Atualizado em: Set/2011
Visite e colabore com o grupo
http://br.groups.yahoo.com/group/fisicabasica
Apresentação Apresen tação Neste material o leitor encontrará as soluções dos exercícios propostos pelo livro Curso de Física Básica. Cabe ressaltar que só foi possível concretizarmos este material com a colaboraço voluntária dos membros inscritos em nosso !rupo" no #a$oo %rupos. &o pessoas interessadas em discutir os temas propostos nos livros e" a partir da reunio das soluções enviadas" a!rupamo'as na presente obra. &ur!e ainda uma preocupaço sobre como o estudante fará uso deste conte(do. )everá ele ter o bom senso de acessar uma soluço proposta com finalidade finalidade de comparar comparar com a sua soluço" ou se*a" o aprendizado da Física requer que o aluno raciocine sobre determinado problema" esforce'se para c$e!ar ao resultado+ se tem dificuldade deve" antes" rever a teoria" discutir com os cole!as e tentar novamente. &ó ento consulte al!um exercício resolvido de forma crítica" verificando onde seu raciocínio estava errado" em quais passa!ens passa!ens do problema problema errou ou no teve a devida a atenço. ,nfim" ,nfim" a frase c$ave - ten$a uma leitura crítica das soluções aqui apresentadas. /ara concluir concluir"" as soluçõ soluções es esto esto passív passíveis eis de erros. erros. 0amb-m no temos temos todos todos os proble problemas mas resolvidos. )ese*ando su!erir al!uma correço nas soluções ou colaborar enviando'nos novas soluções" basta acessar o !rupo" o qual - devidamente moderado e aberto a todos que queiram contribuir.
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Sumário Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo
1 2 3 4ei de Coulomb ...........................................................................................................................................5 6 2 7 Campo ,l-trico...........................................................................................................................................88 5 2 7 /otencial ,letrostático..............................................................................................................................18 9 2 Capacit:ncia e Capacitores. )iel-tricos....................................................................................................1; ; ' Corrente ,l-trica.............................................................................................................................................1< = 2 Campo >a!n-tico..........................................................................................................................................61 ? 2 3 4ei de 3mp@re.............................................................................................................................................65 < 2 3 4ei da Anduço.............................................................................................................................................6= 8 2 Circuitos.........................................................................................................................................................5 88 2 >ateriais >a!n-ticos..................................................................................................................................5? 81 2 3s ,quações de >axell............................................................................................................................9
Capítulo 2 A !ei de Coulomb
Capítulo 2 – A Lei de Coulomb 1 " #ostre $ue a raz%o da atra&%o eletrost'tica para a atra&%o gra(itacio)al e)tre um el*tro) e um pr+to) * i)depe)de)te da dist,)cia e)tre eles e calcule essa raz%o. &oluço
∣Força eletrostática ∣=∣- e∣=
8
1
e
. 5 πε d 1
Força !ravit !ravitaci aciona onall∣=∣- g∣= ∣Força
%.me . m p d1
)ividindo D-eD E D-gD" vemos que o termo d desaparece. 4o!o a razo entre as duas interações no depende da dist:ncia entre o el-tron e o próton. /ara o cálculo da razo" utilize me Gmassa do el-tronH I <"8< 6< x 8' 68 J! mp Gmassa do prótonH I 8";=1 ;16 x 8' 1= J! e Gcar!a elementarH I 8";1 8== x 8' 8< C % I ;";=1 ; x 8' 88 >.mEJ!
2 " m um litro de hidrog)io gasoso )as co)di&es 34: 5a6 5a6 7ual 7ual * a carg cargaa posi positi ti(a (a tota totall co)t co)tid idaa )as )as mol* mol*cu cula lass e )eutralizada pelos el*tro)s8 5b6 Supo)ha $ue toda a carga positi(a pudesse ser separada da )egati(a e ma)tida 9 dist,)cia de 1 m dela. 3rata)do as duas carga argass como omo pu)t pu)tif ifoormes mes calcu lcule a for for&a de atra tra&%o &%o eletrost'tica e)tre elas em gf. 5c6 5c6 Comp Compar aree o resu result ltad adoo com com uma uma esti estima mati ti(a (a da atra atra&% &%oo gra(itacio)al da 3erra sobre o 4%o de A&;car. &oluço GaH 8 mol de !ás perfeito ocupa 11"5 litros nas CN0/+ lo!o 8 litro de $idro!Knio tem 8E11"5 moles de $idro!Knio. >ultiplicado pelo numero de 3vo!rado tem'se 1";??5 x 8 11 mol-culas. Como cada mol-cula tem 1 átomos" tem'se 9"6=;? x 8 11 átomos. >ultiplicados pela car!a do el-tron em coloumb tem'se ?"; x 8L C. Observação: Cada átom átomoo de Hidrogênio possui 1 elétron. O
5
Capítulo 2 A !ei de Coulomb número de Avogrado é 6!""1.1! "# . A $arga do elétron é 16.1! %1& C. A $arga global positiva é igual a $arga global negativa. GbH
< " = modelo de >ohr para o 'tomo de hidrog)io pode ser comparado ao sistema 3erra"!ua em $ue o papel da 3erra * desempe)hado pelo pr+to) e o da !ua pelo el*tro) a atra&%o gra(itacio)al se)do substituída pela eletrost'tica. A dist,)cia m*dia e)tre o el*tro) e o pr+to) )o 'tomo * da ordem de "9̊ 3 . 5a6 Admiti)do esse modelo $ual seria a fre$u)cia de re(olu&%o do el*tro) em tor)o do pr+to)8 Compare"a com a fre$u)cia da luz (isí(el. 5b6 7ual seria a (elocidade do el*tro) )a sua +rbita8 ? co)siste)te usar a eletrost'tica )esse caso8 ? co)siste)te usar a mec,)ica )%o"relati(ística8
@ " ma carga )egati(a fica em e$uilíbrio $ua)do colocada )o po)to m*dio do segme)to de reta $ue u)e duas cargas positi(as id)ticas. #ostre $ue essa posi&%o de e$uilíbrio * est'(el para pe$ue)os deslocame)tos da carga )egati(a em dire&es perpe)diculares ao segme)to mas $ue * i)st'(el para pe$ue)os deslocame)tos ao lo)go dele.
B " uas esferi)has id)ticas de massa m est%o carregadas com carga q e suspe)sas por fios isola)tes de comprime)to l . = ,)gulo de abertura resulta)te * 1 θ 5fig.6. 5a6 #ostre $ue: 1 6 " q cos θ=8; π ε l m!sen θ 5b6 c6 Se m D 1 g l D 20 cm e θ= 6o $ual * o (alor de $8 &oluço
9
Capítulo 2 A !ei de Coulomb 0raçando dois eixos de coordenadas cartesianas sobre a fi!ura" obtKm'se" para uma das car!as ,m x Geixo na direço versor i" positivo para a direitaH. /ela condiço de equilíbrio 0.sen θ− F =
GAH
,m M Geixo na direço do versor E" positivo para cimaH 0.cos θ− m.! = GAAH Gm.! - o peso da car!a q" em questoH )e GAH e GAAH" obtKm'se
( F / sen θ) .cos θ− m.! = >as F - a força el-trica entre as car!as F=
8
q
1
. . cos θ= m.!.sen θ 5 π ε ( 1 . l .sen θ)1
esolvendo" c$e!a'se a 1
1
6
q cos θ=8; π ε . l .m.!.sen θ
F " Cargas q 2q e 3q s%o colocadas )os (*rtices de um tri,)gulo e$uil'tero de lado a . ma carga Q de mesmo si)al $ue as outras trs * colocada )o ce)tro do tri,)gulo. =bte)ha a for&a resulta)te sobre Q 5em m+dulo dire&%o e se)tido6.
G " ma carga Q * distribuída u)iformeme)te sobre um fio semicircular de raio a . Calcule a for&a com $ue atua sobre uma carga de si)al oposto " q colocada )o ce)tro. &oluço Cada elemento de comprimento dl do fio" com car!a d' " contribui com uma força d( sobre a car!a G') H. &endo λ a densidade linear de car!a no fio" temos O =λ . (1 . π . a )/ 1=λ . π .a ou
;
GAH
Capítulo 2 A !ei de Coulomb dO=λ . d l =λ .a.d θ
GAAH
,m coordenadas polares" tem'se
{
x =a.cos θ M =a.sen θ
q.dO . . (a.cos θ ̂i +a.sen θ ̂*) 5 π ε a 1 λ .q.a . d . a. (cos θ ̂i +sen θ ̂*) d⃗ F= θ 1 a 5π ε . a d⃗ F=
8
π
⃗F = λ .q ∫ ( cos θ ̂i +sen θ *̂ ) d θ 5 π ε . a ⃗F = λ .q .1 *̂ = λ . q . π .a ̂*= q. λ . π . a ̂*= q.O *̂ 1 1 1 1 5 π ε . a 1 πε . a π .a 1π . ε . a 1π ε .a
H " m fio retilí)eo muito lo)go 5trate"o como i)fi)ito6 est' eletrizado com uma de)sidade li)ear de carga λ . Calcule a for&a com $ue atua sobre uma carga pu)tiforme q colocada 9 dist,)cia ρ do fio. Sugest%o: tome a origem em O e o fio como eiIo z . Iprima a co)tribui&%o de um eleme)to dz do fio 9 dist,)cia z da origem em fu)&%o do ,)gulo θ da figura. se argume)tos de simetria. &oluço
Pamos considerar" a princípio" o fio de comprimento * .
⃗ ρ ̂i +ẑ J ⃗r = &endo dO a car!a de um elemento dz do fio dO=λ . dz G λ> e eixo z com sentido positivo para cimaH
=
Capítulo 2 A !ei de Coulomb d⃗ F=
8
q.dO . r̂ 5 π ε r1
/or simetria" componentes dF na direço paralela ao fio cancelam'se Gve*a na fi!ura que cada dF" em vermel$o" cancela'se com a outra componente" em azul" na direço do eixo zH. 4o!o" a força el-trica resultante sobre a car!a q -
∣dF x∣=∣d ⃗F∣cos θ perpendicular ao fio" onde ρ ρ cos θ= = 1 1 8 / 1 r (ρ +z )
F x=
+4 / 1
8 5 π ε I
. q. λ . ρ . 8
5 π ε
dz
∫
I
1 6/1 −4 / 1 (ρ + z ) 1
4
∫
.q. λ . ρ .1.
dz 1
1 6 /1
(ρ +z )
3 inte!ral anterior pode ser calculada por ds s
∫
1 6/1
1
( a +s )
=
1
3ssim F x=
8 5 π ε
√
1
a . a +s
. q. λ . ρ .
[
1
z
√
ρ1 . ρ1+z 1
]
4
=
q. λ 8 . ρ . I 5 π ε ρ1+ l1 1
√
I
5 π ε
.
q. λ
ρ
.
8
√
ρ1 4
1
+8
4 → ∞ Gfio muito lon!oH" a força torna'se
Ouando F x=
1
q. λ q. λ . ρ = " direço radial" para fora. 5 π ε 1 π ε ρ 1
J " ma partícula de massa m e carga )egati(a " q est' (i)culada a mo(er"se sobre a mediatriz do segme)to $ue liga duas cargas positi(as KQ separadas por uma dist,)cia d . L)icialme)te a partícula y << d do ce)tro desse segme)to. #ostre $ue ela eIecuta um mo(ime)to harmM)ico simples em tor)o do ce)tro e calcule a fre$u)cia a)gular ω de oscila&%o. &oluço ?
Capítulo 2 A !ei de Coulomb
GaH aH Condiço de equilíbrio na $orizontal Gdireço do versor iH F 6 (8)(−i )= F6 (1) i 8
qO
.
5 π ε ( x 1+ M 1)
.cos θ=
8
qO
.
5 π ε ( d − x )1 + M1
.cos θ
x 1+ M1= d 1−1dx + x1+ M 1 ⇒ d ( d − 1x )= d ≠
Como
⇒ x =d / 1
Condiço de equilíbrio na vertical 1.F.sen θ=
⇒ 1.F.
M
(⏟) d1 + M1 5
8/ 1
B
F ≠ e
Como
B ≠
ento
MI
GbH F na direço M atuará como uma força restauradora" lo!o 8 5 π ε
.
qO
M
.
⇒
[( ) ] [( ) ] 1
d 1 +M 1
1
d + M1 1
8/ 1
Fazendo C=
F M =−C.
q.O 5 π ε
)=
e
d 1
M
( )1+ M1)6 / 1 1
,m >Q&" temos
F = m.
d M dt
1
Comparando com a força eletrostática
<
8 5 π ε
.
q.O.M
[( ) ] 1
d + M1 1
6 /1
Capítulo 2 A !ei de Coulomb 1
F M =m.
d M 1
=−C.
dt
1
M
⇒
1 6 /1
1
() + M )
d M dt
1
C M 1 m ( ) + M 1)6 /1
=− .
/ara deslocamentos muito pequenos de M" M RR )" fazemos" por expanso de 0aMlor fGMH I G) S MH fGMH I fGM H S fTGM H.GM ' MH S G8E1UH.fTTGM H.GM ' MH , obtemos fGMH I ) &ubstituindo na expresso acima 1
d M dt
C M m )6
=− . 1
ω será
3ssim" a frequKncia an!ular C M ω= . 6 m )
8
)
8/1
=
Oq 5 πε m
8/1
M
.
(
6
d 1
)
=1
(
OqM
πε m d 6
)
8/1
Capítulo < = Campo l*trico
Capítulo 3 – O Campo Elétrico 1 " 3race de forma es$uem'tica as li)has de for&a associadas a um par de cargas pu)tiformes +2q e -q separadas por uma dist,)cia d . Ipli$ue o tra&ado e discuta $ualitati(ame)te o comportame)to das li)has em po)tos pr+Iimos e dista)tes das cargas em difere)tes regies.
2 " m modelo cl'ssico de uma mol*cula io)izada * co)stituído por um par de partículas fiIas ambas de carga K e separadas por uma dist,)cia 2a com uma terceira partícula de carga " e massa m descre(e)do uma +rbita circular de raio ρ em tor)o do eiIo $ue liga as duas outras cargas. =bte)ha: 5i6 o campo el*trico $ue atua sobre a carga " e N 5ii6 a rela&%o e)tre o raio ρ e a fre$u)cia a)gular de re(olu&%o ω . &oluço
GiH r no varia no varia quando a car!a G6H" de sinal ne!ativo" percorre a tra*etória descrita. r −a ( ẑ )+ρ(̂ρ) ⃗ r̂ =⃗ = ⃗∣r∣= ρ1 + a1 1 1 ∣r ∣ ρ +a
√
√
&endo -6G8H a força que a car!a G8H exerce na car!a G6H ⃗F = 8 . ( e) . (−e ) . ⃗r = 8 . ( e) . (−e ) ⃗r ⃗∣r ∣ 5 π ε 6 ( 8) 5 π ε 1 6 r r
⃗F
6 ( 8)
=
(e ) . (−e) ̂ )] . [−a ( ẑ )+ρ( ρ 5 π ε (ρ1+ a1)6 / 1 8
.
&endo -6G1H a força que a car!a G1H exerce na car!a G6H ⃗F = 8 . ( e) . (−e ) . ⃗r = 8 . (e ) . (−e) . [ a ( ẑ )+ρ(ρ)] ̂ ⃗∣r∣ 5 π ε 6 (1) 5 π ε 1 1 1 6 /1 r a (ρ + ) 88
Capítulo < = Campo l*trico
⃗, = 8 ⃗, = 1
⃗F6 (8)
( e) [−a ( ẑ )+ρ(̂ρ)] 1 1 6 1 / (−e ) 5 π ε (ρ +a ) ⃗F6 (8)
=
8
.
( e) [ a (̂z )+ρ(̂ρ)] 1 1 6 1 / (−e ) 5 π ε (ρ +a ) =
8
.
/elo princípio da superposiço
ρ ⃗,= ⃗, + ⃗, = 1 . ρ̂ 8 1 5πε 1 1 6/ 1 (ρ + a ) GiiH 3 car!a G6H fica su*eita V uma força resultante centrípeta
⃗F6=⃗F 6(8 )+⃗F 6(1 )= m.a c=m. ω1 . ρ &ubstituindo -6G8H e -6G1H acima e isolando ω1 1 e 1
ω=
1
1 6/1
5 π ε . m.(ρ +a )
ρ̂
< " SeEa E a mag)itude do campo )um po)to 4 situado a uma dist,)cia D de um pla)o u)iformeme)te carregado com de)sidade superficial de carga σ . A maior co)stitui&%o para E pro(*m dos po)tos mais pr+Iimos de 4 sobre o pla)o. #ostre $ue a regi%o do pla)o situada a uma dist,)cia ≤ 1) do po)to 4 * respo)s'(el pela metade 5/26 do campo em 4. &oluço
,quações utilizadas
σ=
dq d3
81
∫ d,.cos θ
,=
Capítulo < = Campo l*trico 1
1
d = ) +r
d, =
κ dq d
1
1
1
=6)
=
1
cos θ=
GWH
) d
κ dq κ σ d3 = 1 1 1 1 ) +r ) +r
Como a re!io $ac$urada tende a unidimensional" d3 =1 π r dr d, =
κ σ 1 π r dr 1 1 ) +r
∫
,= κ 1 π
r dr
( )1 +r 1)
∫
.cos θ=κ σ 1 π
) r dr
( ) 1+r1 )6 / 1
3 =κ σ 1 π )
Considere
μ= ) 1+ r 1 → d μ= 1r dr
&ubstituindo na expresso de ,
,= 3
∫
I
[
dμ
3 = / 6 1 1 1. μ
−6 / 1
∫μ
( 3 ) . (' ) . ( ) 1+r 1) =−3.
=3
]
[
]
3 (−1 μ−8/ 1 ) = d μ= 1
[( )1+ 1)−8 / 1−( )1)−8 / 1]=
8 8 8 8 − =κ σ 1 π ) − ) ) )1+ 1 )1+ 1
√
= σ 8− 1 ε 4o!o
√
8
√
, = σ 8− 1ε
8+
N 1 )
1
8
√
8+
N 1 1
)
/ara verificar quando a placa - infinita faz'se , 8= lim
N →∞
8 8 σ 8− lim σ 8 − = = σ 1 ∞ 1 ε 1ε N →∞ 1 ε 8 +(N / ) )
√
/ortanto , 8= σ 1 ε /ara verificar a contribuiço de
86
d ≤1) "
N →
6 ) GWH
Capítulo < = Campo l*trico , 1= lim
N → √ 6 )
8 σ 8− = 1 1 ε 8 +(N / ) )
√
σ 8− 1 ε
= lim N → √ 6 )
, 1= σ 5 ε
√
, 1=
/ortanto
( ) ()
8 8+
8 8 = σ 8− = σ 1 ε 1ε 1 √ 5 6)1 )
1
,8 1
@ "m fio retilí)eo de comprime)to l est' u)iformeme)te carregado com de)sidade li)ear de carga λ . 5a6 Calcule o campo el*trico )um po)to situado sobre o prolo)game)to do fio a uma dist,)cia d de sua eItremidade. 5b6 Calcule a mag)itude do campo se l D d D B cm e a carga total do fio * de 6 μ C . &oluço
GaH
λ . dx =dq ⃗r =⃗r p−⃗r dq −(l +d ) ̂i − x ( ̂i )=(l +d − x ) ̂i d⃗ ,=
8
dq
r̂ 5 π ε r1 8 λ . dx d⃗ ,= . (l +d − x ) ̂i 5 π ε (l +d − x )1
⃗, = ⃗, =
.
λ 5 π Xepsilon
l
̂i = λ ∫ ( l +d−x ) .dx 1 5 πε
.
( l +d − x )
λ . l ̂i 5 πε d ( l + d )
GbH Basta substituir os valores na eq. acima.
85
.
[
]
8 8 ̂i − d ( l +d )
Capítulo < = Campo l*trico
I 9"5 x 8 ; NEC i
B " ois fios retilí)eos de mesmo comprime)to a separados por uma dist,)cia b est%o u)iformeme)te carregados com de)sidade li)ear de carga λ e −λ . Calcule o campo el*trico )o ce)tro 4 do ret,)gulo de lado a e b 5(eEa sugest%o do problema H do Cap. 26. &oluço
b ⃗r p = ̂*
Gvetor posiço do ponto /H
1
⃗r (')=−x ̂i
Gvetor posiço de um elemento de car!a na placa ne!ativa 2 inferiorH ̂ ̂ ⃗r (S)=−x i + b * Gvetor posiço de um elemento de car!a na placa positiva 2 superiorH b ⃗r 8= ⃗ r p− ⃗ r( ')= ̂*+ x ̂i
1 b b ⃗r 1= ⃗ r p− ⃗ r ( S)= ̂*+x ̂i −b *̂ = x ̂i − *̂ 1 1 d⃗ , 8=
8 5 π ε
.
dq(' ) ⃗r 8 1
r8
r8
=
8 5 π ε I
.
( (
r8
8 5 π ε
.
λ .dx 6
r8
1
b −x ̂i − *̂
dq(S) ⃗r 1 8 8 b λ .dx ⃗ d , 1= . 1 . 6 x ̂i − *̂ = 5 π ε r r 1 5 πε r 1 1
d⃗ , =d ⃗ ,8 + d ⃗ ,1 =
89
1
8 5 π ε
.
λ . dx r
6
)
(−λ) .dx b ̂ ̂ * +x i I 6
(
1
)
)
λ. b . (−b ̂*)=− 5 π ε
dx
[ ( )] b x 1+ 1
1 6/ 1
Capítulo < = Campo l*trico a/1
⃗, =∫ d ⃗, =− λ . b . ∫ 5 π ε −a / 1
dx
[ ( )] x1 +
b 1
1 6 /1
[ ( )]
λ.b I− . 5 π ε 1 b
x
⃗, =−
1. λ . a
√
1
1
π . ε . b. a +b
a/1
1 8/1
b x + 5 5 1
I
−a / 1
*̂
F " m fio $uadrado de lado 2l est' u)iformeme)te carregado com de)sidade li)ear de carga λ . Calcule o campo el*trico )um po)to 4 situado sobre a perpe)dicular ao ce)tro do $uadrado 9 dist,)cia D do seu pla)o. Sugest%o: se compo)e)tes cartesia)as e co)sidera&es de simetria. &oluço
⃗r p =)( ẑ ) ⃗r dq =x ( ̂i )+l ( *̂ ) ⃗r =⃗r p−⃗r dq =−x ( ̂i )−l ( *̂ )+) ( ẑ ) ̂r =
−x ( ̂i )−l ( *̂ )+) (̂z ) ( x1 +l " +) 1)6/ 1
3 componente do campo devido a um dos fios será λ . dx ⃗= 8 . d, [−x ( î )−l ( *̂ )+) ( ẑ )] 5 π ε ( x 1+l " +) 1)6 / 1 Na soma das contribuições de todos os fios" por simetria as componentes paralelas ao plano do fio quadrado cancelam'se" e o campo tem a direço apenas do eixo z. 3l-m disso" as componentes verticais somam'se" de modo que devemos levar em conta as contribuições dos quatro fios. 3ssim d⃗ , =5. d ⃗,8=
5. λ dx . 1 " 1 6 / 1 ) (̂z ) 5 π ε ( x +l +) ) l
dx ⃗, = 5. λ . ) ( ẑ ) . I 1 " 5 π ε −l ( x +l + )1 )6 / 1
∫
I
[
5. λ . ) ( ẑ ) 1.l . 5 πε ( l " + )1) . 1. l " + )1
8;
√
]
Capítulo < = Campo l*trico
⃗, =
1. λ . ) "
1
√
"
π ε ( l +) ) . 1. l + )
1
( ẑ )
com λ> .
G " ma carga pu)tiforme $ * colocada )uma caiIa c;bica de aresta l . Calcule o fluIo do campo el*trico sobre cada uma das faces: 5a6 Se a carga ocupa o ce)tro do cuboN 5b6 Se * colocada )um dos (*rtices.
H " = (alor m*dio do campo el*trico )a atmosfera )um determi)ado dia )um po)to da superfície da 3erra * de <00 /C dirigido (erticalme)te para baiIo. A uma altitude de 1@00 m ele reduz"se a 20 /C. 7ual * a de)sidade m*dia de carga )a atmosfera abaiIo de 1@00 m8 O4ara mais i)forma&es sobre eletricidade atmosf*rica (eEa P. 4. -ey)ma) !ectures o) 4hysics 5Addiso)"Qesley Peadi)g 1JF@6 (ol. 2 Cap.JR.
J " ois pla)os paralelos est%o u)iformeme)te carregados com σ −σ de)sidades superficiais de carga e respecti(ame)te. Calcule o campo el*trico em po)tos acima de ambos abaiIo de ambos e e)tre os dois. Peprese)te as li)has de for&a )as trs regies.
10 " o modelo cl'ssico de . . 3homso) para o 'tomo de hidrog)io a carga K e do );cleo era imagi)ada como esta)do u)iformeme)te distribuída )o i)terior de uma esfera de raio a da ordem de 10"H cm 5raio atMmico6 e o el*tro) era tratado como uma carga pu)tiforme -e mo(e)do"se )o i)terior desta distribui&%o. 5a6 Calcule o campo el*trico $ue atuaria sobre o el*tro) )um po)to 9 dist,)cia r < a do ce)tro da esferaN . 5b6 #ostre $ue o el*tro) poderia mo(er"se radialme)te com um mo(ime)to harmM)ico simples. . 5c6 Calcule a fre$u)cia de oscila&%o e compare"a com uma fre$u)cia típica da luz (isí(el bem como com o resultado do 4robl. < do Cap. 2. &oluço 3plicando a lei de %auss" onde a superfície !aussiana envolvendo toda a distribuiço de car!a e raio r Y a
8=
Capítulo < = Campo l*trico 11 " Calcule div ( c r ) o)de c * um (etor co)sta)te.
12 " ma casca esf*rica de raio i)ter)o b e raio eIter)o c u)iformeme)te carregada com de)sidade de carga (olum*trica ρ e)(ol(e uma esfera co)c)trica de raio a tamb*m carregada u)iformeme)te com a mesma de)sidade. Calcule o campo el*trico )as $uatro regies difere)tes do espa&o: ≤r≤a a ≤r ≤ b b ≤ r ≤c c ≤ r .
1< " ma distribui&%o de carga esfericame)te sim*trica tem de)sidade (olum*trica de carga dada por
ρ( r )=ρ exp (−r / a )
( ≤ r ≤∞)
o)de ρ * uma co)sta)te e r * a dist,)cia 9 origem. 5a6 Calcule a carga total da distribui&%o. 5b6 Calcule o campo el*trico )um po)to $ual$uer do espa&o. &oluço GaH dP =r.d ! .r.sen θ .dr.d θ .dr 1 dO=ρ( r ) .dP =ρ .exp (−r / a ) . r .sen θ .dr.d θ . d ! π
1π
∞
∞
∫ sen θ ∫ d !∫ ρ .exp (−r / a ) . r . dr= 5 π ρ∫ e−r / a r1 dr 1
dO=
,m !eral ∞
∫x
1 J.x
e
J.x
(
e 1 1x 1 dx= . x− + 1 J J J
)
Fazendo G'8EaH I J ∞ − / e ra 1r 1 1 −r / a 1 + e r . dr = . r− −8 −8 −8 a a a
[
∫
∞
( ) ( )( ) −r / a
I −ae
(
−r / a
O = 5 πρ −a.e
8?
.(r
1
1
]
I
1 ∞ +1 ra +1a )
∞
) . ( r1+1ra+1a 1 )∣
∣
Capítulo < = Campo l*trico Ouando r → ∞ ......... exp (−r / a ) → r → ∞ ......... exp (−r / a ) → 8 4o!o 1 6 O = −[ 5 πρ (−a ). (1a )]=? π ρ a GbH
1@ " ma camada carregada i)fi)ita compree)dida e)tre os pla)os y D "a e y D a tem de)sidade (olum*trica de carga ρ co)sta)te. %o h' cargas fora dela. 5a6 Calcule o campo el*trico de)tro acima e abaiIo da camada. 5b6 Verifi$ue $ue . satisfaz a e$ua&%o de 4oisso).
1B " ma esfera u)iformeme)te carregada com de)sidade (olum*trica ρ co)t*m em seu i)terior uma ca(idade esf*rica. #ostre $ue o campo )o i)terior da ca(idade * u)iforme e * ⃗ =ρ ⃗d /( 6 ε ) o)de ⃗d * o (etor $ue liga os dado por , ce)tros das duas esferas. Sugest%o: se o pri)cípio de superposi&%o.
1F " m cili)dro circular muito lo)go de raio R est' u)iformeme)te carregado com de)sidade (olum*trica de carga " . 5a6 4or argume)tos de simetria 5eIplica)do"os6 obte)ha a dire&%o e o se)tido do campo ⃗, )um po)to 4 ' dist,)cia ρ do eiIo do cili)dro e sua depe)d)cia das coorde)adas cilí)dricas (ρ " ! " z ) . 5b6 Calcule )um po)to 4 i)ter)o ao cili)dro ∣⃗,∣ ( #ρ# ) . 5c6 sboce um gr'fico de ∣⃗,∣ em fu)&%o de ρ .
8<
Capítulo < = Campo l*trico
1
Capítulo @ = 4ote)cial letrost'tico
Capítulo 4 – O Potencial Eletrostático 1 m par de cargas pu)tiformes K 2q e "q est%o separadas por uma dist,)cia l . #ostre $ue a superfície e$uipote)cial V D 0 * uma esfera e determi)e o seu ce)tro e raio. &oluço
&e*am P8 e P1 os potenciais das car!as GS1qH e G'qH" respectivamente. 8 1q P 8= . 5 π ε x 1+M 1+ z1
√
P 1=
8 5 π ε
.
(−q )
√ x +(M −l ) +z 1
1
1
3 soma dos potenciais - uma soma al!-brica. Como dese*amos identificar a re!io na qual o potencial - nulo P 8 + P 1= 8 5 π ε
.
1q
√
1
1
1
x + M +z
+
8 5 π ε
.
(−q )
√
1
1
x +(M −l ) +z
1
=
√ x1+ M1+z 1=1. √ x1+( M−l )1+z1 1 1 1 1 1 1 x + M + z =5. [ x +( M− l ) +z ]
)esenvolvendo 1 1 1 1 6x +6M +6z − ?M l +5 l = 1 ? l 5 l 1 1 1 x + M +z − M+ = 6 6
( ) ( ) ( )
1 5 l 1 5 l 1 1 8; l ( x − ) + M − +(z − ) − + = 6 < 6 1
1
( )
5 l 1 l ( x − ) + M − +(z − )1= 6 6 1
1
Oue - a equaço de uma esfera de centro
18
C "
5 l " 6
)
e raio
Capítulo @ = 4ote)cial letrost'tico N =
1 l . 6
2 ma esfera de raio R est' u)iformeme)te carregada com carga total q. 5a6 etermi)e o pote)cial V em po)tos i)ter)os e eIter)os 9 esfera e trace um gr'fico de V em fu)&%o da dist,)cia ao ce)tro. 5b6 3oma)do q D "e com uma carga pu)tiforme K e )o ce)tro da esfera como modelo para o 'tomo de hidrog)io $ual * a eIpress%o do pote)cial )esse caso8 &oluço GaH r > :
!=$ ,r d&=
O int
1 ρ 5 π 6 ⇒ , r .5 π . r = ε . . N ⇒ 6
ε
π ⇒ ,r = 8 . ρ . 5 . N 6 . 81 5 π ε 6 r
∫∞ 5 π8ε
∫∞
P ( r )− P (∞)= P ( r )= ⃗ , . d ⃗r =
5π 6 8 . . 1 I 6 r
. ρ.
8
∣
8 I . ρ .5 π . . 5 π ε r∞ P ( r )=
8 5 π ε
.ρ.
5π 6 8 . . 6
⇒
P ( r )=
6
q 5 πε
.
8 ( r > )
o % r %
!=$ ,r d& =
,r=
O int
ρ 5 π ⇒ , r .5 π . r1 = . . r6 ⇒ ε 6 ⇒ ,r = 8 . ρ . 5 π . r6 . 81 5 π ε 6 r
ε
6
6 ⃗ = q . r ̂ r ⇒ , 5 π ε N 6
5 π 6 r 8 . N . ρ . . 5 π ε 6 N 6 r1 8
.
N
N
∫∞
r
∫∞ ⃗, .d ⃗r +∫ ⃗,. d ⃗r I
P ( r )−P (∞)= P ( r )= ⃗ , .d ⃗r = N
I
q
∫∞ 5 π ε .
8 r
1
r
∫
dr−
N
q
N
r
q
∣
N
1 r
∣
8 q r . 6 dr= . . I − 5 π ε N 5 π ε r ∞ 5 π ε 1N 6 N 8 q r1 q 8 I . − . 6+ . 5 π ε N 5 π ε 1N 5 π ε 1N q
11
Capítulo @ = 4ote)cial letrost'tico q
1
8 6 r P ( r )= . . − 5 πε N 1 1N 1
( % r % N )
GbH
< etermi)e a e)ergia pote)cial U(r) de uma carga pu)tiforme q )um po)to r de um campo eletrost'tico u)iforme . .
@ ma carga pu)tiforme q e)co)tra"se )o prolo)game)to do eiIo de um dipolo de mome)to p a uma dist,)cia z do dipolo muito maior $ue as dime)ses do mesmo. 5a6 Calcule a e)ergia pote)cial da carga )o campo eletrost'tico do dipolo. 5b6 Calcule a for&a eIercida pela carga sobre o dipolo. 5c6 A mol*cula de TCl * polar com mome)to de dipolo perma)e)te de <@H I 10 "<0 C.m. Com $ue for&a atua sobre um el*tro) ali)hado com ela a uma dist,)cia de 10 A 8 A for&a * atrati(a ou repulsi(a8
B Calcule a e)ergia pote)cial de i)tera&%o e)tre dois dipolos p 1 e p2 se)do r o (etor de posi&%o de p2 em rela&%o a p1 5com ∣r∣ muito maior $ue as dime)ses dos dipolos6. 5a6 =bte)ha o resultado geral. 5b6 4articularize para dipolos ali)hados com r paralelos ou a)tiparalelos. 5c6 4articularize para dipolos perpe)diculares a r paralelos ou a)tiparalelos. 7ual das $uatro situa&es em 5b6 e 5c6 * e)ergeticame)te fa(orecida8 5d6 esse caso mais fa(orecido calcule a e)ergia de i)tera&%o dipolar e)tre duas mol*culas de 'gua 9 dist,)cia de B A uma da outra e compare"a com a e)ergia t*rmica kT 9 temperatura ambie)te. = mome)to de dipolo el*trico perma)e)te de uma mol*cula de 'gua * F2 I 10 "<0 C.m.
F m duas c*lebres eIperi)cias de 1J0F $ue le(aram 9 descoberta do );cleo atMmico Putherford bombardeou uma fi)a folha de ouro 5);mero atMmico GJ6 com partículas & 5);cleos de Te de carga 2e 6 produzidas por uma fo)te radioati(a e obser(ou $ue algumas delas chega(am a ser defletidas para tr's. A e)ergia ci)*tica i)icial das & era de GFH #eV. Co)sidere uma colis%o fro)tal e)tre uma partícula 16
Capítulo @ = 4ote)cial letrost'tico
& e um );cleo de ouro )a $ual ela * retroespalhada. 7ual * a dist,)cia de mí)ima aproIima&%o e)tre as duas partículas carregadas8 Putherford estimou $ue o raio do );cleo de(eria ser da ordem dessa dist,)cia.
G o modelo de >ohr para o 'tomo de hidrog)io 5Cap. 2 4robl. <6 calcule: 5a6 a raz%o da e)ergia pote)cial eletrost'tica do el*tro) a sua e)ergia ci)*tica. 5b6 a e)ergia )ecess'ria para io)izar o 'tomo em el*to)"(olts.
H ma gota lí$uida de raio R u)iformeme)te carregada com carga Q di(ide"se em duas de raios e cargas iguais $ue se separam e se afastam at* ficar a gra)de dist,)cia uma da outra. 5a6 7ual * a (aria&%o da e)ergia pote)cial eletrost'tica )esse processo8 5b6 Se adot'ssemos esse modelo para a fiss%o do 2<2 admiti)do $ue ele pudesse se fissio)ar dessa forma $ual seria a e)ergia liberada )a fiss%o em #eV8 Calcule o raio do );cleo pela f+rmula: N ' 8"6 x 3 8/ 6 F o)de 1- 5fermi6 D 10"1< cm e A * o número de maa 5)U de pr+to)s K )U de )utro)s6.
J emo)stre as ide)tidades
[email protected]@6 a
[email protected]. S%o elas: b6 grad 5fg6 D f grad g K g grad f c6 di(5f(6 D f di( ( K ( . grad f d6 rot5f(6 D f rot ( K grad f I ( e6 di(5u I (6 D ( . rot u u . rot (
10 ma casca hemisf*rica de raio P est' u)iformeme)te carregada com carga positi(a de de)sidade superficial σ . 5a6 Ache o pote)cial V(O) )o po)to ce)tral O Otoma)do P (∞)= R. 5b6 ma partícula de massa m e carga q positi(a * colocada )o po)to O e largada a partir do repouso. A $ue (elocidade a partícula te)der' $ua)do se afastar muito de O 8
11 m bal%o de borracha de raio R est' carregado com carga Q distribuída u)iformeme)te sobre sua superfície. 15
Capítulo @ = 4ote)cial letrost'tico 5a6 etermi)e a e)ergia eletrost'tica total co)tida )o campo. 5b6 Calcula)do a (aria&%o dessa e)ergia para uma (aria&%o i)fi)itesimal dR do raio demo)stre $ue a for&a eletrost'tica radial por u)idade de 'rea )a superfície do bal%o * igual 9 de)sidade de e)ergia eletrost'tica )a superfície.
19
Capítulo B " Capacit,)cia e Capacitores. iel*tricos
Capítulo 5 – Capacitncia e Capacitores! "ielétricos 1 a eIperi)cia de #illia) uma gota de +leo microsc+pica de 1 μ m de raio * i)troduzida e)tre as placas de um capacitor pla)o cuEo espa&ame)to * de B cm. A de)sidade do +leo * de 0GH g/cm. Com as placas i)icialme)te descarregadas obser(a"se $ue a gota cai ati)gi)do de(ido 9 resist)cia do ar uma (elocidade termi)al co)sta)te (. 7ua)do se aplica e)tre as placas uma difere)&a de pote)cial de @0 V com o campo el*trico orie)tado para cima (erifica"se $ue a (elocidade de $ueda duplica. 7ual * o si)al e o (alor da carga em u)idades da carga do el*tro)8
2 ois capacitores de capacit,)cias ! e 2! est%o carregados com a mesma carga Q e i)icialme)te isolados um do outro. Se as placas )egati(as de ambos forem ligadas 9 terra e as positi(as ligadas uma 9 outra: 5a6 7ual ser' o pote)cial fi)al das placas positi(as8 5b6 7ual * a (aria&%o de e)ergia )este processo8 5c6 = $ue aco)tece com essa e)ergia8
< a "on#e de ca"ac$#%nc$a da figura o eletrMmetro E detecta a difere)&a de pote)cial e)tre os dois po)tos e)tre os $uais est' ligado. #ostre $ue $ua)do a leitura de E * zero (ale a rela&%o C8 C1
=
C6 C5
$ue pode ser usada para medir C 1 em fu)&%o de C2 e da raz%o C< / C@.
@ #ostre $ue * possí(el substituir o sistema de capacitores da figura por um ;)ico capacitor e$ui(ale)te e)tre os po)tos a e b e calcule a capacit,)cia deste capacitor.
1;
Capítulo B " Capacit,)cia e Capacitores. iel*tricos
B Ache a capacit,)cia e$ui(ale)te ao sistema da figura e)tre os po)tos a e b .
F Ache a capacit,)cia e$ui(ale)te ao sistema i)fi)ito de capacitores da figura e)tre os po)tos a e b . Sugest%o: ote $ue a capacit,)cia 9 direita da li)ha (ertical i)terrompida e$ui(ale a do sistema todo por ser ele i)fi)ito.
G m capacitor de placas paralelas de 'rea & e espa&ame)to D tem i)serida e)tre elas uma l,mi)a de diel*trico de mesma 'rea & de co)sta)te diel*trica κ e espessura d W D . emo)stre $ue a capacit,)cia do sistema * a mesma $ue a de um capacitor de espa&ame)to D ' d com ar e)tre as placas em s*rie com um capacitor de espa&ame)to d pree)chido com o diel*trico de co)sta)te diel*trica κ .
H m capacitor de raio i)ter)o a e raio eIter)o b tem o espa&o e)tre as placas totalme)te pree)chido por duas camadas co)c)tricas de diel*tricos difere)tes superpostas uma de espessura c ' a e co)sta)te diel*trica κ 8 e outra de espessura b ' c e co)sta)te diel*trica κ 1 . Calcule a capacit,)cia deste capacitor.
J = espa&o e)tre as placas 5de 'rea &6 de um capacitor pla)o est' pree)chido por duas camadas diel*tricas adEace)tes de espessuras d e d 2 e co)sta)tes diel*tricas κ 8 e κ 1 respecti(ame)te. A difere)&a de pote)cial e)tre as placas * V e o campo apo)ta de 1 para 2. Ache: 5a6 A capacit,)cia ! do capacitor. 5b6 A de)sidade superficial de carga li(re σ )as placas.
10 ma esfera de material diel*trico homog)eo com co)sta)te diel*trica κ de raio a est' u)iformeme)te carregada com de)sidade (olum*trica de carga ρ . 5a6 Calcule o (etor campo el*trico . de)tro e fora da esfera. 5b6 Ache a difere)&a de pote)cial V e)tre o ce)tro e a superfície da esfera. 1=
Capítulo B " Capacit,)cia e Capacitores. iel*tricos
1?
Capítulo F " Corre)te l*trica
Capítulo # $ Corrente Elétrica 1 " ma ('l(ula diodo da era pr*"tra)sistor co)t*m um par de placas pla)as paralelas de espa&ame)to d )o ('cuo. stabelece" se e)tre elas uma difere)&a de pote)cial V . m feiIe de el*tro)s com 'rea de sec&%o tra)s(ersal A e de (elocidade i)icial * * emitida a partir de uma das placas 5c'todo6 e acelerado at* a outra 5,)odo6 produzi)do uma corre)te estacio)'ria de i)te)sidade $. 5a6 Calcule a (elocidade *(,) de um el*tro) 9 dist,)cia , do c'todo. . 5b6 Calcule a de)sidade n(,) de el*tro)s )o feiIe como fu)&%o de , . Supo)ha $ue $ * suficie)teme)te fraco para $ue o campo gerado pelos el*tro)s seEa desprezí(el em co)fro)to como campo acelerador.
2 " m cili)dro met'lico carregado de B cm de raio desloca"se ao lo)go do seu eiIo com uma (elocidade co)sta)te de 10 cm/s. = campo el*trico radial produzido pelas cargas )a superfície lateral do cili)dro * de B00 V/cm. 7ual * a i)te)sidade da corre)te de(ida ao mo(ime)to do cili)dro8
< " A lampadi)ha de uma la)ter)a alime)tada por uma bateria de J V tem um filame)to de tu)gst)io cuEa resist)cia 9 temperatura ambie)te 520XC6 * de @B . 7ua)do acesa dissipa uma pot)cia de 1B Q. Calcule a temperatura do filame)to sabe)do $ue o coeficie)te de temperatura da < resisti(idade do tu)gst)io * . @B I 10
@ " = campo el*trico m*dio )a atmosfera perto da superfície terrestre * de 100 V/m dirigido para a 3erra. A corre)te m*dia de ío)s $ue ati)ge a totalidade da superfície da 3erra * de 1H00 A. Supo)do $ue a distribui&%o da corre)te * isotr+pica calcule a co)duti(idade do ar )a (izi)ha)&a da superfície da 3erra.
B " As placas de um capacitor pla)o de capacit,)cia ! pree)chido com um diel*trico de co)sta)te est%o ligadas aos termi)ais de uma bateria $ue ma)t*m e)tre elas uma difere)&a de pote)cial V. = diel*trico tem uma co)duti(idade o $ue produz uma corre)te de perda. 5a6 Calcule a resist)cia R do diel*trico como fu)&%o de ! . 5b6 #ostre $ue o resultado perma)ece ('lido para um capacitor 1<
Capítulo F " Corre)te l*trica cilí)drico ou esf*rico. 5c6 Voc co)segue demo)strar $ue (ale em geral8
F " A co)duti(idade de um cili)dro de comprime)to l e 'rea de sec&%o tra)s(ersal cresce li)earme)te com a dist,)cia assumi)do o (alor 0 )uma eItremidade e 1 )a outra. Calcule a resist)cia total do cili)dro.
G " ma bateria de fem e resist)cia i)ter)a r for)ece corre)te a um aparelho de resist)cia R . 5a6 4ara $ue (alor de R a pot)cia for)ecida * m'Iima8 5b6 4ara esse (alor de R $ual * a rela&%o e)tre a pot)cia for)ecida e a$uela dissipada )a pr+pria bateria8
H " 7ua)do uma bateria de fem igual a 1B V for)ece uma corre)te de 1 A a uma resist)cia eIter)a R a te)s%o medida e)tre seus termi)ais cai para 1@ V. 5a6 7ual * o (alor de R 8 5b6 7ual * a resist)cia i)ter)a da bateria8 5c6 7ual * a taIa de co)(ers%o de e)ergia $uímica em e)ergia el*trica )a bateria por u)idade de tempo )essas co)di&es8 5d6 7ual * a pot)cia co)(ertida em calor )a resist)cia eIter)a8 5e6 7ual * a perda de pot)cia )a bateria8
J " m a$uecedor el*trico de imers%o ligado a uma fo)te de corre)te co)tí)ua de 110 V demora F mi). para le(ar at* a fer(ura 0B l de 'gua parti)do da temperatura ambie)te de 20XC. A i)te)sidade de corre)te * de B A. 7ual * a efici)cia do a$uecedor8 5A efici)cia * a porce)tagem da e)ergia gerada $ue * utilizada )o a$uecime)to da 'gua6.
10 " Co)sidere o eIemplo (isto )a Se&. F.H de uma solu&%o iM)ica de TCl com um gradie)te de co)ce)tra&%o )a dire&%o , em circuito aberto em e$uilíbrio t*rmico 9 temperatura T . 5a6 sa)do os resultados obtidos calcule a raz%o n(, 2 ) . n(, ) das co)ce)tra&es de ío)s )os termi)ais , 2 e , e)tre os $uais eIiste uma fem . 5b6 Lde)tifica)do o resultado com o fator de >oltzma) eIp O" / 536R demo)stre a rela/0o de E$n#e$n ) S /μS= J0 . 5c6 4ara uma raz%o de co)ce)tra&es n(, 2 ) . n(, ) D 10 9 temperatura ambie)te calcule a fem resulta)te . 6
Capítulo F " Corre)te l*trica
68
Capítulo G " Campo #ag)*tico
Capítulo % – Campo &a'nético 1 " ma b;ssola te)de a oscilar a)tes de ali)har"se com o campo mag)*tico da 3erra. co)sidere uma agulha ima)tada de mome)to de dipolo mag)*tico m e mo(ime)to de i)*rcia L suspe)sa de forma a poder oscilar li(reme)te em tor)o de um eiIo (ertical situada )um campo mag)*tico horizo)tal > 0 . As dire&es de > 0 forma u)iforme m e i)icialme)te um pe$ue)o ,)gulo 0 . Calcule a fre$u)cia a)gular de oscila&%o 5despreza)do o amortecime)to6 e mostre $ue sua determi)a&%o permite medir m . > 0 .
2 " A agulha ima)tada do problema 1 tamb*m produz um campo mag)*tico $ue co)forme ser' (isto )o capítulo H s+ difere do campo de um dipolo el*trico p pelas substitui&es p → m ε → 8 /μ o)de * uma co)sta)te 5permeabilidade 0 mag)*tica do ('cuo6. 5a6 sa)do esse resultado determi)e o campo mag)*tico > 5em m+dulo dire&%o e se)tido6 produzido pela agulha )um po)to 4 situado em seu prolo)game)to a uma dist,)cia d da agulha. 5b6 Supo)ha $ue com a agulha imobilizada )uma dire&%o horizo)tal perpe)dicular ao campo mag)*tico > 0 da 3erra outra agulha ima)tada * trazida para o po)to 4 defi)ido )a parte 5a6 fica)do suEeita aos campos > e > 0 . etermi)e o ,)gulo & e)tre a orie)ta&%o de e$uilíbrio da segu)da agulha e > 0 . #ostre $ue medi)do"o pode"se determi)ar a raz%o ∣m∣ / ∣> 0∣ . Combi)a)do esse resultado com o do problema 1 obt*m"se os (alores de m e > 0 . sse m*todo * de(ido a Yauss.
< " 5a6 Calcule a fre$u)cia a)gular de rota&%o de um el*tro) )o campo mag)*tico da 3erra )uma regi%o em $ue ele possa ser tratado como u)iforme e de i)te)sidade 0B gauss. 5b6 4ara um el*tro) com e)ergia ci)*tica de 1 eV típica da$uela e)co)trada )a aurora boreal calcule o raio de cur(atura )esse campo.
61
Capítulo G " Campo #ag)*tico @ " o espectr+grafo de massa de >ai)bridge h' um campo el*trico u)iforme . e um campo mag)*tico u)iforme > T perpe)dicular ao pla)o da figura )a regi%o e)tre as placas 44 aEustados de modo a formar um 1$l#ro de *eloc$dade ou seEa s+ deiIar passar ío)s de (elocidade * bem defi)ida para a regi%o semicircular i)ferior o)de eIiste um outro campo u)iforme > T tamb*m perpe)dicular ao pla)o da figura. #ostre $ue para ío)s de carga e o raio R da +rbita semicircular * proporcio)al 9 massa do ío) de forma $ue a placa fotogr'fica ! registra um e"ec#ro de maa em $ue a dist,)cia ao lo)go da chapa * proporcio)al 9 massa do ío).
B " Co)sidere uma espira circular de raio a suspe)sa por um fio (ertical VV de co)sta)te de tor&%o k situada )um campo mag)*tico > u)iforme com a orie)ta&%o i)icial da figura. = mome)to de i)*rcia da espira em rela&%o ao eiIo VV * L . -az"se passar atra(*s da espira um pulso r'pido de corre)te de dura&%o # e i)te)sidade m'Iima $ t%o curto $ue a espira )%o tem tempo de se mo(er dura)te o tempo # . #ostre $ue o ,)gulo de defleI%o m'Iimo do pla)o da espira θ * proporcio)al 9 carga total q $ # co)tida )o pulso. ste * o pri)cípio do al*an4me#ro bal5#$co 5em geral se utiliza uma bobi)a com 6 espiras6.
66
Capítulo H A !ei de AmpZre
Capítulo ( – A Lei de Amp)re 1 " o modelo de >ohr para o 'tomo de hidrog)io o raio a da 1[ +rbita circular do el*tro) * dado pela co)di&%o de $ua)tiza&%o 4 =* o)de *= 8"99 x 8−65 Z.s e ! * a mag)itude do mome)to a)gular do el*tro) em rela&%o ao );cleo 5pr+to)6. 5a6 sa)do essa co)di&%o mostre $ue a ! =5 π ε *1 / ( m e " ) o)de m e e s%o as mag)itudes da massa e carga do el*tro) respecti(ame)te. Calcule o (alor de a . 5b6 Calcule a i)te)sidade de corre)te $ associada ao mo(ime)to do el*tro) )a sua +rbita. 5c6 Calcule a mag)itude do campo mag)*tico produzido por essa corre)te )a posi&%o do );cleo. 5d6 Calcule a mag)itude μB do mome)to de dipolo mag)*tico associado 9 corre)te 5mag)eto) de >ohr6 e mostre μ B / 4 =e / ( 1m ) $ue 5raz%o giromag)*tica cl'ssica6. =bte)ha o (alor )um*rico de μ B .
2 " ois fios retilí)eos paralelos muito lo)gos 5tratados como i)fi)itos6 separados por uma dist,)cia 2b tra)sportam corre)tes de mesma i)te)sidade $ em se)tidos opostos 5um * o retor)o do outro6. Co)sidere um po)to 4 $ual$uer do pla)o dos dois fios. Sobre a perpe)dicular ao s fios $ue passa por 4 tome a origem = a meio cami)ho e)tre os fios e seEa z a abscissa de 4 em rela&%o a =. 5a6 Calcule a mag)itude 7(,) do campo mag)*tico em 4 para \ , \ < b 5supe"se $ue a dist,)cia de 4 a cada fio * muito maior $ue o di,metro do mesmo6. 5b6 Ldem para \, \ ] b . 5c6 3race um gr'fico $ualitati(o de 75, 6.
< " ma espira em forma de ret,)gulo de lado 2a e 2b tra)sporta uma corre)te de i)te)sidade $. 5a6 Calcule a mag)itude do campo mag)*tico )o ce)tro do ret,)gulo. 5b6 3ome o limite do resultado para a 88 b e discuta a rela&%o com o e)co)trado )o 4roblema 2.
@ " ma espira $uadrada de lado 9 * percorrida por uma corre)te $. 5a6 etermi)e em m+dulo dire&%o e se)tido o campo > ( + ) )um po)to 4 situado sobre o eiIo da espira 5reta perpe)dicular 65
Capítulo H A !ei de AmpZre ao seu pla)o passa)do pelo ce)tro = da espira6 9 dist,)cia z de =. 4ara z relacio)e o resultado com o do problema <. 5b6 L)terprete o resultado obtido para z 88 9.
B " as figs. 5a6 e 5b6 as por&es retilí)eas dos fios s%o supostas muito lo)gas e a por&%o semicircular tem raio R . A corre)te tem i)te)sidade $. Calcule o campo > em m+dulo dire&%o e se)tido )o ce)tro 4 da por&%o semicircular em ambos os casos.
F " = circuito da figura ao lado formado por dois lados retilí)eos e dois arcos de círculo subte)de)do um setor de ,)gulo θ * percorrido por uma corre)te de i)te)sidade $. Calcule o campo mag)*tico > )o po)to 4 5ce)tro do setor circular6.
G " A espira reta)gular da figura de lados a e b * percorrida por uma corre)te $. Calcule a for&a - eIercida sobre ela por um fio retilí)eo muito lo)go $ue tra)sporta uma corre)te $^ situada 9 dist,)cia d da espira 5d m+dulo dire&%o e se)tido de - 6.
H " uas bobi)as circulares coaIiais id)ticas de espessura desprezí(el com 6 espiras de raio a em cada bobi)a tra)sportam corre)tes de mesma i)te)sidade $ e mesmo se)tido e est%o colocadas uma acima da outra com seus ce)tros C e C^ separados por uma dist,)cia a . co)sidere o campo > ( z ) ao lo)go do eiIo )a (izi)ha)&a do po)to m*dio = do segme)to CC^ tomado como origem. 5a6 Calcule >5=6. b6 #ostre $ue d ⃗B / dz ( 7 )=d 1 ⃗B/ dz1 (7 )= . aí resulta $ue esse dispositi(o 5bobi)as de Telmholtz6 produz um campo muito pr+Iimo de um campo u)iforme )a (izi)ha)&a da regi%o ce)tral. 69
Capítulo H A !ei de AmpZre
J " Co)sidere um sole)+ide fi)ito de raio a e comprime)to 9 com ) espiras por u)idade de comprime)to percorrido por uma corre)te $. tome a origem = )o ce)tro do sole)+ide com eiIo I ao lo)go do eiIo de simetria do cili)dro. 5a6 Calcule a mag)itude > ( x ) do campo mag)*tico )um po)to do eiIo 9 dist,)cia I do ce)tro ta)to de)tro como fora do sole)+ide. 7uais os (alores )o ce)tro e )as eItremidades8 5b6 =bte)ha e i)terprete o comportame)to de > ( x ) para I ]] a I ]] !. 5c6 Com ! D 10a trace um gr'fico de > ( x )/ > ( ) em fu)&%o de I / ! para ≤x / 4≤8"9 . Sugest%o: =bte)ha o campo do sole)+ide soma)do 5i)tegra)do6 o campo das espiras circulares ao lo)go do eiIo.
10 " m disco circular de material isola)te com raio R e espessura desprezí(el est' u)iformeme)te carregado com de)sidade superficial de carga e gira em tor)o do seu eiIo com (elocidade a)gular ω . 5a6 Calcule o campo > )o ce)tro do disco. 5b6 Calcule o mome)to de dipolo mag)*tico m associado 9 rota&%o do disco. Sugest%o: Lmagi)e o disco decomposto em faiIas trata)do"as como corre)tes circulares. 11 " 5a6 Calcule 5pela lei de AmpZre ou de >iot e Sa(art6 o campo mag)*tico > de(ido a uma corre)te : )um fio retilí)eo i)fi)ito )um po)to 4 9 dist,)cia R do fio. emo)stre pela lei de >iot e Sa(art $ue a por&%o 9 es$uerda de 4 co)tribui com >/ 1 . 5b6 ma corre)te co)tí)ua de i)te)sidade : percorre o fio represe)tado )a fig. $ue tem uma por&%o retilí)ea muito lo)ga paralela a =z. Calcule o campo mag)*tico > produzido por esta corre)te )o po)to = ce)tro do semicírculo.
6;
Capítulo J A !ei da L)du&%o
Capítulo * – A Lei da +ndu,-o 1 = pri)cípio do 1l;,4me#ro empregado para medir a i)te)sidade > de um campo mag)*tico co)siste em empregar uma pe$ue)a bobi)a de pro(a com 6 espiras de 'rea cuEos termi)ais est%o ligados a um gal(a)Mmetro balístico 5(eEa Cap. G 4robl. B6. A bobi)a cuEa resist)cia * R * colocada com o pla)o das espiras perpe)dicular ao campo mag)*tico $ue se deseEa medir do $ual * remo(ida subitame)te. Lsso gera um pulso de corre)te e o gal(a)Mmetro balístico_mede a carga total Q associada a este pulso. Calcule o (alor de > em fu)&%o de 6 R e Q .
2 !iga"se um (oltímetro e)tre os trilhos de uma estrada de ferro cuEo espa&ame)to * de 1B m. =s trilhos s%o supostos isolados um do outro. A compo)e)te (ertical do campo mag)*tico terrestre )o local * de 0B Y. 7ual * a leitura do (oltímetro $ua)do passa um trem a 1B0 m/h8
< m 1H<1 #ichael -araday fez girar um disco de cobre e)tre os p+los de um ím% em forma de ferradura e obser(ou o aparecime)to de uma difere)&a de pote)cial co)sta)te e)tre duas esco(as uma em co)tato com o eiIo do disco e a outra )a periferia. SeEa a o raio do disco. 5a6 Se o disco gira com (elocidade a)gular ω com seu pla)o perpe)dicular ao campo mag)*tico u)iforme > $ual* a difere)&a de pote)cial V gerada e)tre o eiIo e a periferia8 5b6 e(ido a esta difere)&a de pote)cial passa uma corre)te de i)te)sidade : e)tre o eiIo e a periferia. Calcule o tor$ue $ue * )ecess'rio eIercer para ma)ter o disco gira)do e mostre $ue a pot)cia for)ecida * igual 9 pot)cia gerada.
@ ma barra met'lica horizo)tal 47 de comprime)to l e massa m escorrega com atrito desprezí(el sobre dois trilhos (erticais u)idos por uma haste horizo)tal fiIa de resist)cia R . A resist)cia da barra e dos trilhos pode ser desprezada em co)fro)to com R . = co)Eu)to est' situado )um campo mag)*tico > horizo)tal u)iforme orie)tado para de)tro do pla)o da figura. 5a6 7ual * o se)tido da corre)te i)duzida8 5b6 7ual * a acelera&%o da barra8 5c6 Com $ue (elocidade termi)al ( 0 ela cai8 5d6 7ual * o (alor correspo)de)te da corre)te8 5e6 iscuta o bala)&o da e)ergia )a situa&%o termi)al.
6=
Capítulo J A !ei da L)du&%o
B ma espira reta)gular de lados 2a e 2b est' )o mesmo pla)o $ue um par de fios paralelos muito lo)gos $ue tra)sportam uma corre)te : em se)tidos opostos 5um * o retor)o do outro6. = ce)tro da espira est' e$uidista)te dos fios cuEa separa&%o * 2d 5fig.6. Calcule a i)dut,)cia m;tua e)tre a espira e o par de fios.
F ma espira circular de raio a tem )o seu ce)tro uma outra espira circular de raio b WW a . =s pla)os das duas espiras formam e)tre si um ,)gulo θ . Calcule a i)dut,)cia m;tua e)tre elas.
G Calcule a i)dut,)cia m;tua e)tre uma espira circular de raio a e um fio retilí)eo copla)ar muito lo)go $ue tra)sporta corre)te : e est' 9 dist,)cia b do ce)tro da espira.
H Calcule a auto"i)dut,)cia de uma bobi)a toroidal de sec&%o $uadrada com lado 9 e de raio m*dio R .
J ma pe$ue)a espira circular de raio a percorrida por uma corre)te : desliza com (elocidade * co)sta)te ao lo)go do eiIo de outra espira circular de raio b ]] a e resist)cia R aproIima)do"se dela com os pla)os das duas espiras paralelos. Calcule a corre)te i)duzida )a espira de raio b para uma dist,)cia z ]] a e)tre os ce)tros das duas espiras. 7ual * o se)tido relati(o das corretes )as duas espiras8
10 uas bobi)as de auto"i)dut,)cias 9 e 92 respecti(ame)te e i)dut,)cia m;tua 92 est%o ligadas em s*rie. #ostre $ue a i)dut,)cia do sistema * dada por: 9 D 9 K 92 ` 292
e discuta a origem do duplo si)al )o ;ltimo termo.
6?
Capítulo J A !ei da L)du&%o
11 ma espira reta)gular de lados a e b de resist)cia R cai )um pla)o (ertical e atra(essa uma camada o)de eIiste um campo mag)*tico > u)iforme e horizo)tal 5fig.6. 5a6 =bte)ha a for&a mag)*tica - 5m+dulo dire&%o se)tido6 $ue atua sobre a espira e)$ua)to ela ai)da est' pe)etra)do )o campo )um i)sta)te em $ue sua (elocidade de $ueda * ( . 5b6 Pepita o c'lculo )um i)sta)te posterior em $ue a espira ai)da est' sai)do do campo e sua (elocidade * ( T .
12 ma espira reta)gular de lados a e b afasta"se com (elocidade ( = v I de um fio retilí)eo muito lo)go $ue tra)sporta corre)te co)tí)ua de i)te)sidade : . A espira tem resist)cia R e auto"i)dut,)cia desprezí(el. o i)sta)te co)siderado sua dist,)cia ao outro fio * , 5fig.6. 5a6 Calcule o fluIo de > atra(*s da espira )esse i)sta)te. 5b6 Calcule a mag)itude $ e o se)tido de percurso da corre)te i)duzida )a espira )esse i)sta)te.
6<
Capítulo 10 Circuitos
Capítulo ./ – Circuitos 1 o circuito da figura N 8=1 e N 1=; . 4ara $ue (alor de P a pot)cia dissipada em P * afetada o mí)imo possí(el por pe$ue)as (aria&es de P8
2 o circuito da figura a cha(e * ligada para # D 0 com o capacitor descarregado. emo)stre $ue ap+s um tempo muito lo)go metade da e)ergia for)ecida pela bateria estar' armaze)ada )o capacitor e a outra metade ter' sido dissipada )a resist)cia.
< o circuito da figura a cha(e * ligada para # D 0 com o capacitor descarregado. Calcule a (oltagem V(#) atra(*s do capacitor ap+s um tempo # .
@ emo)stre $ue o circuito da figura tem duas fre$u)cias possí(eis de oscila&%o li(re e calcule os (alores dessas fre$u)cias.
B o circuito P!C em paralelo 5figura6: 5a6 Calcule a fre$u)cia a)gular ω das oscila&es li(res e a co)sta)te de amortecime)to g. 5b6 4ara =8 J C =8 μ F ! D 10 mT $ual * o (alor de ω 8 epois de $ua)tos períodos a e)ergia eletromag)*tica se reduz 9 metade do seu (alor i)icial8
5
Capítulo 10 Circuitos F Calcule a imped,)cia do circuito da figura e)tre os po)tos 1 e 2 9 fre$u)cia ω e mostre $ue se as co)sta)tes de tempo C e 4 forem iguais a imped,)cia ser' i)depe)de)te da fre$u)cia.
G Calcule a fre$u)cia a)gular de oscila&%o li(re do circuito da figura o)de !12 * a i)dut,)cia m;tua e)tre as bobi)as.
H o circuito da figura fecha"se a cha(e em t D 0 com = cos (ω t) . Calcule a fre$u)cia a)gular de resso),)cia defi)ida como o (alor de ω para o $ual a reat,)cia do circuito se a)ula.
J o circuito da figura fecha"se a cha(e em # D 0 com = sen ω t + π . 5
(
)
5a6 Ache a corre)te : 5# 6 i)clui)do o termo tra)sie)te e a solu&%o estacio)'ria. 5b6 4ara $ue (alor de o tra)sie)te desaparece8
10 o circuito P!C em s*rie 5figura6 com = cos (ω t) ache para $ue (alor de a amplitude da (oltagem ser' m'Iima: 5a6 atra(*s do capacitor. 5b6 atra(*s da bobi)a.
58
Capítulo 10 Circuitos 11 o circuito da figura a cha(e * ligada em # D 0 com o capacitor descarregado. 5a6 Ache a corre)te : em fu)&%o do tempo. 5b6 Ache a e)ergia armaze)ada em ! a" ;m #em"o m;$#o lono . 5c6 Ache a e)ergia for)ecida pela bateria dura)te esse tempo. 5d6 =bte)ha a e)ergia total dissipada )o resistor dura)te esse tempo. #ostre $ue a metade da e)ergia for)ecida estar' armaze)ada )o capacitor e a outra metade dela ter' sido dissipada )o resistor.
12 " ma espira circular de raio a auto"i)dut,)cia 9 e resist)cia R gira em tor)o do eiIo z 5figura6 com (elocidade a)gular co)sta)te ω )um campo mag)*tico u)iforme > . 5a6 Calcule a fem e a corre)te : i)duzida )a espira em regime estacio)'rio 5ap+s um tempo lo)go6. 5b6 Calcule o (etor mome)to de dipolo mag)*tico m correspo)de)te. 5c6 =bte)ha o tor$ue 5(etor6 correspo)de)te sobre a espira.
1< m fio met'lico isolado de resisiti(idade ρ e se&%o tra)s(ersal de 'rea * e)rolado )um cili)dro de madeira de raio a e comprime)to l fica)do com 6 espiras bem Eu)tas umas das outras. As eItremidades do fio est%o ligadas a um gerador de corre)te alter)ada de fre$u)cia a)gular ω . Calcule: 5a6 A resist)cia R do fio. 5b6 A auto"i)dut,)cia 9 do fio. 5c6 A difere)&a de fase ! e)tre a corre)te : e a (oltagem V atra(*s do fio.
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Capítulo 11 #ateriais #ag)*ticos
Capítulo .. – &ateriais &a'néticos 1 A susceptibilidade molar do g's h*lio * " 2@ I 10 "11. Ache a raz%o do raio $uadr'tico m*dio , r 1 -8 / 1 da +rbita eletrM)ica )o 'tomo de h*lio ao raio de >ohr a 0 D 00B2J )m $ue * o raio da primeira +rbita de >ohr )o 'tomo de hidrog)io 5Cap. 2 4robl. <6.
2 Verifica"se $ue a co)tribui&%o m'Iima da mag)etiza&%o do ferro ao (alor de 7 )o material * da ordem de 23. A massa atMmica do ferro * BBH e sua de)sidade * GJ g/cm. 5a6 Se cada el*tro) co)tribui com 1 mag)eto) de >ohr Ocf. 511.G.G6R $ua)tos el*tro)s em cada 'tomo de ferro co)tribuem para a mag)etiza&%o8 5b6 Se o ferro fosse paramag)*tico de $ue ordem de gra)deza seria sua susceptibilidade a <00 8 Compare com orde)s de gra)deza típicas da susceptibilidade do ferro.
< " emo)stre $ue: 5a6 A e)ergia armaze)ada )o a)el de Pola)d 5Se&. 11.H6 * 8 .(!8)1 o)de . * a relut,)cia mag)*tica e 1 fluIo de 7 atra(*s da sec&%o reta. 5b6 A auto"i)dut,)cia do a)el * 4 =N 1 / . .
!8
*o
@ m a)el de Pola)d de ferro tem 10 cm de di,metro m*dio e )ele est' aberto um e)treferro de 1mm de comprime)to. 7ua)do se faz passar uma corre)te de 1 A por uma bobi)a de 1000 espiras e)roladas )o a)el o campo 7 )o e)treferro * de 1 3. espreza)do o alastrame)to das li)has de for&a )o e)treferro calcule: 5a6 A permeabilidade mag)*tica relati(a do ferro )estas co)di&es. 5b6 = campo = )o i)terior do ferro. 5c6 A raz%o do campo = )o e)treferro ao seu (alor de)tro do material.
B o problema a)terior a 'rea da sec&%o reta do a)el * de 1 cm2. Calcule: 5a6 A e)ergia armaze)ada )o i)terior do ferro. 5b6 A e)ergia armaze)ada )o e)treferro. 5c6 A auto"i)dut,)cia do sistema. 56
Capítulo 11 #ateriais #ag)*ticos
F o circuito mag)*tico da figura a sec&%o reta * co)sta)te a permeabilidade mag)*tica do material * μ e a corre)te )a bobi)a de 6 espiras * $. Calcule o campo 7 )o bra&o ce)tral e o campo 72 )os demais bra&os.
G #ostre $ue )o i)terior de um ím% perma)e)te 5Se&. 11.H6 podemos i)troduzir para o campo T um )o(o pote)cial ⃗ o)de est' escalar mag)*tico tal $ue T =− relacio)ado com a mag)etiza&%o # do meio por
0 = div⃗ # 1−ρ m ρm e simula uma de)sidade de ^carga mag)*tica^. Compara)do com a e$ua&%o de 4oisso)
[email protected] da eletrost'tica resulta $ue podemos calcular T se # for co)hecido usa)do um a)'logo da lei de Coulomb em $ue ρm faz o papel de ρ / ε .
H Como aplica&%o do problema a)terior co)sidere um ím% perma)e)te em forma de barra cilí)drica de raio a e comprime)to l ]] a . essas co)di&es podemos admitir com aproIima&%o $ue a barra est' u)iformeme)te mag)etizada ou seEa $ue # T de)tro da barra * um (etor co)sta)te )as duas eItremidades circulares da barra 5^)orte^ e ^sul^6 e * )ula fora delas. sa)do esse m*todo calcule > : 5a6 o ce)tro da barra. 5b6 o ce)tro da face ^)orte^. Verifi$ue $ue o resultado 5b6 * aproIimadame)te a metade do resultado 5a6.
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Capítulo 12 As $ua&es de #aIell
Capítulo .2 – As E0ua,1es de &aell 1 m capacitor de placas paralelas * formado por dois discos circulares de raio a separados por uma dist,)cia d WW a )o ('cuo. As placas est%o ligadas a um gerador AC $ue produz uma carga o capacitor O =O sen (ω t) . Admita $ue o campo . e)tre as placas * u)iforme despreza)do fuga de li)has de for&a e tome o eiIo z ao lo)go do eiIo do capacitor. Calcule o campo > e)tre as placas a uma dist,)cia r do eiIo.
2 m fio co)dutor retilí)eo cilí)drico muito lo)go de co)duti(idade e raio a tra)sporta uma corre)te σ co)sta)te de de)sidade E =σ u)iformeme)te distribuída sobre a sec&%o tra)s(ersal. 3ome o eiIo do cili)dro como eiIo z . 5a6 Calcule > )a superfície do fio. 5b6 Calcule o (etor de 4oy)ti)g S )a superfície do fio. 5c6 #ostre $ue o fluIo de S atra(*s da superfície de um trecho de comprime)to l do fio * igual 9 e)ergia dissipada em calor pelo efeito oule )esse trecho por u)idade de tempo. ote $ue essa e)ergia flui do espa&o em tor)o do fio para de)tro dele.
< Supo)ha $ue uma l,mpada de 100 Q emite toda a sua e)ergia em forma de luz 5despreze outras perdas6 u)iformeme)te em todas as dire&es. stime os (alores m*dios $uadr'ticos de ∣∣ e ∣>∣ a uma dist,)cia de 1 m da l,mpada.
@ A con#an#e olar a i)te)sidade da radia&%o solar $ue ati)ge a atmosfera terrestre (ale 2 cal/cm por mi)uto. 5a6 7uais s%o os (alores m'Iimos de ∣∣ e ∣>∣ correspo)de)tes8 5b6 Sabe)do $ue o raio do Sol * de FJ I 10 H m e $ue a dist,)cia m*dia 3erra"Sol * 1B I 10 11 m $ual * a i)te)sidade da radia&%o )a superfície do Sol 5supo)do a emiss%o isotr+pica e despreza)do perdas68
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Capítulo 12 As $ua&es de #aIell
5;
