ORIGEN DE LA CARTA DE SMITH Fue inventada por Phillip Smith en 1939 mientras trabajaba en los Laboratorios Bell. El motivo que tenía Smith para hacer este diagrama era representar gráficamente las relaciones matemáticas que se podían obtener con una regla de cálculo.
Smith desarrolló la carta debido a los problemas que tenía para calcular la adaptación de las antenas a causa de su gran tamaño, Smith decidió crear una carta para simplificar el trabajo que realizaba en los Laboratorios Bell.
Phillip Hagar Smith nació el 29 de abril de 1905 en Lexington, Massachusetts, Estados Unidos. Fue un ingeniero eléctrico, conocido principalmente por la invención de la Carta de Smith. Se graduó en 1928 en la Universidad Tufts. Desarrolló el método gráfico que lleva su nombre mientras trabajaba en los Laboratorios Bell.
QUÉ ES LA CARTA DE SMITH? Es un diagrama polar especial que contiene círculos de resistencia constante, círculos de reactancia constante, círculos de relación de onda estacionaria constante y curvas radiales que representan los lugares geométricos de desfase en una línea de valor constante, se utiliza en la resolución de problemas de guías de ondas y líneas de transmisión.
USOS DE LA CARTA Es una herramienta gráfica usada para relacionar un coeficiente de reflexión complejo con una impedancia compleja. Se puede utilizar para una variedad de propósitos, incluyendo la determinación de la impedancia, la adaptación de la impedancia, la optimización del ruido, la estabilidad y otros. La Carta de Smith es una ingeniosa técnica gráfica que virtualmente evita todas las operaciones con números complejos.
La carta de Smith se dibuja sobre el plano de coordenadas polares lineales del coeficiente de reflexión tensión ρ tensión ρ = |ρ| e jθ o sobre las coordenadas rectangulares de la parte
real e imaginaria de ρ de ρ.
En las cartas comerciales se pueden encontrar diferentes escalas para determinar los parámetros involucrados en el análisis de líneas de transmisión, ver figura 1. En la misma se puede encontrar:
Una escala circular en grados que indica la fase del coeficiente de reflexión θ.
Una escala circular en longitudes de onda (λ), indicando los valores de la misma en sentido hacia el generador o hacia la carga.
Dos escalas lineales, situadas en la parte inferior derecha, que indican la magnitud del coeficiente de reflexión de voltaje o de potencia (|ρv| ο |ρp|). y pérdidas en dB por retorno y reflexión.
Dos escalas situadas en la parte inferior derecha, que indican pérdidas por atenuación de la línea (α) lineal y en dB, en sentido hacia la carga o hacia en generador y ROE lineal y en dB.
Figura 1
ECUACIONES PARA CONSTRUIR LA CARTA DE SMITH La carta está construida sobre el círculo del coeficiente de reflexión ρ =1, para el análisis se considerará un impedancia cualquiera, representada como: (4.1)
En la carta de Smith la impedancia está normalizada a la impedancia características Zo.: (4.2)
Pero además se tiene: (4.3)
Sustituyendo por la expansión del coeficiente de reflexión por 3.59, se tiene: (4.4)
Y de 4.2, se tiene además: (4.5)
Pero debido a que el coeficiente de reflexión es un número complejo, dado por: (4.6)
La expresión 4.5 se puede escribir como: (4.7)
Manipulando la expresión del lado derecho de la igualdad, se pueden separar sus partes real e imaginaria y compararlas con
y así formar la familia de circunferencias que componen la carta de Smith.
Multiplicando por la conjugada:
Operando, se tiene: (4.9)
Desarrollando la ecuación 4.8, la cual corresponde a la familia de círculos de (4.10)
Agrupando términos de 4.10 (4.11)
(4.12)
Completando cuadrados y operando: (4.13)
La ecuación 4.13 corresponde a la familia de circunferencias que forman los círculos reales con centro
de la carta de Smith.
y radio
La tabla 4.1 muestra los valores de cada parámetro de la ecuación 4.13 para construir la familia de circunferencias de
. En la figura 4.2 aparecen las circunferencias de
Análogamente se procede para
.
obteniéndose la siguiente ecuación (4.14)
La ecuación 4.14 corresponde a la familia de circunferencias que forman los círculos imaginarios
de la carta de
Smith. con centro
y radio
La tabla 4.2 muestra los valores de cada parámetro de la ecuación 4.14 para construir la familia de circunferencias de
. En la figura 4.3 aparecen las circunferencias de
.
La carta de Smith se forma con la intersección de todas estas familias de circunferencias encerradas en el círculo de 1. La carta completa fue mostrada en la figura 4.1. Otro parámetro que puede ser determinado a través de la carta de Smith, es la relación de onda estacionaria
,
la cual está definida como
Debido a esta relación podemos trazar en la carta círculos concéntricos con centro (1.0) los cuales serán tangentes a los círculos de
, y justamente estos puntos de tangencia corresponderán a valores ROE. Gráficamente en la figura
4.4, se observa esta relación.
En esta figura 4.1.1 se muestra la ubicación de la carga, denotada por el punto A. Ejemplo 4.1. Una línea de transmisión de 50 Ω está terminada en una impedancia de carga de 30 + j 40Ω. Calcular el coeficiente de reflexión
en la carga,
y la impedancia de entrada a
de la carga, empleando la carta de
Smith.
Solución. El primer paso a realizar es la ubicación de la impedancia de carga en la carta. Como se sabe los valores sobre la carta de Smith están normalizados con respecto a la impedancia de la línea, por lo tanto; cualquier valor de impedancia que se desee ubicar en ella debe ser dividido por
de esta manera
Para determinar el coeficiente de reflexión, se traza un radio vector desde el centro de la carta hasta cortar con la circunferencia más interna, cuya escala está en grados, pasando por el punto A; aquí se denota el punto B, el cual corresponde a la fase del coeficiente de reflexión.
Posteriormente para hallar la magnitud del mismo, se toma la distancia desde el centro de la carta hasta el punto A, ubicando la misma en la escala inferior derecha, la cual corresponde a la magnitud del coeficiente de reflexión, de izquierda a derecha (punto C). La figura 4.1.2, ilustra la magnitud y fase del coeficiente de reflexión con los puntos B y C.
El valor del coeficiente de reflexión es:
Para determinar el ROE, se toma la diferencia desde el centro de la circunferencia hasta el punto A y se traza una circunferencia, con centro en el centro de la carta, luego el punto de tangencia entre esta circunferencia y los círculos de
corresponderá al valor de ROE (punto D).
El valor del ROE es: Para determinar la impedancia de entrada a
de la carga, se avanza desde el punto B hacia el generador, en la
escala de las longitudes de onda (escala circular más externa) la cantidad de
y sobre el círculo de ROE
constante está ubicada la impedancia de entrada (punto en la figura 4.1.4).
Esta impedancia corresponde a:
el cual denormalizando es:
ACOPLADORES DE IMPEDANCIA Para resolver el problema de reflexión y eliminar la onda estacionaria en las líneas de transmisión, se emplean elementos conectados en puntos adecuados de la línea llamados acopladores. Aquí se describen los acopladores en serie y en paralelo.
Acopladores en serie: Los acopladores en serie corresponden a una sección de línea de transmisión colocada entre la línea y la carga, con una impedancia característica
a una distancia tal, que elimine la onda reflejada, como se muestra en la figura
4.5.
Para conocer el valor de la impedancia, se sustituye la longitud de la sección en la ecuación general de impedancia asumiendo que la línea no tiene pérdidas.
Pero
‘, y corresponde a la impedancia característica del tramo acoplador
Luego:
Donde: es la impedancia de carga. es la impedancia característica del tramo impedancia de entrada al acoplador.
OBS: la ecuación anterior es válida para cualquier terminación, pero se aplica generalmente para
reales por la
dificultad de construir líneas de transmisión con impedancias características complejas.
Acopladores en paralelo (stub): Los acopladores en paralelo corresponden a una sección de línea de transmisión colocada en un punto de la línea de transmisión principal en paralelo, con una impedancia característica
una longitud y una distancia tal, que
elimine la onda reflejada. Estos tramos se colocan con terminaciones en corto circuito o circuito abierto.
Como se va a conectar en paralelo es mejor trabajar con admitancias. De acuerdo a la ecuación de impedancia en cualquier punto de la línea y para
Si
corresponde a un cortocircuito
Luego: Pero si
corresponde a un circuito abierto
se tiene:
Este valor es puramente imaginario, lo que indica que la admitancia de entrada de las líneas de acople en paralelo o Stubs son suceptancias puras para longitudes menores a
Para longitudes entre
estas suceptancias
se convierten en el recíproco, es decir:
De esta manera, si se localiza el punto según sea el caso, la admitancia total será:
Lo que indica que la línea esta acoplada en ese punto.
al cual se le conecta la admitancia
,
