Fungsi-fungsi khusus: Fungsi gamma, beta, error; Integral dan fungsi Eliptik 1. Fungsi Faktorial Integral berikut ini (untuk α > 0) dapat dihitung dengan cara yang biasa (Kalkulus)
Dari pembahasan pada BAB 4 buku BOAS, integral dapat didiferensialkan, yaitu
…… (4.12.9) sehingga integral di atas bila didiferensialkan terhadap α akan memberikan (ingat pers 12.10:
Artinya
Dan bila prosesnya diulangi:
yang berarti
yang berarti
Secara umum dapat dinyatakan
Untuk nilai α = 1, maka diperoleh
(definisi fungsi faktorial) Untuk n = 0 akan diperoleh
2. Fungsi Gamma Fungsi Gamma didefinisikan sebagai
p tidaklah harus berupa bilangan bulat. Untuk bilangan bulat n bila digunakan integral yang telah diperoleh pada bagian terdahulu, maka
Diperoleh
Bila persamaan tersebut diintegralkan (menggunakan metoda integral parsial dengan menggunakan xp = u dan e-x dx = dv maka
Yang menghasilkan hubungan rekursif (perulangan) untuk fungsi Gamma:
Nilai fungsi Gamma umumnya telah ditabelkan untuk 1
Sehingga
Contoh lain:
→ Tabel fungsi Gamma
→ Tabel fungsi Gamma
3. Fungsi Gamma untuk Bilangan Negative. Dengan cara yang sama dapat dicari nilai fungsi Gamma untuk nilai p negative Γ( p ) =
Γ( p +1) p
Dan
Karena Γ(1) = 1 dan dari hubungan tersebut di atas, maka dapat dinyatakan:
jika p → 0
4. Beberapa Rumus Penting yg Melibatkan Fungsi Gamma.
{ definisi fungsi Gamma untuk p = 0,5} dengan mengubah variabelnya menggunakan √t = y → t = y2 ; dt = 2ydy, maka Γ(1/2) dapat dinyatakan menjadi
→ dapat pula dituliskan
Bila keduanya dikalikan
dan diselesaikan dengan menggunakan sistem koordinat polar, maka didapat
Sehingga Contoh plot fungsi gamma
Tabel Nilai Fungsi Gamma
5. Fungsi Beta Fungsi Beta didefinisikan sebagai
Bentuk-bentuk lainnya dari fungsi Beta dapat diperoleh dengan mengganti variabel-variabelnya. Misalnya dengan menggunakan variabel baru y = ax yang berarti x = y/a, maka akan diperoleh dx = dy / a Batas integralpun harus diubah. Jika x = 0 maka y = 0 dan untuk x = 1 maka y = a. Fungsi Beta B(p,q) dituliskan kembali dalam bentuk:
yang akan memberikan:
Untuk mendapatkan bentuk fungsi Beta dalam variabel sudut (trigonometri), lakukan substitusi x = sin2θ yang memberikan dx = 2sinθcosθdθ.
Lakukan substitusi untuk batas integral. Untuk x = 0 berarti θ = 0 sedangkan jika x = 1 berarti θ = π/2. Dengan demikian fungsi Beta B(p,q) dituliskan dalam variabel baru menjadi:
Bentuk lainnya misalkan yang melibatkan batas integral dari 0 sampai ∞. Lakukan substitusi dengan variabel baru y di mana x = y/(1 + y) dengan variabel baru tersebut dapat dinyatakan:
Dan
Maka
Fungsi Beta dapat dihitung dengan menggunakan hubungannya dengan fungsi Gamma yang beberapa nilainya telah ditabelkan. Fungsi gamma untuk p dinyatakan sebagai
Jika digunakan variabel baru y di mana t = y2 maka fungsi Gamma tersebut menjadi
Jika variabel dummy dalam integral diubah menjadi variabel lain, dapat dituliskan:
Bila kedua integral tersebut dikalikan dan digunakan sistem koordinat polar maka akan diperoleh
Sedangkan
Sehingga . Dengan demikian fungsi Beta dapat dinyatakan dalam fungsi Gamma
Dengan hubungan tersebut, bentuk integral yang dinyatakan dalam fungsi Beta dapat diperoleh nilainya dengan menggunakan tabel fungsi Gamma. Misalkan untuk menghitung integral
Integral tersebut dapat dinyatakan dalam fungsi Beta dengan p = 4 dan q = 1. Dan menggunakan fungsi Gamma dapat dituliskan:
Contoh Penggunaan Suatu pendulum sederhana dengan panjang tali l dan massa m. Telah pernah dibahas bahwa energi kinetik sistem tersebut dapat dinyatakan
Sedangkan energi potensialnya
V = - mgl cosθ
Lagrangian sistem tersebut adalah dan persamaan Lagrangenya adalah
Biasanya dianalisa untuk gerak dengan sudut simpangan yang kecil yang memberikan solusi berupa gerak harmonik sederhana. Namun untuk sudut simpangan yang tidak kecil, penggunaan fungsi Beta akan dapat membantu. Jika persamaan differensial di atas dikalikan dengan dθ/dt maka akan diperoleh
Misalkan untuk gerak dengan θ dari -π/2 sampai +π/2 untuk keadaan ini pada θ = 90 sehingga const = 0 maka diperoleh
Untuk θ dari 0 sampai π/2 dapat dinyatakan
atau periodanya adalah
Integral tersebut dapat dinyatakan sebagai fungsi Beta:
Fungsi Error Fungsi Error menyatakan luas daerah di bawah kurva y = e x . Fungsi Error didefinisikan dalam bentuk 2
Definisi tersebut adalah definisi standard fungsi Error, meskipun demikian terdapat beberapa bentuk integral yang dapat dinyatakan dalam fungsi Error.
Misalkan t = u√(2) maka t2 = 2u2 dan dt = √(2) du, maka
Suku kedua dapat dinyatakan sebagai fungsi Error
sedangkan suku pertama karena merupakan integral dari suatu fungsi genap maka dapat dituliskan sebagai
Sehingga
Fungsi Φ(x) dikenal sebagai fungsi distribusi normal standard = fungsi distribusi kumulatif Gauss (Gaussian cumulative distribution function) yang banyak dijumpai dalam persoalan statistika. Ada juga fungsi yang disebut sebagai fungsi error pelengkap (complementary error function) yang dinyatakan dengan erfc(x). Definisinya adalah
Bila integral tersebut diuraikan, dapat dinyatakan
Sehingga dapat dinyatakan
Dengan menggunakan definisi fungsi error, maka dapat dinyatakan
Untuk nilai x yang kecil fungsi erf(x) dapat dinyatakan dengan deret:
Fungsi error imajiner (imaginary error function) yang dinyatakan dengan erfi(x) didefinisikan sebagai
