Estructura De Datos: Grafos

ESTRUCTURA DE DATOS

GRAFOS

5.1 Tipo de datos abstracto: Grafo ¿Qué es un Grafo? Es una red de elementos conectados entre sí, un grafo podría explicarse como la red de carreteras de un país que tienen un conjunto de ciudades ciudades conectadas a través de caminos.

Conceptos Grafo: Es un conjunto de nodos y arcos o de vértices y aristas. Nodo o Vértice: Elemento que almacena la información de un grafo. Arco o Arista: Liga que une a dos nodos del grafo. Nodo adyacente: Dos nodos son adyacentes si hay una arista que los conecte. Camino (trayectoria): Secuencia nodos para de ir de un vértice X a un vértice Y. Arista Paralela: Dos aristas son paralelas si comparten los mismos vértices. Arista Incidente o Lazo: Es aquella arista que se dirige al vértice desde el cual partió. Vértice Aislado: Es aquel vértice en el cual no incide ninguna arista. Ciclo: Es el camino donde el vértice de inicio i nicio y el de terminación son el mismo y no hay aristas repetidas.

Camino (trayectoria) Simple: Camino donde el vértice de inicio es diferente al vértice de terminación y no se repite el paso por ningún vértice. Grado de un vértice: Cantidad de aristas que inciden sobre ese vértice. Grado de un grafo: Es el máximo grado que pueden tener sus vértices, el cual es la cantidad de aristas que inciden en el vértice. Se representa con la letra delta minúscula:

Tipos de Grafos Grafo simple: Es un grafo sin lazos ni aristas paralelas. Grafo no dirigido: En un grafo no dirigido las aristas no tienen una dirección particular, por lo que si el vértice A y el vértice B son adyacentes, es igual ir de A hacia B que de B hacia A.

Grafo dirigido (Digrafo): En un dígrafo las aristas tienen una dirección asociada, la primer arista es el origen y la segunda (quien es apuntada por la flecha) es considerada el destino.

Grafo completo: Es en el cual existe un camino desde cualquier vértice hacia todos los demás vértices del grafo.

Grafo Ponderado: Es el grafo en el cual cada arista tiene asignado un peso o valor real no negativo.

Ejemplo 1: Conjunto de Vértices: V={v1, v2, v3, v4}



Aa2

v1

v2 Aa4

Aa5 Aa3



Conjunto de Aristas:

a={a1, a2, a3, a4, a5}

Aa4 v4 v3

v1

Aa1

Aa2 v2



Este grafo es un grafo Simple



Este grafo es un grafo no dirigido



Caminos para recorrer de v1 hacia v4 en este grafo:



v1 y v2 son nodos Adyacentes

- v1, v2, v4 - v1, v4 - v1, v3, v4 - v1, v2, v1, v4

Ejemplo 2: Aa2

v1

v2 

Aa1

Aa3 v4

Este grafo es un grafo dirigido ya que sus aristas están direccionadas.

Ejemplo 3: Aa4

v3

Aa3 v1

Aa1



a1 y a2 son aristas paralelas



La arista a4 es un lazo



El vértice v4 es un vértice aislado

v4

Aa2

v2

Ejemplo 4: 

v2

- v1, v2, v3, v4, v5, v1

v3

Aa1

Ciclos:

- v5, v1, v2, v4, v5 Aa3 Aa5

- v3, v2, v4, v3 - v1, v2, v3, v4, v2, v1 (no es ciclo ya que se repite la arista a4)

Aa4 v4



v1

Aa2

Aa6

Caminos Simples:

- v1, v2, v3 - v1, v5, v4, v2, v3 - v1, v2, v4, v3

v5

- v1, v2, v4, v5, v1, v2, v3 (no es un camino simple ya que se repiten los vértices v1 y v2

Ejemplo 5: 

Este grafo es un grafo Completo



El grado del grafo:



El grado del vértice v5:



El grafo es un grafo ponderado ya que cada arista tiene

v3 v2

v4

v1

(grafo)= 4. (v5)= 4.

v5

Ejemplo 6: Chihuahua

A820 km Coahuila

A700 km

A550 km Durango

asignado un valor en este caso son kilómetros de distancia.

5.2 Estructuras de datos para grafos 5.2.1 Estructura de Matriz de Adyacencias Una de las representaciones más sencillas de un grafo es la denominada Matriz de adyacencias que consiste básicamente en: 

Un arreglo bidimensional de tamaño nxn, donde n es la máxima cantidad de nodos del grafo.



Las casillas de la matriz se llenan con verdadero y falso o con 0 y 1 según exista o no un arista que conecte a los 2 nodos involucrados



Para el caso de los grafos no dirigidos, la matriz será simétrica, sin embargo esto no ocurre en los dígrafos donde se debe considerar la dirección explicita de cada uno arcos.



Para el caso de los grafos ponderados, la matriz se puede llenar con el peso asociado a cada una de las aristas.

Ejemplos: #1.- Grafo no dirigido

A

Matriz de Adyacencias

D

C

A

B

C

D

E

A

0

0

1

1

1

B

0

1

1

1

0

C

1

1

0

0

0

D

1

1

0

0

1

E

1

0

0

1

0

B

E

#2.- Grafo dirigido (Digrafo)

A

D

C E

Matriz de Adyacencias

B

A

B

C

D

E

A

0

0

0

1

1

B

0

1

0

0

0

C

1

1

0

0

0

D

0

1

0

0

0

E

0

0

0

1

0

5.2.2 Estructura de Lista de adyacencias Consiste en definir una lista encadenada de nodos y a cada uno de ellos enlazarlos con su lista de nodos adyacentes. La idea es la similar a la matriz de adyacencias pero se busca ahorrar un poco de espacio en la memoria al no definir las casillas para nodos que no tienen arcos.

Nodo

Apuntador al nodo adyacente

Apuntador al siguiente nodo

Ejemplos: #1.- Grafo no dirigido

A

Lista de Adyacencias

D

C

B

A

C

D

B

C

D

C

A

B

D

A

B

E

A

D

E

E

E

#2.- Grafo dirigido (Digrafo)

Lista de Adyacencias

A A

D

E

C

A

B

D

B

E

D

D

B C

B

E

5.2.3 Estructura de lista de arcos/aristas Se usa preferentemente en los dígrafos (grafos dirigidos). En esta representación se mantiene una lista de nodos (al igual que en la lista de adyacencias) pero en lugar de almacenar los nodos vecinos, se crea una lista para cada una de las aristas para cada nodo, en el cual se mantiene la información necesaria para determinar cual nodo es el origen de la arista y cuál es el destino. En esta estructura se minimiza el desperdicio de espacio en memoria pero el grado de complejidad crece a medida que se aumenta la cantidad de nodos

Nodo

Apuntador al arco donde el nodo es o rigen A untador al arco donde el nodo es destino

Apuntador al siguiente nodo adyacente

Ejemplo:

A

D

C

B

E

A-D

A-E

C

C-A

C-B

D

D-B

E

E-D

A

B

5.3 Recorridos de un Grafo Una de las operaciones básicas en el manejo de grafos es su recorrido, existen diferentes algoritmos para realizar esa operación. Dos métodos conocidos son el de Búsqueda en Profundidad y el de Búsqueda en Anchura. En ambos casos, debido a que es posible visitar el nodo más de una vez, es necesario marcar el nodo visitado como tal.

5.3.1 Búsqueda en profundidad El algoritmo se puede plantear de forma recursiva tomando como punto de partida el nodo i, (nodo con la menor información) visitándolo, marcándolo como visitado y seguir con los sucesores del nodo i usando la búsqueda en profundidad para visitarlos y marcarlos continuando recursivamente. Para manejar este algoritmo se utilizara una pila para guardar los nodos antes de ser visitados y una Lista para guardarlos una vez visitados.

Ejemplo:

3 2

4

1

5

Algoritmo de la Búsqueda en Profundidad explicada con el grafo anterior: 1.

El recorrido comenzara con el nodo 1 (N1).

2.

Insertar N1 en la pila de nodos sin visitar.

Pila de nodos sin visitar

Lista de nodos Visitados

Inicio

TOPE

N1

3.

Sale N1 de la pila, se visita y se coloca en la lista de nodos visitados. (El algoritmo termina en el momento en que se vayan a sacar nodos de la pila y esta se encuentre vacía).

3



2

4

Inicio

N1

1

5

Visitado TOPE 4.

Se insertan en la pila los nodos sucesores de N1, respetando su orden.



Inicio

TOPE

N5

N1

N4 N2

5.

Sale de la Pila N5, se visita y se verifica que no esté en la lista de nodos ya visitados, si no lo esta se inserta en ella.

3


2


4

Inicio

N1 TOPE

N4 N2

1 Visitado

N5

5 Visitado

Ultimo

Nodo

nodo

agregado

visitado

en este

antes de

paso.

este paso

6.

Se agregan los sucesores de N5 a la Pila, en este caso solo tiene uno el cual es N4.



Inicio

TOPE

N4

N1

N5

N4 N2

7.

Sale N4 de la Pila, se visita y se verifica que no esté en la lista de nodos visitados, N4 no está e n la lista por lo tanto se puede agregar a ella.

3 Pila de nodos sin visitar


2

4

Inicio

N1 TOPE

N4 N2

1

N5

N4

5

Visitado

Visitado

Ultimo

Nodo

nodo

agregado

visitado

en este

antes de

paso.

este paso 8.

En el caso de N4 no tiene sucesores por lo tanto la pila no se modifica en este paso.

9.

Sale el siguiente elemento de la Pila, ahora es N4, se visita y se verifica si ya está en la pila de nodos visitados, en este caso sí lo está por lo tanto no se incluye otra vez en la Lista ni se agregan sus sucesores en la Pila.



2

4

Inicio

N1

1 TOPE

N2

Visitado

N5

N4

5 Visitado

Ultimo nodo visitado antes de este paso

10. Sale N2 de la pila, se visita y se verifica si se encuentra en la lista de nodos visitados, si no lo e stá, se agrega a dicha lista.



2

4

Inicio

N1

1

N4

N2

5

Visitado

TOPE

N5

Visitado

Ultimo

Nodo

nodo

agregado

visitado

en este

antes de

paso.

este paso 11. Se agregan los sucesores de N2 (los cuales son N3 y N5) a la Pila de nodos sin vistar.



Inicio

N1 TOPE

N5

N4

N2

N5 N3

12. Sale N5 de la Pila, se visita y se verifica si se encuentra en la lista de nodos visitados, N5 ya e stá en la lista por lo tanto no se agrega de nuevo, ni sus sucesores se agregan a la pila de nodos sin visitar.



2

4

Inicio

N1

1 TOPE

N3

Visitado

N5

N4

N2

5 Visitado


13. Sale N3 de la Pila, se visita y se verifica que no se encuentre en la lista de nodos visitados, N3 no e sta en la lista por lo tanto puede agregarse.



2

4

Inicio

N1

1

N5

N4

N2

N3

5

Visitado

Ultimo

Visitado

TOPE

nodo visitado antes de este paso

Nodo agregado en este paso.

14. Se agrega N4 a la pila ya que es el único sucesor de N3.



Inicio

N1

TOPE

N5

N4

N2

N3

N4

15. Sale N4 de la Pila, se visita y se verifica que no esté en la lista de nodos visitados, N4 ya está e n la lista por lo tanto no se puede agregar.



Inicio

2

4 N1

1

5

N5

N4

N2

N3

Ultimo nodo

Visitado TOPE

Visitado

visitado antes de este paso

16. Ya no hay nodos en la Pila, por lo tanto el algoritmo termina teniendo en la lista de nodos visitados el resultado del recorrido en profundidad.

Pila de nodos sin visitar Lista de nodos Visitados Inicio

N1

N5

N4

N2

N3

BUSQUEDA EN PROFUNDIDAD TOPE

3 2

4

1

5

5.3.2 Búsqueda en Anchura En este método se parte del nodo i (nodo con menor información), visitándolo, marcándolo como visitado y luego se realiza el mismo método con los nodos sucesores del nodo i continuando recursivamente. Se examina si todos los nodos fueron visitados y si no selecciona uno de los nodos que falta visitar y se continúa con el proceso hasta que todos los nodos se hayan visitado. Para manejar este algoritmo se utilizara una Fila para guardar los nodos antes de ser visitados y una L ista para guardarlos una vez visitados.

Ejemplo:

3 2

4

1

5

Algoritmo de la Búsqueda en Profundidad explicada con el grafo anterior: 1.

El recorrido comenzara con el nodo 1 (N1).

2.

Insertar N1 en la lista de nodos sin visitar.

Fila de nodos sin visitar


Inicio Fin

Inicio

N1

3.

Sale N1 de la Fila, se visita y se coloca en la lista de nodos visitados. (El algoritmo termina en el momento en que se vayan a sacar nodos de la Fila y esta se encuentre vacía).

3

Fila de nodos sin visitar Inicio Fin

2


4

Inicio

N1

1 Visitado

5

4.

Se insertan en la Fila los nodos adyacentes de N1, respetando su orden.


Fila de nodos sin visitar Fin

Inicio

N2

5.

N4

Inicio

N5

N1

Sale de la Fila N2, se visita y se verifica que no est é en la lista de nodos ya visitados, y como no lo está, se inserta en ella.

3


Visitado Fila de nodos sin visitar Inicio

2

4

Inicio

Fin N1

N4

N5

1

N2

5

Visitado

Ultimo

Nodo

nodo

agregado

visitado

en este

antes de

paso.

este paso 6.

Se agregan los nodos sucesores de N2 a la Fila, en este caso son N3 y N5.

Fila de nodos sin visitar Inicio

N4

N5

N3


Fin

Inicio

N5

N1

N2

7.

Sale N4 de la fila, se visita y se verifica que no esté en la lista de nodos visitados, N4 no está en la lista por lo tanto se puede agregar a ella.

3 Lista de nodos Visitados Fila de nodos sin visitar Inicio

2

4

Inicio

Fin N1

N5

N3

N5

1

N2

N4

5

Visitado

Ultimo

Nodo

nodo

agregado

visitado

en este

antes de

paso.

este paso 8.

En el caso de N4 no tiene sucesores por lo tanto la Fila no se modifica en este paso.

9.

Sale el siguiente elemento de la Fila, ahora es N5, se visita y se verifica si ya está e n la pila de nodos visitados, N5 no está en la Lista por lo tanto puede agregarse.

3 Lista de nodos Visitados

Fila de nodos sin visitar Fin

Inicio

N3

2

Inicio

4

N1

N5

1

N2

N4

5

Visitado

Ultimo

Nodo

nodo

agregado

visitado

en este

antes de

paso.

este paso 10. Se agregan los nodos sucesores de N5 a la Fila, en este caso solo tiene uno: N4.


N3

Fin

N5

N4

N5


Inicio

N1

N2

N4

N5

11. Sale N3 de la Fila, se visita y se verifica si se encuentra en la lista de nodos visitados: N3 no está en la lista por lo tanto se agrega.


3 Fila de nodos sin visitar Inicio

Inicio

Fin

N5

2

4

1

5

N1

N2

N4

N5

N3

N4 Ultimo

Nodo

nodo

agregado

visitado

en este

antes de

paso.

este paso

12. Se agregan los nodos sucesores de N3 a la Fila, en este caso solo tiene uno: N4.



N5

Fin

N4

Inicio

N4

N1

N2

N4

N5

N3

13. Sale N5 de la Fila, se visita y se verifica si se encuentra en la lista de nodos visitados, N5 ya está en la lista por lo tanto no se agrega de nuevo, ni sus sucesores se agregan a la Fila de nodos sin visitar.


N4

Fin


2

4

Inicio

N4 N1

1 Visitado

N2

N4

N5

N3

5 Visitado


14. Sale N4 de la Fila, se visita y se verifica si se encuentra en la lista de nodos visitados, N4 ya está en la lista por lo tanto no se agrega de nuevo.

3 Fila de nodos sin visitar


Inicio Fin

2

4

Inicio

N4 N1

1

N2

N4

N5

N3

5

Visitado

Ultimo

Visitado

nodo visitado antes de este paso 15. Sale N4 de la Fila, se visita y se verifica si se encuentra en la lista de nodos visitados, N4 ya está en la lista por lo tanto no se agrega de nuevo.


Fin


2

4

Inicio

N1

1

N2

N4

N5

N3

5

Visitado

Ultimo

Visitado

nodo visitado antes de este paso 16. La Fila ya no contiene nodos lo que significa que todos fueron visitados, en la lista de nodos visitados se encuentra la Búsqueda en Anchura

Fila de nodos sin visitar Inicio Fin


3

Inicio

N1

N2

N4

N5

2

4

1

5

N3

BUSQUEDA EN ANCHURA

Estructura De Datos: Grafos

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