72
CAPITULO 4
AYUDAS GRAFICAS CARTA DE SMITH Y APLICACIONES Existen varios métodos de ayudas gráficas para el diseño, acople y solución de problemas en líneas de transmisión, que han ido evolucionando con el tiempo. Kernell en 1914, publicó una carta que contenía los valores de funciones hiperbólicas y trigonométricas en el rango de la variable compleja o del NeperRadian, la cual es aún usada para bajas frecuencias. Sin embargo, para pequeñas longitudes de onda y bajas pérdidas son complicadas de usar, por lo cual se recurrió a otras ayudas gráficas como la carta de Smith diseñada en 1940 por Philips Smith. La carta de Smith se dibuja sobre el plano de coordenadas polares lineales del θ coeficiente de reflexión tensión ρ = ρ = |ρ| |ρ| e e j θ o sobre las coordenadas rectangulares de
la parte real e imaginaria de ρ . En las cartas comerciales se pueden encontrar diferentes escalas para determinar los parámetros involucrados en el análisis de líneas de transmisión, ver figura 4.1. En la misma se puede encontrar: -
Una escala circular en grados que indica la fase del coeficiente de reflexión θ.
-
Una escala circular en longitudes de onda (λ), indicando los valores de la misma,
-
en sentido hacia el generador o hacia la carga. Dos escalas lineales, situadas en la parte inferior derecha, que indican la magnitud del coeficiente de reflexión de voltaje o de potencia (|ρv| ο |ρp|).y pérdidas en dB por retorno y reflexión.
73
-
Dos escalas situadas en el la parte inferior derecha, que indican pérdidas por atenuación de la línea (α ) lineal y en dB, en sentido hacia la carga o hacia en generador y ROE lineal y en dB.
Figura 4.1. Carta de Smith.
74
4.1. Ecuaciones para construir la carta de Smith.
La carta está construida sobre el circulo del coeficiente de reflexión ρ =1, para el análisis se considerará un impedancia cualquiera, representada como (4.1)
Z = R + j X
En la carta de Smith la impedancia está normalizada a la impedancia característica Zo. Z Zo
= r n + jxn
(4.2)
Pero además se tiene z − γ
Z =
V I
z
=
1+
V + e −γ + V − eγ
1 Zo
z
= Zo
(V + e −γ − V − eγ ) z
z
(1 −
V e
z + − γ
V e z − γ V e
z + − γ
V e
(4.3) )
Sustituyendo por la expresión del coeficiente de reflexión dada en el capítulo 3 por 3.59, se tiene Z = Zo
1 + ρ
(4.4)
1 − ρ
Y de 4.2, se tiene además r n + jxn =
1 + ρ 1 − ρ
(4.5)
Pero debido a que el coeficiente de reflexión es un número complejo, dado por ρ = ρ 1 + jρ 2
La expresión 4.5 se puede escribir como
(4.6)
75
r n + jxn =
1 + ρ 1 + j ρ 2
(4.7)
1 − ρ 1 − j ρ 2
Manipulando la expresión del lado derecho de la igualdad, se pueden separar sus partes real e imaginaria y compararlas con r n y xn, y así formar la familia de circunferencias que componen la carta de Smith. Multiplicando por la conjugada 1 + ρ 1 + j ρ 2 1 − ρ 1 − j ρ 2
*
1 − ρ 1 + j ρ 2 1 − ρ 1 + j ρ 2
2
=
2
1 − ρ 1 − ρ 2 + 2 j ρ 2 2
1 − 2 ρ 1 + ρ 1 + ρ 2
2
Operando, se tiene 2
r n =
1 − ρ 1 − ρ 2 2
2
1 − 2 ρ 1 + ρ 1 + ρ 2
(4.8)
2
xn =
y
2 j ρ 2 2
1 − 2 ρ 1 + ρ 1 + ρ 2
2
(4.9)
Desarrollando la ecuación 4.8, la cual corresponde a la familia de círculos de r n 2
2
2
r n − 2 ρ 1r n + ρ 1 r n + ρ 2 r n = 1 − ρ 1 − ρ 2
2
(4.10)
Agrupando términos de 4.10 r n − 1 − 2 ρ 1r n + ρ 1 (r n + 1) + ρ 2 (r n + 1) = 0 2
2
2
ρ 1 + ρ 2 − 2 ρ 1
2
r n
1 + r n
=
1 − r n 1 + r n
(4.11)
(4.12)
Completando cuadrados y operando: 2
1 r ρ 1 − n + ρ 2 2 = 1 + r 1 + r n n
2
(4.13)
76
La ecuación 4.13 corresponde a la familia de circunferencias que forman los círculos reales r n de la carta de Smith. r n
con centro
C :
1 R = 1 + r n
y radio
,0
1 + r n
La tabla 4.1 muestra los valores de cada parámetro de la ecuación 4.13 para construir la familia de circunferencias de r n. En al figura 4.2 aparecen las circunferencias de r n . j ρ2 ρ1
ρ2
rn
Radio
Centro
0
0
0
1
(0,0)
1/3
0
½
2/3
(1/3,0)
½
0
1
½
(1/2,0)
2/3
0
2
1/3
(2/3,0)
1
0
∞
0
(1,0)
-1
Tabla 4.1 Valores para construir los círculos r n
1/2
1
Figura 4.2 Círculos r n
Análogamente se procede para xn, obteniéndose la siguiente ecuación 2
1 1 ( ρ 1 − 1) + ρ 2 2 − = xn xn
2
(4.14)
2
La ecuación 4.14 corresponde a la familia de circunferencias que forman los círculos imaginarios xn de la carta de Smith.
con centro
1 C : 1, xn
y radio
1 R = xn
ρ1
77
La tabla 4.2 muestra los valores de cada parámetro de la ecuación 4.14 para construir la familia de circunferencias de xn. En al figura 4.3 aparecen las circunferencias de xn . Xn=1
j ρ2
ρ1
ρ2
xn
Radio
Centro
1
0
∞
0
(1,0)
1
±1/2
±2
±1/2
(1,1/2)
1
±1
±1
±1
(1,1)
1
±2
±1/2
±2
(1,2)
1
∞
0
∞
(1, ∞)
Xn=2
-1
1/2
1 Xn=-2
Xn=-1
Tabla 4.2 Valores para construir los círculos x n
Figura 4.3 Círculos x n
La carta de Smith se forma con la intersección de todas estas familias de circunferencias encerradas en el círculo de ρ = 1. La carta completa fue mostrada en la figura 4.1. Otro parámetro que puede ser determinado a través de la carta de Smith, es la relación de onda estacionaria ROE , la cual está definida como
ROE =
Vmax Vmin
=
1 + ρ 1 − ρ
Debido a esta relación podemos trazar en al carta círculos concéntricos con centro (1,0), los cuales serán tangentes a los círculos de r n, y justamente estos
ρ1
78
puntos de tangencia corresponderán a valores de ROE. Gráficamente en la figura 4.4, se observa esta relación.
Vmax=1 + |ρ|
ρ=1
Circulo de ROE
Circulo de ROE ρ
ρ=1
0
rn = ROE Vmin=1 - |ρ|
Figura 4.4 Relación entre los círculos de ROE y los círculos de ρ ρ ρ.
Ejemplo 4.1. Una línea de transmisión de 50 Ω está terminada en una impedancia de carga de 30 + j 40 Ω. Calcular el coeficiente de reflexión ρ en la carga, ROE y la impedancia de entrada a 0.5λ de la carga, empleando la carta de Smith. SOLUUCION: El primer paso a realizar es la ubicación de la impedancia de carga en la carta. Comose sabe los valores sobre la carta de Smith están normalizados con respecto a la impedancia de la línea, por lo tanto; cualquier valor de impedancia que se desee ubicar en ella debe ser dividido por Zo- De esta manera Z Zo
=
30 50
+ j
40 50
= 0.6 + j 0.8
En la figura 4.1.1 se muestra la ubicación de la carga, denotada por el punto A.
79
A
Figura 4.1.1 Ubicación del punto A para el problema 4.1.
Para determinar el coeficiente de reflexión, se traza un radio vector desde el centro de la carta hasta cortar con la circunferencia más interna, cuya escala está en grados, pasando por el punto A; aquí se denota el punto B, el cual corresponde a la fase del coeficiente de reflexión.
81
El valor del coeficiente de reflexión es;
ρ = 0.5∠90°
Para determinar el ROE, se toma la distancia desde el centro de la circunferencia hasta el punto A y se traza una circunferencia, con centro en el centro de la carta, luego el punto de tangencia entre esta circunferencia y los círculos de r n, corresponderá al valor de ROE (punto D)
B
A D
C C
Fi ura 4.1.3 Ubicación del unto D ara el roblema 4.1.
82
El valor del ROE es; ROE ≈ 3 Para determinar la impedancia de entrada a 0.5 λ de la carga, se avanza desde el punto B hacia el generador, en la escala de las longitudes de onda (escala circular más externa) la cantidad de 0.15 λ , y sobre el círculo de ROE constante estará ubicada la impedancia de entrada (punto en la figura 4.1.4) . Esta impedancia corresponde a;
Z ent = 2.6 − j 0.9 Ω ,
el cual denormalizando es;
Z ent = 130 − j 45 Ω B
A D
C C
Figura 4.1.4 Ubicación del punto D para el problema 4.1.
83
4.2. Acopladores de Impedancia.
Para resolver el problema de reflexión y eliminar la onda estacionaria en las líneas de transmisión, se emplean elementos conectados en puntos adecuados de la línea llamados acopladores. Aquí se describirán los acopladores en serie y en paralelo. 4.1.1.- Acopladores en serie: Los acopladores en serie corresponden a una sección de línea de transmisión colocada entre la línea y la carga, con una impedancia característica Zo, a una distancia tal, que elimine la onda reflejada, como se muestra en la figura 45. Zo´
Vg
Zl
Z(z)
Figura 4.5. Acoplador en serie con λ/4.
Para conocer el valor de la impedancia, se sustituye la longitud de la sección en la ecuación general de impedancia Z(z), asumiendo que la línea no tiene pérdidas. de 3.89;
⇒ d =
λ 4
Zl + jZoTan β d Z ( z ) = Zo , Zo + jZlTan β d
con lo cual
β d = π
Zl + jZoTan 2 ⇒ Z ( z ) = Zo π Zo + jZlTan 2
2πλ λ π . = 4 4 2
84
Pero Zo=Zo’, y corresponde a la impedancia característica del tramo acoplador λ /4 .
Luego: Zo Zo2 ⇒ Tan → ∞ ⇒ Z ( z ) = Zo ⇒ Z ( z ) = Zo 2 Zl Zl
π
(4.16)
⇒ Zo´= Z ( z ). Z l
Donde: Z L: es la impedancia de carga Z O´ :
es la impedancia característica del tramo λ /4.
Z(z): impedancia de entrada al acoplador
OBS: la ecuación anterior es válida para cualquier terminación, pero se aplica generalmente para ZL reales por la dificultad de construir líneas de transmisión con impedancias características complejas.
Ejemplo 4.2. Se tiene una línea de transmisión con una impedancia característica de 50 Ω
terminada en una carga resistiva pura de 100 Ω. Diseñe un acoplador de λ /4 para eliminar la onda estacionaria. SOLUCIÓN: Zo´
V
50Ω
Luego: ⇒ Zo´= Z ( z ).Zl = 50.100 = 70,1Ω
100Ω
85
Ejemplo 4.3. Se tiene una antena cuya impedancia es Z = 150 - j75 Ω. Alimentada por una
línea de transmisión de 50 Ω. Si el valor de ROE supera los límites prácticos conocidos por usted, determinar las características de un acoplador en serie para eliminar el problema de reflexión. Indique también la distancia, desde la carga, más apropiada para colocarlo. Para el cálculo analítico emplear los resultados obtenidos en el problema propuesto 3.5 del capítulo 3, en los cuales se obtiene que ROE =
Z O
y
ROE =
R mín
R máx Z O
SOLUCION: Este problema puede ser resuelto analíticamente o por medio de la carta de Smith. Para efectos didácticos se hará de las dos maneras. Analíticamente: Primero se calculará el ROE , para saber si supera el valor mínimo conocido en la práctica, el cual corresponde a 1.2. De 3.64, se puede obtener una expresión del coeficiente de reflexión, para posteriormente con su magnitud, calcular el valor de ROE , a través de 3.75, así; ρ L =
Z L − Z O Z L + Z O
=
150 − j 75 − 50 150 − j 75 + 50
=
100 − j 75 200 − j 75
⇒ ρ L = 0.58∠ − 18.12°
Luego;
ROE =
(1 + ρ ) (1 − ρ )
=
1 + 0.58 1 − 0.58
= 3.76
Debido a que ROE supera a 1.2, se debe calcular el tramo acoplador que eliminará la reflexión.
86
Una de las características del tramo acoplador λ /4 , es que invierte totalmente el valor de la energía de la entrada o la salida, es decir; si en la entrada hay un máximo, en la saluda existirá un mínimo y viceversa. Aprovechando esta característica se conectará el tramo entre un máximo y un mínimo de tensión, haciendo que la salida coincida con el mínimo de tensión más próximo a la carga, como se puede ver en la figura 4.3.1. d
V
100Ω
Ζο=50 Ω
Z L
Vmáx
Vmín
Figura 4..3.1. Ejemplo 4.3.1 para acoplador λ/4. Luego, se debe calcular la distancia (d) a la cual se colocará el acoplador, y la impedancia caracteística del tramo λ /4. De acuerdo a 4.16, la impedancia del tramo acoplador será Zo´= Zent ( z ). Z l '
La impedancia de entrada corresponde a Zo=50 Ω y la impedancia de carga Z L’’, se debe calcular asumiendo que en la salida del tramo existe un mínimo de tensión. Luego; ROE =
Z O R mín
⇒
R mín =
Z O ROE
=
50 3.76
= 13.29
Ω
Por lo tanto; Zo´= 50 × 13.29 = 25.78 Ω
Zo' = 26 Ω
Para conocer la posición del tramo, se debe ubicar el mínimo de tensión, esto es; buscar el punto el vector de la tensión incidente y el vector reflejado formen 180°. Luego 180°-18.2°=161.8°,
87
lo cual corresponde a la longitud que deben recorrer los dos vectores, de esta manera cada vector recorrerá 80.9° lo que es equivalente en longitudes de onda a
d=
80.9°
β
=
80.9° 2π λ
d = 0.224 λ
⇒
= 0.224 λ
Solución empleando la carta de Smith:
Primero se normaliza la impedancia de carga.
Z n =
Z Zo
=
150 50
− j
75 50
= 3 − j1.5 Ω
Ubicando esta impedancia en la carta de Smith,(punto A), en la figura 4.3.2 y trazando la circunferencia con centro (0,1) y con radio OA, se lee ROE en el punto B. ROE = 3.8
Luego avanzando desde el punto A hacia los Vmín, en dirección hacia el generador y sobre la escala de las longitudes de onda, se puede obtener la distancia, en longitudes de onda, donde será colocado el acoplador. Esta distancia, ubicada en la figura 4.3.3, es
d = 0.227 λ Para obtener el valor de la impedancia Z L’, se lee, sobre el círculo de ROE constante el valor correspondiente de Rmín, el cual corresponde al punto de tangencia entre este círculo y los círculos de r n (punto C). Este valor es: R mín = 0.26 Ω Desnormalizando este valor; R mín = 13 Ω Lo cual da un valor de Zo’; Zo' = 25.49 Ω ≈
26 Ω
88
B C
Fi ura 4.3.2 Ubicación del unto A B ara el roblema 4.2.
89
4.1.2.- Acopladores en paralelo (stub): Los acopladores en paralelo corresponden a una sección de línea de transmisión colocada en un punto de la línea de transmisión principal en paralelo, con una impedancia característica Zo, una longitud y una distancia tal, que elimine la onda reflejada. Estos tramos se colocan con terminaciones en corto circuito o circuito abierto. La figura 4.6 ilustra lo anterior:
Z l
Y P=Yo+jB (sin
TERMINACION EN CORTOCIRCUITO O EN CIRCUITO ABIERTO
stub)
Y P=Y+Ys=Yo (con
stub)
Figura 4..6. Acoplador en paralelo simple o Stub simple.
Como se va a conectar en paralelo es mejor trabajar con admitancias. De acuerdo a la ecuación de impedancia en cualquier punto de la línea y para α =0,
se tiene: Zl + jZoTan β d Z ( z ) = Zo Zo + jZlTan β d
Si Z L corresponde a un cortocircuito Z L= 0, Zcc( z ) = jZotanβ d
Para d<λ /2
90
Luego: (4.17)
Ycc( z ) = − jYo cot β d
Pero si Z l corresponde a un circuito abierto Z l = ∞,
Zca( z ) = − j
1 Zo
cot β d
Para d<λ /2
Yca( z ) = jYotanβ d
(4.18)
Este valor es puramente imaginario, lo que indica que la admitancia de entrada de las líneas de acople en paralelo o Stubs son suceptancias puras para longitudes menores a λ /4 . Para longitudes entre λ /4 y λ /2 estas suceptancias se convierten en el recíproco, es decir;
Ycc( z ) = jYotanβ d
(4.19)
Yca( z ) = − jYo cot β d
(4.20)
Para λ /2
De esta manera, si se localiza el punto Y= Go ± jB , al cual se le conecta la admitancia Ys= -jB o la Ys= jB , según sea el caso, la admitancia total será:
Y T=Ys+Y=Yo
Lo que indica que la línea esta acoplada en ese punto.
(4.21)
91
Ejemplo 4.3. Para el problema 4.2, diseñar un acoplador en paralelo (stub) simple, que elimine el problema de reflexión en el sistema. SOLUCION: Empleando la carta de Smith, lo que desea es calcular el punto donde será colocado el tramo acoplador y la longitud del mismo (ver figura 4.3.1).
Z l
TERMINACION EN CORTOCIRCUITO O EN CIRCUITO ABIERTO
Figura 4.3.1. Acoplador en paralelo (Stub) simple del ejemplo 4.3. Primero se normaliza la impedancia de carga. Z n =
Z Zo
=
150 50
− j
75 50
= 3 − j1.5 Ω
Ubicando esta impedancia en la carta de Smith (punto A), en la figura 4.3.2 y trazando la circunferencia con centro (0,1) y con radio OA, se lee ROE en el punto B. ROE = 3.8
Como el acoplador es paralelo, es más práctico trabajar con admitancias. De esta manera, diametralmente opuesto al punto A (girando 180°) so bre el círculo de ROE constante, se encuentra Y n, el cual se ubica en el punto C. Y = 0.26 + j 0.13 n
Luego se procede a ubicar el punto
Y p,
mhos
el cual debe cumplir con la característica
92
Y n= 1 ± jb p
Para encontrar este punto, se avanza desde el punto C sobre el círculo de ROE constante, en dirección hacia el generador, hasta el círculo g =1, luego la distancia avanzada corresponderá a d , es decir; al punto donde será colocado el tramo acoplador. Observe que existen dos puntos de corte, lo cual indica la presencia de dos soluciones posibles de colocación del tramo. En la figura 4.3.3, se observa este punto denominado D 1 y D2 .
C
B A
Fi ura 4.3.2. Ubicación de los untos A, B C, ara el roblema 4.3. Fi ura 4.3.2. Ubicación de los untos A B C ara el roblema 4.3.
93 d1
D1
C
B A
d2 D2
Fi ura 4.3.3. Ubicación de los untos D1 D2, ara el roblema 4.3. Estas distancias corresponden a: d1 = 0.154 λ Luego las coordenadas del punto
Y p
d2 = 0.302 λ
, corresponden a :
Yp1 = 1 + j1.5 Yp2 = 1 − j1.5 Lo anterior indica que los valores de Ys , que eliminarán las suceptancias, corresponden a:
94
Ys1 = − j1.5
Ys2 = + j1.5
Una vez encontradas las distancias posibles de colocación del tramo y los valores de Ys, se procede a calcular la longitud del stub. Para ello es necesario saber si la terminación será en cortocircuito o en circuito abierto. Para efectos didácticos, en este ejemplo, se realizará para los dos casos: -
Tramo terminado en cortocircuito: en este caso se avanza desde el punto de las Ycc (lado derecho de la carta), y en sentido hacia el generador, tantas longitudes de onda sean necesarias hasta llegar al punto E 1 ó E2. Las distancias l1 y l2, se muestran en la figura 4.3.4. d1
D1
C
B A
D2
Fi ura 4.3.3. Ubicación de los untos D1 D2, ara el roblema 4.3.
d2
95
Estos valores corresponden a:
l1 = 0.407 λ l2 = 0.093 λ - Tramo terminado en circuito abierto: en este caso se avanza desde el punto de las Yca (lado izquierdo de la carta), y en sentido hacia el generador, tantas longitudes de onda sean necesarias hasta llegar al punto D 1 ó D2. Las distancias l1 y l2, se muestran en la figura 4.3.4. Estos valores corresponden a: l1' = 0.157 λ
l2 ' = 0.343 λ Desde Ycc l1
d1
E1 D1
C Yca
Ycc
B A
d2
D2
E1
Desde Ycc l2
Figura 4.3.4. Ubicación de los puntos D 1 y D2 y las distancias l1 y l2, para el problema 4.3.
96
-
Tramo terminado en circuito abierto: en este caso se avanza desde el punto de las
Yca
(lado izquierdo de la carta), y en sentido hacia el generador, tantas longitudes de onda sean necesarias hasta llegar al punto E 1 ó E2. Estos valores corresponden a:
l 2 ' = 0.343 λ
l1 ' = 0.157 λ
97
PROBLEMAS PROPUESTOS 4.1.- La razón de onda estacionaria de una línea de transmisión sin pérdidas de 300 Ω,
terminada en una impedancia de carga desconocida es 2, y el mínimo de voltaje
más cercano está a una distancia de 0.3λ de la carga. Determine: a.- El coeficiente de reflexión de la carga. b.- La impedancia de carga desconocida. c.- La impedancia de entrada a 0.45λ de la carga. 4.2.- Utilizar la carta de Smith para convertir las siguientes impedancias en admitancias: a.- Z l= 120 + j 150 Ω b.- Z l = 100 - j75 Ω c.- Z l = 30 – j 10 Ω 4.3.- La impedancia característica de una línea de transmisión sin pérdidas es 75 Ω. Hallar la impedancia de entrada de esta línea a 200 MHz, si tiene: a.- 1 m de longitud y está terminada en circuito abierto. b.- 0.8 m de longitud y está terminada en cortocircuito. c.- Determine las admintancias de entrada de a y b. 4.4.- Para una sistema de transmisión cuya impedancia característica es 50 Ω e impedancia de carga igual a 80 – j 120 Ω, Determinar: a.- Coeficiente de reflexión en la carga y el ROE . b.- El primer máximo y el primer mínimo de voltaje. c.- La impedancia de entrada a 0.15λ de la carga. d.- Si la carga se sustituye por un valor desconocido, determinar el mismo si se conoce el valor de un voltaje mínimo a 0.35λ de la carga. 4.5.- Se tiene una carga resistiva pura de 75 Ω, que debe alimentarse por medio de una línea de transmisión de 50 Ω. Para eliminar la onda estacionaria producida por el desacople de impedancias, diseñe un acoplador en serie de longitud λ /4..
98
4.6.- Se desea acoplar una línea cuya Zo=50Ω, con una Z l=50+j150 Ω por medio de una tamo de un cuarto de longitud de onda. Indicar las características del tramo a colocar para eliminar la reflexión producida, si la frecuencia de operación es 100KHz. 4.7.- Una línea de transmisión sin pérdidas tiene una impedancia de carga desconocida y una impedancia Zo=75Ω.
Sin embargo se sabe que la misma
produce un coeficiente de reflexión ρ = 0.5 + j0.1. Determine los parámetros de la sección acopladora en serie, de un cuarto de longitud de onda, que se debe colocar para eliminar la reflexión. 4.8.- Se tiene una línea de transmisión con una impedancia característica Zo=50Ω, la cual debe alimentar a un arreglo de dos antenas, cuyas impedancias se muestran en la figura:
Zo’=75Ω
Zl1=30+j40 Ω
Zo
Zl2=50+j100 Ω Zo’=75Ω
Figura 4..7. Figura problema 8.
Indicar las especificaciones de un acoplador λ/4 que elimine la reflexión. 4.9.- En las mediciones efectuadas en una línea de transmisión sin pérdidas de 50Ω, indican que los mínimos consecutivos de voltaje están separados 6 cm.. Se desea adaptar la impedancia de carga Z L = 75 + j100 Ω de la línea con un brazo en cortocircuito. Determinar:
99
a.- La posición del brazo más próxima a la carga. b.- La menor longitud requerida del brazo c.- La razón de onda estacionaria en la línea, entre el brazo y la carga. d.- La razón de onda estacionaria en la línea, entre el brazo y la fuente.
4.10.-
También se puede adaptar una impedancia de carga a una línea de
transmisión usando un brazo colocado en serie con la carga en la posición adecuada, cuya longitud no sea necesariamente un cuarto de longitud de onda. Suponga que Z L= 25 + j25 Ω, Zo= 50 Ω, Zo’= 35 Ω. Calcule d y l , para la adaptación, según a figura adjunta.
l
Zo’
d
Zo
Figura 4..8. Figura problema 10.
ZL
