Carta de Smith

CartadeSmith Capítulo5

DesarrolladaporPhillipH.Smithen1939,pararesolverpro DesarrolladaporPhillipH.Smithen1939,par aresolverproblemas blemas delíneasdetransmisión. delíneasdetransmisión .     Parasudesarrollosebasaenunaimpedancia Parasudesarrollosebasaenuna impedanciayenun yenuncoeficientedereflexión coeficientedereflexión

LacartadeSmithestáconstruidaenuncirculounitario(||Г|=1 LacartadeSmithestáconstruidaenuncirculounitario( |=1) ) | Г |= 1

θ

DESARROLLODELACARTADESMITH lacartadeSmithesunatransformaciónentreunaimpedancia Z yuncoeficiente dereflexión 

(5.1) NormalizandolaimpedanciaZ asuimpedanciacaracterís=caZ0 se=ene

(5.2) el coeficiente de reflexión dado en forma polar, se puede expresar en forma rectangular delasiguientemanera (5.3) laimpedancianormalizada,tambiénsepuedeexpresarenformarectangularcomo sigue (5.4)

Substuyendolasecuaciones(5.3)y(5.4)enla(5.2),seene

(5.5)

Haciendoalgunasmanipulacionesalgebraicas,sellegaalasiguienteexpresión

separandolaparterealylaparteimaginaria,delaec.anterior,seene

(5.6)

(5.7)

Lasecuaciones(5.6)y(5.7),representanunafamiliadecírculoscadauna

Círculosderesistenciaconstante Ulizandolaecuación(5.6)paradeterminarloscírculosderesistenciaconstante

(5.6)

(5.8)

Laecuación(5.8)esdelaforma

Lacuales,laecuacióndeunacircunferenciacuyocentroestaenelpuntodecoordenadas c(h,k). Asíque,elcentrodelacircunferenciadelaecuación (5.8)enelassiguientes coordenadas

Círculosdereactanciaconstante Paraeltrazodeloscírculosdereactanciaconstante,separtedela ecuación(5.7).Realizandolasmismasoperacionesqueenelcaso anteriorse=ene

IndicacionesparaeltrazodelacartadeSmith

PuntosimportantesenlacartadeSmith inductor

Centrodelacarta Г

Cortocircuito Z0

= 0; Z = Z0 = 50 Ω

Circuitoabierto Z∞

capacitor

LalongitudtotaldelacartadeSmithes: 3600πD = λ / 20.5λ 

ReactanciaInduc=va

ReactanciaCapaci=va

Cartadeadmitancias LaadmitanciaYeselrecíprocodelaimpedancia,porloque

Laimpedancianormalizadaes

donde

es la resistencianormalizada,y eslareactancianormalizada

entonces

Geslaconductancia Beslasuceptancia Goeslaadmitanciacaracterísca

Conductanciacaracterísca Susceptanciacaracterísca

Aplicacionesprác=cas

EjemploNo1

Determinarlaimpedanciadeunalíneadetransmisiónque=eneГ = 0.5 < 90o

Solución: Г=0.5<90o

VSWR

Circulodeoperación

EjemploNo2 Unalíneadetransmisiónde50Ωysinpérdidasestaconectadaauna impedanciadecargaZ2=40+j70.a)localizarenlacartaZ2,b)encuentre laadmitanciacorrespondiente. Solución (a)

(b)Desnormalizandolaadmitancia:

G0

1 =

=

 Z 0

Y 2

=

Y 2

=

G0Y 

0.02S 

=

0.02(0.32 −  j 0.53)

(6.4 × 10 ) −  j (10.6 × 10 ) S  −3

−3

ParámetrosadicionalesenlaCartadeSmith

Dado el coeficiente de reflexión Г ,  es posible determinar en la carta de Smith otros parámetros importantes como son las pérdidas por retorno ( PR ), las pérdidas por desacoplamiento ( PD ), y el valor de la relación de onda estacionaría de voltaje ( ROEV ), conocido también por sus siglas en ingléscomo ( VSWR )voltajestandingwavera=o.Lamaneradedeterminar estosparámetrosenlacartadeSmith,escomosigue:Selocalizaelvalordel coeficientedereflexiónГ enlasescalasquevienenenlaparteinferiordela carta. Asociado a este valor de coeficiente de reflexión se puede leer directamente sobre las escalas los valores de los parámetros anteriores. Paraelejemplo5.1losvaloresleídossobrelasescalasdelacartadeSmith son:PR=6 ,PD=1.2 ,yROEV=3.  P   D

 ROEV  =

1+ Γ 1− Γ

=

2  10log 1 − Γ   

Γ=

 ROEV  − 1  ROEV  + 1

EjemploNo5.2 Unalíneadetransmisiónde50Ωysinpérdidasestaconectadaauna impedanciadecargaZ2=40+j70.a)localizarenlacartaZ2,b)encuentre laadmitanciacorrespondiente. Solución (a)

(b)Desnormalizandolaadmitancia:

G0

1 =

Y 2

=

Y 2

=

 Z 0

=

G0Y 

0.02S 

=

0.02(0.32 −  j 0.53)

(6.4 × 10 ) −  j(10.6 × 10 )S  −3

−3

ROTACIÓNENLACARTADESMITH Muchas operaciones en la carta de Smith, requieren de efectuar una rotación, una ciertadistanciasobreuncírculodeoperación.LadistanciaenlacartadeSmith,seda enlongitudesdeonda.

DETERMINACIÓNDELAIMPEDANCIADEENTRADAAPARTIR DELA IMPEDANCIADECARGA Método: 1.Senormalizalaimpedanciadecarga Z 2 ,yselocalizaenlacartade Smith.

2.Ulizandouncompás,setrazauncírculodeoperación(círculode ROEV). 3. Seefectúa larotación correspondientealalongitud dela líneade

transmisiónexpresadaenlongitudesdeondahaciaelgenerador. Desdeestepunto,setrazaunarectahaciaelcentrodelacarta.  Z 1 = r 1 +  jX 1 4.Seleeelvalordelaimpedancianormalizadadeentrada

enelpuntodeintersecciónqueseformaentrelarectaanterioryelcírculode operación. 5.Laimpedanciadeentradasecalcula como Sepuededeterminarcualquierotroparámetroadicional,porejemplo: Г, ROEV,PRetc.comoseexplicóanteriormente.

EjemploNo5.3 UnalíneadetransmisiónestaconectadaaunaimpedanciadecargarealZ2R210Ω.U=lizando lacarta,determinelaimpedanciadeentradaparacadaunadelaslíneascuyalongitudes:(a) 0.1λ,(b)0.25λ,(c)0.375λ,(d)0.5λ,y(e)7.6λ

0.1λ

λhaciael generador Solución Selocalizaenlacarta,no 0 hayparteimaginaria,es elpuntodepar=da. Segira0.1λhaciaelgenerador,desdeestepuntose trazaunarectaalcentrodelacarta.Elpuntodeinterseccion conelcirculodeoperacióneslaimpedanciadeentrada normalizada

(e)Comolalongituddelalíneaesmayora0.5λ,podemoshacerlo siguiente: 0.1λ

Serotaensen=dodelas manecillasdelreloj0.1λ laintersecciónconel circulodeoperaciónserá laimpedanciaZ1normalizada

0

 Z 1 = 0.3 +  j 0.68  Z 1 =

(15

+

)Ω

 j 34

Circulodeoperación

Ejemplo5.5:

La antena en un sistema de R.F. se puede modelar por el circuito de la figura 5.9. La antena se alimenta con una línea de transmisión de 50 Ω sin pérdidas. Determine la impedanciadeentrada Z 1,paraunalíneadelongitudiguala0.15λ.

Solución:

Enesteproblemasedebetenercuidado,yaquelaimpedanciadecargaZ2sepuede expresar incorrectamente, por ejemplo, como  Z 2 = 40 – j25 Ω , este valor seria correctosilareactanciacapacivaestuvieraconectada enserie.Peroestenoesel caso, se debe calcular primeramente la impedancia en paralelo equivalente y graficarsuvalornormalizado .UnaaproximaciónsencillausandolacartadeSmith, consisteenexpresarla impedanciadecargacomounaadmitanciadecarga yluego converr este valor a impedancia. Para este propósito, se procede a obtener el recíproco de las partes real e imaginaria por separado y luego sumarlas. La admitanciade 40Ω es1/40=0.025S,ylaadmitanciacorrespondiente a‐j0.25Ω es 1/(‐j25)=j0.04S.Asíque,laadmitanciadelacargaserá: Y 2 = (0.025 +  j 0.04) S 

Enseguida, se normaliza la admitancia de carga utilizando la admitancia característica, que se expresa como:

Porlotanto,laadmitanciadecarganormalizadaes:

Estevalorestárepresentadoporelpunto P1delafigura5.10.Comolarespuestadeseada =ene que ser una impedancia, dos rotaciones se necesitan. La primera sirve para conver=r      a      ylasegundarotación,sirveparatransformarlaimpedanciadecarga alaimpedanciadeentradanormalizadapormediodeunalíneade 0.15λ normalizada Z  delongitud.Asíque,segira180o enlacartaydeestemodoseconviertea , Y   Z  este resultadoestáindicadoporelpuntoP2 ,enelcualseleeunvalorde: 2

2

2

elpuntodepardaeslaimpedancianormalizadade carga

 Z 2

Aestevalor

lecorrespondeunvalorenlongitudesdeondade 0.443λ sumandolalongituddelalíneade 0.15λ 0.443λ+0.15λ=0.593λ

comoestevaloresmayorde0.5λ (0.593λ‐0.5λ)=0.093λ Estadistanciasedebeencontrarenlaescaladelongitudesdeondahaciael generadorenlacartadeSmith. Trazandounarectadelpuntoanterioralcentrodelacarta,seintersectaalcirculo de operación en el punto P3 , a este punto le corresponde la impedancia de entradanormalizada.

impedanciadeentradabuscada.

DETERMINACIONDELAIMPEDANCIADECARGAAPARTIRDELA IMPEDANCIADEENTRADA Esteprocesoesnecesarioensituacionestalesquelaimpedanciadecargaseencuentreen lugares inaccesibles, como por ejemplo, una antena montada en una torre de telecomunicaciones.Elprocesoinvolucralossiguientespasos

1.SenormalizalaimpedanciadeentradayselocalizaenlacartadeSmitheste punto,elcualserá,elpuntodepar=da P1.

2.Setrazauncírculodeoperación. 3. Setrazaunalínearectaqueparte del centro delacartade Smithy pasaporP1 , extendiendoestalíneahastaintersectarlasescalasdelongituddeondahaciala carga.Apar=rdeestepunto.

4.Segiralalongituddelalínea,dadaenlongitudesdeonda,hacialacarga.Setraza unarectaapar=rdeestepuntohaciaelcentrodelacarta,yenlainterseccióndela rectaconelcírculodeoperaciónsellegaalpuntoP2 ,enestepunto

5.SeleesobrelacartadeSmithelvalordelaimpedancianormalizadadecarga finalmentesedesnormalizalaimpedanciadecarga

 Z 2

Ejemplo5.6: Una impedancia de entrada Z1=450‐j150Ω, está conectada a través de una línea de transmisiónde300Ωylongitudde6.9λaunaimpedanciadeentrada.Determinar: a)Z2 , b) ROEV,y c)Γ2

Solución:

EstevalorestarepresentadoenlacartadeSmithdelafigura5.11porelpuntoP1.Setrazaun círculodeoperación.DelcentrodelacartaypasandoporelpuntoP1setrazaunarecta,hasta intersectarlaescaladelongitudesdeondahacialacarga,enestaescalaselee0.203λqueesel puntodepar=da. Comolalongituddelalíneadetransmisiónesmayora0.5λseprocedecomosigue: estevalorsesumaalpuntodepar=daobteniendo nuevamente, esta can=dad es mayor a 0.5λ , por lo que se hace la diferencia 0.603λ  ‐0.5λ  = 0.103λ estaeslacan=dadquesedebelocalizargirandohacialacarga,alllegaraestevalor( 0.103  λ ),setrazaunarectahaciaelcentrodelacarta,yenla interseccióndelarectaconelcirculode operación(puntoP2 )seleeelvalordeimpedanciadecarganormalizada.

ROEV=1.78

Voltajesycorrientesmáximosymínimos Cuandounalíneadetransmisiónseconectaaunaimpedanciadecargalacuales excitadaporunafuentesenoidal,apareceunaondaestacionaríadevoltajeyde corrienteenlalínea,amenosquelalíneaseencuentreacopladaalacarga.La distanciaentremáximosymínimossucesivosesde0.5λ.Estospuntosselocalizan enlacartacomosigue:

impedancia

Vmin Imax Zmin

admitancia

Vmax Imin Zmax

Vmax Imin Zmax Ymin

Vmin Imax Zmin Ymax

1.Losvaloresmáximosymínimosdevoltajeestánenpuntosdondelaparteimaginariadela Impedanciaolaadmitanciasoncero.Estoesenlainterseccióndelcirculodeoperacióncon elejereal.

2.‐Unvoltajemínimoocurreenelmismopuntoqueunacorrientemáxima estocorrespondeaunpuntoderesistenciamínimaomáximaconductancia.

3.‐Unvoltajemáximoocurreenelmismopuntodeunacorrientemínima,y estocorrespondealpuntoderesistenciamáximaomínimaconductancia

EjemploNo5.7 Sedeseadeterminarelvalordeunaimpedanciadecarga,conectadaaunalínea detransmisiónde50 haciala carga

Solución

voltajemínimo.

ROEV=3

Para llegar a la carga a par=r del voltaje mínimo, se debe mover en direccióncontrariaalasmanecillasdel reloj, es decir hacia la carga la distancia:3.15λ 0.15λ 

LÍNEASENCORTOCIRCUITOYENCIRCUITOABIERTOENLACARTADE SMITH La impedancia o admitancia de entrada de una línea de transmisión sin pérdidasterminadaenuncortocircuitooenuncircuitoabiertoesreacvaen todoslospuntosdelalíneadetransmisión,esdecir,laparterealescero.Como sehavistoenestecapítulo, elcírculomayorenlacartadeSmith,corresponde ala parterealdecero.Estoquieredecirque,la impedanciaoadmitanciade todaslaslíneasencortocircuitoocircuitoabiertoestaránlocalizadaseneste circulocomosemuestra.

Para decidir que po de carta ulizar (impedancias o admitancias), conviene recordar que un corto circuito es un punto de impedancia cero o un punto de admitancia infinita,yun circuitoabiertocomounpuntodeimpedanciainfinitao unpuntodeadmitanciacero.

Ejemplo5.8:

Una línea de transmisión sin pérdidas de 50 Ω está terminada en un corto circuito. Determinarlaimpedanciadeentradaparaunalíneadelongitud2.9λ.

Solución Dado que el resultado que se busca es una impedancia, se utiliza la carta de Smith de la figura y se procede como sigue: Una línea en corto circuito, se localiza en el punto P1 en el lado izquierdo del eje real. El círculo de operación es el círculo mayor de la carta. Como la longitud de la línea es de 2.9  λ, se resta 2.5   λ y se rota la longitud de (2.9 λ-2.5   λ ) = 0.4 λ en dirección hacia el generador. La impedancia de entrada normalizada se encuentra en el punto P2  y es:

desnormalizandoseene