BAB I PENDAHULUAN
Bilangan kompleks merupakan bagian penting dalam fisika. Bilangan kompleks merupakan merupakan bahasan bahasan lanjutan dari fisika matematika. matematika. bilangan kompleks kompleks sangat penting penggunaannya dalam menentukan beberapa bidang ilmu disiplin lainnya seperti dalam teknik elektro dimana penulisan i digunakan untuk menentukan kuat arus. Masih banyak lagi kegunaan atau aplikasi dari penggunaan bilangan kompleks ini. Pada makalah ini penulis akan menjelaskan beberapa penggunaan bilangan kompleks dalam bidang ilmu fisika.
1
Daftar isi
BAB 1 Pendahuluan..............................................................................................................1 Daftar isi. ...................................................................................................................2 BAB 2 Bilangan Kompleks..................................................................................................3 Sifat aljabar bilangan kompleks ..............................................................................4 Penerapan bilangan kompleks.............................................................................. 5 Daftar pustaka............................................................................................................8
2
BAB 2 BILANGAN KOMPLEKS
Istilah bilangan kompleks digunakan untuk menunjukkan set bilangan real, imaginer atau gabungan keduanya, seperti 1± i . Maka i + 5, 17i, 4 mewakili contoh-contoh bilangan kompleks. Bilangan kompleks dirumuskan sebagai
z = x+iy
Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk
dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner
tertentu yang
mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a . Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i . Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil. Sebuah bilangan kompleks seperti 5 + 3i adalah jumlah dari dua suku. Suku real (tidak mengandung i ) disebut bagian real dari bilangan kompleks. Koefisien i dalam suku yang lain disebut bagian imaginer dari bilangan kompleks. Dalam bilangan 5 + 3i , 5 adalah bagian real, sementara 3 adalah bagian imaginer. Penting. Adapun bagian imaginer dari suatu bilangan kompleks, bukan imaginer tetapi real. Salah satu dari bagian real atau bagian imeginer dari suatu bilangan kompleks dapat bernilai nol. Jika bagian real bernilai nol, bilangan kompleks tersebut murni imaginer. Bagian real yang nol dapat diabaikan, sehingga misalnya 0 + 5 i cukup ditulis 5i . Jika
3
bagian imaginer dari bilangan kompleks tersebut lenyap, maka bilangan kompleks tersebut murni real. Sehingga misalnya, 7 + 0i cukup ditulis dengan 7.
Dalam aljabar, sebuah bilangan kompleks biasanya ditulis sebagai suatu jumlahan, seperti 5 + 3i . Bentuk ini dapat pula ditulis dalam bentuk (5, 3). Jadi kalau kita ingin menjumlahkan antara dua buah bilangan kompleks, misalnya 5 + 3i dengan 4 + 2i , kita dapat menuliskannya dalam bentuk (5 + 3i ) + (4 + 2i ) = 9 + 5i atau dalam bentuk (5, 3) + (4, 2) = (9, 5).
Dalam pembahasan mekanika, kita juga dapat menggunakan konsep bilangan kompleks, misalnya penyajian vektor posisi partikel dalam dua dimensi, dimana posisi x dan y berturut-turut merupakan bagian real dan imaginer dari vektor posisi z .
1. Beberapa sifat aljabar bilangan kompleks
1. Dua bilangan kompleks dikatakan sama :
z 1 = z 2 jika dan hanya jika keduanya memiliki bagian real yang sama : Re(z 1) = Re(z 2 ) , demikian pula dengan bagian imaginernya : Im(z 1) = Im(z 2 ) .
2. Penjumlahan dua bilangan kompleks z 1 = x 1 + iy 1 dan z 2 = x 2 + iy 2 juga menghasilkan bentuk bilangan kompleks
z = z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 )+ i( y 1 + y 2 ) . Demikian pula untuk pengurangan berlaku
z = z 1 - z 2 = (x 1 - x 2 ) + i( y 1 - y 2 ) .
3. Penjumlahan bilangan kompleks memenuhi kaedah ketaksamaan segitiga II z 1 I - I z 2 II
4.
Himpunan
C
bilangan
I z 1 + z 2 I
kompleks
I
z 1I + I z 2 I
membentuk
suatu
grup
terhada
penjumlahan, karena :
4
a. Himpunan tersebut bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan, yaitu untuk setiap pasangan 1, 2 C z z maka 1 2 C z z z .
b. Bersifat asosiatif terhadap aturan penjumlahan yaitu (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) = z 1 + z 2 + z 3 c. Terdapat unsur netral yaitu 0 C yang memenuhi
z + 0 = 0 + z = z d. Untuk setiap z C terdapat inversinya terhadap kaedah penjumlahan (disebut -z ) sedemikian sehingga berlaku z C dan z + ( z) = z z = 0 5. Karena berlaku z 1 + z 2 = z 2 + z 1 maka grup tersebut bersifat komutatif terhadap penjumlahan.
Didefinisikan konjugat kompleks untuk bilangan kompleks z = x + iy dengan lambang
z * = x – iy sehingga
Re z * = Re z , Im z * = - Im z ,
Konjugat kompleks ini dapat langsung diperoleh dengan menukar tanda + i menjadi −i . Sebagai contoh konjugat kompleks dari 2 + 3 i adalah 2 − 3i . Konjugat kompleks
ini merupakan pencerminan bilangan kompleks terhadap sumbu x .
2. Penerapan Bilangan Kompleks Pada bagian
ini akan dijelaskan
beberapa penerapan bilangan kompleks pada
bidang ilmu fisika, misalnya pada mekanika, kelistrikan dan optika. Pada bagian tersebut bilangan ompleks sangat penting guna mencari variabel-variabel yang ada
2.1 Mekanika Mekanika merupakan bagian atau bab dalam fisika, di universitas mekanika merupakan bahasan mata kuliah yang wajib diambil bagi mahasiswa fisika. Mekanika mempalajari suatu sistem benda yang bergerak. Dalam pembahasan mekanika, kita juga dapat menggunakan konsep bilangan kompleks, misalnya penyajian vektor posisi partikel dalam dua dimensi, dimana posisi x dan y berturut5
turut merupakan bagian real dan imaginer dari vektor posisi z . Berikut ini adalah beberapa contoh soal dalam mekanika yang menggunakan konsep bilangan kompleks.
Contoh soal : Sebuah partikel bergerak di dalam bidang ( x , y ) sedemikian sehingga posisi ( x , y ) sebagai fungsi waktu t disajikan oleh persamaan
z = x + iy =
Carilah besar kecepatan dan percepatannya sebagai fungsi t !
Jawab : Dari bentuk z = x + iy di atas, kecepatan kompleks dan percepatan kompleks berturut-turut dirumuskan sebagai v=
dan
a =
Karena itu besar kecepatan dan besar percepatan masing-masing sama dengan I v I I dz / dt I Dan I a l = l d 2z / dt 2 l. Untuk nilai z di atas :
=-
Maka
=
Sehingga
6
lal=
contoh mekanika diatas adalah salah satu bentuk apliaksi dan penerapan bilangan kompleks di bidang ilmu fisika. Sebenarnya masih bnyak lagi penerapan dan aplikasi dari bilangan kompleks, diatarnya pada optika, kelistrikan dan bidang ilmu f isika lainnya. Bukan hanya di bidang fisika bilangan kompleks juga digunakan dalam disiplin ilmu lainnya seperti teknik elektro sebagai contohnya.
7
DAFTAR PUSTAKA
Id.wikipedia.org/bilangankompleks
Buku pengantar fisika, Dr. Eng. Rinto Anugraha Nqz Jurusan Fisika Fmipa Ugm Yogyakarta 2011
8
