FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO UNIVERSIDADE DE CAMPINAS
PROBLEMAS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS
RODRIGO DE MELO PORTO
Edição atualizada a partir do original publicado em Limeira em agosto de 1977. (Já atualizado o cap1)
CAPITULO 1
UNIDADES, COMPRESSIBILIDADE DOS LIQUIDOS E DOS GASES E PROPRIEDADES 1.1 - Dar as dimensões de: a) Potência; b) Módulo de elasticidade; c) Peso específico; d) Velocidade angular; e) Energia; f) Momento de uma força; g) Coeficiente de Poisson; h) Deformação unitária; i) Tensão superficial. 2.1- Qual é a relação entre as escalas de aceleração no sistema inglês técnico e no MKS? 3.1- A seguinte equação é dimensionalmente homogênea. F =
y 3 4 Ey − − h y h ( )( ) t − t (1 − σ 2 )( Rd 2 ) 2
onde = módulo de Young σ = coeficiente de Poisson d , y, h = distâncias R = relação de distâncias F = força Qual é a dimensão t ? ?
E
4.1- Se a água têm um módulo de compressibilidade volumétrica K = 2,06 x 109 Pa, qual é o acréscimo de pressão requerido para reduzir seu volume de 0,5% ? 5.1- Qual é o valor do volume especifico em m3 /Kg, de um líquido líqu ido cuja cuj a densidade den sidade vale v ale 0,8. 6.1- Determinar o peso específico do ar à pressão atmosférica normal p=101300 Pa e temperatura de 27°C. Dado constante do ar R=287 m2 /(s2.K). Supor g = 9,8 m/s2. 7.1- A massa especifica da água a 20°C e à pressão atmosférica vale 998 kg/m3. Calcular o valor da massa especifica de um volume de água que sofreu um acréscimo de pressão de 108 Pa, mantendo-se a temperatura. Resolver usando as duas fórmulas. 8.1- Determinar o valor da constante R, em m2 /(s2.K), para o ar atmosférico, supondo que este seja composto de 80% de nitrogênio e 20% de oxigênio. Dados: massa molecular do nitrogênio - 28 massa molecular do oxigênio - 32 constante universal dos gases perfeitos Λ = 8314 m2 /(s2.K).
CAPITULO 1
UNIDADES, COMPRESSIBILIDADE DOS LIQUIDOS E DOS GASES E PROPRIEDADES 1.1 - Dar as dimensões de: a) Potência; b) Módulo de elasticidade; c) Peso específico; d) Velocidade angular; e) Energia; f) Momento de uma força; g) Coeficiente de Poisson; h) Deformação unitária; i) Tensão superficial. 2.1- Qual é a relação entre as escalas de aceleração no sistema inglês técnico e no MKS? 3.1- A seguinte equação é dimensionalmente homogênea. F =
y 3 4 Ey − − h y h ( )( ) t − t (1 − σ 2 )( Rd 2 ) 2
onde = módulo de Young σ = coeficiente de Poisson d , y, h = distâncias R = relação de distâncias F = força Qual é a dimensão t ? ?
E
4.1- Se a água têm um módulo de compressibilidade volumétrica K = 2,06 x 109 Pa, qual é o acréscimo de pressão requerido para reduzir seu volume de 0,5% ? 5.1- Qual é o valor do volume especifico em m3 /Kg, de um líquido líqu ido cuja cuj a densidade den sidade vale v ale 0,8. 6.1- Determinar o peso específico do ar à pressão atmosférica normal p=101300 Pa e temperatura de 27°C. Dado constante do ar R=287 m2 /(s2.K). Supor g = 9,8 m/s2. 7.1- A massa especifica da água a 20°C e à pressão atmosférica vale 998 kg/m3. Calcular o valor da massa especifica de um volume de água que sofreu um acréscimo de pressão de 108 Pa, mantendo-se a temperatura. Resolver usando as duas fórmulas. 8.1- Determinar o valor da constante R, em m2 /(s2.K), para o ar atmosférico, supondo que este seja composto de 80% de nitrogênio e 20% de oxigênio. Dados: massa molecular do nitrogênio - 28 massa molecular do oxigênio - 32 constante universal dos gases perfeitos Λ = 8314 m2 /(s2.K).
9.1 -Um fluido tem viscosidade igual a 4x10-3 kg/(m.s) e massa especifica 800 Kg/m3. Determinar sua viscosidade cinemática. 10.1- Qual é o módulo de compressibilidade volumétrica de um líquido que tem um aumento de 0,02% na massa específica para um aumento na pressão de 47000 Pa? 11.1- Um balão sonda de formato esférico foi projetado para ter um diâmetro de l0 m a uma altitude de 45.000 m. Se a pressão e a temperatura nesta altitude são respectivamente 19600 Pa (abs) e -60oC, determinar o volume de hidrogênio a 98.000 Pa (abs) e 20oC necessário para encher o balão na Terra. 12.1- Deseja-se ensaiar um longo conduto circular, para uma pressão de 3,9 MPa. Enche-se primeiro o conduto com água a pressão atmosférica, tapam-se suas extremidades e obriga-se a entrar mais água por meio de uma bomba, até conseguir-se a pressão proposta para o ensaio. Supondo que o conduto não se dilate longitudinalmente, calcular a quantidade (massa) de água introduzida pela bomba. Dados: comprimento do tubo diâmetro interno espessura da parede (e) módulo de compressibilidade volumétrica da água (K) módulo de elasticidade do tubo (E)
2.500 m 0,55 m 1,4 cm 2,06 109 Pa 206 109 Pa
FOLHA DE RESPOSTAS CAPITULO 1
1.1 – a) – F L T-1 b) – F L-2 c) – F L-3 d) – T-1 e) – F L f) – F L g) – Adimensional h) – Adimensional i) – F L-1 2.1 – r = 0,305 3.1 – [t ] = L 4.1 – ∆ p = 10,3 Mpa 5.1 – v = 1,25 x 10-3 m3 /kg 6.1 – γ = 11,5 N/m3 7.1 – ρ = 1047,6 kg/m3 ; ρ = 1046,4 kg/m3 8.1 – R = 288,7 m2 /(s2.K) 9.1 – ν = 5x106 m2 /s 10.1 – K = 235 MPa 11.1 – V = 144 m3 12.1 - ∆m = ρ i
∆ p pDi 2 L 1 + 1 + − 1 4 K 2eE
π Di
2
CAPITULO 2
LEI DE VISCOSIDADE DE NEWTON 1.2- Uma placa infinita se move com velocidade constante Vo, sobre uma película de óleo que descansa por sua vez sobre uma segunda placa, como mostrado na figura. Para e pequeno pode-se supor nos cálculos práticos, que a distribuição de velocidade no óleo é linear. Qual é a tensão cortante sobre a placa superior?
2.2- a) Determinar o torque T requerido para se girar um disco de diâmetro d, com uma velocidade angular constante , sobre um filme de óleo de espessura h e viscosidade µ . b) Determinar o torque T requerido para se girar um cilindro A concêntrico a outro B com uma velocidade angular constante ϖ . Entre os dois cilindros existe um filme de óleo de espessura h e viscosidade µ . Assuma em ambos os casos uma distribuição linear da velocidade no filme de óleo.
3.2- Um óleo de densidade igual a 0,85 escoa por uma canalização de l0 cm de diâmetro. A tensão cisalhante na parede da canalização é 0,33 Kgf/m 2 e o perfil de velocidade é dado por v= 2- 800 r 2 (m/s), onde r é a distância radial medida a partir do eixo da tubulação. Qual e a viscosidade cinemática do óleo ?
4.2- Um bloco pesa 25 kgf e têm 20 cm de aresta. Deixa-se o bloco escorregar em um plano inclinado no qual existe uma película de óleo cuja viscosidade é igual a. 2,2 x l0 -4Kgf x s/m2. Qual é a velocidade limite que o bloco atingira, supondo-se que a espessura do óleo é de 0,025 mm? Utilize a hipótese de distribuição de velocidade linear.
5.2- A figura mostra o escoamento de um fluido viscoso, sobre uma placa plana. Supondo que : 1- a. velocidade varie somente em y. 2- o perfil de velocidade seja parabólico, ou seja, possa ser expresso por uma expressão V(y)= ay2 + by + c. 3- a. tensão tangencial entre o fluido e o ar possa ser totalmente desprezada. 4- o fluido é Newtoniano. Pede-se calcular a expressão da tensão tangencial na parede da placa plana (y = 0) em função da velocidade Vo, da espessura h e da viscosidade absoluta do fluido.
6.2- A figura representa. o perfil de velocidade de um fluido em escoamento, são dados: µ , a, b e o valor V max. Pede-se calcular o valor da tensão tangencial no ponto de coordenadas x= a, y= 0. Fazer as hipóteses necessárias.
7.2-Um corpo cônico gira a uma velocidade constante igual a ω rad/s. Uma película de óleo de viscosidade µ separa o cone do recipiente que o contem. A espessura da película de óleo é e. Que torque se necessita para manter o movimento? O cone tem uma base de raio igual a R e uma altura H. Suponha uma distribuição de velocidade linear e o fluido Newtoniano.
8.2-O peso da figura, ao descer, gira o eixo que está apoiado em dois mancais cilíndricos de dimensões conhecidas, com velocidade angular constante ω . Determinar o valor do peso G, desprezando a rigidez e o atrito na corda e supondo que o diagrama de velocidade no lubrificante seja linear. Dados: µ , De,Di, L e D. Discutir a solução.
9.2-São dados dois planos paralelos distanciados de 0,5cm. O espaço entre os dois é preenchido com um fluido de viscosidade absoluta l0 -5Kgf/m2. Qual será a força necessária para arrastar una chapa de espessura de 0,3cm, colocada a igual distância dos dois planos, de área l00 cm 2, a velocidade de 0,15 m/s.
10.2- Classificar as seguintes substâncias com base nos dados de velocidade de deformação dv dy
e tensão cisalhante τ .
11.2- Dois discos são dispostos coaxialmente face a face separados por um filme de óleo lubrificante de viscosidade µ e espessura e. Aplicando-se um momento torsor M t ao disco l este inicia um movimento em torno de seu eixo e através do óleo, estabelece-se o regime, de forma que as velocidades angulares 1 e ω 2 permanecem constantes. Admitindo o 32eMt , onde D é o diâmetro dos discos. regime estabelecido, demonstre que ω 1 − ω 2 = 4 π D µ
12.2- Entre duas placas, paralelas e infinitas existe um filme de óleo Newtoniano de viscosidade µ e espessura h. A placa superior move-se com uma velocidade constante Va e, uma vez atingido o regime, a placa inferior desloca-se com uma velocidade Vb constante ( Vb < Va ) devido a viscosidade do óleo. Supondo um perfil de velocidade linear, determine: a) a tensão tangencial sobre a placa A. b) a relação entre a tensão tangencial sobre a placa A e a tensão tangencial sobre a placa B.
13.2- Três placas planas, paralelas e infinitas, separadas pelas distâncias hl e h2, possuem entre elas óleos newtonianos de viscosidade µ l e µ 2, respectivamente. A placa A move-se com uma velocidade constante VA e a placa C com velocidade constante ( V C< VA ). A placa B, inicialmente em repouso, começa a deslocar-se para a direita. Calcular a velocidade VB de regime, isto é, a velocidade V B constante, após o equilíbrio do sistema. Qual a relação entre VA e VC para que a placa B não se mova? Considere em ambos os casos um perfil de velocidade linear em ambos os filmes de óleo.
14.2- Uma placa delgada e de grande área é colocada no meio (centro) de uma brecha cheia com um óleo de viscosidade µ o e é puxada com uma velocidade constante v. Se um outro óleo de viscosidade µ 1 for colocado na brecha substituindo o primeiro, verifica-se que para a mesma velocidade v a força de atrito sobre a placa só será igual a força anterior se a placa estiver localizada fora do eixo de simetria (centro) da brecha, mas paralela as paredes. Determine, em termos de µ o , µ 1 e h (altura da brecha), a que distância deve ficar a placa da parede mais próxima, para que a força de atrito seja a mesma para os dois óleos. Discuta a fórmula encontrada. O que acontece se µ 1 > µ o ? Faça todas as hipóteses necessárias à resolução do problema. 15.2- Determinar o torque necessário para girar com velocidade angular constante , o tronco de cone da figura. Um filme de óleo de viscosidade µ e espessura e preenche o espaço entre o tronco de cone e as paredes. Despreze o momento desenvolvido na face inferior do tronco de cone. Faça as hipóteses necessárias.
16.2- A distribuição de velocidades em uma determinada secção de uma tubulação cilíndrica e dada por: B D
2
) 4 µ 4 no qual: B e uma constante, r distância do eixo da tubulação ao ponto considerado, D o diâmetro da tubulação e v a velocidade a uma distância r do eixo. Determinar: v
=
(
2
− r
a) a tensão cortante na parede da tubulação. b) a tensão cortante em um ponto tal que r = D/4. c) se a distribuição de velocidades se mantém em um comprimento L ao longo da tubulação, que força de reação sofre o fluido devido a parede da tubulação? 17.2.- Através de uma brecha estreita de altura h, uma placa delgada e de grande área esta sendo puxada com velocidade constante v o. Sobre uma face da placa existe um óleo de viscosidade k µ e sob a outra face um óleo de viscosidade µ . Calcular a posição da placa, com relação a parede da brecha, de tal forma que a força tangencial sobre ela seja mínima. Verifique a resposta quando K = 1. 18.2 -Em um canal retangular de 0,50 m de largura e 0,30 m de altura, escoa água e o perfil de velocidade e parabólico com velocidade máxima de 0.80 m/s ocorrendo na superfície da água. Desprezando a tensão tangencial entre a água e o ar e sabendo que a água é um fluido newtoniano determine o módulo da força tangencial que a água provoca sobre o fundo do canal, por metro de comprimento longitudinal. Dado: µ H 2 O = 1,03x10 6 kgf.s/m2. −
FOLHA DE RESPOSTAS CAPITULO 2
1.2 τ = µ 2.2
T =
vo e
πωµ d 4
T =
πωµ d 3 L
32h 3.2 ν = 4,75 x 10-5 m2 /s 4.2 Vo =24,2 m/s 2 µ vο 5.2 τ Y 0 = =
h
uVmax a 2 + b2
6.2 τ =
7.2
4h
M =
τωµ R 3
onde L2
( L + R)
2e µ 2πω Di 3 L 8.2 G = D( De − Di) 9.2 F = 3x 10-5 Kgf
10.2- a) p1ástico ideal b) Não-newtoniano c) Não-newtoniano d) Newtoniano 12.2
a) τ = µ b) -1
va - vb h
µ 1
13.2
a)
V B
=
h1
V A
+
µ 1
+
h2
h1
b)
V A
=−
V C
µ 2
V C
µ 2 h2
µ 2 h1 µ 1 h2
1 − µ 1 / µ 0 2 Se µ 1 > µ 0 fisicamente impossível. h−h
14.2
y
15.2
µωπ Tg 2α [(a + b) 4 M 0 = 2eSenα
=
−a
4
]
2
= H +
R
2
CAPITULO 3
TENSÃO EM UM PONTO-GRADIENTE-EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS 1.3- Uma distribuição de forças mássicas, por unidade de massa do material é dada por →
2
B = 16 xi + 10 j . Se a massa especifica do material é dada por ρ = x + 2z, qual é a força mássica resultante sobre o material contido na região mostrada na figura?
2.3- Pode-se obter um campo vetorial tomando o gradiente de um campo escalar. Se φ = xy+l6t2 + yz3 qual é o campo grad φ ? Qual é o módulo do vetor grad φ no ponto (0,3,2) quando t=0. 3.3- Dada a seguinte distribuição hipotética de pressões p=xy + (x + z 2) + + l0, qual a força por unidade de volume sobre um elemento do meio fluido situado no ponto x=10, y=3, z=4, na direção e =0,95i + 0,32j? →
4.3- Qual é a pressão relativa em um ponto de um fluido distante h da superfície livre se a massa específica do fluido é variável e dada por ρ = ρ o+ kh (UTM/m3) no qual ρ o é a massa específica na superfície e k uma constante. 5.3- O peso específico da água em um oceano pode ser calculada pela relação empírica γ = γ 0 + K h no qual γ 0 é o peso específico na superfície e h é a distância entre a superfície do oceano e um ponto qualquer da massa de água. Determine uma expressão para a pressão relativa em um ponto qualquer situado a uma distância h abaixo da superfície. 6.3- Demonstrar que a equação fundamental da estática dos fluidos →
→
dP dZ
= −γ ,
pode ser
deduzida diretamente da equação geral da Física f = − ∇ φ , onde f é uma força por unidade de volume e φ um campo escalar, que no caso seria o campo de pressões dentro da massa fluida.
7.3- Se na superfície de um líquido em repouso o peso específico é γ 0 e o módulo de compressibilidade cúbica ε for constante, determine o peso especifico do líquido a uma distância h abaixo da superfície livre. Depois, mostre que, se o líquido for a água, ε =21.000 Kgf/cm2, para profundidades relativamente baixas, por exemplo h= 100 m, para propósitos práticos, a água pode ser considerada praticamente incompressível.
CAPITULO 4
MANOMETRIA E ESTÁTICA DA ATMOSFERA 1.4- Qual é a diferença de pressões entre os pontos A e B dos depósitos da figura?
2.4- Qual é a diferença de pressões entre os depósitos A e B. Densidade relativa do mercúrio igual a 13,5.
3.4- Qual é a pressão Pa no ponto mostrado na figura abaixo. Densidade relativa do óleo igual a 0,8.
4.4- Suponhamos unidos dois depósitos por um tubo de secção constante em forma de "U", como na figura. Os depósitos estão cheios de água e suas cotas piezométricas são respectivamente hl e h2 (hl> h2). As partes escuras do manômetro contem mercúrio e o resto contem água. Pede-se de terminar a diferença de cotas (hl - h2) entre os reservatórios. Dados γ ag γ Hg e h.
5.4- Um avião munido de um barômetro sobrevoa uma região do Atlântico cuja distribuição media de temperatura e indicada abaixo. O barômetro indica uma pressão absoluta de 0,275 kgf/cm2 .Calcular a que altura voa o avião. r =29,3 m/k. (ar).
6.4- Na medida de pequenas pressões de ar, utiliza-se um manômetro de tubos em "U" cujo plano é inclinado de um ângulo α a relativamente a horizontal. Sabendo-se que o fluido manométrico é álcool, de massa especifica ρ =O,78 x 102 UTM/m3, qual é diferença de pressões ∆ p medida pelo manômetro, expressa em mm de coluna de água, quando a distância entre os dois meniscos, contada segundo a linha de maior declive do plano do manômetro, for igual a l= O,45m. Adotar α = arc sen 1/2.
7.4- Nas medidas de pressões elevadas utiliza-se uma combinação de manômetros de peso morto, com um manômetro de coluna liquida de um só tubo, conforme esquema. Conhecendo-se os valores dados na figura, determinar a pressão no reservatório que contem água. Dados: γ Hg, γ óleo e γ H20.
8.4- Nas medidas de pressões com grande precisão utiliza-se um micromanômetro; a figura mostra um determinado tipo. Neste sistema empregam-se dois líquidos miscíveis de pesos específicos γ l e γ 2 respectivamente. Supondo que nos recipientes A e B temos gases de pesos específicos desprezíveis, calcular Pa -Pb em função dos dados ( δ , d , γ 1eγ 2 ). Se a área da secção reta do tubo é a, e a dos depósitos C e D é A, determinar δ em função de d, e justificar porque quando a/A for muito pequeno e γ l quase igual a γ 2, uma pequena diferença de pressão Pa –Pb produzirá uma grande variação de d, o que dará por sua vez um instrumento muito sensível.
9.4- Tem-se um tubo barométrico situado ao nível da superfície livre de uma represa, na cota zi = 520 m, indicando pressão atmosférica local de 746 mmHg. Em uma secção da adutora que sai da represa. situada na cota z 2 = 2º m, tem-se outro tubo barométrico indicando pressão atmosférica local de 760mmHg. Qual é a pressão relativa em Kgf/cm 2, no eixo da adutora na cota z 2 = 20 m, sabendo-se que não há escoamento através da adutora. Dado γ =l03 Kgf/cm3.
10.4 -Determinar analiticamente a diferença de pressões P A -PB entre os eixos dos dois reservatórios A e B indicados na figura. Considerar como grandezas conhecidas γ hg, γ ag, ∆ h, ∆ h1 e ∆ h2.
11.4- Determinar as pressões efetivas e absolutas: 1) do ar 2) do ponto M, da configuração abaixo Dados: leitura barométrica local 735 mmHg densidade relativa do óleo 0,85 densidade relativa do mercúrio 13,6
12.4- Em uma atmosfera adiabática a pressão varia com o volume específico da seguinte forma Pvk =cte, onde k e uma constante igual a relação dos calores específicos C p e Cv. Mostrar que a expressão que relaciona a pressão P e a elevação Z para esta atmosfera, utilizando como referéncia o nível do solo (índices zeros) é: P
=
K − 1 γ Po − γ ( Z − Zo) K γ 0
13.4- Determinar ρ a, Po e Poabs na configuração abaixo sendo dados: hb = 0,1 m ρ b = 100 utm /m3 1 atm = 1.033 kgf/cm 2
ha = 0,2 m Pa = Pb =1 atm g = 10 m/s2
14.4- A figura representa um recipiente contendo um líquido mantido a nível constante, cuja temperatura varia linearmente com a profundidade, decrescendo da superfície para o fundo, onde vale 20 oC. A taxa de variação e igual a 40 oc/m. Sabe-se que o peso específico do líquido varia linearmente com a temperatura, diminuindo quando esta aumenta, com uma taxa e variação de 5 kgf/m 3 / oC. A 20oC o peso específico vale 1.200 Kgf/m 3. Com as informações acima e os dados da figura calcular o valor da altura H da superfície livre do líquido contido no recipiente. γ H =13600 Kgf/m3.
15.4- Uma atmosfera tem uma temperatura ao nível do mar de 27 oC e cai loC para cada 275 m de elevação. Se a constante do ar é 29,3 m/k, qual é a elevação sobre o nível do mar onde a pressão é 70% da que existe sobre o nível do mar?
16.4- Para medida de pequenas variações de pressão em gases, utiliza-se algumas vezes um manômetro de cúpula. Basicamente consiste em uma cúpu1a cilíndrica de raio R e espessura da parede e, colocada em um determinado 1íquido, como na figura e sustentada por um contra-peso w, o gás cuja variação de pressão se deseja medir fica aprisionado na câmara C formada pela superfície do líquido e o fundo da cúpula cilíndrica. Pata um líquido de peso específico γ e um gás cuja pressão P deseja-se medir, calcular: 1) A expressão
dp dz
, isto é, a relação entre a variação de pressão e a variação z,
demonstrando que este manômetro e realmente sensível, isto é, para pequenos dp teremos grandes dz. 2) Para R=100 mm, e=1,0 mm calcular o deslocamento vertical da cúpula, devido ao aumento de pressão no gás de 1 mm de coluna de água.
17.4- Calcule
∆H
18.4- Calcular a leitura, em Kgf/cm 2, do manômetro A da figura. Densidade relativa do mercúrio 13,6.
19.4- Determinar a altura x e a pressão do ar dentro da campândula, na configuração abaixo. Dado: densidade relativa do mercúrio 13,6.
20.4- Calcular a diferença de nível ∆ h entre as superfícies dos dois reservatórios que contem água, quando o desnível manométrico vale 0,50 m. Densidade relativa do líquido manométrico igual a 0,70.
21.4- Manômetro metálico ou de Bourdon. Pressões ou depressões são comumente cedidas pelo manômetro de Bourdon.
Ao ligar o manômetro pela tomada de pressão, o tubo metálico fica internamente submetido a uma pressão p que o deforma, havendo um deslocamento de sua extremidade, que ligada ao ponteiro por um sistema de alavancas relacionará sua deformação com a pressão do reservatório. A leitura da pressão e feita diretamente no mostrador quando o manômetro tiver a sua parte externa a pressão atmosférica. Suponhamos agora o caso da figura abaixo.
Neste caso, a parte interna do tubo metálico estará submetido ã pressão P l enquanto que a externa estará a pressão P 2. Desta forma o manômetro indicara não a pressão P l, mas o saldo Pl -P2. Logo: Pleitura = Ptomada -Pexterna 22.4- Dado o dispositivo da figura, calcular a pressão relativa na câmara (1) quando o manômetro de Bourdon indica uma leitura de 2,5 Kgf/cm 2. Dado γ Hg a 13.600 Kgf/cm 3.
23.4- Os dois recipientes da figura são fechados e cheios de ar. Quando as leituras nos manômetros A e C forem as indicadas, determinar o desnivel de mercúrio x. Leitura barométrica local 750 mmHg.
24.4- O manômetro mostrado na figura mede uma pressão correspondente a 0,10 m de coluna de mercúrio. Se a pressão absoluta no ponto A for dobrada, qual será então a leitura no manômetro, em metros de coluna de mercúrio? Pressão atmosférica local 740 mmHg.
25.4- Determinar o desnível no fluido manométrico de dr = 1,60, dentro do manômetro em "U", quando a válvula V for aberta.
26.4- Um cilindro oco de altura l=0,20 m é mergulhado em água até uma profundidade h=1,00 m. Determinar a altura de água dentro do cilindro supondo que o ar aprisionado no cilindro se comprima adiabaticamente, durante o processo. Dado: leitura barométrica local 735,7 mmHg.
Momentos de Inércia
Retângulo
Triângulo
Círculo
Semicírculo
Um quarto do círculo
Elipse
CAP1TULO 5
ESFORÇOS SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS 1.5- Determinar a força resultante sobre a parte superior da superfície submersa. Determinar de forma completa a resultante.
2.5- Determinar o módulo e a linha de ação da força resultante da ação dos fluidos sobre a comporta mostrada. Dado γ H20=1000 Kgf/m3. Pman =7Kgf/cm2.
3.5- Que altura de água fará girar a comporta da figura no sentido dos ponteiros do relógio? A comporta tem uma largura de 2 m, despreze o atrito e o peso próprio da comporta.
4.5- Aplaca OB na figura tem largura b e comprimento a articulada em o, se o peso da placa é w e esta é suportada pela coluna de água determinar o ângulo θ de equilíbrio em função da altura h da coluna de água.
5.5.- A comporta ABCDEF da figura, articulada no extremo A, mantem-se em equilíbrio pela ação da força horizontal H aplicada em F, sendo a largura da comporta igual a 2,0 m, determinar o valor da força que solicita a articulação A.
6.5 -Determinar a força necessária para levantar a comporta quadrada da figura, cujo peso é 500 Kgf. Dado γ H =1000 Kgf/m3.
7.5- A comporta da figura pode girar em torno do ponto O. Determinar a mínima altura h para a qual a comporta irá abrir. Dado γ H20=1000 Kgf/m3.
8.5.- Determinar O mínimo valor de Z, para o qual a comporta da figura girará em torno do ponto 0, se a comporta é retangular de 2m de largura. Dado γ H20=1000 Kgf/m3.
9.5- A figura representa a secção de uma barragem de concreto. Admitindo que não haja subpressão, determinar, para um metro de largura, as componentes horizontal e vertical do empuxo de água sobre a face de montante. Supondo um coeficiente de atrito entre a barragem e o terreno da base, igual a 0,4, verificar se haverá tombamento da barragem. Verificar a estabilidade ao deslizamento. Definir coeficiente de segurança em relação ao escorregamento e tombaento e calcular seus valores para a barragem. Peso especifico do concreto igual a 2,4ton*/m3.
10.5- Fazer o exercício 9.5, admitindo um diagrama de sub-pressão hidrostática, triangular, agindo sobre a base da barragem, e cujo maior valor a pressão vale 8 γ , e mostrar que a resultante das forças ativas passa pelo terço médio da base da barragem. Traçar o diagrama de tensões para a base da barragem. Adote um coeficiente de atrito entre o maciço e a base igual a 0,6. 11.5.- A comporta retangular mostrada na figura está articulada em A e apoiada em uma parede vertical lisa em B. A largura da comporta e 5 m. Determine as componentes horizontal e vertical das reações em A e B. Dado γ H20- 1000 Kgf/m3 .
12.5- Imagine um líquido que quando está em repouso se estratifica de forma. Que seu peso específico é proporcional a raiz quadrada da pressão. O peso específico na superfície livre é γ o. Qual é a pressão em função da profundidade h medida a partir da superfície livre? Qual é a força resultante sobre uma das faces da placa que é mostrada na figura. A largura da placa é b.
13.5- Determinar o módulo e o ponto de aplicação da resultante das forças devido aos fluidos que atuam sobre a comporta da figura, de 1,50 m. de largura e articulada em O. Despreze o peso da comporta.
14.5- Determinar o momento M, necessário para que a comporta da figura matenha-se fechada. A comporta está articulada em O e apoiada em B.Largura da comporta 1,80 m.
15.5.- A comporta AB de 1 metro de largura é articulada em B e repousa sobre uma superfície lisa em A. A comporta separa dois reservatórios contendo água. No reservatório da esquerda existe um "colchão" de ar comprimido, e o manômetro colocado em C, indica uma pressão de 0,3 Kgf/cm 2. O reservatório da direita é aberto para a atmosfera. Com os dados da figura, calcule as componentes da reação na articulação B. Dado γ H20= 1000 Kgf/m 3.
16.5- A comporta triangular ABB de peso desprezível é articulada por um eixo que passa por BB e apoiada em A. Um peso W colocado em C e rigidamente ligado aplaca ABB, serve de contra-peso para manter a comporta fechada. Determinar o peso W para que a comporta esteja na iminência de abrir, quando a altura d'água no canal for h =0,6 m.
17.5- Calcular o módulo e o ponto de aplicação, com relação à superfície livre da força provocada pela água sobre um lado de área plana vertical mostrada.
18.5- A comporta retangular mostrada na figura, de peso desprezível, está articulada em 0 e apoiada em B. Determinar a altura h, a partir da qual a comporta girara em torno do eixo que passa em 0.
CAPITULO 6
ESFORÇOS SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUBMERSAS - PRINCIPIO DE ARQUIMEDES. 1.6- Determine o módulo da força resultante que atua sobre a superfície esférica da figura e explique porque a linha de ação passa pelo centro 0.
2.6- Qual é a força resultante sobre a comporta AB, cuja secção e um quarto de circunferência?. A largura da comporta é 1,2 m. Determine a cota a partir da soleira, do centro de pressão.
3.6- A comporta ABCD de peso desprezível, separa dois depósitos com líquidos de peso específico γ l e γ 2. Sendo r o raio da circunferência e estando a comporta em equilíbrio na posição mostrada na figura, determine a relação γ 2/ γ l. A comporta esta articulada em C.
4.6- Determine a força horizontal devido aos fluidos que atuam sobre o obturador cônico mostrado na figura.
5.6- Determine as componentes horizontal e vertical da resultante do empuxo sobre a superfície cilíndrica da figura, cujo raio é 1,0 m e cuja geratriz mede 4,0 m.
6.6- Determine o módulo e o ponto de aplicação das componentes horizontal e vertical da força exercida pela água sobre a comporta AB da figura sabendo-se que sua largura é 3,0 m e o raio é 0,9 m e a comporta esta articulada em C.
7.6- O peso específico de um "iceberg" é de 915 Kgf/m 3 e o da água do mar é 1.025 Kgf/m3. Se da superfície livre do mar emerge um volume de "iceberg" igual a 30.000 m 3 qual é o volume total do "iceberg" ?
8.6- Um cilindro de ferro fundido de 30 cm de diâmetro e 30 cm de comprimento é imerso em água do mar ( γ =1030 Kgf/m3 ). Qual é o empuxo que a água exerce sobre o cilindro? Qual é o empuxo se o cilindro fosse de madeira? Neste caso, qual seria a altura submersa do cilindro? γ mad=750 Kgf/m3.
9.6- Calcular o raio mínimo que deve ter a esfera OCA e peso desprezível, a fim de que a comporta articulada em 0 não abra. Admita que o cabo que liga a esfera a comporta bem como a roldana A sejam ideais. Dado: γ H2O =1.000 Kgf/m3
10.6- Um reservatório com uma abertura circular fechada por uma esfera. A pressão no interior do reservatório é 50 lbf/pol 2 (absoluta). Qual a força horizontal exercida pela esfera sobre a abertura? Dado 1atm = 14,7 lbf/pol 2.
11.6- Uma semi-esfera cheia de liquido esta submetida a pressão correspondente a uma altura h. Achar o empuxo vertical na parede interior da semi-esfera de raio r. Dado peso especifico do liquido γ .
12.6- Uma cápsula hemisférica cobre um tanque fechado. Se o tanque esta completamente cheio ce gasolina (densidade relativa = 0,72), e o manômetro indica a pressão de 0,9 Kgf/cm2, qual e a força total sobre os parafusos que prendem a cúpula?
13.6- Uma comporta cilíndrica de raio r e largura l, barra a água, como mostra a figura. O contato entre o cilindro e a parede é liso. Calcular a força exercida contra a parede e o peso da comporta, para que o nível d'água seja ó mostrado. Determine também as linhas de ação das componentes horizontal e vertical da força devido a água sobre à comporta, tomando como referéncia o ponto 0.
14.6- Determine o módulo, direção, sentido e o ponto de aplicação das componentes horizontal e vertical da força devido ao líquido de peso específico Y, sobre a comporta cilíndrica de comprimento l e secção igual a 3/4 de circunferência de raio r.
15.6- Verificar as condições de estabilidade da barragem da figura, por metro de largura, calculando os coeficientes de segurança ao deslizamento e ao tombamento. Verificar se há possibilidade de aparecer tensões de tração na base da barragem. Coeficiente de atrito entre a barragem e a fundação 0,50. Determinar também a tensão de compressão mínima, na base do maciço.
16.6- Um submarino pesa 900 tonf. Com esse peso ele flutua na superfície da água doce com 90% do seu volume total imerso. Que volume de água deve ser admitido em seus tanques afim de que ele possa submergir totalmente? Dados: g=9,8 m/s2 ρ =102 UTM/m3
l7.6 -Determine o módulo e as linhas de ação, em relação ao ponto 0, das componentes e vertical da força que a água exerce sobre o cilindro mostrado na figura. O cilindro, de 0,80 m de diâmetro, esta articulado por um eixo horizontal que passa por 0. Calcule as forças por unidade de largura do cilindro.
18.6 O cilindro de 3,0 m de comprimento está articulado no ponto A. Calcular o momento, em relação ao ponto A, requerido para manter em equilíbrio o cilindro, na posição mostrada.
19.6- A figura mostra uma comporta semi-esferica de ferro fundido (dr=7,8) articulada em A e simplesmente encostada em B. Determine os módulos das componentes horizontal e vertical das forças em A e B. O centro de gravidade da semi-esfera dista 3r/8 da base onde r é o raio.
20.6-0 cilindro de 0,60 m de diâmetro é 2,0 de comprimento está em repouso na posição mostrada na figura. Determinar o módulo e a linha de ação, com relação ao ponto O, das componentes horizontal e vertical da força devido a água sobre o cilindro.
21.6- Determinar os módulos das componentes horizontal e vertical, bem como suas linhas de ação com relação ao ponto 0, da força devido a água sobre a comporta tipo setor, mostrada na figura. A comporta e articulada a um eixo que passa pelo ponto O e seu comprimento é 6,20 m.
CAPITULO 7
PROBLEMAS GERAIS-SOBRE O PRINCIPIO DE ARQUIMEDES E ESTÁTICA DOS FLUIDOS. 1.7- Um sarrafo de pinho de secção reta (2,5 x 5)cm, está articulado em B. A extremidade A está presa ao piso do deposito que contém água, por um cordão C, mantido vertical. Com os dados da figura calcule a tensão no cordão. Dado: massa especifica do pinho ρ = 17g/cm3.
2.7- Dois cubos iguais de 1 m 3 de volume, um de densidade relativa igual a 0,80 e outro de 1,10, estão unidos mediante um cordão curto e colocados na água. Que volume, do cubo mais leve, fica acima da superfície livre da água? Qual é a tração que o cordão está submetida?
3.7- Um cubo de 60 cm de aresta, tem sua metade inferior de densidade relativa igual a 1,4 e a metade superior igual a 0,6. Está submerso na massa de dois fluidos imiscíveis, o inferior de densidade relativa igual a 1,2 e o superior de 0,9. Determinar a altura do cubo que sobressai por cima da interface dos dois líquidos.
4.7 -Determinar a densidade e o volume de um objeto que pesa 3 Kgf quando colocado na H20 e 4 Kgf quando colocado em um óleo de massa específica relativa 0,8. 5.7- Deseja-se determinar a densidade em g/cm 3 de uma pequena amostra de basalto, para isso foi determinada a massa da amostra no ar e na água, a primeira medida foi de 31 g e a segunda de 20 g. Qual é a densidade da amostra? 6.7- 0 densimetro é um aparelho destinado a medir a densidade relativa dos líquidos, baseado no principio da flutuação. O aparelho é tarado com pequenas esferas metálicas, para que seu peso seja w. O densimetro tem uma haste de secção reta constante e igual a s. E feita a calibração do aparelho colocando-o em água destilada (dr=l), determinando-se o volume submerso V 0 e marcando-se na haste, o zero da escala, correspondente ao nível da superfície livre da água. Quando o densimetro flutua em outro liquido a haste sobe ou desce em relação ao zero da escala de calibração, de uma altura ∆ h, como no diagrama da direita, Calcular em função de Vo, s e ∆ h a densidade relativa dr de um liquido qualquer.
7.7- A parede de um reservatório d'água tem a forma apresentada na figura. As ondulações têm a forma de semicircunferéncias de raio R. Determinar a força horizontal provocada pela água e seu momento em relação ao ponto A. A largura do reservatório é L e pede-se a resposta para um número n de ondulações.
8.7- Qual o valor do empuxo sobre a esfera da figura se as secções do deposito estão totalmente isoladas uma da outra.
9.7- O cilindro da figura está cheio com um liquido conhecido. Determine: a) a componente horizontal da força sobre AB por pé de comprimento, inclusive sua linha de ação em relação ao centro 0. b) a componente vertical da força sobre AB por pé de comprimento, inclusive sua linha de ação, em relação ao centro 0.
10.7- Calcular o módulo e o ponto de aplicação (em relação ao ponto 0), da resultante das forças devido aos fluidos, agindo sobre a tampa do deposito cilíndrico de raio r, com meia secção contendo água e meia secção contendo ar sobre pressão. Dado: momento de inércia de um circulo, com relação ao diâmetro π r4 /4.
11.7- uma comporta ci1indrica de raio r = 0,60 m e largura igual a 2,O m, barra óleo e água, conforme a figura. O contato entre o cilindro e a parede, é liso. Calcular a força exercida contra a parede e o peso da comporta, para que os níveis dos líquidos sejam os mostrados. Determine também as linhas de ação dos componentes horizontal e vertical da força devido aos líquidos sobre a comporta, tomando como referencia o ponto O.
12.7- A comporta de peso desprezível, de largura L, está suspensa por um eixo que passa pelo ponto 0, e separa dois reservatórios que contem água. Qual deverá ser o valor da medida x, para que a comporta permaneça na posição da figura, sem haver tendência de girar? Despreze o atrito no ponto A.
13.7- Determine o módulo e a linha de ação, com relação ao ponto C, das componentes horizontal e vertical da força devido à água, sobre a comporta ABC de 4 m de largura.
14.7- Determine o módulo, direção, sentido e o ponto de aplicação dos componentes horizontal e vertical da força devido ao liquido de peso especifico γ , sobre a comporta AB de comprimento L e a secção igual a ¼ de circunferência de raio R. Relacionar as linhas de ação dos componentes como ponto 0.
15.7- Determinar o mínimo valor da força F para manter a comporta de 1,20 m de comprimento, peso desprezível e cuja seção e ¼ de circunferência de r = 1 m, em equilíbrio. A comporta é articulada em A.
16.7- Na parede de um deposito há uma chave de fechamento que gira em torno de 0. Seu comprimento é L e sua seção é ¾ de circulo. Calcular: a) Os empuxos vertical e horizontal sobre o eixo da chave, devido ao liquido de peso especifico γ . b) A inclinação do empuxo em relação a um plano horizontal. c) O momento em relação ao eixo da chave.
17.7 -A quilha de um navio é curta na forma de um arco de circulo de 1,0 m de raio. Com a água no nível mostrado calcule para uma faixa de 2,0m de largura, as componentes horizontal e vertical da força de pressão sobre A-B bem como as respectivas linhas de ação. Dado: γ mar =1025 kgf/m3.
18.7- Calcular a força F necessária para manter a comporta de 1,2 m de largura mostrada na figura, fechada, quando R=0,45 m. A comporta esta articulada em A e tem peso desprezível.
19.7.- A comporta AB mostrada na figura e articulada em A e repousa contra uma parede vertical perfeitamente lisa em B. A comporta tem 6,0 m de largura Com a água no nível mostrado, determine as componentes horizontal e vertical das reações em A e B. Dado: γ =103 Kgf/m3.
20.7.- Um reservatório de água, de largura L tem os cantos superiores em forma de 1/4 de circunferência de raio r, com o nível d’água mostrado, calcule as componentes horizontal e vertical, bem como as linhas de ação da força devido à água sobre a superfície curva AB.
CAPITU L O 8
ESTABILIDADE DE CORPOS FLUTUANTES 1.8.- Um paralelepípedo de madeira medindo 15,2 cm x 30,5 cm x 152 cm, flutua na superfície da água. Admitindo que o peso especifico da madeira vale 740 Kgf/m 3 calcular, para as duas possíveis posições: a) a profundidade do volume de carena b) a altura metacêntrica e o tipo de equilíbrio. c) o momento restaurador para uma inclinação de 5°.
2.8- Uma chata que transporta areia tem forma retangular, aproximadamente paralelepípeda, com dimensões 9 m x 24 m x 2,5 m. A chata pesa 500.000 Kgf quando carregada, e tem seu centro de gravidade localizado 3 m acima do fundo. Calcular a altura metacêntrica para uca rotação em torno do eixo longitudinal e verificar a estabilidade.
3.8- O objeto de madeira mostrado na figura tem peso de 0,50 Kgf e o centro de gravidade está a 5 cm abaixo da superfície superior.Determinar se o equilíbrio é estável em relação ao eixo y, quando o objeto flutua na água.
4.8- A plataforma da figura tem peso próprio de 200 Kgf e é montada sobre quatro flutuadores de forma cilíndrica e deve suportar uma carga de 1800 Kgf. Netas condições de carregamento o centro de gravidade do conjunto, localiza-se na posição mostrada na figura
Determinar o espaçamento x, de tal forma que a altura metacêntrica do flutuador seja 0,40m.
5.8.- Determinar a altura metacêntrica do toroide da figura
6.8- Três troncos de madeira de 2 m de comprimento são unidos por uma plataforma de modo a formarem um flutuador como mostra a figura. Desprezando-se o peso da plataforma e sabendo-se que, sem carga, o nível da água passa pelo eixo dos cilindros, determinar: a) a altura metacêntrica e o tipo de equilíbrio; b) o novo valor da altura metacêntrica no caso de se retirar o tronco do meio.
7.8- Nas obras de construção de uma ponte, foi empregado, no transporte de material, um flutuador formado por um caixão de concreto armado, com as dimensões indicadas na figura. Admite-se para o peso específico do concreto armado γ = 2.400 Kgf/m3. Qual o tipo de equilíbrio do caixão.
8.8- Verificar o tipo de equilíbrio para o cilindro oco, na posição mostrada na figura.
9.8- Qual deve ser a relação entre o raio da base R e a altura H de um cilindro de densidade d para que este flutue na água, com as bases na horizontal e em equilíbrio estável ? 10.8.- Um navio desloca 1000 tonf e tem a secção de flutuação com a forma e dimensões da figura. Estando o centro de carena 1,80 m abaixo da superfície de água e o centro de gravidade 0,30 m abaixo desta mesma superfície, verificar o tipo de equilíbrio para uma pequena inclinação lateral.
11.8.- Um navio desloca 9,45 x 10 5 Kgf e tem uma secção de flutuação como a indicada na figura. O centro de carena está a 1,8 m abaixo da superfície de flutuação e o centro de gravidade a 0,30 m. Determinar a altura metacêntrica e o tipo de equilíbrio.
CAPITULO 9
CAMPO DE VALOCIDADE – EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 1.9- Dado o escoamento permanente de um fluido incompressível, caracterizado por: →
→
→
V =ax i
→
+ b y j - (a + b) z k a) Verificar se o escoamento satisfaz a equação da continuidade. b) Determinar a equação das linhas de corrente do escoamento no caso de a =-b. 2.9- Conhecendo o escoamento variável caracterizado por: →
2
V =
(2 + t ) x
→
i
2
- (2 + t) y
→
j
pedem-se:
a) as linhas de corrente no instante t =1 b) a trajetória de uma partícula que no instante t =0 tem por coordenadas x =y =1. 3.9- Demonstrar que o campo de velocidade 4 x 4 y i j satisfaz a continuidade em todos os pontos do plano xy, exceto + V= 2 2 2 2 →
→
x
+ y
→
x
+ y
na origem. a) Qual a equação da trajetória que passa no ponto (2,1). b) Desenhar algumas linhas de corrente que permitam a visualização do escoamento. c) Calcular o módulo do vetor velocidade e mostrar que a vazão através de cada circulo concêntrico com a origem (por metro na direção z) e constante e igual a 8 π . Admita fluido incompressível. 4.9- Comprovar se os seguintes campos de velocidades satisfazem ao principio da conservação da massa, para um fluido incompressível. →
a) V =6 xi + 6 y j -7 t k →
b) V =10 I + (x2 + y2) j -2 y x k →
c) V = (6 + 2xy + t2) i -(x. y2 + 10t) j + 25 k 5.9- Um escoamento tem seu campo de velocidade expresso por: →
j + (a2- a- 12) t z 3 k. Para quais valores de a, as linhas de corrente deste campo coincidem com as trajetórias, qualquer que seja o tempo t? Para os valores de a encontrados determinar os pontos do espaço (x, y, z) para os quais o campo de velocidade satisfaz a equação da continuidade, para um fluido incompressível. V = (x- 4) i + 15 a y
2
6.9- Para cada um dos escoamentos descritos, dizer se as acelerações de transporte e local são zero ou diferentes de zero.
a) escoamento em um conduto curvo de secção constante, com vazão constante. b) escoamento em um conduto longo de secção constante, com vazão constante. c) idem, idem, com vazão variável. d) escoamento em um conduto de secção variável com vazão crescente. 7.9- Determinar a relação entre a velocidade máxima e a velocidade media correspondente a vazão Q nos escoamentos dados. a) Escoamento bidimensional com distribuição parabólica de velocidades b) Escoamento com simetria axial e distribuição parabólica de velocidades. Distribuição parabólica V= Vmax 1 − ( ) 2 R r
8.9- Determine a relação entre a velocidade cedia e a velocidade máxima, para os dois escoamentos bidimensionais, cujos perfis de velocidade são os mostrados.
9.9.- No dispositivo mostrado na figura, através da tubulação A se introduz uma vazão de 140 l/s de água, enquanto que pela tubulação B se introduzem 28 l/s de óleo, de densidade relativa 0,8. Se os líquidos são incompressíveis e formam uma mistura homogênea de gotículas de óleo em água, qual é a velocidade média e a massa especifica da mistura que abandona o dispositivo pela tubulação C de 30 cm de diâmetro. Admitir uma massa especifica media constante para a mistura.
10.9- Se no problema anterior o pistão D se move para a esquerda com uma velocidade de 30 cm/s e seu diâmetro é igual a 15 cm, qual é a velocidade média do fluido que sai para C. 11.9- Em um elevador pneumático tem-se um pistão deslocando-se com velocidade Vo constante, de tal maneira que também é constante a descarga G (vazão em massa) através do tubo de alimentação indicado na figura. Sabe-se que a massa específica do ar comprimido varia, dentro do cilindro, desde o valor ρ o, correspondente a posição inicial de equilíbrio Xo, até o valor genérico ρ . assumido no instante t. Determinar a lei de variação de ρ em função do tempo t, conhecendo-se os valores de ρ o, Xo, G e A área da secção reta do cilindro.
12.9.- Por um conduto uniformemente convergente escoa água em regime permanente. Na secção 1 de diâmetro igual a 0,60 m o perfil de velocidade é dado por: r 2 V=2 1 − (m/s) 0,30
e na secção 3 de diâmetro igual a 0,40 m o perfil de velocidade tem uma distribuição cônica. Determinar a velocidade máxima na secção 3 e a velocidade media na secção 2 que dista L/6 da secção 1.
13.9- Considere-se um fluxo bidimensional permanente ao redor de um cilindro de raio a conforme a figura. Utilizando coordenadas cilíndricas podemos expressar o campo de velocidades, para o fluxo de um fluido não viscoso e incompressível da seguinte maneira: →
V (r, θ ) = - (Vo cos θ -
2
a Vo r 2
→
cos θ ) ε r + (Vo sen θ +
2
a Vo r 2
→
sen θ ) ε θ
no qual Vo é uma constante e Er e E θ são os vetores unitários nas direções radial e tangencial, respectivamente, como é mostrado na figura. Qual é a aceleração de uma partícula fluida em θ = θ o e situada no contorno do cilindro cujo raio é a?
14.9- Na figura aparece um dispositivo no qual penetra água axialmente a razão de 280 l/s e se dirige radialmente através de três condutos idênticos, cujas secções de saída são iguais a 460 cm2 em direção perpendicular ao fluxo. A água sai com um angulo de 30°, em relação ao conduto e medido a partir da direção radial, como se mostra na figura. Se a roda dos condutos gira em sentido dos ponteiros do relógio a uma velocidade angular constante de 10 rad/s com relação a Terra, qual o módulo da velocidade média com que sai a água pelos condutos medida com relação a Terra. Admitir fluido incompressível.
15.9- Por um longo conduto circular de 0,30 m de diâmetro escoa água em regime permanente, com um perfil de velocidade v =[0,0225 - r 2] (m/s). Determinar a velocidade média com que a água sai pelas tubulações de 0,05 m de diâmetro.
16.9- Ar escoa por um tubo de secção constante de 5 cm de diâmetro. Numa secção (1) a massa específica é 0,12 UTM/m 3 e a sua velocidade é 20 m/s. Sabendo-se que o regime é permanente e que o escoamento é isotérmico, determinar: a) a velocidade do ar na secção (2), sabendo que a pressão na secção (1) é de 1kgf/cm 2 (abs) e na secção (2) e 0,8 Kgf/cm 2 (abs) b) a vazão em massa c) a vazão em volume nas secções (1) e (2). 17.9 Uma piscina.de 20 m x 9 m x 2 m e alimentada através de um sistema, como mostra o esquema abaixo. O sistema consta de um poço cilíndrico de 1,20 m 2 de área transversal, alimentado por uma vazão constante Qo =10 l/s, do qual uma bomba recalca a água com uma vazão constante Q1=14 l/s, através de uma tubulação de recalque. Uma bóia convenientemente instalada no poço provoca o funcionamento da bomba no instante t=0, quando o nível d’água atinge o ponto (1) e a desliga quando o nível d’água atinge o ponto (2). Admitindo que uma válvula de retenção evita o esvaziamento da tubulação de recalque, e que a piscina esta vazia no tempo t=0, determinar: a) o intervalo de tempo entre o inicio e o fim do funcionamento da bomba, em cada ciclo, em minutos. b) o intervalo de tempo que a bomba permanece desligada, em cada ciclo, minutos. c) o tempo necessário para o enchimento total da piscina em horas. d) o número de vezes que a bomba e ligada até encher a piscina. e) trace o gráfico Q (l/s) x t (min) correspondente ao funcionamento da bomba.
18.9.- Um autoveículo possui um sistema automático para o enchimento dos próprios pneumáticos, para compensar uma eventual perda de ar, ocasionada por um furo pequeno. O compressor do veículo, por hipótese, fornece uma descarga de ar G 1, constante, independente da pressão p no interior do pneu, e é acionado no momento em que a massa especifica do ar dentro do pneu atinge o valor ρ c. Por hipótese a descarga (vazão em massa) G2 que sai de um furo pequeno é dada por G 2 =K
ρ onde K = cte. Admitindo que ρ o
ρ o seja a massa específica do ar nas condições normais de uso do pneumático e que houve
um pequeno furo, provocando o funcionamento do compressor no instante t =o, calcular o intervalo de tempo to de funcionamento do compressor, necessário para que o pneumático atinja as condições iniciais de uso. Dado, volume do pneumático Vol = cte. 19.9- A figura mostra esquematicamente um pistão perfurado que se move no interior de uma câmara cilíndrica fixa, com uma velocidade constante Vo. Sabendo-se que a câmara está cheia de óleo, que o diâmetro do pistão é D e o diâmetro do furo e d, e que o fluido é incompressível. -Determinar: a) a velocidade absoluta do óleo no furo b) a velocidade relativa entre o óleo e o pistão no furo c) a vazão Q.
20.9.- Para simular o escoamento de um rio construi-se uma canaleta por onde escoa água com uma vazão variável em função do tempo, conforme mostra o gráfico abaixo. A canaleta alimenta um reservatório regularizador cuja comporta é comandada de tal forma a fornecer para jusante uma vazão constante igual à vazão media do intervalo de tempo considerado. Tem-se disponível para o reservatório a altura de 2,0 m e uma área horizontal ilimitada. Determinar: 1- A vazão media no intervalo de tempo de 24 horas. 2-A área mínima para a execução do reservatório para que este nunca extravase, observando que no instante inicial t=0 hs o nível d’água no reservatório e 1,0 m. 3-O nível mínimo que ocorre no reservatório. 4-Traçar a curva Volume x Tempo para o reservatório.
21.9- Determinar a velocidade média do escoamento na secção 3, conhecendo-se as distribuições nas secções 1 e 2 e sabendo-se que o fluido é incompressível. r 2 Secção 1- distribuição parabólica V 1 = Vmax1 1 − R1
Secção 2 -distribuição cônica V2 = Vmax 2 ( 1 – r/R2 ) Dado: raio da secção 3 igual a R 3.
22.9- Como se mostra na figura, por um conduto de secção retangular entram 10 m 3 /s de água. Duas faces do conduto são porosas. Pela face superior se admite água a uma vazão, por unidade de comprimento, de distribuição parabólica, segundo se mostra, enquanto que pela face frontal se perde água com uma distribuição de vazão por unidade de comprimento, linear. Na figura são dados os valores máximos da distribuição. Qual é o valor da velocidade media na secção de saída do conduto que tem 1 m de comprimento e área da secção reta igual a 10 m 2?
23.9- O filtro de admissão de combustível de uma certa maquina é formado por um elemento poroso em forca de tronco de cone. O combustível penetra no filtro pela tubulação de 5 cm de diâmetro, na qual o perfil de velocidade e parabólico com Vmax=1,20m/s. O perfil de velocidade na face superior, de 10 cm de diâmetro, e cônico com Vmax=0,3m/s. Qual a vazão de combustível que será filtrada pela parede porosa?
24.9- Determinar a velocidade media na secção (3), sabendo-se que na secção (1), de diâmetro 2D, o escoamento e unidimensional e na secção (2), de diâmetro D, o perfil de velocidade e dado por V =K- r 2, no qual k é uma constante e r uma dimensão linear marcada a partir do eixo do conduto. Faça as hipóteses necessárias.
25.9- Determinar a descarga media, em relação ao tempo, em um duto onde escoa a descarga variável senoidal, G=Gmax Sen t, proveniente de um compressor de ar mono cilíndrico.
26.9.- Determinar o volume especifico do fluido compressível em escoamento permanente na secção de diâmetro d 3 = 15 cm sabendo que a velocidade média v=30 m/s e que as descargas em peso valem l = 0,3 kgf/s e ω 2 = 0,2 Kgf/s.
27.9- Um recipiente de volume constante Vo, deverá ser “enchido" de ar por um compressor que fornece uma descarga variável com o tempo, da forma: 2π G = Gmax Sen ( t ) no qual T é o período. T
No instante t =0 em que o compressor é ligado a massa especifica do ar no recipiente é ρ o. Determinar a variação de ρ com o tempo. Dados: Gmax, Vo, ρ o e T. 28.9- Tem-se um escoamento de um fluido compressível em regime variável, através de um conduto de secção circular de área A constante. A velocidade media na secção, assim como a massa específica media, variam com o tempo segundo os gráficos abaixo. Determinar a vazão e a descarga medias em relação ao tempo. Dados: Vmax, ρ max, ρ min e A.
29.9- Água é bombeada através de uma tubulação de borracha para um reservatório cujo topo pode se mover livremente para cima. Na base do reservatório existe uma tubulação
pela qual a água escoa em condições de regime laminar, com uma distribuição de velocidade dada por: r 2 V = V max 1 − no qual R e o raio da secção reta da tubulação. R
Sendo Q (m3 /s) a vazão que penetra no reservatório, A a área da seção reta e h a altura do reservatório, sendo V max =Kh, determine h como uma função do tempo. Assuma que h =0 quando t =0.
30.9- Um reservatório cilíndrico de área da base igual a 10 m 2 e alimentado por uma vazão variável com o tempo de acordo com a equação Q = -450 t 2 + 3600 t, com t em horas e Q em litros por hora. Por outro lado o reservatório pode ser descarregado pelo duto de descarga que é regulado para fornecer uma vazão constante e igual a 1,25 l/s. No instante inicial, quando o nível d’água no reservatório é h =1,0 m este começa a ser alimentado e descarregado simultaneamente. Determine: a) a vazão média de alimentação no intervalo de 0 a 8 horas; b) o tempo em que ocorre o nível máximo e mínimo no reservatório; c) os níveis máximos e mínimos de água no reservatório. d) Traçar a curva Volume x Tempo
31.9- Por um conduto convergente escoa água com uma vazão de 10 l/s. A maior seção do conduto tem 20 cm de diâmetro e a menor 10 cm. Determinar, em m/s, a expressão da velocidade media em uma secção genérica do conduto, de abscissa x, sendo L o comprimento do conduto
CAPITULO 10
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI 1.- Determinar a velocidade média e a pressão na secção (2) de uma tubulação circular e horizontal, pela qual escoa um fluido incompressível e não viscoso em regime permanente. As condições na secção (1) são conhecidas.
2.10- Calcule a vazão de gasolina (densidade relativa 0,82) através da linha de tubos da figura, primeiro usando as leituras dos manômetros e depois usando a leitura do manômetro diferencial, que contem mercúrio. Dado: densidade relativa do mercúrio 13,6.
3.10.- A figura mostra um sifão; despresando-se totalmente as perdas, qual será a velocidade da água que sai por C como jato livre? Quais são as pressões da água no tubo, nos pontos A e B ?
4.10- A entrada E de uma tubulação situa-se a 1,0 m abaixo da superfície livre de um reservatório, de grandes dimensões que contem água. A saída T da canalização situa-se a 3,0 m abaixo da mesma superfície livre. A tubulação tem um diâmetro de 8 cm e termina na extremidade T por uma contração cujo diâmetro é 4 cm. 1- Qual o valor da velocidade Vt na saída da tubulação? 2- Qual a vazão da água que escoa? 3- Qual é na tubulação, o valor da pressão estática no ponto E ?. Admita g=10 m/s 2 , γ =1000 kgf/m 3 e suponha que o escoamento se efetue sem perdas.
5.10- A figura indica o escoamento de água em um canal de 3.0 m de largura. Desprezando todas as perdas de energia, determinar as possíveis profundidades do fluxo na seção B.
6.l0.- Medida de velocidade -Tubo Pitot - Prandtl. 7.10- Calcular a vazão para um fluxo ideal através das tubulações mostradas.
8.10.- A cavitação é um fenômeno que ocorre no seio da um líquido, quando a pressão num ponto do líquido atinge a pressão de vapor. Então no ponto onde ocorre a cavitação, o líquido começa a vaporizar, ocorrendo uma descontinuidade do fluxo. Na figura apresentada, a velocidade no ponto A é igual a l,5 vezes a velocidade no ponto B. Se a profundidade da água dentro do tanque é igual a 0,90 m, qual é o máximo valor de L que pode ser utilizado sem que se produza a cavitação? Admita que a pressão de vapor seja igual a 330 kgf/m 2 e a pressão atmosférica igual a 10.330 kgf/m 2, γ = 1000 kgf/m 3.
9.10- Calcular a vazão do escoamento de ar, internamente ao duto esquematizado na figura. Considere o ar incompressível. Despreze o peso da coluna de ar.
10.10- Se a pressão de vapor do H 20 a 25oC é 0,33 m.c.a., a que altura, sobre a superfície livre, pode estar o ponto B do exercício 3.10, antes que o sifão falhe por cavitação? Leitura barométrica 730 mm Hg. 11.1.- Calcular a velocidade V para R= 30 cm.
12.10.- Na instalação abaixo para,h > 0,61m, fenômenos de cavitação são observados na secção contraída de 5 cm de diâmetro. Se a tubulação e horizontal e a secção se mantem cheia, determine a pressão de vapor da água. Leitura barométrica local 700 mm Hg.
13.10- Medida de vazão de fluidos incompressíveis em tubu1ações de secção reta circular. a) Medidor Venturi b) Orifício ou diafragma
14.10- Calcular a vazão do escoamento de ar internamente ao duto esquematizado na figura. Fazer as hipóteses necessárias.
15.10- Um submarino navega a 12 metros de profundidade com velocidade constante e igual a 3,2 m/s, em água inicialmente parada. A diferença de pressão existente entre o nariz do submarino (ponto A) e o ponto B distante 1,20 m de A e na mesma horizontal é 0,3m.c.a., diferença esta provocada pela perturbação causada `a massa fluída, devido ao movimento do submarino. Determine a velocidade da água no ponto B.
Dado: γ = 103 kgf/m3
16.10- A água sai de um recipiente aberto de grandes dimensões, através de um tubo com contração gradual até o diâmetro d 1 depois um alargamento gradual até o diâmetro d 2. Desprezando as perdas de energia determinar a pressão absoluta na secção contraída 1-1, se a relação dos diâmetros é d 2 /dl= √2: Achar a carga critica para qual a pressão absoluta na secção 1-1 e igual a zero.
17.10- A figura representa um sifão composto de um tubo de 3" de A até B, seguido de um tubo de 4" de B `a extremidade aberta C. As perdas de carga são as seguintes: de 1 a 2 1,1 pés. de 2 a 3 0,7 pés. de 3 a 4 2,5 pés. Com os valores da figura calcular a vazão e tabelar as pressões relativas nos pontos 1,2, 3 e 4.
18.10- Qual deve ser a vazão Q, de tal forma que se tenha para uma velocidade V =3 m/s a altura H = 3 m. Despreze o peso do ar.
19.10.- Deseja-se misturar continuamente uma solução concentrada A com água. Para isso utiliza-se um dispositivo como nos mostra a figura. Sabendo-se que: Q=23,6 l/s, d1=10,0 cm, d2 =5 cm, d3 =0,5 cm ρ A=110 utm/m3 P1=1,2 x 104 kgf/m (abs) a- determinar a vazão da solução em função da altura h. b -determinar a máxima altura h admissível para que o dispositivo ainda funcione.
20.10- A água está fluindo entre dois reservatórios abertos. Qual o máximo valor de h para que não ocorra cavitação na secção contraída de diâmetro igual a 10 cm. Leitura barométrica 730 mm Hg. Tensão de vapor da água 0,30m.c.a. (22 oC).
21.10- O canal e a comporta da figura tem 1,0 metro de largura. Calcule Q l, Q2, e Q3. Despreze as perdas.
22.10- Um medidor Venturi cuja secção estrangulada tem um diâmetro de 5 cm, e instalado em uma tubulação vertical de 10 cm de diâmetro, como na figura. Desprezando as perdas, calcule a vazão de água que passa pe1a tubulação utilizando os dados da figura. O fato de o medidor estar na vertical ou na horizontal, afeta a solução do problema?.
23.10.- Determine a leitura no manômetro em m.c.a. Densidade relativa do mercúrio 13,4.
24.10- De uma tubulação cujo diâmetro é D sai um jato d’água através de um bocal cujo diâmetro é d. A saída está a metros acima da linha de centro da tubulação. Um manômetro
colocado na secção 1 mede uma pressão P. Conhecendo-se a velocidade v da água no ponto mais alto da trajetória, determinar a cota H deste ponto. Despreze as perdas.
25.10.- Dado o dispositivo da figura, calcular a vazão de água pelo conduto. Dados: P2=2000 kgf/m 2 ; Al=l0-2 m2; g=10 m/s2.
26.10- Pelo conduto da figura escoa um fluido incompressível em regime permanente. Entre as seções (1) e (2) colocou-se um tubo Pitot associado a dois manômetros diferenciais, cujo liquido manométrico é mercúrio. Sendo a relação das áreas A 2 /A1= m, mostre que h2 /h1=1m2.
27.10- No tubo convergente-divergente mostrado na figura ocorre cavitação. O lado direito do manômetro diferencial esta conectada a zona de cavitação e a água no tubo manométrico foi toda evaporada ficando somente vapor. Assumindo um escoamento de água a 20 oC, sem
perdas,calcule a vazão e a leitura no manômetro em kgf/cm 2, se a leitura manométrica local for 714,6 mmHg. Densidade relativa do mercúrio 13,6.
28.10- Pela tubulação de secção circular escoa água. Se as velocidades da linha de corrente que passam por 1 e 2 são respectivamente v 1=3,0 m/s e v 2=0,5 m/s, determinar o desnível h no manômetro conectado com os Pitot. Dado: densidade relativa do mercúrio 13,6 .
29.10.- No final de um canal existe uma estrutura bidimensional que serve para descarregar a água, dirigindo-a para baixo como um jato livre, conforme a figura. Desprezando as perdas de carga, calcular a vazão de descarga, por metro linear da estrutura e a pressão no ponto A em m. c. a.
30.10.- Pelas tubulações da figura escoa água a 20 oC, se a pressão barométrica é 679,8 mmHg, qual a máxima vazão que se pode obter pela abertura da válvula? Despreze as perdas.
31.10.- Determine a vazão de água através da tubulação mostrada. Despreze perdas de carga. Densidade relativa do mercúrio 13,6.
32.10- Pelas tubulações da figura escoa água a 20 oC, se a pressão barométrica local é de 679,8 mmHg, qual a máxima vazão que se pode obter pela abertura da válvula?. Despreze as perdas.
33.10- Para um escoamento de água a 24 oC, determine a leitura no manômetro, em kgf/cm 2 colocado no reservatório mantido a nível constante, tal que provoque uma cavitação incipiente no estrangulamento de diâmetro d. Leitura barométrica local 685,4 mmHg.
34.10- Um liquido de densidade relativa igual a 1,2 escoa de um reservatório, mantido a nível constante, para a. atmosfera, através de um bocal. Se a perda de carga no bocal for 10% da carga H qual a relação entre o desnível manométrico R e a carga H ?
35.10- Determinar a vazão Q, para a instalação abaixo. Despreze as perdas.
36.10- Calcular a vazão de água através do bocal. Dada densidade relativa do mercúrio igual a dr .
CAPITULO 11
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI A BOMBAS E TURBINAS – PERDAS DE CARGA LINHA PIEZOETRICA - CAVITAÇÃO 1.11- A água de um grande deposito como mostra a figura tem sua superfície livre submetida a uma pressão manométrica de 0.35 Kgf/cm 2. Segundo se mostra. a água é bombeada e expulsa em forma de jato livre mediante uma boquilha de 7,5 cm de diâmetro Com os dados da figura calcule a potência da bomba em cavalos vapor necessária para o bombeamento. Despreze as perdas de carga.
2.11.- Desprezando o atrito com a tubulação, calcular a potência em cavalos vapor desenvolvida na turbina pela água procedente de um deposito de grandes dimensões. Despreze as perdas de carga.
3.11- Uma bomba retira água de um reservatório por um conduto de sucção 0,20 m de diâmetro e descarrega através de um conduto de 0,15 m de diâmetro, no qual a velocidade media é de 3,66 m/s. A pressão no ponto A é de -0,35 Kgf/cm 2. O conduto ce diâmetro 0,15 m descarrega horizontalmente no ar. Até que altura H, acima do ponto B, poderá a água ser elevada, estando B 1,80 m acima de A e sendo de 20 c.v. a potência aplicada pela bomba? Admitir que a bomba funciona com um rendimento de 70% e que as perdas por atrito entre A e C totalizem 3,05 m.
4.11.- Uma bomba eleva água de um reservatório A para um reservatório B, como na figura. A perda de carga entre A e 1 é igual a 3 vezes a carga cinética no conduto de diâmetro 0,15 m e a perda de carga entre 2 e B é igual a 20 vezes a carga cinética no conduto de diâmetro 0,10 m. Admitindo um rendimento de 80%, determinar a potência desenvolvida pela bomba quando a vazão for 15 l/s. Determine também as pressões em 1 e 2. Esboçar a linha piezométrica.
5.11 -Um conduto de 0,60 m de diâmetro alimenta uma turbina que descarrega água através de outro tubo de 0.60 m de diâmetro para o canal de fuga B. A perda de carga entre o reservatório A e o ponto 1 é 5 vezes a carga cinética no conduto, e a perda de carga entre o ponto 2 e o canal B é 0,2 vezes a carga cinética no tubo. Sendo a vazão 0,71m 3 /s. Determinar a potência fornecida a turbina pela água e as pressões nos pontos 1 e 2. Rendimento da turbina 70%.
6.11- Uma vazão de 7,0 m 3 /s de água passa através de uma turbina Kaplan. A pressão estática no topo da tubulação de entrada é igual a 3,5kgf/cm 2 e em uma seção de 1,50 m de diâmetro na tubulação de saída (“ canal de fuga “) da turbina a pressão de estagnação é igual a 250mmHg (vácuo). Para um rendimento igual a 0,95, qual a potência desenvolvida pela turbina?
7.11- Uma bomba tem uma vazão de 9000 l/min de água. Seu conduto de sucção, horizontal, tem um diâmetro de 30 cm e possui um manômetro como na figura. Seu conduto de saída horizontal, tem um diâmetro de 20 cm e sobre seu eixo, situado a 1,22 m acima que o precedente reina uma pressão P 2 = 0,70 kgf/cm2, superior a atmosférica. Supondo o rendimento da bomba igual a 80%, qual a potência necessária para realizar este trabalho? Dado γ Hg =13.600 kgf/m3.
8.11.- Determinar a potência da bomba em c.v. necessária para manter uma vazão de 62,8 l/s, sendo de 80%, o rendimento da instalação. Despreze as perdas. Se a pressão de vapor de água é 0,33 m e a leitura barométrica local é 686,4 mmHg, calcule a máxima distancia x para que não ocorra cavitação. Dado 1 atm =10,33 m.c.a.
9.11- O esquema indica o transporte de 60 l/s de água do reservatório I para o reservatório II , através de uma tubulação de 100 mm de diâmetro. Com os dados da figura determinar: a) a posição da bomba, definida pela distancia x, para que a pressão a montante da mesma seja 0,90 m.c.a. b) a potência da bomba em C.V. admitindo um rendimento de 80%. c) traçar mais ou menos em escala, a linha piezométrica, indicando os valores da pressão no ponto B, a montante e a jusante da bomba. A perda de carga por metro (perda unitária) ao longo da tubulação é dada por J =0,1 V 2 /2g. Desprezar as perdas localizadas e a taquicarga.
10.11- De um reservatório de grandes dimensões parte uma tubulação de 15 cm de diâmetro, a qual termina por um bocal com diâmetro de saída igual a 5 cm e que descarrega o jato na atmosfera. Um manômetro colocado na secção (1) mede uma pressão de 0,32 4V 1 2 2 kgf/cm . Sabendo-se que a perda de carga na tubulação de 15 cm é dada por e a perda 2g de carga no bocal e dada por 0.05
V 2
2
, determine a vazão e a carga H. Se, após o bocal for 2g instalada uma turbina Pelton com n=90%, qual a potência consumida pela turbina?
11.11.- Na instalação abaixo são conhecidos: Q= 10 l/s, A = 0,01m2, Pó = 0,5 kgf/cm 2, g = 10 m/s2 P = 0,7 kgf/cm 2, ∆ HCD =7,5 m, rendimento de maquina 80% Determinar: a) O sentido de escoamento de fluxo b) a perda de carga entre A e B c) o tipo de maquina (bomba ou turbina) d) a potência da maquina e) a linha piezométrica entre A e D, determinando o valor das cotas piezométricas nos pontos A,B,C,D.
12.11.- No esquema da figura a pressão na secção (2) e 2,1 kgf/cm 2, a perda de carga entre as secções (1) e (4) é 2m, a vazão de 10 l/s, a área da secção das duas tubulações e 100 cm. Determinar: a) o sentido do escoamento h) o tipo de maquina (bomba ou turbina) c) a potência da maquina se seu rendimento é de 70% Assuma γ =1000 kgf/m 3, e g = 10 m/s2
13.11- O sistema de recalque mostrado na figura possui uma bomba com 10 c.v. de potência e 75% de rendimento. A tubulação que liga o reservatório I ate o ponto A é de 4" de diâmetro e transporta uma vazão de 10 l/s com uma perda unitária J 1 = 3,14 m/l00, e a tubulação que liga o reservatório II ao ponto A e de 4" de diâmetro e transporta uma vazão de 16 l/s com uma perda unitária J 2 = 5,10 m/100 m. A distancia do reservatório II ao ponto A e 65 m, da bomba até o registro e 100 m e do registro ate o reservatório III e 155 m. Impondo que a pressão disponível imediatamente antes da bomba seja 3,0 m.c.a., e sabendo que a perda de carga unitária entre o ponto A e o reservatório III e J = 2,55 m/100 m, determine: a) a distância do reservatório I ao ponto A b) a distância do ponto A até ate a bomba c) a perda de carga no registro
d) traçar alinha piezométrica para as tubulações, indicando o valor das cotas piezométricas antes e depois do registro, antes e depois da bomba e a pressão disponível no ponto A.
14.11- O sistema de bombeamento mostrado na figura, deve ter uma pressão de 0,75 kgf/cm2, no tubo de descarga, quando a cavitação na entrada da bomba for incipiente. Calcula.r o comprimento da tubulação de sucção, para esta condição de operação, se a perda de carga nesta tubulação for expressa por 0,90
L V 2
.Qual a potência a ser fornecida 2g pela bomba ao fluido? Qual a percentagem desta potência que é utilizada para vencer as perdas? D
Dados: temperatura da água 20 oC. leitura barométrica local 701,88 mmHg rendimento da bomba 80% t despreze as demais perdas.
15.11- O sistema de bombeamento mostrado na figura passa pela tubulação de 6" diâmetro uma vazão de 20 l/s com uma perda de carga unitária igual a J = 1,57 m/l00 m. O registro que deve ser colocado na cota 80,00 provoca uma perda de carga localizada igual a 2 m. Qual deve ser a potência da bomba e a que distância do ponto A deve ser colocado o registro para que a pressão disponível.no ponto A seja igual a m.c.a.? Os reservatórios possuem níveis constantes e o rendimento da bomba é 70%. Despreze a taquicarga.
16.11- A figura mostra o sistema de bombeamento de água do reservatório A para o reservatório B, através de uma tubulação de 400 mm de diâmetro, pela qual escoa uma vazão de 150 l/s, com uma perda de carga unitária: igual a J =.0,55 m/100m, as distâncias AB1 e B2B são respectivamente 300m e 554m. A bomba B l tem potência de 50 c.v., rendimento de 80% e o manômetro colocado na entrada desta bomba indica uma pressão de 0,25 kgf/cm 2. Com os dados da figura, determinar: a) a perda de carga localizada no registro R. b) a que distância de B l deverá ser instalada a bomba B 2 para que a pressão na entrada de B 2 seja 4 m.c.a. c) a potência da bomba B 2 se seu rendimento for de 70%. d) as cotas piezométricas antes e após as bombas. e) traçar a linha piezométrica e de energia
17.11- Água esta sendo bombeada de um grande reservatório para um canal de irrigação, retangular de 0,5 m de largura, produzindo a situação mostrada na figura. Calcule a potência requerida pela bomba se seu rendimento é de 80% e sabendo que as perdas de carga localizadas e distribuídas nas canalizações de sucção e recalque totalizam 2,4 m. Despreze a taquicarga nas tubulações.
18.11.- Na instalação da figura, o sistema que liga os reservatórios A e B, de níveis constantes, é constituído por uma canalização de diâmetro constante e igual a 0,10 mede comprimento total L = 100 m e pela máquina M. A perda de carga unitária na tubulação é dada por J =0,2
V 2
(m/m); sendo L.E o trecho da linha de energia e L.P o trecho da linha 2g piezométrica como indicado na secção 1, pedem-se: a) o tipo de maquina, bomba ou turbina, justificando. b) a potência em c.v. fornecida ou retirada no eixo da maquina cujo rendimento é 80%. c) a altura y da linha piezométrica na secção 1. Assuma g =10 m/s2
19.11.- Uma bomba eleva água do reservatório A para o reservatório B,como na figura. A perda de carga entre A e 1 é igual a 7 vezes a carga cinética do conduto de secção e a perda de carga entre 2 e B é igual a 25 vezes a carga cinética do conduto de recalque. Admitindo um rendimento de 80%, determinar a potência fornecida pela bomba quando a vazão for de 30,0 l/s. Determinar as pressões nos pontos 1 e 2. Qual o maximo nível em que se deve instalar a bomba, para que não se produza cavitação? Temperatura da água 20 oC, leitura barométrica local 712,4 mmHg.
20.11- A figura mostra o sistema de bombeamento de água do reservatório R l para o reservatório R 2 através de uma tubulação de diâmetro igual a 400 mm, pela qual escoa uma vazão de 150 l/s com uma perda de carga unitária igual a J = 0,55m/10Om. As distâncias ABl e B1R2 são, respectivamente 18,5 m e 1800 m. A bomba B l tem potência igual a 50 c.v. e rendimento igual a 80%. Com os dados da figura determinar: a) a que distância de B l devera ser insta1ada B 2 para que a pressão na entrada de B 2 seja 2 m.c.a. b) a potência da bomba B 2, sendo seu rendimento igual a 80%. c) a pressão disponível logo apos as bombas B l e B2. Despreze em todos os itens a taquicarga.
21.11.- No sistema de tubulações mostrado na figura a bomba recalca pela tubulação BM uma vazão de 10 l/s, fornecendo uma potência de 5 c.v. com rendimento de 80 %. A perda de carga unitária nesta tubulação e J =2,24 m/100 m. O registro colocado na tubulação A, pela qual passam 7 l/s provoca uma perda de carga localizada igual a 1,50m.Com os dados da figura, determinar: a) A pressão disponível no ponto M.
b) A perda de carga unitária na tubulação AM em m/m. c) O nível d’água no reservatório C, se a perda de carga unitária em MC for 11,6 m/Km. d) Traçar as linhas piezométricas, determinando as cotas piezométricas antes e depois da bomba. Despreze a taquicarga.
CAPITULO 12
LIQUIDOS SOB AÇÃO DE ACELEPACÃO CONSTANTE 1.12.- O deposito da figura contem água e está sendo acelerado com
→
ax =
4,9 m/s e
→
ay =4,9m/s .Calcule a pressão nos pontos A, B e C, em m.c.a.
2.12.- Um recipiente retangular desce um plano inclinado com uma aceleração uniforme a, paralela a linha de maior declive do plano. Mostre que, a água dentro do recipiente toma uma posição fixa no interior do deposito, formando um angulo θ com a horizontal, tal que: cos α tgθ =
g a
− senα
3.12.- Um deposito retangular que contem água, esta submetido a uma aceleração uniforme →
ax ,
ao longo de uma linha reta utilizando a equação de Euler, demonstrar primeiro que a variação de pressão ao longo de uma linha vertical. a partir da superfície livre é hidrostática em continuação demonstrar que tg θ = ax/g
4.12.- Suponha que o liquido contido em um deposito tenha sido submetido a um movimento giratório de velocidade angular constante ω , durante intervalo de tempo de suficiente duração, para que o líquido tome uma posição fixa no recipiente. Demonstre que a superfície livre cuja cota sobre o plano xz designamos por y tem a forma de um parabolóide de revolução de equação:
5.12.- No problema anterior mostre que Y(r) =2a. 6.12.- Para verificar o bom funcionamento do dispositivo de freagem de um automóvel, coloca-se sobre o veiculo um acelerômetro hidrostático, construído por um tubo em U cujos braços AB e DC são verticais e a base B horizontal de comprimento l= 20,0 cm e paralelo ao sentido de deslocamento do veículo. Admitindo um ensaio de freagem com aceleração negativa constante, a diferença de nível que se estabelece entre os braços AB e CD é dada por ∆ h=12 cm. Qual o valor da aceleração?
7.12.- Se o tubo U que contem mercúrio é girado em torno de um eixo vertical passando pelo braço BC, determine a altura da coluna de mercúrio no braço AD quando a velocidade de rotação é 40 r.p.m.
8.12- Localize o eixo de rotação e calcule a velocidade angular do tubo em U da figura, de tal maneira que a pressão do líquido no ponto médio do ramo horizontal e no ponto A sejam ambas iguais a/n, onde n é um numero inteiro.
9.12.- O tubo da figura contendo água, gira em torno do eixo AB. Qual o valor da velocidade angular ω que torna iguais as pressões em B e C? A esta velocidade, onde ocorre a pressão mínima no ramo BC e qual o seu valor?
10.12- O tubo em U mostrado na figura é feito girar em torno de um eixo vertical passando pelo ponto E. Qual deve ser a velocidade angular constante ω que se deve imprimir ao tubo para que o braço CD fique vazio. Os dois braços do tubo são abertos e suficientemente longos para que o liquido não extravase.
11.12.- Um tanque cilíndrico, sem tampa, conforme a figura está cheio de água. Que velocidade angular, em torno do eixo A-A', e necessário imprimir a ele, para que 1/3 da água contida no mesmo extravase.
12.2.- Um tanque cilíndrico fechado de 1,80 m de altura e 0,90 m de diâmetro contem água até uma altura de l,35 m. Se o cilindro é posto a girar em torno do seu eixo geométrico, com uma velocidade angular ω = 12 rad/s, qual a pressão relativa nos pontos B, C e D em m.c.a.
13.12.- Um reservatório cilíndrico de 0,60m de diâmetro e 1,2 m de altura esta cheio de água até a metade. Fazendo-se o tanque girar em torno de seu eixo vertical, determinar: a) Qual deve ser a velocidade angular de rotação para que a água atinja a borda do tanque, sem extravasar. b) Qual será então as pressões máxima e mínima em m.c.a. no fundo do tanque, quando este gira com a velocidade do item a. c) Qual deve ser a velocidade angular de rotação para que metade do diâmetro no fundo fique exposto, isto é, fique a pressão atmosférica. Assuma g =10 m/s2. 14.12- Um tanque cilíndrico fechado de 1,80 m de altura e 0,90 m de diâmetro, contem água ate uma altura de 1,35 m. Girando com uma velocidade angular constante de 191r.p.m., que área de fundo do tanque não fica em contato com a água?
15.12.- Um cilindro de 7,5 cm de diâmetro, 85 cm de comprimento, e cheio completamente com um óleo de densidade relativa igual a 0,82 e depois fechado nas duas extremidades. Colocado na posição horizontal, é feito girar com uma velocidade angular, constante, de 96r.p.m., em torno de um eixo vertical passando 15 centímetros a esquerda da extremidade A. Qual a diferença de pressão que se estabelece, devido a rotação, entre os pontos A e B? Considere o óleo praticamente incompressível.
16.12.- Um cilindro circular de raio r e altura L é aberto no topo e cheio com um líquido. Qual a velocidade angular, em torno de seu eixo vertical de simetria, que deve ser imprimida ao cilindro, para que metade da área do fundo fique a uma pressão igual a atmosfera. Nestas condições que volume de líquido permanece dentro do cilindro? 17.12.- Um recipiente cônico, aberto, de diâmetro igual a 0,40 m e altura i igual a 1,20 m está cheio de um liquido. Qual o volume de liquido existente no recipiente, quando ele estiver girando com uma velocidade angular de 80 r.p.m. em torno de seu eixo de simetria?
18.12.- Uma caixa cúbica de 2 metros de lado, esta cheia pela metade de um óleo de densidade relativa igual a 0,90. A caixa e acelerada ao longo de um plano inclinado forçando um angulo de 30 o com a horizontal. Determine a inclinação da superfície livre do óleo, com relação ao fundo da caixa e as pressões 0 e A.
19,12.- Um recipiente que tem a forma de um parabolóide de revolução está cheio de água. Com que velocidade angular deve girar em torno de seu eixo, de modo que 1/3 do volume de água contido no recipiente extravase?
CAPITULO 13
TEOREMA DO IMPULSO OU DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 1.13.- Um jato de água que sai de uma tubulação a uma velocidade média de 6 m/s, chocase com uma placa plana, que esta em repouso e orientada normalmente a direção do jato. A secção da área de saída da tubulação é de 7 cm 2 , qual é a força horizontal total que os fluidos em contato com a placa exerce sobre ela? Resolver este problema usando três volumes de controle diferentes.
2.13.- No problema anterior, a tubulação se move a uma velocidade de 1,5 m/s em relação ao terreno, para a esquerda. a) Se a água sai a uma velocidade de 6 m/s, com relação a tubulação, qual e a força horizontal que sobre a placa exercem todos os fluidos? b) Se ademais a placa se move para a direita a uma velocidade uniforme de 3 m/s, em relação ao terreno, qual a força horizontal que sobre a placa exercem os fluidos? 3.13.- Um jato de líquido permanente e unidimensional com vazão Q e velocidade V, incide sobre uca placa inclinada de um angulo θ . Desprezando completamente o atrito e a perda de energia no choque, determine a força exercida pelo jato sobre a placa, e também Ql e Q2.
4.13.- Um jato de água; de velocidade Vo e vazão Qo, incide sobre uma placa e é defletido conforme a figura.
a) Se a placa está parada, calcule as componentes Fx e Fy da força devido ao jato sobre a placa. b) Se a placa desloca-se para a direita com uma velocidade u, constante, na direção do jato, calcule a componente Fy, da força devido ao jato sobre a placa. Faça as hipóteses necessárias a resolução do problema.
5.13- Uma placa fixa divide um jato de tal maneira, que passa em cada direção 28,4 l/s de água, como mostra a figura. Se a velocidade do jato é de 10 l/s, calcule as forças Px e Py para suportar a placa. Admita escoamento permanente e unidimensional.
6.13- Nas curvas de uma canalização, costuma-se utilizar blocos de concreto conforme esquema mostrado, denominados "blocos de ancoragem". Calcule o volume de um "bloco de ancoragem", agindo por atrito numa curva horizontal de 90 o, de uma tubulação na qual passa uma vazão de 0,3 m 3 /s, de água, com uma velocidade media de 1,1 m/s constante, sob pressão interna de 5 kgf/cm 2. O coeficiente de atrito entre o solo e o bloco, é 0.7 e a massa especifica do concreto é de 2,400 kg/m 3. Desprezar o atrito da água na parede do tubo ( τ = 0 ), o peso da água, do tubo e não levar em conta a possibilidade de tombamento do bloco.
7.13.- Tem-se um carrinho movendo-se sobre um plano horizontal sem atrito. Sobre o carrinho incide um jato de água com velocidade absoluta V 1 e sai outro jato de água com velocidade V 2 relativa ao carro. As áreas de ambos, os jatos são iguais e seu valor é A. O carro movimenta-se com velocidade constante para a direita. Desprezando-se qualquer força de atrito e sendo dados: ρ , Vl ,V2 e A pedem-se: 1) Determinar a velocidade do carro, no instante t 2) Determinar a potência fornecida ao carro, no instante t
8.13- Deseja-se colocar bocal na saída de um duto por onde escoa água. O bocal será fixado no duto através de 4 parafusos de diâmetro igual a 8 mm. A pressão na secção onde o bocal deve ser fixado e: p 1 =3x104 kgf/m2 (relativa). Com os dados fornecidos (ver figura), determine a tensão a que os parafusos estarão submetidos.
9.13- Dois jatos unidimensionais e permanentes de mesma velocidade V, um com diâmetro dl e outro com diâmetro d 2 chocam-se sem perda de energia. Nestas condições demonstre usando o Teorema do Impulso que: cos θ =
d 1 d 1
2 2
− d 2 + d 2
2 2
10.13- Um obstáculo de forma mostrada na figura, preenche parcialmente o final de uma tubulação de 0,30m de diâmetro. Calcular a força F necessária para manter o obstáculo imóvel, quando a velocidade media da água na tubulação for 3 m/s. Despreze as perdas.
11.13.- Um jato permanente e unidimensional de área S e velocidade V, sai de um bocal na direção paralela a linha de calor declive do plano inclinado da figura. Apos chocarse com a placa recurvada, desvia-se de um angulo θ, conforme a figura. Nestas condições determine a velocidade V, tal que o carrinho de peso P permaneça imóvel. Discuta a solução.
12.13.- Determine o peso P, necessário para equilibrar, na vertical, a estrutura mostrada, a qual é submetida à ação de um jato incompressível, permanente e unidimensional. Dados: Área do jato-S
Velocidade uniforme do jato-V Massa específica da água- ρ
13.13.- Têm-se um jato d’água permanente e unidimensional incidindo sobre uma placa recurvada, conforme o esquema. Sabe-se que a placa pode sofrer um movimento de translação na direção do jato. Conhece-se a área Aj da secção transversal do jato e a vazão Q, através do bocal. Pedem-se: a) A força exercida pelo jato sobre a placa recurvada quando esta estiver imobilizada. b) Idem, quando a placa se desloca com a velocidade Vo constante no sentido do jato. c) Calculo da potência entregue pelo jato `a placa. c) Calculo da relação entre a velocidade Vo e a velocidade do jato, para a máxima potência entregue pelo jato a placa.
14.13.- Dado um escoamento laminar (grande efeito da viscosidade) em regime permanente, num conduto cilíndrico, onde o perfil de velocidade e: r 2 V = Vmax 1 − , determinar a perda de carga (pressão perdida por atrito) entre duas R
secções (1) e (2) distanciadas de l.
15.13.- Um ventilador do tipo axial, insufla ar em regime permanente na canalização bidimensional, conforme o esquema da figura. Conhecendo-se a vazão de ar Q e a dimensão h, pedem-se: a) a velocidade máxima Vmax. b) a força que atua sobre o fluido na direção do eixo da canalização
16.13.- Desprezando-se as perdas de carga no orifício tipo Borda, da figura, lembrando que a velocidade teórica de um jato através de um orifício é V= 2 gH , demonstre, usando o Teorema do Impulso, que o coeficiente de contração do orifício vale Cc =Aj/Ao =0,5. Onde Aj é a área do jato e Ao a área do orifício.
17.13- De um bocal sai um jato permanente e unidimensional de área A e velocidade V e choca-se contra o obstáculo da figura, que se desloca para esquerda com velocidade absoluta e constante Vo, dividindo-se em partes iguais. Desprezando as perdas de energia no choque determine a força horizontal que age sobre obstáculo. Dado: massa especifica do liquido ρ .
18.13.- A água flui sobre um vertedor de uma barragem de concreto como mostrado na figura. A montante, a corrente tem uma profundidade de 12 m e uma velocidade media de 30 cm/s, enquanto que a jusante a corrente tem uma profundidade praticamente constante e igual a 90 cm. Se a largura do vertedor é 9 m, determine a força horizontal exercida sobre a barragem.
19.13.- Ressalto hidráulico é uma elevação brusca no nível de água em um canal, quando o escoamento passa de um estágio de grande velocidade (secção 1) para outro de baixa velocidade (secção 2). Esta mudança é acompanhada por grande turbulência, redemoinhos, entrada de ar no liquido e ondulações na superfície do liquido. Para um canal retangular onde escoa uca vazão por unidade de largura igual a q (vazão por metro de comprimento na direção perpendicular ao desenho) e assumindo nas secções (1) e (2) escoamento unidimensional e distribuição de pressões, hidrostática, prove que:
20.13.- Sobre trilhos horizontais e sem atrito, desloca-se em linha reta,com velocidade constante V o carro da figura. Sobre ele esta agindo um jato d’água permanente e unidimensional de velocidade absoluta Vo e área A o qual, apos chocar-se sem perdas com a placa defletora, defletora, desvia-se como na figura. Determinar a potência instantânea
transmitida ao carro, bem como a quantidade de massa de água, que por segundo entra no volume de controle escolhido.
21.13- Considere uma turbina Pelton fictícia, que possua somente uma "caneca". Sendo Q a vazão descarregada pelo bocal, Vj a velocidade do jato, ω a velocidade angular da turbina, r o raio da turbina, Determine a potência cedida pelo jato a turbina. Determine que relação deve haver entre Vj e ω r para que a potência cedida seja máxima.Despreze as perdas.
22.13.- Resolver o problema anterior para o caso de uma turbina Pelton real, com varias canecas. Demonstrar que, neste caso, a potência transmitida a turbina pelo jato e máxima quando Vj =2 r. Despreze as perdas.
23.13- Desprezando o atrito como ar, a perda de energia no choque e no bocal, determine a distância x, necessária a um jato d’água que sai do bocal com velocidade V equilibrar uma semi-esfera oca de peso P. Dados γ da água e a área A.
24.13.- Calcular a perda de carga (pressão perdida por atrito) entre duas secções 1 e 2 distanciadas de l em um tubo horizontal de diâmetro D. Na secção 1 o escoamento é unidimensional de velocidade V1 e na seção 2 o perfil de velocidade tem uma distribuição cônica dada por V =Vmax 1 − .Dados ρ , D, V1, l e (tensão media de cisalhamento R entre o fluido e a parede do tubo). r
25.13.- Pela tubulação da figura escoa água, determinar o esforço sobre os 2 Parafusos do flange (1). Dado g =10 m/s2.
26.13- Uma canalização de diâmetro D, na qual esta fluindo uma vazão Q, faz "laço" em forma de circunferência, situado em um plano vertical. Os ramos horizontais do "laço" estão escorados por uma barra de aço de diâmetro d, como na figura. Calcule a tensão na barra de aço. Esta tensão e de tração ou compressão? A pressão interna na canalização é igual a P, constante.
27.13.- Calcule o volume de concreto que deve ter o bloco de ancoragem da figura. A tubulação tem um diâmetro de 600 m e transporta uma vazão de 400 l/s e a pressão interna a tubulação naquele local e 45 m.c.a. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e o solo vale 0,7, e massa especifica do concreto e 2.400 kg/m3 .Despreze a possibilidade de tombamento do bloco e o peso do volume de água e do tubo.
28.13.- A rampa corrugada mostrada na figura, é usada como um dissipador de energia em um canal aberto retangular. Para uma vazão de 2,80 m3 /s.m, determine a perda de carga, a potência dissipada pela rampa em c.v. e o módulo da componente horizontal da força que a água exerce sobre a rampa, por metro de largura.
29.13- O fluxo de água no final de um canal aberto é defletido, sem perdas, verticalmente para abaixo, por uma comporta AB. Na secção B o fluxo pode ser considerado jato livre. Calcule a força, por unidade de largura, exercida pela água sobre a comporta.
30.13- Os pilares de uma ponte estão separados, de centro a centro, de uma distância igual a 6,0 m. A montante, perto da ponte, o tirante d’água é de 3,00 m e a velocidade media da corrente é de 2,00 m/s e em uma secção a jusante, o tirante d’água é de 2,90 m. Desprezando a declividade do rio e o atrito no pilar, determinar a força exercida pela corrente sobre o pilar.
31.13- Calcular o módulo da componente horizontal da resultante da força exercida pelo fluxo de água sobre o desviador de jato AB, por unidade de largura. A jusante de B o fluxo pode ser considerado jato livre.
32.13.- Para uma vazão de 13 l/s de água, determine a força total que atua sobre os 2
parafusos da flange. A perda de carga na curva e igual a 2,2 2
0,1
V
2
2g
. A tubulação esta em um plano horizontal.
V
1
2g
e no bocal igual a
33.13- A água que abandona o deposito da figura tem uma velocidade de 3m/s e a área do jato vale 13 cm2. O jato incide sobre uma placa defletora desviando-se de um angulo de 30o, conforme a figura. Supondo o escoamento permanente e o jato unidimensional calcule o empuxo sobre a vagoneta, se esta se mantêm fixa ao solo mediante uma corda . Resolva o problema de duas maneiras diferentes (volumes de controle diferentes).
34.13- Determinar o módulo da força horizontal provocada pela água, sobre a estrutura de descarga localizada no fim de um canal de 0,60 m de largura. Assuma distribuição uniforme de velocidades.
35.13- Uma borda injetora de água, tem uma área de jato igual a Ao com uma velocidade Vo, que entra em uma corrente secundaria de um fluxo de água de velocidade uniforme V l, em um tubo de secção constante cuja área total e A. Na secção 2 admite-se que a água injetada já esta totalmente misturada. Calcular: a) a velocidade cedia V2 na secção 2. b) demonstrar que o aumento de pressão P 2 -Pl entre as seções 2 e 1, supondo que na secção 1 a pressão do jato e da corrente secundária é a mesma, é dado por: ρ Ao( A − Ao)(Vo − V 1) 2 ∆ p = P 2 − P1 = 2 Despreze as perdas
A
36.13.- Um ressalto hidráulico ocorre em uma tubulação cuja secção reta e um losango, como na figura. O conduto e horizontal e a altura d’água a montante do ressalto e 0,60 m. O conduto esta completamente cheio de água (secção plena) a jusante do ressalto e um manômetro ali colocado indicam uma pressão de 0,06 kgf/cm 2. Determine a vazão que está escoando, notando que, por causa da turbulência no ressalto, existe uma substancial perda de energia.
37.13- Uma comporta de fundo está montada em um canal retangular de 4m de largura. A uma pequena distância da comporta a altura d’água é 2m; a comporta esta a 0,50 m do fundo do canal e o coeficiente de contração da lâmina a jusante da comporta é 0,60. Determinar a força sobre a comporta. Despreze as perdas.
38.13.- Como mostrado na figura a água escoa com uma altura y e uma velocidade média v em um canal retangular, o qual é fechado por uma comporta, a qual faz com que a água encaminhe-se para baixo, suavemente. Calcule a elevação ∆ y da superfície da água a montante da comporta, usando primeiro, o principio da energia (equação de Bernoulli) e depois usando a equação da quantidade de movimento levando em conta que das duas respostas e a correta? Porque?
∆ y
y
≅
0 . Qual
39.13- Partindo da resposta do exercício 14.13, demonstre a equação que fornece a perda de carga em um conduto circular de diâmetro e comprimento l, percorrido por um fluido viscoso e newtoniano em escoamento laminar (equação de Hagen –Poiseuille) 128 µ lQ ∆ p =
π D 4
40.13.- Um jato permanente unidimensional sai de um reservatório mantido a nível constante e incide sobre uma superfície lisa que flutua sobre uma água de um outro reservatório. Se o volume submerso da superfície e 0,11 m 3, calcular o peso da água dentro da superfície curva, isto é, abaixo da 1inha AB. O peso próprio da superfície curva é desprezível. Despreze as perdas.
41.13- Para uma vazão de 15 l/s e uma velocidade de rotação da turbina Pe1ton igual a 65 r.p.m., estime a potência em c.v. transferida `a turbina pelo jato de água. As canecas da turbina são planas.
CAPITULO 14
ANÃLISE DIMENSIONAL 1.14.- Admite-se que a força f devido ao vento sobre um edifício alto depende da massa especifica do ar ρ , da viscosidade do ar µ , da velocidade do vento V, da largura b e da altura do edifício h. Determinar os números adimensionais em função dos quais pode ser expressa a força do vento. 2.14.- De que grupos adimensionais depende a força de arrasto sobre uma asa de avião, sabendo-se que o arrasto é afetado pelo tamanho da asa, pelo ângulo de ataque, pela velocidade do vôo, pela viscosidade e massa especifica do ar, e pela velocidade das ondas de compressão no ar? 3.14- Estudar dimensionalente a perda de carga (pressão) de um fluido incompressível e viscoso, através de uma tubulação reta de comprimento L. As variáveis conhecidas que intervém no problema são: perda de carga ∆ p, a velocidade média V, a viscosidade µ , o diâmetro da tubulação D, o comprimento do trecho L, a massa específica ρ , e a rugosidade da tubulação ε , representada pela variação média do raio interior. 4.14.- Para movimentar uma embarcação ou uma aeronave a uma certa velocidade há necessidade de se aplicar uma força cuja intensidade dependerá da resistência que o fluido oferece ao deslocamento da embarcação, aquela velocidade. O mecanismo capaz de produzir este esforço diz-se um propulsor. Admitindo que a potência N de propulsão é função única e exclusiva das seguintes variáveis: diâmetro do propulsor(D) numero de rotações por segundo(n) velocidade do avanço(v) massa especifica do fluido( ρ ) viscosidade do fluido( µ ) Determine os números adimensionais independentes que descrevem o problema. 5.14- A velocidade do som em um gás depende da pressão e da massa especifica. Qual a relação de dependência existente ? 6.14.- No estudo de bombas hidráulicas consideram-se como grandezas físicas que intervém no fenômeno: -a massa específica do fluído( ρ ) -a rotação do rotor da bomba( ω ) -o raio do rotor( R) -a diferença de pressões( ∆P ) -a vazão da bomba:(Q) Consideramos então uma bomba com uma rotação ω transportando uma vazão Q, de um fluído de massa específica ρ , fornecendo uma diferença de pressão ∆P e cujo rotor tem
raio R. Sabemos que a potência requerida pela bomba nessas condições é dada por N α .PxQ. Uma mudança na ciclagem da rede alterou o valor da rotação para o valor ω ', tal ϖ ' que =1,12. Chamando de N', a potência da bomba nas novas condições, pede-se calcular ϖ
a relação
N ' N
.
7.14- Admite-se que a sobrelevação h do nível de um lago, devido ao vento depende da profundidade media D do lago, de sua largura L, do peso específico γ da água e da tensão tangencial τ devido ao vento. Ache uma fórmula geral que exprima h em função das demais variáveis. Variável importante D, profundidade média do lago. 8.14.- Um vertedor triangular é uma abertura feita em uma placa de madeira ou metal colocada verticalmente na secção reta de um canal aberto. O líquido do canal e forçado a escoar pelo vertedor. A vazão Q medida pelo vertedor e função da elevação H da corrente. A montante do vertedor medida acima da soleira do vertedor da aceleração da gravidade, do angulo φ de abertura do vertedor e da velocidade Vo de aproximação da água para o vertedor; esta ultima variável Vo é algumas vezes desprezível. Determine, usando analise dimensional a Equação da vazão Q, em função das demais variáveis. 9.14- A vazão Q, que escoa sobre um vertedor retangular de paredes finas, é função do comprimento L da soleira do vertedor, da elevação H da água a montante do vertedor, medida acima da soleira (crista) do vertedor e da aceleração da gravidade g. Despreza-se a influencia da tensão superficial, da viscosidade e da velocidade de aproximação V. Usando analise dimensional encontre uma formula que dê a vazão Q, em função das demais variáveis. 10.14- 0 conjugado T desenvolvido por uma turbina hidráulica, depende da descarga Q, da altura de queda H, do peso específico da água γ , da velocidade angular do rotor ϖ e do rendimento η . Determine por análise dimensional a equação para o conjugado. 11.14- A vazão Q de fluido que atravessa um medidor Venturi, depende da diferença de pressões medida entre a secção normal e a secção contraída do Venturi, do diâmetro D da secção norma1, do diâmetro d da seção contraída e do fluído em escoamento caracterizado por ρ e µ . Determine os adimensionais independentes envolvidos no problema. 12.14- Quando um fluido escoa em torno de um cilindro cujo eixo é perpendicu1ar a corrente forma-se atrás do cilindro uma esteira de remoinhos cuja freqüência η , depende de 1- Diâmetro do cilindro D 2- Velocidade da corrente V 3- Massa especifica do fluído ρ 4- Viscosidade cinemática do fluído υ Quais são os grupos adimensionais independentes que descrevem o fenômeno ?
13.14.- O momento de arfada máximo desenvolvido pela água sobre um hidroavião ao amarar, se representa por Cmax. Nesta ação intervem as seguintes variáveis: α -ângulo da trajetória de vôo do avião c/a horizontal β -ângulo que define a posição do avião M- massa do avião L- comprimento do casco ρ -massa específica da água g -aceleração da gravidade R -raio de giração do avião em respeito ao eixo de arfada. Quantos e quais são os grupos adimensionais que descrevem o fenômeno? 14.14.- A altura h que a água se eleva em um tubo capilar de vidro, é função da tensão superficial σ , e do peso específico da água γ . Quantos e quais são os grupos adimensionais que descrevem o fenômeno? Determine uma relação entre h e as demais variáveis usando análise adimensional. 15.14.- O conjugado T necessário para girar um disco com uma velocidade angular constante, sobre um filme de óleo, depende do diâmetro D do disco, da velocidade angular ω , da espessura e do filme de óleo e da viscosidade µ do óleo. Determinar, usando analise dimensional, uma expressão que relacione o conjugado T com as demais variáveis envolvidas no problema 16.14- A vazão Q de um liquido ideal que escoa para a atmosfera através de um orifício de bordo delgado, feito na parede lateral de reservatório é função do diâmetro D do orifício, da massa específica ρ do liquido e da diferença de pressão ∆ p entre a superfície livre do reservatório e o centro de gravidade do orifício. Determinar, por analise dimensional, a expressão da vazão em função das demais variáveis. 17.14.- A vazão Q de um liquido através de um pequeno orifício em uma tubulação, depende do diâmetro do orifício d, do diâmetro da tubulação D, da diferença de pressão ∆ p entre os dois lados do orifício, da massa especifica ρ e da viscosidade µ do liquido. Demonstre, usando analise dimensional, que a vazão pode ser expressa por: Q = d2
∆ p
ρ
f(
D d
,
µ ρ d
∆ p
)
ρ
18.14.- Derive por analise dimensional, uma expressão para a potência de uma maquina hidráulica, se esta potência depende somente da velocidade angular; do diâmetro e da rugosidade do rotor da maquina, da vazão, da massa específica e viscosidade absoluta do fluido em escoamento. 19.14.- Gás sob pressão escoa para a atmosfera através de um pequeno orifício. A vazão do fluxo depende da diferença de pressão ∆ p entre o reservatório e a atmosfera, da
viscosidade cinemática υ e da massa especifica do gás ρ , e do raio R do orifício. Mostre que: Q = R 2
∆ p
ρ
µ f R ∆p ρ
20.14.- Derive por analise dimensional uma expressão para a queda de pressão ∆ p, sobre um comprimento x, de um escoamento não estabilizado na entrada de uma tubulação, se ∆ p depende somente de x, do diâmetro da tubulação D, da vazão Q, da massa específica σ e da viscosidade µ do fluido. 21.14.- Derive uma expressão para a velocidade limite de uma esfera sólida e lisa caindo através de um líquido incompressível se esta velocidade só depende do diâmetro e massa específica da esfera, da aceleração da gravidade, da massa especifica e da viscosidade do fluido.
CAPITULO 15
SEMELHANÇA FÍSICA ENTRE ESCOAMENTOS 1.15- Através de uma tubulação de 25 cm de diâmetro está escoando um óleo de 5,62 x 10 -6 m2 /s de viscosidade cinemática. A que velocidade, deve fluir água a 20 oC pela tubulação, para se ter um escoamento dinamicamente semelhante? Qual é a relação das forças de resistências, para comprimentos correspondentes da tubulação, produzidas pelos dois fluxos? Densidade relativa do óleo é 0,8. 2.15.- Se que ensaiar um modelo de submarino, na escala 1/20, em um túnel aerodinâmico em que pressão da corrente livre é p=21 Kgf/cm 2 (abs) e a temperatura T = 50 oC. A velocidade a que se quer estimar o arrasto no protótipo é 15 nós. Qual deve ser a velocidade da corrente livre do ar no túnel? Qual será a relação entre os arrastos no modelo e no protótipo? Explicar porque, apesar da elevada pressão no túnel aerodinâmico, pode considerar-se o fluxo incompressível. Dado: viscosidade cinemática da água do mar igual a 1,3x10-6 m2 /s. 3.15.- Explicar porque no problema anterior não se teria semelhança dinâmica, se o protótipo do submarino se movesse perto da superfície livre do mar. 4.15- Um pequeno modelo de uma piscina foi construído na escala 1/10 afim de, experimentalmente, se determinar o tempo de descida do nível d’água (esvaziamento). Determine o tempo de esvaziamento para o protótipo, se para o modelo foi de 5 minutos. 5.15.- Para se estudar as forças longitudinais que aparecem na decolagem de um hidroavião, utiliza-se um modelo reduzido em escala geométrica 1:5. Pede-se estabelecer as condições necessárias para que subsista semelhança física entre o modelo e o protótipo, sabendo-se que o ensaio e feito com o mesmo fluido e no mesmo local. Variáveis que influem ρ , v, µ , g , F , l. 6.15- Um aeroplano que terá uma asa de 12 pés, é desenhado para voar a 100 m.p.h. Usando-se um túnel de vento a pressão atmosférica,determinou-se a resistência sofrida pelo protótipo, através de um modelo na escala 1/5. Qual deve ser a velocidade do vento no túnel, para que os escoamentos sejam semelhantes? 7.15.- Num tanque de provas de navios, está sendo testado o modelo de um novo navio, de modo a determinar a resistência devido à formação de ondas que será encontrada por este. Sabe-se que: a- o deslocamento (peso) do protótipo é igual a 27.000 tonf. b -o comprimento do modelo é 8,0 m. c- o comprimento do protótipo é igual a 200 m. d -a densidade da água do tanque é igual a da água do mar. Pedem-se: Qual deve ser o deslocamento (peso) do modelo.
Se a velocidade máxima a ser atingida pelo protótipo é 16 nós, qual deve ser a velocidade do modelo no tanque de provas, a fim de que se obtenha uma configuração de ondas. dinamicamente semelhante a do protótipo a 16 nós. Qual a resistência de ondas no protótipo a 16 nós, se foi determinado que no modelo, a velocidade correspondente, essa resistência é igual a 1,2 Kgf. 8.15.- No estudo de ondas de gravidade de pequena amplitude cuja equação da velocidade de propagação (celeridade) é dada por: σ 2π gL 2π d , as variáveis que intervêm no fenômeno são: c celeridade, L c 2 = tanh + L ρ L 2π comprimento de onda, d altura do liquido não perturbado, g aceleração da gravidade, ρ massa específica do liquido e σ a tensão superficial do liquido. Determinar: a- os números adimensionais independentes que descrevem o fenômeno. b -um liquido cuja tensão superficial e 1/4 da tensão superficial da água e de densidade relativa igual a 1.02 é usado para simular o movimento de ondas de pequena amplitude na água. Qual deve ser a escala geométrica, para que se estabeleça semelhança dinâmica, entre os dois escoamentos? 9.15.- Deseja-se construir uma ponte sobre um canal, cuja velocidade máxima da corrente é de 3.6 m/s, e para o estudo da formação de ondas nos pilares da ponte, foi construído um modelo reduzido na escala 1:20. a- Qual a velocidade a ser tomada no modelo, de modo a se conseguir uma idêntica configuração geométrica da superfície das ondas? b- Se a vazão por baixo da ponte é de 0,2 m 3ls, no modelo, qual será a vazão correspondente no protótipo ? 10.15.- No estudo de bombas hidráulicas, consideram-se como grandezas físicas que intervem no fenômeno. 1 -a massa específica do fluído ρ 2- a rotação do rotor da bomba 3- o raio do rotor R 4- a diferença de pressão ∆ P s- a vazão de líquido Q Na hipótese de somente estas grandezas influírem no fenômeno pedem-se: a- os números adimensionais necessários ao estudo da bomba em laboratório partindo de ∆ p = f ( ρ , ω , R, Q). b- usando os adimensionais obtidos, resolva o seguinte problema: Uma bomba centrífuga deve ser projetada para a vazão de 220 m 3 /h, altura manométrica ( ∆ P) de 30m e uma rotação de 1740 r.p.m. No projeto do modelo desta bomba, as condições desejadas são: vazão 5 m 3 /h, altura manométrica ( ∆ p) de 20m e o mesmo liquido que escoará na bomba protótipo. Pedem-se: 1- A escala geométrica λ 2- A rotação da bomba modelo.
11.15.- Quer-se ensaiar um modelo de perfil de pá de uma hélice de avião, em um túnel aerodinâmico. Sabe-se que o protótipo tem uma corda de 50cm e que a velocidade do escoamento do fluido não perturbada é de l0m/s. Pedem-se: a- os grupos adimensionais que descrevem o fenômeno, sabendo-se que as variáveis que intervêm são: ρ , µ , g , F , v, l. b- a velocidade do escoamento de ar na secção de ensaio do túnel, se o modelo tiver 5 cm de corda justifique. c- como diminuir a velocidade do item b, permanecendo satisfeitas as condições de semelhança física entre os dois escoamentos? 12.15- Deseja-se determinar a perda de carga em uma curva de uma tubulação de 1 metro de diâmetro na qual escoará ar comprimido de ρ =0,65 UTM/m3 e µ = 2x10-6 Kgf.s/m2 a uma vazão de 3,30 m 3 /s. Para isto deseja-se construir um modelo reduzido da tubulação e os testes serão feitos com água a 25 oC, de ρ =102 UTM/m3 em laboratório cuja capacidade máxima de suprimento de água para o modelo é de 50 l/s. Qual deve ser escala geométrica do modelo para se ter semelhança dinâmica entre os escoamentos no modelo e no protótipo? Qual a relação entre as perdas de pressão no protótipo e no modelo? 13.15.- Deseja-se simular o arrasto de uma gota de chuva de 2,5 mm de diâmetro, caindo no ar, através de partículas de areia de 0,25 mm caindo na água. São dados: peso específico da areia = 2.65 ton/m 3 viscosidade cinemática do ar =15 x 10 -6 m2 /s viscosidade cinemática da água =10 -6 m2 /s Dispõe-se da seguinte equação que da a velocidade da queda de uma gota d’água no ar: V= 0,16 √d onde v em m/s, d em mm. Dispõe-se do gráfico anexo que dá a velocidade de queda de uma particu1a esférica de quartzo na água. Pergunta-se, o modelo da queda da areia na água, representa o protótipo da queda da gota d’água no ar? Se não, sugerir uma codificação do esquema proposto, para solucionar o problema. 14.15- Deseja-se conhecer as perdas de carga em uma galeria circular onde irá escoar água; para isto mediu-se a perda de carga devido ao escoamento de ar, insuflado na própria galeria. a- a vazão de água que ira circular na galeria é de, 7,5 m 3 /s, qual deve ser a vazão de ar, para se ter semelhança dinâmica entre os escoamentos? b- sobre um trecho de comprimento igual a 500 m, obteve-se com aquela vazão de ar, um valor da perda de carga igual a 0,12 m.c.a. Qual será o valor da perda de carga em um trecho de 6050 m de galeria, quando escoar 7,5 m 3 /s de água? Dados: viscosidade cinemática do ar υ ar =14,7 x 10 -6 m2 /s. viscosidade cinemática da água - υ H2O =1,15 x 10-6m/s massa específica do ar – ρ ar= 1,25 Kglm3 massa especifica da água - ρ H20= 1000 Kglm3
15.15- Um trecho do rio Paraná, no qual deverá ser construída uma ponte, foi reconstituído em um laboratório na escala 1/100. Para se estudar O arrasto sobre um pilar da ponte, o modelo foi testado para uca velocidade média da corrente igual a 0,20 m/s. Medindo-se o arrasto sobre o pilar da ponte modelo, a essa velocidade, encontrou-se o valor de 0,01 Kgf. Determinar a velocidade correspondente no protótipo e o valor da força de arrasto sobre o pilar da ponte protótipo. 16.15.- Em um certo fenômeno físico a função representativa é dada por f (N, g, ρ , V, L)=0 no qual N é potência e L uma dimensão característica, qualquer. Ao Determinar os grupos adimensionais pelo teorema dos π e efetuando-se uma série de experiências em laboratório, chegou-se ao gráfico indicado abaixo. Se em uca certa experiência tem-se ρ =100 UTM/m , V=2 m/s, L=0,5 m e g =10 m/s , qual será a potência em C.V.? Π1
45o Π2
17.15- O modelo reduzido de um vertedor de barragem foi construído na escala 1/60. O vertedor protótipo foi projetado para una vazão milenar igual a 3.200 m 3 /s. Qual deverá ser a máxima vazão requerida nos testes do modelo? Que tempo, em minutos, representa um dia no protótipo ? 18.15- Um determinado laboratório de hidráulica deverá fazer um modelo reduzido para o estudo do alargamento da praia de Copacabana. Segundo informações não oficiais, o estudo de semelhança será baseado exclusivamente nos adimensionais Weber e Reynolds. Qual a sua opinião sobre esta informação. Critique-a se for o caso, justificando o seu ponto de vista. 19.15- Um modelo reduzido de um porto, foi construído na escala 1:225 (sem distorção da escala vertical). Fortes ondas de 4,5 m de amplitude e 6 m/s de velocidade, deverão ser contidas pelo quebra-mar do porto protótipo. a) Desprezando o efeito do atrito, qual deverá ser a amplitude e a velocidade das ondas no modelo, para se ter semelhança física entre o modelo e o protótipo? b) Se o período das marés no protótipo for de 12 horas, qual deverá ser o período das mares no modelo?
20.15- Para simular a resistência oferecida pela água um trecho de l00 m de comprimento e lm de diâmetro, de um emissário submarino de esgotos, quando este for rebocado, totalmente submerso, no mar, foi feito um teste, ã pressão atmosférica, em um túnel de vento, de um modelo reduzido, a uma velocidade de 20 m/s. Que dimensões deverá ter o modelo para que se estabeleça semelhança física entre o modelo e protótipo, sabendo-se que o trecho de emissário será rebocado a uma velocidade constante de 6m/min. Nestas condições qual será a relação entre as resistências oferecidas ao deslocamento do protótipo e do modelo. Sendo a função representativa do fenômeno f (F,V,L, ρ , µ ) = 0 e como o teste é feito em um túnel de vento, pergunta-se se não ocorrerá um "efeito de escala" pelo fato do numero de Mach não ser um dos grupos adimensionais independentes que representam o fenômeno físico. Explique. Assuma que: γ H20 =1000 Kgf/m3, υ H20 =10 m /s γ ar =1,2 Kgf/m3 , υ ar =10 m /s 21.15- Uma esfera totalmente submersa em um líquido movimenta-se em um plano horizontal com uma velocidade V 1, sendo necessária uma força F l, para manter o movimento. Essa força foi medida para diversas velocidades, tendo-se obtido os dados da tabela abaixo. Se uma outra esfera, totalmente submersa, de diâmetro D 2 =50 cm movimenta-se no mesmo fluído com velocidade V 2 =2 m/s, qual será a força necessária? Dado Dl =20 cm. V1 (m/s) F1 (Kgf)
2 4
4 10
6 18
8 30
10 45
22.15.- Uma determinada companhia de eletricidade pretende fazer ensaios em um modelo reduzido na escala 1/50, de um canal de desvio para uma obra de aproveitamento hidrelétrico, no qual a máxima vazão esperada é de 1500 m 3 /s. Para isto entrou em contato com um laboratório de hidráulica, cuja capacidade máxima de suprimento de água para o modelo é de 50 l/s. Você acha que este laboratório tem condições de fazer os ensaios no modelo com aquela escala? Porque? 23.15.- Um modelo reduzido de um projeto de aproveitamento hidrelétrico possui um ressalto hidráulico (dissipador de energia) que dissipa, para uma determinada vazão, 0,013 H.P. O modelo é construído na escala 1/40. Qual a potência dissipada no protótipo do ressalto hidráulico? 24.15.- Duas bombas A e B, geometricamente semelhantes, são instaladas em série e o escoamento em ambas e francamente turbulento (Rey alto). Para a bomba A temos os seguintes dados: altura manométrica H A= 25 m, rotação r A=1200 r.p.m e diâmetro do rotor D A=20 cm. Determinar a rotação da bomba B e a sua altura manométrica, sabendo que o diâmetro do seu rotor é 15 cm.
25.15- Em um certo fenômeno físico as forças viscosas e da gravidade são predominantes. Em um determinado ensaio o modelo construído na escala 1:4, deverá ser testado para um determinado fluido. Se o protótipo irá funcionar com um fluido de viscosidade cinemática υ =-4,8 x 10-5 m2 /s, qual deve ser a viscosidade do fluido utilizado nos testes do modelo, para que haja semelhança física entre os dois casos particulares do fenômeno ? 26.15.- Você foi informado, oficiosamente, que o laboratório de aerodinâmica que estudou o arrasto sobre a asa do caça P-47 Thunderbolt, utilizado pelo 1 o Grupo de caça da FAB, na Itália, foi o mesmo que fez os testes do arrasto sobre a asa do caça Northrop F-5B, recentemente adquirido pela F.A.B., em que nestes testes o laboratório considerou, para ambos os aviões, como importantes, os mesmos grupos adimensionais envolvidos no fenômeno. Qual a sua opinião sobre esta informação. Expresse seu ponto de vista justificando. 27.15- Um modelo de uma bomba centrifuga, construído na escala 1:4, é testado sob uma carga de 7,6m a 500 r.p.m. Foi determinado no ensaio que a potência requerida pelo modelo é igual a 10 H.P. Calcule a velocidade de rotação e a potência requerida pelo protótipo, quando a carga for de 44m. Qual a relação entre as vazões bombeadas pelo protótipo e pelo modelo, sob estas condições. 28.15.- Um modelo, de um fenômeno de escoamento no qual as forças da gravidade e de tensão superficial são dominantes, está para ser construído. Determine uma expressão para a escala do modelo em termos das propriedades físicas dos fluidos. 29.15.- Para determinar a resistência oposta pela.s ondas a um barco, fizeram-se ensaios no laboratório, em um tanque de provas, com um modelo reduzido na escala 1:25. Se a velocidade máxima que o protótipo desenvolverá é de 37 Km/h, qual deve ser a velocidade máxima desenvolvida pelo modelo, para se obter ondas dinamicamente semelhantes as reais. Se a força de arrasto medida no modelo foi de 0,227 kgf, qual a potência, em c.v., que o motor do barco protótipo devera ter para desenvolver aquela velocidade, se seu rendimento for de 80%. 30.15.- O gráfico mostra a curva de calibração de um vertedor retangular de paredes finas, cujo comprimento L1 da soleira é 0,40 m., descarregando com a veia vertente livre. Mostre como uma curva de calibração para um vertedor semelhante com comprimento de soleira L2= 0,60 m pode de ser traçada partindo somente da curva dada. Desenhe esta nova curva sobre o gráfico dado. Dimensão importante do fenômeno H, carga. Despreze a viscosidade e a tensão superficial.
31.15.- Têm-se dois medidores de vazão, tipo diafragma, montados em tubulações, como mostra a figura. Determinar a relação ∆ H/ ∆ h quando existir semelhança física entre os dois escoamentos. Liquido em escoamento: água.
32.15.- Por médio de um modelo experimental deseja-se estabelecer a profundidade mínima, h min, desde a superfície livre, em que se deve colocar o tubo de sucção de uma bomba, para que não se produzam vórtices na entrada e não exista arrastamento de ar para centro da bomba. O líquido que se deseja bombear é petróleo, υ =0,75 stokes, com uma vazão de 140 l/s; o diâmetro do tubo de sucção é igual a d =250 mm. O ensaio se deseja efetuar com um modelo na escala geométrica igual a 1:5. Para se obter no modelo um liquido de qualidade desejada pode-se utilizar uma solução de glicerina em água, que codifica a viscosidade da mistura desde 0,01 stokes (água pura) até 8 stokes (glicerina pura). Calcular: a) a viscosidade do líquido que deve ser usado no modelo. b) a vazão Qm no modelo e a velocidade media Vm no tubo de sucção do modelo. c) a profundidade h min em que se formará os vórtices no protótipo, se no modelo se obteve h min=60mm .
33.15.- Um laboratório de hidráulica deverá testar um modelo reduzido de um quebra-mar de um porto. O período médio das ondas no local onde será construído o porto é de 10s. Se o gerador de ondas do laboratório somente pode fazer ondas com 1,0s de período, qual deverá ser a escala do modelo para se ter semelhança física?
34.15.- Um modelo reduzido de um vertedor de uma barragem foi construído na escala 1:60. Quando a altura d’água sobre a crista do vertedor modelo é 3cm, a vazão descarregada vale 42,6 l/s. Qual a altura sobre a crista e a vazão descarregada correspondentes no protótipo? 35.15.- Um grande medidor Venturi para medida de escoamentos de ar tem um diâmetro da secção estrangulada igual a 0,90m. Este Venturi esta sendo calibrado usando-se um modelo na escala 1:12 e sendo água o líquido. Quando uma vazão de 0,02 m 3 /s de água passa através do Venturi a queda de pressão correspondente é de 1,52 kgf/cm 2 .Calcule a correspondente vazão e a queda de pressão no protótipo. Dados: υ H20= 1,14 x 10 -6 m2 /s. ρ ar=0,125 UTM/m 3. υ ar=0,18 x 10-5 kgf.m-2s. 36.15.- No teste de um modelo em um tanque de carena verificou-se que as variáveis que intervém no fenômeno são: v, g, l, e υ protótipo vai trabalhar em água a 20 oC, de viscosidade cinemática υ = 10-6m2 /s. Sendo a escala geométrica 1:2, escolher entre os fluidos abaixo aquele no qual deve ser feito o teste. υ (m2 /s) Fluido água a 20 oC 10-6 água a 50 oC 7 X 10-7 agua a 90 oC 3,54 x 10-7 mercúrio 1,25 x 10 -7 gasolina 5,12 x 10 -7 querosene 3,1 x 10 -6
C A PI TU L O 16
ESCOAMENTO AO REDOR DE CORPOS IMERSOS 1.16- Um Volkswagen sedan possui um coeficiente de arrasto igual a 0,43, suposto constante, e uma área frontal de 1,4 m 2. Calcular a potência necessária para vencer resistência do ar, estando o automóvel em uma pista plana horizontal, ao nível do mar e desenvolvendo uma velocidade constante de 104 km/h. Dado ρ =0,125 UTM/m3. 2.16 -Qual e a velocidade limite de descida de um paraqueda pesando com seu equipamento 120 kgf, se o para-queda tem uma forma semi esférica de 6 m de diâmetro e um coeficiente de arrasto igual 1,20? De que altura se deve saltar sem paraqueda para se chegar ao solo com a mesma velocidade? Dado ρ =0,125 UTM/m3. 3.16- Uma chaminé cilíndrica de 1,50 m de diâmetro e 22,5 m de altura é exposta a um vento de 30 km/h. Sendo a viscosidade do ar igual a 15 x 10 -6 m2 /s determine a força devido à ação do vento sobre a estrutura, desprezando os efeitos de extremidade. 4.16.- Um submarino tem um comprimento igual a 84 m. e uma superfície total de 1800 m2. Calcular a potência em c.v. necessária para manter um uma velocidade de 5 m/s. Para fazer o calculo admita que o valor do coeficiente de arrasto para o submarino é igual ao coeficiente de arrasto de uma placa plana e lisa. Dados: γ =1025 kgf/m3 e υ = 1,2 x 10-6 m2 /s. 5.16.- Uma placa plana de 3 m de largura e 30 m de comprimento esta sendo rebocada paralelamente a ela mesma no sentido de seu comprimento, na água a uma velocidade de 6 m/s. Determine a força de atrito exercida sobre uma das faces da placa e a força exercida sobre os três primeiros metros da placa. Dado: υ =10-2 stokes. 6.16.- Um perfil de asa delgado e liso desloca-se no ar com uma velocidade de 380 km/h no ar. Um para-queda de parada esta colocado atrás do perfil como mostra a figura. Calcular o diâmetro do para-queda requerido para produzir um arrasto extra igual ao arrasto do perfil de asa aquela velocidade. Dados: ρ =0,125 UTM/m3 e υ = 14 x 10-6 m /s. 7.16.- Uma esfera de aço (dr= 7,82) de 51 mm de diâmetro é solta em um grande deposito que contem óleo (dr =0,82 e µ =0,10 kgf.s/m2). Determinar a velocidade limite desta esfera. 8.16.- Estimar o arrasto sobre um modelo de um N.P.L. de uma fuselagem de avião de 0,15 de diâmetro o qual esta sendo testado em uma corrente de ar a 15 oC e pressão de 10.336 kgf/m2 (abs) a 27 m/s. Nas condições do teste ρ =0,125 UTM/m3 e µ =0,18 x 10-5 kgf.s/m 2. 9.16- Determinar o coeficiente de arrasto do pilar da ponte no exercício 30.13.
