil'tero a) =>Q º 2º 451# en el cual se traan las cevianas 80º interiores 1 ! 59 que forman un ") @=Q 2º 'ngulo cu!a medida es @>X. i 5 ; = c) D>Q ! 91 ; C# Aallar 45. ! C d) <>Q a) ? ") 6#= c) 2> d) 2? e) ?#= e) 2>>Q 2D. El 'ngulo 1 de un tri'ngulo rect'ngulo 451 recto en 5 mide 72X# m S 451 7 m S 541 4 5 ! 19 es so"re 41 se toma el punto de modo m 45 7 # adem's 5 ; @. "isectri!de S 51 . Aalle el valor" de x. ) 1 que la Aallar 41. a) @=Q 26.
i
2 RR 6 #
º
+
adem's
, PROF.SANDRO GARFIAS ZEGARRA
2º C
)2
Calidad Educativa
a) @ d) 2?
... con Tecnología y Modenidad
21 ") < e) 26
c) 2>
6.
2<. En un tri'ngulo rect'ngulo 451 recto en 5 (con 45 Y 51)# se traa la mediana 59 ! la altura 5A# si la distancia de A al punto medio de 59 es 7. Aallar el lado 41. a) 7 ") @ c) C d) 26 e) 2= 2C. En un tri'ngulo 451# la altura 5A pasa por el punto medio F de la mediana 49 . Aallar 5F# si se sa"e que FA ; ?. a) 2> ") 26 c) 2? d) < e) C 6>. o"re el lado 41 de un tri'ngulo 451 se toma un punto de modo que se verifica: 4 ; 51# adem's se sa"e que los 'ngulos 4 ! 1 miden 6>X ! =>X respectivamente las mediatrices de 45 ! 1 se cortan en el punto E. Aallar la medida del 'ngulo E51. a) 7>X ") 7=X c) ?>X d) ?=X e) =>X
En un tri'ngulo o"tus'ngulo 451# o"tuso en 4# se traa la mediatri de 45# la cual corta a 51 en F. i 4 ; 75 $allar el menor 'ngulo formado por 4F ! la "isectri interior del 'ngulo 1. a) @>Q ") D=Q c) C>Q d) ?=Q e) @=Q
7.
a) ==Q d) D>Q
?.
a) 2
=.
a) 2< d) 26
En un tri'ngulo rect'ngulo 451# recto en 5# la mediatri relativa a la $ipotenusa corta a 51 en P ! a la prolongación de 45 en +. i el 'ngulo 4P5 D>Q # determinar la medida del 'ngulo 4+P. ") 7=Q c) 7>Q e) =>Q En un tri'ngulo 451 o"tuso en 4# cu!o 'ngulo interior 1 mide 7@Q# se traan la "isectri 5 ! la mediatri de la "isectri 5# la cual corta a la prolongación de 14 en E. Aallar la medida del 'ngulo E54. ") 7@Q c) 6?Q e) 76Q En un tri'ngulo 451# recto en 5# se traa la mediatri del lado 45# la cual corta a 41 en P. eterminar la distancia del v%rtice 5 al Punto P# si se sa"e que 41 ; 6>. ") 2@ c) 2? e) 2>
@.
AUTOE9ALUACIÓN 2. En la figura# la diferencia de las medidas de los 'ngulos 4 ! 1 es ?>Q. 1alcular el suplemento del complemento del 'ngulo x. 5
as medianas de un tri'ngulos 451 miden: 49 ; C cm ! 5+ ; 26 cm. I1u'l de los siguientes valores podría tomar 41J a) 2= cm ") 6> cm c) 6= cm d) 7> cm e) .4.
D.
En la figura# $allar *x, si 5 E1 E 59 91.
a) 7>Q
4 a) 2=>Q d) 2>>Q
x
7>Q ") 2@>Q e) 22>Q
c) D>Q
5
1 ") 7DQ
<>Q
:
c) ?>Q
9 E
d) ?=Q
8
4
PROF. SANDRO GARFIAS ZEGARRA
1
CO!EGIO ISAAC NE"TON
e) =>Q <.
22
Geo#etia
26. En un tri'ngulo 451# m 4 ?=Q ! m 1 =7Q . 1alcular el valor de 51 si 41 2?. a) < ") 2> c) 26 d) C e) 22
En un tri'ngulo 451 se traa la ceviana 59 tal que 45 91# luego se traa 9 tal que 27. En la figura siguiente se pide est' so"re 51. i el $allar 5A si: 4P 2># m 4 m 59 ?>Q . Aallar 4A <#5 51 ?> ! la medida del 'ngulo 459. a) D>Q ") ?>Q c) 7>Q 49 91 . E d) ?=Q e) @>Q a) 6> P ") 66 C. En un tri'ngulo rect'ngulo 451 c) 6? 1 4 A 9 recto en 5 se traan la mediana d) 6= e) 6@ 59 ! la ceviana interior 1 las cuales se cortan en tal que 2?. En un tri'ngulo rect'ngulo 5 9 . Aallar 9 si 541 la $ipotenusa 51 mide 7> 1 2@ . m. so"re 51 se toma un punto a) ? ") @ c) < ! so"re su prolongación del d) 2> e) 26 punto F de modo que 2>. En un tri'ngulo rect'ngulo 4 4F 1alcular el lado 41 451 m 5 C>Q ! 45 51 sa"iendo que los 'ngulos 14F so"re la $ipotenusa se toma un ! 45 miden 26Q ! 2 m ") 2= m c) 6> m 51 ! 4 se cortan en +. d) 2< m e) 2C m 1alcular el 'ngulo 41+ sa"iendo que el 'ngulo 541 2=. En el interior de un cuadrado mide @?Q. 451 se constru!e el tri'ngulo a) 6>Q ") 66Q c) 76Q equil'tero 4E# se traa 1F d) @?Q e) 6@Q perpendicular a la prolongación de 5E ! luego se traa F 22. o"re el lado 51 de un tri'ngulo 451# se toma el punto perpendicular al lado 4. + # siendo 45 1+. as Encontrar la longitud de F si mediatrices de 5+ ! 41 se 45 26. intersectan en *-, situado en el a) @ ") D c) < exterior del tri'ngulo. Aallar la d) C e) 2> medida del 'ngulo 1-+# si el 'ngulo 415 mide 6>Q. 2@. En la figura# P9 es mediatri# P1 65P. 1alcular . 4 a) 2>Q ") 6>Q c) 2=Q d) 7>Q e) 6=Q 9
PROF.SANDRO GARFIAS ZEGARRA 5
P
θ
1
Calidad Educativa
... con Tecnología y Modenidad
23
a " c m n p Te,ea :e a &ise-ti; I+tei, 2 RR 6 RR 7 RR ?
a) 7DQ d) 2=Q
") 7>Q e) 2
c) ?=Q
a
c
c m
a n
c m
a n
2D. En la figura mostrada# $allar el valor de 45# si 9 7. 5 a) 2< ?=Q ongitud de la 5isectri Hnterior ") 6> 9 6 x ac mn c) 6= d) 2= 7DQ 1 Te,ea :e a &ise-ti; E7tei, e) 7> 4
m
2<. En un tri'ngulo 451 m 4 m 5 7>Q se traa la "isectri interior 5- # calcular 4- si -1 6 . a) 6 ") 6 6 c) 6 7 d) ? e) 7
n
c
x
a n
ongitud de mla 5isectri Exterior x
6
mn
ac
Teoremas complementarios
2C. En la figura mostrada $allar la medida de *x, si 45 ; 51
Te,ea :e Me+ea,
5
m "
4
a"c
mnp
a
7>Q 2<
a) 6 d) @
n
1
") 7 e) 2
c) ?
Te,ea :e Ce5a m
Teorema de Tales Si tes , Fs e-tas paaeas s,+ -,ta:as p, :,s se-a+tes -*aes*iea e+t,+-es as paaeas :etei+a+ e+ as se-a+tes se0e+t,s p,p,-i,+aes.
a "
.2
m
"
1evacentro
a
n c
p a"c
mnp
Te,ea :e I+-e+t,
.6 n .7
c
c
p
p .?
x
c H
a !
PROF. SANDRO GARFIAS ZEGARRA "
x !
a
c "
CO!EGIO ISAAC NE"TON
Semean3a de Triángulos
Rea-i,+es Mti-as e+ TiF+0*,s Re-tF+0*,s
os tri'ngulos son seme/antes si sus tres 'ngulos interiores son respectivamente congruentes ! sus lados $omólogos son proporcionales. CASOS DE SEME6ANA 1e Cas, i tienen dos 'ngulos respectivamente congruentes.
4
m
"
5 1
c P
5
4
5 1
6
Z (2)
; am
Z (6)
umando (2) ! (6) o"tenemos el Teorema de Pit'goras: a
6
6
; " Bc
6
4dem's:
+ Ta
an
-
2:, Cas, i tienen un par de 'ngulos congruentes ! los lados que lo forman respectivamente proporcionales. Tc
1
a 6
6
n
5
+
$
"
c
5
4
Geo#etia
24
c
"c
2
a
$ P
a$
2
;
6
c
2
6
"
6
-
TEOREMAS DE EUCLIDES
3e Cas, i tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
I. E+ e"tiF+0*, a-*tF+0*,
5 + Tc 4
Ta
T"
5 1
c P
c
a "
6
"
6
6"n
a 6
a n
m !
PRO8ECCIÓN ORTO'ONAL SO&RE UNA RECTA
4
1
PS 4 S 5 S 1S
"
6
6"m
5
a
c m 4
F +
6
C
(
E
5
c
II. E+ e tiF+0*, ,!t*sF+0*,
a pro!ección ortogonal de un punto P# so"re una recta # es el pie de la perpendicular traada des P a . 4simismo# la pro!ección de un segmento (cualquier figura# en general)# se o"tiene de pro!ectar todos los puntos de dic$a figura# so"re la recta.
4
c
a
-
%elaciones ,étricas
P
6
PROF.SANDROGARFIAS ZEGARRA
- 9S S ESFS +S -S 9
S
"
1
mn
Calidad Educativa
a
6
c
6
"
6
6"m
Te,ea :e SteJat
Te,eas :e He,+
" c
a
"
(
a
c
C
(
c
!
4rea
6 "
C
(
a " c # se cumple: 6
i: p
$"
onde 5 es ceviana:
"
(
!
6
p(p
a)(p
")(p
c)
p(p
a)(p
")(p
c)
m(
!
a
c
6
6m "
6
m(
e tiene un tri'ngulo 451 tal que: 51 7 ! 45 41 @ # se traa 9RR51 ! 9PRR41 de manera que 9 9P . 1alcular 59. ") 6 c) 7 e) 6#=
6.
En la figura# 45 es di'metro ! T punto de tangencia. 1alcular la longitud de 5.
a C
a) 2 d) ?
6
" 6
a
a
6
c
6
C
( Rea-ió+ e+te as e:ia+as @ ,s a:,s :e *+ tiF+0*, " c
a
m(
a
ma
!
T
6 x"
D
!
mn"
2.
P,@e--ió+ :e a e:ia+a
c
6
c n
C
Tea Seea+;a
( 6
(
n
D
PRO&LEMAS PROPUESTOS
"
c
m
a m
a
!
x "
Te,ea :e a e:ia+a
6
... con Tecnología y Modenidad
2"
ma
6
6
"
m"
6
c
6
mc
6
? 7
a) ?#6 d) 7#@ 7.
mc
(
6
"
!
C
16
12
") 7#= e) D#6
c) ?#<
En un ∆ 451# al traar la mediana 59 # se cumple que
C PROF. SANDRO GARFIAS ZEGARRA
CO!EGIO ISAAC NE"TON
Geo#etia
2#
<.
1 : 1ircuncentro 1alcular
51# si 41 @ 6. a) 7 ") @ c) ? d) 26 e) C ?. e tiene un tri'ngulo 451# donde se cumple: 45 26 # 41 2> ! 51 < . e traa 9RR51 ! 9FRR41 . 1alcule 49# sa"iendo adem's que: 9 9F 49 4 . a) ? ") = c) 7 d) 6#= e) ?#= =.
a) 27 d) 2> @.
as "ases 45 ! 1 de un trapecio rect'ngulo miden ? ! C. e toma 9 punto medio del lado no paralelo 4 perpendicular a las "ases. 1alcule 4 para que el 'ngulo 591 sea recto. ") @ c) < e) 26 1alcular x ! # en:
α
* α
θ θ
#
a) 27#6 d) 26 D.
") 27#= e) 2=
c) 2>
a som"ra pro!ectada por una torre es de 76 m si la torre tiene 6 pisos# de 2> m el primero ! de @ m el segundo# entonces la som"ra pro!ectada por cada piso es: a) 6> ! 26m ") 2< ! 2?m c) 66 ! 2>m d) 6? !
a) ?= d) @> C.
a) @ d) <
En el tri'ngulo 451# 45 6> ! 51 ?> # en 45 se u"ican 9 ! tal que 49 C # 9 D ! 5 ? # por 9 ! se traan paralelas 9P ! + al lado 51 (P ! + en 41 ). Entonces la longitud de 9P B + es: ") => c) == e) @= En un tri'ngulo 451 se traan las cevianas 4P ! 5+ concurrentes en el punto *8,# tal que P8 648 ! 5P 7P1 . 1alcular 8+# si 5+ 6? . ") 26 c) ? e) 6
2>. En un tri'ngulo 451# la circunferencia que pasa por los v%rtices 4 ! 5 corta al lado 51 en el punto F# la recta tangente a la circunferencia que pasa por el v%rtice 5 es paralela al lado 41 . 1alcular 45# si 5F ? ! F1 = . a) 7#= ") ?#= c) @ d) C e) 7 22. En la figura# 5 es punto de tangencia. 1alcular 45# si 51 " ; 26# 5 ; 6> ! adem's: 4 ; 76. a) 26#< ") 2?#=
!
c) 2C#6 d) 6>#= e) 2@#?
PROF.SANDRO GARFIAS ZEGARRA
C
D
Calidad Educativa
... con Tecnología y Modenidad
2$
26. 451:"cuadrado#.adem's: C E5 2 ! F1 6 . 1alcular 4. -
sa"iendo que los lados de los otros cuadrados miden 7 ! ? cm. a) 2>
a) 6
") D
") 7
c) 22
c) ?
!
D
d) 2?
d) =
e) 26
e) @ 27. e tiene un tri'ngulo 451 donde: 45 ? ! 41 C # la distancia de 4 al incetro es 7. Aalle la distancia del incentro al excentro relativo al lado 51 . a) 2= ") C c) 26 d) 27 e) =
Tea Rea-i,+es Mti-as 2.
2?. En la figura# 8 es centro de la semicircunferencia. 1alcular la longitud del radio# si 4 a# 41 "# adem's: a " 2<. a) @
a) d)
6.
D
") C c) ?#=
") =
d) =
c) @ !
a) =
8
'
&
'
"
C
1/
d) D
"
2=. En la siguiente figura# calcular el lado del cuadrado P+-# si 4- "2> ! 1 2= .
") ?
451 es un cuadrado. Aallar *P+,
a) C
C
e) 7
En un tri'ngulo o"tus'ngulo 451 o"tuso en 5# por el punto medio *9, de 41 se traa 9P perpendicular a 51 . Aallar 9P sa"iendo que: 45 ; @# 5P ; 7 ! adem's P1 ; D. ") D c) 6 @ e) 6 6 =
&
e) <
D
!
7.
i 451 es un cuadrado ! 45 ; <. Aallar *-,.
a) 6
C
"
") 6 6
c) 7
c) ?
d) @ e) =#=
!
S
C
%
d) = e) 7 6
2@. En la figura mostrada se pide el lado de cuadrado ma!or PROF. SANDRO GARFIAS ZEGARRA
%
!
D
CO!EGIO ISAAC NE"TON
?.
a "ase ma!or de un trapecio mide
c) 2= d) 2@ e) 2D C.
os catetos de un tri'ngulo rect'ngulo son: 45 ? 6C !
41 7 6C # por el punto medio 9 de 45 se traa# exterior al tri'ngulo# un segmento 9 perpendicular a 45 e igual a su mitad. 1alcular 1. a) = 6C ") 6C c) 6C d) 6 6C e) =< @. Aallar P+# si - ; = ! +A ; <. a) ? = ' ") = % c) ? d) 7 e) 6 = 4 & D. e tiene el trapecio isósceles 451# cu!a "ase menor mide Du. a diagonal 41 es perpendicular al lado no paralelo ! mide 6>u. 1alcule la medida de la "ase ma!or. a) 2= ") 2D c) 2C d) 67 e) 6= <.
Geo#etia
2%
En la figura se muestra a dos semicircunferencias. Aallar x
a) 27 ") 2?
a) ?6u d) @6u
a relación de los cuadrados de las longitudes de los catetos de un tri'ngulo rect'ngulo es igual a =R< ! la pro!ección de la mediana relativa a la $ipotenusa so"re %sta mide @u. I1u'nto mide la $ipotenusaJ ") 7@u c) =6u e) =@u
2>. En una circunferencia# a uno ! otro lado del di'metro 45 # se traan las cuerdas 41 ! 4 que miden ?u !
22. En la figura. i: 9 ; = ! 5P ; C. Aallar *-,. , a) 2= m ") 26 m
+
%
c) 2@ m d) 6> m " ! & 1 e) 6= m 26. e la figura# si 49 ; 7 ! 45 ; C. Aallar *-,
a) 6 !
" C *
D PROF.SANDRO GARFIAS ZEGARRA
%
,
!
"
Calidad Educativa
4P . uego P+ RR 41# estando + en 45. 1alcular P+. a) ?#< ") ?#D c) ?#== d) =#6 e) @#=
") @ c) = d) ? e) D
27.
En la figura. i: 45 26 m 41 ? m ! -E < m . Aallar la longitud del radio de la circunferencia.
a) < m
"
") C m !
c) 2> m
%
-
D
d) @ m C
e) ? m
2?. En un cuadrado 451# se traa P+ 4 intersectando a la semicircunferencia de di'metro 4 en el punto F (F en el interior del cuadrado). i 4F ; @ ! la distancia de 5 al segmento 4P es 6# $alle 4P. a) 2@ ") 2< c) 26 d) 6> e) 6? 2=. En la semicircunferencia mostrada: 45 51 1 +6 . Aallar 9. , a) 6 ") c)
... con Tecnología y Modenidad
2
?. a)
1alcular el valor de *x, 7
") 6 7
12
c) 7 7
2θ
θ
d) ? 7 e) = 6
7 =
6. Por el v%rtice 4 de un paralelogramo 451 se traa una recta que corta a 5 en 9# a 1 en F ! a la prolongación de 51 en P# de modo que 9F ; 2 ! FP ; <. 1alcular el valor de 49. a) 7 ") ? c) = d) @ e) 2> 7. 451 es un trapecio# 51 RR 4 45 @ # 51 < # 1 2> ! 4 26 . as prolongaciones de 45 ! 1 se intersecan en el punto F. Aallar F5 B F1. a) 6? ") 7> c) 76 d) 6< e) 6@
!
"
C
D
d) 6 e) 7
AUTOE9ALUACIÓN 1 2. En un ∆ 451# 45 D ! 41 27 # se traa la "isectri interior
=. En un ∆ 451# 45 51# las alturas 5A ! 4- se cortan en el punto +. 1alcular 5+# si +A < ! 41 6>. a) ?#= ") ? c) 7#= d) = e) 26 @. os tri'ngulos son seme/antes# la raón de seme/ana es 7 # el perímetro del tri'ngulo menor 2D
PROF. SANDRO GARFIAS ZEGARRA
CO!EGIO ISAAC NE"TON
es 2=cm. 1alcular el perímetro del tri'ngulo ma!or. a) <> cm ") D> cm c) D= cm d) <= cm e) C> cm
2>. En un ∆ 451# la mediana 59 corta a la ceviana 4F en el punto +. 1alcular 5+# si 59 26 ! F1 75F. a) ? ") ?#< c) @ d) =#? e) ?#6 22. 451 es un paralelogramo# EF 6 ! F =. 1alcular GE. a) D G
D. El cuadrado EFP+ est' inscrito en el ∆ 451. i 41 " ! 5A $ expresar la longitud del lado del cuadrado en función de " ! $. "$ a) " " $ ")
$ " " $
-
") C d) 22#=
.
.
e) 2>#= !
'
&
C
<. En la figura 45 RR EF RR 1. Expresar la longitud x en función de a ! ". "
C
")
26. En la figura# 45 ! 41 son di'metros# 4G 2<# G ? ! 4F 26. Aallar EF. a) =R7 D
")
G !
d) 6
27. a) 22
(
.
D
.
a" a "
c)
1alcular el valor de x:
c) D
d) 27
α
16 α
e) 2=
e) " a "
C. T es punto de tangencia. 1alcular TA# si r 7 ! - D. a) 6#2 ") 6#= r c) 2#< T d) 7#6 e) 2#@ 4
-
") 26
D
C
"
e) 7
-
a
6a" a " a a " c) a "
C
!
" $ d) 6"$ e) 6 " $
a)
-
"
c) 26
2( c) (
!
Geo#etia
3
2?. En la figura# 45 51# r ! - D. 1alcular 85. " a) ? %
") 7
c) 7#@ d) ?#6
r
%
PROF.SANDRO GARFIAS ZEGARRA !
,
C
6
Calidad Educativa
... con Tecnología y Modenidad
31 2C.
En un ∆ 451# P 45# + 51 ! P+ RR 41. 1alcular P+# si 41 6? ! 745 =P5. a) D#6 ") 26 c) 2?#? d) 2@ e) 2=
e) 6#= 2=. En la figura# T es punto de tangencia: 4T 2> 45 ? ! T1 26 . 1alcular T5. T a) = ") @
C
c) ?#= d) ?#<
"
!
e) =#6
1alcular x ! # en:
2@. a) 2C
AUTOE9ALUACIÓN 2
*n α
") 6>
c) 62
/n
α #
d) 66
/n
α
e) 67
18
2D. a) C
1alcular el valor de x: β β
8
") 2>
c) 22 α
d) 26
6
α
e) 2? 2<. eg&n el gr'fico# calcular P+# si 45 26 ! 51RR4+ . "
!
&
6>. En un ∆ 451# E 45# F 51 ! m 5EF m 1. 1alcular EF# si 41 2@# 5F C ! 45 26. a) @ ") 2> c) 22 d) 26 e) <
/0º
2. Por un punto P exterior a una circunferencia se traan las tangentes P4 ! P5 tal que el 'ngulo 4P5 es recto. Aallar la longitud del radio de dic$a circunferencia si un punto F del 9 menor arco 45 dista 7m de P4 ! @m de P5 . a) 2> m ") 26 m c) 2= m d) 2< m e) 6> m 6. En un tri'ngulo 451# se constru!e una semicircunferencia exterior con di'metro 51 # donde la prolongación de la altura 4A intersecta en el punto + a la semicircunferencia. Aallar 1+. i 45 ; 51 ! 41 ; ? 6 . a) 6 6 d) <
a) 6 7 d) ?
") 7 7 e) @
c) @
e) 7 6
C
r
7. '
") ?
c) ? 7
a)
1alcular 9# si - ; 6 ! %r ; 2. 6 7
7 ") 6 PROF. SANDRO GARFIAS ZEGARRA
+ ,
CO!EGIO ISAAC NE"TON 6 ? e) = ? ?. En un triangulo rect'ngulo# la $ipotenusa mide 2=m ! la altura @m. Encontrar la longitud del cateto menor. a) 7 = ") 6 c) 6 6 d) 7 e) 6 7 6
c)
7 ?
d)
e) 6 6 7 @. En el cuadrado 451# P es un punto cualquiera de 45 tal que el S 1P+ es recto. i 5P x P+ ! + # Icu'l es la relación correctaJ " C a) ! 6 x 6 6
") x 6 ! 6 c) ! 6 6
6
6x 6
D. a) @
! '
Aallar x:
" ,
c) < d) C e) =
!
+ 8
D
3
C 10
<. as "ases de un trapecio de diagonales perpendiculares miden ? !
"
"
c) 2=
8 %
d) 2@ !
D
2>. En un tri'ngulo acut'ngulo 451# la altura 5A pasa por el punto medio F de la mediana 49 # so"re A1 se toma un punto E de modo que el 'ngulo 4FE es recto 4A AE 7@ . 1alcular 5F. a) @ ") 26 c) 2< d) < e) 6? 22. En un tri'ngulo rect'ngulo 451 recto en 5# se traa la ceviana interior 4F ! la altura 5A . 1alcular 51# si: 4F F1 A1 2.
d)
#
6
") D
") 2?
a) &
d) x ! e) x !
26. 1alcular la altura del trapecio# si el producto de las diagonales es 2??. a) 26 ") 2> c) < d) 7@ e) C C. el gr'fico# $allar *-, a) 27 2
e) 2D
=. 3no de los catetos de un tri'ngulo rect'ngulo mide @ # su pro!ección so"re la $ipotenusa es la cuarta parte de la $ipotenusa. Aallar la longitud del otro cateto. a) 7 6 ") 6 6 c) 6 d)
Geo#etia
32
7
6
") 6 6
6
e) 67 6
6 6
c)
26. En una semicircunferencia de di'metro 45 se toma un punto P ! por el se traa una tangente. a distancia de 5 a dic$a tangente mide =. 1alcular la longitud de 4P . i: 45 ; C. a) 7 ") ? c) =#= d) @ e) @#= 27. En la figura mostrada# si 41 45 2@ . Aallar *-,. % a) 6 ") ?
r
PROF.SANDRO GARFIAS ZEGARRA !
C
"
