Ejercicios de 2.2
Resolución Esta ecuación es separable porque podemos separar las variables multiplicando ambos lados por y dividir por .
(
)
( (
( (
) ) )
)
Resolución Esta ecuación no es separable porque producto ( ) ( )
(
) no se puede expresar como un
Resolución (
(
(
)
(
)
( ) ( )
)
Resolución (
)
( )
)
( ) ( )
( ( )
Resolución
( ) ( )
(
)
Resolución
(
)
( ( (
)
Resolución (
)
Integrando ∫
∫(
)
√ Donde
, es una ecuación separable.
)
)
)
Resolución
Integrando ∫
∫ ( ) ( ) √ (
( ) )
Resolución (
)
∫
(
∫( | | | | | | | |
Resolución
)
)
Integrando ∫
∫ ( )
| | | |
Resolución
(
)
(
)
∫ (
Resolución
Integrar
)
∫
∫ ∫
∫
∫ |
|
| | | |
[
]
√
Resolucion
Integrar ∫
| |
∫
(
(
)
Resolucion ( Integrar ∫
∫
)
|
|
|
|
)
(
)
Resolucion
Integranr ∫
∫
∫
(
) Resolucion
(
∫
)
∫
∫ | | |
[
√
(
)
|
(
)]
( )
Resolucion Primero nos encontramos con una solución general a la ecuación separar las variables y la integración. (
)
(
)
Integrar ∫
|
∫ |
|
(
| )
Para encontrar utilizamos la primera condición, y(0)=3. Por lo tanto, sustituimos de 3 para y, 0 para x en la ultima ecuación. [
] Por lo tanto , [ finalmente, utilizamos [ intervalo que contiene x=0 uno tiene ( )
]
( ) y asi |
] , en un ( ) .
( )|
La solución es:
+1
(
( )
)
√
Resolucion (
∫
)
∫
| ( )
√
√
| ( ( ) Resolucion
|
| |
)
|
Integrar ∫
| |
∫ | |
( )
Porque en el punto inicial
. Sustituimos ahora la condición inicial, ( ) ( )
Por lo tanto , la respuesta esta dado por:
( ) Resolucion (
)
(
)
Integrar )
∫(
)
∫(
( ) (
)
(
)
( )
Y se le da la solucio , de manera implícita, por
( )
√
Separamos las variables e Integramos: ( (
) )
( )
o explicito por: √
24)
( )
( )
(
)
(
)
2
dy dy 25) x8 3x 9 y 0 dx dx
Solución Sea:
dy p dy pdx dx
x8 p 2 3xp 9 y 0 Diferenciando 8 x 7 p 2 dx 2 x8 pdp 3 pdx 3xdp 9dy 0 8 x 7 p 2 dx 2 x8 pdp 3 pdx 3xdp 9 pdx 0 4 p 2 x 7 p 3 dx x 2 x 7 p 3 dp 0 4 p 2 x 7 p 3
dx x 2 x 7 p 3 0 dp
dx dx 2 x 7 p 3 4 p x 0 2 x7 p 3 0 4 p x0 dp dp
Si 4 p
dx dx dp 1 x 04 ln p ln cx 4 p 4 dp x p cx
Reemplazando p
1 en la ecuación x8 p 2 3xp 9 y 0 4 cx
2
1 3 1 1 Se tiene x 4 3x 4 9 y 0 2 3 9 y 0 x3 9c 2 x3 y 3c 0 c cx cx cx 8
Si k 3c k 2 9c 2 x 3 k 2 x 3 y k 0 x 3 1 k 2 y k 0
x3 1 k 2 y k 0 solución general
Si 2 x 7 p 3 0 p
3 Reemplazando este valor en la ecuación dada 2 x7
tenemos: 2
1 1 3 3 x 7 3x 7 9 y 0 6 y 0 y 6 4 x 6 y 1 4x 4x 2x 2x 8
4 x 6 y 1 solución singular 2
dy dy 26) x 2 y 4 x 0 dx dx
Solución
Sea:
dy p dy pdx dx
xp 2 2 yp 4 x 0 Diferenciando p 2 dx 2 xpdp 2 ydp 2 pdy 4dx 0 xp 2 4 x p 2 dx 2 xpdp 2 dp 2 p pdx 4dx 0 2p p 3 dx 2 xp 2 dp xp 2 4 x dp 2 p 3dx 4 pdx 0
dp x 4 p 2 dp p 4 p 2 dx 0 4 p 2 x p 4 p 2 0 dx dp 2 0 4 p 2 p x dp 0 4 p 0 p x dx dx
Si x
dp dp dx p ln p ln cx p cx dx p x
Reemplazando p cx en la ecuación xp 2 2 yp 4 x 0 Se tiene x cx 2 y cx 4 x 0 x 2 2
2y 4 0 c c2
2 4 k2 2 c c 2 2 x ky k 0 x 2 ky k 2 x 2 k y k
Si: k
x2 k y k solución general Si 4 p 2 0 p 2 Reemplazando este valor en la ecuación dada tenemos: Si p 2; x 2 2 y 2 4 x 0 x y x 0 y 2 x 2
Si p 2; x 2 2 y 2 4 x 0 x y x 0 y 2 x 2
y 2 x, y 2 x solución singular 2
dy dy 27) 3x 4 x y 0 dx dx
Solución Sea:
dy p dy pdx dx
3 x 4 p 2 xp y 0 Diferenciando 12 x 3 p 2 dx 6 x 4 pdp pdx xdp pdx 0 2 6 x 3 p 1 pdx 6 x 3 p 1 xdp 0
6x
3
dx dx p 1 2 p x 0 6 x3 p 1 0 2 p x0 dp dp
Si 2 p
dx dp dx k x 2 ln p ln cx 2 p 2 dp p x x
Reemplazando p
k en la ecuación 3 x 4 p 2 xp y 0 x2
Se tiene 2
k k k 3x 4 2 x 2 y 0 3k 2 y 0 3k 2 x k yx 0 xy k 3kx 1 x x x
xy k 3kx 1 solución general Si 6 x3 p 1 0 p
1 Reemplazando este valor en la ecuación dada 6 x3
tenemos: 2
1 1 1 1 1 3x 3 x 3 y 0 3 y 0 yx 2 0 12 x 2 y 1 2 2 12 6x 6x 36 x 6 x 4
12 x 2 y 1 solución singular 2
dy dy 28) x x y 1 y 0 dx dx
Solución Sea:
dy p dy pdx dx
xp2 x y p 1 y 0 Diferenciando p 2 dx 2 xpdp dx dy p x y dp dy 0 xp 2 xp 1 p 2 dx 2 xpdp dx pdx p x dp pdx 0 1 p xp 2 xp 1 2 xp x dp 0 1 p
2 xp x xp
2
1 dp 0 2 xp x xp 2 1 0 dp 0
Si dp 0 p K Reemplazando p K en la ecuación xp2 x y p 1 y 0 Se tiene xk 2 x y k 1 y 0
xk 2 x y k 1 y 0 solución general 1 1 2 1 Reemplazando este valor en Si x 2 p 1 p 2 1 p 1 p x x
la ecuación dada tenemos:
2
1 x 1 x y x 2x x 1 x x x x
1 1 1 y 0 x y y 1 y 0 x
2 x x y 02 x x y 2 x
2
x y 4x x y 2
2
4 x x y solución singular 2
3
dy dy 29) x6 3x 3 y 0 dx dx
Solución Sea:
dy p dy pdx dx
x 6 p 3 3xp 3 y 0 Diferenciando 6 x5 p 3dx 3x 6 p 2 dp 3 pdx 3xdp 3dy 0 6 x5 p 3dx 3x 6 p 2 dp 3 pdx 3xdp 3 pdx 0 2 p x5 p 2 1 dx x x 5 p 2 1 dp 0 2 p x 5 p 2 1
dx x x 5 p 2 1 0 dp
dx dx p 2 1 2 p x 0 x5 p 2 1 0 2 p x0 dp dp dx dp dx k Si 2 p x 0 2 ln p ln cx 2 p 2 dp p x x
x
5
Reemplazando p
k en la ecuación x 6 p 3 3xp 3 y 0 x2
3
k k k Se tiene x 2 3x 2 3 y 0 k 3 3 3 y 0 3xy k xk 2 3 x x x 6
3xy k xk 2 3 solución general
Si x5 p 2 1 0 x5 p 2 1 p
1 x5
Reemplazando este valor en la
ecuación dada tenemos: 3
1 1 3 y x15 6 15 x 3 x 3 y 0 2 x 3 y x 0 2 9 x3 y 2 4 5 6 5 x x x 6
9 x3 y 2 4 solución singular 3
dy dy 30) y x x dx dx 6
Solución
dy p dy pdx dx
Sea:
y x 6 p 3 xp Diferenciando dy 6 x 5 p 3dx 3x 6 p 2 dx pdx xdp pdx 6 x 5 p 3dx 3x 6 p 2 dp pdx xdp 2 p 3 x 5 p 2 1 dx x 3 x 5 p 2 1 dp 0 2 p 3 x 5 p 2 1
3x
5
dx x 3 x 5 p 2 1 0 dp
dx dx p 2 1 2 p x 0 3 x5 p 2 1 0 2 p x0 dp dp
Si 2 p
dx dp dx k x 0 2 ln p ln cx 2 p 2 dp p x x
Reemplazando p K en la ecuación y x 6 p 3 xp 3
k k k Se tiene y x 2 x 2 y k 3 xy xk 3 k xy k k 2 x 1 x x x 6
xy k k 2 x 1 solución general
Si 3 x5 p 2 1 0 3 x5 p 2 1 p
1 3 x5
Reemplazando este valor en la
ecuación dada tenemos: 3
15 1 1 1 1 6 6 yx x yx x 27 yx 2 x 6 3 x 6 5 5 15 5 3x 2 3x 2 27 x 2 3x 2 2
15 2 27 yx 2 x 27 yx 2 2 x 6 27 x15 y 2 4 x12 27 x 3 y 2 4 15 2
6
27 x3 y 2 4 solución singular 4
3
dy dy 31) x 2 y 12 x3 0 dx dx
Solución Sea:
dy p dy pdx dx
xp 4 2 yp 3 12 x 3 0 Diferenciando
p 4 dx 4 xp 3dp 2 p 3dy 6 yp 2 dp 36 x 2 dx 0 xp 4 12 x 3 2 2 p 4 dx 4 xp 3dp 2 p 3 pdx 6 p dp 36 x dx 0 3 2p
4 xp 4 dp p 5 dx 3 xp 4 12 x 3 dp 36 px 2 dx 0
p 36 x 2 p 4 dx x 36 x 2 p 4 dp 0 p 36 x 2 p 4
dx x 36 x 2 p 4 0 dp
dx dx p4 p x 36 x 2 p 4 0 p x0 dp dp dx dx dp Si p x ln p ln cx p cx dp x p
36 x
2
Reemplazando p cx en la ecuación xp 4 2 yp 3 12 x3 0 Se tiene x cx 2 y cx 12 x3 0 x2c4 2 yc3 12 0 2c3 y c 4 x 2 12 4
3
2c3 y c 4 x 2 12 solución general
Si 36 x 2 p 4 0 p 4 36 x 2 p 6 x Reemplazando este valor en la ecuaci x
6x
4
2y
24 x3 y
6x
242 x 6 63 x3 y 2 216 y 2 576 x3 3 y 2 8 x3
6x
3
3
12 x 3 0 x 6 x 2 y 2
6x
3
12 x 3 0
ón dada tenem
os:
3 y 2 8 x3 solución singular 3
2
dy dy 32) x y 1 0 dx dx
Solución Sea:
dy p dy pdx dx
xp3 yp 2 1 0 Diferenciando
p 3dx 3xp 2 dp p 2 dy 2 ypdp 0 xp 3 1 p 3dx 3xp 2 dp p 2 pdx 2 pdp 0 2 p xp 3 1 3 xp 2 dp 2 dp 0 p
2 xp dp 0 2 xp 3
3
0 dp 0
Si dp 0 p K Reemplazando p K en la ecuación xp3 yp 2 1 0 Se tiene xk 3 yk 2 1 0 xk 3 yk 2 1 0 solución general
Si 2 xp 3 0 xp 3 2 p
3
2 Reemplazando este valor en la ecuación x
dada tenemos: 3
2
2 2 x 3 y 3 1 0 x x
2
2 2 2 y 3 3 y 3 27 4 y 3 27 x 2 x x
4 y 3 27 x 2 solución singular
3.4 Mecánica Newtoniana 1. Un objeto de masa 5 kg se libera desde el reposo a 1000 m sobre el suelo y se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto, con constante de proporcionalidad b _ 50 N-s_m, determine la ecuación de movimiento del objeto. ¿Cuándo tocará el objeto al suelo? Solución Este problema es un caso particular del Ejemplo 1 en la página 110 del texto. Por lo tanto, podemos utilizar la fórmula general (6) en la página 111 con m = 5, b = 50, y v0 = v (0) = 0. Pero nosotros seguir la idea general de la Sección 3.4, encuentre una ecuación de la moción, y resolverlo. Con los datos dados, la fuerza debida a la gravedad es F1 = mg = 5g y la fuerza de resistencia del aire es F2 =-50V. Por lo tanto, la velocidad v (t) satisface
( ) La separación de las variables de rendimiento |
|
( )
Sustituyendo la condición inicial, V (0) = 0, obtenemos C = -g/10, y así ( )
(
)
. La integración de esta ecuación rendimientos ( )
∫ ( )
∫
(
)
(
)
y nos encontramos con C usando la condición inicial x (0) = 0: ( )
( ( )
(
)
(
) )
(
)
( )
Cuando el objeto llega al suelo, x (t) = 1,000 m. Por lo tanto resolvemos (0.981) t + (0,0981) e-10t - 0.0981 = 1.000, lo que da (t es negativo!) t ≈ 1,019.468 ≈ 1.019 sec.
2. Un objeto de 400 libras se libera desde el reposo a 500 pies sobre el suelo y se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza en libras debida a la resistencia del aire es _10y, donde y es la velocidad del objeto en pies/s, determine la ecuación de movimiento del objeto. ¿En qué momento tocará el objeto al suelo? Este problema es un caso particular del Ejemplo 1 del texto. Por lo tanto, podemos utilizar el fórmula general (6) con
b = 10, y v0 = v (0) = 0. Pero sigamos la idea general de la Sección 3.4, encontrará una ecuación del movimiento, y resolverlo. Con los datos dados, la fuerza debida a la gravedad es F1 = mg = 400 libras y la resistencia del aire fuerza es F2 =-10v lb Por lo tanto, la velocidad v (t) satisface ( ) La separación de las variables y la integración de los rendimientos |
|
( ) Sustituyendo la condición inicial, V (0) = 0, obtenemos C = -40, y así ( )
(
)
La integración de esta ecuación rendimientos ( )
∫ ( )
∫(
)
y nos encontramos con que C = -50 mediante el uso de la condición inicial, x (0) = 0. Por lo tanto, ( )
( )
Cuando el objeto llega al suelo, x (t) = 500 pies Por lo tanto resolvemos ( ) Como x (13) <500 y x (14)> 500 a (positivo) solución t ∈ [13, 14]. En este intervalo, e-0.8t es muy pequeña, así que simplemente lo ignoran y resolver 40t - 50 = 500
t = 13,75 (seg).
3. Si el objeto del problema 1 tiene una masa de 500 kg en vez de 5 kg, ¿cuándo tocará al suelo? [Sugerencia: En este caso, el término exponencial es demasiado grande como para ignorarlo. Use el método de newton para aproximar el instante t en que el objeto golpea el suelo (véase el apéndice A)]. Solución
Para este problema, m = 500 kg, v0 = 0, g = 9,81 m/s2, y b = 50 kg / seg. También vemos que el objeto tiene 1.000 m de caer antes de que toque el suelo. Al conectar estas variables en la ecuación (6) en la página 111 del texto da la ecuación ( ) ( )( ) ⁄ ( ) ( )( ⁄ ( ) Para saber cuándo el objeto tocará el suelo, resolvemos x (t) = 1.000 para t. Por lo tanto, nos tener 1000 = 98.1t + 981e-t/10 - 981 98.1t + 981e-t/10 = 1981.
En esta ecuación, si dejamos de lado el término 981e-t/10 nos encontraremos con que t≈20.2. Pero esto significa que hemos dejado de lado el término similar a 981e-2 ≈ 132.8 que lo que vemos es a grande para ignorarlo. Por lo tanto, debemos tratar de aproximar t. Vamos a utilizar el método de Newton de la ecuación f (t) = 98.1t + 981e-t/10 - 1981 = 0.
(Si podemos encontrar una raíz de esta ecuación, habremos encontrado el t queremos.) El método de Newton genera una secuencia de aproximaciones dada por la fórmula ( ) ( ) ⁄
Como ( ) convierte en recursiva
⁄
⁄
( ⁄
⁄
(
)
.
) La ecuación anterior se
(3.10)
Para iniciar el proceso, vamos a t0 = 1981/98.1 ≈ 20,19368, que era la aproximación obtuvimos cuando descuidamos el término exponencial. Entonces, por la ecuación (3.10) anterior tenemos
Para encontrar t2 enchufamos este valor para t1 en la ecuación (3.10). Esto da T2 ≈ 18.643753. Continuo este proceso, nos encontramos con que t3 ≈ 18.643749. Desde t2 y t3 están de acuerdo con cuatro decimales, un aproximación del tiempo que tarda el objeto para golpear el suelo es t ≈ 18.6437 sec. 4. Si el objeto del problema 2 se libera desde el reposo a 30 pies sobre el suelo en vez de 500 pies, ¿cuándo golpeará el suelo? [Sugerencia: Utilice el método de Newton para hallar t].
. Uso de la ecuación del movimiento del objeto encontrado en el problema 2, se resuelve la ecuación
Esta vez, la solución pertenece a [1, 2] y, por lo tanto, no podemos ignorar el exponencial plazo. Por lo tanto, se utiliza el método de Newton (véase el apéndice A en el texto) para aproximar la solución. Aplicamos la fórmula recursiva ( ) ( ) con ( )
( )
y una estimación inicial t1 = 1. Los cálculos de rendimiento = 1,
g (t1) ≈ -17.53355;
t2= 1.79601, g (t2) ≈ 3.72461;
(
)
t3 = 1,67386, g (t3) ≈ 0.05864; t4 = 1,67187, g (t4) ≈ 0,000017.
Por lo tanto, el objeto cayó al suelo después de aproximadamente 1,67 seg. 5. Un objeto de masa 5 kg recibe una velocidad inicial hacia abajo de 50 m/s y luego se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza en newtons debida a la resistencia del aire es _10y, donde y es la velocidad del objeto en m/s. Determine la ecuación de movimiento del objeto. Si el objeto está inicialmente a 500 m sobre el suelo, determine el momento en que el objeto golpeará el suelo. Se procede de manera similar a la solución del problema 1 para obtener F1 = 5 g, F2 =-10g
( ) La solución de este problema inicial el valor de rendimiento ( ) ( )
( )
( )
Ahora nos integramos v (t) para obtener la ecuación del movimiento del objeto: ( )
∫ ( )
∫(
)
Donde C es tal que x (0) = 0. Informática ( )
( )
( )
Respondemos a la primera pregunta de este problema, es decir, ( )
( )
.
Respondiendo a la segunda pregunta, se resuelve la ecuación x (t) = 500 para encontrar tiempo t cuando el objeto pasa de 500 m, por lo que golpea el suelo. 4.905t + 22,5475-22,5475 e-2t = 500
t ≈ 97.34 (segundos).
6. Un objeto de masa 8 kg recibe una velocidad inicial hacia arriba de 20 m/s y luego se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza en newtons debida a la resistencia del aire es _16y, donde y es la velocidad del objeto en m/s. Determine la ecuación de movimiento del objeto. Si el objeto está en un principio a 100 m sobre el suelo, determine el momento en que el objeto golpeará el suelo.
. Podemos utilizar el modelo presentado en el ejemplo 1 del texto con m = 8, b = 16, g = 9,81, y la velocidad inicial v0 = -20 (el signo negativo se debe a la dirección hacia arriba). la fórmula (6) se obtiene ( ) ( )(
)
( ( )(
(
) )(
⁄
)( ⁄
)
)
(
)
Dado que el objeto se libera 100 m por encima del suelo, se determina cuando el objeto golpea el suelo mediante el establecimiento de x (t) = 100 y resolviendo para t. Desde la raíz (positivo) pertenece al [20, 24] (porque x (20) <100 y x (24)> 100), se puede omitir el exponencial término en x (t) y resolver (
)
7. Una paracaidista cuya masa es de 75 kg se arroja de un helicóptero que vuela a 2000 m sobre el suelo y cae hacia éste bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad de la paracaidista, con la constante de proporcionalidad b1 _ 30 N-s/m cuando el paracaídas está cerrado y b2 _ 90 Ns/m cuando se abre. Si el paracaídas no se abre hasta que la velocidad de la paracaidista es de 20 m/s, ¿después de cuántos segundos llegará ella al suelo? Desde la fuerza de resistencia del aire tiene diferentes coeficientes de proporcionalidad para cerrado y para abierto chute, necesitamos dos ecuaciones diferenciales que describen el movimiento. Deje x1 (t), x1 (0) = 0, denotan la distancia que el paracaidista ha caído en t segundos, y dejar v1 (t) = dx / dt denota su velocidad. Con m = 75, b = b1 = 30 N-seg / m, y v0 = 0, el problema de valor inicial (4) en página 111 del texto se convierte en ( ) Esta es una ecuación lineal. Resolviendo los rendimientos (
⁄
)
⁄
( )
⁄
( ) ( ) ( )
∫
( )
⁄
( ⁄
(
)
)|
⁄
(
)
Para encontrar el tiempo t* cuando se abre el paracaídas, se resuelve ( )
⁄
(
(
)
)
( )
Por este tiempo el paracaidista ha caído ( )
⁄
(
)
⁄
(
)
( )
y por lo que ella es 2000 a 53,62 = 1.946,38 m por encima del suelo. Ajuste de la segunda ecuación, para conveniencia restablecer el tiempo t. Denotando por x2 (t) la distancia aprobado por el paracaidista de el momento en que se abre el conducto, y por v2 (t): = x? 2 (t) - su velocidad, tenemos ( )
(
)
( )
Resolviendo, obtenemos ⁄
( ) ( ) ( )
∫
( )
(
[ (
) )(
⁄
]|
⁄
)
Con el abierto chute, el paracaidista cae 1.946,38 m. Se necesita t* Segundo, donde t* satisface x2 (t*) = 1946,38. Resolviendo los rendimientos (
)(
⁄
)
(
)
Por lo tanto, el paracaidista golpeará el suelo después de t* + t*≈ 241,1 segundos. 8. Un paracaidista cuya masa es de 100 kg se arroja de un helicóptero que vuela a 3000 m sobre el suelo y cae bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista, con la constante de proporcionalidad b3 _ 20 N-s/m cuando el paracaídas está cerrado y b4 _ 100 N-s/m cuando se abre. Si el paracaídas no se abre hasta 30 segundos después de que el paracaidista sale del helicóptero, ¿después de cuántos segundos llegará él al suelo? Si el paracaídas no se abre hasta 1 minuto después de que el paracaidista sale del helicóptero, ¿después de cuántos segundos llegará él al suelo?
Dado que la fuerza de resistencia del aire tiene diferentes coeficientes de proporcionalidad por cerrado y para canaleta abierta, necesitamos dos ecuaciones diferenciales que describen el movimiento. Deje x1 (t), x1 (0) = 0, denotan la distancia que el paracaidista se ha reducido en t segundos con la tolva cerrados, y dejar v1 (t) = dx1 (t) / dt denotan su velocidad. Con m = 100, b = b1 = 20 N-s / m, y v0 = 0 el problema de valor inicial (4) del texto se convierte en ( ) Esta es una ecuación lineal. Resolver los rendimientos (
⁄
⁄
)
⁄
( )
( ) ( ) ( )
∫
⁄
(
( )
) ⁄
(
⁄
(
) ⁄
(
)|
)
Cuando el paracaidista abre el conducto T1 = 30 seg después de dejar el helicóptero, que es 3000 - x1 (30) ≈ 1,773.14 metros sobre el suelo y viajar a una velocidad v1 (30) ≈ 48.93 (m / seg). Ajuste de la segunda ecuación, por conveniencia restablecer el tiempo t. Denotando por x2 (t) la distanciarse aprobada por el paracaidista durante t segundos desde el momento en que se abre el paracaídas, y dejar que v2 (t) = dx2 (t) / dt, tenemos ( )
(
)
( )
Resolviendo, obtenemos ( ) ( ) ( ) ( )
∫
( )
(
)
|
Con el abierto chute, el paracaidista cae 1.773,14 m. Resolver x2 (t) = 1.773,14 t de rendimientos
9.81t - 39.12e-t + 39,12 = 1.773,14
t2 ≈ 176,76 (seg).
Por lo tanto, el paracaidista golpeará el suelo t1 + t2 = 30 + 176,76 = 206,76 segundos después cayendo desde el helicóptero. Repitiendo los cálculos anteriores con t1 = 60, obtenemos v1 (60) ≈ 49.05, X1 (60) = 2697,75, v2 (t) = 9,81 + 39.24e-t, x2 (t) = 9.81t - 39.24e-t + 39.24. Resolver x2 (t) = 3.000 hasta 2.697,75 = 302,25 t de rendimientos t2 ≈ 26.81 para que el paracaidista aterrizará después de t1 + t2 = 86.81 (segundos). 9. Un objeto con masa de 100 kg se lanza desde el reposo de una lancha hacia el agua y se deja hundir. Aunque la gravedad jala el objeto hacia abajo, una fuerza de flotación de 1_40 veces el peso del objeto lo empuja hacia arriba (peso _ mg). Si suponemos que la resistencia del agua ejerce sobre el objeto una fuerza proporcional a la velocidad del objeto, con constante de proporcionalidad 10 N-s/m, determine la ecuación de movimiento del objeto. ¿Después de Cuántos segundos ocurrirá que la velocidad del objeto es igual a 70 m/s? Este problema es similar a la del Ejemplo 1 en la página 110 del texto con la adición de una flotabilidad fuerza de magnitud (1/40) mg. Si dejamos que x (t) la distancia por debajo del agua en el momento t y v (t) de la velocidad, entonces la fuerza total que actúa sobre el objeto es: Se nos ha dado m = 100 kg, g = 9,81 m/s2, y b = 10 kg / seg. Aplicando Segunda de Newton Ley da (
)(
)
(
)
(
)
Resolviendo esta ecuación por separación de variables, tenemos v (t) = 95.65 + Ce-t/10. Dado que V (0) = 0, nos encontramos con C = -95,65 y, por lo tanto, v (t) = 95,65 - 95.65e-t/10. La integración de los rendimientos x (t) = 95.65t - 956.5e-t/10 + C1. Usando el hecho de que x (0) = 0, encontramos C1 = -956,5. Por lo tanto, la ecuación de movimiento de la objeto es x (t) = 95.65t - 956.5e-t/10 - 956.5. Para determinar cuando el objeto se desplaza a la velocidad de 70 m / seg, resolvemos v (t) = 70. Es decir, 70 = 95,65 - 95,65 = 95.65e-t/10 (1 - e-t/10 )
(
)
10. Un objeto con masa de 2 kg se lanza desde el reposo de una plataforma a 30 m sobre el agua y se deja caer bajo la influencia de la gravedad. Después de que el objeto golpea el agua, comienza a hundirse, con la gravedad jalándolo hacia abajo y una fuerza de flotación empujándolo hacia arriba. Suponga que la fuerza de gravedad es constante, que no hay cambios en el momento del objeto al golpear el agua, que la fuerza de flotación es 1_2 del peso (peso _ mg), y que la fuerza debida a la resistencia del aire o del agua es proporcional a la velocidad del objeto, con constante de proporcionalidad b1 _ 10 N-s/m en el aire y b2 _ 100 N-s/m en el agua. determine la ecuación de movimiento del objeto. ¿Cuál es la velocidad del objeto 1 minuto después de ser arrojado? El movimiento del objeto se rige por dos ecuaciones diferentes. La primera ecuación describe el movimiento en el aire, el segundo corresponde al movimiento en el agua. Para el movimiento en el aire, dejamos que x1 (t) la distancia del objeto a la plataforma y denotan por v1 (t) = x1 (t) su velocidad en el tiempo t. Aquí podemos utilizar el modelo descrito en el Ejemplo 1 del texto con m = 2, b = b1 = 10, V0 = v1 (0) = 0, y g = 9,81. Por lo tanto, utilizando las fórmulas (5) y (6), obtenemos ( )
( ( )
⁄
) (
( )(
) ⁄
)
(
)
Por lo tanto, la solución de x1 (t) = 1.962t - 0,392 (1 - e-5t )= 30, obtenemos t ≈ 15.5 segundos para el momento en que el objeto cayó al agua. La velocidad de la objeto en este momento era v1 (15,5) = 1,962 (1 - e-5 (15,5) )≈ 1.962. Ahora nos vamos al movimiento del objeto en el agua. Para mayor comodidad, reiniciamos el tiempo. Denotando por x2 (t) la distancia pasado por el objeto a partir de la superficie del agua y por v2 (t) - Su velocidad en (retroceso) el tiempo t, obtenemos condiciones iniciales v2 (0) = 1,962, x2 (0) = 0. Para este movimiento, además de la fuerza de gravedad Fg = mg y la fuerza de resistencia Fr =-100v, la fuerza de flotabilidad Fb = - se presenta (1/2) mg. Por lo tanto, el rendimiento de la segunda ley de NEWTON.
La solución de la primera ecuación y usando la condición de rendimientos iniciales v2 (t) = 0.098 + Ce-50t, v2 (0) = 0,098 + C = 1,962
C = 1,864
v2 (t) = 0,098 + 1.864e-50t ( )
∫
( )
( )
Combinando las fórmulas obtenidas para el movimiento del objeto en el aire y en el agua y teniendo en cuenta el cambio de hora realizada, se obtiene la siguiente fórmula para el distancia del objeto a la plataforma ( ),
( (
) (
)
)
1 min después de que el objeto fue puesto en libertad, que viajó en el agua durante 60 a 15,5 = 44,5 seg. Por lo tanto, tenía la velocidad v2 (44.5) ≈ 0.098 (m / seg).
12. Un proyectil con masa de 2 kg se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 200 m/s. La magnitud de la fuerza sobre el proyectil debida a la resistencia del aire es y20. ¿En qué momento alcanzará el proyectil su máxima altura sobre el suelo? ¿Cuál es esa máxima altura? Se denota por x (t) la distancia de la cáscara al suelo en el momento t, y dejamos que v (t) = x (t) ser su velocidad. La elección de la dirección positiva hacia arriba, tenemos las condiciones iniciales x (0) = 0, V (0) = 200. Hay dos fuerzas que actúan sobre la cáscara: la fuerza de la gravedad Fg = mg (con el negativo firmar debido a la dirección positiva hacia arriba) y la fuerza de resistencia del aire Fr = -v/20 (con el signo negativo debido a la resistencia del aire actúa en oposición a la moción). Por lo tanto, obtener una ecuación
Resolviendo esta rendimientos de ecuaciones lineales v (t) =-40g + Ce-t/40 = -392,4 + Ce-t/40 Teniendo en cuenta la condición inicial, encontramos C. 200 = V (0) = -392,4 + C
C = 592,4
v (t) = -392,4 + 592.4e-t/40
En el punto de máxima altura, v (t) = 0. Solución
(
v (t) = -392,4 + 592.4e-t/40 = 0
)
llegamos a la conclusión de que la
concha alcanza su altura máxima de 16.476 segundos después de la inyección. Desde ( )
( )
∫
⁄
(
)
Sustituyendo t = 16,476, encontramos que la altura máxima de la concha es: x (16.476) ≈ 1534.81 (m).
13. Resolución
(
) (
)
:
∫
[
(
)
]
[
(
)
]
∫
( )*
√
(
)
(
√
)( (
√
( )(
) )
)
√
( )(
)
(
√
(
√
(
( )(
) )
( )
) )
+
(
(
)
( )(
)
(
) )
(
( )
)
( )(
(
) )
14. Resolución
( ) [ (
) )
)
( )
(
( )] ( )
)
(
)
(
( )
(
)
)
(
)
)
) )
∈(
( ) √
15.
( )
)
Resolución
El total de la teorema ejercida en el volante es la suma de la motor y el retardo debido a la friccion Con la segunda ley de Newton tenemos: ( )
( )
( ) ( ) ( )
(
(
)
)
16. Resolución
( )
√
( )
√ ∫
√
(
)
(
|
(√
( )
|)
|√
√
∫
∫
[∫
(√
|√
( )|
√
|
|)
]
(√
|
)
√
√
|
√
17. En el problema 16, sean I _ 50 kg-m2 y el momento de retraso igual a 5 N-m. Si el motor se apaga con la velocidad angular en 225 radianes/segundo, determine el tiempo que tardará en detenerse por completo el volante. Este problema es un caso particular del Ejemplo 1 en la página 110 del texto. Por lo tanto, podemos utilizar la fórmula general (6) en la página 111 con m = 5, b = 50, y v0 = v (0) = 0. Pero nosotros seguir la idea general de la Sección 3.4, encuentre una ecuación de la moción, y resolverlo. F2 =-50v ( ) |
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Sustituyendo: v(0)=0 tendremos C=-g/10 y ( ) ( ) Integrando ( ) ∫ ( ) ) ( ∫ (( ( )
( ( )
( (
) )
(
(
) ) )
(
)
( )
)
18. Cuando un objeto se desliza en una superficie, encuentra una fuerza de resistencia llamada fricción. Esta fuerza tiene magnitud mN, donde m es el coeficiente de fricción cinética y N es la magnitud de la fuerza normal aplicada por la superficie al objeto. Suponga que un objeto de masa 30 kg se libera desde la parte superior de un plano inclinado 30° con la horizontal (véase la figura 3.11). Suponga que la fuerza gravitacional es constante, que la resistencia del aire es despreciable y que el coeficiente de fricción cinética es m _ 0.2. Determine la ecuación de movimiento para el objeto conforme se desliza en el plano. Si la superficie superior del plano tiene una longitud de 5 m, ¿cuál es la velocidad del objeto al llegar al fondo? del objeto. ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en llegar a la parte inferior del plano inclinado si la rampa mide 10 m de largo?
√
( )
∫
(
√ )
(
√ )
|
(
√ )
( )
(
√ )
( √ (
)
√ )
19. Un objeto con masa de 60 kg parte del reposo en la parte superior de un plano inclinado a 45°. Suponga que el coeficiente de fricción cinética es 0.05 (véase el problema 18). Si la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto, digamos, 3y, determine la ecuación de movimiento del objeto. ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en llegar a la parte inferior del plano inclinado si la rampa mide 10 m de largo?
20. Un objeto en reposo en un plano inclinado no se deslizará hasta que la componente de la fuerza ravitacional hacia abajo de la rampa sea suficiente para superar la fuerza debida a la fricción estática. La fricción estática queda descrita mediante una ley experimental similar al caso de la fricción cinética (problema 18); tiene una magnitud de a lo más mN, donde m es el coeficiente de fricción estática y N es, de nuevo, la magnitud de la fuerza normal ejercida por la superficie sobre el objeto. Si el plano está inclinado un ángulo , determine el valor crítico 0 tal que el objeto se deslizará si 0 pero no se moverá para 0.
