UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA QUÍMICA
TRABAJO ASIGNADO
EJERCICIOS DE SISTEMAS DINAMICOS DE PRIMER ORDEN
CURSO
:
Control de Procesos I
DOCENTE
:
Dr. Edgardo O. Avendaño Cáceres
AÑO
:
4to Año
TACNA - PERÚ 2016
EJERCICIOS DE SISTEMAS DINAMICOS DE PRIMER ORDEN (capitulo 3)
Lista de alumnos n° de ejercicio alumno 1,2 Lourdes Vargas 3,4 Erika Vargas 5,6 Mary huanca 7,8 Catty Garate 9,10 Amely Mamani 11,12 Laura baca 13,14 Xavier lira 15,16 Freddy Pérez 17,18 Elmer marca 19,20 Winy Arratia 21 Carlos Apaza 22 Jonathan flores 23 Cesar Paredes 24 Rossi Achata 25 Darío Cruz 26 Martín Salazar
EJERCICIOS DE SISTEMAS DINAMICOS DE PRIMER ORDEN (capitulo 3)
Lista de alumnos n° de ejercicio alumno 1,2 Lourdes Vargas 3,4 Erika Vargas 5,6 Mary huanca 7,8 Catty Garate 9,10 Amely Mamani 11,12 Laura baca 13,14 Xavier lira 15,16 Freddy Pérez 17,18 Elmer marca 19,20 Winy Arratia 21 Carlos Apaza 22 Jonathan flores 23 Cesar Paredes 24 Rossi Achata 25 Darío Cruz 26 Martín Salazar
Problema 3.1 Considere el proceso de mezcla se muestra en la figura P3-1 se puede suponer que la densidad de las corrientes de llave de entrada y la de la corriente de salida son muy similares y que las tasas de flujo F1 y F2 es constante. Se desea para comprender cómo cada concentración de entrada afecta a las funciones, y dibujar el diagrama de bloques para este proceso de mezcla. Mostrar las unidades fuera de todas las constantes ganancias de tiempo.
Figura P3-1. Diagrama para el problema 3-1.
SOLUCIÓN: Balance de masa en estado no estacionario:
f1c A1 (t ) 3785, 3
cc
cc cc f c ( t ) 3 7 8 5 , 3 ( f f ) c ( t ) 3 7 8 5 , 3 1 2 A 2 A2 gal gal gal cc d c (t ) Ah 28316,13 3 A ft dt
cc cc dcA (t ) 3 7 8 5 , 3 f c ( t ) f c ( t ) ( f f ) c ( t ) Ah 2 8 3 1 6 , 1 3 2 A2 1 2 A 1 A1 gal ft 3 dt cc dc (t ) f1c A1 (t ) f 2c A2 (t ) ( f1 f 2 ) c A (t ) Ah 7, 48 3 A ft dt
1
1ec.1 1ec.1 varia ariabl ble e c A t
Donde: A
D
2
4
Balance de en estado estacionario:
cc dc A
ft 3 dt
f1c A1 f 2c A 2 ( f1 f 2 )cA Ah 7, 48
0
2
Restar (2) de (1)
f1 c A1 t c A1 f 2 c A2 t c A2 f1 f 2 c A t c A
cc d c A ( t) c A Ah 7.48 3 ft dt
3
Definimos las variables de desviación: C A1 t cA1 t c A1 C A2 t cA2 t cA2
C A t cA t c A
Reorganizamos la ecuación sustituyendo las variables en (3): Ah(7.48) dCA t f1 f 2
dC A t dt
dt C
A
C A t
f1 f1 f2
CA1 t
t K C t K C t 1
A1
2
A2
Donde:
Ah 7.48 f1 f 2
K 1 K 2
f 1 f1 f 2 f 2 f1 f 2
min , adimensional , adimensional
Aplicamos la transformada de Laplace a (4): sC A s C A s K1C A1 s K2 C A2 s
s 1 C A s K1C A1 s K2C A2 s
f 2 f1 f 2
CA 2 t
4
Obtenemos:
C A s
1
s 1
K C s K 1
A1
2
CA 2 s
Y también:
K s s 1
C A s
C A1
K s s 1
C A s
C A 2
1
2
Problema 3.2 Considérese el reactor isotérmico, que se muestra en la figura P3-2 P3-2,, donde la tasa de reacción se expresa mediante: r A t
kCA t , moles de A / pies3
min
Donde k es una constante. Se supone que la densidad y todas las otras propiedades físicas de los productos y los reactivos son semejantes, también se puede suponer que el régimen de flujo entre los puntos 2 y 3 es muy turbulento (flujo de acoplamiento), con lo que se minimiza la mezcla hacia atrás. Obténganse las funciones de transferencia que relacionan: a. La concentración de A en 2 con la de A en 1. b. La concentración de A en 3 con la de A en 2. c. La concentración de A en 3 con la de A en 1.
Figura P3-2. Diagrama para el problema 3-2.
SOLUCIÓN: a) LA CONCENTRACIÓN DE A EN 2 CON LA DE A EN 1. Balance de moles en estado no estacionario – del componente A: f c A1 t
dc A 2 (t )
f cA 2 t VrA t V
1
dt
1ec. 2 variables r A t , CA2 t
Velocidad de reacción: r A t kcA2 t
2
2ec. 2 variables
Sustituir la ecuación (2) en (1) dando: f c A1 t
f cA 2 t VkcA 2 t V
dc A 2 (t )
3
dt
Balance de moles en estado estacionario – del componente A: f c A1
f c A2 VkcA 2
V
dc A2 dt
4
0
Restar (3) de (4): f c A1 t c A1 f c A 2 t c A 2 Vk cA 2 t c A 2
V
d c A2 (t ) cA2 dt
Definimos las variables de desviación: C A1 t c A1 t c A1 C A 2 t c A2 t cA2
Luego reemplazamos en (5): V
dC A2 t dt V
f
Vk
f C A1 t f
dC A 2 t dt
V
dC A2 t
f Vk
dt
f f
Vk
Vk
CA 2 t
C A1 t
C A2 t
f f Vk
f
Vk
f
Vk
C A2 t
CA1 t
5
dC A 2 t dt
C A2
t K CA t
6
1
Donde: V
f
K
, min
Vk
f f
Vk
, adimensional
Aplicamos la transformada de Laplace:
C s K C s s s 1 K C s
sC A 2 s
C A 2
A2
A1
A1
C A 2 s
K s 1
C A1 s
Obtenemos:
Diagrama:
K s s 1
C A 2 s C A1
C A1 s
K s 1
b) LA CONCENTRACIÓN DE A EN 3 CON LA DE A EN 2.
s
C A3 s C A 2
Donde: t
0
e
t0 s
A P L f
Diagrama:
C A 2 s
e
t0 s
CA3 s
c) LA CONCENTRACIÓN DE A EN 3 CON LA DE A EN 1.
K e s s 1
C A3 s C A1
t0 s
Diagrama: C A1 s
K et0 s s 1
C A3 s
CA 2 s
Problema 3.3 Un tanque de almacenamiento tiene un diámetro de 20 pies y una altura de 10 pies. El flujo volumétrico de salida de este tanque está dada por: fout t 2h t
Donde h (t) es la altura del líquido en el tanque. En un momento determinado, el depósito está en el 3
estado estacionario con un flujo de entrada de 10
pies
min
.
a) ¿cuál es la altura del líquido en estado estacionario en el tanque?
f out 10
h
zh
zh
5 pies 3
b) Si el flujo de entrada se intensificó a razón de 0,1 que el tanque se desborde? Balance de masa para el estado no estacionario fin
t
f out t A
dh t dt
......1
f out t zh t ....... 2
Sustituyendo (2) en (1) fin t zh t A A
dh t
dt dh t dt
dh t
zh t fin t
h t 0,5 fin t .......(3)
Donde:
A z
dt
D 2 4( z )
157min
pies
min
, ¿cuántos minutos se necesita para
Balance de masa para sistemas estacionario fin fin
f out A
zh
A
dh dt
dh dt
0
0..........(4)
Sustituyendo (4) en (3) dH t
157
dt
H
t 0.5Fin t .....(5)
Donde: H t
h t h
Fin t
f in
Ahora para (5) H s Fin ( s)
Fin ( s) H ( s)
0,5 157 s 1 0,1 s 2 0,05
s (157 s 1) 2
A s
H (t ) 0, 05t 7, 85 1 e
B
s
t
C 157 s 1
157
h(t ) 5 0, 05t 7,85 1 e
2
t
157
t 220min para : h(t ) 10 pies
Problema 3.4 Considerar la temperatura del sensor esbozada en la Fig. P3-3. La bombilla y su vaina circundante están a una temperatura uniforme, Tb (t), °C, y los alrededores son también a una temperatura uniforme, T (t). El intercambio de calor entre el entorno y la bombilla está dada por q t hA T s t Tb t
Donde: q(t)0=Velocidad de transferencia de calor, J/s h= Coeficiente de película de transferencia de calor, J/s.m 2.°C A= área de contacto entre la bombilla y su entorno, m 2
Sea M, en kg, la masa del bulbo y el tubo protector, y Sea Cv, J/kg.°C su capacidad calorífica. Obtener la función de transferencia que representa la respuesta de la temperatura de la bombilla cuando los cambios de temperatura de los alrededores. Enumerar todas las suposiciones y dibujar el diagrama de bloques para la bombilla. Expresar la constante de tiempo y la ganancia en sistemas de los parámetros de bulbo. Nota: La función de transferencia derivado aquí representa en general la respuesta dinámica de la mayoría de los sensores de temperatura, independientemente.
Modelo de un sensor de temperatura q(t ) hAT s (t ) Tb (t)
Obtener la función de transferencia, el diagrama de bloques, constante de tiempo y la ganancia. Asumir: el bulbo está a una temperatura uniforme Tb no hay pérdidas de calor
Balance de energía: hA T s (t ) Tb (t )
d dt
MCvTb (t )
Para el estado inicial hA(T s Tb )
0
d b (t ) hA s (t ) b (t ) MC v dt
Donde s (t ) Ts (t ) Ts b (t ) Tb (t ) T
Arreglando mCv d b (t ) hA
dt
b (t ) s (t )
Usando la transformada de Laplace b ( s)
1
T s 1
s ( s)
Donde T
mC v
tiempo constante K=1
hA
Diagrama de bloques
Problema 3.5 Considérese el proceso de mezclado que se muestra en la figura 3-29. La finalidad de este proceso es combixiar una corriente baja en contenido del componente A con otra corriente de A puro; la densidad de la corriente 1, 1 , se puede considerar constante, ya que la cantidad de A en esta corriente es pequeña. Naturalmente, la densidad de la corriente de salida es una función de la concentración y se expresa mediante: 3
t a
3
b3c A3
t
El flujo a través de la válvula 1 está dado por: p F t CV vp t 1
1
1
1
G1
El flujo a través de la válvula 2 está dado por: F2 t CV 2vp2 t
p2
G2
Finalmente, el flujo a través de la válvula 3 está dado por: F3 t C V 3
t t
p3
G3
La relación entre la posición de la válvula y la señal neumática se expresa con: vp1 t a1 b1 m1 t d1 vp2 t a2 b2 m2 t d2
Donde: a
1
, b1 , d1,
a
2
, b2 , d 2 ,
a
3
y b3 : Constantes conocidas
Cv1 , Cv 2 , C v 3 : Coeficientes de las válvulas 1, 2
y 3 respectivamente, m 3/(s-psi1/2)
vp1 t , vp2 t : Posición de la válvula 1 y 2 respectivamente, fracción sin dimensiones.
p1 , p2
: Caída de presión a través de las válvulas 1 y 2, respectivamente, la cual es constante,
psi.
p3 t : Caída
G1 , G2
de presión a través de la válvula 3, psi.
: Gravedad específica de las corrientes 1 y 2, respectivamente, la cual es constante y sin
dimensiones. G3 t : Gravedad específica de la corriente 3, sin dimensiones. Se debe desarrollar el diagrama de bloques para este proceso; en él deben aparecer todas las funciones de transferencia y la forma en que las funciones de transferencia m1 t , m2 t y C A1 t afectan a las variables de respuesta h t y C A3 t
Solución: Se comenzará por un Balance de Materia del Componente A, en el Estado no Estacionario: d h t c A3 t f1 t c A1 t 2 f2 t f3 t cA3 t A … (1) dt
Donde: A :
es área.
Existen 5 variables f 1 t , f2 t , f3 t , h t y c A3 t Luego, realizamos un Balance de Materia Total, en el Estado No Estacionario: 1 f1
t
d h t 3 t f t f t t A …(2) 2 2 3 3 dt
Existen 6 variables t 3
Respecto a las válvulas tenemos: F1 t CV 1vp1 t
p1 G1
C1vp1 t …(3)
Donde: C1
p1
C V 1
G1
Existen 7 variables vp t 1
F2 t CV 2vp2 t
p2
G2
C2vp2
t …(4)
Donde: C2
p2
C V 2
G2
Existen 8 variables vp t 2
F3 t CV 3
t G3 t
p3
3
CV 3
t gh(t ) 3 t
144 g c
C3
h t …(5)
Re f
Donde: C3
ref g
C V 3
144 g c
m3
(convirtiendo de
a
1
s
psi
2
gpm 1
psi
)
2
Respecto a la densidad tenemos:
a
3 t
3
b
c
3 A3
t …(6)
Y en referencia a las posiciones de las válvulas: vp1 t a1 b1 m1 t d1 A1 b1m1 t …(7)
Donde: A1
a1
b1d 1
vp2 t a2 b2 m2 t d 2 A2 b2m 2 t …(8)
Donde: A2
a2
b2 d 2
Luego procedemos a linealizar los términos, generando así las variables de desviación f1 t c A1 t f1 cA1 f1 cA1 t c A1 c A1 f1 t f 1
f1 t c A1 t f1 cA1 f1C A1 t cA1F1 t …(9)
Donde: C A1 t F1 t
c A1 t c A1
f1 t
f 1
Análogamente: f3 t c A3 t f 3 cA3 f3CA3 t cA3 F3 t …(10)
Donde: C A3 t F3 t
c A3 t cA3
f 3 t
f 3
También:
h t c A3 t hc A3 hC A3 t c A 3H t …(11)
Donde:
H t
h t
h
Y: 3
t f t 3
3
f 3 3 F3 t f 33 t …(12)
Donde:
t
3 t
3
3
Entonces, tenemos que: h t 3 t h 3 h3 t 3 H t …(13)
f3 t f 3
1 2
C3 h
1
2
H t f 3 C4 H t …(14)
Donde: C4
1 2
C3
h
1
2
Sustituyendo (9), (10) y (11) en (1): f1 c A1 f1C A1 t cA1 F1 t 2 f2 t f3 cA3
...(15)
f3 CA3 t cA3 F3 t Ah
dC A3 t dt
AcA3
dH t dt
Sustituyendo (12) y (13) en (2) d 3 t
. 1 f1 t 2 f2 t 3 f3 3 F3 t f33 t Ah
dt
A 3
dH t dt
.…(16)
Ahora tenemos 8 ecuaciones lineales: (15), (16), (3), (4), (14), (6), (7) y (8), la misma cantidad de variables; lo que nos permitirá hallar el valor de éstas. Escribiendo el balance de Materia del Componente A, en estado Estacionario y restando de la ecuación (15) y ordenando, obtenemos: 1
dC A3 t dt
t K C t K
C A3
1
A1
K F t K
F t 2 1
3
2
K
F t 4 3
5
dH t dt
Aplicando la transformada de Laplace: C A3 s
1 1 s 1
K C s K 1
A1
2
F1 s K 3 F2 s K 4 F3 s K 5sH s …(17)
Donde: Ah
1
, min
f3
K 2
c A1 f3
lb ,
gal
gpm
lb c A3 gal K 4 , gpm f3
K 1
f 1
K 3
2
f 3
f 3
, adimensional
lb ,
gal
gpm
gal lb AcA3 m gal K 5 , f 3
gpm
Escribiendo el Balance de Masa Total en Estado Estacionario, y restando con la ecuación (16), y ordenando; tenemos: A 3
dH t dt
1F1 t 2 F2 t 3 F3 t f33 t Ah
d 3 t dt
…(18)
Sustituyendo (14) en (18), y ordenando tenemos: Ec. 14: F t 3
C4 H t
2
dH t dt
H t K6 F1 t K 7 F2 t K 8 3 t K 9
d 3 t dt
Aplicando la Transformada de Laplace y ordenando tenemos:
dH s dt
1
K 6 F1 s K 7 F2 s K 8 K 9s 3 s …(19)
2 s 1
Donde: 1
A
C4
gpm , K 6 3C 4 m
, min
gpm , K7 3C4 m
1
2
K 9
Ah
K 8
f 3 3C 4
,
m lb / gal
m min lb gal
,
3C 4
1
1
De la Ecuación (6), tenemos, trabajando con varables de desviación:
b C t s b C s
3 t 3
A3
3
3
A3
De las Ecuaciones (3) y (7) tenemos: f1 t C1 A1 b1m1 t F1 s C1b1M 1 t M 1 t m1 t m1
F1 s C1b1M 1 s …(21)
De la ecuación (4) y (8): f 2 t C 2 A2 b2m2 t F2 s C2b2 M 2 t M 2 t m2 t m2
C b M s …(22)
F2 s
2
2
2
Sustituyendo las ecuaciones (20), (21) y (22) en (19): H s
1
K10 M 1 s K11M 2 s K12 K13s C A3 s …(23)
2 s 1
Donde: K10
K 6C1b1 ,
K12
K8b3 ,
m %
m lb / gal
K11 K13
K7 C2b2 , K9b3 ,
m
% m min
lb / gal
Sustituyendo las ecuaciones (21), (22) y F 3(s) en (17):
C A3 s
1 1 s 1
K C s 1
A1
K
K14 M 1 s
15
K
M2 s
4
K
F3 s
16
K 5s
H s
Donde: K14
lb lb gal gal K 2C1b1, K15 K 3C 2b2 , % % lb lb min gal gal K4 C4 , K 5 , m m
K12
El diagrama de bloques para este proceso es:
M 1 s
K 10
+
+
M 2 s
H s
1
K 11
s 2
-
1
K12 K13 s
K 15
K 14
+
+ 1
C A1 s
s 1
K1K 10
K16 K5 s
+
-
1
C A3 s
Problema 3.6 Determínese la función de transferencia 30.
para el sistema que se muestra en la figura 3-
C s
R s
G2 R(s)
+
+
GC
GV
+
C(s)
G1
-
H Figura 3-30. Diagrama para el problema 3.6
Solución 1er método: Aplicando las reglas del álgebra de bloques tenemos las siguientes ecuaciones: C s E s GC GV G1 G2
(1)
E s R s C s H
(2)
Reemplazando (2) en (1):
C s R s C s H GC GV G1 G2 C s R s GC GV G1 G2 C s HGC GV G1 G2 C s C s GC GV H G1 G2 R s GC GV G1 G2 C s 1 GC GV H G1 G2 R s GC GV G1 G2 C s R s
GC GV G1 G 2 1 GC GV H G1 G2
2do método: Aplicando la ecuación de función de transferencia de circuito cerrado:
G Y s G s X s 1 G J
J
J 1
K
J
K 1
i 1
I
i
K
Para aplicar la ecuación y resolver la función de transferencia C s R s resolvemos primero la suma dentro del circuito, de modo que el sistema quede de la siguiente manera:
R(s)
C(s)
+
GC
GV
x
-
H
Luego aplicamos la ecuación y obtenemos: G G x R s 1 G G Hx C s
C
V
C
V
Reemplazando x: G G G1 G2 R s 1 G G H G1 G2 C s
C
V
C
V
Problema 3.7 En la casa del Dr. Corripio, la tubería de agua caliente entre el calentador de agua y su ducha, es de cobre, tamaño nominal 1/2 (área de sección transversal = 0,00101 ft 2) y cerca de 30 ft de largo. En una mañana fría en Baton Rouge, el Dr. Corripio dejó la válvula de agua caliente en la ducha completamente abierta y obtuvo un flujo de 2 galones por minuto. ¿Cuánto tiempo tuvo que esperar a que el agua caliente llegara a la ducha? Escribe la función de transferencia Ts s Th s para la tubería de agua caliente, donde T s es la temperatura en la ducha, y T s es la temperatura en el calentador de agua caliente, cuando se abre la válvula de agua caliente. Dibuje el diagrama de bloques para la tubería de agua caliente. ¿Cuál es la función de transferencia cuando la válvula de agua caliente se cierra? ¿Podría predecir su respuesta? h
s
Solución Datos: L 30 ft
q
AS
2 gpm
0,00101 ft2
Cálculos
Función de transferencia Asumiendo que no se produce ninguna mezcla en la tubería, y t es el tiempo requerido por el flujo de entrada para pasar a través de la tubería (tiempo muerto), se tiene: Ts t Th t t (1) Del Teorema de la traslación real: 0
0
L f t t0 e
st0
F s
Luego, aplicando la transformada de Laplace y el teorema de la traslación real en (1), se tiene la función de transferencia:
L Ts t
T s T s
Ts s
e
s
e
L Th t
st 0
t0
Th s
st0
h
Tiempo muerto o de retraso El tiempo muerto se expresa como: t0
distancia
velocidad
L q As
As L q
(3-49)
Reemplazando datos: t0
0,00101ft 2 30ft 2gpm
Función de transferencia, Para
t0
q
7,48 1ft 3
0,1122 min
0
, el agua caliente no llegará a la ducha. Ts s e Th s
st0
e
s
0
Diagrama de bloques
Problema 3.8 La salmuera de un estanque se bombeada a 100 ft 3/min a un proceso a través de una tubería que tiene dos diámetros diferentes, antes y después de la bomba. Los diámetros internos y la longitud de los tubos son los siguientes: Dimensiones Diámetro interno, in Longitud, ft
Antes de la bomba 6,00 1000
Después de la bomba 5,25 2000
Es posible suponer que la salmuera no se mezcla en la tubería. Cuando la concentración cambia en el estanque, ¿cuánto tiempo se necesita para que la concentración del flujo que ingresa en el proceso cambie? Escribe la función de transferencia para la concentración de salida de la tubería y la concentración en el estanque.
Solución Datos: D1
6 in
D2
5,25 in
L1
1000 ft
L2
2000 ft
q
3
100 ft min
Cálculos
Función de transferencia Asumiendo que no se produce ninguna mezcla en la tubería, y t es el tiempo requerido por el flujo de entrada para pasar a través de la tubería (tiempo muerto), se tiene: (1) C t C t t0,1 t0,2 0
s
i
Del Teorema de la traslación real: L f t t0 e
st0
F s
Luego, aplicando la transformada de Laplace y el teorema de la traslación real en (1), se tiene la función de transferencia:
L C t t
L Cs t
Ci
s t0 ,1 t0 ,2
t e s
Cs t e Cs
i
s t0 ,1 t0 ,2
0,1
t0,2
Ci s
Tiempo muerto o de retraso El tiempo muerto se expresa como: t0
distancia velocidad
A L L s q As q
(3-49)
Reemplazando datos: 2
A L D 2 L t0 s q q 2
t0,1
1000ft 6 1ft in 1,96 min 3 100 ft min 2 12in
t0, 2
2000ft 5, 25 1ft in 3,01 min 3 100 ft min 2 12in
2
t0 t0,1 t0,2 4, 97 min
Diagrama de bloques
Problema 3.9 Se desea plantear la respuesta de la temperatura,
T t
C ; en
un tanque de peces a cambios en la
entrada de calor desde el calentador eléctrico, q t W temperatura ambiente, ,
,
T t
C ; y
la presión
parcial ambiente del agua en el aire, p t Pa en las siguientes suposiciones: a) El agua en el tanque es perfectamente mezclado b) La transferencia de calor y masa a los alrededores es solo de la superficie libre del agua (transferencia de calor a través de las paredes de cristal es insignificante) c) El coeficiente global de transferencia de masa a los alrededores, U , W m2 .C , y el coeficiente global de transferencia de masa de vapor de agua, ky , kg s m2 Pa , son constantes. ,
,
d) Las propiedades físicas del agua (calor específico, C p J kg C y el calor latente, J kg ) son constantes. e) La tasa de vaporización del agua desde el tanque es proporcional a la diferencia de presión parcial.
,
,
,
w ky A po T Pa t kg s ,
Donde po T Pa es la presión de vapor de agua y está dada por la ecuación de Antoine. A, .
m
2
,
, es el área de la superficie libre del agua.
f) La velocidad de vaporización es tan pequeña que la masa total de agua en el tanque, M kg puede suponerse constante. Obtener las funciones de transferencia que representan la respuesta de la entrada de calor desde el calentador eléctrico de la temperatura ambiente, y el agua cambio de presión parcial de los alrededores. Dibujar el diagrama de bloques de este sistema. ,
Solución Respuesta de la temperatura en un tanque de peces
,
Balance de energía q t UA T t Ts t w t
d MCvT t dt
Vaporización: w t ky A p0 T t ps t
Ecuación de Antoine: p0 T t e
AB T t C
Sustraer el estado de equilibrio inicial q UA T TS w 0 d t Q t UA t s t W t MC v dt
Donde Q t q t q Linealizar
,
t T t T
,
s
t Ts t Ts
W t w t w ky A b t Ps t
Donde b Sustituyendo
dp A B T C B e dT T T 2
W t
Q t UA t UAs t ky A b t ky A Ps t MC v
d t dt
Aplicando la transformada de Laplace y reemplazando
Q s UAs s k y A Ps s MC v s s s UA ky A b UA ky A b Resolver
s
s
k1
s1
Q s
s k Q s s 1
1
k1
k2
s1
s
s
k3 s1
s k s s s 1
2
Ps s
k s Ps s s 1
3
MC v UA ky A b
1
UA ky A b
k2
UA UA ky A b
k3
ky A UA ky A b
Diagrama de bloques Q s
k1 s
1
s
s
k2 s
s
1
Ps s
k3
s 1
Problema 3.10 El agua se vierte a una velocidad f i t , cm3 s , en una taza de medición de 6,5 cm de diámetro y 10 cm de alto. La capa tiene un agujero circular en la parte inferior de medición de 0,2 cm de diámetro. La velocidad del agua a través del orificio se da a partir de la ecuación de Bernoulli, por: v t
Donde g es la aceleración local de la gravedad,
2 gh
t
980 cm s ; y h t , cm, es el nivel de agua en la 2
tasa. Obtener la función de transferencia entre el nivel del agua en la taza, H s , y el flujo F s , i
cuando la copa es un medio lleno de agua h
5 cm
.
Solución Modelo de una taza de agua con un orificio. D 6, 5 cm d 0, 2 cm
v t h
2 gh t
5 cm
g 980 cm s2
Función de transferencia, H s Asumir la densidad constante. Balance de masa. f i
t
v t f i
Sustraer:
Fi t
d D2 h t dt 4
t v
0
2
2
V t
4
v t
2
4
d
Donde Fi t
d
2
4
2 gh
d
.
Fi s
fi t
D
4
dH t dt
fi V t v t v H t h t h
,
,
Linealizando velocidad V t v t v
V t
2 g
2h
12
d
2
Sustituyendo Fi t
4
dv H t dh h
H t 9,90 H t
2
9,90 H t
D
4
dH t dt
Transformada de Laplace 2
4 D 1 S H s H s 2 9,90 d d 9, 90
H s
3,215 106, 7s 1
Fi s
Fi s
k 3,215 cm cm3 s 106,7s 1,78min
Problema 3.11 Considere el tambor de vaporización instantánea que se muestra en la Figura P3-4. Aquí z t ,
e y t son las fracciones del componente más volátil en las corrientes de alimentación,
x t
líquidos y vapores, respectivamente. La masa total del líquido y el vapor acumulado en el tambor, la temperatura y la presión pueden suponerse constantes. Si se supone equilibrio de fases entre el vapor y líquido que sale del tambor, a continuación, se puede establecer la siguiente relación entre y t y x t : y t
x t 1 a 1 x t
Figura p3-4. Boceto para el problema 3-11. Los datos del proceso en estado estacionario y otros son: M 500 kmol, F 10 kmol/s, 0, 4 . Obtener la función de transferencia que relaciona la 2,5 y x 0 L 5 kmol / s,
composición de salida de líquido, x t y la composición de la alimentación, z t . Determine también el valor numérico de todos los términos en la función de transferencia.
Solución Objetivo: Función de transferencia
X s Z s
Asumiendo mezcla perfecta en la fase líquida, flujos y masa líquida constantes, y la acumulación insignificante en la fase de vapor: Balance total de moles: in F
out V
L
acc dM
dt
0
despejando y reemplazando datos: V FL
V 10 5 5 kmol/s
Balance del componente más volátil en estado no estacionario: Fz t Vy t Lx t
d
Mx t
dt
Balance del componente más volátil en estado estacionario: F z V y L x 0
(1) (2)
Restando (2) de (1) se tiene: d F z t z V y t y L x t x Mx t dt
Introduciendo las variables de desviación: Z t
z t
z
Y t
y t
y
X t
x t
x
Se tiene: FZ t VY t L X t M
dX t dt
(3)
Puesto que: y t f x t x t 1 a 1 x t
Utilizando la serie de Taylor para una variable:
(4)
df x
f x t f x
y t y
dy t dx
dx
x t x x
x t x x
Introduciendo las variables de desviación Y t
dy t
dx
X t
(5)
x
u u ' v uv ' Luego, derivando la ecuación dada, aplicando la regla del cociente : 2 v v dy t x t d dx X dx 1 a 1 x t x dy t
d d x t 1 a 1 x t x t 1 a 1 x t dx dx 1 a 1 x t x 2
dx
X
X
1 a 1 x t x t a 1 1 a 1 x t
X
1 1 a 1 x t
dy t
2
dx dy t dx
dy t dx
x
1 a 1 x t
2
2
x
x
(6)
Reemplazando (6) en (5): Y t
1 a 1 x t
2
X t
Si hacemos: a
1 1 x
2
Entonces:
Y t
aX t
(7)
Sustituyendo en (7) en (3):
VaX t L X t M
FZ t
Va L X t M
FZ t
dX t dt
dX t dt
Aplicando transformada de Laplace y reordenando:
Va L X s M sX s x 0
FZ s
FZ s Va L X s MsX s F X s Z s
F Ms Va L
Va L M s 1 Va L
Por tanto la función de transferencia es:
s K Z s s 1
X
donde: K
F Va L
;
M Va
L
Reemplazando valores numéricos en cada término de la función de transferencia, se tiene: M 500 kmol, F 10 kmol/s, L 5 kmol / s, 2,5 , x 0 x 0, 4 V 5kmol/s
a
2
1 1 x 1 1, 5 0, 4
K
2,5
F Va L
M Va L
10 5 0, 9766 5
500 5 0, 9766 5
2
0,9766
1,012
50,59
Problema 3.12 La Figura P3-5 muestra una bandeja de una columna de destilación. El flujo de la bandeja viene dado por la fórmula Francis Weir (adaptado de Perry, 1984): f o t 0, 415wh1,5 t 2 g donde: h(t) = nivel de líquido en la bandeja por encima de la parte superior de la presa, ft w = ancho de la presa sobre la que el líquido rebose, ft g = aceleración local de la gravedad (32,2 ft/s2) Los parámetros de flujo y de proceso de entrada en el estado estacionario son como sigue: Área de la sección transversal de la bandeja S 11, 2 m 2 , w 3, 0 ft , y f i 0 30 ft /min . Obtener las funciones de transferencia que relacionan la altura del agua por encima del vertedero y flujo de salida de la bandeja con el flujo de entrada a la bandeja. Indicar todas las suposiciones y calcular los valores numéricos de la constante de tiempo de la bandeja y la ganancia. También dibujar el diagrama de bloques completo que relaciona las variables. 3
Solución Modelo de nivel de líquido en una bandeja de la columna:
, F s
H s
Objetivo: funciones de transferencia:
i
F s
Fo s i
Balance total de masa en estado no estacionario: in
out
fi
acc
t fo t
d
Sh t
dt
Asumiendo densidad constante y altura uniforme de líquido: fi t fo t S
d
h t
(1)
dt
Análogaente, balance total de masa en estado estacionario: fi f o 0 Restando (1) de (2):
(2)
d
fi t fi fo t f o S h t dt
Introduciendo las variables de desviación: Fi t Fo t H t
fi t
fo t ht
f i
f o
h
Se tiene: Fi t Fo t S
dH t dt
(3)
Utilizando la serie de Taylor para una variable: f x t f x
f o t f o
df x dx
d f o t dh
x t x x
h t h h
Introduciendo las variables de desviación: Fo t
d f o t dh
H t
(4)
h
Derivando: d f o t dh
h
d f o t dh
0, 415 wh1,5 t 2 g dh
0, 415w 2 g h
d f o t dh
d
d
h1,5 dh
h
0, 415w 2 g 1,5 h 0,5 h h
h
d f o t dh
0, 415w1,5 h 0,5 2g h
haciendo: a
d f o t dh
0, 415w1,5 h 0,5 2 g
(5)
h
Reemplazando (5) en (4): Fo t aH t
(6)
Reemplazando (6) en (3): Fi t aH t S
dH t dt
Aplicando Transformada de Laplace y reordenando Fi s aH s S sH s 0 Fi s Ss a H s
1 / a 1 F s Ss a 1 / a Ss a
H s i
1/ a S s 1 a
Por tanto, la función de transferencia que relacionan la altura del agua por encima del vertedero con el flujo de entrada: H s Fi s
1/ a
s 1
(7)
Fi s
(8)
donde: S
a
Además de (7): aH s
1 s 1
Luego reemplazando (8) en la ecuación (6): Fo t aH t Fo t
1
s 1
Fi s
La función de transferencia que relaciona el flujo de salida de la bandeja con el flujo de entrada a la bandeja., es: Fo s Fi ( s)
1
s 1
(9)
Reemplazando valores numéricos: 2 S 11, 2 m , w 3, 0 ft , y f i 0 De: f o t 0, 415wh1,5 t 2 g
f o fi 0, 415wh
1,5
2 g 30
ft 3 min
f i
3
30ft /min
Despejando y reemplazando datos: 1/1,5
ft 3 1 h 30 min 0, 415w 2 g
3 30ft /min h 0,415 3ft 2 32,2ft s2 60s/min
1/1,5
0,1358ft
Ahora, para la ganancia y constante de tiempo: a 0, 415w1, 5 h 0,5 2 g 0, 415 3, 0ft 1, 5 0,1358
0,5
2 32, 2 60
s min
3
a 331, 4
S a
ft /min ft 11,2ft
2
3
331, 4
ft /min
0,0338min
ft
Para el diagrama de bloques, tenemos:
H s
Fo s
1
1
a s 1
1 s
Entonces:
1
Fi s
Fi ( s) a H s
o también: Fo s
H s
1 s 1 1
Fi ( s)
1
a s 1
Fi s
1 a
Fo s
Problema 3.13 Considere una adiabática, exotérmica, perfectamente mezclado (¿qué otra cosa?) Del reactor químico, cuando la reacción A B C (¿Qué otra cosa?) Se lleva a cabo. Donde: =
densidad de reactivos y producto (constante),), kmol/m f = flujo de las corrientes de entrada y de salida (constante), m/s
= temperatura de entrada, K
Ti t
= la temperatura en el reactor, K
T t
H =
calor de reacción (constante y negativa),J/kmol C p C v = capacidades caloríficas, J/kmol.K ,
V =
volumen de líquido en el tanque (constante), m3
La cinética de la reacción se expresa por la siguiente expresión de orden cero E
r A
ko e
RT t
dónde k o = factor de frecuencia, kmol/m
3
.s E = energía de activación, J/kmol R = constante de los gases ideales, J/kmol.K
Determinar la función de transferencia
s para el reactor. Expresar la constante de tiempo y i s
ganar en términos de los parámetros físicos ¿En qué condiciones puede la constante de tiempo sea negativo?¿Cuáles serían las consecuencias de una negativa ¿tiempo constante?
Solución Modelo de la reacción de orden cero adiabática.
E
r A
RT t
h0 e
Obtener la función de transferencia, T s T s la ganancia, la constante de tiempo. Supongamos mezcla perfecta, no hay pérdida de calor, el flujo constante, el volumen, el calor específico, la densidad de i
Balance de energía. T ref
0
f C pTi t f CpT t Hr h0e
d dt
E RT t
V
V CvT t
1 ec. y 1 incógnita
Linealizando: d t a1 i t a 2 t V C v dt
a1
f C p
a2
f C p
H r Ve
Transformada de Laplace y reordenando V C v a s s s 1 i s a2 a2
E RT
E RT 2
K s s 1 s
3 2 ,12
i
donde K
a1 a2
f C p
f C p H r h0Ve
V C v a2
E RT 2
V C p
f C p
Para la reacción exotérmica, H
r
Entonces si f C p Hr h Ve 0
E RT 2
H r h0Ve
E RT 2
E RT 2
0
E RT 2
0
La constante de tiempo es negativo. A continuación, la raíz del denominador es: 1 r
es positivo
La respuesta es inestable, es decir, que se escapó de forma monótona. El reactor sería inestable en lazo abierto
Problema 3.14 Considere el proceso que se muestra en la Fig. P3-6. El tanque es esférica con un radio de 4 ft. La masa nominal de flujo dentro y fuera del tanque es de 30.000 lb / hr, la densidad
del líquido es de 70 lb ft , y el nivel de estado estacionario es de 5 ft. El volumen de una 3
esfera está dada por 4 r
3
3.
La relación entre el volumen y la altura viene dada por
h 2 t 3r h t V t V T 3 r 4
y los flujos a través de las válvulas están dadas por w t 500 C v vp t G f P t
Donde r
= radio de la esfera, ft
V t = volumen de líquido en el tanque,ft
3
V T =
volumen total del tanque,f t3
= altura del líquido en el tanque, ft w t = índice de flujo masivo, lb/hr
h t
C V =
coeficiente de válvula, gpm /(psi1/2 )
C V 1 = 20,2 gpm/(psi1/2 ) and P
C V 2
= 28.0 gpm/(psi1/2 )
t = caída de presión en la válvula, psi
G f = peso específico del fluido vp t = posición de la válvula, una fracción de apertura de la válvula
La presión por encima del nivel de líquido se mantiene constante a un valor de 50 psig. Obtener las funciones de transferencia que relacionan el nivel de líquido en el tanque a los cambios en las posiciones de las válvulas 1 y 2. Además, trazar las ganancias y las constantes de tiempo frente diferentes niveles de operación, manteniendo las posiciones de las válvulas constantes. Solución
INESTABLE-BALANCE DE MASAS DEL ESTADO-TOTAL w1 t
w2 t
dV t dt
1 1 ec . y 3 incógnita w, t , w2 t ,V t
VÁLVULAS w1 t 500Cv1 vp 1 t
p1 G
w2 t 500Cv 2 vp 2 t
p2 t G
P2
t P
2
Pgh t P3 144 gc
2 2 ec y 3 incógnita 3 3 ec. y 4 incógnita P t 2
4 4ec. y 5 incógnita. h t
Relación de volumen h 2 t 3r h t V t V r 3 4 r
5 5ec. y 5 incógnita
LINEALIZACIÓN TÉRMINOS NO LINEALES w2 t w2
w t t vp t vp P t P ¨ vp t p t ss ss w2
2
2
2
2
2
2
2
w2 t P2 500CV 2 C 1 vp2 t ss G w2 t 1 1 P 500 CV 2 VP 2 2 C 2 p2 t ss 2 G G
ENTONCES:
w2 t w2 C 1 vP2 t VP2
h t
V t
V t V
V t h t ss
V 3
4r
C P t P 2
2
2
6
h t h ss
6rh 3h 2 C 3
ENTONCES: V t V C 3 h t h
7
AHORA TENEMOS UN CONJUNTO DE 5 ECUACIONES LINEALES - (1), (2), (6), (4) Y (7) – CON (5 INCOGNITA) Dejar: VP t vP t vP 2
2
2
P2 t P2 t P2
Sustituir dichas variables de desviación en las ecuaciones (6) y (7)
8 9 10
w2 t w2 C1VP2 t C2 P2 t
V C H t De (2): w t C vp t V t
3
1
donde
4
1
P1
C 4 500C V 1
G
Sustituir (8), (9), (10) en (1): C 4 vp1 t w2 C 1VP2 t C 2 P2 t C 3
dH t dt
11
De (4): P2 t P2 P3
Pgh t 144 gc
12
Pgh 144 gc
13
En estado estacionario P2
t P
2
P3
Sustituyendo la ecuación (13) a partir de la ecuación (12) y según la definición de
:
H t
,
P2 t
P2
t
Pg H t 144 gc
14
Sustituyendo la ecuación (14) en la ecuación (11) C 4 vp1 t w2
C 1VP2 t
C 2 g H t 144 gc
dH t dt
C 3
15
BALANCE DE MASA EN ESTADO ESTACIONARIO w
1
w
2
0 ó C4 vp1
16
w2 0
Sustituyendo la ecuación (16) a partir de la ecuación (15): C 4VP1 t C1VP2 t
donde VP t vp t vp
1
donde
1
dH t dt
dH t C 2 g H t C3 144 gc dt
1
H t K1V 1 t K2V 2 t
C3 144 gc C2 g
K 1
144 gcC 4
; K
2
C2 g
144 gcC 1
C2 g
y H s K K ; V s s 1 V s s 1 H s
2
1
1
2
con
6,915 h ; K1 77,43 ft ; K2 75,54 ft
Problema 3.15 Considere el tanque de calentamiento se muestra en la Fig. P3-7. Un fluido de proceso se calienta en el tanque por un calentador eléctrico. La velocidad de transferencia de calor, q t , para el fluido de proceso se relaciona con la señal, m t , por q(t )
a m t
Usted puede asumir que el tanque de calentamiento está bien aislado, porque el fluido es así
Solución Balance de Masa:
t f in t
f in
f out
f out t
t
0
f t
Balance de Energía estado no estacionario- contenido en el Tanque: f t hi t q t f t h t V
hi t , h t , u(t )
du (t ) dt
J / kg
Utilizando como estado de referencia para la entalpía (h) e interna (u) la fase líquida, a T0=0 °C y la presión del sistema: hi t
Por otra parte, dejar que Cp
CpTi (t ) ; h t CpT (t ) ; u t Cv T (t )
C v a continuación
f t CpTi (t ) q t f t CpT (t ) V Cp
d T (t )
(1)
dt
1 Ec. 2 var [q(t),T(t)]
Calentador q(t )
(2) 2 Ec. 2 var
a m t
Substituyendo (2) en (1): f t CpTi (t ) a m t f t CpT (t ) V Cp
d T (t ) dt
(3)
Linelizando: f t CpTi (t ) f CpTi
CpTi f t f f Cp Ti ( t) T i
Define: F t f t f ;
i (t ) Ti (t ) T i
Y sustituyendo en la ecuación anterior: f t CpTi (t ) f CpTi
CpTi F
t f Cp i (t )
(4)
Similar f t CpT (t ) f CpT
CpTF
t f Cp (t )
(5)
Donde: (t ) T (t ) T Sustituyendo (4) y (5) en (3) f CpTi CpTi F t f Cp i (t ) a m t f CpT CpTF t f Cp (t ) V Cp … (6)
Balance de energía en estado estacionario- contenido del tanque f CpT
am
t f CpT
V Cp
d T (0)
(7)
dt
Sustraendo (6) – (7): CpTi F t f Cp i (t ) a M t f
CpT
CpTF t f
Cp
(t ) V Cp
d (t ) dt
Donde: M (t ) m t m Reordenando las ecuaciones anteriores:
d (t ) dt
Donde:
K 1 K 2
K1F t K 2 i (t ) K 3M t
(t )
Cp
VCp
f Cp
T
i
, seg
T
f Cp 1
K 3
,
C
3
m /s
Adimensional a C ,
f Cp
%
Entonces
( s) F s
K 1 s 1
;
( s ) i ( s )
K 2 s 1
;
( s )
M ( s )
K 3 s 1
Diagrama de bloques
F s m
3
/s
i ( s) C M ( s )
K 1 K 2
K 3
1 s 1
( s )
C
d T (t ) dt
Problema 3.16 % Considérese el proceso de mezclado que se muestra en la figura 3-29. La finalidad de este proceso es combixiar una corriente baja en contenido del componente A con otra corriente de A puro; la densidad de la corriente 1, 1 , se puede considerar constante, ya que la cantidad de A en esta corriente es pequeña. Naturalmente, la densidad de la corriente de salida es una función de la concentración y se expresa mediante:
a3 b3c 3 t
3 t
A
El flujo a través de la válvula 1 está dado por: P 1
f1 t Cv vp1 t
G1
1
El flujo a través de la válvula 2 está dado por: P 2
f 2 t Cv vp2 t
G2
2
Finalmente, el flujo a través de la válvula 3 está dado por: f3 t C v
3
t t
P3
G3
La relación entre la posición de la válvula y la señal neumática se expresa con: vp1 t a1 b1 m1 t d1 vp2 t a2 b2 m2 t d 2
Donde: a1 , b1 , d1 , a2, b2, d2 , a3 y b3 Constantes conocidas
Coeficientes de las válvulas 1, 2 y 3 respectivamente, m3/(s-psi1/2) vp1 t , vp2 t Posición de la válvula 1 y 2 respectivamente, fracción sin dimensiones. P1 , P 2 Caída de presión a través de las válvulas 1 y 2, respectivamente, la cual es constante, psi. P t : Caída de presión a través de la válvula 3, psi. Cv1 , Cv 2 , C v 3
3
G1 , G2 : Gravedad
específica de las corrientes 1 y 2, respectivamente, la cual es constante y sin
dimensiones. G t : Gravedad específica de la corriente 3, sin dimensiones. 3
Desarrollar el modelo matemático que describe cómo función de forzamiento m1 t , m2 t y C A1 t afectan h t y C A3 t ; determinar las funciones de transferencia; y dibuja el diagrama de bloques. Asegúrese de mostrar las unidades de todas las ganancias y las constantes de tiempo.
Solución Balance de Materia del Componente A, en el Estado no Estacionario: d h t c A3 t f1 t c A1 t 2 f 2 t f 3 t cA3 t A dt
(1)
1ec. 5 var[ f 1 t , f 2 t , f 3 t , h t y c A3 t ]
Donde: A [area en m2 ](conversion de m 3 a gal ) h(t ) en metro
5 variables f 1 t , f 2 t , f 3 t , h t y c A3 t
Balance de Materia Total, en el Estado No Estacionario: 1 f1
t
d h t 3 t …(2) f t f t t A 2 2 3 3 dt
2ec. 6 var [ 3 t ] Existen 6 variables 3 t
Válvulas: vp1 t f1 t Cv1
P 1
G1
C1vp1
t
(3)
3ec. 7 var [ vp1 t ]
Donde: C
1
C v1
P 1
y
G1
m
conversión de C v1
3 1/2
s psi
gpm
a
psi
1/2
Existen 7 variables vp1 t P 2
f 2 t Cv 2vp2 t
Donde: C
2
C v2
G2
C 2vp2
P 2
G2
y
t
4ec. 8var [ vp2 t ]
…(4)
conversión de C v2
m
3 1/2
s psi
a
gpm psi
1/2
Existen 8 variables vp t 2
t G3 t
P3
f 3 t Cv3
Cv3
f3 t C3 h t
Donde: C
3
C v3
3
t gh(t ) 3 t
144 g c
C3
h t
r e f
… (5) 5ec. 8var [ h t ] ref g
144 g c
y
C v3
m
convirtiendo de
3
a
1
s psi
2
gpm 1
psi
2
Densidad: 3
t a
3
b3c A3 t
…(6) 6 ec. 8var
Válvulas: vp1 t a1 b1 m1 t d1 A1 b1m1 t
Donde: A1
a1
…(7) 7 ec. 8var
b1d 1
vp2 t a2 b2 m2 t d 2 A2 b2m2 t
…(8) 8 ec. 8var
Donde: A2 a2 b2d 2 linealizar los términos, generando así las variables de desviación f1 t c A1 t f1c A1 f1 cA1 t cA1 cA 1 f 1 t f 1
f1 t c A1 t f1c A1 f1C A1 t cA1F1 t
…(9)
Donde: C A1 t F1 t
cA1 t c A1
f1 t
f 1
Análogamente: f3 t c A3 t f 3cA3 f 3CA 3 t cA 3F3 t
…(10)
Donde: C A3 t cA3 t c A3 F3 t f 3 t f 3
También: h t c A3 t h cA3 hCA3 t cA3H t
…(11)
Donde:
H t h t h
y: 3
t f t 3
3
f 3 3 F3 t f 33 t
…(12)
Donde:
3 t 3 t 3 Entonces, tenemos que:
h t 3 t h 3 h 3 t 3H t 1
f 3 t f 3 C3 h 2
1
2
H t
f3 t f3 C4 H t 1
Donde: C4 C3 h 2
…(13)
…(14) 1
2
Sustituyendo (9), (10) y (11) en (1): f1c A1 f1C A1 t c A1F1 t 2 f 2 t f 3c A 3 f 3C A 3 t c A 3F 3 t A h
dC A3 t dt
...
A c A 3
(15)
dH t dt
Sustituyendo (12) y (13) en (2) 1 f1 t 2 f 2 t 3 f 3 3F3 t f 3 3 t A h
d 3 t
dt
A 3
dH t
…(16)
dt
Ahora tenemos 8 ecuaciones lineales: (15), (16), (3), (4), (14), (6), (7) y (8), la misma cantidad de variables; lo que nos permitirá hallar el valor de éstas. Escribiendo el balance de Materia del Componente A, en estado Estacionario y restando de la ecuación (15) y ordenando, obtenemos: 1
dC A3 t dt
C A3
t K C A t K 1
F1 t K 3F 2 t K 4F 3 t K 5
1
2
dH t dt
Aplicando la transformada de Laplace: 1
C A3 s
1 s 1
K C s K F s K F s K 1
A1
2
1
3
2
4
F3 s K5 sH s …(17)
Donde: 1
Ah f 3
K 2
K 4
c A1 f 3
K 1
, min
lb ,
c A3
K 3
gpm
,
f 3
gal
f 1 f 3
2 f3
, adimensional
lb ,
gal
gpm
gal lb Ac A3 m gal K 5 ,
lb gal gpm
f3
gpm
F2 t f 2 t f 2
Balance de Masa Total en Estado Estacionario, y restando con la ecuación (16), y ordenando; tenemos: A 3
dH t
dt
1F1 t 2 F2 t 3F3 t f 3 3 t Ah
d 3 t
dt
…(18)
Sustituyendo (14) en (18), y ordenando tenemos: Ec. 14: F t C H t 3
2
dH t dt
4
H
t K
F t K 7F2 t K 8 3 t K 9 6 1
d 3 t
dt
Aplicando la Transformada de Laplace y ordenando tenemos: dH s dt
1
K 6 F1 s K 7 F2 s K8 K 9s 3 s 2 s 1
…(19)
Donde: 1
A C4
gpm ; K 6 , 3C4 m
, min
gpm K 7 , 3C4 m
1
2
K 9
Ah
,
3C 4
1
1
; K 8
f 3 3C4
,
m lb / gal
m min lb gal
De la Ecuación (6), tenemos, trabajando con varables de desviación: 3 3
t b C A t s b C A s 3
3
3
3
De las Ecuaciones (3) y (7) tenemos: f1 t C1 A1 b1m1 t F1 t C1b1M1 t M1 t m1 t m1
F1 s C1b1M1 s
…(21)
De la ecuación (4) y (8): f 2 t C2 A2 b2 m2 t F2 s C2b2 M 2 t M 2 t m2 t m2
F2 s C2b2 M 2 s
…(22)
Sustituyendo las ecuaciones (20), (21) y (22) en (19):
1
H s
s 1 2
K10 M1 s K11 M 2 s K12 K13 s CA3 s …(23)
Donde: K10
K 6C1b1 ,
K12
K8b3 ,
m
;
%
m lb / gal
K 11
; K13
K 7C 2b2 ,
K 9b3 ,
m
% m min
lb / gal
Sustituyendo las ecuaciones (21), (22) y F 3(s) en (17): C A3 s
1
1 s 1
K CA s K 1
1
14
M1 s K15 M 2 s K4 F3 s K16
K5 s H s (24)
Donde:
K14
K12
lb gal
K 2C1b1 ,
K 4C 4 ,
lb ; K15
%
lb gal m
;
K 5
K 3C 2b2 ,
lb gal
gal
%
min
m
El diagrama de bloques para este proceso es:
Problema 3.17 Considere el tanque que se muestra en la Fig. P3-9. Un 10% ( 0,2%) en peso de NaOH, solución está siendo utilizado para un proceso de lavado cáustico. Con el fin de suavizar las variaciones en la tasa de flujo y la concentración, un tanque de 8000 gal se utiliza como depósito de compensación. Las condiciones de estado estacionario son como sigue: V
4000 gal
fi
f0
2500gal / h
ci
c0
10wt %
El contenido del tanque están bien mezclados, y la densidad de todas las corrientes es de 8,8 lbm / gal.
a) Una alarma sonará cuando la concentración de salida cae a 9,8% en peso (o sube al 10,2% en peso). Suponga que los flujos son constantes.
Balance de materia (NaOH) en estado No estacionario f i
ci (t )
100 o tambien :
f 0
c0 (t ) 100
fci (t ) fc0 (t ) v v dc0 (t )
f
dt
i.
dt
dc0 (t )
100
dt
dc0 (t ) dt
c0 (t ) ci (t )
Obtener la función de transferencia que relaciona la concentración de salida con la concentración de entrada. Obtener los valores numéricos de todas las ganancias y constantes de tiempo. C 0 (s) Ci (s)
ii.
v
c0 (t ) ci (t )
4000 dc0 (t ) 2500
1 1.6s 1
A causa de un malestar, la concentración de entrada, c(t ) , se reduce a un 8% de NaOH instantáneamente. Determinar cuánto tiempo tomará antes de que la alarma suene. Ci (s )
C0 ( s)
2 s
2 s (1.6s 1)
c0 (t )
2(1 et /1.6 )
0.2 2(1 et /1.6 ) t
0.1686h 10.11min 606.9s
b) Considerar ahora que el flujo de entrada, fi (t ) , puede variar, mientras que el flujo de salida es mantenido constante a 2500 gal/h. Por lo tanto, el volumen en el tanque también puede variar.
Balance total de masa en estado inestable: f i (t ) f 0
iii.
d v(t ) dt
Desarrollar la ecuación diferencial que relaciona el volumen en el tanque de los flujos de entrada y salida. fi (t ) f 0
iv.
d v(t ) dt
(1)
Desarrollar la ecuación diferencial que relaciona la concentración de salida de NaOH al flujo de entrada y la concentración de entrada. Balance de NaOH en estado No estacionario
f i (t )ci (t )
100 otambien : f i (t )ci (t )
v.
100
f 0 (t )c0 (t )
f 0 (t )c0 (t )
d v(t)c0 (t )
100
dt
d v(t)c0 (t )
(2)
dt
Obtener la función de transferencia que relaciona el volumen en el tanque a la entrada del flujo. f i
f 0 0
d v
(3)
dt
res tan do (1) ( 3)
f i (t ) f i
d [v(t) v]
dt var iables desviacion : Fi (t ) f i (t ) f i ; Entonces : Fi (t )
vi.
V (t ) v(t ) v dV (t ) dt
V (s )
o
Fi (s )
1 s
Obtener la función de transferencia que relaciona la concentración de salida al flujo de entrada y la concentración de entrada. Obtener los valores numéricos de todas las ganancias y las constantes de tiempo. Balance de masa (NaOH) en estado estacionario: f i 100
ci
f 0 100
f ic i f 0c0
c0
d v c0 100
dt
0
d v c0
0 dt linealizando terminos de la ecuacion (2)
(4)
f i (t )ci (t ) f ic i f i ci (t ) ci ci f i (t ) f i
(5)
v(t )c0 (t ) v c0 v c0 (t ) c0 c0 v(t ) v
(6)
variables de desviacion : C0 (t ) Ci (t )
c0 (t ) c0
ci (t ) ci
Entonces : fi (t )ci
f ici
f iC i (t ) ci Fi (t )
(7)
v(t)c0 (t) vc0 v C0 (t ) c0V (t )
(8)
Restando (7) y(8),luego remplazando en (2) : f i ci
f iCi (t ) ciFi (t ) f 0c0 (t ) v
dC0 (t ) dt
c0
dV (t)
(9)
dt
restando (4) de (9) : f iC i (t ) ciFi (t ) f 0 c0 (t ) c0 v
dC0 (t ) dt
c0
dV (t) dt
o tambien :
dC0 (t )
dt
C0 (t ) K1Ci (t ) K 2 Fi (t )
c0 dV (t ) f 0
dt
Donde :
K1 c0 f 0
1.6
v
f 0
f i
4000 gal 2500 gal / h
f 0
1
0,004
dC0 (t ) dt
C0 ( s )
K 2
1.6h
ci f0
10% 2500 gal / h
0, 004
% gal / h
% gal / h
C0 (t ) Ci (t ) 0, 004 Fi (t ) 0, 004
1 1, 6 s 1
dV (t ) dt
Ci (s ) 0, 004Fi (s) 0, 004sV(s)
Del (v.) V (s)
Fi ( s )
s sustituyendo en las ecuaciones anteriores de ren dim iento : C0 ( s) C0 ( s ) Ci (s )
1 1, 6 s 1
Ci (s ) 0, 004Fi (s ) 0, 004 F i (s)
1 1, 6s 1
los cambios en la f i (t ) no afec tan a C0 ( s ) F i
vii.
c 0 (t ), entonces :
0
Supongamos ahora que el flujo de entrada al depósito de baja a 1.000 gal/h. Determinar cuánto tiempo se necesita para vaciar el tanque. Fi ( s)
1500 s
Del enunciado (v.),se
V(s) V
tiene:
1500
s
2
1500t
o tambien : V
0 t
4000 1500t
4000 1500t
2,67 h
Problema 3.18 El tanque de mezcla se muestra en la Fig. P3-10 se puede suponer que es de mezcla
perfecta. Las variables de entrada son las concentraciones de soluto y los flujos de las corrientes de entrada, 3 3 3 c1 (t ), c2 ( t) [ kg / m ], f1 (t), y f2 ( t) [ m / min]. El volumen de líquido en el tanque, V [m ] , puede suponerse constante, y la variación de las densidades de flujo con la composición puede ser despreciado.
a) Obtener las funciones de transferencia para la composición de salida c ( s) , kg / m3, y flujo de salida F (s), m3 / min, a las cuatro variables de entrada, y escribir las expresiones para la constante de tiempo y ganancias en términos de los parámetros del sistema. Balance de masa (soluto) en estado No estacionario: f1 (t )c1 (t ) f 2 (t ) c2 (t ) f (t ) c(t ) v
dc(t ) dt
(1) Ec.
Balance de masa total :
f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) 0 f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) 0
(2) Ec. 2 Inc.
resolviendo para f t de 2 y rest ando en 1 : f1 (t ) c1 (t ) c(t ) c2 (t ) c(t ) v
dc(t ) dt
(3)
2 Incog.[ c(t ), f (t )])
linealizando los ter min os no lineales y definiend o sus var iables de desviacion : f1 (t ) c1 (t ) c(t ) f1 c1 c c1 c F1 f 1C1(t ) f 1C (t )
(4)
f 2 (t ) c2 (t ) c(t ) f 2 c2 c c2 c F2 f 2C 2 (t ) f 2C( t )
4 - 5
Restando
(5)
en 3 , escribir un balance de masas en estado estacionario en el soluto,
restando a partir de la anterior D .E . y reordenando :
dC (t ) dt
C ( s)
C (t ) K1 F1( t ) K 2 F2 ( t) K 3C1( t) K 4 C2 ( t)
1 s 1
K1F1 ( s) K 2 F2 ( s) K 3 C1( s) K4C2 ( s)
o tambien : C ( s) F1 ( s )
K1
s 1
C ( s)
;
F2 ( s)
C( s) ; s 1 C1( s) K2
K 3
;
C( s)
K 4
s 1 C 2( s)
s 1
Donde :
K 2
v f1 f 2
, min;
c2 c
,
K 1
kg / m3
f1 f m3 / min
kg / m3
c1 c
, f1 f m3 / min
;
K3
f1
f1 f 2
; K 4
f2
f1 f 2
b) Dibuje el diagrama de bloques del tanque, mostrando todas las funciones de transferencia.
c) Calcular los valores numéricos de las constantes de tiempo y las ganancias del tanque que se mezcla inicialmente una corriente que contiene 80 kg / m3 de soluto con un segundo corriente que contiene 30 kg / m3 de soluto para producir 4.0 m3 / min de una solución que contiene 50 kg / m3 de soluto. El volumen del tanque es 40 m3. c1
80
kg 3
; c2
30
kg 3
; c
50
kg 3
3
;
f
4
m
min m m m De los balances de masa en estado estacionario :
f1
1, 6
m
3
min
;
f 1
2, 9
m
3
min
; v
40 m
3
Donde :
K 1
v f1 f 2
K 2
K 3
c1 c f1 f 2 c2 c f1 f 2 f1 f1 f 2
40m3 4m3 / min
10min
(80 50) kg/ m3
(30 50) kg/ m3 4m3 / min 1, 6 4
7, 5
4m 3 / min
5
0, 4 ;
K 4
kg/ m3 m 3 / min kg/ m3 m 3 / min
f 2
f1 f 2
2,9
4
0, 6
Problema 3.19 Dibujar el diagrama de bloques de las siguientes funciones de transferencia. En cada uno caso, no hagas ninguna manipulación algebraica que simplemente las funciones de transferencia, pero el uso de las reglas del álgebra de diagrama de bloques para simplificar el diagrama si es posible.
a
Y s
b
Y s
c
Y1 s
Y2
K1 1 s
1
K 2
X s
2 s
1
1 1 s
K F s K 1 1
1
2
X s
F2 s
G s X s G s Y s s G s Y s 1
3
2
2
1
Solución: Ya que no nos pide ninguna manipulación algebraica, los diagramas de bloques son los siguientes:
a)
X(s)
Y(s)
k 1 1 s
1
+ +
K 2
2 s 1
b)
F1(s) K 1
Y(s)
+ 1
s 1 F2(s)
K 2
F1(s)
X(s)
c)
G1
F2(s) G3
G2
Problema 3.20 Determinar la función de transferencia
para el sistema que se muestra en la figura R s C s
G2
R s
+
+
GV
GC
G1
-
H Solución Para resolver este problema utilizaremos la forma simplificada para la cual es :
J G j Y s i K J K I G s X s 1 Gi K K K L
1
1
1
1
Luego desarrollando esta ecuación tenemos
J G j GC GV G G i J I L
1
1
2
1
1 G 1 G G K
K
i
K 1
K 1
C
K
V
H G1 G2
+
C s
Sustituyeron en la ecuación general:
G G G G R s 1 G G H G G C s
C
V
C
V
Determine la ecuación de transferencia
C s
1
2
1
2
Problema 3.21
Problema 3.22
/ R s para el sistema de la figura P3-13
Figura P3-13 Solución C(s)
G3 G2 G4 H
GC G1 R( s) H
Problema 3.23 Obtener la respuesta de un proceso descrito por una función de transferencia de primer-ordenmás- tiempo - muerto a la función de fuerza que se muestra en la Fig. P3-14.
Figura P3-14 Esquema para el problema 3-23
El tiempo muerto, retardo de tiempo o retardo de transporte es representado por t0.
ke X s s 1 t s 0
Y s
Entonces se tiene que
t0 s
e
es la transformada de Laplace del tiempo muerto y, por lo tanto lo
que interesa es la respuesta de Y(t) a los cambios en X(t). Entonces aplicamos las funciones de transferencia: A partir del gráfico se puede determinar lo siguiente:
Au t a t b X t Au t a Au t b X t
Aplicando la transformada de Laplace se tiene lo siguiente: L X t ALu t a ALu t b
X s
Ae
s
as
Ae
bs
s
Luego:
Y s
kA
et a s et b s s s 1 0
Aplicando la transformada inversa de Laplace: Donde:
1
L
a 1 e s s a
at
Entonces se tiene que:
kA 1 e
t t0 a
Y t
kA 1 et t
0
b
Problema 3.24 Supóngase que con la siguiente ecuación se describe un cierto proceso: Y s X s
3e
0,5 s
5s 0,2
a) Obténgase la ganancia de estado estacionario, la constante de tiempo y el tiempo muerto para este proceso.
b) La condición inicial de la variable y es y(0) = 2. ¿Cuál es el valor final de y t para la función de forzamiento que se muestra en la figura P3-15?
Solución a) Tenemos la función de transferencia de forma general.
Ke X s s 1 t0 s
Y s
3.83
Donde: K : Ganancia
: Constante de tiempo t . Tiempo muerto Hacemos que la ecuación dada por el problema tome la forma de la ecuación (3.83)
0
3
Y s X s
e0,5
s
0, 2 5 0,2
Y s X s
15e
s 1 0,5 s
25s 1
por tanto: k
t 0
15
25
0,5
b) De la Figura P3-15
Figura P3-15.
Obtenemos la ecuación de transferencia.
x t
Au t
a
Aplicando la transformada X s
Ae as s
De la ecuación del problema tenemos. G s
Y s X s
15e
0,5 s
25s 1
Aplicando el teorema del valor final.
Y
t
lim sG s X s s 0
lim G s lim sX s 0 0 15e0,5 Ae lim lim s s 0 25 s 1 0 15 A s
s
s
s
as
s
Por dato del problema sabemos que y 0 y t
2,
entonces el valor final es:
2 15 A
Problema 3.25 Obtener la respuesta de un proceso descrito por una función de transferencia de primer orden de una función de impulso.
Solución Y ( s)
X( s)
K
s 1
Si: x (t ) (t )
X( s ) 1, 0
Entonces: K
Y( s )
s 1 K t y (t) e
Problema 3.26 Un detector de gas es usado para determinar la concentración de gas inflamable en una corriente de gas. Normalmente la concentración de gas es 1% por volumen., por debajo de la alarma límite de 4% y el límite inferior de inflamabilidad de 5%. Si la concentración del gas está por encima del límite inferior de inflamabilidad, es inflamable. Un detector de gas en particular demuestra un comportamiento de primer orden con una constante de tiempo de 5 s. En momento determinado, la corriente de gas tiene un flujo de 1 m 3/s atreves un tubo con área transversal de 1 m2. Si la concentración de gas sorpresivamente se incrementa de 1% a 7% por volumen, ¿Cuántos metros cúbicos de gas inflamable pasara antes que la alarma este sonando? ¿Es posible que un poco de gas inflamable pase el detector sin que la alarma haya sonado?
Solución Detector
x t
Dónde: x t , concentración del gas
y t
Gas
y t , señal del detector
Del problema se sabe que tiene un comportamiento de primer orden, entonces:
dy t
dt
y t x t
(1)
En estado estacionario:
d y t
dt
y t x t
(2)
Restando (1) menos (2)
d y t y t dt dY t
dt
y t y t x t x t
Y t X t
Aplicando Laplace: Y t sY s dt L Y t Y s L
L X t X s
Y s s Y s X s Y s s 1 X s
Ordenando
X s Y s
1 s 1
(3)
Diagrama de bloques: 1
Y s
X s
s 1
Y s
Se incrementa de 1 a 7% de la concentración del gas x t 7 x t 1
Entonces
X t
x t
x t
1
Aplicando Laplace
L X t
X s
L 6
6
s
Remplazando en la ecuación (3) Y s Y s
1
s 1 6
X s
s 5s 1
7
6
