Chap8 Transformée de Fourier discrète.pdf

La TFTD est complexe et périodique.de période f s

8.1. Introduction Problémat Problématique ique :  Déterminer et mesurer le spectre d’un signal continu x (t ) à partir de la suite d’échantillons du signal échantillonné x [n ]

X(jf)

Signal continu

Hypoth Hypothèse èses s: d’échantillonnage respecte Shannon : f s > 2.fmax  Choix de la fréquence d’échantillonnage Echantillonnage et quantification parfaits (Erreur liée à la quantification  Echantillonnage négligée)

Spectre

Xs(jf)

8.2. Transformée de Fourier d’un signal numérique

On définit la Transformée de Fourier Inverse à temps disret TFT!"1 #

Analogie avec la TF classique : Cours Traitement Signal

Remarque:

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1

Cours Traitement Signal

La TFTD dépend de Ts

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2

xn! F "1#2

1#2

On définit la fréquence normalisée : $ éc%antillons

D’où la TFTD normalisée :

"1#2

1#2

TFT!"1 normalisée#

8.3. Transformée de Fourier discrète

La TFTD étant continue elle ne se prête pas au calcul numérique ! Son intérêt est purement théorique et mathématique. mathématique.

Soit x[n] un signal échantillonné à durée finie donc formé de N échantillons. échantillons. La TFTD de ce signal s’écrit : La TFTD normalisée de ce signal s’écrit :



Echantillonnage fréquentiel de X s(jF) avec périodicité 1/N ou fs/N en fréquences non normalisées.



N échantillons sur l’intervalle [-1/2, 1/2[ ou sur [-f s /2, fs /2[

On définit la Transformée de Fourier Discrète DFT de x[n] comme la DTFT de x[n] avec 0 ≤ k ≤ N-1 calculée aux points d’échantillonnage F = k/N



l'espace du temps est caractérisé par la durée de l'enregistrement T et par l'incrément temporel t qui n'est autre que la période d‘échantillonnage Ts

l'espace des fréquences est caractérisé par l'incrément fréquentiel f et la fréquence d‘échantillonnage fS 

N = nombre d’échantillons utilisés dans le calcul. Transformée de Fourier Discrète Inverse

8.* +elations temps , fréquences &es domaines temporel et fréquentiel sont discrétisés a'ec le m(me nom)re de points $. x(t), x[n] |X(jf)|,|X DFT[jk]| f s = 1/Ts= N∆f  ∆f  ∆t=Ts=1/f s f s/2 Cours Traitement Signal

8.- ropriétés de la /FT

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On en déduit donc trois relations importantes liant les domaines temporel et fréquentiel:

Pour un nombre donné de points N, pas possible d'avoir simultanément une très bonne définition temporelle ( t petit) et une très bonne définition fréquentielle ( f petit).

f s &

Cours Traitement Signal

*emar+ue #

linéarité   &a /FT est"elle périodique 0

additivité  repliement  déphasage  multiplication  convolution périodique 

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'

8.. 4lgorit%me de la Transformée de Fourier +apide -Fast Fourier Transform FFT

Le processus est répété sur chacun des deux calculs précédents, et ainsi de suite, jusqu‘au calcul de la DFT .

cet algorithme a été publié en 1965 James Cooley (IBM) et John Tukey (Bell Labs)  il repose sur une façon particulière de calculer la DFT qui économise certaines opérations et accélère donc le calcul. Cet algorithme nécessite que le nombre N d’échantillons soit une puissance de 2 (soit 2n) et son principe est le suivant: 

Le gain en nombre de calculs et donc en temps est impressionnant.

DFT

Pour la DFT, un point du spectre se calcule par :

$2 opérations

Si on sépare les échantillons en échantillons pairs p(n) et impairs i(n), on peut écrire :

$#22 opérations Cours Traitement Signal

Exemple :

N = 212 = 4096 échantillons

$#22 opérations

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,

Cours Traitement Signal

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1/  

xn!

Exemple : Calculer la DFT du signal suivant : x[n] = {1, 2, 1, 0}

Exemple: 

1 n 5

1

2

3

6alculer la /FT et la TFT/ de xn!

DFT :

TFTD :

N=4