ELE 2707 - Processos Estocásticos I Coleção de Exercícios
1. Apostila de Modelos Cap. 2 - Problema 5: A Figura 1 mostra uma rede de comunicações que consiste em três nós a, b e c e três enlaces ab, ab, bc e ac. ac.
a
b
c
Figura 1: Rede de comunicações com três nós e três enlaces Cada um dos elementos da rede pode encontrar-se em um dentre dois possíveis estados: operando ou não operando. Há comunicaç comunicação ão entre dois nós quando quando ambos estão operando e existe entre eles pelo menos um percurso em operação. Entend En tende-s e-see por percurso percurso um conjun conjunto to de elemen elementos tos entre dois nós. nós. Conside Conside-rando a experiência que consiste na observação dos estados dos enlaces e nós em um dado instante de tempo e que tem como resultado a caracterização dos estados (operando ou não operando ) dos elementos da rede, determinar: (a) uma representação representação convenien conveniente te para estes pontos amostra; (b) o número de pontos amostra no espaço de amostras correspondentes à experiência experiência descrita; (c) o número de pontos amostra correspondentes correspondentes aos eventos eventos i. A = ω
{ ∈ Ω : a e c podem comunicar-s comunicar-se} e} ii. B = {ω ∈ Ω : a se comunica com b e com c} iii. C = {ω ∈ Ω : a e c não se comunicam através do enlace ac} ac} iv. D = A ∪ B v. E = A ∩ B vi. F = A ∩ C 1
2. Apostila de Modelos Cap. 2 - Problema 7: Dois trens X e Y chegam a uma estação em instantes aleatórios dentro do intervalo [0, t]. Considere a experiência que consiste em observar os instantes de chegada dos trens e cujo resultado é o par de números caracterizando estes instantes. Sabe-se ainda que os trens X e Y permanecem na estação durante intervalos de duração a e b respectivamente. Encontre uma representação gráfica conveniente para (a) A = ω
{ ∈ Ω : o trem X chega antes do trem Y } (b) B = {ω ∈ Ω : os trens se encontram na estação} 3. Apostila de Modelos Cap. 2 - Problema 8: Um assinante a de uma central A pode atingir um assinante b de uma central B através de dois percursos T 1 e T 2 , conforme mostra a Figura 2 T 1
A
B T 2
Figura 2: Comunicação entre dois assinantes de uma rede telefônica A probabilidade de congestionamento em T 1 (impedindo que a atinja b por este percurso) é 0,05. A probabilidade de congestionamento em T 2 vale 0,02. Além disso, sabendo-se que T 1 está congestionado a probabilidade de T 2 estar congestionado é 0,15. Determinar a probabilidade de que a consiga atingir b. 4. Apostila de Modelos Cap. 2 - Problema 10: O painel de controle de um equipamento possui duas lâmpadas A e B. O equipamento é composto por dois módulos 1 e 2 sujeitos a falha. Quando ocorre uma falha no equipamento, a probabilidade de que ela seja proveniente do módulo 1 é 0,3 e a probabilidade de que ela seja proveniente do módulo 2 é 0,7. Ocorrendo falha no equipamento uma das duas lâmpadas do painel se acende. Sabe-se ainda que se a falha provém do módulo 1, A se acende com probabilidade 0,6 e B se acende com probabilidade 0,4. Por outro lado, se a falha provém do módulo 2, A se acende com probabilidade 0,3 e B se acende com probabilidade 0,7. Determine (a) a probabilidade do módulo 1 ter falhado quando A se acende; e 2
(b) a probabilidade de B se acender quando ocorre uma falha. 5. Apostila de Modelos Cap. 2 - Problema 13: A figura 3 mostra um canal de comunicações cuja entrada x pode assumir os valores “0”,“1” e “2”, e cuja saída y também pode assumir os valores “0”,“1” e “2”. Considera-se a experiência que consiste em observar os valores da entrada x e da saída y resultante e cujo resultado é precisamente o par de valores assumidos x e y. 0
•
0,7 0,3
0,3 x 1
•
0,3
0,3 2
0,4
•
0,7
•
0
•
1 y
•
2
Figura 3: Um canal de comunicações Dentro do espaço amostra Ω então definido, são considerados os seguintes eventos A0 = ω A1 A2 B0 B1 B2
{ ∈ Ω : x = 0} = {ω ∈ Ω : x = 1} = {ω ∈ Ω : x = 2} = {ω ∈ Ω : y = 0} = {ω ∈ Ω : y = 1} = {ω ∈ Ω : y = 2}
Sabe-se que P (A0 ) = 0, 4 e P (A1 ) = 0, 1. As probabilidades de transição do canal são representadas na Figura 3. Determine: (a) o número total de pontos no espaço amostra Ω; (b) o número total de eventos admitindo-se que todos os subconjuntos de Ω são eventos; (c) P (A0
∩B ) 1
3
(d) P (B1) (e) P (A0
∪B ) (f) P (A |B ) (g) P (A |B ) (h) P (A |B ) (i) P (A ∩ B ) 1
1
1
0
1
2
1
0
2
6. Apostila de Modelos Cap. 2 - Problema 15: Dois jogadores lançam, em jogadas alternadas, um par de dados. Aquele que primeiro fizer sete pontos é o vencedor. Determine a probabilidade do jogador que inicia o jogo ser o vencedor. Repita o problema, considerando três jogadores. 7. Apostila de Modelos Cap. 3 - Problema 1: Considere o lançamento de dois dados e a experiência cujo resultado consiste na soma do número de pontos das faces que resultam do lançamento. Defina esta soma como sendo uma variável aleatória x. Esboce a função distribuição de probabilidade da v.a. x. Calcule a probabilidade de x assumir um valor no intervalo [7,9]. 8. Apostila de Modelos Cap. 3 - Problema 4: Um amperímetro digital tem uma escala variando de
−5A a +5A, e tem precisão de apenas um dígito,
isto é, indica valores inteiros de corrente. Ao se fazer uma medida, o aparelho aproxima o valor real para o inteiro mais próximo. Qual é a probabilidade de ao se fazer uma medida, ser cometido um erro superior a 0, 2A. Assuma que a função densidade de probabilidade da corrente no amperímetro é mostrada na Figura 4. 6 pi (I )
(0, 2) 6
−5
0
3
5
I
Figura 4: Função densidade de probabilidade da corrente de entrada do amperímetro
4
9. Apostila de Modelos Cap. 3 - Problema 6: Mostre que se x é uma v.a. com densidade de probabilidade exponencial, ou seja: px(X ) = ae−aX u(X ) então P (x > b + c x > b) = P (x > c)
|
Uma função densidade de probabilidade para a qual esta propriedade é verdadeira é dita sem memória. 10. Apostila de Modelos Cap. 3 - Problema 10: Uma fábrica produz peças de dois tipos. Os tempos de vida das peças de cada um dos tipos (tipo A e tipo B) são caracterizados por duas variáveis aleatórias x e y, respectivamente. Através de experimentos, verificou-se que a função densidade de probabilidade conjunta de x e y é dada por: 10−4 −( 200 + 300 ) pxy (X, Y ) = e u(X )u(Y ) 6 X
Y
Determine a probabilidade de que uma peça do tipo B falhe antes de que uma peça do tipo A. 11. Apostila de Modelos Cap. 3 - Problema 8: Considere a função densidade de probabilidade conjunta: pxy (X, Y ) =
1 π
; X 2 + Y 2
≤1
0 ; em outros pontos.
(a) Encontre px|y=Y (X ). (b) Verifique se x e y são variáveis estatisticamente independentes. (c) Calcule a probabilidade de x ser positivo dado que y é positivo. (d) Calcule a probabilidade de x ser maior do que y. 12. Apostila de Modelos Cap. 3 - Problema 9: Considere duas variáveis aleatórias x e y com função densidade de probabilidade conjunta constante na área hachurada na Figura 5 e zero nos outros pontos. Determine o valor de pxy (X, Y ) na área hachurada da Figura 5. Encontre a função densidade de probabilidade px (X ) da variável aleatória x. Determine a função densidade de probabilidade condicional px|M (X ) onde M é o evento definido por M = 0, 4 < y < 0, 6
{
5
}
6Y 1
−1
0
X
1
Figura 5: Região de variação das variáveis aleatórias x e y 13. Apostila de Modelos Cap. 3 - Problema 12: Uma régua de comprimento unitário é quebrada em um ponto aleatório. O pedaço da esquerda é novamente quebrado. Seja x a v.a. que define o ponto em que a régua é quebrada pela primeira vez e y o segundo ponto de quebra. Determine px (X ), py (Y ), py|x=X (Y ) e px|y=Y (X ). Calcule a probabilidade de que um triângulo possa ser formado com as três peças obtidas. 14. Apostila de Modelos Cap. 3 - Problema 13: Um equipamento pode se encontrar em um dentre dois estados possíveis: operação normal e operação anormal . A probabilidade do equipamento encontrar-se em operação normal é
0,8. Ligado a este equipamento tem-se um painel de controle onde um termômetro indica a temperatura do equipamento a cada instante. A indicação do termômetro é uma variável aleatória t cuja função densidade de probabilidade depende do estado em que o equipamento se encontra. Se o equipamento está em operação normal (N), tem-se pt|N (T ) =
1 √ e− 10 2π
(T −40)2 200
Por outro lado, se o equipamento está em operação anormal (N), tem-se pt|A (T ) =
1
√
10 2π
( e−
2
T −70)
200
Determine a probabilidade de que a indicação do termômetro exceda 55. Determine a probabilidade de que a operação seja normal dado que a indicação do termômetro está compreendida entre 50 e 60. Suponha que se resolve decidir a respeito do equipamento( operação anormal ou operação normal ) a partir da indicação do termômetro. Estabelece-se a seguinte regra de decisão: se t > T 0 decide-se por operação normal se t
≤ T decide-se por operação anormal 0
6
Calcule a probabilidade de se cometer um erro quando se usa este critério de decisão com T 0 = 60. Calcule o menor valor de T 0 tal que a probabilidade de se decidir por uma operação anormal quando a operação é normal não exceda 0,0075. 15. Apostila de Modelos Cap. 3 - Problema 15: Dois trens, x e y, chegam independentemente a uma estação. O trem x faz uma parada de a minutos enquanto y para b minutos. Os instantes de chegada dos trens são variáveis aleatórias uniformemente distribuídas no intervalo [0, T ]. Calcule a probabilidade de que x chegue antes do trem y. Calcule a probabilidade dos trens se encontrarem. Finalmente, dado que eles se encontram, calcule a probabilidade de que o trem x chegue antes do trem y. 16. Na figura abaixo, x1 , x2 , . . ., xn são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com densidade de probabilidade px( ) e função distri-
·
buição F x ( ).
·
x1 xn
- Dispositivo
.. .
- u = max(x1 , . . . , xn )
de -
- v = min(x1 , . . . , xn )
Limiar
Determine em função de n, px ( ) e F x ( )
·
·
(a) puv (U, V ) (b) P (xk
≤ X |u = U ),
k
≤n
17. Seja x uma variável aleatória contínua com função distribuição F x ( ). Seja
·
z(ω) = F x (x(ω)) (a) Determine: P (z
≤ 1), P (z ≤ 0) e P (z ≤ 1/2).
(b) Mostre que z é uma variável aleatória uniformemente distribuída em [0,1]. (c) Indique de que maneira você poderia gerar a variável aleatória x, a partir de um gerador de números aleatórios capaz de gerar uma variável aleatória uniformemente distribuída em [0,1].
7
18. Apostila de Modelos Cap. 4 - Problema 9: Sejam u1 e u2 variáveis aleatórias estatisticamente independentes e uniformemente distribuídas no intervalo [0,1]. Mostre que as variáveis aleatórias v1 e v2 definidas pela trasformação v1 = v2 =
− −
2ln(u1 ) cos(2πu 2 ) 2ln(u1 ) sin(2πu 2 )
são estatisticamente independentes e conjuntamente Gaussianas.
COMENTÁRIO: Esta transformação é freqüentemente utilizada em simulação digital por computadores para gerar seqüências de variáveis aleatórias Gaussianas estatisticamente independentes. 19. Apostila de Modelos Cap. 4 - Problema 10: Considere duas variáveis aleatórias x1 e x2 , Gaussianas, ambas com parâmetro m = 0 e parâmetro σ = 1. Encontre a função densidade de probabilidade conjunta das variáveis y1 e y2 , definidas por y1 = e(x1 +x2 ) y2 = e(x1 −x2 ) 20. Seja x uma variável aleatória tal que x P ( ω
≥
0 com probabilidade 1, isto é,
{ ∈ Ω : x(ω) < 0}) = 0. Mostre que se E [x] = 0, então x = 0 com probabilidade 1, isto é, (P ({ω ∈ Ω : x(ω) = 0}) = 0). 21. Considere a situação ilustrada na figura abaixo
observável Relacionamento desconhecido, possivelmente
x(ω)x σx2
y(ω)
y σy2
aleatório
- g( )
·
x(ω) = g(y(ω)) -
Deseja-se estimar o valor de uma variável aleatória x a partir de um processamento do valor de uma variável aleatória observável y. O processamento fornece uma estimativa x = g(y) de x. Supondo que se deseja uma estimativa
linear, ou seja, g( ) é restrita a funções da forma g(X ) = aX + b
·
(a) Determine o valor das constantes a e b que minimizam o erro médio quadrático:
−
ε2 = E (x 8
x)2
da estimativa x. Estes valores de a e b determinam o ótimo estimador
linear de x (no sentido de minimização de ε2 ). (b) Mostre que se ρyx = 1 tem-se ε2min = 0 e, portanto, neste caso x = x
| |
com probabilidade igual a 1 (estimativa perfeita).
(c) Mostre que se x e a observação y são variáveis aleatórias descorrelatadas (ρyx = 0) a estimativa linear ótima é dada por: x = E [x] = x, ou seja, a
melhor estimativa linear possível não depende do valor observado. (Isto significa que para um estimador linear a observação y não traz nenhuma informação extra sobre o valor de x. Neste caso, um estimador linear é inútil). 22. Um mineiro está perdido no interior de uma mina que possui duas portas. A primeira porta leva a um túnel que conduz o mineiro ap exterior da mina após 2 horas. A segunda o faz retornar ao ponto de partida após 3 horas. Considerando que em cada tentativa de sair da mina a probabilidade do mineiro escolher a primeira porta é p e que es tentativas são estatisticamente independentes, calcule, em termos de p, o tempo médio gasto pelo mineiro para sair da mina.
OBS.: Use a partição Bi =
{O mineiro só consegue sair na i-ésima tentativa}
23. Representando a variância de uma variável aleatória x por
i = 1, 2, 3, . . .
var [x],
(a) Mostre que var [y] = E [var [y x]] + var [E [y x]];
| | (b) Verifique de (a) que var [y] ≥ E [var [y|x]]. Determine condições para que a igualdade ocorra.
24. Seja x1 , x2 , x3, . . ., um conjunto de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, cada uma com média m e variância σ 2, e n
y=
xi
i=1
Supondo que n é uma variável aleatória discreta (podendo assumir os valores N = 1, 2, 3, . . .), com média mn e variância σn2 e que n é estatisticamente independente das variáveis aleatórias x1, x2 , x3, . . ., determine 9
(a)
E [y]
(b)
var [y]
25. Apostila de Modelos Cap. 5 - Problema 3: No instante t = 0, (N + 1) chamadas telefônicas chegam a uma central onde há N órgãos disponíveis. Assim, uma das chamadas não pode ser servida imediatamente e passa a aguardar o término de qualquer das outras N chamadas. Os tempos, durante os quais cada um dos N órgãos permanece retido por uma chamada, são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com funções de densidade de probabilidade px (X ) = e−X u(X ) ;
i = 1, 2, . . . , N
i
Determinar a “espera média” da chamada que não foi servida imediatamente. 26. Seja M x (v) a função característica de uma variável aleatória. (a) Mostre que M x (v0 ) = 1 para v0 = 0 implica que M x (v) é periódica com
período v0 . O que se pode dizer a respeito de px(X ) neste caso ? (b) Se M x (v) é uma função real, quanto vale E [x] ? 27. Seja z um vetor Gaussiano de média mz e matriz covariância Λz . Suponha que Λz é não singular. Particione z. mz e Λz conforme abaixo indicado:
x
z=
y
mx
mz =
Λz =
my
Λx
Λxy
Λxy
Λy
Queremos determinar px|y=Y (X). Vamos fazer isso em três etapas e expressar todos os resultados em função de mx , my , Λx , Λy e Λxy . (a) Considere os vetores: q = x + Ay r=y
e determine uma matriz A para que q e r sejam estatisticamente independentes. (b) Para essa matriz A obtenha pq|r=R (Q). 10
(c) Escreva agora px|y=Y (X) em função de pq|r=R (Q) mostrando assim que: px|y=Y (X) = pq (X + AY ) obtenha uma expressão para px|y=Y (X). (d) Observe que esta densidade de probabilidade condicional também é Gaussiana. Determine a sua média e variância. mx|y =
Λx|y =
E
|y ] (x − m | )(x − m | ) |y
E [x
xy
xy
T
28. Já foi mostrado que se x é uma variável aleatória e g(x) é uma função par não negativa e não decrescente para x > 0, então, se
E [g(x)]
existe, tem-se
[g(x)] | | ≥ ε) ≤ E g(ε)
P ( x
Quando g(x) = x r , daí resulta a desigualdade de Markov.
||
−
(a) Aplique esta desigualdade à variável aleatória y limite para P (Y 1
≤ y ≤ Y ). 2
Y 1 +Y 2 2
para obter um
(b) Mostre que se g(x) é limitada, ou seja g(x)
| ≤ k para todo x, então E [g(x)] − g(ε) P (|x| ≥ ε) ≥ |
k
(c) Assuma agora que x é a variável aleatória limitada, ou seja, P ( x
| | ≤ M ) = 1.
Mostre que
− g(ε) | | ≥ ε) ≥ E [g(x)] g(M )
P ( x
29. Admita que a sequência de variáveis aleatórias xn converge em distribuição
{ } para uma variável aleatória x. Mostre que se f (·) é uma transformação biunívoca com uma única inversa g(·), então a sequência {z }, onde z = f (x ), n
n
n
converge em distribuição para a variável aleatória z = f (x). 30. Considere uma sequência de variáveis aleatórias zn onde
{ }
n
zn =
√n
(exi )1/
i=1
sendo as variáveis xi independentes e identicamente distribuídas, cada uma com densidade de probabilidade uniforme no intervalo [0,1]. Para que a variável aleatória a sequência zn converge em distribuição ? 11
31. Seja xi uma sequência de variáveis aleatórias independentes definidas por:
{ }
xi =
1, se o evento A ocorre na repetição de ordem i de uma sequência 0, se o evento A não ocorre na repetição de ordem i
Admita que P (xi = 1) = p para todo i e seja n
S n =
xi
i=1
Estime n para que a frequência relativa S n /n esteja dentro de 5% do valor p com probabilidade 0,999. Resolva o problema utilizando: (a) A desigualdade de Tchebyshev (b) O teorema do limite central (c) O limite de Chernoff
Admita que
p
≥ 0, 01.
32. Demonstrar o Teorema de Kintchine para a forma fraca da lei dos grandes números. d SUGESTÃO: Mostre que s∗n −→ 0, usando o mesmo tipo de desenvolvimento que foi usado na demonstração do teorema do limite central (versão i.i.d), incluindo a expansão aproximada para uma função característica próximo a origem
33. (a) Mostre que uma condição necessária e suficiente para quex(t) = cos(t+φ) seja ESA é que M φ (1) = M φ (2) = 0 onde M φ (v) é a função característica da variável aleátória φ. (b) Ache uma condição necessária e suficiente para que x(t) = a cos ωt + b sin ωt seja ESA, sendo a e b variáveis aleatórias e ω uma constante. (c) Dados x(t) = a cos ωt + b sin ωt y(t) = b cos ωt + a sin ωt onde a e b são variáveis aleatórias estatisticamente independentes com médias zero e variâncias unitárias, diga se x(t) e y(t) são processos con juntamente ESA.
12
34. Para um processo Wiener-Levy tem-se
• P (x(0) = 0) = 1 • Para toda partição 0 = t
0 < t1
< . . . < tn e para todo n, [x(tk )
− x(t − )] k 1
são variáveis aleatórias Gaussianas independentes com médias zero e variâncias σ 2 (tk
−t − )
k = 1, 2, . . . , n
k 1
(a) Mostre que: mx (t) = 0,
t
≥0
Rx (t1 , t2 ) = σ 2 min(t1 , t2 ),
t1 , t 2
≥0
(b) Mostre que x(t) é um processo Gaussiano, ou seja, para toda partição 0 = t0 < t 1 < . . . < tn e todo n, as variáveis aleatórias x(t1 ), x(t2), . . ., x(tn ) são conjuntamente Gaussianas. (c) Defina y(t) = tx y(0) = 0.
1 , t
t>0
Mostre que y(t) é um processo de Wiener-Levy com parâmetro σ 2 .
SUGESTÃO: Observe que se
tk > tk −1
13
então
1 tk
< t1 . k−1
35. Mostre que o “Teorema Fundamental do Cálculo” se aplica ao cálculo em média quadrática. Seja x(t), t
≥ 0 um processo estocástico contínuo no sentido m.q.
e y(t) um processo definido por
t
y(t) =
x(α)dα,
0
0
≤t<∞
onde a integral é definida no sentido m.q. Mostre que y(t) é diferenciável no sentido m.q. e que y(t) ˙ = x(t).
SUGESTÃO: Mostre que E
|
y˙ (t)
− x(t)|2
=0
36. Considere o circuito abaixo - Diferenciador
− ? y(t) m +
x(t)
+ 6
1 T
· T ( 0
)dt
z
-
onde x(t) é um processo estocástico real e estacionário no sentido amplo, y(t) = x(t) 1 z(t) = T
˙ − x(t)
T
y(t)dt
0
(a) Mostre que E [x(t)x(t)] ˙ = 0. Assuma que x(t) ˙ existe no sentido m.q. (b) Determine Ry (t1 , t2 ) em função de Rx ( ) e diga se y(t) é ESA.
·
(c) Determine a variância da v.a. z. Assuma que z é definida no sentido m.q. (d) Diga se y(t) é definido no sentido m.q.
14
37. Apostila de Modelos Cap. 7 - Problema 9: Um sinal x(t) é transmitido através de um canal de comunicações cujo efeito consiste em adicionar um ruído n(t) conforme ilustra a Figura 6 abaixo: x(t) + 6
m
-
A
- y(t) = A[x(t) + n(t)]
n(t) Figura 6: Canal ruidoso e amplificador Sabe-se que x(t) é um processo estocástico de média nula e função autocorrelação Rx (t1 , t2 ) = 2e−|t1 −t2 | O ruído n(t) é um processo também de média nula, independente de x(t) e possui função autocorrelação Rn (t1 , t2 ) =
sin[π(t1 t2 )] 4π(t1 t2 )
− −
Determine o ganho A do amplificador de modo a minimizar o erro médio quadrático, cometido ao estimar x(t) pela saída y(t) do amplificador. Isto é, determinar o valor de A que minimiza E
(y(t)
− x(t))
2
38. Apostila de Modelos Cap. 7 - Problema 11: Um processo estocástico x(t) tem funções amostra da forma x(t) = A cos(2πνt + φ) 2 onde A é uma variável aleatória com média mA e variância σA , ν é uma variável
aleatória uniformemente distribuída no intervalo [0, f 0 ] e φ é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo [0, 2π]. Considere que A, ν e φ são estatisticamente independentes e determine a função autocorrelação Rx (τ ), τ = t1
−t
2
e a densidade espectral de potência S x (f ) do processo
estocástico x(t).
15
39. Apostila de Modelos Cap. 7 - Problema 15 (modificado): A Figura 7 mostra a função amostra de um processo estocástico que aproxima razoavelmente a forma de onda da tensão de ruído térmico nos terminais de um resistor. O número de transições ocorrendo no intervalo (t1 , t2 ], t1 < t2 é uma variável aleatória de Poisson com valor médio α t1
| − t |, (α é um inteiro 2
positivo). Além disso, após cada transição, a amplitude (valor de x(t)) do processo é uma variável aleatória independente de qualquer amplitude anterior, com média m = 0 e variância σ 2 . Determine a densidade espectral de potência S x (f ) do processo estocástico x(t). 6 x(t)
-
t
0
Figura 7: Função amostra do processo estocástico x(t) 40. Apostila de Modelos Cap. 7 - Problema 17: A entrada de um sistema linear com função de transferência H (f ) é um processo estocástico x(t) com densidade espectral de potência S x (f ). Se y(t) é o processo de saída resultante, encontre a densidade espectral de potência do erro e(t) = y(t)
16
− x(t).