1. PROBLEMAS VISUALES. Llamamos así aquellos problemas en los que la información se da más a través de la imagen que del texto. Entre ellos distinguiremos: a. Las secuencias temporales, con las cuales empiezan estos problemas para los más pequeños, y pueden continuar después. b. Las secuencias lógicas que consisten en descubrir relaciones lógicas entre dos, tres o más imágenes que representan situaciones reales, y expresarlas verbalmente. c. Los de responder a preguntas formuladas oralmente ante una o más imágenes que los niños y niñas tienen presente ante su mirada. Evidentemente esta forma de realización se refiere no sólo a problemas numéricos sino de todo tipo. Los problemas visuales son muy adecuados para los pequeños que aún no saben leer, pero conviene realizarlos también con los mayores; en este caso pueden añadírseles preguntas escritas, pero no un enunciado escrito, ya que la característica es partir de una información dada por la imagen.
2. SITUACIONES A PARTIR DE LA VIDA COTIDIANA O CONTEXTUALIZADAS
Son Son las las situa situacio cione nes s impr imprevi evisib sibles les,, del día día a día, día, que que hay hay que que aprov aprovech echar. ar. Toda Toda situación tiene elementos matemáticos. mate máticos. Sólo falta formular algún interrogant acompañar acompañar la reflexión de los alumnos, para que se convierta convierta en el más auténtico de los problemas. Desde luego, para ellos no hay reglas ni ejemplos posibles, siendo cada maestro o maestra quien debe discernir, sobre la marcha, los criterios a aplicar, absolutamente improgramables, y por tanto más interesantes que nunca. Aunque se trata de otro caso, cas o, podemos incluir aquí los problemas probl emas lla “contextualizados", que tienen como punto de partida un contexto muy cercano a los niños y niñas, es decir que aunque no sea hoy presente, estuvo presente en sus vidas algu alguna nas s vece veces, s, y por por tant tanto o será será fáci fácilm lmen ente te evoc evocad ado o y comp compre rend ndid ido. o. Tant Tanto o unos unos problemas como otros, destacan por su alto grado de motivación, y sobre todo por establecer un auténtico puente entre las matemáticas y la vida. 3.
PROBLEMAS DE LÓGICA.
Como su nombre indica, son aquellos que se resuelven únicamente por razonamiento lógico. lógico. Pueden tratar de elemento elementos s numérico numéricos s o geométr geométricos icos o simpleme simplemente nte de las cualidades de las cosas o de hechos de la vida corriente, pero la solución se refiere no directamente a estos es tos elementos sino a la l a lógica de algún tipo de rel encadenamiento entre ellos. De ahí que su objetivo sea la capacitación de los alumnos en razonamiento lógico.
Deberían practicarse a menudo, de manera casi sistemática y desde luego en todas las edades, desde Infantil hasta la ESO. Generalmente la solución es única, es decir, no suelen ser del tipo que hemos llamado "abiertos" (n° 5).
4. ENIGMAS y PROBLEMAS DE INGENIO Son situaciones planteadas con materiales, imágenes o texto, que de entrada parecen absurdas o increíbles, pero que cuando se miran desde un nuevo punto de vista, distinto del de costumbre o del que parecería natural, o bien cuando descubrimos "un truco", la solución se nos hace patente y sencilla. Podemos decir que se llega a la solución no precisamente por la vía de la lógica clásica, sino por la de la imaginación, la iniciativa e incluso la picardía. Dicho de otro modo, se diferencian de los problemas de lógica no tanto por el contenido como por la forma: en aquellos se trata de hallar la solución por caminos "lógicamente esperados y previsibles", mientras que en los presentes se trata de hallarla por "caminos inesperados e imprevisibles".
Por esto no los hemos incluido entre los del apartado anterior, a pesar de que comparten con ellos muchas características. Su objetivo prioritario es pues, el de desarrollar las capacidad de agilidad mental y de ingenio, muy interesantes de potenciar, ya que favorecen en los niños y niñas una mentalidad más amplia y abierta, y al mismo tiempo eficaz.
5. PROBLEMAS ABIERTOS. Son aquellos que admiten más de una solución. Los alumnos buscan "su" solución individualmente, y después son invitados a exponerla ante sus compañeros y a saber justificarla. Son los problemas más genuinos y más interesantes en la perspectiva de la nueva concepción de lo que es un problema, tal como la hemos presentado en el planteamiento general previo. El hecho de que el problema sea abierto repercute inmediatamente en que los alumnos se den cuenta de que no se trata de "aplicar" algo que se supone que todos "saben", sino de pensar a partir de la situación actual algo personal de cada uno, y esto es la esencia de todo verdadero problema. Hasta tal punto llega esta percepción de los niños y niñas, que muchas veces espontáneamente ellos los han titulado "problemas de pensar". Al final, se establece un diálogo entre todos, que ayuda a ir clarificando todas las verdades, y que contribuye a educar en el trabajo cooperativo. En este diálogo, el
maestro, y toda la clase deben admitir todas las soluciones que son lógicamente, y rechazar sólo aquellas que no lo son (que por otro lado suelen ser poquísimas). Ello fomenta el respeto por las soluciones y estrategias de los demás, y nos hace constatar que todos aprendemos de todos. Ideas para ayudar a la realización de problemas de este tipo: •
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Tener en cuenta que ante todo un problema ha de ser realmente abierto en la mente y en la actitud personal del maestro o maestra, la cual nunca escapa a los alumnos La característica del problema ha de quedar bien clara en el ánimo de los alumnos antes de empezar. Tienen derecho a saber lo que realmente esperamos de ellos y ellas. El hecho de que un problema aparezca como "abierto" depende en gran parte de nuestra manera de formular la pregunta, más como una invitación, una demanda de opinión, una posibilidad entre otras... Por ello, fácilmente podemos convertir un problema clásico de aplicación en un problema "de pensar" solamente cambiando la pregunta. Sería provechoso que nosotros hiciésemos el ejercicio de entrenarnos a ello.
Al mismo tiempo, conviene subrayar el hecho de que todos los problemas deberían ser abiertos en lo que se refiere a los medios de resolución, que cada alumno puede elegir con toda libertad (ver n° 6, más abajo)
6. DE RESOLUCIÓN POR TANTEO, CON MATERIALES, CON DIBUJO ESQUEMAS La resolución por tanteo es adecuada siempre, pero especialmente cuando la dificultad se presenta mayor. (No olvidemos que Celestin Freinet la llamaba "la auténtica manera de aprender"). A menudo el tanteo, o simplemente una resolución no inmediatamente visible, necesitan la ayuda de objetos, instrumentos o representaciones. Los alumnos deberían tener la libertad de acudir a ellos siempre que quieran, decidiendo cada vez si necesitan material, dibujo, calculadora, instrumentos de medida o geométricos, etc Cuando han representado algo por escrito (dibujo o esquemas...) conviene que se habitúen a pasar, gradualmente, a representaciones ya un poco simbólicas, creando ellos mismos sus propios símbolos, hasta llegar al lenguaje numérico, y más tarde al algebraico. Ideas para ayudar a la realización de problemas de este tipo:
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Pedir una representación gráfica de la situación con dibujo.
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Lo mismo con esquemas inventados por ellos y con esquemas ya conocidos.
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Dados 2 casos distintos, y 2 propuestas sobre la forma concreta de realización, decidir cuál es la que nos parece más adecuada para cada caso. Algunas veces, en problemas de cálculo, después de haber realizado operaciones con material, mentalmente o con calculadora, invitar a pasarlas al papel, escribiéndolas en lenguaje numérico (con números y signos). Dado un esquema gráfico, pedir la redacción de un enunciado
7. PROBLEMAS DE CREACIÓN O INVENCIÓN PROPIA. Se trata de que los niños y niñas inventen problemas a partir de algunos datos o condiciones que nosotros les indicamos, y finalmente por propia iniciativa.
La práctica de estos problemas desde luego fomenta la creatividad, pero al mismo tiempo favorece mucho el hábito de poner atención en el texto de todos los problemas, y consiguientemente la buena comprensión de los mismos. Requieren una ci experiencia previa en resolver situaciones abiertas. Ideas para ayudar a la realización de problemas de este tipo: •
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Para los más pequeños podemos presentar la situación y condiciones de partida, tan sólo con un dibujo. Para los demás podemos dar la información con dibujo, tabla, esquemas, o incluso con alguna operación numérica, y a partir de ahí pedir la redacción de un enunciado. Cuando tienen cierta costumbre, los mismos alumnos se divierten inventando problemas. Desde luego, es muy importante el grado de acogida que les dedica el maestro o maestra.
8. PROBLEMAS DE CÁLCULO: En ellos intervienen directamente cantidades y para resolverlos generalmente se precisan operaciones o relaciones numéricas. Son quizás los más corrientes, pero insistimos en que ni nosotros ni los alumnos los identifiquemos con la totalidad, es decir con la palabra "problema". Además es
esencial tener en cuenta que el aspecto numérico siempre debe estar supeditado al aspecto lógico, que es el prioritario. Hay muchos tipos de problemas numéricos, entre los que destacamos: a. De intercambios y equivalencias: (permutas, balanzas...) Trabajan la equivalencia, que es una noción fundamental en números y en operaciones. b. De cálculo mental: En ellos los alumnos necesitan resolver alguna operación sin material, ni calculadora, ni lápiz y papel. La base ha de ser la imaginación de las cantidades, y no la memoria de los números escritos. c. De hallar números a partir de pistas: Se trata de hallar números que cumplan unas consignas dadas, lo cual les da un carácter lúdico y un parecido con los enigmas y problemas de lógica. A veces no son fáciles, ya que hay que tener en cuenta todas las pistas a la vez, y distinguir por cuál de ellas conviene empezar. d. Adivinanzas numéricas. Consisten en hacer combinaciones y cálculos con números, respetando unas normas o consignas dadas. Tienen un carácter lúdico. e. Otros problemas de cálculo en general: Son los de siempre. Recordemos que modificando el enunciado a menudo pueden convertirse en problemas abiertos, sin detrimento de los cálculos a efectuar. f. Problemas de estimación: Son problemas que proponen anticipar una posible solución, a vista, antes de decidir el camino a seguir. La estimación es una habilidad a practicar siempre, pero en estos problemas la proponemos no como medio sino como objetivo. Requieren tener cierta experiencia en el tema que forma la trama del problema. g. Juegos y actividades con calculadora: Son tan diversos y numerosos que merecen un tratado a parte. Ideas para ayudar a la realización de problemas de este tipo: (han sido ya citadas a lo largo de este apartado).
9. PROBLEMAS DE TRABAJO SOBRE EL TEXTO. Son los que inciden en las dificultades de comprensión del texto o enunciado. Enseñan a fijar la atención en la información, lo cual va más allá de la pura comprensión lectora. Dichas dificultades pueden venir de distintas causas, y atendiendo a ellas tendremos problemas de las siguientes características: a. Con un lenguaje difícil de interpretar. (Por el vocabulario, el orden o la complejidad de las frases, las cantidades escritas con palabras, etc...) b. Para propiciar el análisis del enunciado: En ellos no se pide una solución, sino únicamente responder algunas preguntas, cambiar el texto, completarlo, etc. Los alumnos empiezan teniendo que aceptar esta limitación, que les parece banal, y acaben reconociendo que son útiles porque les hacen pensar.
c. De enunciado en forma de tabla: Conviene dar la información no siempre igual, sino también en otras formas distintas al clásico texto (listas, horarios, gráficos, etc.) d. Problemas con "trampa”: Aquellos en que se presenta la situación en un enunciado que puede resultar equívoco, o que se formula a partir de un punto de vista inusual. Fácilmente llevan a error, pero es interesante descubrir ese error en la comprobación, siempre necesaria, y esto es la que hace avanzar en la lógica. Al mismo tiempo estos problemas tienen muchas veces un carácter lúdico. Ideas para ayudar a la realización de problemas de este tipo: •
Reformular la pregunta
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Inventar una pregunta para un enunciado dado
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Dadas distintas preguntas, seleccionar la válida
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Ordenar dos o tres preguntas sucesivas
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Descubrir la información que falta
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Completar un enunciado en el que faltan datos
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Redactar un enunciado a partir de frases desordenadas
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Reducir un enunciado en el que sobran elementos o formas
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Entre muchas informaciones, seleccionar las que son útiles
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Interpretar una tabla de información (de la Tele, un horario )
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Analizar atentamente un enunciado difícil (fuera de lo común)
10. JUEGOS Y PROBLEMAS DE POSICIÓN EN EL ESPACIO Y GEOMETRÍA EN GENERAL Son situaciones problemáticas que se refieren a la posición en el espacio, al orden, a las formas de figuras y cuerpos y a la descomposición de los mismos, a itinerarios, a cambios de posición o de forma, o sea transformaciones geométricas, y en general a todo tipo de nociones propias de la geometría. Como todos los problemas, consisten en plantear a los alumnos situaciones con algún interrogante que son un reto. En el caso de la geometría, este interrogante es muy fácilmente percibido como juego.
Tienen como objetivos específicos: favorecer la construcción y dominio esquema mental del espacio, relacionándolo con las nociones geométric anteriormente aprendidas, conocer mejor nuestro entorno inmediato y fomentar el gusto por el orden y la belleza en las cosas de la vida diaria. Más que ningún tipo de problemas
deben trabajarse con materiales manipulables, y tan sólo algunas veces, pasar a dibujarlos en el papel, o expresar por escrito las respuestas. Entre ellos podemos destacar: a. Los de itinerarios v dramatización de cuentos para los más pequeños b. Juegos de patio y de itinerarios para los medianos y mayores. c. Juego de posición. de puzzles o construcciones. d. Actividades sobre giros. simetrías y otras transformaciones geométricas.
Ideas para ayudar a la realización de problemas de este tipo: •
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Conviene que las situaciones se refieran a un espacio conocido, la propia casa, la escuela, el pueblo. Es bueno que se deje a los alumnos usar el material que ellos decidan para representar la situación y para facilitar el hallazgo de soluciones. Alguna vez, pero no siempre, pueden plantearse y resolverse con lápiz y papel. .En los que tienen carácter de juego los niños y niñas han de sentirse suficientemente atraídos por el deseo de ganar, como es natural. Pero en todos han de estar seguros de que valoraremos todas las opciones que ellos hayan pensado (que naturalmente no son la que nosotros habíamos previsto).
11 .PROBLEMAS DE COMPRENSIÓN DE LA ESTRUCTURA El núcleo de cada juego o problema es lo que constituye su estructura lógica y determina el tipo de acciones y operaciones a realizar. Los niños han de llegar a topar con esta estructura para intentar resolver el interrogante que les supone. Podríamos definirla como el total de los aspectos siguientes: •
Secuencia ordenada de los hechos.
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Leyes de causa-efecto
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Relaciones de subordinación de unas partes de la situación respecto a otras
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La capacidad de practicar la "forma inversa" en la resolución.
Reuniendo todos estos aspectos, proponemos los siguientes tipos de problemas (conscientes de que probablemente olvidamos algunos): a. De descubrir que la solución es imposible
b. De reconocer datos que faltan o que sobran c. De relacionar posibles enunciados con preguntas
d. De trabajar la secuencia correcta de las partes e. De relación lógica entre una situación y posibles operaciones f. De planteamiento inverso
Ideas para ayudar a la realización de problemas de este tipo: •
Antes de empezar expresar verbalmente los pasos a realizar
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Dados tres enunciados y tres preguntas, relacionarlos entre sí.
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Ver si el problema consta de diversas partes. Explicar cuáles son.
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Ordenar correctamente un enunciado desordenado.
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Practicar a menudo un mismo problema en forma directa e inversa.
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Modificar el enunciado para que cumpla unas nuevas condiciones puestas ( por ejemplo, no tener solución... ) Cuando hay dos preguntas, distinguir si son independientes o no. Si una condiciona la otra, reconocer cual es y explicar por qué. Conseguir que, los mayores, lleguen a expresar verbalmente los pasos a realizar sin nombrar las posiciones o cantidades concretas, sino sólo en términos generales. (ejemplo: multiplicaré el número de quilos" por el precio de cada quilo) En algunos casos, atinar en la conveniencia de empezar por el final. Sólo para los mayores, evocar una estrategia conocida que puede convenir en el caso presente.
12. PROBLEMAS ESPECÍFICOS PARA APRENDER ESTRATEGIAS. Sólo son adecuados para los alumnos de 30 ciclo y de ESO, ya que requiere ya un cierto grado de generalización para reconocer características comunes. El objetivo es tomar conciencia de que hay algunas estrategias de resolución que pueden ser útiles en problemas que se presentan como muy distintos, pero cuya resolución tiene una estructura semejante; cuando se ha descubierto esto, es probable que interese tratar y aprender algunas de estas estrategias, para poder aplicarlas luego en distintos, dejando siempre la puerta abierta a que sin duda habrá muchas más, es decir que no podemos ni debemos catalogar las todas.
Algunas de ellas, a parte de las nombradas en el punto 13, son las siguientes: a. De empezar la resolución por lo Que en el texto es el final. b. De comparar con otros problemas semejantes y anteriormente resueltos.
Ideas para ayudar a la realización de problemas de este tipo: •
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Primero realizar algunos problemas diciendo explícitamente a los alumnos que se trata de que aprendan algunas estrategias "tipo" que luego podrán aplicar en otros casos semejantes. Luego, lo más interesante será que los mismos alumnos descubran otras estrategias
13. PROBLEMEAS DE INVESTIGACIÓN. Para los alumnos del tercer ciclo, son importantes aquellos en que se propone la solución y comparación de dos o más situaciones parecidas, hasta llegar a descubrir y formular alguna ley general (proceso de generalización). Ello constituye una importante preparación para el álgebra del futuro.
M. Antonia Canals -Abril del 2007.
