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LINEAS DE INFLUENCIA
211
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
CAPITULO VII
Problema VII.1 La carga unitaria P=1 se desplaza sobre la barra horizontal mostrado en la estructura. estructura. Determinar: L.I.Ms-s = Línea de influencia de Momento flector en sección s-s. L.I.Qs-s = Línea de influencia de la fuerza Cortante en sección s-s. L.I.VD = Línea de influencia de la reacción de apoyo Vertical “D”. Figura VII.1
P=1
x
s 2m D
A
C
B V C
V A
3m
3m
2.5m
1. Reacciones de apoyo M B 0 (A la izquierda de la articulación articulación B) V A 3 P 6 x V A 3 1 6 x V A
M D 0
x 6
x 6
H D
s V D
3m
6m
0
A
0
6 x 3
P=1
x
V A x 6
Es importante diferenciar que se hace uso de fracciones, remplazando 2.5 por 5/2. 23 29 x V C 6 0 V A P 2 2 6 x
23 29 1 x V C 6 0 3 x 6 2 2 23 29 2 x 6 x V C 6 0 6 2 x 6 23 29 2 x 6 x V C 36 12 x 6
B
LINEAS DE INFLUENCIA
212
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
F V 0 V A P V C V D 0
6 x 3
x 6
23 29 2 x 6 x 1 12 36
V D 0 x 6
23 6 x 29 2 x 6 x 3 12 36 x 6 29 2 x 11 6 x V D 1 12 36 x 6
V D 1
F H 0
x 6
H D 0
2. Funciones de líneas de influencias +Q Signos: +N
+M
2.1 Línea de influencia del Momento flector en la sección s-s. Analizaremos en la siguiente figura:
P=1
x
A
s
C
B V A
3m
3m
s
V C
2.5m
6m
La línea de influencia de Momento flector será respecto a la sección s-s, tomando todas las fuerzas que intervienen del lado izquierdo de esta sección: 19 . s s V A P12.5 x x 12.5 V C 4 L. I M 2 . ss L. I M
1
L. I M . ss
19
L. I M . ss
. ss L. I M
3
6 x
6
6 x x 6
19 6
19 112.5 x x 6 2
6 x x 6
29 2 x 3
11 18
12.5 x x 12.5 12.5 x x 12.5
6 x
29 2 x 4 x 12.5 12 x 6 23 29 2 x 6 x 4 4 36 12 x 6 23 29 2 x 6 x 9 3 x 6
12.5 x x 6
23 6 x 36
x 12.5
2.2 Línea de influencia de la Cortante en la sección s-s. La línea de influencia de la Cortante será respecto a la sección s-s, tomando todas las fuerzas que intervienen del lado izquierdo de esta sección:
LINEAS DE INFLUENCIA
213
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
L. I .Q s s V A V C P
1
L. I .Q s s
3
6 x
x 12.5
x 6
23 36
6 x x 6
29 2 x 11 6 x 12 36
L. I .Q s s
x 6
29 2 x 1 x 12.5 12
1 x12.5
2.3 Línea de influencia de la reacción de apoyo vertical D. En la obtención de la línea de influencia de la reacción de apoyo intervienen todas las fuerzas verticales de la estructura, entonces se tiene: 29 2 x 11 6 x L. I .V D V D 1 12 36 x 6 L. I .V D L. I .V D
12 29 2 x 12 2 x 17 12
11 36
11 36
6 x
2 x 17
x 6
12
11 36
6 x x 6
6 x x 6
3. Calculo de las ordenadas de la línea de influencia
Resumen:
29 2 x
. ss L. I M
3
11 18
6 x x 6
29 2 x 11 6 x 12 36 2 x 17 11 6 x L. I .V D
12.5 x x 12.5
L. I .Q s s
12
36
x 6
1 x 12.5
x 6
Realizamos la evaluación de las ordenadas:
x m
. ss L. I M
L. I .Q s s
L. I .V D
0
+0.833
-0.417
+0.417
3
0.000
0.000
0.000
6
-0.833
+0.417
-0.417
8.5
0.000
0.000
0.000
12.5
1.333
-0.667 +0.333
0.667
14.5
0.000
0.000
+1.000
17.5
-2.000
-0.5
+1.5
LINEAS DE INFLUENCIA
214
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
2
5 . 0
–
5 . 1 +
–
1 +
3 3 3 . 1 +
7 6 6 . 0 –
7 1 4 . 0 +
3 3 8 . 0 –
a i c n e u l f n I e d s a e n í L e d s a m a r g a i D . 4
s s
M . I . L e d a m a r g a i D 1 . 4
3 3 3 . 0 +
s s
3 3 8 . 0 +
Q . I . L e d a m a r g a i D 2 . 4
7 1 4 . 0 –
D
7 1 4 . 0 –
V . I . L e d a m a r g a i D 1 . 4
7 1 4 . 0 +
LINEAS DE INFLUENCIA
215
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
Problema VII.2 La carga unitaria P=1 se desplaza sobre la barra horizontal mostrado en la estructura. Determinar: L.I.Ms-s = Línea de influencia de Momento flector en sección s-s. L.I.Qr-r = Línea de influencia de la fuerza Cortante en sección r-r. L.I.VA = Línea de influencia de la reacción de apoyo Vertical “A”. Figura VII.2.1 P=1
x
s
r
D
C
s
r 4m
4m m 4
H B
B
A
H A
m 2
V B
V A
3m
10m
1. Reacciones de apoyo M C 0 (A un lado de la articulación C)
V B 10 H B 4 P x 3 0 10V B 4 H B 1 x 3 0 10V B 4 H B 3 x ………………. (1)
M A 0
V B 10 H B 2 P x 3 0 10 V B 2 H B 1 x 3 0 10 V B 2 H B 3 x …………….. (2) Se forma el sistema:
10 V B 4 H B 3 x 10 V B 2 H B 3 x Resolviendo:
H B 0 V B
x 3
10
4m
LINEAS DE INFLUENCIA FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
F V 0 V A 1 V B 0 V A 1 V B 1 V A
10 x 3 10 V A
F H 0
x3
10 13 x
13 x 10
H A H B 0 H A H B 0
2. Ecuaciones de líneas de influencia Signos: +Q +N
+M
2.1 Línea de influencia del Momento flector en la sección s-s. . s s P 9 x x9 V A 6 L. I M L. I M . s s 1 9 x
. ss L. I M
x 9
13 x 6 10
6
13 x 9 x x9 10 2.2 Línea de influencia de la fuerza Cortante en la sección r-r. L. I .Qr r 1 x 7 V A L. I .Qr r 1 x 7
13 x
10 2.3 Línea de influencia de la reacción de apoyo vertical A. 13 x L. I .V A V A 10 13 x . .V A L I 10 3. Cálculos de las ordenadas de la línea de influencia Resumen: L. I M . ss
6 10
13 x
L. I .Qr r 1 x 7 L. I .V A
9 x
13 x 10
13 x 10
Realizamos la evaluación de las ordenadas:
x 9
10
216
LINEAS DE INFLUENCIA
217
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
x m
L. I M . ss
L. I .Qr r
L. I .V A
0
-1.2
+0.3
+1.3
3
0
0
+1
7
+1.6
-0.4 +0.6
+0.6
9
+2.4
+0.4
+0.4
13
0
0
0
17
-2.4
-0.4
-0.4
4. Diagramas de línea de influencia s
4.1 Diagrama de L.I.Ms-s
+2.4 +1.6
D
C
s
– 1.2
– 2.4
B
A
4.2 Diagrama de L.I.Qr-r +0.3
r +0.6
C
D
– 0.4
– 0.4
r
B
A
LINEAS DE INFLUENCIA
218
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4.1 Diagrama de L.I.V A
+1.3
+1
D C
– 0.4
B
A
Problema VII.3 Determinar los máximos momentos flectores positivos M (+) y negativos M (-) generados en la sección s-s al desplazarse un sistema de carga móviles a lo largo de la horizontal. Figura VII.3.1 Sistema de cargas:
50 KN
4m
70 KN
3m
20 KN Desplazamiento
13 KN/m s
7m
P=1
x
D
3m s m H A 5
A V A
m 5 . 2
C m 5 . V C 1
B
V B
6m
4m
3m
LINEAS DE INFLUENCIA
219
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A-1. Reacciones de apoyo M A 0
M D 0
V C 13 V B 6 P x 0 13V C 6 V B 1 x 0 13V C 6 V B x 13V C 6 V B x ………………… (1) (Lado derecho de la articulación D)
La carga puntual P móvil entra solamente del lado derecho de la articulación D. V C 3 P x 10 x 10 0
3V C 1 x 10
x 10
x 10
V C
x 10
0 V C
x 10
3 Remplazamos la ecuación 2 en la ecuación 1, se tiene:
x 10
3
……………….. (2)
x 10 x 10 6 V B x 3 13 x 10 x 10 3 6 V B 3 x 13
13 x 10 V B
x 10
18 V B 3 x
3 x 13 x 10
x 10
18
F V 0
V A 1 V B V C 0 V A 1 V A 1
3 x 13 x 10
x 10
18 x
6
13 18
V A
F H 0
x 10
6 x 6
x 10
7 18
1 3 1 3
x 10 x 10
x 10
x 10
x 10
0
0
x 10
H A 0
A-2. Ecuaciones de línea de influencia del Momento flector Signos: +Q +N
+M
La ecuación de la línea de influencia esa: L. I M . s s V A 3 P 3 x x 3
6 x 7 L. I M x 10 . ss 18 6 L. I M . ss
6 x 2
7 6
x 10
x 10
x 10
3 1 3 x
3 x
x 3
x 3
6 x 6
3
7 18
x 10
x 10
3 3 x x3
LINEAS DE INFLUENCIA
220
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
A-3. Calculo de las ordenadas de las líneas de influencia Resumen:
. ss L. I M
6 x 2
7 6
x 10
x 10
3 x x 3
x m
L. I . M s s
0
0
3
+1.5
6
0
10
-2
13
0
A-4. Diagrama de línea de influencia A-4.1 Diagrama de L.I.M s-s
+1.5
D
– 2
A
C
B
LINEAS DE INFLUENCIA
221
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B-1. Momento flector máximo positivo Para hallar el momento máximo realizamos tanteos. B-1.1 Cuando P1=50 KN se ubica en x=3: 50 KN 70 KN
20 KN 13 KN/m
+1.5
x=3m
– 0.5
x=7m – 2
x=10m Calculamos el momento del tren de cargas con la siguiente relación:
. s s x 3 P2 L. I M . s s x 7 P3 L. I M . s s x 10 Area L. I M . ss M s s P1 L. I M Remplazando valores se tiene: 1 1 3 1.5 4 2 13 2 2
M s s 501.5 70 0.5 20 2 M s s 22.750 [KNm]
B-1.2 Cuando P2=70 KN se ubica en x=3: 70 KN
20 KN 13 KN/m
+1.5
x=3m x=6m Calculamos el momento del tren de cargas con la siguiente relación: . s s x 3 P3 L. I M . s s x 6 Area L. I . M s s M s s P2 L. I M Remplazando valores se tiene: 1 M s s 701.5 20 0 6 1.5 13 2 M s s 163.5 [KNm]
x 6
q x 0
x 10
q x 3
LINEAS DE INFLUENCIA
222
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B-1.3 Cuando P3=20 KN se ubica en x=3: 70 KN
20 KN 13 KN/m +1.5
x=3m Calculamos el momento del tren de cargas con la siguiente relación: . s s x 3 Area L. I M . ss M s s P3 L. I M
x 3
q x 0
Remplazando valores se tiene: 1 M s s 201.5 3 1.5 13 2 M s s 59.25 [KNm]
El Momento máximo positivo es: M s s 163.5 [KNm]
Cuando P2 =70 KN se ubica en x=3. B-2. Momento flector máximo negativo Para hallar el momento máximo realizamos tanteos. B-2.1 Cuando P 2=70 KN se ubica en x=10: 50 KN
70 KN
20 KN
13 KN/m
x=6m x=10m
– 2
x=13m
Calculamos el momento del tren de cargas con la siguiente relación: M s s P1 L. I M . s s x 6 P2 L. I M . s s x 10 P3 L. I M . s s x 13 Area L. I M . ss
Remplazando valores se tiene:
1 7 2 13 2
M s s 50 0 70 2 20 0 M s s 231 [KNm]
x 13
q x 6
LINEAS DE INFLUENCIA
223
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
B-2.2 Cuando P 1=50 KN se ubica en x=10: 50 KN 13 KN/m
x=10m
– 2
x=13m
Calculamos el momento del tren de cargas con la siguiente relación: M s s
P1 L. I M . s s x 10 Area L. I M . ss
x 13
q x 10
Remplazando valores se tiene: 1 M s s 50 2 3 2 13 2 M s s 139 [KNm]
El Momento máximo negativo es: M s s 231 [KNm]
Cuando P2=70 KN se ubica en x=10.
“Cada fracaso le enseña al hombre algo que necesita aprender” Anónimo