Clasificación de los Modelos Matemáticos Lineales – No Lineales La linealidad o no linealidad de un sistema está determinada por la naturaleza lineal o no lineal de la ecuación diferencial que lo modela. Una ecuación diferencial lineal es aquella que consiste en una suma de términos lineales, o sea, términos de primer grado en las variables dependientes y en sus derivadas. Ejemplo: dy (t ) 3 + y ( t ) + √ y ( t )=u ( t ) dt d2 y dy 3 + 2 + y=√ u ( t ) dt dt
describe un sistema no lineal
describe un sistema lineal.
En realidad la mayor parte de los sistemas son No Lineales, sin embargo en muchas situaciones pueden describirse por modelos lineales que dan buena información del comportamiento dinámico del sistema. Estático - Dinámico Un modelo matemático estático determina una respuesta para una serie especial de condiciones fijas que probablemente no cambiarán significativamente a corto plazo. La variable tiempo no desempeña un papel relevante. En un modelo dinámico, por el contrario, alguno/s de los elementos que intervienen en la modelización no permanecen invariables, sino que se consideran como funciones del tiempo, describiendo trayectorias temporales. El análisis de un modelo dinámico tiene por objeto el estudio de la trayectoria temporal específica de alguno/s de sus elementos. En los modelos matemáticos dinámicos:
Las variables dependen de las señales aplicadas anteriormente (evolución con el tiempo).
Son descritos por ecuaciones diferenciales o en diferencias.
Se estudia transitorios , predicción, sistemas de control.
En los modelos matemáticos dinámicos:
Existe una relación directa entre las variables: no evolucionan con el tiempo (sin memoria).
Son descritos por ecuaciones algebraicas.
La salida, los parámetros y la entrada del sistema son escalares.
Se estudia la optimización, dimensionamiento, diseño de unidades, cálculo de balances.
De parámetros Concentrados – Parámetros Distribuidos Las magnitudes que caracterizan a los fenómenos físicos toman valores en el tiempo y en el espacio. Se tiene un modelo a parámetros concentrados cuando se reemplaza la dependencia espacial de las variables por su promedio en la región del espacio donde están definidas. Son descritos por un número finito de variables. Estos modelos suelen estar caracterizados por la utilización de ecuaciones diferenciales ordinarias. Ejemplo:
d2 x dx +2 −x =sin ( 2.t) 2 dt dt
Si un modelo matemático conserva la dependencia espaciotiempo en la representación matemática de dichas magnitudes, el modelo se dice de parámetros distribuidos. En este modelo los sucesos están dispersos en el espacio de variables y suelen estar caracterizados por la utilización de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Ejemplo:
∂x ∂x +2 =0 ∂t ∂y
Variante - Invariante en el Tiempo.
Una ecuación diferencial es variable en el tiempo, si alguno de los coeficientes que multiplican a la variable dependiente o a sus derivadas es función del tiempo. Ejemplo: La ecuación: tiempo.
t
d2 x + 3 x=2u( t) dt
es variable en el
Una ecuación diferencial es invariante en el tiempo si todos los coeficientes que multiplican a la variable dependiente o a sus derivadas son constantes. Ejemplo: La ecuación: en el tiempo.
d2 x dx + 4 + x=2 u ( t ) . t 2 +t dt dt
es invariante
Determinístico – Estocástico El modelo matemático determinístico es una clase de modelo matemático cuya función principal es el hacer predicciones de manera correcta, exacta y definida de las cantidades, ya sea dentro de la distribución de probabilidades, como de alternativas; a esta clase de modelos matemáticos se les conoce con el nombre de modelos matemáticos aplicados a los problemas en los que solo existe un estado de la naturaleza, además de que las variables, limitaciones y alternativas se encuentran dispuestas a aceptar las suposiciones, los datos conocidos, los datos definibles, los datos finitos y los predecibles. Es importante recalcar que el modelo matemático determinístico es un modelo en el cual las entradas son capaces de producir de manera invariable las mismas salidas, sin contemplar la existencia del azar ni el principio de incertidumbre. Además este modelo se encuentra relacionado con el origen de entornos simulados por medio de simuladores para poder estudiar las situaciones hipotéticas, así también como para crear sistemas de gestión que disminuyan la incertidumbre. Este modelo se representa con ecuaciones algebraicas o ecuaciones en diferencias. Los modelos estocásticos pueden ser definido como los modelos cuantitativos en los que existe más de un estado de la naturaleza y donde cada estado debe encontrarse estimado o definido para calcular los resultados condicionales de las alternativas de decisión en cada estado.
Un modelo matemático estocástico es una abstracción matemática de un proceso empírico cuyo desarrollo está gobernado por leyes probabilísticas. El proceso empírico se estudia como un modelo probabilístico que evoluciona en el tiempo y genera secuencias de valores numéricos. En este modelo por lo menos una variable del mismo es tomada como un dato al azar y las relaciones entre variables se toman por medio de funciones probabilísticas. Sirven, por lo general, para realizar grandes series de muestreos y son muy utilizados en investigaciones científicas. Algunos de estos modelos se estudian mediante cadenas de Markov. Continuo – Discreto Los modelos continuos son aquellos en los que las variables de estado cambian de forma continua con el paso del tiempo, es decir, dependen de una variable continua (tiempo). Ejemplo: la temperatura de una habitación a lo largo del día. Los modelos discretos son aquellos en los que las variables de estado cambian instantáneamente en instantes separados de tiempo. Ejemplo: una estación de peaje en una autopista. Causal - No Causal Un modelo causal es aquel cuya salida no se adelanta a la entrada. Esto implica que la salida en un instante de tiempo dependerá de la entrada aplicada en ese instante (el sistema se representa con una ecuación algebraica) o en instantes anteriores (el sistema se representa con una ecuación en diferencias). Se puede considerar, por ejemplo, un sistema amplificador modelado por la ecuación siguiente: y ( t n ) =Ax ( t n) También es posible considerar un sistema que ocasiona un retardo en la señal y que es modelado por la ecuación siguiente: y ( t n ) =x ( t n−t 0 )
Un modelo es no causal si su salida se adelanta a la aplicación de cualquier entrada. Se puede considerar, por ejemplo, un sistema que ocasiona una salida adelantada a su entrada y que es modelado por la ecuación siguiente: y ( t n ) =x ( t n +t 0 ) Los sistemas no causales suelen empleados para predecir una salida, es decir, extrapolar valores de salida a partir de una secuencia salidas ya generadas. Así entonces, el sistema de comunicación envía la diferencia entre la salida real y la salida predecida. Tal diferencia resulta en el envío de una menor cantidad de bits.
