Curso: Métodos Cuantitativos para los Negocios
Modelación con variables Xi Parte I
CASO 1 (Decisiones de Producción) SPORT S.A. f abrica abrica
raquetas de tamaño estándar y grande. Las raquetas de la empresa son extremadamente ligeras debido al uso de una aleación especial de magnesio y graf ito. ito. Cada Cada raque raqueta ta de de tamañ tamaño o está estánda ndarr utili utiliza za 0.12 0.125 5 Kg. Kg. de aleación especial y cada raqueta grande utiliza 0.4 Kg. de aleación especial. Para Para el sigui siguien ente te peri periodo odo de produc producció ción n de de dos dos semanas sólo hay disponible 80 Kg. de aleación especial.
Cada Cada raqu raquet eta a de tama tamaño ño está estánd ndar ar ocu ocupa pa 10 minutos de tiempo de f abricación abricación y cada raqueta tamaño grande utiliza 12 minutos. Las contri contribu bucio cione nes s a la la util utilid idad ad son son de S/.10 S/.10 por por cada raqueta estándar y S/.20 por cada raqueta grande y están disponibles 40 horas de tiempo de producción por semana. La pol políti ítica ca del del dep depar arta tame ment nto o de mar marke keti ting ng ha especif icado icado que por lo menos 20% de la producción total debe ser de la raqueta de tamaño estándar. Se desea maximizar las utilidades utilidades de la empresa, asumiendo que venderá todas las raquetas que puede producir.
Primer Paso: inimos Def inimos
las variables de
Decisión Atributo
... Cantidad de raquetas tamaños estándar a fabricar durante las próximas dos semanas.
X1
Accion
Horizonte de tiempo
... Cantidad de raquetas tamaño grande a fabricar durante las próximas dos semanas.
X2
Segundo Paso: Def inimos
la Función Objetivo ¿Que es lo que se quiere optimizar? Maximizar las utilidades de la empresa Max 10 X1
+ 20 X2
Tercer Paso: Def inimos
las Restricciones ¿Cuáles son las condiciones, requisitos, ...? Cada raqueta de tamaño estándar utiliza 0.125 Kg. de aleación especial y cada raqueta grande utiliza 0.4 Kg. de aleación especial. Para el siguiente periodo de producción de dos semanas sólo hay disponible 80 Kg. de aleación especial. Aleación
disponible
Materia prima a utilizar <= Disponible 0.125 X1
+ 0.4 X2
<= 80
Cada raqueta de tamaño estándar ocupa 10 minutos de tiempo de f abricación y cada raqueta tamaño grande utiliza 12 minutos. « están disponibles 40 horas de tiempo de producción por semana. Tiempo
disponible 10 12 <=40*2 X1 X2 60
60
+ 12 X2 10 X1 + 12 X2 10 X1
<= 40 * 2 60 <= 4800
La política del departamento de marketing ha especif icado que por lo menos 20% de la producción total debe ser de la raqueta de tamaño estándar. X1 >= 0.2(X1+X2) 0.8X1-0.2X2
>= 0
X1
... Cantidad de raquetas estándar a fabricar las próximas dos semanas. X2 ... Cantidad de raquetas grande a fabricar las próximas dos semanas. Max 10 X1
+ 20 X2
st 0.125 X1 + 0.4 X2 8 0 10 X1 + 12 X2 4 800 0.8 X1 - 0.2 X2 0 X1 , X2 0
(Aleación disponible) (Tiempo disponible) (Mezcla de producción) (No negatividad)
CASO 2 (Decisiones de Distribución) f abrica
M ANWALK S.A.
intercomunicadores portátiles. El nuevo producto de la empresa tiene largo alcance (50 kilómetros) y es adecuado para una diversidad de usos comerciales y personales. Debido a los dif erentes costos de distribución y de promoción, la rentabilidad del producto variará según el canal de distribución. Además el costo de publicidad y el esf uerzo de ventas personales requerido variarán de acuerdo con los canales de distribución, tal como se muestra:
Canal de distribución
Distribuidores de equipos
marinos Distribuidores de equipos de o f icina Tiendas nacionales de menudeo Pedidos por correo
Utilidad por unidad vendida (dólares)
90 84 70 60
Costo de Esfuerzo de publicidad personal por unidad por unidad vendida vendida (dólares) (horas)
10 8 9 15
2 3 3 Ninguna
La empresa ha asignado un presupuesto de publicidad de $5,000 y están disponibles 1,800 horas como máximo para el esf uerzo de ventas. La administración también ha decidido asignar 600 unidades durante el periodo de producción actual. Finalmente un contrato vigente con las tiendas nacionales de menudeo requiere que por lo menos se distribuyan 150 unidades a través de este tipo de canal de distribución. Se desea maximizar las utilidades de la empresa MANWALK.
Primer Paso: Def inimos
las variables de compresión)
Decisión
(por
Sea Xi
la cantidad de intercomunicadores a distribuir a través del canal i ( 1
= distribuidores de equipos marinos
2
= distribuidores de equipos de oficina
3 = tiendas nacionales de menudeo 4 = pedidos por correo)
Segundo Paso: Def inimos
la Función Objetivo ¿Que es lo que se quiere optimizar?. Maximizar las utilidades de la empresa MAX
90 X1 + 84 X2 + 70 X3 + 60 X4
Tercer Paso: Def inimos 2) 10 X1
las restricciones
+ 8 X2 + 9 X3 + 15 X4 <= 5000 (Pres. Pub.)
3) 2 X1 + 3 X2 + 3 X3 <= 1800 (Horas disponibles) 4) X1 + X2 + X3 + X4 = 600 (Unidades asignadas) 5) X3 Xi
>= 150 (T N de Menudeo)
>= 0
Sea Xi
la cantidad de intercomunicadores a distribuir a través del canal i ( 1 = distribuidores de equipos marinos 2 = distribuidores de equipos de oficina 3 = tiendas nacionales de menudeo 4 = pedidos por correo) MAX 90 X1 + 84 X2 + 70 X3 + 60 X4 SUBJECT TO 2) 10 X1 + 8 X2 + 9 X3 + 15 X4 <= 5000 (Pres. Pub.) 3) 2 X1 + 3 X2 + 3 X3 <= 1800 (Horas disponibles) 4) X1 + X2 + X3 + X4 = 600 (Unidades asignadas) 5) X3 >= 150 (T N de Menudeo) Xi >= 0
CASO 3 (Decisiones de Inversión) Considere que la
empresa I NVERS I ONES AUDACES acaba de obtener f ondos de un cliente por $100,000 y está buscando oportunidades de inversión. Con base a las inversiones actuales de la empresa, el analista f inanciero principal de la empresa recomienda que todas las nuevas inversiones se e f ectúen en empresas del sector minero, empresas del sector agroindustrial o en bonos del gobierno. Específ icamente, el analista ha identi f icado las siguientes oportunidades de inversión:
Inversión
Minera Atacocha Minera San Vicente Compañía Agroind. La Hacienda Agrícola Oxapampa S.A.C. Bonos del gobierno
Tasa
de rendimiento proyectado (%)
7.3 10.3 6.4 7.5 4.5
La administración de INVERSIONES AUDACES ha impuesto las siguientes guías de inversión: Ningún sector (minero o agroindustrial) debe recibir más de $50,000. Los bonos del gobierno deben ser por lo menos 25% de las inversiones en el sector agroindustrial. La Minera San Vicente, dado que es de elevado rendimiento pero de alto riesgo, las inversiones en ella no pueden superar el 60% del total de las inversiones en el sector minero. Se desea maximizar el rendimiento total proyectado.
Primer Paso: Def inimos
las variables de compresión) Sea Xi
Decisión
(por
la cantidad de DINER O (soles) a invertir en la opción i ( 1 = Minera Atacocha 2 = Minera San Vicente 3 = Agroindustria La Hacienda 4 = Agrícola Oxapampa 5 = Bonos de gobierno)
Segundo Paso: Def inimos
la Función Objetivo ¿Que es lo que se quiere optimizar?. Maximizar el rendimiento total proyectado MAX 0.073
+ 0.103 X1
+ 0.064 X2
+ 0.075 X3
+ 0.045 X4
X5
Tercer Paso: Def i nimos
las restricciones
La empresa acaba de obtener f ondos de un cliente por S/. 100 000. X1 + X2 + X3 + X4 + X5 <= 100000
Ningún sector (ni minero ni agroindustrial) debe recibir mas de S/. 50 000. X1 + X2 <= 50000 X3 + X4 <= 50000
Los bonos del gobierno deben ser por lo menos 25% de las inversiones en el sector agroindustrial. X5 >= 0.25 (X3 + X4) - 0.25 X3 - 0.25 X4 + X5 >= 0
Las inversiones en la Minera San Vicente, dado que es de elevado rendimiento pero de alto riesgo, no pueden superar el 60 % del total de las inversiones en el sector minero. X2 <= 0.6 (X1 + X2) - 0.6 X1 + 0.4 X2 <= 0
Sea Xi
la cantidad de DINER O (soles) a invertir en la opción i ( 1 = Minera Atacocha 2 = Minera San Vicente 3 = Agroindustria La Hacienda 4 = Agrícola Oxapampa 5 = Bonos de gobierno) MAX 0.073 X1 + 0.103 X2 + 0.064 X3 + 0.075 X4 + 0.045 SUBJECT TO 2) X1 + X2 <= 50,000 3) X3 + X4 <= 50,000 4) X5 >= 0.25 (X3 + X4) 5) X2 <= 0.60 (X1 + X2) 6) X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 100,000 Xi >= 0
X5
odelo: MRestricciones:
MAX 0.073X1 + 0.103X2 + 0.064X3 + 0.075X4 + 0.045X5
X1:Cantidad de soles a st invertir en Minera La Atacocha empresa acaba de X1 + X2 + X3 + X4 + X5 <= 100000 obtener de un f ondos X2: Cantidad de soles a invertir en San cliente por S/.Minera 100 000. Ningún sector (ni minero X1 + X2 <= 50000 Vicente Los bonos del ni agroindustrial) X3: de gobierno soles ala LasCantidad inversiones endebe deben serSan por loVicente, menos recibir mas de S/. 50 000. X3 + X4 <= 50000 invertir en Compañía Minera Agroindustrial La 25% de dado quelas es inversiones de elevado - 0.25 X3 - 0.25 X4 + X5 >= 0 Hacienda rendimiento en el pero de sector alto X4: Cantidad de soles a riesgo, pueden - 0.6 X1 + 0.4 X2 <= 0 agroindustrial. invertir no en Agrícola superar el 60% total Xi >= 0 Oxapampa S.A.C. X5 >= 0.25 (X3del + X4) de las inversiones X5:Cantidad de solesen ael sector minero. invertir en Bonos del Gobierno X2 <= 0.6 (X1 + X2)
CASO 4 (Decisiones de Programación) Es
un problema de rutina en los hospitales planif icar las horas de trabajo de las enf e rmeras. Un modelo de planif icación es un problema de programación con enteros que consiste en minimizar el número total de enf ermeras contratadas sujeto al número especif icado de ellas durante cada período del día.
Período
Horario
Número requerido de enfermeras
1 2 3 4 5 6
8:00 ± 12:00 12:00 ± 16:00 16:00 ± 20:00 20:00 ± 00:00 00:00 ± 04:00 04:00 - 08:00
10 8 9 11 13 8
Dado
que el turno de cada en f ermera es de ocho horas consecutivas, puede comenzar a trabajar al inicio de cualquiera de los períodos, es decir, que en esta aplicación no consideramos ningún período que comience a las 9:00, 11:00, etc. La pregunta es: ¿cuántas en f ermeras deberán comenzar en cada período para satis f acer los requerimientos del recurso especi f icados en la tabla?
Es un problema de rutina en los hospitales planif icar las horas de trabajo de las en f ermeras. Un modelo de plani f icación es un problema de programación con enteros que consiste en minimizar el número total de en f ermeras contratadas sujeto al número especi f icado de ellas durante cada período del día.
10
8
9
11
1
2
3
4
8.00-12.00
12.00-16.00
5
8
6
16.00-20.00 20.00-24.00 24.00-04.00 04.00-08.00
X1 X2 X3 X1+X2>=8
13
X2+X3>=9
Primer Paso: Def inimos
Sea Xi
las variables de
Decisión
la cantidad de enfermeras que comienzan a trabajar (comienzan su turno) en el período i ( 1, 2, 3, 4, 5, 6) diariamente.
Segundo Paso: Def inimos
la Función Objetivo ¿Que es lo que se quiere optimizar? Minimizar el numero de enf ermeras que se debe contratar Min X1
+ X2 + X3 + X4 + X5 + X6
Tercer Paso: Def inimos
las Restricciones ¿Cuáles son las condiciones, requisitos, ...? X6 X1 X2 X3 X4 X5
+ X1 >= 10 + X2 >= 8 + X3 >= 9 + X4 >= 11 + X5 >= 13 + X6 >= 8
Sea Xi
la cantidad de enfermeras que comienzan a trabajar (comienzan su turno) en el período i ( 1, 2, 3, 4, 5, 6) diariamente. Min X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 st X6 + X1 >= 10 X1 + X2 >= 8 X2 + X3 >= 9 X3 + X4 >= 11 X4 + X5 >= 13 X5 + X6 >= 8 X1, X2, X3, X4, X5, X6 >= 0
CASO 5 (Decisiones de Marketing) Motores Andinos S.A. (M ASA) ha desarrollado un
nuevo vehículo deportivo 4 x 4. Como parte de la campaña de Mercadotecnia, M ASA ha desarrollado una presentación de ventas en vídeo tanto a propietarios de vehículos de tracción en las cuatro ruedas ASA actuales, como a propietarios de M vehículos deportivos de la competencia. M ASA se ref iere a estos dos mercados objetivo como mercado de clientes actual y mercado de clientes nuevo. Las personas que reciban el vídeo promocional recibirán un cupón para un recorrido de prueba del nuevo modelo de ASA durante el f in de semana. M
Un f actor clave en el éxito de esta nueva promoción es la tasa de respuesta, es decir, el porcentaje de personas que reciban la nueva promoción y hagan el recorrido de prueba del modelo nuevo. M ASA estima que la tasa de respuesta para el mercado de clientes actual es de 25% y para el mercado de clientes nuevo es de 20%. La tasa de ventas es el porcentaje de individuos que recibiendo la nueva promoción y haciendo el recorrido, ef ectúa la compra. Los estudios de investigación de mercado indican que la tasa de ventas es del 0.8% para el mercado de clientes actual y de 2.5% para el mercado de clientes nuevo. El costo de cada promoción, excluyendo el costo del recorrido de prueba, es de $2.5 por cada promoción enviada al mercado de clientes actual y de $4 por cada promoción enviada al mercado de clientes nuevo.
La administración también ha decidido que se deberá enviar la nueva promoción a un mínimo de 150,000 clientes actuales y a un mínimo de 50,000 nuevos clientes. Además, el número de clientes actuales que haga el recorrido de prueba del nuevo vehículo debe ser por lo menos el doble del número de clientes nuevos que hagan el recorrido de la prueba del nuevo vehículo. Siendo el presupuesto de mercadotecnia para las promociones excluyendo el costo del recorrido, de $1¶000,000 se desea determinar la cantidad óptima de promociones que deberán ser enviadas a cada grupo de clientes para maximizar las ventas totales.
Primer Paso: Def inimos
las variables de
Decisión
... cantidad de promociones a enviar a clientes actuales N ... cantidad de promociones a enviar a clientes nuevos A
Tercer Paso: Def inimos
las Restricciones ¿Cuáles son las condiciones, requisitos, ...? 2.5 A + 4 N 1¶000,000 A 150,000 N 50,000 0.25 A 2 (0.2 N ) A, N 0
(Presupuesto) (Clientes actuales) (Clientes nuevos) (Cond. Recorrido)
Segundo Paso: Def inimos
la Función Objetivo ¿Que es lo que se quiere optimizar? Maximizar las ventas totales Max 0.008 (0.25 A)
+ 0.025 (0.20 N)
