CINEMÁTICA Introducción al MOVIMIENTO
1.
Las ecuaciones que determinan el movimiento de una partícula puntual sobre el plano XY son: x = 6 – 0,5 t2 + 3t3 y = 6t2 + 8 Calcula las componentes de la celeridad de la partícula en el instante t = 3 s, s , así como su módulo.
Solución: v = 78 i + 36 j m/s y 85,9 m/s
2.
El vector de posición de un móvil viene expresado en función del tiempo por:
r (t) = 3t i + (t2 -4) j (SI)
Halla la ecuación de la trayectoria. Solución: y =
1 9
x
2
−4
3.
El vector de posición de un móvil viene dado por la expresión r (t) = (2t + 1) i + 3 j , en unidades del SI. Calcula el vector de posición para t = 1 s y t = 3 s y el vector desplazamiento entre esos instantes.
Solución: r (1) = 3 i + 3 j ; r (3) = 7 i + 3 j ; ∆r (t) = 4 i
4.
Un peatón recorre 30 m hacia el Norte en 20 s; s ; después, 40 m hacia el Este en 25 s, y por último, 60 m hacia el Sur en 40 s. Determina la trayectoria, la posición final y el desplazamiento en cada etapa así como el desplazamiento total.
Solución: r (t) = (40 i - 30 j ) m; 30 j (1ª etapa); 40 i (2ª etapa) ; - 60 j (3ª etapa)
5.
Sea r (t) = 2t2 i + t j el vector de posición de un móvil, en unidades si. Determina: a) La expresión expresión del vector vector velocid velocidad ad instantá instantánea. nea. b) El vector vector velocidad velocidad en el instante instante t = 2 s y su módulo. módulo.
6.
Solución: a) v (t) = 4t i + j m/s; b) v (2) = 8 i + j m/s
→
v = 8,06 m/s
El vector de posición de una partícula viene dado por la ecuación vectorial en función del
tiempo: r (t) = 4t i + (2 + t) j , en unidades del SI. Halla y representa la posición p osición del móvil en los tiempos 0, 1, 2, 3, 4 y 5 s. Comprueba que la ecuación de la trayectoria es la recta que une los extremos de los vectores de posición.
7. El vector velocidad instantánea de un determinado móvil es
v (t) = (2t - 1) i + 2 j , en unidades SI. Calcula, para t = 2 s, el vector aceleración instantánea y su s u módulo.
Solución: 2 i m/s2; 2 m/s2
1
8.
Un ciclista se desplaza en línea recta pasando, respecto a la salida, por el punto r1 = 8 i , a los
2 s; por el punto r 2 = 40 i a los 12 s y r3 = 80 i a los 28 s. Calcula las velocidades medias del ciclista en km/h si las posiciones están dadas en m para los intervalos de tiempo (t 2 – t 1 ), (t 3 – t 2 ) y (t 3 – t 1 ),
Solución: 11,52 i km/h ; 9 i km/h ; 9,97 i km/h
9.
El vector de posición de un móvil es r 0 = (2 i - 13 j ) m en un instante determinado y, 5 s más
tarde, es r = (12 i + 2 j ) m. Calcula el vector velocidad media en este intervalo de tiempo y su módulo.
Solución: ( 2 i + 3 j ) m/s;
13
m/s
10.
Las ecuaciones de la trayectoria de un móvil son: x = 2 – t, y = t2, en unidades SI. a) Calcula las coordenadas de la posición para t = 0s y t = 2s. b) Calcula el módulo del vector desplazamiento entre estas posiciones. c) Determina la ecuación de la trayectoria en unidades SI. Solución: a) x = 2 e y = 0 ; x = 0 e y = 4 ; b) 4,47 m ; c) y = (2 – x)2
11.
2
El vector posición de un móvil es r (t) = (3t + 1) i + 2t j , en unidades SI. Calcula: a) El vector velocidad instantánea en función del tiempo. b) La celeridad en el instante t = 2,5 s.
Solución: a) (6t i + 2 j ) m/s; b) 15,1 m/s
12.
La posición de una partícula en el plano viene dada por la ecuación vectorial:
r (t) = (t2 – 4) i + (t + 2) j
En unidades del SI calcula: a) La posición de la partícula para t = 2 s y t = 3 s. b) El vector velocidad media en ese intervalo. c) La velocidad instantánea para t = 2 s. d) La aceleración.
Solución: a) 4 i y 5 i + 5 j m ; b) 5 i + j m/s ; c) 4,12 m/s ; d) 2 i m/s2
13. La velocidad de un móvil es
v (t) = 10t i + 5 j , en unidades SI. Calcula el vector aceleración
media entre los instantes t = 2 s y t = 6 s y su módulo. Solución:
14. La ecuación del movimiento de un cuerpo es r (t) = t i + (t
2
+ 2) j , en unidades SI.
Determina: a) b) c) d) e) f)
El vector de posición en t = 0 s y t = 2 s. La distancia al origen de coordenadas para t = 2 s. El vector de desplazamiento entre los instantes t = 0 s y t = 2 s y su módulo. La ecuación de la trayectoria. Dibújala aproximadamente. Razona si el módulo del vector desplazamiento coincide con la distancia recorrida. La expresión de los vectores velocidad y aceleración.
Solución: a) r (0) = 2 j m ; r (2) = 2 i + 6 j m ; b) 6,32 m ; c) 2 i + 4 j ; 4,47 m 2
d) y = x + 2 ; e) sí ; f) v (t) = i + 2t j m/s ; a = 2 j m/s2
2
15. El vector de posición de una partícula en movimiento es: r (t) = 3t i + (2t
2
+ 3) j , en unidades
del SI. Determina: a) El vector de posición para el instante t = 2 s. b) El módulo del vector desplazamiento para el intervalo de tiempo entre t = 1 s y t = 3 s. c) La ecuación de la trayectoria. d) El vector de la velocidad y de la aceleración para t = 5 s.
16.
Representa en el plano los siguientes vectores:
a) r 1 = 4 i - 2 j
b) r 2 = 2 i + 4 j
c) r 3 = - 2 i + 3 j
d) r 4 = - 4 j
17. a) b) c) d)
Efectúa las operaciones siguientes con los vectores del ejercicio anterior: r1 + r2 r1 - r2 r 1 + r3 + r4 r2 – r4
Solución: a) 6 i + 2 j ; b) 2 i - 6 j ; c) 2 i - 3 j ; d) 2 i + 8 j
3
Estudio de los movimientos: M.R.U. - M.R.U.A. - M.C.U. - M.C.U.A. ________________M.R.U. y M.R.U.A.________________
18.
Escribe las ecuaciones de los dos movimientos representados en la figura. ¿En qué instantes parten uno de los dos móviles?. ¿De qué puntos?. ¿En qué sentido se desplazan?. ¿En qué punto se encuentran?.
cada
19.
Calcula la aceleración y el desplazamiento realizado en 20 s por los móviles cuyas gráficas se representan en la figura.
20.
Un automóvil y un camión están separados por una distancia de 50 m. El camión se está moviendo con una velocidad constante de 54 km/h. El automóvil, que se encontraba parado, arranca con una aceleración de 1,6 m/s2, que se mantiene constante. Determina el instante y la posición en que el automóvil alcanza al camión. Hazlo gráfica y numéricamente. ¿Qué velocidad lleva el automóvil en el momento del encuentro?.
21.
El coche A está detenido frente a un semáforo. Se enciende la luz verde y arranca. Simultáneamente, otro coche B lo adelanta a velocidad constante. Las gráficas v-t de sus movimientos son: a) ¿Qué tiempo tarda el coche A en tener la velocidad del B? b) ¿En qué instante alcanza A a B? ¿A qué distancia del semáforo?
4
22. Un tren se encuentra a 20 km de la estación y se aleja de ella por una vía recta a una velocidad constante de 80 km/h. Determina la distancia que lo separará de la estación al cabo de 2 h y el tiempo que tardará en llegar a una distancia de 260 km de la estación. (Resuelve el problema en horas y km/h) Solución: 180 km; 3h
23. Un ciclista circula por una carretera recta con una velocidad constante de 30 km/h. Calcula: a) La distancia que recorre en 30 min, expresada en km. b) El tiempo que tarda en recorrer 45 km, expresado en min. Solución: a) 15 km; b) 90 min
24. Un móvil se encuentra en x = 3 m y se mueve en el sentido positivo del eje OX con velocidad constante de 8 m/s. calcula: a) Su posición al cabo de 10 s. b) La distancia recorrida en ese tiempo. Solución: a) 83 m; b) 80 m
25. Dibuja la gráfica espacio-tiempo y velocidad-tiempo de un objeto cuyo movimiento es rectilíneo y obedece a la siguiente tabla de datos: x (m)
40
60
80
100
120
t (s)
0
0,5
1
1,5
2
26. Un motorista que circula a 210 km/h frena con una aceleración constante de 1,5 m/s . 2
Determina el tiempo que tarda en detenerse y la distancia que recorre hasta parar. Solución: 38,9 s; 1134,26 m
27. Un móvil que parte con velocidad inicial de 2 m/s y aceleración de 5 m/s
2
recorre 225 m.
Calcula la velocidad final que alcanza y el tiempo empleado. Solución: 47,48 m/s; 9,1 s
28. Un tren parte del reposo con aceleración de 3 m/s
2
durante 5 s. A continuación mantiene la velocidad constante durante 8s. Finalmente, frena con una aceleración constante y s e detiene en 3 s. Dibuja la gráfica v-t que describe dicho tren.
29. Un avión que parte del reposo, antes de despegar, recorre 547,2 m de pista con aceleración constante durante 12 s. Calcula la aceleración y la velocidad de despegue en km/h y en m/s. Solución: 7,6 m/s2; 328,3 km/h y 91,19 m/s
30. Un automóvil circula a 54 km/h cuando acelera para efectuar un adelantamiento. Si l a aceleración es igual a 4,5 m/s2 y completa el adelantamiento en una distancia de 250 m, deduce la velocidad del coche al finalizar el adelantamiento y el tiempo durante el cual está adelantando. Solución: 49,7 m/s; 7,7 s
5
31. Un motorista que circula a 210 km/h frena con una aceleración constante de 1,5 m/s . 2
Determina el tiempo que tarda en detenerse y la distancia que recorre hasta parar. Solución: 38,9 s; 134,1 m
32. Un coche sale de una estación de servicio con una velocidad constante de 80 km/h. Media hora más tarde sale otro coche de la misma estación a 100 km/h en la misma dirección y sentido que el primero. Calcula el tiempo que tarda el primer vehículo en ser alcanzado por el segundo y la distancia a que se encuentran de la estación de servicio. (Resuelve el problema en horas y km/h) Solución: 2,5 h; 200 km
33. Un coche pasa por un semáforo con una velocidad de 50 km/h. Una motocicleta pasa 5 s después por el mismo lugar a 60 km/h. si circulan por una calle recta, calcula: a) La distancia en metros entre el semáforo y el punto en el cual la moto alcanza al coche. b) El tiempo que tarda la moto en alcanzar al coche. Solución: a) 416,7 m; b) 25 s
34. Desde los pueblos, A y B, separados por una distancia de 10 km, salen al encuentro, con sentidos contrarios, dos coches con velocidades de 72 y 108 km/h. calcula el tiempo que tardan en encontrarse y su posición en ese instante, medida desde A. Solución: 200 s; 4000 m
35. En el momento en que un semáforo cambia a verde un automóvil arranca con aceleración constante de 2 m/s2. En ese mismo instante, el automóvil es adelantado por una moto que circula a una velocidad constante de 57,6 km/h. Calcula: a) La distancia, medida desde el semáforo, a la cuál el coche alcanza a la moto. b) La velocidad del coche en el instante del encuentro. Solución: a) 256 m; b) 32 m/s
36. Un tren de mercancías entra en un túnel recto de doble vía de 1 km de longitud con velocidad constante de 43,2 km/h. En ese mismo instante desde el otro extremo del túnel parte del reposo en sentido contrario un tren de viajeros con aceleración de 1,5 m/s2. Calcula: a) La distancia a la cual se encuentran, medida desde el primer extremo del túnel. b) La velocidad del tren de viajeros cuando se cruzan. Solución: a) 352,6 m; b) 44 m/s
37. Desde los pueblos, A y B, separados 1 km, parten dos coches en el mismo instante con velocidades constantes de 108 y 36 km/h, en la misma dirección y sentido de A a B. Calcula: a) El tiempo que tardan en encontrarse. b) La distancia a la cual se encuentran, medida desde A. c) Dibuja la gráfica x-t de los dos movimientos. Solución: a) 50 s; b) 1500 m
38. Un móvil parte del punto A con velocidad 2 m/s en dirección al punto B. Simultáneamente otro móvil sale desde el punto B, situado a 30 m de A con velocidad 3 m/s. Calcula: a) El tiempo que tardan en encontrarse. b) La distancia desde A al punto de encuentro. c) Dibuja la gráfica x-t de los dos movimientos. Solución: a) 6 s; b) 12 m
6
39. Un barco efectúa el servicio de pasajeros entre dos ciudades A y B, situadas en la misma ribera de un río y separadas por una distancia de 75 km. Se supone que la velocidad propia del barco y la de la corriente del río son constantes. Si en ir de A a B tarda 3 horas y en volver de B a A invierte 5 horas, deduce la velocidad del barco y la de la corriente. Resuelve el problema en km/h. Solución: v barco = 20 km/h; v corriente = 5 km/h
40. Un vehículo pasa por un control a la velocidad de 54 km/h. si frena y se detiene a los 50 m, calcula la aceleración media de frenado y escribe las ecuaciones v-t y s-t del movimiento desde que frenó hasta que se detuvo. Solución: - 2,25 m/s2; v = 15 – 2,25 ; s = 15t - 1,125 t2
41. Un camión comienza a subir una cuesta a 90 km/h, y cuando llega a la parte más alta su velocidad es de 15 m/s. Si ha disminuido la velocidad uniformemente, ¿cuál será la l ongitud de la cuesta si ha tardado 40 s en subirla? Solución: 800 m
42. Una chica situada entre dos montañas grita “¡Hola!” y oye ecos al cabo de 3 s y 4,5 s. a) ¿A qué distancia está la montaña más próxima? b) ¿Cuál es la distancia entre las dos montañas? Dato: v (sonido) = 340 m/s Solución: a) 510 m ; b) 1275 m
43. La ecuación de un movimiento rectilíneo uniforme es: x = 50 – 10t, donde x viene expresada en metros y t en segundos. a) Indica qué significado tiene cada uno de los coeficientes de la ecuación. b) ¿En qué instante pasa el móvil por el origen? c) Representa en un diagrama x–t el movimiento durante los primeros siete segundos. Solución: b) 5 s
44. Un tren del “metro” arranca con una aceleración de 8 cm/s . Al cabo de 30 s el conductor 2
corta la corriente y el tren continúa moviéndose con una velocidad constante. a) ¿Cuál es esta velocidad? b) ¿Qué espacio recorrió el tren en esos 30 s? c) ¿Qué tiempo transcurre hasta que el tren llega a otra estación distante de la primera 500 m? Solución: a) 2,4 m/s; b) 36 m ; c) 223,3 s
45. Dos móviles, A y B, inicialmente en reposo comienzan a moverse en la misma dirección y sentido, ambos con movimiento uniformemente acelerado. En el instante inicial A se encuentra situado detrás de B. Las aceleraciones respectivas son : a A = 4 m/s2 y a B = 3 m/s2. Cuando B ha recorrido 96 m es alcanzado por A. Halla a) Tiempo que tarda A en alcanzar a B. b) distancia inicial entre ambos móviles. c) Velocidad de cada uno en el instante en que se encuentran. Solución: a) 8 s; b) 32 m; c) 32 m/s y 24 m/s
7
46. Dos coches están parados en un semáforo con luz roja. En el mismo instante que se pone en luz verde arranca uno de los coches con una velocidad constante de 10 m/s y el otro lo hace 1 segundo después con una aceleración constante de 0,5 m/s2. ¿A qué distancia del semáforo alcanza el segundo coche al primero? Solución: 419,8 m
47. Un conejo corre hacia su madriguera a la velocidad de 72 km/h. Cuando se encuentra a 20 0 m de ella, un perro, situado 40 m más atrás, sale en su persecución, recorriendo 90 m con una aceleración de 5 m/s2 y continuando luego con velocidad constante. a) Deduce cinéticamente si salvará su piel el conejo. b) Razona matemáticamente qué sucederá si la madriguera estuviese 100 m más lejos. Solución: a) Se salvará; b) El conejo será capturado por el perro
48. Deduce las velocidades, supuestas constantes, de dos móviles A y B, separados una distancia de 30 km, sabiendo que si se mueven en la misma dirección y sentido, se encuentran a 10 km de B, pero si se mueven en sentidos opuestos, tardan 40 minutos en encontrarse. Solución: v A = 10 m/s; v B = 2,5 m/s
_______________Movimiento VERTICAL_______________ 49. Desde una altura de 7 m lanzamos verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 40 m/s. Calcula la altura máxima que alcanza, medida desde el suelo, y el tiempo que tarda en alcanzar dicha altura. Solución: 88,6 m; 4,1 s
50. Desde la terraza de un edificio de 20 m de altura dejas caer una pelota. a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? b) ¿Con qué velocidad llega al suelo? Solución: a) 2 ; b) 20 m/s
51. Desde una ventana situada a 20 m de altura, un muchacho lanza verticalmente hacia abajo una pelota con una velocidad inicial de 4 m/s para que la recoja su amigo que se encuentra en la calle. Calcula la velocidad de la pelota cuando llega al suelo y el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo. Solución: 20,2 m/s; 1,7 s
52. Desde una ventana, a 15 m de altura del suelo, se deja caer un cuaderno. Al mismo tiempo, desde el suelo se lanza verticalmente hacia arriba un lápiz con una velocidad inicial de 12 m/s. a) Determina la posición de ambos objetos cuando se crucen respecto del suelo. b) El tiempo que tardan en hacerlo. c) Representa gráficamente el movimiento de cada objeto hasta encontrarse. Solución: a) 7,3 m; b) 1,25 s
8
53. Desde una altura de 80 m se deja caer un objeto. Dos segundos más tarde se lanza otro objeto desde el suelo hacia arriba en la misma vertical con una velocidad de 20 m/s. ¿A qué altura se cruzan? Solución: 20 m
54. Un montañero situado a 1200 m de altura sobre el campamento lanza una cantimplora verticalmente hacia abajo con una velocidad de 0,5 m/s. Calcula la velocidad y el tiempo al llegar al campamento. Solución: 153,4 m/s y 15,6 s
55. Desde una cierta altura se deja caer libremente un objeto. Cuando se encuentra a 5 metros del suelo ha alcanzado una velocidad de 25 m/s: a) ¿Desde qué altura se dejó caer? b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la calle? Solución: a) 37 m; b) 2,7 s
56. Dos proyectiles son lanzados verticalmente y hacia arriba a 400 m/s, siendo el intervalo entre los lanzamientos de 2 s. calcula: a) La altura máxima alcanzada por los proyectiles. b) El tiempo que tardan en cruzarse y la distancia desde ese punto al de lanzamiento. c) La velocidad de cada proyectil en el punto de cruce. Dato: g = 10 m/s2 Solución: a) 8000 m; b) 7995 m; 41 s ; c) – 10 m/s y 10 m/s
57. Una niña lanza una pelota hacia arriaba que llega hasta el balcón de su casa situado a 7,4 m del punto de lanzamiento. ¿Con qué velocidad lanzó la pelota y al cabo de cuánto tiempo vuelve a recuperarla? Solución: 12,17 m/s y 2,43 s
58. Un globo que asciende verticalmente en la atmósfera a velocidad constante de 2 5 m/s, deja caer un saco de arena que llega al suelo al cabo de 10 s. Prescindiendo del rozamiento del aire, determina a qué altura estaba el globo cuando se dejó caer el saco. Solución: 340 m
59. Desde lo alto de un edificio de 30 m se deja caer un cuerpo, A. En el mismo instante se lanza en vertical y hacia arriba otro cuerpo, B, con velocidad inicial de 20 m/s. ¿Cuándo y d ónde se cruzan? Solución: 1,5 s y 18,98 m
60. Desde lo alto de un precipicio se lanza verticalmente hacia abajo una piedra con velocidad de 5 m/s. El sonido de la piedra al chocar contra el suelo es oye a los 6,5 s de soltarla. Calcula desde qué altura se tiró. Datos: velocidad del sonido = 340 m/s; g = 10 m/s2 Solución: 203,6 m
61. Se deja caer una piedra desde el brocal de un pozo y tarda 2,3 s en percibirse el sonido producido en el choque con el agua. Si la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s, ¿a qué profundidad está el agua? Solución: 24,33 m
9
62. Una pelota cae libremente desde la cornisa de un edificio e invierte 0,3 s en pasar por delante de una ventana de 2,5 m de altura (longitud de la ventana). ¿A qué distancia de la cornisa se encuentra el marco superior de la ventana? Solución: 2,4 m
________________M.C.U. y M.C.U.A._________________ 63. Un ventilador gira a 360 rpm. En un momento dado se desenchufa de la corriente y tarda 35 s en pararse. a) ¿Qué aceleración angular tiene? b) ¿Con qué velocidad gira 15 s después de apagarlo? c) ¿Cuántas vueltas da hasta que se para? Solución: a) -1,1 rad/s; b) 22 rad/s ; c) 105 vueltas
64. Un móvil describe una trayectoria circular de 1 m de radio 30 veces por minuto. Calcula: a) El periodo. b) La frecuencia. c) La velocidad angular. d) La velocidad tangencial y la aceleración centrípeta de este movimiento. Solución: a) 2 s; b) 0,5 Hz o s -1; c) 3,14 m/s; 9,87 m/s2
65. Un motor de aeroplano, con su hélice, se coloca sobre un banco de pruebas. Las palas de la hélice tienen, cada una, una longitud de 1,8 m. a) ¿Qué velocidad llevan los extremos de las palas cuando el motor gira a 1200 rpm? b) ¿Cuál es la velocidad lineal de un punto de la pala situado a igual distancia del eje y del extremo? Solución: a) 226 m/s; b) 113 m/s
66. Una rueda gira a razón de 25 rad/s . 2
a) ¿Qué ángulo describió al cabo de 10 s? b) ¿Cuántas vueltas dio en ese tiempo? Solución: a) 250 rad; b) 39,8 vueltas
67. Un disco gira en un tocadiscos a 33 rpm. Calcula la velocidad angular en rad/s y el número de vueltas que da el disco en 10 min. Solución: 1,1π rad/s y 330 vueltas
68. Un coche toma una curva de radio 250 m a una velocidad constante de 73,8 km/h. Determina la velocidad angular y la aceleración normal. Solución: 0,08 rad/s y 1,7 m/s2
69. Una rueda de 15 cm de radio se pone en movimiento con una aceleración angular de 0,2 rad/s. Halla: a) la velocidad angular a los 10 s; b) las vueltas que da la rueda ese tiempo; c) el tiempo que tarda la rueda en dar 20 vueltas. Solución: a) 2 rad/s; b) 1,6 vueltas; c) 35,4 s
10
70. Un disco de 15 cm de radio gira a 45 revoluciones por minuto (rpm). Calcula: a) La velocidad angular en rad/s. b) La velocidad lineal de un punto de la periferia del disco. c) El número de vueltas que da el disco en 30 min. Solución: a) 1,5π rad/s; b) 0,7 m/s; c) 1350 vueltas o revoluciones
71. Un volante de 0,5 m de radio gira a 300 rpm en el momento en que actúa un freno que lo detiene en 5 s. Determina: a) La velocidad angular inicial en rad/s. b) El número de vueltas que da el volante hasta detenerse. c) La aceleración tangencial de un punto de la periferia. d) La aceleración normal de este mismo punto cuando el volante gira a 300 rpm. Solución: a) 10π rad/s; b) 12,5 vueltas; c) - π m/s2 o - 3.14 m/s2; d) 50π2 m/s2 o 493,48 m/s2
72. Un volante que gira a razón de 60 rpm adquiere al cabo de 5 s una velocidad de 12π rad/s. ¿Cuál fue su aceleración angular? ¿Cuántas vueltas dio en ese tiempo? Solución: 2π rad/s2 = 6,28 rad/s2; 17,5 vueltas
73. Una rueda de 20 cm de diámetro gira alrededor de su eje a 200 rpm ¿Cuánto tarda en pararse si mientras se para da 30 vueltas? ¿Cuál es su velocidad angular al principio? ¿Cuál es su velocidad lineal cuando ha girado la mitad del tiempo empleado en pararse? Solución: 18 s; 20,94 rad/s; 1,047 m/s
74. Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) La aceleración angular del disco. b) La velocidad lineal de un punto de la periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento. c) La aceleración tangencial de un punto del borde del disco. d) El número de vueltas que da el disco en 1 min. Solución: a) 0,08 rad/s2; b) 0,31 m/s; c) 0,0125 m/s2; d) 23,87 vueltas
75. Un disco gira en un tocadiscos a 45 rpm. Calcula la velocidad angular en rad/s y el número de vueltas que da el disco en 30 min. Solución:
76. Si el radio terrestre correspondiente al ecuador es de 6370 km, determina la velocidad angular de rotación de la Tierra y la velocidad lineal de un punto del ecuador, en el mismo movimiento de rotación, expresada en m/s y en km/h. Solución: ω = 7,27.10-5 rad/s; v = 463,23 m/s v = 1667,62 km/h
77. Cada 30 s, un ciclista completa una vuelta en un velódromo circular de 60 m de radio. Si el diámetro de las ruedas es de 80 cm, calcula: a) La velocidad lineal del ciclista. b) La velocidad angular en rad/s. c) Las vueltas que da cada rueda para completar el circuito. d) La velocidad angular de las ruedas. e) ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia de rotación de las ruedas? Solución: a) v = 12,57 m/s; b) ω = 0,21 rad/s; c) 150 vueltas; d) ω = 10 π rad/s; e) T=0,2 s y f=5 Hz
11
78. Un móvil se desplaza, partiendo del reposo, siguiendo una circunferencia de 100 m de radio. El movimiento es uniformemente acelerado hasta que en 5 s alcanza la celeridad de 25 m/s; a partir de entonces se desplaza con movimiento uniforme. Calcula: a) La aceleración tangencial mientras acelera. b) El valor de la aceleración normal y la distancia recorrida cuando han transcurrido 100 s desde que comenzó el movimiento. c) La velocidad angular media en la primera parte del recorrido y la velocidad angular al cabo de 100 s de iniciado el movimiento. d) El tiempo que tarda el móvil en dar 1000 vueltas cuando el movimiento es uniforme. Solución: a) 5 m/s2; b) 6,25 m/s2 y 2437,5 m ; c) 0,125 rad/s y ϖ 100
= ϖ 5 =
0,25
rad s
; d)
79. Un ciclista parte del reposo en un velódromo circular de 50 m de radio, y va moviéndose con movimiento uniformemente acelerado hasta que a los 50 s de iniciada la marcha alcanza una velocidad de 36 km/h; desde ese momento conserva su velocidad. Calcula: a) Su aceleración tangencial y angular en la primera etapa del movimiento. b) La aceleración normal en el momento de cumplirse los 50 s. c) La longitud de pista recorrida a los 50 s de recorrido. d) El tiempo que tarda en dar una vuelta a la pista con velocidad constante. e) El número de vueltas que da en 10 minutos contados desde que inició el movimiento. Solución: a) 0,2 m/s2 y 4.10-3 rad/s2; b) 2 m/s2 ; c) 250 m ; d) 31 s ; e) 18 vueltas
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Composición de movimientos: - Dos M.R.U. perpendiculares entre sí. - Movimiento Horizontal. - Movimiento Parabólico. _____________Dos MRU perpendiculares_______________ 80. Una barca pretende cruzar un río con una velocidad de 12 m/s perpendicular a l a corriente. La velocidad de la corriente es de 10 m/s. Calcula: a) El tiempo que tarda la barca en atravesar el río si éste tiene una anchura de 150m. b) La distancia que recorre la barca. Solución: a) 12,5 s; b) 195,3 m
81. Deseamos cruzar un río de 200 m de ancho. Si la velocidad de la corriente es de 4 m/s y nuestra barca desarrolla una velocidad de 9 m/s perpendicular a la corriente, calcula: a) La velocidad de la barca respecto de un sistema de referencia fijo en la orilla. b) El tiempo que tarda en atravesar el río. c) La distancia recorrida por la barca. Solución: a) 9,8 m/s; b) 22,2 s; c) 218,8 m
82. Un barquero desea cruzar un río de 100 m de ancho con una barca cuyo motor desarrolla una velocidad de 3 m/s perpendicularmente a una corriente de 1 m/s. Calcula: a) El tiempo que tarda en atravesar el río. b) La velocidad de la barca. c) La distancia que recorre la barca. Solución: a) 33,3 s; b) 3,2 m/s; c) 105,4 m
83. Un barquero quiere cruzar un río de 120 m de anchura; para ello va a remar perpendicularmente a la corriente. Si la velocidad que imprime a la barca es de 2 m/s respecto al agua y el río desciende a 1 m/s, el barquero quiere saber: a) Cuántos movimientos posee la barca y si son no independientes. b) Con qué velocidad se mueve la barca respecto a la orilla del río. c) Cuánto tiempo tardará en cruzar el río y si necesita el mismo tiempo si el agua estuviera en reposo. d) En qué punto de la orilla opuesta desembarcará. e) Si habrá recorrido 120 m cuando la barca haya cruzado el río. Solución: a) 2 MRU ; b) 2,24 m/s ; c) 60 s ; d) 60 m ; e) 134,2 m
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84. Un avión vuela en dirección Norte con una velocidad de 720 km/h y con viento en contra de 72 km/h. En un momento determinado se dispara desde el avión, perpendicularmente a la dirección de su movimiento, un proyectil con una velocidad de 240 m/s. Calcula la velocidad del proyectil respecto a tierra, así como su dirección. Solución: 300 m/s; 53º con el Norte
85. Una canoa, que vamos a considerar puntual, atraviesa perpendicularmente un río de 100 m de ancho, con una velocidad de 10 m/s. La velocidad de la corriente es de 5 m/s. Calcular: a) El tiempo que tardará la canoa en llegar a la orilla opuesta. b) En qué punto de la orilla opuesta atracará. c) La velocidad real de la canoa y el espacio recorrido por ella. d) El espacio recorrido por la canoa en ese tiempo si navegara en el sentido de la corriente. Solución: a) 10 s ; b) 50 m ; c) 11,18 m/s ; 111,8 m ; d) 150 m
_____________Movimiento Horizontal_______________ 86. Un avión vuela a 900 m del suelo con una velocidad constante de 540 km/h. ¿A qué distancia de la vertical sobre un claro de la selva debe lanzar una caja de ayuda humanitaria para que llegue a su destino? Solución: 2040 m
87. Una bola que rueda sobre una mesa horizontal de 0,90 m de altura cae al suelo en un punto situado a una distancia horizontal de 1,5 m del borde de la mesa. ¿Qué velocidad tenía la bola en el momento de abandonar la mesa? Solución: 3,5 m/s
88. Un avión bombardero que vuela a una altura de 2000 m lleva una velocidad de 450 km/h. a) ¿A qué distancia horizontal de un blanco inmóvil debe soltar una bomba para que explosione exactamente en ese punto? b) Si el objetivo es un camión que marcha en carretera horizontal, a 72 km/h, en la misma recta que el bombardero, ¿a qué distancia horizontal del objetivo debe soltar la bomba, en los casos en que el camión acerca o se aleja? Solución: a) 2525 m ; b) 2121 m si se acerca y 2929 m si se aleja
89. Un avión humanitario vuela a 4500 m de altura sobre el suelo con una velocidad constante de 360 km/h y pretende lanzar un paquete con alimento sobre una pequeña colina. ¿A qué distancia de la colina, medida a partir del pie de la vertical del avión, debe soltar el paquete? ¿Durante ese tiempo, qué distancia habrá recorrido el avión? Solución: 3030,45 m ; el mismo espacio 3030,45 m
90. Desde una terraza de un edificio de 50 m de altura se lanza horizontalmente una piedra con una velocidad de 5 m/s. ¿Qué anchura deberá tener la calle para que esa piedra no choque contra el edificio situado enfrente? ¿Cuánto tiempo tardará en caer la piedra? ¿Con qué velocidad llegará la piedra al suelo? Solución: 15,97 m ; 3,19 s ; 31,7 m/s
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91. Desde la cima de un acantilado se lanza horizontalmente un proyectil y se observa que tarda en tocar el agua 3 s en un punto que dista 60 m de la base del acantilado. Calcula: a) La altura que tiene el acantilado. b) Con qué velocidad se lanzó el proyectil. Solución: a) 44 m ; b) 20 m/s
92. Un joven lanza piedras horizontalmente desde lo alto de un acantilado de 25 m de altura. Si desea que choquen contra un islote que se encuentra a 30 m de la base del acantilado, calcula: a) la velocidad con que debe lanzar las piedras. b) el tiempo que tardan en chocar contra el islote. Solución: a) 13,3 m/s ; b) 2,2 s
93. Desde la terraza de un edificio de 25 m de altura se lanza horizontalmente una piedra con una velocidad inicial de 50 m/s. Expresa su vector posición y su vector velocidad en función del tiempo y calcula a qué distancia del edificio chocará contra el suelo y cuál será su velocidad en ese instante.
Solución: r = 50t i
+
2
( 25 − 4,9t ) j m ; v
=
50i
9,8t j m/s ; 112,94 m ; 54,68 m/s
+−
94. Una pelota rueda sobre el tablero de una mesa a 1,5 m del suelo y cae por su borde. Si impacta contra el suelo a una distancia de 1,8 m, medidos horizontalmente desde el borde de la mesa., ¿con qué velocidad cayó de la mesa? Solución: 3,25 m/s
95. Desde una altura de 6 m, y horizontalmente, se lanza un objeto con una velocidad de 9 m/s. Calcula: a) La velocidad de dicho objeto cuando se encuentra a 3,5 m del suelo. (Sus componentes y su módulo). b) El ángulo que forma dicha velocidad con la horizontal.
Solución: a) v = 9i + 7 j m/s y 11,4 m/s ; b) 37,9º
96. En unos Juegos Olímpicos de invierno un esquiador salta desde una altura de 2 0 m con una velocidad horizontal de 80 km/h. Calcula el tiempo que está en el aire y el alcance que consigue desde el trampolín. Solución: 2 s ; 44,4 m
97. Una jugadora de balonmano realiza un lanzamiento horizontal a una velocidad de 20 m/s. En el momento del lanzamiento la mano está a 1,5 m del suelo. Determina: a) La ecuación de la trayectoria. b) ¿Qué velocidad lleva la pelota a los 0,3 s del lanzamiento? c) ¿Dónde botaría la pelota? Solución: a) y = 1,5 – 1,225.10-2. x2 ; b) 20,2 m/s ; c) 11,06 m
98. Una fuente tiene el caño, por donde sale el agua, a una distancia vertical del suelo de 70 cm. El chorro del agua da en el suelo a 1 m del pie de la vertical. ¿Con qué velocidad sale el líquido? Solución: 2,65 m/s
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99. Un avión en vuelo horizontal rectilíneo, a una altura de 7840 m y con una velocidad de 540 km/h, dejar caer una bomba al pasar por la vertical de un punto A del suelo. a) ¿Al cabo de cuánto tiempo se producirá la explosión de la bomba por choque con el suelo? b) ¿Qué distancia habrá recorrido, mientras tanto, el avión? c) ¿A qué distancia del punto A se producirá la explosión? d) ¿Cuánto tiempo, contado desde el instante de lanzamiento de la bomba, tardará en oírse la explosión desde el avión? (La velocidad del sonido en el aire es 340 m/s) Solución: a) 40 s; b) 6000 m ; c) 6000 m ; d) 63,06 s
_____________Movimiento Parabólico_______________ 100. Se golpea una pelota de golf de manera que su velocidad inicial forma un ángulo de 45º con la horizontal. La pelota alcanza el suelo a una distancia de 180 m del punto en que se lanzó. Calcula su velocidad inicial y el tiempo durante el cual ha estado en el aire. Solución: v o = 42 m/s; 6,06 s
101. Un niño de 1,5 m de altura y que se está parado a 15 m de distancia de una valla de 5 m de altura lanza una piedra con un ángulo de inclinación de 45º sobre la horizontal. ¿Con qué velocidad mínima debe lanzar la piedra para que pase por encima de la valla? Solución: v o = 13,85 m/s
102.
Desde un campanario de 15m de altura lanzamos hacia arriba un petardo la noche de San Juan con una velocidad inicial de 30m/s y con un ángulo con la horizontal de 60º. Calcula: a) El alcance. b) La velocidad a la que cae el petardo. c) La altura máxima a la que llega al suelo.
103. En unos Juegos Olímpicos un lanzador de jabalina consigue alcanzar una distancia de 90 m con un ángulo de inclinación de 45º. Calcula: a) La velocidad de lanzamiento. b) El tiempo que la jabalina estuvo en el aire. Solución: a) 29,7 m/s; b) 4,28 s
104. Se dispara un proyectil desde el suelo con una velocidad inicial de 540 m/s y un ángulo de inclinación de 30º respecto a la horizontal. Calcula: a) El alcance del proyectil. b) La posición del proyectil 3 s después del lanzamiento. Solución: a) 25768,7 m; b) x = 1403 m; y = 765,9 m
105. Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y un ángulo de 40º sobre la horizontal. Calcula: a) La ecuación de la trayectoria. b) La altura máxima. c) El alcance del proyectil. Solución: a) y = 0,84x – 2,08.10-4 x2 m; b) 843,46 m; c) 4019,62 m
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106. Se dispara un proyectil desde el suelo con una velocidad inicial de 200 m/s y un ángulo de inclinación de 25º respecto al suelo. Calcula: a) El alcance del proyectil. b) La velocidad del proyectil cuando llega al suelo. Solución: a) 3126,71 m; b) 200 m/s
107. Un muchacho chuta una pelota que está en el suelo con una velocidad inicial de 28 m/s que forma un ángulo de 40º con la horizontal. A 75 m del punto de lanzamiento hay un muro de 2,5 m de altura. Determina: a) Si la pelota pasará por encima del muro, chocará contra éste o caerá al suelo antes de llegar al muro. b) En caso de que la pelota choque contra el muro, determina a qué altura lo hará; en caso contrario, calcula el alcance de la pelota. Solución: a) 3,02 m, luego pasará por encima; b) alcance = 78,72 m
108. Un bombero desea apagar el fuego de una casa. Para ello deberá introducir agua por una ventana situada a 10 m de altura. Si sujeta la manguera a 1 m del suelo apuntándola bajo un ángulo de 60º hacia la fachada, que dista 15 m, ¿con qué velocidad debe salir el agua? ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la ventana? Solución: 16,11 m/s y 1,86 s
109. Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 500 m/s batiendo un objeto situado a 1200 m en la misma horizontal del punto de lanzamiento. Calcula el ángulo de elevación. Solución: 1,34º (1º 20´53,14“)
110. Se lanza desde el suelo una pelota bajo un ángulo de 30º con la horizontal y cae en una terraza de un edificio situado a 30 m de distancia. Si la terraza está a una altura de 10 m, calcula la velocidad con que se lanzó. Solución: 29 m/s
111. Un futbolista chuta hacia la portería con una velocidad de 15 m/s y un ángulo de inclinación de 30º en el momento en que se encuentra a 15,6 m de la portería. Calcula la altura que alcanza el balón cuando pasa por la línea de meta y su velocidad en ese instante. Solución: 1,9 m ; 13,7 m/s
112. Un motorista asciende por una rampa de 20º y cuando se encuentra a 2 m sobre el nivel del suelo “vuela” a fin de salvar un río de 10 m de ancho. ¿Con qué velocidad debe despegar si quiere alcanzar la orilla sin mojarse? Solución: 9,92 m/s
113. Se dispara un proyectil con una velocidad de 400 m/s, formando un ángulo de 30º con la horizontal. Calcula: a) Componentes de la velocidad en el instante de la salida. b) Tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura. c) Altura máxima alcanzada. d) Alcance del proyectil. Solución: a) v ox = 346,41 m/s ; v oy = 200 m/s ; b) 20,4 s ; c) 2040,81 m ; d) 14139,19 m
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114. Una pelota se desliza por un tejado que tiene un ángulo de inclinación de 30º sobre la horizontal, de manera que llega a su extremo con una velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es de 40 m y la anchura de la calle a la que vierte el tejado, 30 m. Determina si la pelota llegará directamente al suelo o chocará antes con la pared opuesta. Solución: alcance de la pelota = 20,71 m luego cae directamente al suelo
115. Un futbolista lanza el balón bajo un ángulo de 37º respecto a la horizontal y con una velocidad inicial de 20 m/s. Un segundo jugador situado 20 m delante de él, en l a dirección y sentido de la bolea, echa a correr para hacerse con el balón en el mismo momento que aquél lo lanza. ¿Qué velocidad debe llevar este segundo jugador para alcanzar el balón justo en el instante en que toca el suelo? Solución: 7,67 m/s con MRU
116. Se dispara un cañón con un ángulo de elevación de 30º. La velocidad de salida de la bala es de 400 m/s. Determina: a) Tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura. b) Máxima altura alcanzada. c) Tiempo de vuelo y alcance del disparo. d) Posición y velocidad de la bala a los tres segundos de efectuado el disparo. (Considera que el cañón se encuentra situado en el origen de coordenadas). Nota: Tómese g = 10 m/s2 Solución: a) 20 s; b) 2000 m; c) 40 s y 13856,40 m; d) x = 1039,23 m ; y = 555 m ; v = 385,8 m/s
117. Un balón de rugby es disparado por un jugador con una velocidad de 20 m/s y formando un ángulo de 45º con la horizontal. Un jugador del equipo contrario situado a 55 m de distancia del primero corre en busca del balón. ¿Cuál debe ser su velocidad para recoger el balón antes de que llegue al suelo? Solución: al menos de 4,9 m/s
118. Desde lo alto de una torre de 50 m se deja caer un objeto; en el mismo instante se dispara contra él una bala a 200 m/s desde un punto del suelo situado a 100 m de la base de la torre. ¿Hará blanco la bala? En caso afirmativo, ¿en qué punto? Solución: 26,50º; 0,56 s; 48,4 m
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