CIRCUNFERENCIA: Teoría y problemas resueltos

CIRCUNFERENCIA TEORÍA PROPIEDADES – PROBLE PROBLEMAS MAS RESUEL RESUE LTOS

CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico CIRCUNFERENCIA. de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA Flecha o sagita

Q 

Recta secante

Cuerda PQ

P



Radio A

B



Centro Diámetro ( AB )

T 

Punto de tangencia

Arco BQ

Recta tangente

PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01.-R 01.Radio trazado al punto de tangencia es perrpe pe pend ndic icul ulaar a la re reccta tan ange gent nte. e.

R

L

02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (di divi vide de en do doss se segm gmen ento toss co cong ngru ruen ente tess). P

Q

R

PQ

PM

MQ

03.-Cuerdas 03.Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas. A

B





C

D

Si : AB  //  CD

mAC

mBD

04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A

C

Cuerdas congruentes Arcos congruentes

B

Si : AB

Las cuerdas equidistan del centro

CD

mAB

D

mCD

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.

r

d = Cero ; d : distancia

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.

R

r Distancia entre los centros (d)

d>R+r

03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. Punto de tangencia

R Distancia entre los centros (d)

d = R + r

r

04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. tangenci a. Punto de tangencia

r R d

d=R-r

d: Distancia entre los centros

05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones.

Distancia entre los centros (d)

( R  –  r ) < d < ( R + r )

06.- CIRCUNFERENC CIRCUNFERENCIAS IAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección.

Distancia entre los centros (d)

d2 = R2 + r2

06.- CIRCUNFEREN CIRCUNFERENCIAS CIAS INTERIORES.INTERIORES. - No tienen puntos comunes.

d

d
d: Distancia entre los centros

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmen seg mentos tos con congrue gruentes ntes..

A R

P R

B

AP = PB

2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes

A B R

r r

R

D C AB = CD

3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.

A D

R

r r

R

B C AB = CD

TEOREMA TEORE MA DE PO PONC NCEL ELE ET.- En to tod do tr triiángulo re recctá tán ngulo lo,, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inra rad dio io.. Inradio b a

Circunradio

r

R

a + b = c + 2r

c

R

a + b = 2(R+r)

TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opue op uest stos os so son n ig igua uale les. s.

b

Cuadrilátero circunscrito

c a

d

a + c = b + d

1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.

A r

C r

B

= mAB

2.- ME MED DID IDA A DEL ÁNGU GULO LO IN INT TER ERIO IOR. R.-- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos D A

C B mAB

mCD 2

3.- MEDIDA DEL ÁNGULO ÁNGULO INSCRITO.INSCRITO .- Es la mitad de la medida del arco opuesto.

A

B C mAB 2

4.- MEDIDA DEL ÁNGULO ÁNGULO SEMI-INSRITO.SEMI -INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto.

A C

B mAB 2

1.- ME MEDI DIDA DA DE DEL L ÁN ÁNGU GULO LO EX EX-I -INS NSCR CRIT ITO. O.-- Es igual a la mitad de la medid idaa del arco ABC.

A

B

C

mABC 2

6.-Á 6.ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos: a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

A

mACB

- mAB 2

C

O

B

+ mAB = 180°

b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semi mid dif ifeere ren ncia de la med edid idaa de lo loss arc rco os opuesto tos. s.

B C O D A mAB

- mCD 2

c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos arc os op opue uesto stos. s.

B O C A mAB

- mBC 2

Problema Nº 01 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la med me dida del ángulo PSQ. RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS PSQ = x mQRS m

Se traza la cuerda SQ

2

Q 70º+x

PQS PQS

2X

50°

P m

Reemplazando: PQS

140 º 2 x

70 º

2

En el triángulo PQS:

X S

R 140°

X + (X+70) + 50°= 180° Resolviendo la ecuación:

X = 30°

x

Problema Nº 02 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si m HRS=20º; calcule la m QPR. RESOLUCIÓN En el triángulo tri ángulo rectángulo RHS RHS PSQ = x m S = 70º Por ángulo ángulo inscrito inscri to

Q 70 º

mQR 2

S

70°

140° 20°

R

X

P

mQR = 140°

Es propiedad, que:

140°+ X = 180°

Resolviendo:

X = 40°

Problema Nº 03 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º. RESOLUCIÓN Medida del ángulo interior

APD = x A

130

mBC

mBC = 50°

90

2

B 130°

50° D

C

Medida del ángulo exterior

x

P

X

130 130

50 2

Resolviendo:

X = 40°

Problema Nº 04 En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m APN. RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: APN = x N 54° A

o

x

M x B

Dato: OM(radio) = PM Luego triángulo PMO es isósceles Ángulo central igual al arco

x

P Medida del ángulo exterior X

54

X 2

Resolviendo:

X = 18°

Problema Nº 05 En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la m PRQ. RESOLUCIÓN Por la la propiedad del ángulo exterior exteri or B

formado por dos tangentes:

PRQ = x

70°+ mPQ = 180°

70° 110° P

Medida del ángulo ángulo inscrito: inscr ito:

Q

X

R

110 110 2

x

A

mPQ = 110°

C

Resolviendo:

X = 55°

Problema Nº 06 Calcule la medida del ángulo “X”.

A

70°

X

B

P

Resolución

RESOLUCIÓN

C

A

70°

140º

X

P

B Medida del ángulo ángulo inscrito: inscri to:

70 º

mAB 2

mAB=140º

Por la la propiedad del ángulo exterior exter ior formado por dos tangentes:

140º + x = 180º

Resolviendo:

X = 40º

Problema Nº 07 Calcular la medida del ángulo “x”

A

130º

B

X

Resolución

P

A

260º

130º

RESOLUCIÓN

X

C

P

B

Medida del ángulo inscrito:

130 º

mAB

mAB = 260º

2

En la circunferencia: 260º + mACB = 360º

mACB = 100º

Por la propiedad del ángulo ángulo exterior ext erior mACB + x = 100º formado por dos tangentes:

X = 80º

Problema Nº 08 Calcule el perímetro perí metro del triángulo t riángulo ABC. ABC.

B

2

A 5

5

C Resolución

RESOLUCIÓN B

a A

2

b

5

5

Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) a + b = 14 Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 Reemplazando (1) en (2)

(2p) = 14 + 10

C

(1) (2)

(2p) = 24

Problema Nº 09 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia

se trazan trazan la tangente PQ y la secante secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco arco QR mide 80º, 80º, calcular m QPR . PLANTEAMIENTO Q a

80º

X

P

R S a

Resolución

RESOLUCIÓN Q a

80º R

S

X

P

En la circunferencia: 2a + 80º = 360º a = 140º

a

Medida del ángulo exterior: a

80º

1 4 0º

X 2

2

8 0º

X = 30º

Problema Nº 10 En un cuadrilátero ABCD m Q = m S = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longit itu u d d e PR Q PLANTEAMIENTO 3 R

P 2

Resolución S

Q

RESOLUCIÓN Dato:

a

b

3

a + b + c + d = 22cm

R

P 2

Teorema de Poncelet: PQR  a + b = PR+2(3) + PSR  c + d = PR+2(2) a +b + c + d = 2PR + 10 22 = 2PR + 10

c

d S

PR = 6cm