Clasificación de los PROBLEMAS PAEV

Clasificación de los PAEV (Problemas Aritméticos Elementales Verbales) 1

Las nociones de la adición y sustracción forman parte de un mismo concepto que puede ser trabajado desde distintos significados. No se recomienda enseñar primero la adición y luego la sustracción como nociones desconectadas, pero ¿cómo podemos trabajar estas dos nociones de manera simultanea? Veamos el siguiente ejemplo: Juan tiene 5 soles, ¿cuántos soles más necesita para comprar una pelota de 8 soles? Para resolver este problema, el estudiante puede utilizar la estrategia de conteo empezando por el número menor y llegando al número mayor, o buscar qué número sumado con 5 le da 8, o plantear una expresión del tipo: 5 + ___ = 8 la que puede resolver resolver por tanteo.

En el caso planteado no se está utilizando la sustracción como operación, por supuesto resulta claro que también se podría resolver el problema planteando una sustracción e interpretando la respuesta. A partir de lo anterior, es evidente que las situaciones no se pueden catalogar exclusivamente como de adición o sustracción pues la estructura implícita en su resolución puede abordarse mediante el uso de cualquiera de las dos operaciones; es decir depende de la estrategia que utilice el niño en su resolución; por ello, es necesario que usemos otra clasificación para los problemas de sumas y restas. Para trabajarlas simultáneamente se recomienda clasificar las situaciones a partir de su significado global, estos son: 







Combinar (juntar y separar) Cambiar o transformar (agregar y quitar) Igualar Comparar

Esta clasificación incluye situaciones de nociones aditivas y de sustracción de manera simultanea, estas situaciones son conocidas como problemas de estructura aditiva o como Problemas Aritméticos Elementales Verbales (PAEV). (PAEV) .

A partir de la clasificación anterior, el docente debe estimular el razonamiento de los estudiantes proponiéndoles diversos problemas que incorporen esta clasificación y sus combinaciones. La estructura aditiva se conseguirá en la medida en que el estudiante enfrente las más diversas situaciones. La ampliación del campo numérico ayuda muy poco, o nada, a la comprensión, a las operaciones mentales y a la elaboración de modelos que el estudiante debe realizar para resolver problemas aritméticos.

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Extraído del Marco de trabajo de la EN2004, anexos de Matemática, de los informes de resultados de la ECE 2007, 2008, 2009 y 2010 y de Clasificación Clasificación de los PAEV del Programa de Escuelas Exitosas de Gustavo Cruz.

Documento de trabajo

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Obsérvese los siguientes problemas: Juan tiene 365 chapitas y María 435. ¿Cuántas chapitas tienen juntos? Juan tiene 6 chapitas y María 3. ¿Cuántas chapitas tienen juntos?

Desde el punto de vista de las habilidades involucradas, ambos problemas tienen la misma complejidad pues poseen igual estructura (Combinación - juntar). La aparente mayor dificultad del primero se sustenta solo en el cálculo aritmético, mas no en la comprensión de la estructura aditiva implicada. Dicho de otro modo, si un estudiante tiene clara la estructura aditiva de combinación sabe que en ambos casos puede sumar para hallar el resultado, y esto es lo realmente importante. La forma de hacer el cálculo es irrelevante: puede hacerlo mentalmente, con lápiz y papel o usando una calculadora. Al tratarse de problemas, debemos recordar que una forma de mejorar las habilidades de los estudiantes para resolver problemas aditivos es importante incorporar no solo diversos problemas y situaciones combinadas de estos en el trabajo pedagógico, si no además el modelo de resolución de problemas que implican las fases que el estudiante debe seguir al momento de resolver estas situaciones (comprensión, diseño o adaptación de la estrategia, ejecución de la estrategia, metacognición).

Secuencia para la enseñanza de las nociones aditivas

2

Por otro lado, Maza (1989) propone una secuencia para la enseñanza de las operaciones a la luz de los errores que se presentan con mayor frecuencia. Según este investigador, el docente debe utilizar una variedad de sinónimos para referirse a la misma acción con significado matemático: 

Sumar: añadir, poner, juntar, agregar, reunir...



Restar: quitar, perder, retirar, separar…

Los estudiantes deben, primero, realizar estas acciones mediante la manipulación de fichas, semillas u otros objetos pequeños que sirvan de contadores. En seguida, deben describir la acción con el lenguaje usual, nombrando lo que realizan; para ello conviene que el docente lleve adelante un diálogo que retroalimente al estudiante en su accionar y en la verbalización de la acción. Aquí también es posible introducir los signos que traducen las acciones que realiza. Solo cuando las acciones estén asimiladas se deben utilizar dibujos o esquemas. Posteriormente, se puede asociar números y símbolos a estas representaciones. Por ejemplo: se dibujan dos conjuntos de naranjas, con el número a su lado, separados por el signo « –» y se pide que dibujen y escriban el número del conjunto resultante. El último paso sería la notación simbólica de las operaciones y su resolución por escrito. Todas estas ideas se pueden integrar en la siguiente secuencia didáctica del proceso de enseñanza 2

Incluyen tanto las nociones aditivas como de sustracción.


2



Acción : en un primer momento, el estudiante resuelve las situaciones mediante la

exploración y actuación informal sobre los objetos, para lo cual el docente debe propiciar dichas actividades. 

Vínculo entre acción y lenguaje : el docente debe ayudar a los estudiantes a establecer

relaciones pertinentes entre las acciones que realizan y la diversidad de verbos que utilizan (sumar, agregar, juntar, reunir, etc.). 

Narración de la acción : se solicita de los estudiantes un relato de las acciones

emprendidas y de la forma de resolver la situación presentada. 

Vínculo entre acción y lenguaje : el docente debe ayudar a los estudiantes a establecer

relaciones pertinentes entre las acciones que realizan y la diversidad de verbos que utilizan (sumar, agregar, juntar, reunir, etc.). 

Narración de la acción : se solicita de los estudiantes un relato de las acciones

emprendidas y de la forma de resolver la situación presentada.


3

Los PAEV El análisis global del texto del problema es uno de los más importantes al momento de investigar las dificultades cognitivas en el proceso de solución de los PAEV. Este sirve básicamente para comprender los procesos utilizados por los niños para resolver los problemas. Desde la perspectiva del análisis global, los PAEV se pueden clasificar en las categorías siguientes: 1. 2. 3. 4.

Problemas de combinación Problemas de cambio (transformación) Problemas de igualación Problemas de comparación

1. PROBLEMAS DE COMBINACIÓN En estos problemas se trabajan la adición y sustracción en acciones de “juntar” y “separar”.

Los problemas de combinación son problemas verbales en los que existe una relación entre conjuntos que son partes de un todo (parte-parte-todo). Podemos desconocer (es decir tener como incógnita en el problema) una parte, otra parte o el todo; pero en este último caso, dado que no existe ninguna diferencia conceptual entre cada una de las partes se suelen considerar solamente dos tipos de situaciones de combinación: la que pregunta por el todo o por una de las partes. Veamos el siguiente problema: Hay 5 patos y 4 loros. ¿Cuántas aves hay?

Todo: Cantidad de aves Parte: Hay 5 patos Parte: Hay 4 loros

Patos: 5

Loros: 4

Es importante mencionar que para resolver situaciones como el ejemplo mostrado, además de juntar las partes, previamente los estudiantes, tienen que darse cuenta que tanto “patos” como “loros” son conjuntos disjuntos (sin elementos comunes) y que la unión de estos forman partes de otro conjunto que incluye a los anteriores sin que sobren ni falten elementos. La solución de problemas de combinación requiere que el niño identifique si hay grupos que forman la parte de un todo y si dichas partes se juntan o se separan. Ejemplos de problemas de combinación:


4

PARTE

Combinación 1

En el salón hay 10 niñas y 7 niños. ¿Cuántos estudiantes hay en el salón? PARTE

TODO

Combinación 2

TODO

PARTE

PARTE

En la canasta hay 20 panes. 12 son de yema y el resto de camote, ¿cuántos panes son de camote?

En el primer ejemplo se están juntando las partes de un todo (significado de la adición como juntar), la incógnita es el todo (¿Cuántos estudiantes hay en el salón?). En el segundo ejemplo se están separando en partes un todo (significado de la resta como separar), la incógnita es una de las partes (¿Cuántos panes son de camote?). El primer caso resulta muy familiar y sencillo para los estudiantes el segundo contrariamente les resulta más complejo. La estructura de los PAEV de COMBINACIÖN se muestra a continuación: Parte

Parte

Todo

Combinación 1

dato

dato

incógnita

Combinación 2

dato

dato

incógnita


5

2. PROBLEMAS DE CAMBIO O TRANSFORMACIÓN En estos problemas se trabaja la adición y sustracción en acciones de “agregar” y “quitar”.

Los problemas de cambio parten de una cantidad a la que se añade o quita algo para dar como resultado una cantidad mayor o menor. Es decir son situaciones en las que se describe el aumento o disminución de una cantidad inicial a través del tiempo, generando una cantidad final. En este tipo de problemas considera tres cantidades: el inicio, el cambio y el final, de las cuales, dos cuales quiera, podrían ser los datos y el otro la incógnita. De esta manera podemos plantear varios tipos de problemas. Como además se tiene dos posibilidades para el cambio: aumentar (crecer) o disminuir (decrecer), entonces se tienen seis tipos de problemas de esta estructura. La solución de problemas de cambio o transformación requiere que el niño identifique si hay cantidades que varían en el tiempo y si dicha cantidad aumenta o disminuye. Ejemplos:  



Raquel tenía S/. 10. Luego gastó S/. 7. Ahora, ¿cuánto dinero le queda? Karen tenía S/. 16. Luego Lola le dio algunos nuevos soles. Ahora Karen tiene S/. 25. ¿Cuánto dinero le dio Lola? Miguel tenía algunas galletas, luego se comió 5 galletas. Ahora tiene 17 galletas, ¿cuántas galletas tenía al inicio?

Las tres situaciones mostradas son de cambio, pues en todas existe una situación inicial (el dinero que tenía Raquel y Karen y la cantidad de galletas que tenía Miguel), un evento que produce el cambio (el gastó que realizó de Raquel, el dinero que Lola le dio a Karen y las galletas que se comió Miguel) y una situación final (el dinero que le quedan a Raquel, el dinero que tiene Karen y las galletas que tiene Miguel. Para el primer caso la incógnita está ubicada en la situación final: Los soles que le quedan a Raquel (este es el caso más familiar y sencillo para los niños y niñas), en el segundo caso la incógnita está en el evento que genera el cambio: la cantidad de soles que le dio Lola a Karen (este caso es más complejo que el anterior), y en el tercer caso al incógnita esta en la situación inicia: la cantidad de galletas que tenía Miguel al inicio (este es el caso más complejo para los niños y niñas). Tanto el primer como el tercer ejemplo usan la sustracción en acciones de “quitar” y el segundo ejemplo usa la adición en acciones de “agregar” (a pesar que para resolver el

problema se tiene que realizar una resta). El caso menos complejo para los estudiantes es el primer caso, donde se gasta la cantidad de dinero inicial de Raquel y el caso más complejo es el tercer ejemplo donde la incógnita está en la situación inicial. Ejemplos de problemas de cambio: Documento de trabajo

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INICIO

Cambio 1

CAMB IO

FINAL

Karen tenía S/. 18. Le dio algunos soles a Lola. Ahora tiene S/. 12. ¿Cuántos soles le dio a Lola? CAMBIO

FINAL

Karen tenía algunos soles. Lola le dio S/. 6. Ahora tiene S/. 18. ¿Cuántos soles tenía Karen? INICIO

Cambio 6

FINAL

Karen tenía S/. 12. Lola le dio algunos soles. Ahora tiene S/. 18. ¿Cuántos soles le dio Lola?

INICIO

Cambio 5

FINAL

CAMBIO

INICIO

Cambio 4

CAMB IO

Karen tiene S/. 18. Da S/. 6 soles. ¿Cuánto dinero le queda? INICIO

Cambio 3

FINAL

Karen tenía S/. 12. Le dan S/. 6. ¿Cuánto dinero tiene ahora? INICIO

Cambio 2

CAMB IO

CAMB IO

FINAL

Karen tenía algunos soles. Le dio 6 soles a Lola. Ahora tiene 12 soles. ¿Cuántos soles tenía Karen?

La estructura de los PAEV de CAMBIO se muestra a continuación: Inicial

Cambio

Final

Cambio 1

dato

dato

incógnita

Cambio 2

dato

dato

incógnita

Cambio 3

dato

incógnita

dato

Cambio 4

dato

incógnita

dato

Cambio 5

incógnita

dato

dato

Cambio 6

incógnita

dato

dato


Crecer

Decrecer

7

3. PROBLEMAS DE COMPARACIÓN Son situaciones en las que se expresa una relación de comparación entre dos cantidades. La relación se establece en el enunciado mediante conectores como “más que”, “menos que”, “mayor que”, etc.

Tiene tres partes: la referencia, lo que se compara y la diferencia (cuánto más o cuánto menos tiene uno con respecto al otro) y dos de ellos podrían ser los datos y el tercero la incógnita, asimismo el conjunto de referencia puede ser el mayor o el menor, de esta manea también encontraríamos seis tipos de problemas de comparación. La solución de problemas de comparación requiere que el niño identifique si se están realizando comparaciones de datos. Juana tiene 10 años de edad y José tiene 7 años. ¿Cuántos años más que José tiene Juana?

En el ejemplo mostrado se está comparando la edad de Juana respecto de la edad de José, es decir José es la referencia, la edad de Juana es lo que se compara y la diferencia entre sus edades es la diferencia. En este caso la incógnita es la diferencia. A continuación se muestra un ejemplo para cada tipo de PAEV de comparación:


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Ejemplos de problemas de Comparación: REFERENCIA

Comparación 1

COMPARADA

César tiene 8 caramelos. Manolo tiene 13 caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene Manolo más que César? DIFERENCIA

REFERENCIA

Comparación 2

COMPARADA

César tiene 15 figuritas. Manolo tiene 7 figuritas. ¿Cuántas figuritas tiene Manolo menos que César? DIFERENCIA REFERENCIA

Comparación 3

DIFERENCIA

César tiene 12 años. Manolo tiene 3 años más que César. ¿Cuántos años tiene Manolo? COMPARADA REFERENCIA

Comparación 4

DIFERENCIA

César tiene 5 lápices. Manolo tiene 2 lápices menos que César. ¿Cuántos lápices tiene Manolo? COMPARADA DIFERENCIA

COMPARADA

Comparación 5

César tiene 28 bolitas. César tiene 6 bolitas más que Manolo. ¿Cuántas bolitas tiene Manolo? REFERENCIA COMPARADA

Comparación 6

DIFERENCIA

César tiene 2 hermanos. César tiene 3 hermanos menos que Manolo. ¿Cuántos hermanos tiene Manolo? REFERENCIA

La estructura de los PAEV de COMPARACIÓN se muestra a continuación: Referencia

Comparada

Diferencia

Comparación 1

dato

dato

incógnita

Comparación 2

dato

dato

incógnita

Comparación 3

dato

incógnita

dato

Comparación 4

dato

incógnita

dato

Comparación 5

incógnita

dato

dato

Comparación 6

incógnita

dato

dato


más

menos

9

4. PROBLEMAS DE IGUALACIÓN Algunos autores (Carpenter y Moser, 1982; Fuson, 1992) han propuesto una categoría adicional que puede considerarse una “mezcla” de las categorías de cambio y comparación;

son los problemas de igualación, en los que la relación comparativa entre dos cantidades no se expresa de forma estática (como en los problemas de comparación) sino dinámicamente. Los problemas de igualación son aquellas situaciones en las que se expresa una relación entre cantidades ligadas por las frases “tantos como” o “igual que”. Como ya se dijo, es una relación

dinámica en la que se compara una cantidad con otra con el fin de igualar dos cantidades. Tiene tres partes: la referencia, lo que se iguala y la diferencia (lo que falta o sobra para igualar). La solución de problemas de igualación requiere que el niño identifique si se están realizando igualaciones de datos. Ejemplo: Javier tiene 15 canicas. Si a Pepe le regalan 6 canicas, tendrá tantas canicas como Javier. ¿Cuántas canicas tiene Pepe?

En el ejemplo mostrado se están comparando la cantidad de canicas que tiene Javier y Pepe con el fin de igualarlas. En este caso la referencia son las canicas de Javier (“tiene tantas canicas como Javier”) y la cantidad de canicas de Pepe es el comparado,

Ejemplos de problemas de Igualación:


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Igualación 1

Igualación 2

REFERENCIA

COMPARADA

DIFERENCIA

Javier tiene S/. 30. Pepe tiene S/. 23. ¿Cuántos dinero tiene que ganar Pepe para tener tanto como Javier? REFERENCIA

DIFERENCIA

COMPARADA

Javier pesa 50 Kg. Pepe pesa 62 Kg. ¿Cuántos kilogramos tiene que perder Pepe para pesar tanto como Javier? DIFERENCIA

REFERENCIA

Igualación 3 Javier tiene 15 canicas. Si Pepe gana 6 canicas, tendrá tantas canicas como Javier. ¿Cuántas canicas tiene Pepe? COMPARADA

REFERENCIA

DIFERENCIA

Igualación 4 Javier tiene 21 soles. Si Pepe pierde 5 soles, tendrá tantos soles como Javier. ¿Cuántos soles tiene Pepe? COMPARADA COMPARADA

REFERENCIA

DIFERENCIA

Igualación 5 Pepe tiene S/. 30. Si Pepe gana S/. 8, tendrá tanto dinero como Javier. ¿Cuánto dinero tiene Javier? COMPARADA

DIFERENCIA

Igualación 6 Pepe tiene S/. 18. Si Pepe pierde S/. 11, tendrá tanto dinero como Javier. ¿Cuánto dinero tiene Javier? REFERENCIA

La estructura de los PAEV de IGUALACIÓN se muestra a continuación: Referencia

Comparada

Diferencia

Igualación 1

dato

dato

incógnita

Igualación 2

dato

dato

incógnita

Igualación 3

dato

incógnita

dato

Igualación 4

dato

incógnita

dato

Igualación 5

incógnita

dato

dato

Igualación 6

incógnita

dato

dato


más

menos

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ACTIVIDADES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS NOCIONES ADITIVAS Recomendaciones generales: Las siguientes actividades están pensadas en niños y niñas del III 3 ciclo que aún no han desarrollado las nociones aditivas ni las nociones de números, más bien están en proceso de construcción de dichas nociones. A continuación se brinda pautas e ideas de actividades y juegos que puede realizar con los niños del aula de manera permanente. Es decir, no basta con realizarlos una vez o una vez a la semana, si no que puede ir intercalando o realizando varios de ellos en diversos momentos del día. Puede aprovechar los espacios de recreo, de descanso, antes de la hora de la lonchera, antes de la hora de salida, para cerrar un tema y empezar otro de la misma o de diferentes áreas del currículo, etc. La intención es que el niño de a pocos vaya desarrollando, además de las nociones aditivas y de números, habilidades diversas como la representación, argumentación, comparación, análisis, el pensamiento estratégico, etc. Desde la perspectiva anterior, es necesario dejar que los niños y niñas tomen decisiones respecto de algunas reglas o elementos del juego, por ejemplo se puede dejar que decidan respecto de cómo escogen al jugador que empieza (puede ser por votación o sacando la mayor carta, o lo que ellos propongan alguna solución) o en qué momento se termina el juego, pues quizá, si insistimos en que sigan jugando el juego puede dejar de ser interesante para ellos, por lo tanto dejan de estar involucrados en la tarea. Debe darles suficiente libertad para que puedan modificar las reglas de los juegos o actividades y debe dar algunas recomendaciones o pautas si se alejan de su objetivo pedagógico (“¿…qué les parece si hacemos esto o aquello?”, y esperan la opinión o los puntos de vista de los niños). Si se trata de repartir cartas o fichas, permita que ellos mismos sean quienes lo hagan ya que estarán desarrollando estrategias para el conteo, para ordenar y no repetir ni omitir al contar (correspondencia uno a uno), etc. No importa si en los primeros ensayos no tienen igual cantidad de cartas o fichas, cuando se den cuenta de las ventajas o desventajas que produce una mala repartición de cartas, ellos mismos serán cuidadosos al momento de repartir y los participantes también reclamaran en caso les falte o les sobre alguna, realizaran comparaciones entre ellos para demostrar y justificar que efectivamente el reparto es incorrecto e injusto. El desarrollo del pensamiento estratégico es fundamental, ya que esto les brindará las suficientes herramientas al momento de diseñar estrategias en la resolución de problemas que usted les proponga, por lo tanto, si por ejemplo, inicialmente no se dan cuenta que es importante que todos los participantes del grupo deban tener la misma cantidad de cartas o fichas al inicio, no intente explicarles el por qué ni intente forzarlos a usar las reglas, solo podría preguntarles si les parece lo mismo que algunos tengan más o menos cartas, si no se dan 3

Con excepción de las dos últimas propuestas.


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cuenta o no les interesa responder a su pregunta, déjelos que jueguen, y sistemáticamente luego de varias veces de realizar el juego, mientras van diseñando y desarrollando sus estrategias para ganar, se darán cuenta de las ventajas o desventajas que esto puede generar. Así mismo, constantemente debe pedir a los niños y niñas que registren los puntos obtenidos o perdidos, inicialmente lo harán usando representaciones figurales o gráficas y de manera desordenada, luego de muchos intentos, mejoraran sus sistemas de representación y empezaran a usar los números, el orden, tablas, colores, para diferenciar características o jugadores. Como se dijo inicialmente, la idea es que estos juegos se desarrollen diariamente, intercalándolas hasta que se hayan logrado comprender las nociones que estás detrás y hasta que hayan podido diseñar estrategias, para repartir, para contar, para registrar su información, para ganar, etc.

LA BUENA CESTA Organización del aula: Grupos de 4 a 6 niños Objetivo de la actividad: Desarrollo de las nociones aditivas en acciones de juntar (combinación 1) y en relación con las nociones numéricas iniciales. Actividad: Se colocan sobre la mesa hojas con dibujos de canastas que por dentro llevan huevos en cantidades diferentes. Cada alumno va a recibir una consigna que le indica cuántos huevos debe colorear y además cómo debe colorearnos, por ejemplo:

3

,2

Una vez recibida la consigna, los niños y niñas deben encontrar cuál de las canastas responde a sus necesidades (en nuestro ejemplo, la canasta con 5 huevos). Solo pueden empezar a colorear una vez que estén seguros de haber escogido la cesta adecuada. Los niños van acumulando puntos según si han seguido la consigna y si no sobra ningún huevo al colorear lo indicado.


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EL SOLITARIO DEL 10 Organización del aula: Grupos de 4 a 6 niños, de a pocos puede ir disminuyendo el tamaño de los grupos. Objetivo de la actividad: Desarrollo de las nociones aditivas como juntar (combinación 1) y en relación con las nociones numéricas. Materiales: 40 cartas numeradas del 1 al 10 por grupo. Las cartas consisten en 4 grupos de cartas numeradas del 1 al 10 (con representación numérica y simbólica simultáneamente). Un juego de cartas tradicional podría servir luego de extraer las cartas de reyes y de explicar que el 1 es representado por el As. Actividad: El niño debe tenar 40 cartas distribuidas en dos grupos de 20 cada una. EL primer grupo de 20 cartas se extienden sobre la mesa formando un montón. Solo se pueden recoger cartas bajo dos condiciones: Que no haya ninguna carta sobrepuesta encima Que la suma de las cartas siempre sea 10. (inicialmente la indicación puede ser que solo puede recoger dos cartas que al juntar los puntos o al sumar el resultado sea 10. Luego puede ir dejando abierta la cantidad de cartas y solo deja la condición que sumen 10). Los niños deben deducir que si encuentran una carta 10 solos la podrá recoger sin necesidad de tener un par. Las cartas que puede juntar las colocan a un lado y sigue tratando de sacar más cartas. El solitario termina cuando hayan salido todos los pares de cartas, o cuando el juego queda bloqueado (por ejemplo: si hay una carta visible, y la única carta 2 no la puede sacar pues esta media con otra carta encima. Luego pueden colocar el segundo montón de cartas que les quedan y continuar con el juego para tratar de seguir sacando más cartas. Asegúrese que ellos decidan donde colocar el segundo montón. Encima de lo que queda en el primer montón, al lado, de a pocos ellos se irán dando cuenta de que es lo que les conviene para lograr obtener más cartas. 



MUNDO Organización del aula: Grupos de 3 ó 4 niños. Objetivo de la actividad: Desarrollo de las nociones aditivas como juntar (combinación 1) y en relación con las nociones numéricas y el desarrollo de habilidades espaciales. Materiales. Una tiza para pintar el suelo o maskintape o gutapercha de colores, una teja piedra plana una pizarra o papelógrafo. Documento de trabajo

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Actividad: Esta es un juego habitual que se puede realizar en el patio o en un espacio similar. Con la cinta maskintape, la gutapercha de colores o con la tiza se dibuja en el piso algunas de las siguientes figuras a las que llamaremos Mundo.

9 7

8 6

4

4 5

3 2 1

1 7

9

5 2

7 2

5

3 3

6

El juego consiste en tirar una piedra plana de manera que caiga en una de las casillas del Mundo, se gana la cantidad escrita en las casillas en la que ha caído la piedra o teja; si la piedra queda entre dos casillas, es el jugador quien elije la casilla ganadora; si cae fuera del mundo, el jugador gana 0 puntos. Los niños y niñas van registrando sus puntos (con números o con símbolos según puedan) en la pizarra o papelógrafo para que no se olviden sus puntos y para poder realizar verificaciones posteriores. Se juegan en grupos de 3 ó 4 alumnos, gana el grupo que haya obtenido más puntos con un lanzamiento por jugador.

GANAR Y PERDER Organización del aula: Grupos de 3 ó 4 niños. Objetivo de la actividad: Desarrollo de las nociones aditivas como agregar o quitar (cambio 1, 2, o combinación de estos y cambio 5). Materiales. Dos dados de distintos colores. El dado puede tener las cifras habituales u otras (solo con 1, 2 y 3 puntos dos veces cada uno) o usando los guarismos de los números de su representación con puntos. Chapas, taps, fichas, etc. Actividad: En cada grupo un niño hace de “banco” y tiene todas las fichas. Luego este reparte a todos

los participantes del grupo cierta cantidad de fichas acordadas inicialmente. Inicialmente se puede jugar con un solo dado. Con lo que se sugiere que cada niño empiece el juego con 3 chapas, taps, fichas, etc. La idea del juego es que el niño gane la cantidad de fichas, chapas, taps o puntos que marca el dado y que vaya registrando cuántas fichas tiene al final de cada ronda. Así mismo, si Documento de trabajo

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juega con dos dados iguales puede hacer que ganen tantos objetos o tantos puntos como sumen los dados. Luego cuando el niño ya comprenda la idea de ir agregando o ganando cantidades u objetos, puede introducir el dado de otro color, que representará la acción de quitar o perder (en este caso quizá sea conveniente empezar con 6 chapas, taps, fichas o más y no con 3 como se señaló al inicio. Dicho en otras palabras, si los dados son de distinto color, uno hace que se ganen puntos y el otro que se pierdan puntos. (Recuerde permitir que los niños desarrollen sus propias estrategias de resolución). Gana el niño que al final tiene más fichas. Luego rotan los roles otro niño hace de “banco”.

Si trabajamos en una pista con casilleros, un color puede significar avanzar y otro color puede significar retroceder. Otra variante del juego podría ser: se les entrega a los niños una caja forrada y cerrada con una ranura para poder ingresar más fichas y con una cantidad inicial de fichas que ellos desconocen. Luego se les pide que tiren un dado, y esa será la cantidad de fichas que deberán introducir en la caja. Finalmente, deberán adivinar cuántas fichas había inicialmente. Se les recuerda a los niños que agregaron una determinada cantidad de fichas y se les invita a abrir la caja para que puedan manipular las fichas y desarrollar sus propias estrategias. Si es necesario, se les pide que dejen el dado con la cantidad de fichas que se agregaron para que no se les olvide dicha cantidad.

JUEGOS DE ESCONDITE: Organización del aula: Todo el salón (a menos que todo el aula sea muy grande). Objetivo de la actividad: Desarrollo de las nociones aditivas como igualar (cambio 1 y 2 o combinación de estos) y en relación con las nociones numéricas. Materiales. 10 objetos iguales, 10 naranjas por ejemplo. Actividad: Divide a los niños del aula en dos grupos, de tal forma que algunos niños puedan esconder objetos y el otro encontrarlos. Para esto puede preguntarles: ¿quién quiere esconder naranjas?, ¿quién quiere encontrarlas?, ayude a que ellos mismos se organicen y decidan quien va a hacer una u otra cosa. Cuando el grupo que encuentra ha encontrado tres naranjas (por ejemplo), puede preguntarles: ¿cuántas más tiene que buscar?, luego cuando hayan encontrado 7 naranjas puede preguntar: ¿cuántas naranjas me faltan encontrar? Gana el grupo que encuentra las diez naranjas. Otro juego de escondite puede que con palitos de chupete o baja lenguas. Se les muestra el total de palitos a los niños, luego se esconden todos bajo la mesa con las dos manos. Luego, se Documento de trabajo

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sacan, por ejemplo, cuatro en una mano. Finalmente se les pregunta por cuántos palitos hay bajo la mesa y por qué creen eso. Cuando este juego se haga muy fácil, entonces empiece ha hacerles algunas preguntas con la intención que se den cuenta de una “trampa” por ejemplo,

puede esconder uno o dos palitos entre sus piernas, podría preguntarles a los niños y niñas qué creen que ha pasado? Este tipo de “bromas” da ha los niños la oportunidad de consolidar su

razonamiento.

SIEMPRE DIEZ4: Organización del aula: Parejas de niños. Objetivo de la actividad: Desarrollo de las nociones aditivas como comparar y en relación con las nociones numéricas. Materiales. Diez piedritas, semillas o frijoles y dos platos o papeles por pareja de niños Actividad: Antes de plantearles el problema inicie con algunas actividades de exploración. Por ejemplo: • Pídales que libremente distribuyan las diez piedritas en dos platos (u hojas de papel). • Luego, pídales que expresen oralmente cómo las distribuyeron. • Deje que comparen sus respuestas. • Pregúnteles: ¿Todas sus respuestas son iguales? Por ejemplo, algunas de sus respuestas

podrían ser:

Continúe con las preguntas de exploración: ¿Podemos tener dos piedritas en un plato y siete en el otro? ¿Podemos tener la misma cantidad de piedritas en cada plato? Luego, plantéeles la siguiente situación y escríbala en la pizarra:

4

Actividad extraída del informe de resultados de la ECE 2010. Pág. 20. Plantee esta actividad solo si grupo ya posee los saberes previos para comprender la situación.


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Tengo diez piedritas y deseo colocarlas en dos platos. ¿Cómo las puedo colocar para que un plato tenga dos piedritas más que el otro?

Para comprender el problema: Pídales que escuchen la situación con mucha atención. Puede repetirla las veces que sean necesarias o dejar que la lean hasta que les quede clara. Luego pregúnteles: • ¿En qué consiste la situación? • ¿Cuántas piedritas tenemos? • ¿En cuántos platos debemos colocarlas? • ¿Qué debemos tomar en cuenta para repartir las piedritas?

Oriente la conversación para que los niños concluyan que se debe tener en cuenta tres condiciones: • Usar las diez piedritas • Distribuirlas en dos grupos • Que un grupo tenga dos más que el otro

Para diseñar o adaptar una estrategia: Pídales que vuelvan a poner sus piedritas tal como las pusieron al inicio. Pregúnteles si la distribución que hicieron antes cumplía las tres condiciones. Pídales que le expliquen cuál o cuáles son las condiciones que no se están cumpliendo, de darse el caso. Pregúnteles qué pueden hacer para que en un plato tengan dos piedritas más que en el otro. Conversen al respecto. Para aplicar la estrategia: Pídales que pongan en práctica lo conversado en la fase anterior. Permita que realicen diversos ensayos. Conforme vayan encontrando posibles respuestas, recuérdeles que deben comprobar si cumplen las condiciones dadas. Si luego de varios intentos, no lograran encontrar una respuesta correcta, sugiérales que inicien colocando la misma cantidad de piedritas en cada plato. Luego, recuérdeles que en un plato debe haber más piedritas que en el otro. Pregúnteles: ¿De dónde sacarían piedritas para aumentar a uno de los platos? ¿Cuántas piedritas sacarán? Luego de sacar piedritas de un plato para colocarlas en el otro, ¿cómo son las cantidades de piedritas en cada plato?, ¿iguales?, ¿diferentes?, ¿una mayor que la otra?, ¿por cuánto?, etc. Para reflexionar: Finalmente, haga que verifiquen si su nueva distribución cumple con las condiciones dadas. Pídales que comparen sus respuestas. Luego pregúnteles: ¿Cómo hicieron para encontrar sus respuestas? ¿Todas las respuestas son iguales? Luego plantee otras actividades: • Pídales que distribuyan las diez piedritas en los platos, de manera que se coloque la menor cantidad posible en uno de los platos. Espere respuestas como cero piedritas o una piedrita. Discutan sus argumentos.


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• ¿Se puede colocar las diez piedritas de tal manera que en un plato se tenga tres piedritas

más que en el otro? (Como el problema no ti ene solución, asegúrese de que el niño compruebe sus conclusiones y que las argumente). • ¿Es posible colocar las diez piedritas de tal manera que en ambos platos tengamos cantidades impares de piedritas? ¿Y cantidades pares en los dos platos? ¿Y una cantidad impar en un plato y otra par en el otro? (Esta última situación no es posible). Gradúe las preguntas de esta última fase de la resolución del problema tomando en cuenta los saberes previos de los niños y niñas con los que esta trabajando.

LA TIENDA DE JUGUETES5: Organización del aula: Grupos de cuatro niños. Objetivo de la actividad: Resolver problemas de varias etapas que aluden a la adición en sus significados de combinar, comparar e igualar y combinaciones de estos. Asimismo, analizar problemas de varias respuestas. Materiales. 10 billetes de papel de S/. 1 cada billete por grupo Actividad: Arme una tienda con productos y carteles con sus respectivos precios o coloque en la pizarra la siguiente situación: Observe la siguiente lista de precios: Lista de precios: Muñeca: Carrito: Trompo: Pelota:

S/. 5 S/. 2 S/. 1 S/ 3

Si tienes S/. 10, ¿qué juguetes podrás comprar?

Para comprender el problema: Pídales que lean el problema las veces que sean necesarias y luego pregúnteles: • ¿Cuánto cuesta una muñeca? • ¿Cuánto cuesta un trompo? • ¿Cuánto dinero tienen? • ¿Cuál es el juguete más caro? ¿Y el más barato? • ¿Qué juguetes cuestan menos de S/. 5? • ¿Qué juguetes pueden comprar con su dinero? 5

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Actividad adaptada del informe de resultados de la ECE 2010. Pág. 18. Plantee esta actividad solo si grupo ya posee los saberes previos para comprender la situación.


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• ¿Puedo comprar dos juguetes?, ¿cuáles y por qué? • ¿Qué nos pide el problema? • ¿Habrá una única respuesta al problema? ¿Por qué?

Para diseñar o adaptar una estrategia: Pregúnteles, a los niños: ¿Se puede comprar todos los juguetes?, ¿de qué depende? Oriéntelos a considerar que solo puede gastar S/. 10 como máximo. ¿Podrá comprar dos pelotas? ¿Se puede comprar algo más si compra las dos pelotas? Tenga en cuenta que se puede comprar más de un juguete del mismo tipo considerando el dinero disponible. ¿Es necesario gastar todo el dinero? Oriente a los niños para que concluyan que no es necesario gastar todo el dinero; la única condición es que el gasto sea menor que S/. 10. ¿Qué podemos hacer para resolver el problema? Algunos responderán que pueden jugar con los billetes y los precios, otros dirán que pueden hacer un gráfico o un dibujo, otros dirán que pueden juntar los precios y comparar con los S/. 10, otros dirán que pueden sumar y luego restar, etc. Si es necesario, pídales a los niños que hagan simulaciones con los productos y con sus billetes, para que así prueben qué juguetes pueden comprar con S/. 10. Para aplicar la estrategia: Algunos niños podrán realizar sus cálculos directamente sin realizar una simulación. Permítales que los hagan y monitoree constantemente su trabajo. Oriéntelos para que busquen diversas respuestas; sin embargo, si no encuentran todas las respuestas posibles, no insista, ya que esto se puede retomar en la fase de reflexión. Para reflexionar: Pídales sus respuestas. Pídales que verifiquen las respuestas y que expresen si son válidas. Pídales que busquen otras respuestas y que las verifiquen. Pregúnteles, ¿cuántos juguetes pueden comprar? Permita que los estudiantes se den cuenta de que la cantidad de juguetes que pueden comprar depende del precio de los juguetes. Luego pregúnteles: • ¿Cómo hicieron para encontrar sus respuestas? • ¿Por qué encontraron diferentes respuestas? • ¿Todos los problemas deben tener una sola respuesta?

Conversen acerca de que hay problemas que tienen una única respuesta, otros tienen varias respuestas (como este caso), y otros no tienen respuesta. Como actividad adicional, proponga: Si quieres regalar una muñeca a tu hermanita y un carrito a su hermanito, ¿qué juguetes puedes comprarte para ti?

Gradúe las preguntas de esta última fase de la resolución del problema tomando en cuenta los saberes previos de los niños y niñas con los que esta trabajando. Documento de trabajo

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Clasificación de los PROBLEMAS PAEV

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