Carta Smith

TELEMATICA 2 1) CARTA SMITH 2) QUE ES? 3) QUIENES LA CONFORMAN , o como se distribuye? 4) Aplicaciones 5) 1 ejercicio resuelto paso a paso paso 6) Admitancia coeficiente de reflexión reflexión 7) Impedancia relación onda estacionaria

SOLUCION

1) CARTA SMITH 2) QUE ES? LA CARTA DE SMITH La Carta de Smith es un método gráfico para calcular parámetros de impedancia, admitancia entre otros, orientado hacia antenas y líneas de transmisión.

Fue desarrollada por PHILIP H. SMITH en 1939 y se fundamenta en dos conjuntos de círculos ortogonales.

3) QUIENES LA CONFORMAN , o como se distribuye? Se fundamenta en dos conjuntos de círculos ortogonales. El primer conjunto representa la relación del componente resistivo de la impedancia de la línea (R) a la impedancia característica de la línea (Zo). El segundo conjunto representa la relación del componente reactivo de la impedancia de la línea (jX) entre la impedancia característica de la línea (Zo).

Z0 = R + j X 4) Aplicaciones



Convertir impedancias en admitancias y viceversa

Una vez graficado el punto correspondiente a la Impedancia, basta trazar una línea que, partiendo desde él y pasando por el centro, intersecte al círculo de Gamma constante sobre el lado opuesto. En dicha intersección podremos leer directamente el valor de Conductancia y Susceptancia. Otras aplicaciones de la carta de Smith son :  cálculo del inverso de un número complejo o el acoplamiento de las líneas de transmisión. Son tantas y tan variadas las posibilidades que brinda, que solo tratar de mencionarlas haría extender este documento mucho más allá de lo establecido. Originalmente, la carta de Smith era una herramienta de diseño en papel. Más recientemente, las actividades de RF se han convertido casi únicamente en una cuestión de computadores. Sofisticadas herramientas de diseño asistido por ordenador (CAD) han permitido incrementar significativamente la complejidad de los problemas que pueden ser frontados y el tiempo de diseño reducido. Sin embargo, el extendido uso de las herramientas de CAD no ha reducido para nada el uso de cartas de Smith. Los paquetes de software de diseño permiten que los resultados se muestren en gráficos con este formato. De la misma manera, los analizadores de redes más modernos también permiten visualizar resultados gráficamente en una carta de Smith. Simulación de java de la carta Smith para una línea de transmisión sin pérdidas http://www.amanogawa.com/archive/LossLessSmithChart/LossLessSmithChartWide-2.html

Con la carta de Smith es posible graficar y calcular los siguientes parámetros: 1. Atenuación cualesquiera  

entre

dos

puntos

Coeficiente de pérdida de una onda estacionaria Pérdidas por reflexión).

2. Longitud de la línea de transmisión entre dos puntos cualesquiera expresado en longitudes de onda 3. La impedancia o admitancia en cualquier punto a lo largo de la línea de transmisión  

Magnitud del coeficiente de reflexión Angulo del coeficiente de reflexión)



4. Relación de ondas estacionarias de voltaje o corriente  

Relación de onda estacionaria Límites de voltaje y corriente debido a ondas estacionarias

Como es sabido la impedancia de una línea de transmisión es compleja, esto quiere decir que esta conformada por componentes reales e imaginarias, en donde

la parte real representa el componente resistivo y componente reactivo.

la parte imaginaria el

Uno de las consideraciones a tener en cuenta a la hora de trabajar en la carta de Smith, consiste en que esta se fundamenta en el coeficiente de reflexión compleja de acuerdo con la siguiente expresión:

Donde z corresponde a la impedancia normalizada a la impedancia característica, es decir:

Con base en lo anterior, z podrá tomar valores entre 0 y 1, lo mismo sucede con el valor del coeficiente de reflexión. Cuando z=1,   0 ; sucede que la impedancia de carga es igual a la impedancia característica (caso ideal). Cuando se desea analizar la carta de Smith imaginémonos un plano cartesiano en donde el eje horizontal de la carta representa el componente resistivo y el eje vertical representa el componente reactivo. Si el punto se encuentra sobre el eje vertical por encima del eje horizontal representara valores positivos de reactancia equivalentes a un comportamiento inductivo, de lo contrario, si el punto se encuentra por debajo del eje horizontal representara valores negativos de reactancia y su equivalente es un comportamiento capacitivo.

Figura 93. Diagrama de Coordenadas en la carta de Smith La carta de Smith consiste en la representación gráfica, en el plano del coeficiente de reflexión, de la resistencia y la reactancia normalizadas. Esta herramienta gráfica permite la obtención de diversos parámetros de las líneas de transmisión y la resolución de problemas de adaptación de impedancias, evitando las operaciones con números complejos que suelen implicar estos cálculos.

5) 1 ejercicio resuelto paso a paso 1. CÓMO GRAFICAR IMPEDANCIAS EN LA CARTA DE SMITH Para comprender mejor cómo graficar impedancias sobre la carta de Smith es mejor hacerlo a través de un ejemplo.

Ejemplo 1: Graficar en la carta de Smith una impedancia  Z  L impedancia característica Z O  50 Solución:

 20 ,

teniendo en cuenta una

Para graficar sobre la carta de Smith la impedancia en cuestión, lo primero que se debe hacer es calcular la impedancia normalizada (z)

En el dibujo se observa el punto z, ubicado sobre el eje horizontal (R), el cual representa el componente resistivo. Como en éste caso particular, la impedancia normalizada tiene como valor 0,4 presentando solamente un valor real, basta simplemente con identificar el circulo correspondiente a la carta de Smith que tiene como valor 0,4 ubicando el punto z en la zona donde éste circulo corta al eje R. Nota: Vale la pena aclarar, que aunque la carta de Smith presenta una gran cantidad de círculos de diferentes valores, solamente en el dibujo por comodidad se ilustran los círculos correspondientes a 0, 0.2, 0.5, 1.0 y 2.0. El círculo que corresponde al valor de 0 es el círculo más externo de la carta.

Ejemplo 2: Graficar en la carta de Smith una impedancia  Z  L impedancia característica  Z O  50

 j 25

, teniendo en cuenta una

Solución: Nuevamente, para graficar sobre la carta de Smith la impedancia en cuestión, lo primero que se debe hacer es calcular la impedancia normalizada (z)

Como en éste caso, la impedancia normalizada no presenta componente real o resistivo el valor de R=0, perteneciendo en la carta al circulo más externo. Adicionalmente, teniendo en cuenta que el valor de la impedancia arrojo una cantidad imaginaria positiva corresponde a una impedancia inductiva. En caso de haber resultado negativa sería una impedancia capacitiva. Con base en la distribución de los parámetros en la carta de Smith, la ubicación de las cantidades positivas imaginarias se encuentra en el hemisferio superior de la carta. Por tal razón, nos ubicamos sobre el valor 0 del eje horizontal (R) y nos desplazamos sobre éste círculo en sentido de las manecillas del reloj hasta el valor (j0,5) en donde se encuentra localizado el valor de z tal como se ilustra en la figura.

Ejemplo 3: Graficar en la carta de Smith una impedancia  Z  L una impedancia característica  Z O  50

 20   j 25

, teniendo en cuenta

Solución: Nuevamente, para graficar sobre la carta de Smith la impedancia en cuestión, lo primero que se debe hacer es calcular la impedancia normalizada (z). Observemos que ésta vez el valor de la impedancia a graficar presenta componente real y componente imaginario, lo que indica valores Resistivos y Reactivos.

En éste nuevo caso, el resultado de la impedancia normalizada arrojo un valor de 0,4 para el eje Resistivo y j0,5 para el eje Reactivo. Se debe identificar primero el círculo que corresponde al valor R=0,4 que para el caso se dibujo de color amarillo y luego, como el componente reactivo es positivo y de valor j0,5 sobre el circulo amarillo nos desplazamos en sentido hacia las manecillas del reloj hasta encontrar el punto que se corte con el circulo que pertenece al valor j0,5; en donde finalmente se encuentra el punto z tal como se ilustra en la figura. Si el componente reactivo hubiera sido negativo, nos desplazaríamos sobre el mismo círculo amarillo pero en sentido contrario, es decir, en contra de las manecillas del reloj.

2. CÓMO GRAFICAR DE ADMITANCIAS EN LA CARTA DE SMITH Para comprender mejor cómo graficar admitancias sobre la carta de Smith es mejor hacerlo nuevamente a través de un ejemplo. Para calcular y graficar Admitancias, primero se deberá calcular la impedancia normalizada y después de ubicar el respectivo valor sobre la carta se dibujará un círculo desde el punto z con centro en el punto (1,0), en donde finalmente se traza una línea desde el punto z con respecto al valor (1,0) en la carta de Smith y prolongarla hasta que se corte con algún punto que corte el circulo dibujado. Ese punto corresponderá al valor de la admitancia normalizada de z. Con esto se quiere decir que el valor de la admitancia se calculará dando un giro de 180 grados con respecto al valor de z tomando como centro o referencia el punto (1,0) sobre la carta de Smith Ejemplo 1: Graficar en la carta de Smith una impedancia para una impedancia característica  Z O  50

 Z  L  20 ,

teniendo en cuenta

Solución: Para graficar sobre la carta de Smith la admitancia en cuestión, lo primero que se debe hacer es calcular la impedancia normalizada (z)

En el dibujo se observa el punto z, desde el cual se traza un círculo con centro en el punto (1,0) identificado con el color amarillo. Después de dibujado el circulo, se traza una línea que une el punto z con el punto (1,0) y se prolonga hasta que ésta línea corte el circulo amarillo nuevamente en donde se encuentra ubicada la Admitancia de z etiquetada como (y).

En éste caso según la carta, y está ubicada aproximadamente sobre el punto (2.5, 0) Calculando matemáticamente el valor de la admitancia se obtiene: 1  y



1 

 z

0,4



2,5

Observando el valor calculado de la admitancia con el obtenido gráficamente coincide. Verificándose con ello el método gráfico sobre la carta de Smith para calcular admitancias. La admitancia obtenida hasta el momento corresponde a la admitancia normalizada. Para obtener el valor real de la admitancia, basta con dividir el valor de la admitancia normalizada por el valor de la impedancia característica Zo. Y 

 y 

 Z O



2,5

50



0,05

Ejemplo 2: Graficar en la carta de Smith la admitancia para cuenta una impedancia característica  Z O  50

 Z  L  20   j 25

, teniendo en

Solución: Nuevamente, para graficar sobre la carta de Smith la admitancia en cuestión, lo primero que se debe hacer es calcular la impedancia normalizada (z).

Realizando el mismo procedimiento anterior. Primero ubicamos el punto z, después se dibuja un círculo desde el punto z con centro en el punto (1,0) y finalmente, se traza una línea que una el punto z con el punto (1,0) hasta que se corte con algún punto sobre el círculo dibujado.

Analizando el resultado del procedimiento anterior, se puede observar que el punto y se toca con el circulo perteneciente al valor de R=1 y que aproximadamente coincide con el circulo reactivo (de color azul) cuyo valor es –  j0,2. Matemáticamente el valor de la admitancia es:  y 

1

 z



1 0,4   j 0,5

 0,97   j1,21

Lo cual corrobora el resultado obtenido gráficamente. Por lo tanto, el valor real de la admitancia será:

3. CÓMO GRAFICAR EL SWR (Relación de Onda Estacionaria) EN LA CARTA DE SMITH Hasta el momento se ha explicado cómo es el proceso para graficar y calcular impedancias y admitancias. Sin embargo, no son lo únicos parámetros que se pueden obtener a través de la carta de Smith. A continuación se explica el procedimiento para calcular el parámetro SWR denominado Relación de Onda Estacionaria El procedimiento es muy semejante a los anteriormente expuestos y que de igual forma es más fácil explicarlo a través de un ejemplo. Para calcular el factor SWR, primero se deberá calcular y graficar el valor z correspondiente a la impedancia normalizada. Después de graficado éste punto, se dibujará un circulo desde el punto z con centro en el punto (1,0) al igual que ocurría al calcular la admitancia; sin embargo, la diferencia radica en que ésta vez no se trazará una línea desde el punto z, sino que se buscará el punto sobre el cual éste circulo corta al eje horizontal (R) y el valor de R en ese punto será igual al valor de SWR. Ejemplo 1: Graficar en la carta de Smith el valor SWR para impedancia característica  Z O  50

 Z  L  20 ,

teniendo en cuenta una

Solución: Para graficar sobre la carta de Smith el parámetro SWR en cuestión, lo primero que se debe hacer es calcular la impedancia normalizada (z)

Después de calculado y graficado el punto z, se traza un circulo con centro en el punto (1,0) identificado con color amarillo. Ahora, se busca el punto en el cual éste circulo corta el eje R. en éste caso particular SWR=2.5 tal como se ilustra en la gráfica. 4. CÁLCULO DE LA IMPEDANCIA DE ENTRADA Z i EN UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN UTILIZANDO LA CARTA DE SMITH Utilizando la carta de Smith es posible calcular la impedancia de entrada en una línea de transmisión a cualquier distancia de la carga, indicando la distancia deseada en función de la longitud de onda. Para comprender mejor éste proceso es importante observar que en la carta de Smith existen dos escalas externas a la carta las cuales indican distancias en longitudes de onda. La escala externa muestra la distancia de la carga al generador, la cual aumenta en dirección a las manecillas del reloj; sin embargo, no se indica en ninguna parte la ubicación de la fuente o de la carga. Una vuelta completa (360º) representa una distancia correspondiente a 0,5 , media vuelta (180º) corresponde a 0,25 y así sucesivamente. Existen dos casos particulares en éste análisis: el primero de ellos es cuando se habla de una línea de transmisión que finaliza en circuito abierto, en donde la impedancia es netamente resistiva e igual a Infinito. Cuando ocurre ésta situación se representa en la carta sobre el punto ( ,0 ) ubicado en el extremo derecho de la carta sobre el eje R tal como se ilustra en la siguiente figura. El segundo caso es cuando la longitud a recorrer es superior a 0,5 , en cuyo caso de darán tantas vueltas cuanto sean necesarias teniendo en cuenta que cada vuelta completa equivale a 0,5 .

Impedancia de una línea terminada en circuito abierto

El procedimiento para calcular la impedancia de entrada en una línea de transmisión es el siguiente: 1. Calcular el valor de la impedancia z y graficarlo sobre la carta de Smith. 2. Dibujar un círculo que pase por el punto z con centro en el punto (1,0), el cual ilustra todos los valores de las impedancias que estarán presentes sobre la línea de transmisión 3. Establecer un punto de referencia como punto de partida (A) para calcular la impedancia basada en una distancia dada en longitudes de onda. Éste punto se ubica sobre el círculo más externo de la carta en donde se encuentran registradas las longitudes de onda, el cual deberá ser en dirección normal al circulo dibujado perpendicular al punto z. 4. Girar en el sentido de las manecillas del reloj tantas longitudes de onda como sean necesarias según la distancia establecida ubicando con ello un punto A. 5. Trazar una recta que una el punto B con el punto (1,0) y el punto en donde se corte el circulo dibujado según z con esta recta denominado C, será el valor de la impedancia normalizada en entrada en la línea de transmisión denominado  z IN  . 6. Calcular el valor real de la impedancia multiplicando el valor de la impedancia  z IN  por la impedancia característica. 7. El punto donde el círculo dibujado se corte con el eje R, es el valor de SWR (Punto D) Ejemplo 1: Determinar la impedancia de entrada de una línea de transmisión y su valor de SWR ubicada a 1,25 de longitud, en donde  Z  L  30   j 40 , y la impedancia característica  Z O  50 Solución: Primero se calcula la impedancia característica

Se traza el circulo con centro en (1,0) y luego la recta perpendicular al punto z (Punto A) (Línea de color rosa). A partir de ese punto se gira en sentido a las manecillas del reloj 1,25 , que corresponde a 2 vueltas completas y sobra 0,25 lo cual es lo que se debe desplazar el punto después del punto A. Como el punto A está ubicado a 0,12 con respecto al punto R=0. Entonces se puede decir que la ubicación del punto B estará a 0,12  0,25  0,37 con respecto al punto R=0 en la carta de Smith. Luego se traza una línea desde el punto B hacia el punto (1,0) (línea azul) y se ve que se corta con la circunferencia en el punto (0,63-j0,77) el cual corresponde al punto C. El punto D según la gráfica es el valor para SWR, que en éste caso es SWR=2,9. Finalmente, el valor de la impedancia de la línea de transmisión se calcula multiplicando el valor de la impedancia obtenida en el punto C por la impedancia característica:

CONCLUSIONES

Aprendimos a utilizar la carta Smith para calcular la impedancia o admitancia en cualquier punto a lo largo de la línea de transmisión; además de la Magnitud del coeficiente de reflexión y e l Angulo del coeficiente de reflexión. Permite calcular la adaptación de las antenas a causa de su gran tamaño; recordemos que la carta de Smith fue desarrollada en los Laboratorios Bell, debido a los problemas que tenía para calcular la adaptación de las antenas a causa de su gran tamaño, Smith decidió crear una carta para simplificar el trabajo. Esta herramienta gráfica permite la obtención de diversos parámetros de las líneas de transmisión y la resolución de problemas de adaptación de impedancias, evitando las operaciones con números complejos que suelen implicar estos cálculos. La carta de Smith es una herramienta gráfica usada para relacionar un coeficiente de reflexión complejo con una impedancia compleja. La carta de Smith se puede utilizar para una variedad de propósitos incluyendo la determinación de la impedancia, emparejar de la impedancia, optimización del ruido, la estabilidad. La carta de Smith es una ingeniosa técnica gráfica que virtualmente evita todas las tediosas operaciones con números complejos. Por ejemplo, se puede determinar la impedancia de entrada a una línea de transmisión dando su longitud eléctrica y su impedancia de carga

BIBLIOGRAFIA Simulación de java de la carta Smith para una línea de transmisión sin pérdidas http://www.amanogawa.com/archive/LossLessSmithChart/LossLessSmithChartWide-2.html

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