Capítulo VI Transmisión y reflexión de ondas 6.1.- INTRODUCCION. En la naturaleza que nos rodea es familiar el fenómeno de la generación de las llamadas ondas de choque, de las cuales un ejemplo típico es el que se presenta al golpear transversalmente una cuerda tensa entre dos soportes fijos, lo que motiva la propagación por la cuerda de perturbaciones en uno y otro sentido. Cada una de estas perturbaciones constituye un impulso, siendo la dirección del movimiento de las partículas de la cuerda perpendicular a la dirección de propagación del impulso. Tomando como referencia un sistema de ejes cartesiano, en cualquier instante de tiempo t la elongación y. de una partícula será una cierta función de su abscisa y la elongación de una partícula de abscisa dada x será una cierta función del tiempo t. Esto implica que en la ecuación general que describe la forma de la cuerda, la elongación y será función de dos variables independientes, la abscisa x de la partícula y el tiempo t, es decir: y f x, t
6.1.1
375
Un fenómeno similar al descrito anteriormente se presenta en los sistemas eléctricos en los estados transitorios que ocurren cuando el sistema pasa de un estado estable a otro. Estos estados transitorios generan ondas de tensión de frente escarpado y altos valores picos, que se propagan en las redes eléctricas y pueden llegar a ocasionar daños en su aislamiento. Los estados transitorios más comunes son aquellos asociados con la apertura y cierre de líneas, con algunos tipos de fallas y sobre todo con la incidencia sobre las redes eléctricas de las descargas atmosféricas. 6.2.- PROPAGACION DE LAS ONDAS DE CHOQUES EN LINEAS SIN PÉRDIDAS. En la Fig. 6.2.1 se muestran el campo camp o electrostático y electromagnético de dos d os conductores paralelos de una línea, en la cual se va a despreciar desprec iar la resistencia de los conductores y la conductividad del aislamiento entre ellos, por lo que en ellos la propagación de la corriente y de la tensión estará determinada únicamente por la inductancia (L) y la capacitancia (C) de los conductores. En un elemento de línea de longitud (Δx), en la que está aplicada una tensión (U) entre ellos y por las cuales circula una corriente (i), asociada a la tensión (U) está una pequeña parte del flujo electrostático que hay entre los conductores, en tanto que asociado a la corriente (i) está una pequeña parte del flujo electromagnético. La variación con el tiempo del flujo electromagnético causa una caída de tensión a través del elemento de línea (Δx), la cual está dada por: U L x
i t
6.2.1
A esta variación con el tiempo del flujo electromagnético corresponde una variación espacial de la tensión que está dada por: U x
L
i t
6.2.2
376
Un fenómeno similar al descrito anteriormente se presenta en los sistemas eléctricos en los estados transitorios que ocurren cuando el sistema pasa de un estado estable a otro. Estos estados transitorios generan ondas de tensión de frente escarpado y altos valores picos, que se propagan en las redes eléctricas y pueden llegar a ocasionar daños en su aislamiento. Los estados transitorios más comunes son aquellos asociados con la apertura y cierre de líneas, con algunos tipos de fallas y sobre todo con la incidencia sobre las redes eléctricas de las descargas atmosféricas. 6.2.- PROPAGACION DE LAS ONDAS DE CHOQUES EN LINEAS SIN PÉRDIDAS. En la Fig. 6.2.1 se muestran el campo camp o electrostático y electromagnético de dos d os conductores paralelos de una línea, en la cual se va a despreciar desprec iar la resistencia de los conductores y la conductividad del aislamiento entre ellos, por lo que en ellos la propagación de la corriente y de la tensión estará determinada únicamente por la inductancia (L) y la capacitancia (C) de los conductores. En un elemento de línea de longitud (Δx), en la que está aplicada una tensión (U) entre ellos y por las cuales circula una corriente (i), asociada a la tensión (U) está una pequeña parte del flujo electrostático que hay entre los conductores, en tanto que asociado a la corriente (i) está una pequeña parte del flujo electromagnético. La variación con el tiempo del flujo electromagnético causa una caída de tensión a través del elemento de línea (Δx), la cual está dada por: U L x
i t
6.2.1
A esta variación con el tiempo del flujo electromagnético corresponde una variación espacial de la tensión que está dada por: U x
L
i t
6.2.2
376
e1
e2
x
x
Fig. 6.2.1.- Campo electrostático y electromagnético en dos conductores en paralelo
Como la tensión entre los conductores varía con el tiempo, esto motivará un flujo de cargas debido a los cambios en el campo electrostático, flujo de cargas éste que se establecerá entre los conductores, existiendo por tanto en el elemento de línea x un cambio en la magnitud de la corriente dado por: iC x
U t
6.2.3
Por lo tanto la variación espacial de la corriente está dada por: i
C
x
U t
6.2.4
De lo antes expuesto se concluye que: variación de la corriente con el tiempo está asociada una variación espacial de la A cada variación tensión a lo largo largo de la la línea. A cada variación de la tensión con el tiempo le está asociada una variación espacial de la corriente a lo largo de la línea. Por analogía con la ley de Ohm se puede plantear que: U
IZ
6.2.5
Sustituyendo 6.2.5 en 6.2.2 y 6.2.4 se tiene que:
377
i i L x t
6.2.6
i i ZC x t
6.2.7
Z
Dividiendo 6.2.6 por 6.2.7 se tiene que: Z
L CZ
L
Z
C
6.2.8
Donde el valor de Z se conoce como impedancia característica de la línea y no es más que la resistencia que opone la línea al paso de la onda. Para cualquier condición que se presente siempre se tendrá que: U
L
C
I
6.2.9
Es decir, la forma de la onda de tensión es siempre proporcional a la de corriente, pero en este caso para el circuito existen dos soluciones (dos ondas diferentes) que están dadas por los signos de la ecuación anterior. Para el análisis de este tipo de ondas es necesario tener en cuenta la posición espacial de la onda para el tiempo en cuestión. A partir de la ecuación 6.2.2 y como Z
i
U
i
L
x
t
IZ
se tiene que:
6.2.10
O lo que es lo mismo:
i t
Como
Z
L
C
Z i L x
6.2.11
se tiene que:
Donde el término
1 LC
i i 1 t LC x
6.2.12
se define como la velocidad de traslación de la onda:
378
1
v
LC
2.2.13
Cuando una onda viaja a lo largo de una línea, la tensión instantánea (U), para cualquier tiempo (t) y cualquier posición (x) en la línea, está dada por una función F de (t) y (x). U F (t A x)
6.2.14
Como se sabe el comportamiento de una línea sin pérdidas está gobernado por la ecuación diferencial:
2 U x2
1 v2
2 U t2
6.2.15
Luego:
2 U A 2 F" t A x 2 x
6.2.16
y 2
U t
2
2
F
F
"
t A x
6.2.17
Por lo tanto: A
"
t A x
1 v
2
F
"
t A x
6.2.18
En base a la ecuación 6.2.18 se tiene que: A
1 v
6.2.19
Sustituyendo 6.2.19 en 6.2.14 se tiene: U
F (t
1 v
x)
o
U F (x
v t)
6.2.20
Las expresiones anteriores corresponden a dos ondas viajando en sentido contrario, en la cual el signo negativo corresponde a la denominada onda incidente que es la que viaja en el sentido del eje X y el signo positivo a la denominada onda reflejada que viaja en el sentido contrario al eje X. Si a una línea cualquiera en el punto x 0 y para el instante t 0 se le aplica una onda de impulso típica (1.2 / 50 s), cuya función sea U F (x - v t) , tal como se muestra en la Fig. 6.2.2, para el instante t, para una posición x, la onda tiene su valor máximo. Como el impulso se propaga a una velocidad constante, y se trata de una línea sin pérdidas, cuando haya transcurrido un tiempo dado t 2 - t 1 la onda debe haber recorrido una distancia x 2 - x 1 v (t 2 - t 1 ), por lo que en el instante t2 la onda de tensión, para x2, debe estar en su valor máximo, es decir, se tiene que cumplir que: 379
F (x1 , t 1 ) F (x 2 , t 2 )
6.2.21
U 1
2 Dirección de propagación
x x1
x=0
x2
x3
x4
Fig. 6.2.2.- Distribución de tensión a lo largo de una línea debido a la propagación de una onda. 1 - En el instante t1. 2 - En el instante t2 (t2 > t1).
Como la función es de la forma U F (x - v t) se tiene que cumplir que:
F (x1 , t 1 ) F (x 2 , t 2 )
F (x1 - v t 1 ) F (x 2 - v t 2 )
6.2.22
6.2.23
Como: x2
x 1 v (t 2 - t 1 )
6.2.24
Se tiene que: F (x 2 , t 2 ) F (x1 v (t 2 - t 1 ) - v t 2 )
F (x1 - v t 1 )
6.2.25
Con la expresión 6.2.25 queda satisfecha la condición dada por 6.2.21 y, además, queda también demostrado que la función U F (x - v t) corresponde a una onda que viaja en el sentido positivo del eje de las X. Es fácil demostrar que la función U F(x v t) corresponde a una onda que viaja en sentido negativo del eje de las X. La velocidad de traslación de la onda es independiente de las magnitudes de la corriente y de la tensión en cuestión ya que la misma solo está determinada por la inductancia (L) y la capacitancia (C) de la línea, por lo que en cualquier punto de la línea la variación de la tensión y de la corriente tendrán la misma velocidad. 380
En las ecuaciones correspondientes a la tensión y la velocidad de una onda cualquiera: U
v
L C 1
I
LC
6.2.26
6.2.27
De acuerdo a los signos que le corresponden se obtiene para la relación entre la tensión y la corriente dos velocidades de propagación de la misma magnitud pero de sentido contrario. A la tensión que tiene el mismo signo que la corriente (+) corresponde el signo positivo de la velocidad, planteándose por tanto que estas ondas viajan hacia adelante, en la dirección positiva del eje de las X, viajando por tanto hacia atrás, en el sentido negativo, las ondas de tensión y de corriente de signos opuestos, tal como se muestra en la Fig. 6.2.3, teniendose por tanto que: Ui
U r
Z Ii
6.2.28
Z I r
6.2.29
y Donde: i - Subíndice que corresponde a las ondas que viajan en el sentido positivo del eje X. r- Subíndice que corresponde a las ondas que viajan en el sentido negativo del eje X. Onda incidente Ui
Ii Ui =Z Ii
Onda reflejada
Ur
Ur =Z Ir
Ut = Ui + Ur
Ir
It = Ii + Ir
Fig. 6.2.3.- Onda de tensión y de corriente incidente y reflejada en una línea sin pérdidas.
Las ondas de tensión que viajan hacia atrás son proporcionales a sus corrientes propias y son independientes de las otras ondas de tensión que viajan en sentido contrario, por lo que las mismas se superponen unas a las otras sin que esto ejerza influencia alguna sobre su forma y 381
magnitud, no así para la magnitud de la tensión total en el punto que estará dada por la suma de ambas ondas, evaluadas cada una de ellas para el tiempo que corresponda, es decir: Ut
Ui
U r
6.2.30
Donde: Ut - Tensión total en el punto. De la misma manera: It
Ii
I r
6.2.31
Donde: It - Corriente total en el punto. 6.3.- ENERGIA DE LAS ONDAS. La energía asociada a cualquier proceso transitorio que genere ondas viajeras está almacenada en el campo electrostático y electromagnético de las ondas de tensión y de corriente correspondientes, por lo que la energía total será la suma de la energía electrostática y electromagnética. La energía almacenada en el campo electrostático depende de la tensión y de la capacitancia por unidad de longitud y está dada por: EC
1
CU
2
2
6.3.1
La energía almacenada en el campo electromagnético depende de la inductancia por unidad de longitud y de la corriente y está dada por: EL
1
2
LI
2
6.3.2
Dividiendo una expresión por la otra se obtiene que: EC EL
C U
L I
2
2
6.3.3
Ahora bien, como: U I
Z
EC
EL
y Z
C L
Z
2
L Z C L
2
L C
Es decir: EC EL
1
6.3.4
382
Como se puede apreciar la cantidad de energía almacenada en el campo electrostático de la onda de tensión es igual a la energía contenida en el campo electromagnético de la onda de corriente. La energía total está dada por:
L I 2 dx
E C U dx 2
6.3.5
La potencia de los pulsos que pasan por la línea, a través de una sección transversal dada, es igual al producto de la energía contenida y de la velocidad de propagación: 1
WEvI L 2
I Z 2
LC
U2 Z
6.3.6
Como se aprecia la potencia depende del inverso de la impedancia característica, de ahí la diferencia entre los cables aislados y las líneas aéreas dada la más baja impedancia característica de los primeros. 6.4.- AMORTIGUAMIENTO Y DISTORSION DE LAS ONDAS. Hasta ahora se ha despreciado la resistencia óhmica de los conductores y también se ha despreciado la conducción a través del aislamiento de la línea, si se consideran estos dos factores parte de la energía de la onda se disipará en ellos en forma de calor y con ello la señal se amortiguará. La pérdida total de energía en forma de calor de un elemento dx de la línea está dada por: dW i r dx
U2 g
dx
6.4.1
Donde: r - Resistencia del conductor por unidad de longitud. g - Resistencia del aislamiento por unidad de longitud. Sacando i como factor común: U 2 dW i r 2 dx i g 2
6.4.2
O lo que es lo mismo:
Z 2 dW i r g Como se vio anteriormente: 2
W i2 Z
dx
6.4.3
6.4.4
Derivando la ecuación anterior se tiene que: - dW - 2 i Z di
6.4.5
383
El signo menos indica que se trata de pérdidas de energía, en este caso en forma de calor. Sustituyendo dW por su expresión según la ecuación 6.4.3 se tiene que: i
2
Z 2 r dx 2 iZ di g
6.4.6
Arreglando la ecuación 6.4.6 se tiene que: di i
1 r Z dx 2 2 g
6.4.7
Integrando la ecuación anterior se tiene que:
1 r Z
dx g Similarmente para la tensión se tiene que: i i 0 exp
2 Z
1 r Z U U 0 exp dx 2 Z g
6.4.8
6.4.9
Donde i0 y U0 corresponden a la amplitud de la corriente y la de tensión en el punto a partir del cual se comienza el análisis. El amortiguamiento exponencial producido por las pérdidas en la resistencia del conductor y en el aislamiento, tal como se muestra en la Fig. 6.4.1, solo depende de parámetros que son constantes de la línea, por lo que la atenuación es independiente de la amplitud de la señal y solo dependerá de la distancia recorrida por el pulso. Por lo general las pérdidas en el aislamiento son tan pequeñas que realmente el amortiguamiento está determinado por la resistencia del conductor, así que se tiene que: U U0
r x exp i0 2 Z i
6.4.10
Debido al alto contenido armónico de los procesos transitorios, en los conductores de las líneas se presentará con fuerza el efecto pelicular, lo que hará que se incremente considerablemente la resistencia del conductor, siendo en la práctica este fenómeno el que ha de decidir la magnitud del amortiguamiento de cualquier onda al viajar una longitud dada en una línea. La magnitud de este amortiguamiento es por tanto muy difícil de calcular ya que el mismo depende de la forma de onda del transitorio en cuestión, la cual como se conoce es muy variable.
384
e- x U U
U
Fig. 6.4.1.- Amortiguamiento sin distorsión de una onda debido a la resistencia del conductor y a la resistencia del aislamiento.
La resistencia para alta frecuencia por unidad de longitud de diferentes conductores es la siguiente: r
r
r
1
2
d
1
2
d
1
2
h
( conductores no magnéti cos )
(conductores magnéti cos)
(resistencia de la tierra )
6.4.11
6.4.12
6.4.13
Donde: d - Diámetro del conductor. - Permeabilidad magnética. h - Altura del conductor sobre la tierra. - Resistencia específica del medio. - Frecuencia angular. En general se puede plantear que: r
6.4.14
Donde: - Resistencia específica equivalente.
385
La resistencia específica equivalente se puede calcular a partir de las ecuaciones 6.4.11, 6.4.12, 6.4.13 y se trata de una constante independiente de la frecuencia. Así se tiene que el amortiguamiento, debido al efecto pelicular, se obtiene sustituyendo la ecuación 4.14 en la 4.10: U U0
x exp 2 Z
6.4.15
Según la ecuación 6.4.15 se puede ver que el amortiguamiento no solo depende de la distancia recorrida por la onda sino también de la frecuencia. Así se tiene que para un pulso cuadrado, después de haber recorrido diferentes distancias se habrá amortiguado tal como se muestra en la Fig. 6.4.2. U x0 U0
x1
v x3
x Fig. 6.4.2.- Variación de la forma de onda de un pulso rectangular debido al efecto pelicular al viajar diferentes distancias (x2 x1 x0).
Otro fenómeno que es importante considerar es el debido al efecto corona que se refleja como una disminución de la resistencia de aislamiento de la línea. Cuando una onda de tensión (U), cuyo valor máximo es superior a la tensión crítica necesaria para el inicio del fenómeno corona (U0), viaja por un conductor, circula de éste al aire una corriente (I), y se produce una gran pérdida de energía. Como dicha corriente es aproximadamente proporcional a la diferencia de tensión ( U - U ) se tiene que la pérdida de energía por unidad de longitud de la línea está dada por: 0
Wg U i g
U U - U 0 g
6.4.16
Donde g es la resistencia del aislamiento bajo las condiciones impuestas por el fenómeno corona, y la cual es considerablemente menor que la resistencia de aislamiento de la línea bajo condiciones normales. 386
Como se sabe la energía total de la onda está dada por: W
U
2
Z
6.4.17
El cambio para cada elemento de línea es: dW
2 U dU Z
6.4.18
Como este decrecimiento en la energía es causado por las pérdidas debido al efecto corona, el balance de energía en un elemento de línea dx está dado por: 2 U dU Z
U(U U 0 )
g
dx
6.4.19
O lo que es lo mismo: dU U U0
Z
2g
dx
6.4.20
La solución de esta ecuación es: Z x 2 g
U U 0 E U 0 exp
6.4.21
Donde: E - Es el valor inicial de tensión de la onda. Debido al fenómeno corona esta onda, al viajar una longitud dada x, reducirá su amplitud a U tal como se muestra en la Fig. 6.4.3. Como se puede apreciar en la Fig. 6.4.4 el valor máximo de la onda se va reduciendo, sin embargo, la forma de la onda para valores de tensión menores a U se mantiene inalterable, aunque como se sabe también cambiará por el efecto pelicular debido a las componentes de alta frecuencia de la misma. 6.5.- VELOCIDAD DE TRASLACION DE LAS ONDAS. La ecuación de una onda electromagnética cualquiera que solo tiene componente de velocidad en el eje X, tal como ocurre con las ondas en los sistemas eléctricos donde esto es posible ya que la línea sirve de guía a la onda, se cumple que:
2 U x2
1 v2
2 U t2
6.5.1 387
Y como: v
1 LC
6.5.2
U
Z x 2 g
U U 0 E U 0 exp
x
2g Z
x Fig. 6.4.3.- Amortiguamiento exponencial de una onda debido al efecto corona.
U x0 x1 x2 x3 U0
v
x Fig. 6.4.4.- Forma de amortiguamiento de la onda (x 3 x2 x1 x0) debido al efecto corona.
En la interpretación de esta ecuación hay que tener mucho cuidado ya que la velocidad de propagación no difiere de una línea aérea a otra, mientras que la inductancia y la capacitancia sí,
388
pues dependen de la configuración geométrica del sistema. Para un conductor en un medio cualquiera se cumple para: a 0 r l ln r 6.5.3 L C
0 r l a ln r
6.5.4
Entonces la velocidad de traslación de la onda para una unidad de longitud cualquiera quedará como: v
1
0 r
0 r
6.5.5
Como para el aire:
0 1,156 *108
VS A cm
8.859*10
AS V cm
ε
14
0
Se tiene que: v
300000
km s
6.5.6
r r
Por lo tanto la velocidad de propagación depende de la permeabilidad magnética r y de la permitividad relativa r. Como para el aire y para la mayoría de los aislantes empleados en la construcción de cables aislados se puede considerar a r 1 y para el aire se puede considerar 1 la velocidad de traslación de una onda en cualquier línea aérea se puede considerar igual a r la velocidad de la luz, es decir, 300 000 km/s. Para cables con aislamiento de papel impregnado ε 4 , para PE por lo que la velocidad de traslación de las ondas por ellos será de: r
ε
r
2,3 y
para PVC
r
8
,
v = 150 000 km/s para cables con aislamiento de papel impregnado. v = 200 km/s para cables con aislamiento de polietileno. v = 100 km/s para cables con aislamiento de PVC. 6.6.- REFLEXION Y TRANSMISION DE ONDAS. Toda onda electromagnética que viaja por un medio dado, cuando arriba a la frontera de un medio diferente ( r y/o 0 diferentes) se desdobla en dos ondas, una que se transmite al nuevo
389
medio y otra que se refleja y viaja por el medio original, repartiéndose la energía de la onda incidente entre estas dos nuevas ondas en dependencia de los parámetros de cada medio. En la Fig. 6.6.1 se muestra la representación del caso de una onda que viaja por una línea y arriba a un punto de cambio para otra línea de mayor impedancia ( Z 2 Z1 ). En el punto de unión se tiene que cumplir que: Ut It
Considerando que
I
U r
6.6.1
6.6.2
Ui
I i I r
U
Z
Ut Z2
Ui Z1
U r Zi
6.6.3
Multiplicando 6.6.3 por Z2 y despejando Ut, se tiene: U t
2 Z 2 Z 1 Z 2
U i
6.6.4
Donde: b
2 Z2
coeficient e de transmisió n
Z1 Z 2
6.6.5
El coeficiente b indica el porcentaje de la tensión que se transmite a la otra línea. Dividiendo 6.6.4 por Z1 se tiene que: Ut Z1
2 Z2
Ui
Z1 Z 2 Z1
6.6.6
6.6.7
Luego: Ut Z2
2 Z1
Ui
Z1 Z 2 Z1
Por tanto: It
2 Z1 Z1 Z 2
Ii
6.6.8
La magnitud de la tensión reflejada se obtiene sustituyendo 6.6.4 en 6.6.1 obteniéndose que:
390
U r
Z1 Ui Z1 Z 2
Z2
6.6.9
Z1
Z2
Ur
U
Ut
Ui
I
Ir
Ii
I
U It Z1
Z2
Fig. 6.6.1.- Transmisión y reflexión de ondas en la unión de dos líneas de diferentes impedancias.
Donde: a
Z 2 Z1 Z1 Z 2
(coeficiente de reflexión)
6.6.10
Dividiendo 6.6.9 por Z1 se tiene que: I r
Z1
Z2
Z1 Z 2
Ii
6.6.11
Donde el cambio de signo de 6.6.11 respecto a 6.6.9 se debe a que como se sabe U i I i Z i pero U r - I r Z r .
La relación que existe entre los coeficientes de transmisión y de reflexión está dada por: b a 1
6.6.12
Para el análisis del balance energético entre las ondas se debe partir de: Wi
Ui
2
Z1
para la onda incidente
391
6.6.13
Wt
Ut
Wi
Ui
2
Z2
para la onda
transmitid a
6.6.14
2
Z1
para la onda incidente
6.6.15
Sustituyendo 6.6.4 en 6.6.14 se tiene que: 2
2 Z 2 U i 2 Wt Z Z Z 1 2 2
6.6.16
Dividiendo 6.6.16 entre 6.6.13 se tiene que:
Wt Wi
Wt Wi
2 2 Z 2 Z Z 2 1
2 2 Z 2 Z1 Z 2
2
Z1 Z2
Z1 Z 2 2 Z2
6.6.17
2
Z1 Z2
Z1 Z 2 2 Z2
6.6.17
Multiplicando el miembro de la derecha por Z2 /Z2 se tiene: Wt Wi
2
Z2
Z1
Z2
Z2
2 Z 2 Z1 Z 2
6.6.18
Cancelando los términos correspondientes y arreglando la ecuación 6.6.18 se tiene:
Wt Wi
2
2 Z1 Z 2 Z1 Z 2
Trabajando en la ecuación 6.6.19 se obtiene:
392
2
2 Z1 Z1
Z2
Z2 Z1
Z2
6.6.19
Wt Wi
2
2
2 Z1 Z1
Z1 Z1
Z2
Z2
Z2
Z2 Z1
Z2
2
Z1 Z2
2 6.6.20 Z2 Z1
La ecuación 6.6.20 indica que si los valores de Z1 y Z2 son intercambiados la relación entre la energía de la onda transmitida y la incidente se mantiene inalterable, es decir, que la diferencia de energía entre la onda incidente y la onda transmitida es independiente de la dirección en la cual se transmita la onda. La energía para la onda reflejada se obtiene sustituyendo la ecuación 6.6.9 en la 6.6.15, con lo que:
Z Z1 Wr 2 Z Z 1 2
2
Ui
2
Z1
6.6.21
O lo que es lo mismo: 2
Z Z1 2 Wi Z1 Z 2
Wr
6.6.22
Según la expresión 6.6.22 la relación Wr y Wi es siempre positiva y depende del cuadrado de la diferencia entre las impedancias características de las dos líneas y que a medida que Z1 tiende a Z2, es decir, a que ambas líneas sean iguales, la energía en la onda reflejada será cada vez menor. Como se puede apreciar en la Fig. 6.6.1 la forma de las ondas de tensión y de corriente cuando la señal viaja de Z1 a Z2 se corresponden con las formas de las ondas de corriente y tensión cuando la señal viaja de Z2 a Z1. 6.7.- LINEA TERMINADA EN UNA RESISTENCIA. En el caso de una línea terminada en una resistencia, la onda reflejada está dada por:
U r
I r
R Z1 R Z1
Z1 R R Z1
U1
6.7.1
Ii
6.7.2
Como se aprecia de las ecuaciones 6.7.1 y 6.7.2 la magnitud y el signo de la onda reflejada depende del valor de R, distinguiéndose tres condiciones límites: R 0, R Z , R . 393
Cuando
R 0
se está en el caso de una línea terminada en un cortocircuito, caso para el cual: U r U i y I r I i
6.7.3
Es decir, la onda de tensión reflejada es igual y de signo opuesto a la onda incidente, con lo cual la tensión total en el punto será: Ut
U r U i
0
6.7.4
Y para las corrientes: It
Ii
I r 2 I i
6.7.5
Como se observa, al final de la línea la tensión se hace cero, en tanto que la corriente se duplica, tal como se muestra en la Fig 6.7.1. En la Fig. 6.7.2, para una onda de una duración mucho mayor que el tiempo requerido por la onda para recorrer la línea (onda de larga duración), se puede apreciar como la tensión cae a cero, lo que está determinado por el arribo al punto de la onda reflejada negativa. En el caso de ondas de una duración mucho menor que el tiempo requerido por ella para recorrer la línea (onda de corta duración), Fig. 6.7.3, se aprecian las dos ondas al pasar por el punto central de la línea, la incidente positiva y de regreso a la reflejada negativa, ya que la línea termina en un cortocircuito. Para el valor de R Z1 , se presenta el caso de una línea terminada en su impedancia característica, en la cual:
U r 0 y I r 0
6.7.6
En este caso toda la energía de la onda es disipada por la resistencia no existiendo, por tanto, reflexión de ningún tipo. Un ejemplo típico de esto se muestra en los oscilogramas de la Fig. 6.7.4 y de la Fig. 6.7.5 para ondas de larga y corta duración respectivamente. Como se puede apreciar en la Fig. 6.7.4 y en la Fig. 6.7.5, las ondas en el envío y en el recibo de la línea son prácticamente iguales a la registradas al final de la línea, estando dada la pequeña diferencia entre ella por el amortiguamiento y la distorsión propias de un circuito real. Cuando
R
se está en presencia de un circuito abierto en el cual: U r U i
I r - I i
y
6.7.7
La onda de tensión reflejada es de igual magnitud y sentido que la onda incidente, con lo cual la tensión total en el punto es: Ut
U r U i
2U i
6.7.8
Y para las corrientes:
394
It
I r I i
0
6.7.9
En la Fig. 6.7.6 y en los oscilogramas de la Fig. 6.7.7 y Fig. 6.7.8 se muestran ejemplos gráficos de este caso. Como se aprecia en el oscilograma de la Fig. 6.7.7, al arribar la onda al final de la línea la tensión se duplica, ocurriendo lo mismo con la tensión en el punto medio de la línea al arribar a ella la onda positiva reflejada por el circuito abierto al final de la línea. En el caso de la Fig. 6.7.8, se aprecia la onda incidente al pasar por el punto medio de la línea y como ésta se duplica al llegar al final de la línea y la onda reflejada positiva al pasar de regreso por el punto medio de la línea. Como se aprecia del análisis anterior para valores de 0 R Z la tensión reflejada es negativa y la corriente positiva y para valores de resistencia de Z R la tensión reflejada es positiva y la corriente negativa.
Ui
Ii
Ur Ur
Ir
2 Ii
Fig. 6.7.1.- Reflexión de ondas de larga duración en una línea terminada en un cortocircuito.
395
Fig. 6.7.2.- Oscilograma de un onda de larga duración en un punto intermedio de una línea terminada en un cortocircuito.
Incidente
Reflejada
Fig. 6.7.3.- Oscilograma de un onda de corta duración en un punto intermedio de una línea terminada en un cortocircuito y con una impedacia igual a la característica en el envío.
396
Envío
Recibo
Fig. 6.7.4.- Oscilograma en el envío y en el recibo para una onda de larga duración en una línea terminada en su impedancia característica.
Envío Recibo
Fig. 6.7.5.- Oscilograma en el envío y en el recibo para una onda de corta duración en una línea terminada en su impedancia característica.
397
Ui
Ii
Ur 2 Ui
Ir
Fig. 6.7.6.- Reflexión de ondas de larga duración e n una línea terminada en un circuito abierto.
Recibo
Envío
Fig. 6.7.7.- Oscilograma en el envío y en el recibo para una onda de larga duración en una línea terminada en un circuito abierto y con una impedancia igual a la característica en el envío.
398
Recibo
Envío
Envío
Fig. 6.7.8.- Oscilograma en el envío y en el recibo para una onda de corta duración en una línea terminada en un circuito abierto y con una impedancia igual a la característica en el envío.
6.8.- UNION DE UNA LINEA CON OTRAS DOS LINEAS DE DIFERENTES IMPEDANCIAS. Cuando una onda viaja a lo largo de una línea de impedancia Z1 y llega a la unión de dos líneas que tengan impedancias características Z2 y Z3 diferentes, para las condiciones iniciales, se debe considerar la unión como el caso de una línea terminada en una resistencia cuyo valor es igual al paralelo de la impedancia de las dos líneas, tal como se muestra en la Fig. 6.8.1, donde: R e
Z 2 Z3 Z 2 Z3
6.8.1
Las ondas de tensión transmitidas a las dos líneas serán iguales y su magnitud estará dada por: Ut
2 R e R e
Z1
Ui
6.8.2
El signo de la onda reflejada dependerá de las condiciones del circuito, aunque para uniones de líneas de igual impedancia siempre será negativa y estará dada por: U r
R e Z1 R e Z1
Ui
6.8.3
Las corrientes transmitidas sí dependerán de las impedancias de cada línea y estarán dadas por:
1
It
2 R e
Ui
R e Z1 Z1
6.8.4
399
Ut1 Ui
Z2
Z1
Ur
Ut2 Z3
Ui Z1
R c
Ir
Z1 Z2
It1
Z1 Z2 It2
(a)
(b)
Fig. 6.8.1.- Unión de una línea con dos de impedancias características diferentes. a- Antes del arribo de la onda al punto de unión. b- Después del arribo de la onda al punto de unión.
Este fenómeno de reflexión en líneas es de gran utilidad en la localización de fallas, ya que si en el extremo de una línea fallada se aplica una onda de una duración apreciablemente menor que la constante de tiempo de la línea, en el mismo punto, al recibirse la reflejada del punto de falla, el signo de la misma indicará el tipo de falla: si es positivo, se tratará de una línea abierta y si es negativo, de una falla a tierra. Conociendo el tiempo de ida y de regreso de la onda se puede calcular con bastante exactitud el lugar de la falla. En el trabajo de localización de fallas en las redes soterradas este principio es muy usado. 6.9.- RESISTENCIAS EN SERIE Y EN DERIVACION. Al conectar una resistencia entre líneas de transmisión de impedancias características diferentes, el equilibrio existente entre las corrientes no se afecta, pero el de las tensiones sí. Si el tamaño de la resistencia es insignificante en comparación con la longitud de la línea entonces la resistencia se considera como un parámetro concentrado. En la Fig. 6.9.1 se cumple que: U i U r U t
R U t Z2
6.9.1
Al igual que: It
Ii
I r
6.9.2
De estas dos relaciones se obtiene: Ut
2 Z2 Z1 Z 2 R
Ui
6.9.3
400
Ui Z1
R
Z2
Ur Ut
It Ir
Fig. 6.9.1.- Efecto de una resistencia en serie en el punto de unión de dos líneas.
La amplitud de la onda que penetra en el conductor Z2 se puede atenuar en forma considerable siempre y cuando se seleccione convenientemente el valor de R. Esto dificulta en régimen permanente el paso de la corriente, originando además pérdidas innecesarias en forma de calor. Este inconveniente se puede remediar con la conexión de un reactor en paralelo. En la práctica los interruptores de potencia utilizan esta posibilidad pero conectando la resistencia solo en el momento preciso que la necesitan, motivo por el cual suele llamársele resistencia de preinserción o de maniobra. De las relaciones 6.9.1 y 6.9.2 se obtiene la magnitud de la onda reflejada: U r
Z2 Z1
Z1
Z2
R R
Ui
6.9.4
El efecto de la resistencia en derivación en el punto de unión se puede apreciar en la Fig. 6.9.2. Para el punto de unión se cumple que: Ut
U r U i
I i - I r I t
Ui R
6.9.5
6.9.6
401
Ui Z2
Z1 R
Ut Ur
Ir It
Fig. 6.9.2.-Efecto de una resistencia en derivación en el punto de unión de dos líneas.
De 6.9.5 y 6.9.6 se obtiene que: 2 Ut
Z1 1 Z1
1
1 Ut
Z1
1
1 Z1
Z2
1
Z2 Z2
6.9.7
Ui
6.9.8
R
1
1
Ui
R 1
R
Para valores fijos de Z1 y Z2 a medida que se disminuye la resistencia se reduce la amplitud de la señal que penetra en la línea contigua. 6.10.- CAPACITORES EN DERIVACION Y EN SERIE. El caso más sencillo se presenta cuando una línea termina en un capacitor. En este caso al arribar la onda incidente, la corriente a través del capacitor es máxima, actuando por consiguiente como un cortocircuito, pero a medida que pasa el tiempo se va cargando hasta que la corriente en él llega a ser prácticamente cero, por lo que se comporta como un circuito abierto, es decir, la onda reflejada va desde valores negativos hasta valores positivos para la tensión y viceversa para la corriente. Aplicando transformada de Laplace a una línea de impedancia Z terminada en un capacitor, se tiene para la tensión reflejada: 402
1 Z CS £ U r 1 Z CS
Ui S
2 S Ui 1 1 S S C Z
6.10.1
Antitransformando se tiene:
t Z C
U r U i 1 2 exp
6.10.2
La tensión total será:
t
U t U i U r 2 U i 1 exp
t
Z C
6.10.3
Dividiendo 6.10.2 por Z se tiene:
I r I i 1 2 exp
Z C
6.10.4
La corriente total es:
I t I i I r I i 2 exp
t
Z C
6.10.5
La forma de la onda correspondiente a este caso se muestra en la Fig. 6.10.1. y en la Fig. 6.10.2. Como se puede apreciar en los oscilogramas de la Fig. 6.10.2, para la misma línea terminada en un circuito abierto y en un capacitor, el efecto fundamental del capacitor es el de aplanar el frente de la onda, razón por la cual es un elemento de primera importancia en la protección de máquinas rotatorias, en específico, en la protección del aislamiento menor de las mismas (aislamiento entre espiras, bobinas, etc.) al reducir la razón de crecimiento de la onda y con ello el L (di/dt) a que están sometidos los enrollados. El efecto de la tensión total sobre el aislamiento mayor (a tierra) se limita con pararrayos. El fenómeno antes descrito se debe al efecto de la onda reflejada, que inicialmente es negativa, esto se puede apreciar con más facilidad en los oscilogramas de la Fig. 6.10.3, los que corresponden a una onda de gran duración, en el punto medio y al final de una línea terminada en un capacitor; como se puede ver la tensión en el punto medio, al arribar la onda reflejada, primero comienza a disminuir y después, a medida que transcurre el tiempo, como la onda reflejada va pasando a ser positiva, comienza a aumentar hasta alcanzar un valor final igual al doble del valor de la onda incidente como corresponde a una línea terminada en un circuito abierto que es a lo que pasa a ser el capacitor.
403
2Ui Ui Ur
Ur
Ir
Ir
Ii
< ZC
< ZC
Fig. 6.10.1.- Ondas de tensión y de corriente en una línea terminada en un capacitor.
Circuito abierto
Capacitor
Fig. 6.10.2.- Oscilogramas correspondientes a una línea terminada en un circuito abierto y en un capacitor.
404
Final de la línea
Punto intermedio
Fig. 6.10.3.- Oscilogramas de la tensión al final y en un punto intermedio de una línea terminada en un capacitor.
Un caso aun más general se presenta en la Fig. 6.10.4, en la cual se señalan las variaciones de la tensión y la corriente para el caso particular de Z 2 Z1 . En este caso la tensión transmitida está dada por: Ut
2 Z2 Z1 Z 2
t c
U i 1 exp
6.10.6
C
6.10.7
Donde: c
Z1 Z 2 Z1
Z2
La corriente transmitida es: It
2 Z1 Z1 Z 2
t c
I i 1 exp
6.10.8
Las ondas de tensión y corriente están dadas por: U r U i
I r I i
2 Z2 Z1 Z 2
2 Z2 Z1 Z 2
c
U i 1 exp
t
c
I i 1 exp
405
t
6.10.9
6.10.10
Como se aprecia en la Fig. 6.10.4, el efecto fundamental del capacitor es el de aplanar el frente de las ondas de corriente y de tensión que se transmiten. El valor final de ambos parámetros está determinado por la relación existente entre Z1 y Z2 .
Ui Z2
Z1
Ui
Ut Ur
Ii + Ir Ir
It
Fig. 6.10.4.- Efecto de un capacitor en derivación en el punto de unión de dos líneas ( Z2 > Z1).
En la Fig. 6.10.5 se presenta la condición de un capacitor en serie, caso para el cual se cumple que: Ut
2 Z2 Z1 Z 2
t c
U i exp
6.10.11
Siendo: c C
Z
1
Z2
6.10.12
La corriente total está dada por: It
2 Z1 Z1 Z 2
I i exp
t
c
6.10.13
Para la onda reflejada: I r
Ii
2 Z1 Z1 Z 2
I i exp
t
c
6.10.15
La amplitud de la onda que penetra en Z2 depende de la relación que exista entre Z1 y Z2, decayendo posteriormente en forma exponencial hasta cero cuando t tiende a infinito. 406
Ui Z1
Z2
Ui + Ur Ut
Ii + Ir It Ir
Fig. 6.10.5.- Efecto de un capacitor en serie en el punto de unión de dos líneas (Z2 > Z1).
6.11.- INDUCTORES EN DERIVACION. Al arribar la onda incidente a un inductor situado al final de una línea, éste se comporta como un circuito abierto, por lo que la tensión en el punto se duplica. A medida que transcurre el tiempo la corriente se incrementa exponencialmente hasta que se llega a la condición de una línea terminada en un cortocircuito, caso para el cual la corriente se duplica y la tensión se hace cero. Aplicando transformada de Laplace en un inductor L, se tiene para la tensión reflejada que:
£ U r
L S Z L S Z
Ui S
Z 2 U L 1 i Z S S L
6.11.1
Antitransformando:
Z t L
U r U i 1 2 exp
6.11.2
La tensión total será: Z t Ui L
U t U r U i 2 exp
407
6.11.3
Dividiendo 6.11.2 por Z se tiene:
Z t L
I r I i 1 2 exp
6.11.4
La corriente total es: It
Z t I r I i 2 I i 1 exp L
6.11.5
La forma de la onda correspondiente a este caso se muestra en la Fig. 6.11.1. y en la Fig. 6.11.2. Como se puede apreciar en los oscilogramas de la Fig. 6.11.2, para la misma línea terminada en un circuito abierto y en un inductor, el efecto inicial de este último es el de un circuito abierto, pasando posteriormente al de un cortocircuito. El efecto antes descrito se aprecia con facilidad en la Fig. 6.11.3, en la que se ve, para el punto medio, que al arribar la onda reflejada, inicialmente positiva, la tensión prácticamente se duplica y a medida que transcurre el tiempo, como el inductor va pasando a ser un cortocircuito, ésta va disminuyendo hasta cero como corresponde a un línea terminada en un cortocircuito. Un caso aún más general se presenta en la Fig. 6.11.4, en la cual se señalan las variaciones de la tensión y la corriente para el caso particular de Z 2 Z1 . En este caso la tensión transmitida está dada por: Ut
2 Z2 Z1 Z 2
U i exp
t
L
6.11.6
Siendo: L
Z1 Z 2 Z1
Z2
L
6.11.7
La corriente transmitida es: It
2 Z1 Z1 Z 2
I i exp
t
L
6.11.8
Las ondas de tensión y corriente están dadas por: U r U i
I r I i
2 Z2 Z1 Z 2 2 Z2
Z1 Z 2
t L
U i exp
L
I i exp
t
6.11.9
6.11.10
En caso de que las dos líneas estén unidas a través de un inductor, las condiciones de transmisión y de reflexión de ondas son las que se muestran en la Fig. 6.11.5. 408
Ur
Ur
Ui
2 Ii
Ii
Ir
Ir
Fig.6.11.1.- Ondas de tensión y de corriente en una línea terminada en un inductor.
Circuito abierto
Inductor
Fig. 6.11.2.- Oscilogramas correspondientes a una línea terminada en un circuito abierto y en un inductor.
409
Final de la línea Punto intermedio
Fig. 6.11.3.- Oscilogramas de la tensión al fi nal y en un punto intermedio de una línea terminada en un inductor.
Ui Z2
Z1 Ut + Ur
Ut Ur
Ii + Ir It
Ir
Fig. 6.11.4.- Efecto de un inductor en derivación en el punto de unión de dos líneas ( Z2 > Z1).
410
Ui
L
Z1
Z2
Ui + Ur Ut
Ii + Ir It Ir
Fig. 6.11.5.- Efecto de un inductor en serie en el punto de unión de dos líneas ( Z2 > Z1).
Para esta condición se cumple que: Ut
2 Z2 Z1 Z 2
U i exp1
t
L
6.11.11
Siendo: L
L Z1 Z 2
6.11.12
La corriente transmitida a la línea Z2 está dada por: It
2 Z1 Z1 Z 2
I i exp
t
L
6.11.13
Las ondas de tensión y de corriente reflejadas son: Ut
Ui
I r I i
2 Z1 Z1 Z 2 2 Z1 Z1 Z 2
t L
U i 1 exp
Ii
t 1 exp L
6.11.14
6.11.15
Como para bajas frecuencias los valores de la reactancia inductiva pueden llegar a ser despreciables, es que en la protección de motores se emplea, junto con los capacitores en 411
derivación, inductores en serie conectados antes que los capacitores, aprovechándose que por una parte, aplanan el frente de onda de la señal transmitida, lo que evita grandes tensiones en el aislamiento de las máquinas y por la otra, que reflejan una señal prácticamente igual a la incidente, aumentando así la tensión aplicada a los pararrayos, disminuyendo por tanto su tiempo de operación y con ello el tiempo en que el aislamiento de la máquina está sometido a sobretensiones. 6.112.- REFLEXIONES MULTIPLES. En la Fig. 6.12.1 se muestra un pulso de tensión viajando por una línea sin pérdidas con los extremos abiertos. Si se comienza el análisis parar el pulso saliendo del envío (posición 1) y propagándose a la velocidad de la luz en la dirección indicada, cuando el mismo llegue al envío (posición 2) comenzará a ser reflejado, duplicándose en ese punto su magnitud, y empezará a viajar en sentido contrario un pulso de igual magnitud y polaridad pero de dirección contraria (posición 3). Cuando el pulso de tensión reflejado llegue al envío el mismo será reflejado, repitiéndose de nuevo la misma secuencia. En la Fig 6.12.2 se puede apreciar en detalle como tiene lugar este proceso y además se puede aprecia la variación de la tensión con el tiempo en el envío, en el recibo y en el punto medio de la línea. Para el caso real de líneas con pérdidas la magnitud del pulso disminuirá exponencialmente hasta su desaparición debido a la energía que se disipa en ella.
Ui
Ur
Ur
Ui
2
1 4
3
Fig. 6.12.1.- Reflexiones múltiples en una línea con los extremos abiertos.
412
Fig. 6.12.2(a).-Reflexiones múltiples de una onda de corta duración en una línea con los extremos abiertos. - Onda abandonando el envío.
Fig. 6.12.2(c).-Reflexiones múltiples de una onda de corta duración en una línea con los extremos abiertos. - Ondas incidente y reflejada durante la primera reflexión en el envío.
413
Fig. 6.12.2(d).-Reflexiones múltiples de una onda de corta duración en una línea con los extremos abiertos. - Ondas incidente y reflejada durante la segunda reflexión en el recibo.
Si la línea en cuestión tuviera los dos extremos en cortocircuito la secuencia del fenómeno sería el mostrado en la Fig. 6.12.3 y en la Fig. 6.12.4 (la Fig. 6.12.4.(a) es la misma que la 6.12.2.(a)) Como se puede apreciar en este caso al arribar el pulso a los extremos se invierte su polaridad, por lo que después de completado el ciclo de dos reflexiones se retorna a las condiciones iniciales si se trata del caso de una línea sin pérdidas. Tanto para el caso de la línea con los extremos abiertos como en cortocircuito después de dos reflexiones se retorna a las condiciones iniciales, así si se designa por t el tiempo tomado por el pulso viajando a la velocidad v y se designa por L la longitud de la línea se tiene que: t
2L
v
6.12.1
Luego: f
1 t
v
2L
6.12.2
Para el caso particular de una línea con el envío abierto y con el recibo en cortocircuito donde el ciclo de reflexiones se repite cuando el pulso ha recorrido cuatro veces la línea la frecuencia está dad por: f
1 t
v
4L
6.12.3
414
Ui
Ui
Ur
Ur
1
2
4
3
Fig. 6.12.3.- Reflexiones múltiples en una línea con los extremos en cortocircuito.
Fig. 6.12.4(b).-Reflexiones múltiples de una onda de corta duración en una línea con los extremos abiertos. - Ondas incidente y reflejada durante la primera reflexión en el recibo.
415
Fig. 6.12.4(c).-Reflexiones múltiples de una onda de corta duración en una línea con los extremos en cortocircuito. - Ondas incidente y reflejada durante la primera reflexión en el envío.
Fig. 6.12.4(d).-Reflexiones múltiples de una onda de corta duración en una línea con los extremos en cortocircuito. - Ondas incidente y reflejada durante la segunda reflexión en el recibo.
416
6.13.- REFLEXIONES MULTIPLES EN LINEAS CON VARIOS PUNTOS DE DISCONTINUIDAD. Como se ha planteado las sobretensiones impuestas a los sistemas eléctricos por las descargas atmosféricas y las generadas internamente viajan a lo largo de las líneas y al arribar a un punto de discontinuidad sufren un proceso de reflexión y transmisión. Si se trata de tramos de líneas cortos con varios puntos de discontinuidad es necesario considerar las múltiples reflexiones que pueden presentarse para poder determinar el máximo valor de la sobretensión. Para la solución de estos problemas existen métodos de cálculo basados en las técnicas modernas de computación, si embargo, hace años Bewley creó un método de solución basado en una técnica iterativa simple con el cual se obtienen resultados satisfactorios. El principio de este método esta ilustrado en la Fig. 6.13.1 en la cual se muestra un sistema con tres puntos de discontinuidad, situados a intervalos iguales y los cuales pueden estar formados por cualquier combinación de impedancias en serie. Los circuitos entre cada punto de discontinuidad pueden ser líneas aéreas o cables soterrados, los que tienen diferentes impedancias características, diferentes velocidades de traslación para las ondas y diferentes coeficientes de amortiguamiento. Para construir la característica lo primero que se hace es calcular los coeficiente de transmisión y de reflexión en todos los sentidos y se sitúan en el esquema de la línea tal como se indica en la Fig. 6.13.1, también se sitúan en el mismo los coeficientes de amortiguamiento ( y en este caso). Para la construcción de la característica que se muestra en la Fig. 6.13.2, correspondiente a una onda que no cambia su valor con el tiempo, se toma para la escala horizontal la longitud de la escala en unidades del tiempo requerido por la señal en recorrer la distancia entre dos puntos de discontinuidad; así por ejemplo, en el caso de que la velocidad de propagación de una onda en un cable aislado sea la mitad de la velocidad de propagación de la onda en la línea aérea la longitud de ese tramo se reduce a la mitad, lográndose con ello que las pendientes de las características sean para ambos casos la misma. Para la escala vertical se debe escoger una escala de tiempo apropiada de acuerdo al caso. La magnitud de la tensión producida por una onda al sufrir múltiples reflexiones se obtiene de la característica mediante la suma algebraica de todas las ondas que han arribado al punto en cuestión para el instante de tiempo de que se trate. Para ondas que son función del tiempo cada una de las que arriban al punto en cuestión debe ser evaluada solamente para el intervalo de tiempo transcurrido a partir del instante en que llegaron al mismo. En la parte inferior de la Fig. 6.13.2 se muestra la variación que tiene, con el tiempo, la tensión en cada uno de los puntos indicados. En la Fig. 6.13.3 se muestra la variación en el espacio que le corresponde a la onda de la Fig. 6.13.2 para el instante de tiempo indicado en la misma figura.
417
– Coeficientes de reflexión – – 0,5
0,5
0,5
– 0,5
0,5
– 0,5
0,5
– 0,5
0,25
1,52
– Coeficientes de transmisión – 1,52
0,25
0,25
1,52
= 1
Z1= 350
Z 2=116
1,52
0,25
= 1
= 1
Z1= 350
Z2=116
Z 1= 350
Fig. 6.13.1.- Ubicación de los parámetros de las líneas para desarrollar el método de cálculo de Bewley.
A
B
C
D
Fig.. 6.13.2.- Variación de la tensión con el tiempo en una línea con varios puntos de discontinuidad
418
