PROBLEMAS RESUELTOS
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
1.
Un automóvil posee una velocidad velocidad de 72 Km/h , y avanza contra una pared tal como se indica indica en la figura.. ¿Después de cuántos segundos se encontrará a 40 m de dicha pared?. Solución v
d
t
t
v 160 m
t B 40 m 200 m
A
C
2.
8 s
20 m s
v
72 Km H
20 m s
Dos ómnibus que viajan en sentidos contrarios y hacia el encuentro, lo hacen con velocidades de 11 Km/h y 33 Km/h . Cuando están separados 88 Km , del más lento sale volando un pájaro hacia el otro ómnibus a una velocidad de 88 Km/h respecto a tierra, cuando llega al otro tren , el pájaro emprende el retorno , y así hasta que éstos se encuentran. ¿Qué espacio recorrió dicho pájaro durante todo este tiempo?. Solución 88 Km
v P
T
v1
11 Km
v2
h
33 Km
h
h
e
v P . t T
A
d
88 Km
B
Donde .- t = tiempo “común” que el pájaro estuvo volando, el que a su vez coincide con el tiempo que emplearán los ómnibus en encontrarse. d t ... Tiempo de encuentro de los ómnibus (1) y (2). v1 v 2 t e
88 Km 11 Km
33 Km
h 88 Km x 2 h h
t 2 h
e 176 Km
h
3.
Un bañista se encuentra sobre la playa, percatándose que mar adentro se produjo una explosión . Reconoce que la diferencia de los tiempos de llegada de los sonidos por el agua y el aire es de 11 s. ¿A qué distancia del bañista se produjo la explosión, sabiendo que las velocidades del sonido en el aire y en el agua son de 340 m/s y 1440 m/s respectivamente?. Solución
Dato del problema: t SA
v SA
t SM
x vSA
d
A
4.
88 Km
x vSN
11
x
vSM
11 s
11 s x = 4896 m
1 1 340 1440
B
Un móvil que se desplaza con movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado recorre 35 m en t segundos de su movimiento, y en los siguientes t segundos 25 m .Si todo el movimiento dura 4t segundos , ¿qué espacio recorrió en los últimos t segundos antes de detenerse?. Solución t
t
t
t
a
5 (7)
35 m
5 (5)
25 5 (3)
15 5 (1)
5
x
5
m
Analizando los valores numéricos de los espacios recorridos, éstos deberán satisfacer la proporcionalidad de los números de Galileo , y en este caso, por tratarse de dos intervalos iguales “t” consecutivos, dichos valores numéricos serán dos números impares consecutivos.
5.
Un automóvil parte del reposo acelerando uniformemente entre el 8o y 9o 25.5 m. Calcular su aceleración, en m/s2.
segundo recorriendo
Solución v8
a
d
v9
v8 .t
v92
v82
¿?
25.5
a
v
9
v8
m
.t 2
;
2.a.d
;
2
v9
8.a
17.a 4
0 a. . n
a
2 2
2.a.d
;
v8
v9
2 8.a
289 256 4
.a2
8.a
17.a 2 2.a.d
33 2 x4
6.
a
;
d
a
8 33
(25.5)
a = 6.18 m/s2
Un ómnibus ve por la carretera a razón de 16 m/s. Un hombre se encuentra a 60 m de la carretera, y en cierto instante a 400 m del ómnibus . ¿En qué dirección indicada por debe recorrer el hombre a razón de 4 m/s para llegar a encontrarse justamente con el ómnibus , o antes que éste pase frente a él?. Solución
v
16t
16 m / s
E t
B
E
B
4t
60
400
60 m v H
400 m
CE Sen
AE
A
Sen
A
16 t Sen
4 t
Sen
Sen
60
= 4 Sen 1
3
37º 5 400 El hombre llega a la carretera siempre antes que el ómnibus : 37º <
Sen
7.
Sen
= 4 (60/400) = 3/5
< 143º
Un tren demora 8 s en pasar frente a un alumno , y luego recorre integramente un túnel de 160 m de longitud en 48 s con velocidad constante . ¿Cuál es la longitud del tren?. Solución
d L
160 m
d L Long . del Tren d L 160 d L (48) 8
8.
v (8)
160 + dL = v ( 48 )
dL = 32 m
Un automóvil se acerca hacia una tapia a una velocidad constante de 10 m/s. Si en un determinado instante el chofer del automóvil hace sonar la bocina, y al cabo de 10 s escucha el eco, calcular a qué distancia se encontraba el móvil cuando el chofer hizo sonar la bocina. Considerar que la velocidad del sonido es 340 m/s. Solución
Eco
v A
A
10
m s
t 10 s
d
B x
d S
x
( x
d )
2 x
d
d S
vS .t ( 340 m ) (10 s ) s
dS = 2 x – d
…
(1)
dS = 3400 m
...
(2)
...
(3) (4)
De (1) y (2) : 2 x d
3400
d
v A .t (10 m ) (10 s ) s
d = 100 m
De (4) en (3) : 2 x 3400
,
d
2x = 3400 + 100
x = 3500/2 = 1750 m.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
9.
Un ciclista hace un recorrido de ida a razón de 20 Km/h ; pero de regreso, por el tránsito, lo hace a razón de 5 Km/h. Si en los dos casos es el mismo tramo recorrido, calcular la velocidad media en todo el trayecto de ida y vuelta. Solución
v1
20 Km
v2
5 Km
h
h
d 1 t 1
vm
d 2 t 2
2d d d v1 v2
2 1 v1
1 v2
B
A
vm
2 . v1 . v 2
2 . 20 . 5
v1
5 20
v2
8 Km
h
10. Un móvil recorre los lados de un triángulo equilátero, si el primer tramo lo hace a 10 m/s, el segundo a 20 m/s, y el tercero a 30 m/s. Calcular la velocidad media del movimiento. Solución
30 m / s
vm L
L
1
3 1
1
v1
v2
v3
1
3 1
1
30
20
10
16.3 m s
20 m / s
10 m / s
11.
El gráfico representa el movimiento en una línea recta. Hallar el desplazamiento, y el espacio recorrido por el móvil entre t = 0s y t = 10 s. Solución
v(m/s)
A1
4 x5 2
10 m
5
A3 10 O
-5
4
8
t(s)
2 x5 2
5m
;
A2
4 x5 20 m
Desplazamiento (o módulo del desplazamiento) : d T
A2
A3 ; dT = 10 + 20 - 5
dT = 25 m Espacio recorrido : eT = 10 + 20 + 5 = 35 m
12.
A1
¿Cuál es la aceleración para cada segmento de cada gráfica siguientes?. Describa el movimiento del objeto durante el intervalo total del tiempo. Solución
v (m/s)
8 0
a A
4 m s 2
3 1
8.0 6.0
8 ( 12)
a B
3 8
4.0
t (s) 0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0 6 .0
7.0
8.0
9.0 10.0 11.0 12.0
a B
4 m s 2
-4.0 -6.0
4 ( 12)
a C
-8.0
aC
9 8 8 m s 2
a D
0
-10.0 -12.0
Tiempo
13.
Se muestra el gráfico x – t de un automóvil que se desplaza en línea recta. Hallar la velocidad instantánea para t = 3. Solución
4 40 8
2.v o
a
10
vo
2a
v f 14.
vo
a
vo (1)
2
v o (4)
a 2
(4 2 )
;
8
2.v o
a
(1)
;
10
.vo
2.a
(2)
vo = 2 m/s
a . t
(12 )
;
y
vf = 2 + 4 (3)
a = 4 m/s2
vf = 14 m/s
Se muestra el gráfico x – t de una partícula que se mueve en línea recta. Hallar la velocidad para t = 8s. Solución
x 2 v
(t 6) 2 dx
1
dt
2
64
;
(64 (t 6) 2 )
Ec. de la Circunferencia 1/ 2
[64 (t 6) 2 ]
v
1/ 2
(t 6)
Para t = 8 s : [64 (8 6) 2 ]
v
15.
1/ 2
(8 6)
2
v
15
m / s
En el gráfico “v – t“, hallar la posición del móvil para t – 10, si para t = 2 su posición era x 0 = 5. El
móvil se desplaza en el eje x. Solución
x
16.
;
v. (2)
A1
v . (4)
A2
v.
xT
A1
5=v/2
5
;
. (4) 10 m 2 5 . (2) 5 m 2
4 2
A2
A3
v = 5/2
y
;
2 x5
A3
xT = 10 + 5 - 5;
2.
5m
xT = 10 m
Se muestra el gráfico “v – t” de un móvil que se desplaza en el eje x. Hallar su aceleración media
durante los 10 primeros segundos. Solución
a
15 0 2 8
v f
a
17.
v f vo t
5 m 2 2 s
vo
5 2 10
a.t
;
v f
15
vf = - 5 m/s
a = - 0.7 m/s2
5 2
. (8)
Dados los gráficos x – t de dos automóviles A y B determinar a que distancia del origen de coordenadas se encuentran. Solución
40 0
m A 5
m B 15
x ( 60) t 0
0 8 40 x
5 m s
;
0 t 0 ( 60) 4 0
x + 5.t = 40
15 m s
;
15. t = x + 60
…
De (A) y (B) se deduce : x
5t
15t x
40 60
… (A)
20.t = 100 15 (5) – x = 60
t=5s
x = 15 m
(B)
18.
Un automóvil de la figura se desplaza a razón de 108 Km/h y hacia un precipicio. El conductor aplica los frenos a partir del punto A de tal modo que experimenta un movimiento retardatriz con aceleración “a” , ¿cuál debe ser el mínimo valor de “a” para que el automóvil no caiga por el
precipicio?. Solución v
vf = 0
v f 2
vo2
02
302
19.
108 Km
v f
0 ; el auto se detiene.
h
2.a.(100) 4.5 m 2 s
a
d 100 m
v0
2.a.d
30 m s
Dos automóviles se acercan el uno hacia el otro a 40 m/s y 30 m/s respectivamente. Cuando se encuentran separados 280 m , los dos conductores se dan cuenta de la situación y aplican los frenos llegando al reposo al mismo tiempo precisamente antes de chocar. Si la desaceleración es constante para los dos automóviles , hallar la distancia recorrida por cada uno durante la frenada?. Solución v1
t : Tiempo común 0 v f 2 0
v f 1
d 1
d 2 d
Automóvil (1)
20.
280 m
:
Automóvil (2) d = d1 + d2
v2
d 1
:
2
v f 1 2
v2
d 2
, d v1 .t v2 .t 2
v1
v f 2 2
,
t
.t
.t
2 .d v1
v2
v1 .t 2 v2 .t 2
30 m x 8 s s 2
120 m
40 m x 8 s s 2 t
160 m
2 . (280 ) m 30
40
m s
8 s
Un automóvil viaja a razón de 72 Km/h. De pronto el conductor ve delante de él la luz roja de un semáforo, y aplica los frenos, retardando uniformemente su movimiento a razón de 5 m/s 2 , deteniéndose justo al lado del semáforo. ¿A qué distancia del semáforo se encontraba el automóvil cuando se encendió la luz roja?. Nota .- El tiempo de reacción media para un conductor es 7/10 s. Solución
v f b v
0
b
v0
a
A
d 1
,
t
7 10
B
s
C
d 2
x
Datos :
v = 72 Km/h = 20 m/s Se enciende la luz roja cuando el auto se encuentra a una distancia x. La luz roja viaja casi inmediatamente hasta los ojos del conductor, encontrándose a x metros del semáforo. El conductor emplea 7/10 s para reaccionar, lo que continúa avanzando con velocidad constante durante dicho tiempo, o sea : 7 Tramo AB : d 1 20 m x s 14 m s
b 2 f
Tramo BC : v
b 2 0
v
,
2.a.d 2
0
2
20
2
2.( 5)d 2
d2 = 40 m
x = d1 + d2 = 14 m + 40 m = 54 m
21.
10
Un pasajero se encuentra a 20 m de un ómnibus detenido. Cuando el pasajero corre hacia el ómnibus a razón de 6 m/s , aquel parte alejándose con aceleración constante de 1 m/s 2 . ¿En cuánto tiempo el pasajero logra alcanzar al ómnibus?. Si no lo alcanza , ¿hasta qué distancia como mínimo logró acelerarse al ómnibus?. Solución
vh
6
m s
v0
0 t : común
a
1m 2 s
A
Hombre (M.R.U.) : d vh . t ,
20 + x = 6 . t
Ómnibus (M.R.U.V.)
x
De (2) y (1)
:
: 6 t 20 1 .t 2 :
t 2
2
t
12
x
B
20 m
16
1 2
a t 2
1 2
(1)
(1m s ) t 2
12 t 40
C
(2)
0
, es un número complejo.
2
Luego, como el tiempo sólo acepta valores reales, nuestra suposición planteada es errada, esto significa que el ómnibus nunca alcanza al ómnibus.
Ómnibus : v f v0 a.t , 6 = 0 + (1 m/s2 ) t t=6s Hasta este tiempo ( t = 6 s) el hombre y el ómnibus se habrán desplazado 36 m y 18 m. Hombre
:
dh = v.t = 6 x 6 = 36 m
Ómnibus
:
d Omn
1 2
1
a t 2
2
dOmn = 18 m
(1m s ) (6)2
36 + dmón = 10 + 18 22.
dmín = 2 m
Un auto está esperando que cambie la luz de un semáforo. Cuando la luz cambia a verde, el auto acelera uniformemente durante 6 s a razón de 2 m/s2 , después de lo cual se mueve con velocidad constante. En el instante en que el auto comienza a moverse, un camión se mueve en la misma dirección con velocidad constante de 10 m/s y lo pasa. ¿En qué tiempo y a qué distancia se encontrarán nuevamente el auto y el camión?. Solución
t 1 A
aa
6 s
12 m s
v
2 m 2 s
B
36 m
t 2
x
C
, vf = 0 + 2 x 6 vf = 12 m/s Además en este tiempo logra recorrer una distancia de : 1 2 1 m d AB = 36 m d AB a t (2 s ) (6) 2 v f
v0
a.t
2
2
y
dcamión = 10 x 6
Automóvil :
x = 12t
,
Camión :
36 + x = 10 ( 6 + t2 ) tTotal = 6 + 12 = 18 s
, x = 144 m dTotal = 36 + 144 = 180 m
23.
2
,
dcamión = 60 m t2 = 12 s
Dado el gráfico x vs t , determinar : a) la ecuación que define la trayectoria espacio-tiempo, b) la posición del móvil en t = 10 s. Solución
x (m) v
20
Línea Re cta
v
x 0
6
10
x0
v.t
t ( s)
1)
t = 0 s ; x = - 30 m : -30 = x0 + v (0)
x0 = -30 m
2)
t=6s ; x=0
v = 5 m/s
v
20
a) b)
Luego : x = - 30 + 5 t x = - 30 + 5 (10) = 20 m x = 20 m Velocidad (constante) = pendiente = Tg
Tg
: 0 = -30 + v (6)
30 m 6 s
5m s
24.
Una partícula móvil se desplaza a lo largo del eje x , y su posición para todo instante t viene dado por la siguiente ley : x = 45 – 6 t – 3 t2 , donde x está en metros y t en segundos. Se pide determinar : a) Su gráfica espacio-tiempo , b) La pendiente de la curva en t = 0 y en t = 5 s , c) el instante en el cual el móvil pasa por el origen de coordenadas. Solución x (m )
a) Tabular :
45
x
45
6t 3t 2
36
2
0
4
5
x 45.00 41.25 36.00 29.25 21.00 11.25 0.00 -12.75 -27.00
t ( s )
27
T 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
60
Para un M.R.U.V. : x x0 v0 . t 1 a.t 2 , Ecuación general. 2
Por comparación deducimos : x = 45 – 6t – 3 t2 x0 = 45 m , v0 = - 6 m/s b)
c) 25.
,
La pendiente de la cuerva viene dada por : , Tg vo a.t Tg = - 6 – 6 t
Tg = vf
Para :
y
t=0s ,
Tg
= - 6 m/s
a = - 6 m/s2
t=5s ,
Tg
= - 36 m/s
El móvil pasa por el origen de abscisas en t = 3 s. Dada la gráfica posición versus tiempo de un móvil , se pide determinar : a) la aceleración del móvil, b) la pendiente de la curva en t = 8 s , si en t = 0 s y Tg = - 8 m/s , c) el significado de que la curva toque el eje del tiempo en t = 4 s. Solución
x (m)
Parábola M . R.U . A. :
x x0 v0
16
v0 . t
1 2 a.t 2
Según datos del problemas :
M . R.U . A. v
M . R.U .D.
v
0
0
2
x
4
6
8
t ( s )
16 8 t
1 2
a.t 2
Para : t = 0 s
, Tg = - 8 m/s , 2 1 x = 16 m ( x 16 8(0) 2 a (0) )
a) Para : t = 4 s
y x = 0 .-
0
x
16 8 t
1 2
a = 2 m/s2
a (4) 2 :
1 2
16 8(4)
v0 = - 8 m/s
a t 2
b) En estos gráficos la pendiente de la curva es la velocidad : Tg = v0 + a.t = - 8 + 2 t t=8s y
Tg
Observación .- Si
:
= 8 m/s
Tg = Tg
:
+
= 180º
c) Si la curva toca el eje del tiempo sólo en t = 4 s , significa que el móvil llega al origen de abscisas en dicho instante, por lo tanto, v = 0. 26.
Si el gráfico v versus t corresponde al movimiento unidimensional de una partícula , se pide determinar : a) el desplazamiento y espacio recorrido entre t = 0 s y t = 10 s , b) la ley del movimiento x = f(t) , si además se sabe que el móvil se encontraba inicialmente en xo = - 12 m.
Solución v
(m / s)
Por semejanza de triángulos :
16
m
6
16
4
A1 A1
2
4
6
10
8
2
a) d neto
A2
(12 x16) 1
A2
t ( s )
0
1
m
2 A1
18
96 m
(6 x18)
54 m
A2
( 54)
96
30 m
Desplazamiento neto, entre t = 0 y t = 10 s
xT
A1
A2
24
54
78 m
Espacio Total v f
27.
m
b)
x
12 12 t
3 2
t 2
Un tren se mueve con aceleración constante. En un momento dado lleva una velocidad de 36 Km/h y después de recorrer cierta distancia alcanza una velocidad de 72 Km/h. Calcular esta distancia recorrida, si la aceleración del tren es de 2 m/s2. Solución
v f 2 (72 Km h ) 2
28.
(36 Km h ) 2
vo2
2 . a . d
(2 m s 2 ) . d
d = 149.88 m
Dos automóviles parten de un mismo punto en direcciones perpendiculares entre sí, con aceleraciones de 6 y 8 m/s 2 . Calcular el número de segundos que pasará para que estén separados 1600 m. Solución t
x d
1600
y 6 m / s2 v0
8 m / s2
1 2
a1 .t 2
1 2
d 2
a2 .t 2
x 2
y 2
1
x
2
1
2
a1 .t
1600 2
2
(4t ) 2
2
(8) t
,
2
4 t
(3t ) 2
, t
4
1
y 1600
t 4
16002 25
2
(16
2
a2 .t
1 2
2
2
(6) t
3t
2
9)
s
MOVIMIENTO VERTICAL
29. Un astronauta en la Luna, arrojó un objeto verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 8 m/s. El objeto tardó 5 s para alcanzar el punto más alto de su trayectoria. Con estos datos, determinar el valor de “g” en la Luna. Solución
v f
;
v0 g .t
v0
t
v f g
30. A un águila suspendida en el aire se le suelta de su pico su presa desde una altura de 500 m , después de 3 segundos imprime una velocidad inicial y baja a recuperar su presa, cogiéndola justamente antes de chocar con el suelo. Determinar la velocidad inicial con que debe de salir el águila para alcanzar su presa. Solución
y y
1 2
;
g .t 2 g
voy . t
2
t
;
2
t
v0 y
500
37.05
2 y
2(500)
g
9.81
9.81
v0 y .(7)
2
10.1 s
(7)2
m s
31. Una piedra cae sin velocidad inicial desde el borde del techo de un edificio y requiere 1/4 s para recorre la distancia de la parte superior a la inferior de una ventana de 6 pies de altura.¿Cuánto valdrá la distancia (en pies) del borde del techo a la parte superior de la ventana?. Solución 2
v0
d
6
v A .
¿?
1
1
4
2
3
1
v A
4
20 pies / s
A 1 s 4
B h
6 pies
v
2
2 0
v
2 g d
202
02
2 (32) d
d
6.25 pies
