7) Circunferencia

Fatela Preuniversitarios

Matemática: Guía ° 7 : "Circunferencia" y "Otros Elementos de Geometría Analítica" Una circunferencia es el conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Por Pitágoras, se cumple: Centro C (0;0)

y y

x2 + y2 = R 2

P (x;y) R

y

x

x

Ecuación de una circunferencia de radio "R" centrada en el origen

Los puntos del plano P(x;y) que satisfagan esta ecuación pertenecen a la circunferencia. Si:

x2 + y2 < R 2 ⇒ P(x;y) es punto interior a la circunferencia

Si:

x2 + y2 > R 2 ⇒ P(x;y) es punto exterior a la circunferencia

Si la circunferencia no está centrada en el origen, la ecuación es: Tomamos un sistema de y referencia auxiliar x'y': y' Centro Por Pitágoras: C (h;k) P (x';y') ≡ (x;y) y' (x')2 + (y')2 = R 2 R y' x' Como: x' y x' = x − h k x h x Forma Canónica de la Circunferencia

y' = y − k Reemplazando:

(x − h)2 + (y − k)2 = R 2 Matemática - Circunferencia, - 1 -9


Como vemos, la forma canónica de la ecuación de la circunferencia tiene tres parámetros: las coordenadas del centro "h", "k" y el radio "R". Por ejemplo: y

(x − 3)2 + (y − 1)2 = 22

4 3

h

2

R=2

1

x

0

1

2

3

4

k

R

Las coordenadas del centro "h" y "k" aparecen con el signo cambiado en la forma canónica.

5

En este caso el centro se halla en C (3;1) y el radio es R = 2. Para practicar:

Dadas las siguientes ecuaciones en la forma canónica, obtener las coordenadas del centro "h" y "k", el radio "R" y graficar. (Verificar con el Simulador “Circunferencia”) “Circunferencia”)

a) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9

b)

2

C (h; k) = (2;−1) R = 3

+x (y − 3)2 = 1

C (h; k) = (0; 3)

c) (x + 4)2 + (y − 2)2 = 16

R=1

C (h; k) = (−4; 2) R = 4

Existe además la forma general de la ecuación de la circunferencia, a la que puede llegarse operando sobre la forma canónica: Dada la forma canónica

(x − 3)2 + (y − 1)2 = 22

Desarrollamos x + 2 x (−3) + (−3) + y + 2 y (− 1) + (− 1) = 4 los cuadrados de los binomios 2 2 2

x

2

−6

x+9+y

2

2

−2 y + 1 = 4

x2 + y2 − 6 x −2 y + 9 + 1 − 4 = 0

Reagrupamos Matemática - Circunferencia, - 2 -9


x2 + y2 − 6 x −2 y + 6 = 0

Forma general de la ecuación de la circunferencia dada.

En forma genérica, la ecuación general de d e la circunferencia es:

x2 + y2 + D x + Ε y + F = 0

Forma general de la ecuación de la circunferencia.

Esta forma también tiene tres parámetros: "D", "E" y "F", pero estos valores no son fácilmente relacionables con los parámetros "geométricos" de la circunferencia: las coordenadas del centro "h" y "k" y el radio "R". " R". Ahora veremos la relación matemática que existe entre estos dos juegos de parámetros: 2 2 2 La forma canónica es, genéricamente: (x − h) + (y − k) = R

x2 + 2 x (−h) + (−h)2 + y2 + 2 y (− k) + (− k) 2 = R 2 Desarrollamos x

2

−2hx+h

2

+y

2

2

− 2 k y + k

2

= R

x2 + y2 − 2 h x − 2 k y + h2 + k 2 − R 2 = 0 x2 + y2 + D x + Ε y + F = 0 De donde:

D=−2h E = − 2 k F = h2 + k 2 − R 2

los cuadrados de los binomios

Reagrupamos Forma general

Fórmulas que permiten el pasaje desde la forma canónica a la general de una circunferencia. Canónica

General

Se recomienda que el alumno no memorice estas fórmulas, sino que proceda a desarrollar los cuadrados de los binomios, como en el ejemplo antes mencionado para lograr el pasaje desde la forma canónica a la general de la circunferencia.

Matemática - Circunferencia, - 3 -9


Dadas las siguientes ecuaciones en la forma canónica, obtener la forma general. (Verificar con el Simulador “Circunferencia”) “Circunferencia”)

Para practicar:

a) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9 b) 2 +x (y − 3)2 = 1 c) (x + 4)2 + (y − 2)2 = 16

x2 + y2 − 4 x + 2 y − 4 = 0 x2 + y2 − 6 y + 8 = 0 x2 + y2 + 8 x − 4 y + 4 = 0

Si se dispone de la forma general de una circunferencia y se desea pasarla a la forma canónica, pueden obtenerse las siguientes relaciones útiles: D = − 2 h D =h ⇒

D h=−

−2

2

2

=

−2

= k ⇒

k = −

2

2

2

2

R = h + k − F

E = − 2 k E

2

F = h + k − R

h 2 + k 2 − F

Para aplicar esta última fórmula, se obtendrían primero "h" y "k" y luego se calcularía el radio "R":

2

O el radio "R" podría obtenerse de: 2

h 2 + k 2 − F ⇒

=

R =

R =

D

2

4

2

+

E

4

D2 + E 2 − 4F

2



2

− F ⇒

R =

2

 D   E  R =  −  +  −  − F 

2

2

D + E − 4F

4

General

Canónica

2

Tampoco es conveniente que el alumno memorice estas fórmulas, pues suele ser más útil llegar a la forma canónica partiendo desde la general, completando cuadrados: Matemática - Circunferencia, - 4 -9


Completar Cuadrados Completar cuadrados es una técnica muy útil en Matemática. 1) Tenemos un término cuadrático y un término lineal en "x" (de grado 1). Éste último término lo descomponemos como el producto de + 2 por "x" por el factor que haga falta para reconstruir el término lineal original. 2) Se le suma y se le resta el cuadrado de este factor agregado en 1), de modo de no alterar la expresión original. 3) Se reemplaza el Trinomio Cuadrado Perfecto que ha aparecido, por el Cuadrado del Binomio correspondiente. x2 − 6 x

Si tengo la expresión:

x2 + 2.(− 3) x

Es igual a:

x2 + 2.(− 3) x + (−3)2 − (−3)2

Sumando y restando (−3)2

(x− 3) 2 − 9

Resultando:

Completar cuadrados hace que la "x" aparezca una sola vez en la expresión, lo que a veces es útil porque permitiría despejarla. despejarla. Si se maneja maneja bien esta técnica puede pasarse fácilmente la ecuación de una circunferencia desde la forma general a la canónica: x2 + y2 − 6 x − 2 y + 6 = 0

Forma General

x2 − 6 x + y 2 − 2 y + 6 = 0

Reagrupamos

x2 + 2.(− 3) x + 9

(x− 3) Completamos Cuadrados

2

− 9 + y + 2 (−1) y + 1 − 1 + 6 = 0 2

2

− 9 + (y − 1) − 1 + 6 = 0

Completamos Cuadrados

(x− 3) 2 + (y − 1)2 = 9 + 1 − 6 (x− 3) 2 + (y − 1)2 = 4

Forma Canónica



Dadas las siguientes ecuaciones en la forma general, obtener la forma canónica completando cuadrados. (Verificar con el Simulador “Circunferencia”) “Circunferencia”)

Para practicar:

a) x2 + y2 − 4 x + 2 y − 4 = 0 b) x2 + y2 − 6 y + 8 = 0 c) x2 + y2 + 8 x − 4 y + 4 = 0

(x − 2)2 + (y + 1)2 = 9 x2 + (y − 3)2 = 1 (x + 4)2 + (y − 2)2 = 16

OTROS ELEMETOS DE GEOMETRÍA AALÍTICA Distancia entre dos puntos: y

Por Pitágoras: 2

P2

Y 2 d

Y 2 − Y 1

P1

Y 1

X 2 − X 1

0

X 1

2

2

d = (X 2 − X 1 ) + (Y 2 − Y 1 )

d=

( X 2 − X1 )

2

+ (Y2 − Y1 )

2

Distancia entre dos puntos P1(X1;Y1) y P2(X2;Y2)

x X 2

Punto Medio de un Segmento: y

 

P2

Y 2

P M = 

2

0

+ X 2 Y1 + Y2 

2

;

2

 

PM

Y1 + Y 2

Y 1

1

P1 x X 1

X 1 + X 2

X 2

Las coordenadas del Punto Medio de un segmento P1 P 2 son los promedios matemáticos de las abscisas y las ordenadas de los extremos del segmento P1 y P2

2 Matemática - Circunferencia, - 6 -9


Más sobre Circunferencia y Círculo: y 4

Punto Exterior: El punto “P” es exterior al círculo, dado que:

P

d (CP) > R

3 2 1

C

d (CQ) < R R S

Para practicar:

Punto Interior: El punto “Q” es interior al círculo, dado que:

Q x

Punto Frontera: El punto “S” es frontera del círculo, dado que: d (CS) = R

(Verificar con el Simulador “Circunferencia”) “Circunferencia”)

1) Obtener la forma general de la ecuación de la circunferencia, si se sabe que el segmento AB es un segmento diametral, con A(−5;−3) y B(1,5). Graficar. x2 + y2 + 4 x − 2 y − 20 = 0 2) Determinar si el punto P(−2;3) es interior, exterior o frontera de la círculo limitado limitado por la circunferencia: circunferencia: x2 + y2 − 6 x + 4 y − 3 = 0 (Exterior)



Trabajo Práctico º 7 “Circunferencia y Otros Elementos de Geometría Analítica” 7.1) Dadas las siguientes ecuaciones de circunferencia en forma canónica, hallar las coordenadas del Centro Centro (h ; k) y el radio R, graficar y obtener obtener la forma general desarrollando los cuadrados de los binomios. a) (x + 2)2 + (y − 4)2 = 9 b) x2 + (y + 3)2 = 16 c) (x − 5)2 + (y + 2)2 = 4 d) (x + 3)2 + y2 = 1 e) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 16 7.2) Dadas las siguientes ecuaciones de circunf erencia erencia en forma general, obtener la forma canónica completando cuadrados, hallar las coordenadas del Centro (h ; k) y el radio radio R; y graficar. graficar. a) x2 + b) x2 + c) x2 + d) x2 + e) x2 +

y2 − 4 x − 14 y + 44 = 0 y2 − 8 x = 0 y2 − 14 x + 4 y + 17 = 0 y2 + 6 x + 2 y − 15 = 0 y2 + 8 x − 6 y +16 = 0

7.3) Obtener la forma general de la ecuación de la circunferencia, si se sabe que el segmento AB es un segmento diametral y graficar. a) A (1;1) y B (7,5). b) A (−3;−4) y B (−1,2). c) A (2;−1) y B (6,−3). 7.4) Determinar si el punto “P” es interior, exterior o frontera del círculo limitado por la circunferencia dada. a) P (−1;−2) ; x2 + y2 + 4 x + 10 y − 7 = 0 b) P (4;3) ; x2 + y2 − 4 x − 6 y + 9 = 0 c) P (3;3) ; x2 + y2 − 8 y + 12 = 0



Resultados del Trabajo Práctico º 7 “Circunferencia y Otros Elementos de Geometría Analítica” 7.1) a) C(−2;4) ; R = 3 b) C(0;−3) ; R = 4 c) C(5;−2) ; R = 2 d) C(−3;0) ; R = 1 e) C(−2;−3) ; R = 4

; ; ; ; ;

x2 + y2 + 4 x − 8 y + 11 = 0 x2 + y2 + 6 y − 7 = 0 x2 + y2 − 10 x + 4 y + 25 = 0 x2 + y2 + 6x + 8 = 0 x2 + y2 + 4 x + 6 y − 3 = 0

7.2) a) (x − 2)2 + (y − 7)2 = 9 b) (x − 4)2 + y2 = 16 c) (x − 7)2 + (y + 2)2 = 36 d) (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 e) (x + 4)2 + (y − 3)2 = 9

; C (2;7) ; R = 3 ; C (4;0) ; R = 4 ; C (7;−2) ; R = 6 ; C (−3;−1) ; R = 5 ; C (−4;3) ; R = 3

7.3) a) x2 + y2 − 8 x − 6 y + 12 = 0 b) x2 + y2 + 4 x + 2 y − 5 = 0 c) x2 + y2 − 8 x + 4 y + 15 = 0 7.4) a) Interior b) Frontera c) Exterior


7) Circunferencia

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