CURSO ADSUMU S EXERCÍCIOS DE TEORIA DE CONJUNTOS PARA O QOAM 2008 prof. Carlos Loureiro
1) Se o conjunto P (A) tem 64 elementos, então o número de elementos de A é: a) 7. b)5. c)6. d)8. e)4. P( A) = 2 ⇒ n
2 n = 64 64 ⇒ 2 n = 26 ⇒ n = 6
2) Dados os conjuntos A={2,3,4,6} e B={1,2,3,4,5,6}, B={1,2,3,4,5,6}, então A – B é: a) {1,5} b) {1,2} c) {0}. d) ∅.
e) {1}
A − B = A − ( A ∩ B) = {2; 3; 4; 6} − {2; 3; 4; 6} = ∅ OBS : ( A ∩ B ) = {2; 3; 4; 6}
3) Dado o conjunto M={{a},{b},{a,b}, M={{a},{b},{a,b}, marque a alternativa correta: a) ∅ ⊄ M e) {{a}} ∈ M
b) {{a},{b}} ⊂ M
c) a ∈ M.
,B} ⊂ M d) { A B
Observando as opções vemos que {{a} ; {b}} ⊂ M é a opção verdadeira. 4) Se A = {{1,2},9, {9}} , considere os enunciados abaixo: 01) 1 ∉ A 02)
9∈A 07) {1} ∈ A 06)
2∈A
{2} ∉ A 04) {9} ∈ A
{1, 2} ∈ A 09) {1, 9} ∉ A 10) {1, 2, 3} ∈ A
03)
08)
05) ∅ ∈ A
O número daqueles que são FALSOS é: a) 4
01) 1 ∉ A 02) 2 ∈ A
b) 5
c) 6
VE VERD. FA FALSO
06) 9 ∈ A 07) {1} ∈ A
d)7
e) 8
VERD. FA FALSO
03) {2} ∈ A VERD.
08) {1,2} ∈ A VERD.
04) {9} ∈ A VERD.
09) {1,9} ∉ A VERD.
05) ∅ ∈ A FALSO
10) {1,2,3} ∈ A FALSO
6)Sendo X e Y conjuntos em que X − Y = { a, b} e X ∩ Y = { c} , o conjunto X é: a) {∅}
b)
{a}
c)
{a, d }
d)
{a, c, d }
Temos que: X − Y = X − ( X ∩ Y ) ⇒ X − Y = X − { c} como X − Y = { a, b}
⇒ {a, b} = X − {c} ⇒ X = {a, b} ∪{ c} = { a, b, c} ∴ X ={ a, b, c}
e)
{a, b, c}
7) Sejam os conjuntos A = {l, 3, 4} , B = {l, 2, 3} e X. Sabe-se que qualquer subconjunto de A ∩ B está contido em X, que por sua vez é subconjunto de A ∪ B . Quantos são os possíveis conjuntos X? a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Essa questão caiu na prova do Colégio Naval ano concurso 2005/2006. Usando o exposto no enunciado, temos: A ∩ B = {1, 3} ⇒ P(A ∩ B) = {∅, {1} , {3} , {1, 1, 3}} Os subconjuntos de A ∩ B são os elementos do conjunto formado por P(A ∩ B) logo X= {1, 3} no mínimo, mas como X ⊂ A ∪ B = {1, 2, 3, 4} , temos que X poderá ser: X = {1, 2, 3} ou X = {1, 3, 4} ou X = {1, 2, 3, 4} , logo os possíveis conjuntos X são quatro.
8) Se A, B e C são três conjuntos que representam três eventos que podem ocorrer num certo universo, então A ∪ B ∪ C representa o evento que ocorre se: a) exatamente um dos três ocorre; b) ao menos um dos três ocorre; c) no máximo um dos três ocorre; d) os três ocorrem; e) nenhum dos três ocorre. Esse problema caiu no concurso similar ao QOAA (CHOAEBN) onde um aluno nosso Bombeiro passou em sexto lugar. Fazendo por eliminação temos: e) nenhum dos três ocorre, essa alternativa é obviamente falsa. d) os três ocorrem; para ocorrer a União não é necessário que os elementos sejam comuns aos três conjuntos. c) no máximo um dos três ocorre, essa alternativa é falsa, pois pode ser que os eventos ocorram para os três conjuntos. a) exatamente um dos três ocorre, essa afirmativa é idêntica a anterior logo é falsa. Assim a resposta correta é a alternativa B, isto é, b) ao menos um dos três ocorre;
OBS: a União entre conjuntos representa a reunião dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos.
9) Dado o conjunto P = {{0} , 0, ∅, {∅}} , considere as afirmativas: I. {∅} ∈ P II. {∅} ⊂ P III. ∅ ∈ P Com relação a estas afirmativas conclui-se que: a) Todas são verdadeiras. c) Apenas a II é verdadeira. e) Todas são falsas.
b) Apenas a I é verdadeira. d) Apenas a III é verdadeira.
É uma questão relativa ao conteúdo conjuntos, assim: i. {∅} ∈ P , pois a “foto” desse elemento está dentro conjunto p. ii. {∅} ⊂ P , pois se retiramos as chaves devemos trocamos o operador ou seja ∅ ∈ P , e como a foto desse elemento está em p, temos que esse item é verdadeiro. iii. ∅ ∈ P verdadeiro pelo comentário acima.
Logo todas as opções são verdadeiras.
DIAGRAMA DE VENN-EULER: 1) No vestibular FUNVEST de 1990 exigia-se dos candidatos à carreira de administração a nota mínima de 3,0 em matemática e em redação. Apurados os resultados, verificou-se que 175 candidatos foram eliminados em matemática e 76 candidatos eliminados em redação. O número total de candidatos eliminados por essas duas disciplinas foi 219. Qual o número de candidatos eliminados apenas em redação? a) 24
b) 143
c) 32.
d) 44.
e) 99
175 − x + x + 76 − x = 219 251 − x = 219 ⇒ 251 = 219 + x ⇒ x = 251 − 219 ⇒ x = 32
Como queremos o número de candidatos eliminados em redação, temos: 76 − x = 76 − 32 = 44 2) Em um bairro existem 1800 pessoas associadas ao clube A ou ao clube B, sendo que 1200 são sócios de A e 800 são sócios de B. O número de sócios de A que não são sócios de B são: a) 2000
b) 400
c) 600.
d) 2600.
e) 1000
1200 − x + x + 800 − x = 1800 2000 − x = 1800 2000 = 1800 + x x = 2000 − 1800 x = 200 Logo o número de sócios de A que não são sócios de B são: 1200 − x = 1200 − 200 = 1000 3) Certo bar só servia sanduíches de queijo ou de presunto. Um dia, foram atendidas 500 pessoas, sendo que 350 pediram sanduiches de queijo e 250, de presunto ninguém comeu mais de um sanduíche da mesma espécie. Quantas pessoas só comeram sanduíche de queijo? a) 100 b) 150 c) 200 d) 250 e) 300 350 − x + x + 250 − x = 500 ⇒ 350 + 250 − x = 500 600 − x= 500 ⇒ 600 − 500 = x⇒ 100 = x ou x= 100
Como queremos o número de pessoas que só comem queijo temos: 350 − x ⇒ 350 − 100 = 250
4) 10000 aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso, e constatou-se que 4 000 deles apresentavam problemas problemas de imagem, 2 800 tinham problemas de som e 3 500 não apresentavam nenhum dos tipos de problemas citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é: A) 2500
B) 2800
C) 3500
D) 3700
E) 4000
Montando o diagrama de Venn – Euler, vem:
n(U ) = 4000 − x + x + 2800 − x + 3500 = 4000 + 2800 + 3500 − x , daí
10000 = 10300 − x , donde x = 300 , como queremos somente problemas de imagem, temos 4000 − x = 4000 − 300 = 3700
5) Um programa de proteção e preservação de tartarugas marinhas, observando dois tipos de contaminação dos animais, constatou em um de seus postos de pesquisa, que: 88 tartarugas apresentavam sinais de contaminação por óleo mineral, 35 não apresentavam sinais de contaminação por radioatividade, 77 apresentavam sinais de contaminação tanto por óleo mineral como por radioatividade e 43 apresentavam sinais de apenas um dos dois tipos de contaminação. contaminação. Quantas tartarugas foram observadas? a) 144 b) 154 c) 156 d) 160 e) 168 Solução fazendo uso do digrama de Venn-Euler temos: A interseção dos conjuntos é igual a 77, isso indica que cada conjunto já possui 77 elementos, como o conjunto de contaminação por óleo tem 88 elementos e a interseção já possui 77 elementos isso indica que falta colocar 11 elementos no conjunto. Por outro lado 35 não apresentam contaminação por radioatividade, isto é, isso indica que as tartarugas estão contaminadas somente por óleo ou não estão contaminadas, observe que na interseção as tartarugas estão contaminadas por ambos, assim como temos 11 tartarugas contaminadas somente por óleo então 35-11=24 é o numero de tartarugas não contaminadas nem por óleo e radioatividade. Entretanto 43 apresentavam sinais de apenas um dos dois tipos de contaminação, logo o numero de tartarugas contaminadas apenas por radioatividade é igual a 43-11=32 Logo podemos montar o diagrama abaixo. Somando os valores encontrados, temos: 11 + 77 + 32 + 24 = 144
6) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam os produtos A ou B, sendo que algumas delas utilizam A e B . O produto A é usado por 12 dessas pessoas e o produto B, por 10 delas. O número de pessoas que utilizam ambos os produtos é: a) 5
b) 3
c) 6
d) 8
e) 7
n( A ∪ B) = 15 15 ⇒ 12 − x + x + 10 − x = 15 ⇒ x = 22 − 15 = 7
daí x = 7 7) Numa concentração concentração de atletas, há 42 42 que jogam basquetebol, 28 28 voleibol e 18 voleibol e basquetebol, simultaneamente. Qual o númeio mínimo de atletas na concentração? a) 34
b) 52
c) 62
d) 70
e) 88
Assim n (U ) = 24 + 18 + 10 = 52 . Item B
8) Numa empresa de 90 funcionários, 40 são os que falam inglês, 49 os que falam espanhol e 32 os que falam espanhol e não falam inglês. O número de funcionários dessa empresa que não falam inglês nem espanhol é: a) 9.
b)17.
c)18
d) 27.
e) 89.
De acordo com o enunciado do problema podemos montar o diagrama abaixo, então:
90 = 23 + 17 + 32 + x⇒ x= 90 − 72 7 2 ⇒ x= 18 14243
72
9) Uma universidade possui 300 professores, distribuídos nos períodos da manhã e da noite, sendo que 70% lecionam no período da manhã e 50% no período da noite. Quantos professores professores lecionam, tanto no turno da manhã, quanto no da noite? a) 40
b) 60
c) 100
d) 120
e) 150
Fazendo o diagrama, temos:
210 − x+ x+ 150 − x= 300 ⇒ 210 − x+ x + 150 − x = 300 ⇒ 360 − x = 300 ⇒ x = 60 Logo temos 60 professores lecionando nos dois períodos manhã e noite. 10) Durante a Segunda Guerra Mundial, os aliados tomaram um campo de concentração nazista e de lá l á resgataram 979 prisioneiros. Desses, 527 estavam com sarampo, 251 com tuberculose e 321 não tinham nenhuma dessas duas doenças. Qual o número de prisioneiros com as duas doenças? a)120
b)140
c)160
d)180
e)200
Montando o diagrama de Venn-Euler, temos: 527 − x + x + 251 − x + 321 = 979 Assim 1099 − x = 979 ⇒ 1099 − 979 = x x = 120
Logo temos 120 prisioneiros com as duas doenças Alternativa A
11) No vestibular da FUVEST-90 exigia-se dos candidatos à carreira de Administração, a nota mínima 3,0 em Matemática e em Redação. Apurados os resultados, verificou-se que 175 candidatos foram eliminados em matemática e 76 candidatos foram eliminados em Redação. O número total de candidatos eliminados por essas duas disciplinas foi de 219. Qual o número de candidatos eliminados apenas em Redação? a) 32
b) 44
c) 76
d) 143
e) 175
Fazendo o diagrama de Venn-Euler, temos:
175 − x + x + 76 − x = 219 251 − x = 219 x = 32 daí somente redação 76- x = 76 − 32 = 44 12) Por estarem com seus antivírus desatualizados mais de 70% dos 10 mil computadores de uma empresa foram atacados pelos vírus Chernobyl e Melissa, sendo que 4527 computadores foram infectados pelo Chernobyl e 3423 computadores foram infectados pelo Melissa. Sabendo que 2200 micros ficaram livres desses vírus por estarem com os seus antivírus atualízados, quantos usuários foram infectado pelos dois vírus? a)100
b)150
c) 200
d) 250
Montando o diagrama de Venn – Euler, temos: t emos:
sendo sendo " x" a inter interse seçã çãoo dos dos conjun conjuntos tos temos temos n(A ∪ B) = 4527 4527+ + x − x + 3423 − x ⇒ n(A ∪ B) = 7950 - x como n(U) = 10.000 e n(A ∪ B) = 2200 ⇒ n(A ∪ B) = 7800 ⇒ 7800 = 7950 - x⇒ x= 7950 − 7800 ⇒ x= 150
e) 300
13) Uma turma constituída de rapazes e moças, há pessoas que usam óculos e outras que não usam óculos. Seja T o conjunto das pessoas da turma, R o conjunto dos rapazes da turma e C o conjunto das pessoas (rapazes ou moças) que usam óculos. O diagrama abaixo descreve a situação e tem uma região hachurada.
A região hachurada corresponde ao conjunto: a) das pessoas que não usam óculos b) dos rapazes que usam óculos o) dos rapazes que não usam óculos d) das moças que usam óculos e) das moças que não usam óculos. SOLUÇÃO
Considere o diagrama de Venn – Euler acima e seja: R → Conjunto dos rapazes da turma C → Conjun Conjunto to das das pes pessoa soass (rap (rapaz azes es ou ou moça moças) s) que que usam usam ócul óculos os R → Conjunto das moças da turma
C → Conjun Conjunto to das das pess pessoas oas (rapa (rapaze zess ou ou moça moças) s) que não não usa usam m ócu óculos los Logo pelo exposto acima a região hachurada corresponde às R moças da turma que não usam óculos.
14) Nas favelas devido às péssimas condições sanitárias, as doenças proliferam com muita rapidez. Em exames de fezes, feitos com 41 crianças faveladas, foi constatada a presença de três tipos de bactérias (A, B e C). Exatamente: • • • • • •
23 crianças apresentaram a bactéria A; 25 crianças apresentaram a bactéria B; 22 crianças apresentaram a bactéria A; 11 crianças apresentaram apresentaram a bactéria A e B; 12 crianças apresentaram apresentaram a bactéria A e C; 09 crianças apresentaram apresentaram a bactéria B e C;
sabendo-se que cada uma das 41 crianças apresentou pelo menos uma das bactérias, quantas crianças apresentaram as três bactérias? a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
Usando a fórmula de Da Silva Matemático Português ou Princípio da ExclusãoInclusão, vem: n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n( B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C ) − n( B ∩C ) + n( A ∩ B ∩C ) 41 = 23 + 25 + 22 − 11 11 − 12 − 9 + n( A ∩ B ∩ C) ⇒ n( A ∩ B ∩ C ) + 70 − 32 = 41 41 n( A ∩ B ∩ C ) = 41 − 38 ⇒ n( A ∩ B ∩ C ) = 3 15) Numa escola há 160 professores. Sabe-se que: • 100 professores dão aulas de manhã • 60 professores dão aulas à tarde • 70 professores dão aulas à noite • 30 professores dão aulas de manhã e à tarde 20 professores dão aulas de manhã e à noite • • 25 professores dão aulas à tarde e à noite Qual o número de professores desta escola que dão aulas nos três períodos? a)2
b)5
c)10
d)15
e)20
Usando a fórmula de Da Silva Matemático Português ou Princípio da ExclusãoInclusão, vem: n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n( B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C ) − n( B ∩ C ) + n( A ∩ B ∩C ) 160 = 100 + 60 + 70 − 30 − 20 − 25 + n( A ∩ B ∩ C) ⇒ n( A ∩ B ∩ C ) + 230 − 75 = 160 n( A ∩ B ∩ C ) = 235 − 23 230 ⇒ n( A ∩ B ∩ C ) = 5 16) Se quase todo elemento de um conjunto A é pertence a outro conjunto B, então necessariamente. a) A é um subconjunto de B b) B é subconjunto de A c) Os conjuntos são iguais d) A interseção é não vazia e) Nada acima é verdadeiro a)FALSO, pois “se quase todo”, indica que existe elemento que pertencente a A que não pertence a B. b) IDEM c) IDEM d) VERDADEIRA pois “se quase todo”, indica a interseção diferente de vazia. e) FALSA, pois D é VERDADEIRA. VERDADEIRA.
17) De um grupo de 100 pacientes verificou-se que, 47 foram vacinados contra a varíola, 43 contra a poliomielite, 51 contra o tétano, 21 contra a varíola e a poliomielite, e 19 contra o tétano e a poliomielite, enquanto 7 foram vacinadas contra as três doenças. Considerando-se que as pessoas foram vacinadas por pelo menos uma das vacinas, podemos afirmar que o número de pessoas vacinadas apenas contra o tétano foi de: a) 32
b) 31
c) 30
d) 29
e) 28
1ª Solução Fazendo o diagrama temos:
Como o total é de 100 pacientes, temos: 26 − x+ x+ 32 − x+ 43 = 10 1 00 ⇒ 26 − x+ x + 32 − x + 43 = 100 ⇒ 101 − =x 100 ⇒ =x 101 − 10 100 ⇒ =x 1 Como queremos o número de pessoas vacinadas apenas contra o tétano, temos: 32 − x ⇒ 32 − 1 = 31
Alternativa B 2ª Solução Usando a fórmula para três diagramas, temos: te mos: Sendo n(A) n(A) = Varíola, Varíola, n(B) = Pólio, n(C) = Tétano , assim: n(A ∪ B ∪ C)= n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n (B ∩C) + n (A ∩B ∩C) 100 100 = 47 + 43 + 51 51 - 21 - n(A n(A ∩ C) - 19 + 7 141 100 = 141- 40 + 7 - n(A ∩ C) ⇒ 100 = 108 - n(A ∩ C) ⇒ n(A ∩C) = 108 - 100 n(A ∩ C) = 8 como n (A ∩ B ∩ C) = 7 e faze fazend ndoo uso uso do digr digram amaa tere teremo moss x = 8 - 7 = 1 14 4 244 3
Assim como queremos o número de pessoas vacinadas apenas contra o tétano, temos: 32 − x ⇒ 32 −1 = 31 Alternativa B
18) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam Vôlei; 20 jogam Vôlei e “Futevôlei”; 22 jogam “Futevôlei” e Basquete; 18 jogam Vôlei e Basquete; 11 jogam as 3 modalidades. modalidades. O nº de pessoas que jogam “Futevôlei” “Futevôlei” é igual ao nº de pessoas que jogam “Futevôlei” ou Basquete e não jogam Vôlei é: a) 55
b) 56
c) 57
d) 58
e) 59
Fazendo o diagrama de Venn-Euler, temos:
Como no problema é dito que: O nº de pessoas que que jogam “Futevôlei” é igual ao nº de pessoas que jogam “Futevôlei” “Futevôlei” ou Basquete Basquete e não jogam Vôlei é: nº de pessoas que jogam "Futevôlei = 31 + x (1) nº de pessoas que jogam "Futevôlei" ou Basquete e não jogam Vôlei é = x + y + 11 (2) (1)=(2) ⇒ 31 + x = x + y + 11 ⇒ y = 20 assim x+y+51=99 ⇒ x + y = 48, mas y = 20 ⇒ x + 20 = 48 ⇒ x + 20 = 48 ⇒ x = 28 dai o nº de pessoas que jogam Futevôlei é igual a 31 + x = 31 + 28 = 59
19) Após uma briga de n malucos em um hospício, verificou-se que: - 50 malucos perderam os olhos - 48 malucos perderam os braços - 40 malucos perderam as pernas - 28 malucos perderam os olhos e os braços - 22 malucos perderam os olhos e as pernas - 24 malucos perderam os braços e as pernas - 10 malucos perderam braços, olhos e pernas Pergunta-se: (1) Quantos malucos brigaram (2) Quantos malucos perderam perderam somente as pernas. (3) Quantos malucos tiveram pelo menos duas perdas Opções A) '74; 12; 18 30
B) 100; 4; 74
C) 74; 4; 54
D) 80; 54; 6
E) 100; 2;
Fazendo o diagrama de Venn-Euler, temo s: Quantos malucos brigaram: n = 10 + 6 + 4 + 18 + 14 + 12 + 10 = 74
Quantos malucos perderam somente as pernas n=4
Quantos malucos tiveram pelo menos duas perdas n = 74 − (10 + 6 + 4) = 74 − 20 = 54
20) Em uma pequena cidade, todos os 200 habitantes masculinos gostam de praticar pelo menos um dos três esportes: xadrez, futebol e voleibol. Sabe-se que do total: 100 gostam de xadrez 100 gostam de futebol 100 gostam de voleibol 20 gostam de xadrez e voleibol 50 gostam de xadrez e futebol 50 gostam de futebol e voleibol Quantos habitantes masculinos gostam de praticar futebol e voleibol e não gostam praticar xadrez? a) 22
b) 24
c) 26
d) 28
e) 30
200 = ( 30 30 + x) + ( 50 − x) + ( 20 − x) + x + x + ( 50 − x) + ( 30 + x) ⇒ 200 = 30 + x + 50 − x + 20 − x + x + x + 50 − x + 30 + x ⇒ 200 = 30 + 50 + 20 + 50 + 30 + x⇒ 200 = 180 + x⇒ x= 20
Como queremos quantos habitantes masculinos gostam de praticar xadrez e voleibol e não gostam praticar futebol? A resposta correta é 20 − x ⇒ 20 − 20 = 0 E a questão desta forma está anulada, pois não temos resposta possível no gabarito. Dessa forma a resposta correta seria 50 50 − x ⇒ 50 − 20 = 30
21) Em uma pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos: A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 210 pessoas compram o produto A, 210 pessoas compram o produto B, 250 pessoas compram o produto C, 20 pessoas compram os três produtos, 100 pessoas não compram nenhum dos três produtos, 60 pessoas compram os produtos A e B, 70 pessoas compram os produtos A e C, 50 pessoas compram os produtos B e C,
Quantas pessoas foram entrevistadas? a) 670 b) 970 c) 870
d) 610
e) 510
De acordo com enunciado do problema podemos montar o diagrama de Venn – Euler abaixo:
22) Em uma empresa, cujos funcionários são constituídos de 60% de mulheres e 40% de homens, são praticadas duas atividades esportivas: hidroginástica e natação. Foi realizada uma pesquisa e constatou-se que, entre as mulheres, 20% praticam apenas hidroginástica; 15%, apenas natação; e 15% não praticam qualquer das duas atividades. Quanto aos homens, foi constatado que 30% praticam apenas hidroginástica; 10% praticam hidroginástica e natação; e 10% não praticam qualquer das duas atividades. De acordo com estas informações, pode-se afirmar que, nessa empresa, a) 25% do total dos funcionários não praticam qualquer dessas duas atividades. b) do total de funcionários, a quantidade dos que praticam apenas hidroginástica é superior a 25%. c) o número de funcionários que praticam natação é maior que o número dos que praticam hidroginástica. d) o número de homens que praticam hidroginástica é a metade do número de mulheres que praticam as duas atividades. e) não é possível determinar nada, faltam dados. Fazendo os diagramas de acordo com o enunciado, temos:
Resolvendo os diagramas acima, temos: Mulhe⇒ res60 = 12 +
+ 9y+ 9 ⇒ = 6y0 − 30 ⇒ = 3y0 Hom⇒ ens40 = 12 + 4 + + 4x ⇒ = 4x0 − 20 ⇒ = 2x0
Observando os diagramas com todos os valores, vem:
o número de funcionários que praticam natação (no caso 39 + 24 = 63) é maior que o número dos que praticam hidroginástica (no caso 42 + 16 = 58).
MAPA DE VEITCH-KARNAUGH 1) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: a) choveu 8 vezes, de manhã ou à tarde; b) quando chove de manhã não chove à tarde; c) houve 5 tardes sem chuva; d) houve 7 manhãs sem chuva. Podemos afirmar então que n é igual a: a)7
b)8
c)9
d)10
e)11
sejam x os dias que choveu de manhã e y os dias que choveu de tarde, assim: n = x + 7 e n = y + 5, logo 2n = x +7 +y + 5 =12+x + y = 12 + 8 = 20 daí 2n = 20 donde n = 10 2) Uma amostra de 100 caixas de pílulas anticoncepcionais fabricadas pela Nascebem S.A. foi enviada para a fiscalização sanitária.No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas, por conterem pílulas de farinha. No teste de quantidade, 74 foram aprovadas e 26 reprovadas, por conterem um número menor de pílulas que o especificado.O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas foram reprovadas em ambos os testes. Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes? a)42 b)44 c)46 d)48 e)50 Montando o diagrama abaixo, temos:
Logo:
y+ 14 = 40 ⇒ y= 26 e x+ y= 74 ⇒ x= 48
3 ) Várias pessoas, respondendo a um anúncio de oferta de empregos, compareceram para uma entrevista de seleção. Sabendo-se que: — foram entrevistados 33 homens alfabetizados — foram entrevistadas 58 mulheres analfabetas — 70% dos entrevistados são homens e — 80% dos entrevistados são analfabetos, quantas entrevistas foram realizadas?
a) 250
b) 280
c) 300
d) 320
e) 350
Fazendo o diagrama, temos: Observando que o número total é determinado se soubermos o número de analfabetos mais o número de alfabetizados alfabetizados ou o número total total de homens mais o número total de mulheres e sendo T o total, podemos montar um sistema de equações abaixo, isto é: 80 70 = 0, 8 e 70% = = 0, 7 Observe que: 80% = 100 100
⎧ x + 58 = 0, 8T ⎨ ⎩ x + 33 = 0, 7T
Subtraindo membro a membro, vem: 25 = 0,1T ⇒ T =
25 = 250 0,1
4) Num grupo de 54 pessoas, 20 usam óculos, 25 são homens e 8 são mulheres que usam óculos. Calcule quantas mulheres não usam óculos. a ) 20
8 + =y 20 ⇒ z+ y= 25 ⇒
b ) 21
c ) 22
d ) 23
=y 20 − 8 = 12 ∴ =y 12 z+ 12 = 25 ⇒
z= 25 2 5 − 12 = 13 ∴ z= 13
x+ y+ z+ 8 = 54 ⇒ x+12 + 13 + 8 = 54 ⇒ x= 54 − 33 = 21 x = 21
e ) 24
5) Em um conjunto de 30 pessoas, 5 são altas e gordas, 11 são baixas e 13 são gordas. O número de pessoas desse grupo que são simultaneamente altas e magras é: a) 3
b) 5
c) 8
d) 14
e)16
Fazendo o MAPA DE VEITCH-KARNAUGH, temos: Pelo diagrama ao lado temos: x + 5 = 13 ⇒ x = 8
Assim
como x + y = 11 e x = 8 ⇒ y = 3
daí
x+ y+ z+ 5 = 30 pondo os valores conhecidos
30 ⇒ +z 16 = 30 30 ⇒ =z 30 − 16 ⇒ 8 + 3 + +z 5 = 30 ⇒ z = 14
Logo O número de pessoas desse grupo que são simultaneamente altas e magras é igual 14.
José Carlos Loureiro de Carvalho Formado Matemática -Uff – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA
[email protected] (21) 8518-7006
