INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I Tema
:
PROGRAMACIÓN LINEAL
Docente: Ing. Mylena Karen Vílchez Torres
Al término de la Sesión, el estudiante formula y diseña modelos matemáticos en base a problemas reales usando la programación lineal. LOGRO DE APRENDIZAJE:
1. Las restricciones pesqueras impuestas por el sector obligan a cierta empresa a pescar
como máximo 2000 kg de merluza y 2000 kg de rape, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de los 3000 kg. Si el precio de la merluza es de $4/kg y el precio del rape es de $6/kg, ¿qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?
2. Un fabricante produce dos productos, A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en
tres máquinas, como se indica a continuación: continuación: Modelos Alfa fabrica camisas y blusas para las tiendas Beta, que aceptan toda la producción de Alfa. En el proceso de producción intervienen: corte costura y empacado. Alfa emplea 25 trabajadores en el departamento de corte, 35 en el departamento de costura y 5 en el departamento de empaque. En fábrica se trabaja un turno de 8 horas, 5 días por semana. En la tabla siguiente se muestran los tiempos necesarios (minutos por unidad) y las utilidades ($) unitarias para las dos prendas. Prenda
Corte
Costura
Empaque
Utilidad unitaria
Camisas
20 MIN/UNI
70 MIN/UNI
12 MIN/UNI
8.00 $/UNI
Blusas
60 MIN/UNI
60 MIN/UNI
4 MIN/UNI
12.00 $/UNI
Determine el programa de producción semanal óptimo para que Alfa maximice la utilidad.
3. Unilever es una empresa multinacional que importa y comercializa de manera exclusiva
productos de alimentos (marcas: Dorina, Danesa, Astra, entre otras). Actualmente está desarrollando una nueva barra de mantequilla de cacahuate y chocolate. El dulce debe tener al menos 5 gramos de proteínas, pero no más de 5 gramos de carbohidratos y 3 gramos de grasas saturadas. Desarrolle un programa lineal, basándose en los siguientes datos: Costo ($/onza) Proteínas (gramos/onza) Carbohidratos (gramos/onza) Grasas saturadas (gramos/onza)
Mantequilla de Cacahuate 0.10 4.00 2.50 2.00
Chocolate 0.18 0.80 1.00 0.50
Determinar la cantidad de cada ingrediente por utilizar que satisfaga los requerimientos nutricionales a un costo total mínimo. X: CANTIDAD DE MANTEQUILLA DE CACAHUATE A USAR OZ/B Y: CANTIDAD DE CHOCOLATE A USAR OZ/B F.O. MIN Z = 0.1X+0.18Y $/B ST RP) 4X+0.8Y >= 5 G/B RC) 2.5X+Y <= 5 G/B RGS) 2X+0.5Y <= 3G/B RNN) X,Y >= 0 --MIN Z) 0.1X+0.18Y ST RP) 4X+0.8Y >= 5 RC) 2.5X+Y <= 5 RGS) 2X+0.5Y <= 3 END OBJECTIVE FUNCTION VALUE Z)
0.1250000
VARIABLE
VALUE
REDUCED COST
X
1.250000
0.000000
Y
0.000000
0.160000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES RP) 0.000000 -0.025000
RC)
1.875000
RGS)
0.000000
0.500000
NO. ITERATIONS=
0.000000
1
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES CURRENT ALLOWABLE
VARIABLE
COEF
INCREASE
X
0.100000
0.800000
Y
0.180000
INFINITY
ALLOWABLE
DECREASE 0.100000 0.160000
RIGHTHAND SIDE RANGES ROW
CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE
RP
5.000000
1.000000
5.000000
RC RGS
5.000000 3.000000
INFINITY INFINITY
1.875000 0.500000
4. Un granjero puede sembrar dos cultivos. Dispone de $ 3140 a fin de cubrir el costo del
sembrado. El granjero puede confiar en un total de 1350 horas-hombre destinadas a la recolección de los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por acre: CULTIVOS
COSTO DE SEMBRAR
DEMANDA HORAS-HOMBRE
UTILIDAD
PRIMERO
$20
5
$ 100
SEGUNDO
$40
20
$ 300
P: CANTIDAD DE TERRENO A SEMBRAR CON EL PRIMER CULTIVO A/P S: CANTIDAD DE TERRENO A SEMBRAR CON EL SEGUNDO CULTIVO A/P F.O. MAX Z = 100P+300S-20P-40S $/P ST RHH) 5P+20S <= 1350 H-H/P RC) 20P+40S <= 3140 $/P RNN) P,S >= 0 ----------------
MAX Z) 100P+300S-20P-40S ST RHH) 5P+20S <= 1350 RC) 20P+40S <= 3140 END OBJECTIVE FUNCTION VALUE Z)
18210.00
VARIABLE
VALUE
REDUCED COST
P
44.000000
0.000000
S
56.500000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS RHH) RC)
0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS=
DUAL PRICES
10.000000 1.500000
2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE
CURRENT COEF
ALLOWABLE
INCREASE
ALLOWABLE
DECREASE
P
80.000000
50.000000
15.000000
S
260.000000
60.000000
100.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES ROW
CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE
RHH
1350.000000
RC
3140.000000
220.000000
565.000000
2260.000000
440.000000
5. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La
empresa A le paga 5 céntimos, por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 céntimos por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los
impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? A : CANTIDAD DE IMPRESOS TIPO A U/D B : CANTIDAD DE IMPRESOS TIPO B U/D
F.O. MAX Z = 5A+7B C/D ST CBA) A <= 120 U/D CBB) B <= 100 U/D RAB) A+B <= 150 U/D RNN) A,B >= 0 --------------------------------------MAX Z) 5A+7B ST CBA) A <= 120 CBB) B <= 100 RAB) A+B <= 150 END OBJECTIVE FUNCTION VALUE
Z)
950.0000
VARIABLE A
VALUE 50.000000
REDUCED COST 0.000000
B
100.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS
DUAL PRICES
CBA)
70.000000
CBB)
0.000000
2.000000
RAB)
0.000000
5.000000
NO. ITERATIONS=
0.000000
2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE
CURRENT COEF
ALLOWABLE
INCREASE
A
5.000000
2.000000
B
7.000000
INFINITY
ALLOWABLE
DECREASE 5.000000 2.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES ROW
CURRENT RHS
CBA
ALLOWABLE
INCREASE
120.000000
ALLOWABLE
DECREASE
INFINITY
70.000000
CBB
100.000000
50.000000
70.000000
RAB
150.000000
70.000000
50.00000
6. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de
8 ha con olivos de tipo A, ni más de 10 ha con olivos del tipo B. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3. Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectá rea de tipo A requiere una inversión de 500 € y cada una de tipo B, 225 €. Se dispone de 4500 € para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar
de tipo A y B producen, respectivamente, 500 y 300 litros anuales de aceite:
-
Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción de aceite.
A: CANTIDAD DE TERRENO CULTIVADO CON OLIVO TIPO A HA/A B: CANTIDAD DE TERRENO CULTIVADO CON OLIVO TIPO B HA/A F.O. MAX Z = 500A+300B L/A ST ROA) A <= 8 HA/A ROB) B <= 10 HA/A RA) 4A+3B <= 44 m3/A RC) 500A+225B <= 4500 EU/A RNN) A,B >= 0 -----------MAX Z) 500A+300B ST ROA) A <= 8 ROB) B <= 10 RA) 4A+3B <= 44 RC) 500A+225B <= 4500 END OBJECTIVE FUNCTION VALUE Z)
5000.000
VARIABLE VALUE A 6.000000 B 6.666667
REDUCED COST 0.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ROA) 2.000000 0.000000 ROB) 3.333333 0.000000 RA) 0.000000 62.500000 RC) 0.000000 0.500000 NO. ITERATIONS=
3
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE A 500.000000 166.666672 100.000000 B 300.000000 75.000000 75.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE ROA 8.000000 INFINITY 2.000000 ROB 10.000000 INFINITY 3.333333 RA 44.000000 4.000000 5.333333 RC 4500.000000 400.000000 499.999969 7. Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero no mayor de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana $300. y $200 por cada viaje del B. ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? ¿Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo? A: CANTIDAD DE VIAJES QUE DEBE HACER EL AVION A V/P B: CANTIDAD DE VIAJES QUE DEBE HACER EL AVION B V/P F.O MAX Z = 300A+200B $/P ST R1) A > B V/P R2) A <= 120 V/P
R3) A+B > 60 V/P R4) A+B <= 200 V/P RNN) A,B >= 0
F.O MIN Z = 900A+700B L/P ST R1) A > B V/P R2) A <= 120 V/P R3) A+B > 60 V/P R4) A+B <= 200 V/P RNN) A,B >= 0 ---------------------------------MAX Z) 300A+200B ST R1) A-B > 0 R2) A <= 120 R3) A+B > 60 R4) A+B <= 200 END
MIN Z) 900A+700B ST R1) A-B > 0 R2) A <= 120 R3) A+B > 60 R4) A+B <= 200 END
OBJECTIVE FUNCTION VALUE Z)
48000.00
VARIABLE
VALUE
REDUCED COST
A
30.000000
0.000000
B
30.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS R1)
0.000000
R2)
90.000000
R3)
0.000000
R4)
140.000000
DUAL PRICES
-100.000000 0.000000 -800.000000 0.000000
NO. ITERATIONS=
3
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
VARIABLE
OBJ COEFFICIENT RANGES CURRENT ALLOWABLE COEF
A B
INCREASE
900.000000 700.000000
ALLOWABLE
DECREASE
INFINITY 200.000000 200.000000 1600.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES ROW
CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE
R1
0.000000
R2 R3 R4
60.000000
60.000000
120.000000 60.000000
INFINITY 140.000000
90.000000 60.000000
200.000000
INFINITY
140.000000
8. Un fabricante de radios portátiles está interesado en conocer cuantas unidades de los
tipos de radio que manufactura, deben de producirse durante el siguiente período de tiempo para maximizar la utilidad. Basándose en el desenvolvimiento pasado, él estima que la demanda para cada tipo de radio: A, B, C y D, será de 250, 300, 150 y 200 unidades, respectivamente. El fabricante tiene disponibles 1000 unidades de tiempo y 2000 unidades de materia prima, para el siguiente período. A continuación se presenta la información que el fabricante considera esencial para resolver el problema. En donde, por ejemplo, se requieren 3.0 unidades de tiempo y 2.2 unidades de materia prima para fabricar un radio de tipo B. formular como un modelo de PL.
Tipo de
Materia
Precio de venta
Costo de venta
radio
Tiempo
Prima
unitario
unitario
A
2.0
3.0
300
200
B
3.0
2.2
420
280
C
4.0
2.0
360
240
D
1.5
2.0
250
A: CANTIDAD DE RADIOS TIPO A PRODUCIR U/P B: CANTIDAD DE RADIOS TIPO B PRODUCIR U/P C: CANTIDAD DE RADIOS TIPO C PRODUCIR U/P D: CANTIDAD DE RADIOS TIPO D PRODUCIR U/P FO. MAX Z = 300A+420B+360C+250D-200A-280B-240C-150D UM/P ST RT) 2A+3B+4C+1.5D <= 1000 U/P MP) 3A+2.2B+2C+2D <= 2000U/P RDA) A <= 250 U/P RDB) B <= 300 U/P RDC) C <= 150 U/P RDD) D <= 200 U/P RNN) A,B,C,D >= 0 --------------------------------------MAX Z) 300A+420B+360C+250D-200A-280B-240C-150D ST RT) 2A+3B+4C+1.5D <= 1000 MP) 3A+2.2B+2C+2D <= 2000 RDA) A <= 250 RDB) B <= 300 RDC) C <= 150
150
RDD) D <= 200 END